Métodos básicos para resolver equações
O que é solução de uma equação?
Transformação de identidade. Principal
tipos de transformações idênticas.
raiz estrangeira. Perda de raiz.
Solução de equação é um processo que consiste principalmente em substituir uma dada equação por outra que lhe seja equivalente . Essa substituição é chamadatransformação de identidade . As principais transformações de identidade são as seguintes:
1.
Substituir uma expressão por outra, identicamente igual a ela. Por exemplo, a equação (3 x+ 2 ) 2 = 15 x+ 10 pode ser substituído pelo seguinte equivalente:9 x 2 + 12 x + 4 = 15 x + 10 .
2.
A transferência de termos da equação de um lado para o outro com sinais opostos. Assim, na equação anterior, podemos transferir todos os seus membros do lado direito para o lado esquerdo com o sinal “-”: 9 x 2 + 12 x + 4 – 15 x- 10 = 0, após o que temos:9 x 2 – 3 x- 6 = 0 .
3.
Multiplicação ou divisão de ambos os lados de uma equação pela mesma expressão (número) diferente de zero. Isso é muito importante, porquea nova equação pode não ser equivalente à anterior se a expressão pela qual estamos multiplicando ou dividindo for igual a zero.
EXEMPLO A equaçãox- 1 = 0 tem uma única raizx= 1.
Multiplicando ambos os lados porx- 3 , obtemos a equação
( x- 1)( x- 3) = 0, que tem duas raízes:x= 1 ex = 3.
O último valor não é a raiz da equação dada
x- 1 = 0. Este é o chamadoraiz estranha .
Por outro lado, a divisão pode levar aperda de raiz . Então
no nosso caso, sex- 1 )( x- 3 ) = 0 é o original
equação, então a raizx= 3 será perdido na divisão
ambos os lados da equaçãox- 3 .
Na última equação (item 2), podemos dividir todos os seus termos por 3 (não zero!) e finalmente obter:
3 x 2 – x – 2 = 0 .
Esta equação é equivalente à original:
(3 x+ 2) 2 = 15 x + 10 .
4.
Possoeleve os dois lados da equação a uma potência ímpar ouextrair uma raiz ímpar de ambos os lados da equação . Deve-se lembrar que:
a) ereçãograu par pode resultarpara a aquisição de raízes estranhas ;
b)errado Extraçãomesmo raiz pode levar aperda de raízes .
EXEMPLOS. Equação 7x = 35 tem uma única raizx = 5 .
Elevando ambos os lados desta equação ao quadrado, obtemos
a equação:
49 x 2 = 1225 .
com duas raízes:x = 5 ex = – 5. Último valor
é uma raiz estrangeira.
Errado tirando a raiz quadrada de ambos
partes da equação 49x 2 = 1225 resulta em 7x = 35,
e perdemos a raizx = – 5.
correto tirar a raiz quadrada leva a
equação: | 7x | = 35, uma daí dois casos:
1) 7 x = 35, entãox = 5 ; 2) – 7 x = 35, entãox = – 5 .
Portanto, aocorreto extraindo um quadrado
raiz não perdemos as raízes da equação.
O que significacerto extrair raiz? Aqui nos encontramos
com um conceito muito importanteraiz aritmética
(cm. ).
Pode levar ao aparecimento das chamadas raízes estranhas. Neste artigo, primeiramente analisaremos em detalhes o que é raízes estranhas. Em segundo lugar, vamos falar sobre as razões de sua ocorrência. E em terceiro lugar, usando exemplos, consideraremos as principais maneiras de peneirar raízes estranhas, ou seja, verificar as raízes quanto à presença de estranhas entre elas para excluí-las da resposta.
Raízes estranhas da equação, definição, exemplos
Os livros escolares de álgebra não definem uma raiz estranha. Lá, a ideia de uma raiz estranha é formada descrevendo a seguinte situação: com a ajuda de algumas transformações da equação, é realizada a transição da equação original para a equação-consequência, as raízes da equação resultante- conseqüência são encontradas, e as raízes encontradas são verificadas por substituição na equação original, o que mostra que algumas das raízes encontradas não são as raízes da equação original, essas raízes são chamadas de raízes estranhas para a equação original.
Com base nessa base, você pode tomar para si a seguinte definição de uma raiz estranha:
Definição
raízes estranhas são as raízes da equação-consequência obtida como resultado de transformações, que não são as raízes da equação original.
Vamos dar um exemplo. Considere a equação e o corolário desta equação x·(x−1)=0 , obtidos substituindo a expressão pela expressão x·(x−1) que é identicamente igual a ela. A equação original tem uma única raiz 1 . A equação obtida como resultado da transformação tem duas raízes 0 e 1 . Então 0 é uma raiz estranha para a equação original.
Causas do possível aparecimento de raízes estranhas
Se nenhuma transformação “exótica” for usada para obter a equação de consequência, mas apenas transformações básicas de equações forem usadas, então raízes estranhas podem surgir apenas por duas razões:
- devido à expansão da ODZ e
- porque ambos os lados da equação são elevados à mesma potência par.
Aqui vale lembrar que a expansão da ODZ como resultado da transformação da equação ocorre principalmente
- Ao reduzir frações;
- Ao substituir um produto com um ou mais fatores zero por zero;
- Ao substituir zero por uma fração com numerador zero;
- Ao usar algumas propriedades de potências, raízes, logaritmos;
- Ao usar algumas fórmulas trigonométricas;
- Ao multiplicar ambas as partes da equação pela mesma expressão, que se anula na ODZ para esta equação;
- Quando liberado no processo de resolução dos sinais de logaritmos.
O exemplo do parágrafo anterior do artigo ilustra o aparecimento de uma raiz estranha devido à expansão da ODZ, que ocorre ao passar da equação para a equação corolária x·(x−1)=0 . A ODZ da equação original é o conjunto de todos os números reais, exceto o zero, a ODZ da equação resultante é o conjunto R, ou seja, a ODZ é estendida pelo número zero. Esse número acaba sendo uma raiz estranha.
Daremos também um exemplo do aparecimento de uma raiz estranha devido à elevação de ambas as partes da equação à mesma potência par. A equação irracional tem uma única raiz de 4, e a consequência dessa equação, obtida dela elevando ao quadrado ambas as partes da equação, ou seja, a equação 
, tem duas raízes 1 e 4 . A partir disso, pode-se ver que o quadrado de ambos os lados da equação levou ao aparecimento de uma raiz estranha para a equação original.
Observe que a expansão da ODZ e o aumento de ambas as partes da equação para a mesma potência par nem sempre levam ao aparecimento de raízes estranhas. Por exemplo, ao passar da equação para a equação corolária x=2, a ODZ se expande do conjunto de todos os números não negativos para o conjunto de todos os números reais, mas as raízes estranhas não aparecem. 2 é a única raiz da primeira e da segunda equações. Além disso, não há aparecimento de raízes estranhas durante a transição da equação para a equação-consequência. A única raiz da primeira e da segunda equações é x=16. É por isso que não estamos falando sobre as causas do aparecimento de raízes estranhas, mas sobre as razões para o possível aparecimento de raízes estranhas.
O que é eliminar raízes estranhas?
O termo "eliminação de raízes estranhas" só pode ser chamado de termo bem estabelecido, não é encontrado em todos os livros didáticos de álgebra, mas é intuitivo, e é por isso que geralmente é usado. O que se entende por peneirar raízes estranhas fica claro com a seguinte frase: “... a verificação é uma etapa obrigatória na resolução da equação, que ajudará a detectar raízes estranhas, se houver, e descartá-las (geralmente eles dizem “eliminar “)”.
Nesse caminho,
Definição
Eliminando raízes estranhasé a detecção e rejeição de raízes estranhas.
Agora você pode passar para maneiras de eliminar raízes estranhas.
Métodos para remover raízes estranhas
Verificação de substituição
A principal maneira de eliminar raízes estranhas é uma verificação de substituição. Ele permite eliminar raízes estranhas que podem surgir devido à expansão da ODZ e devido ao aumento de ambas as partes da equação para a mesma potência.
A verificação de substituição é a seguinte: as raízes encontradas da equação de consequência são substituídas por sua vez na equação original ou em qualquer equação equivalente a ela, aquelas que dão a igualdade numérica correta são as raízes da equação original e aquelas que dão uma igualdade ou expressão numérica incorreta, sem sentido são raízes estranhas para a equação original.
Vamos usar um exemplo para mostrar como raízes estranhas são filtradas por substituição na equação original.
Em alguns casos, a remoção de raízes estranhas é mais apropriada para realizar de outras maneiras. Isso se aplica principalmente aos casos em que a verificação de substituição está associada a dificuldades computacionais significativas ou quando a maneira padrão de resolver equações de um certo tipo envolve uma verificação diferente (por exemplo, peneirar raízes estranhas ao resolver equações fracionárias-racionais é realizada de acordo com à condição de que o denominador da fração não seja igual a zero). Vamos analisar formas alternativas de peneirar raízes estranhas.
De acordo com ODZ
Em contraste com a verificação de substituição, a triagem de raízes estranhas por ODZ nem sempre é apropriada. O fato é que este método permite filtrar apenas raízes estranhas que surgem devido à expansão da ODZ, e não garante a eliminação de raízes estranhas que podem surgir por outros motivos, por exemplo, devido ao aumento de ambas as partes a equação para a mesma potência par. Além disso, nem sempre é fácil encontrar a ODZ para a equação que está sendo resolvida. No entanto, o método de peneirar raízes estranhas por ODZ deve ser mantido em serviço, uma vez que seu uso geralmente requer menos trabalho computacional do que o uso de outros métodos.
A triagem de raízes estranhas de acordo com a ODZ é realizada da seguinte forma: todas as raízes encontradas da equação de consequência são verificadas para pertencer à região de valores admissíveis da variável para a equação original ou qualquer equação equivalente a ela, aquelas que pertencem à ODZ são as raízes da equação original, e aquelas que não pertencem à ODZ são raízes estranhas à equação original.
Uma análise das informações fornecidas leva à conclusão de que é aconselhável excluir raízes estranhas de acordo com a ODZ se, ao mesmo tempo:
- é fácil encontrar a ODZ para a equação original,
- raízes estranhas poderiam surgir apenas devido à expansão da ODZ,
- a verificação de substituição está associada a dificuldades computacionais significativas.
Mostraremos como a remoção de raízes estranhas é realizada na prática.
Nos termos da ODZ
Como dissemos no parágrafo anterior, se raízes estranhas puderem surgir apenas devido à expansão da ODZ, elas podem ser filtradas de acordo com a ODZ da equação original. Mas nem sempre é fácil encontrar ODZ na forma de um conjunto numérico. Nesses casos, é possível filtrar raízes estranhas não de acordo com a ODZ, mas de acordo com as condições que determinam a ODZ. Vamos explicar como a triagem de raízes estranhas é realizada de acordo com as condições da ODZ.
As raízes encontradas são substituídas por sua vez nas condições que determinam a ODZ para a equação original ou qualquer equação equivalente a ela. Aqueles que satisfazem todas as condições são as raízes da equação. E aquelas que não satisfazem pelo menos uma condição ou dão uma expressão que não faz sentido são raízes estranhas à equação original.
Vamos dar um exemplo de triagem de raízes estranhas de acordo com as condições da ODZ.
Triagem de raízes estranhas decorrentes da elevação de ambos os lados da equação para uma potência uniforme
É claro que eliminar raízes estranhas decorrentes da elevação de ambas as partes da equação à mesma potência par pode ser feito substituindo na equação original ou em qualquer equação equivalente a ela. Mas tal verificação pode estar associada a dificuldades computacionais significativas. Nesse caso, vale a pena conhecer uma maneira alternativa de eliminar raízes estranhas, sobre as quais falaremos agora.
Triagem de raízes estranhas que podem surgir quando ambas as partes das equações irracionais da forma são elevadas à mesma potência par 
, onde n é algum número par, pode ser realizado de acordo com a condição g(x)≥0 . Isso decorre da definição de uma raiz par: uma raiz par n é um número não negativo cuja enésima potência é igual ao número da raiz, de onde 
. Assim, a abordagem sonora é uma espécie de simbiose do método de elevar ambas as partes da equação ao mesmo grau e o método de resolver equações irracionais determinando a raiz. Ou seja, a equação , onde n é um número par, é resolvido elevando ambas as partes da equação para a mesma potência par, e peneirando raízes estranhas é realizada de acordo com a condição g(x)≥0 retirada do método para resolver equações irracionais para determinar a raiz.
Perda de raízes e raízes estranhas ao resolver equações
MOU "Escola Secundária No. 2 com estudo aprofundado de assuntos individuais" da cidade de Vsevolozhsk. O trabalho de pesquisa foi preparado por um aluno da classe 11 B: Vasilyev Vasily. Líder do projeto: Egorova Lyudmila Alekseevna.
Equação Para começar, considere várias maneiras de resolver esta equação senx+cosx =- 1
Solução #1 senx+cosx =-1 i Y x 0 1 sen(x+)=- 1 sen(x+)=- x+ =- +2 x+ = +2 + x=- +2 x= +2 Resposta: +2
Solução nº 2 sinx + cosx \u003d - 1 i Resposta: +2 y x 0 1 2sin cos + - + + \u003d 0 sin cos + \u003d 0 cos (cos + sin) \u003d 0 cos \u003d 0 cos + sin \u003d 1 \u003d + m tg =-1 = + m =- + x=- +2 x= +2
Solução #3 i y x 0 1 senx+cosx =- 1 2 = x= x+ x sen2x=0 2x= x= Resposta:
sinx+cosx =-1 Solução #4 i y x 0 1 + =- 1 2tg +1- =-1- 2tg =- 2 =- + n x= - + 2 n Resposta: - + 2 n
Comparamos soluções Soluções corretas Vamos descobrir em quais casos raízes estranhas podem aparecer e por quê #2 Resposta: +2 #3 Resposta: #4 Resposta: + 2 n #1 Resposta: +2
Verificação da solução Preciso fazer uma verificação? Verifique as raízes apenas no caso, para confiabilidade? É claro que isso é útil quando é fácil substituir, mas os matemáticos são pessoas racionais e não fazem ações desnecessárias. Considere diferentes casos e lembre-se de quando a verificação é realmente necessária.
1. As fórmulas prontas mais simples c osx =a x=a =a s inx =a t gx =a No entanto, ao usar tais fórmulas, deve-se estar ciente das condições em que elas podem ser aplicadas. Por exemplo, a fórmula = pode ser usada sob a condição a 0, -4ac 0 E o erro mais grave é a resposta x= arccos2+2 para a equação cosx =2, já que a fórmula x= arccos a +2 só pode ser usada para as raízes da equação cosx = a, onde | um | 1
2. Transformações Muitas vezes, ao resolver equações, você precisa realizar muitas transformações. Se a equação for substituída por uma nova, tendo todas as raízes da anterior, e transformada de modo que não haja perda ou aquisição de raízes, então tais equações são chamadas de equivalentes. 1. Ao transferir os componentes da equação de uma parte para outra. 2. Adicionando o mesmo número a ambas as partes. 3 . Ao multiplicar ambos os lados da equação pelo mesmo número diferente de zero. quatro. Ao aplicar identidades que são verdadeiras no conjunto de todos os números reais. Neste caso, a verificação não é necessária!
No entanto, nem todas as equações podem ser resolvidas por transformações equivalentes. Mais frequentemente é necessário aplicar transformações desiguais. Muitas vezes, essas transformações são baseadas no uso de fórmulas que não são verdadeiras para todos os valores reais. Neste caso, em particular, o domínio de definição da equação muda. Este erro está na solução nº 4. Analisaremos o erro, mas primeiro veremos novamente a solução número 4. sinx+cosx=-1 + =-1 2tg +1- =-1- 2tg =-2 =- + n x = - + 2 n O erro está na fórmula sin2x= Você pode usar esta fórmula, mas deve verificar adicionalmente se são números raízes da forma + para os quais tg não está definido. Agora está claro que há uma perda de raízes na solução. Vamos levá-lo até o fim.
Solução #4 i y x 0 1 Verifique os números = + n por substituição: x= + 2 n sin(+ 2 n)+ cos (+ 2 n)=sen + cos =0+(-1)=- 1 Então x= +2 n é a raiz da equação Resposta: +2 senx+cosx =-1 + =- 1 2tg +1- =-1- 2tg =- 2 =- + n x= - + 2 n
Consideramos uma das maneiras de perder raízes, existem muitas delas na matemática, então você precisa decidir com cuidado, lembrando todas as regras. Assim como você pode perder as raízes de uma equação, você também pode ganhar algumas extras ao resolvê-la. Vamos considerar a solução nº 3, que cometeu um erro.
Solução #3 i y x 0 1 2 2 e raízes extras! Raízes estranhas podem aparecer quando ambos os lados da equação foram elevados ao quadrado. Neste caso, você precisa verificar. Para n=2k temos sen k+cos k=-1; cos k=-1 para k=2m-1 , Então n=2(2m+1)=4m+2 , x= = +2 m , Resposta: +2 Para n=2k+1 temos sen + cos =- 1 sen(+ k)+ cos (+ k)=- 1 cos k-sen k=- 1 cos k=-1 em k=2m+1 n=2(2m+1)+ 1=2m+3 x= (4m+3)= +2 m=- +2 senx+cosx =- 1 = x= x+ x sen2x=0 2x= x=
Assim, consideramos alguns casos possíveis, dos quais existem muitos. Tente não desperdiçar seu tempo e não cometer erros estúpidos.
DENTES. Os dentes dos vertebrados em sua estrutura e desenvolvimento são completamente semelhantes às escamas placóides que cobrem toda a pele do peixe tubarão. Uma vez que toda a cavidade oral, e em parte a cavidade faríngea, é revestida por epitélio ectodérmico, um típico placóide ... ...
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PLANTA E MEIO AMBIENTE- A vida de uma planta, como qualquer outro organismo vivo, é um conjunto complexo de processos inter-relacionados; o mais significativo deles, como se sabe, é a troca de substâncias com o meio ambiente. O meio ambiente é a fonte de onde ... ... Enciclopédia Biológica
Lista de episódios da série "Luntik"- Artigo principal: Aventuras de Luntik e seus amigos Conteúdo 1 Número de episódios 2 Lista de episódios da série animada Luntik e seus amigos ... Wikipedia
Doenças das árvores frutíferas- As árvores frutíferas, devido ao constante cuidado de uma pessoa, deveriam atingir uma idade muito mais avançada do que seus parentes incultos, se não fossem as influências contrárias de muitas condições da própria cultura, nomeadamente as exigências que impomos ... .. .
derrubada de floresta- V. florestas, ou a extração de renda florestal na forma de madeira e casca, pode ser feita de duas maneiras: cavando ou arrancando árvores inteiras, ou seja, troncos junto com raízes, ou separadamente, em partes, primeiro caem , ou são removidos de ... ... Dicionário Enciclopédico F.A. Brockhaus e I.A. Efron
centavo- (Grosz polonês, do alemão Groschen, do latim grossus (dēnārius) "denarius grosso") uma moeda de vários países e épocas. Conteúdo 1 A aparência de um centavo ... Wikipedia
moedas dos EUA- 20 dólares St. Gaudens é a moeda americana mais bonita e cara. Moedas americanas cunhadas na Casa da Moeda dos EUA. Emitido desde 1792 ... Wikipedia
Livros
- As principais causas da queda de cabelo nas mulheres, Alexey Michman, Seis em cada dez mulheres sofrem com o problema da queda de cabelo em algum momento de suas vidas. A queda de cabelo pode ocorrer por vários motivos, como hereditariedade, alterações hormonais em… Categoria:
Na última lição, ao resolver equações, usamos três etapas.
A primeira etapa é técnica. Com a ajuda de uma cadeia de transformações da equação original, chegamos a uma bastante simples, que resolvemos e encontramos as raízes.
A segunda etapa é a análise da solução. Analisamos as transformações que realizamos e descobrimos se são equivalentes.
A terceira etapa é a verificação. A verificação de todas as raízes encontradas substituindo-as na equação original é obrigatória ao realizar transformações que podem levar a uma equação corolária
É sempre necessário distinguir três etapas ao resolver uma equação?
Claro que não. Como, por exemplo, na resolução desta equação. Na vida cotidiana, eles geralmente não estão isolados. Mas todas essas etapas devem ser “lembradas” e executadas de uma forma ou de outra. Certifique-se de analisar a equivalência de transformações. E se a análise mostrou que é necessário realizar uma verificação, então é necessário. Caso contrário, a equação não pode ser considerada resolvida corretamente.
É sempre possível verificar as raízes de uma equação apenas por substituição?
Se transformações equivalentes foram usadas ao resolver a equação, a verificação não é necessária. Ao verificar as raízes de uma equação, ODZ (intervalo de valores aceitáveis) é muito usado. Se for difícil verificar a ODZ, ela é realizada substituindo-a na equação original.
Exercício 1
Resolva a equação raiz quadrada de dois x mais três é igual a um mais x.
Solução
A equação ODZ é definida por um sistema de duas desigualdades: dois x mais três é maior ou igual a zero e um mais x é maior ou igual a zero. A solução é x maior ou igual a menos um.
Elevamos ambos os lados da equação ao quadrado, transferimos os termos de um lado da equação para o outro, adicionamos termos semelhantes, obtemos a equação quadrática x ao quadrado igual a dois. Suas raízes são
x primeiro, segundo é igual a mais ou menos a raiz quadrada de dois.
Exame
O valor de x do primeiro igual à raiz quadrada de dois é a raiz da equação, pois está incluída no DPV.
O valor de x segundo é menos a raiz quadrada de dois não é a raiz da equação, porque não está incluído na ODZ.
Vamos verificar que a raiz x é igual à raiz quadrada de dois, substituindo na igualdade original, obtemos
igualdade verdadeira, então x igual à raiz quadrada de dois é a raiz da equação.
Resposta: raiz quadrada de dois.
Tarefa 2
Resolva a equação raiz quadrada de x menos oito é igual a cinco menos x.
Solução
A ODZ de uma equação irracional é determinada por um sistema de duas desigualdades: x menos oito é maior ou igual a zero e cinco menos x é maior ou igual a zero. Resolvendo, temos que este sistema não tem soluções. A raiz da equação não pode ser nenhum dos valores da variável x.
Resposta: sem raízes.
Tarefa 3
Resolva a equação raiz quadrada de x ao cubo mais quatro x menos um menos oito raízes quadradas de x elevado à quarta potência menos x é igual à raiz quadrada de x ao cubo menos um mais duas raízes quadradas de x.
Solução
Encontrar a ODZ nesta equação é bastante difícil.
Vamos realizar transformações: vamos elevar ao quadrado ambos os lados desta equação,
transferimos todos os termos para o lado esquerdo da equação e trazemos termos semelhantes, escrevemos duas raízes sob um, obtemos radicais semelhantes, damos uns iguais, dividimos por um fator de menos 12 e decompomos a expressão raiz em fatores, obtemos um equação na forma de um produto de dois fatores igual a zero. Resolvendo, encontramos as raízes:
x o primeiro é igual a um, x o segundo é igual a zero.
Como elevamos ambas as partes da equação a uma potência par, é obrigatório verificar as raízes.
Exame
Se x é igual a um, então
obtemos a igualdade correta, o que significa que x igual a um é a raiz da equação.
Se x é zero, então a raiz quadrada de menos um é indefinida.
Portanto, x igual a zero é uma raiz estranha.
Resposta: um.
Tarefa 4
Resolva a equação para o logaritmo de x ao quadrado mais cinco x mais dois base dois é igual a três.
Solução
Vamos encontrar a equação ODZ. Para fazer isso, resolvemos a desigualdade x quadrado mais cinco x mais dois maior que zero.
Resolvemos a desigualdade pelo método dos intervalos. Para fazer isso, decompomos seu lado esquerdo em fatores, resolvendo previamente a equação quadrática e levando em consideração o sinal de desigualdade, determinamos a ODZ. ODZ é igual à união de raios abertos de menos infinito a menos fração cinco mais a raiz quadrada de dezessete dividido por dois, e de menos fração cinco menos a raiz quadrada de dezessete dividido por dois a mais infinito.
Agora vamos começar a procurar as raízes da equação. Dado que três é igual ao logaritmo de oito na base de dois, escrevemos a equação da seguinte forma: o logaritmo da expressão x ao quadrado mais cinco x mais dois na base dois é igual ao logaritmo de oito elevado a base dois. Potenciamos a equação, obtemos e resolvemos a equação quadrática.
O discriminante é quarenta e nove.
Calculamos as raízes:
x primeiro é igual a menos seis; X segundo é igual a um.
Exame
Menos seis pertence à ODZ, um pertence à ODZ, o que significa que ambos os números são as raízes da equação.
Resposta: menos seis; 1.
Na última lição, consideramos a questão do aparecimento de raízes estranhas. Podemos detectá-los verificando. É possível perder raízes ao resolver uma equação e como evitar isso?
Ao realizar tais ações na equação, como, em primeiro lugar, dividir ambas as partes da equação pela mesma expressão ax de x (exceto nos casos em que se sabe com certeza que ax de x não é igual a zero para qualquer x da domínio da equação);
em segundo lugar, o estreitamento da equação ODZ no processo de resolução pode levar à perda das raízes da equação.
Lembrar!
A equação escrita na forma
ef de x multiplicado por cinzas de x é igual a zhe de x multiplicado por cinzas de x é resolvido desta forma:
é necessário fatorar retirando o fator comum dos colchetes;
então, cada fator é igualado a zero, obtendo-se assim duas equações.
Calculamos suas raízes.
Exercício 1
Resolva a equação x cubo é igual a x.
Primeira maneira
Dividimos ambas as partes desta equação por x, obtemos x ao quadrado igual a um, tendo raízes x primeiro iguais a um,
X segundo é igual a menos um.
Segunda via
x cubo é igual a x. Vamos mover x para o lado esquerdo da equação, tirar x dos colchetes, temos: x vezes x ao quadrado, menos um é igual a zero.
Vamos calcular suas raízes:
X primeiro é igual a zero, x segundo é igual a um, x terceiro é igual a menos um.
A equação tem três raízes.
Ao resolver da primeira maneira, perdemos uma raiz - x é igual a zero.
Resposta: menos um; zero; 1.
Lembrar! Reduzir ambos os lados da equação por um fator contendo a incógnita pode levar à perda de raízes.
Tarefa 2
Resolva a equação decimal do logaritmo de x ao quadrado é dois.
Solução
Primeira maneira
Pela definição do logaritmo, obtemos a equação quadrática x ao quadrado igual a cem.
Suas raízes: x primeiro é igual a dez; x segundo é igual a menos dez.
Segunda via
Pela propriedade do logaritmo, temos dois logaritmos decimais x igual a dois.
Sua raiz - x é igual a dez
No segundo método, houve uma perda da raiz x igual a menos dez. E a razão é que eles aplicaram a fórmula errada, estreitando o escopo da equação. A expressão logaritmo decimal de x ao quadrado é definida para todos os x exceto x igual a zero. A expressão logaritmo decimal x é para x maior que zero. A fórmula correta é logaritmo decimal x quadrado igual a dois logaritmos decimais módulo x.
Lembrar! Ao resolver uma equação, aplique corretamente as fórmulas disponíveis.
