Introdução
Em matemática e suas aplicações em ciências naturais e tecnologia, as funções exponenciais são amplamente utilizadas. Isso, em particular, é explicado pelo fato de que muitos dos fenômenos estudados nas ciências naturais estão entre os chamados processos de crescimento orgânico, nos quais as taxas de variação das funções envolvidas neles são proporcionais aos valores de as próprias funções.
Se denotado por uma função e por um argumento, então a lei diferencial do processo de crescimento orgânico pode ser escrita na forma em que é algum coeficiente constante de proporcionalidade.
A integração desta equação leva à solução geral na forma de uma função exponencial
Se você definir a condição inicial em, poderá determinar uma constante arbitrária e, assim, encontrar uma solução específica, que é uma lei integral do processo em consideração.
Sob algumas suposições simplificadoras, os processos de crescimento orgânico incluem fenômenos como, por exemplo, uma mudança na pressão atmosférica dependendo da altura acima da superfície da Terra, decaimento radioativo, resfriamento ou aquecimento de um corpo em um ambiente de temperatura constante, uma reação química unimolecular (por exemplo, a dissolução de uma substância em água), na qual ocorre a lei da ação das massas (a velocidade da reação é proporcional à quantidade de reagente presente), a reprodução de microrganismos e muitas outras.
O aumento da quantidade de dinheiro devido ao acúmulo de juros compostos (juros sobre juros) também é um processo de crescimento orgânico.
Esses exemplos poderiam ser continuados.
Juntamente com funções exponenciais individuais em matemática e suas aplicações, várias combinações de funções exponenciais são usadas, entre as quais certas combinações de funções lineares e fracionárias lineares e as chamadas funções hiperbólicas são de particular importância. Existem seis dessas funções, os seguintes nomes e designações especiais foram introduzidos para elas:
(seno hiperbólico),
(cosseno hiperbólico),
(tangente hiperbólica),
(cotangente hiperbólica),
(secante hiperbólica),
(secante hiperbólica).
Surge a pergunta por que exatamente esses nomes são dados, e aqui está uma hipérbole e os nomes das funções conhecidas da trigonometria: seno, cosseno etc.? Acontece que as relações que ligam as funções trigonométricas com as coordenadas dos pontos de um círculo de raio unitário são semelhantes às relações que ligam as funções hiperbólicas com as coordenadas dos pontos de uma hipérbole equilátero com um semieixo unitário. Isso justifica o nome de funções hiperbólicas.
Funções hiperbólicas
As funções dadas por fórmulas são chamadas de cosseno hiperbólico e seno hiperbólico, respectivamente.
Essas funções são definidas e contínuas, e é uma função par e é uma função ímpar.
Figura 1.1 - Gráficos de funções
Da definição de funções hiperbólicas segue-se que:
Por analogia com as funções trigonométricas, a tangente hiperbólica e a cotangente são definidas, respectivamente, pelas fórmulas
Uma função é definida e contínua em, e uma função é definida e contínua em um conjunto com um ponto perfurado; ambas as funções são ímpares, seus gráficos são mostrados nas figuras abaixo.
Figura 1.2 - Gráfico da função
Figura 1.3 - Gráfico da função
Pode-se mostrar que as funções e são estritamente crescentes, enquanto a função é estritamente decrescente. Portanto, essas funções são reversíveis. Denote as funções inversas a elas, respectivamente, por.
Considere uma função inversa de uma função, ou seja, função. Nós o expressamos em termos de elementares. Resolvendo a equação em relação a, obtemos Desde, então, de onde
Substituindo por e por, encontramos a fórmula da função inversa do seno hiperbólico.
Junto com a conexão entre funções trigonométricas e exponenciais que descobrimos no domínio complexo (fórmulas de Euler)
no domínio complexo há uma conexão muito simples entre funções trigonométricas e hiperbólicas.
Lembre-se que, de acordo com a definição:
Se na identidade (3) substituirmos por então no lado direito obtemos a mesma expressão que está no lado direito da identidade, da qual segue a igualdade dos lados esquerdos. O mesmo vale para as identidades (4) e (2).
Ao dividir ambas as partes da identidade (6) nas partes correspondentes da identidade (5) e vice-versa (5) por (6), obtemos:
Uma substituição semelhante nas identidades (1) e (2) e uma comparação com as identidades (3) e (4) fornece:
Finalmente, das identidades (9) e (10) encontramos:
Se colocarmos em identidades (5)-(12) onde x é um número real, ou seja, considerar o argumento puramente imaginário, obteremos mais oito identidades entre as funções trigonométricas de um argumento puramente imaginário e as funções hiperbólicas correspondentes de um argumento real , bem como entre funções hiperbólicas de um argumento imaginário puramente imaginário e as funções trigonométricas correspondentes do argumento real:
As relações obtidas permitem passar de funções trigonométricas a hiperbólicas e de
funções hiperbólicas para trigonométricas com a substituição do argumento imaginário pelo real. Eles podem ser formulados como a seguinte regra:
Para passar de funções trigonométricas de um argumento imaginário para funções hiperbólicas ou, inversamente, de funções hiperbólicas de um argumento imaginário para funções trigonométricas, deve-se retirar a unidade imaginária do sinal da função para o seno e a tangente e descartá-la completamente para o cosseno.
A conexão estabelecida é notável, em particular, na medida em que permite obter todas as relações entre funções hiperbólicas a partir de relações conhecidas entre funções trigonométricas, substituindo estas últimas por funções hiperbólicas
Vamos mostrar como é. está sendo feito.
Tomemos por exemplo a identidade trigonométrica básica
e coloque onde x é um número real; Nós temos:
Se nesta identidade substituirmos o seno e o cosseno pelo seno e o cosseno hiperbólicos de acordo com as fórmulas, então obtemos ou e esta é a identidade básica entre o anteriormente derivado de uma maneira diferente.
Da mesma forma, você pode derivar todas as outras fórmulas, incluindo fórmulas para as funções hiperbólicas da soma e diferença de argumentos, argumentos duplos e meio, etc., assim, da trigonometria comum, obtenha "trigonometria hiperbólica".
FUNÇÕES HIPERBÓLICAS- Seno hiperbólico (sh x) e cosseno (ch x) são definidos pelas seguintes igualdades:
A tangente e a cotangente hiperbólicas são definidas por analogia com a tangente e a cotangente trigonométricas:
A secante hiperbólica e a cossecante são definidas de forma semelhante:
Existem fórmulas:
As propriedades das funções hiperbólicas são em muitos aspectos semelhantes às propriedades (ver). As equações x=cos t, y=sen t determinam o círculo x²+y² = 1; as equações x=сh t, y=sh t definem a hipérbole x² - y²=1. Como as funções trigonométricas são determinadas a partir de um círculo de raio unitário, as funções hiperbólicas são determinadas a partir de uma hipérbole isósceles x² - y² = 1. O argumento t é a área dupla do triângulo curvilíneo sombreado OME (Fig. 48), semelhante ao fato de que para funções circulares (trigonométricas) o argumento t é numericamente igual a duas vezes a área do triângulo curvilíneo OKE ( Fig. 49):
para círculo
para hipérbole
Os teoremas de adição para funções hiperbólicas são semelhantes aos teoremas de adição para funções trigonométricas:
Essas analogias são facilmente vistas se a variável complexa r for tomada como o argumento x. As funções hiperbólicas estão relacionadas às funções trigonométricas pelas seguintes fórmulas: sh x \u003d - i sin ix, ch x \u003d cos ix, onde i é um dos os valores da raiz √-1. As funções hiperbólicas sh x, bem como ch x: podem assumir quaisquer valores grandes (daí, é claro, grandes unidades), em contraste com as funções trigonométricas sen x, cos x, que para valores reais \u200b\u200bnão pode ser maior que um em valor absoluto.
As funções hiperbólicas desempenham um papel na geometria de Lobachevsky (ver), são usadas no estudo da resistência dos materiais, na engenharia elétrica e em outros ramos do conhecimento. Há também designações de funções hiperbólicas na literatura como sinh x; cox x; tghx.
