Cada operação aritmética às vezes se torna muito complicada para gravar e eles tentam simplificá-la. Costumava ser o mesmo com a operação de adição. Era necessário que as pessoas realizassem adições repetidas do mesmo tipo, por exemplo, para calcular o custo de cem tapetes persas, cujo custo é de 3 moedas de ouro para cada um. 3 + 3 + 3 + ... + 3 = 300. Devido ao volume, pensou-se em reduzir a notação para 3 * 100 = 300. Na verdade, a notação “três vezes cem” significa que você precisa tomar cem triplos e some-os. A multiplicação criou raízes, ganhou popularidade geral. Mas o mundo não fica parado e, na Idade Média, tornou-se necessário realizar repetidas multiplicações do mesmo tipo. Lembro-me de um velho enigma indiano sobre um sábio que pediu grãos de trigo na seguinte quantidade como recompensa pelo trabalho realizado: para a primeira célula do tabuleiro ele pediu um grão, para a segunda - dois, a terceira - quatro, o quinto - oito, e assim por diante. Foi assim que surgiu a primeira multiplicação de potências, pois o número de grãos era igual a dois à potência do número da célula. Por exemplo, na última célula haveria 2*2*2*…*2 = 2^63 grãos, que é igual a um número de 18 caracteres, que, na verdade, é o significado do enigma.

A operação de elevar a uma potência se enraizou muito rapidamente, e também rapidamente se tornou necessário realizar adição, subtração, divisão e multiplicação de graus. Este último vale a pena considerar com mais detalhes. As fórmulas para adicionar potências são simples e fáceis de lembrar. Além disso, é muito fácil entender de onde eles vêm se a operação de potência for substituída pela multiplicação. Mas primeiro você precisa entender a terminologia elementar. A expressão a ^ b (leia-se "a elevado a b") significa que o número a deve ser multiplicado por ele mesmo b vezes, e "a" é chamado de base do grau e "b" é o expoente. Se as bases das potências são as mesmas, então as fórmulas são derivadas de forma bastante simples. Exemplo específico: encontre o valor da expressão 2^3 * 2^4. Para saber o que deve acontecer, você deve descobrir a resposta no computador antes de iniciar a solução. Inserindo esta expressão em qualquer calculadora online, mecanismo de busca, digitando "multiplicação de potências com bases diferentes e iguais" ou um pacote matemático, a saída será 128. Agora vamos escrever esta expressão: 2^3 = 2*2*2, e 2^4 = 2 *2*2*2. Acontece que 2^3 * 2^4 = 2*2*2*2*2*2*2 = 2^7 = 2^(3+4) . Acontece que o produto de potências com a mesma base é igual à base elevada a uma potência igual à soma das duas potências anteriores.

Você pode pensar que isso é um acidente, mas não: qualquer outro exemplo só pode confirmar essa regra. Assim, em geral, a fórmula fica assim: a^n * a^m = a^(n+m) . Há também uma regra que qualquer número elevado a zero é igual a um. Aqui devemos lembrar a regra das potências negativas: a^(-n) = 1 / a^n. Ou seja, se 2^3 = 8, então 2^(-3) = 1/8. Usando esta regra, podemos provar a igualdade a^0 = 1: a^0 = a^(n-n) = a^n * a^(-n) = a^(n) * 1/a^(n) , a^ (n) pode ser reduzido e permanece um. A partir disso, deriva a regra de que o quociente de potências com as mesmas bases é igual a essa base em um grau igual ao quociente do dividendo e do divisor: a ^ n: a ^ m = a ^ (n-m) . Exemplo: Simplifique a expressão 2^3 * 2^5 * 2^(-7) *2^0: 2^(-2) . A multiplicação é uma operação comutativa, então os expoentes da multiplicação devem primeiro ser adicionados: 2^3 * 2^5 * 2^(-7) *2^0 = 2^(3+5-7+0) = 2^1 = 2. Em seguida, você deve lidar com a divisão por um grau negativo. É necessário subtrair o expoente do divisor do expoente do dividendo: 2^1: 2^(-2) = 2^(1-(-2)) = 2^(1+2) = 2^3 = 8. É verifica-se que a operação de divisão por um grau negativo é idêntica à operação de multiplicação por um expoente positivo semelhante. Portanto, a resposta final é 8.

Há exemplos em que a multiplicação não canônica de potências ocorre. Multiplicar poderes com bases diferentes é muitas vezes muito mais difícil e às vezes até impossível. Devem ser dados vários exemplos de várias abordagens possíveis. Exemplo: simplifique a expressão 3^7 * 9^(-2) * 81^3 * 243^(-2) * 729. Obviamente, há uma multiplicação de potências com bases diferentes. Mas, deve-se notar que todas as bases são potências diferentes de um triplo. 9 = 3^2,1 = 3^4,3 = 3^5,9 = 3^6. Usando a regra (a^n) ^m = a^(n*m) , você deve reescrever a expressão de uma forma mais conveniente: 3^7 * (3^2) ^(-2) * (3^4) ^3 * (3^5) ^(-2) * 3^6 = 3^7 * 3^(-4) * 3^(12) * 3^(-10) * 3^6 = 3^(7 -4+12 -10+6) = 3^(11) . Resposta: 3^11. Nos casos em que existem bases diferentes, a regra a ^ n * b ^ n = (a * b) ^ n funciona para indicadores iguais. Por exemplo, 3^3 * 7^3 = 21^3. Caso contrário, quando existem bases e indicadores diferentes, é impossível fazer uma multiplicação completa. Às vezes você pode simplificar parcialmente ou recorrer à ajuda da tecnologia do computador.

Aula sobre o tema: "Regras para multiplicar e dividir potências com expoentes iguais e diferentes. Exemplos"

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O objetivo da lição: aprender a realizar operações com potências de um número.

Para começar, vamos relembrar o conceito de "potência de um número". Uma expressão como $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n)$ pode ser representada como $a^n$.

O inverso também é verdadeiro: $a^n= \underbrace( a * a * \ldots * a )_(n)$.

Essa igualdade é chamada de "registrar o grau como um produto". Isso nos ajudará a determinar como multiplicar e dividir potências.
Lembrar:
uma- a base do grau.
n- expoente.
Se um n=1, o que significa o número uma tomado uma vez e respectivamente: $a^n= 1$.
Se um n=0, então $a^0= 1$.

Por que isso acontece, podemos descobrir quando nos familiarizarmos com as regras para multiplicar e dividir potências.

regras de multiplicação

a) Multiplicam-se potências de mesma base.
Para $a^n * a^m$, escrevemos as potências como um produto: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n) * \underbrace( a * a * \ldots * a )_ (m)$.
A figura mostra que o número uma tomaram n+m vezes, então $a^n * a^m = a^(n + m)$.

Exemplo.
$2^3 * 2^2 = 2^5 = 32$.

Essa propriedade é conveniente para simplificar o trabalho ao elevar um número a uma potência grande.
Exemplo.
$2^7= 2^3 * 2^4 = 8 * 16 = 128$.

b) Se as potências são multiplicadas com base diferente, mas com o mesmo expoente.
Para $a^n * b^n$, escrevemos as potências como um produto: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n) * \underbrace( b * b * \ldots * b )_ (m)$.
Se trocarmos os fatores e contarmos os pares resultantes, obteremos: $\underbrace( (a * b) * (a * b) * \ldots * (a * b) )_(n)$.

Então $a^n * b^n= (a * b)^n$.

Exemplo.
$3^2 * 2^2 = (3 * 2)^2 = 6^2= 36$.

regras de divisão

a) A base do grau é a mesma, os expoentes são diferentes.
Considere dividir um grau com um expoente maior dividindo um grau com um expoente menor.

Isso é necessário $\frac(a^n)(a^m)$, Onde n>m.

Escrevemos os graus como uma fração:

$\frac(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n))(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(m))$.

Por conveniência, escrevemos a divisão como uma fração simples.

Agora vamos reduzir a fração.

Acontece que: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n-m)= a^(n-m)$.
Significa, $\frac(a^n)(a^m)=a^(n-m)$.

Essa propriedade ajudará a explicar a situação de elevar um número a uma potência de zero. Vamos supor que n=m, então $a^0= a^(n-n)=\frac(a^n)(a^n) =1$.

Exemplos.
$\frac(3^3)(3^2)=3^(3-2)=3^1=3$.

$\frac(2^2)(2^2)=2^(2-2)=2^0=1$.

b) As bases da licenciatura são diferentes, os indicadores são os mesmos.
Digamos que você precise de $\frac(a^n)(b^n)$. Escrevemos as potências dos números como uma fração:

$\frac(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n))(\underbrace( b * b * \ldots * b )_(n))$.

Vamos imaginar por conveniência.

Usando a propriedade das frações, dividimos uma fração grande em um produto de pequenas, obtemos.
$\underbrace( \frac(a)(b) * \frac(a)(b) * \ldots * \frac(a)(b) )_(n)$.
Assim: $\frac(a^n)(b^n)=(\frac(a)(b))^n$.

Exemplo.
$\frac(4^3)( 2^3)= (\frac(4)(2))^3=2^3=8$.

No último vídeo tutorial, aprendemos que o grau de uma determinada base é uma expressão que é o produto da base e ela mesma, tomada em uma quantidade igual ao expoente. Vamos agora estudar algumas das propriedades e operações mais importantes das potências.

Por exemplo, vamos multiplicar duas potências diferentes com a mesma base:

Vejamos esta peça na íntegra:

(2) 3 * (2) 2 = (2)*(2)*(2)*(2)*(2) = 32

Calculando o valor desta expressão, obtemos o número 32. Por outro lado, como pode ser visto no mesmo exemplo, 32 pode ser representado como um produto da mesma base (dois), tomado 5 vezes. E, de fato, se você contar, então:

Assim, pode-se concluir com segurança que:

(2) 3 * (2) 2 = (2) 5

Esta regra funciona com sucesso para qualquer indicador e qualquer fundamento. Essa propriedade de multiplicação do grau decorre da regra de preservação do significado das expressões durante as transformações no produto. Para qualquer base a, o produto de duas expressões (a) x e (a) y é igual a a (x + y). Em outras palavras, ao produzir quaisquer expressões com a mesma base, o monômio final tem um grau total formado pela soma do grau da primeira e da segunda expressões.

A regra apresentada também funciona muito bem ao multiplicar várias expressões. A principal condição é que as bases para todos sejam as mesmas. Por exemplo:

(2) 1 * (2) 3 * (2) 4 = (2) 8

É impossível adicionar graus e, em geral, realizar ações conjuntas de poder com dois elementos da expressão, se suas bases forem diferentes.
Como mostra nosso vídeo, devido à semelhança dos processos de multiplicação e divisão, as regras de adição de potências durante um produto são perfeitamente transferidas para o procedimento de divisão. Considere este exemplo:

Vamos fazer uma transformação termo a termo da expressão para uma forma completa e reduzir os mesmos elementos no dividendo e no divisor:

(2)*(2)*(2)*(2)*(2)*(2) / (2)*(2)*(2)*(2) = (2)(2) = (2) 2 = 4

O resultado final deste exemplo não é tão interessante, pois já no decorrer de sua solução fica claro que o valor da expressão é igual ao quadrado de dois. E é o deuce que é obtido subtraindo o grau da segunda expressão do grau da primeira.

Para determinar o grau do quociente, é necessário subtrair o grau do divisor do grau do dividendo. A regra funciona com a mesma base para todos os seus valores e para todos os poderes naturais. Em forma abstrata, temos:

(a) x / (a) y = (a) x - y

A definição para o grau zero segue a regra para dividir bases idênticas com potências. Obviamente, a seguinte expressão é:

(a) x / (a) x \u003d (a) (x - x) \u003d (a) 0

Por outro lado, se dividirmos de forma mais visual, obtemos:

(a) 2 / (a) 2 = (a) (a) / (a) (a) = 1

Ao reduzir todos os elementos visíveis de uma fração, obtém-se sempre a expressão 1/1, ou seja, um. Portanto, é geralmente aceito que qualquer base elevada à potência zero é igual a um:

Independentemente do valor de a.

No entanto, seria absurdo se 0 (que ainda dá 0 para qualquer multiplicação) for de alguma forma igual a um, então uma expressão como (0) 0 (zero ao grau zero) simplesmente não faz sentido, e a fórmula (a) 0 = 1 adicione uma condição: "se a não for igual a 0".

Vamos fazer o exercício. Vamos encontrar o valor da expressão:

(34) 7 * (34) 4 / (34) 11

Como a base é a mesma em todos os lugares e é igual a 34, o valor final terá a mesma base com grau (de acordo com as regras acima):

Em outras palavras:

(34) 7 * (34) 4 / (34) 11 = (34) 0 = 1

Resposta: A expressão é igual a um.

O conceito de licenciatura em matemática é introduzido já na 7ª série em uma aula de álgebra. E no futuro, ao longo do curso de matemática, esse conceito é usado ativamente em suas várias formas. Os graus são um tópico bastante difícil, exigindo memorização de valores e a capacidade de contar correta e rapidamente. Para um trabalho mais rápido e melhor com diplomas de matemática, eles criaram as propriedades de um diploma. Eles ajudam a reduzir grandes cálculos, a converter um grande exemplo em um único número até certo ponto. Não há tantas propriedades, e todas são fáceis de lembrar e aplicar na prática. Por isso, o artigo discute as principais propriedades da licenciatura, bem como onde elas são aplicadas.

propriedades de grau

Consideraremos 12 propriedades de um grau, incluindo propriedades de potências com a mesma base, e daremos um exemplo para cada propriedade. Cada uma dessas propriedades ajudará você a resolver problemas com graus mais rapidamente, além de evitar vários erros computacionais.

1ª propriedade.

Muitas pessoas muitas vezes se esquecem dessa propriedade, cometem erros, representando um número de grau zero como zero.

2ª propriedade.

3ª propriedade.

Deve-se lembrar que esta propriedade só pode ser usada na multiplicação de números, não funciona com a soma! E não devemos esquecer que esta e as seguintes propriedades se aplicam apenas a potências com a mesma base.

4ª propriedade.

Se o número no denominador for elevado a uma potência negativa, ao subtrair, o grau do denominador será considerado entre colchetes para substituir corretamente o sinal em cálculos adicionais.

A propriedade só funciona na divisão, não na subtração!

5ª propriedade.

6ª propriedade.

Esta propriedade também pode ser aplicada no sentido inverso. Uma unidade dividida por um número em algum grau é esse número a uma potência negativa.

7ª propriedade.

Esta propriedade não pode ser aplicada a soma e diferença! Ao elevar uma soma ou diferença a uma potência, são usadas fórmulas de multiplicação abreviadas, não as propriedades da potência.

8ª propriedade.

9ª propriedade.

Esta propriedade funciona para qualquer grau fracionário com numerador igual a um, a fórmula será a mesma, apenas o grau da raiz mudará dependendo do denominador do grau.

Além disso, essa propriedade é frequentemente usada na ordem inversa. A raiz de qualquer potência de um número pode ser representada como esse número elevado à potência de um dividido pela potência da raiz. Esta propriedade é muito útil nos casos em que a raiz do número não é extraída.

10ª propriedade.

Essa propriedade funciona não apenas com a raiz quadrada e o segundo grau. Se o grau da raiz e o grau em que esta raiz é elevada são os mesmos, então a resposta será uma expressão radical.

11ª propriedade.

Você precisa ser capaz de ver essa propriedade a tempo ao resolvê-la para evitar grandes cálculos.

12ª propriedade.

Cada uma dessas propriedades o atenderá mais de uma vez em tarefas, pode ser dada em sua forma pura, ou pode exigir algumas transformações e o uso de outras fórmulas. Portanto, para a solução correta, não basta conhecer apenas as propriedades, é preciso praticar e conectar o restante dos conhecimentos matemáticos.

Aplicação de graus e suas propriedades

Eles são usados ​​ativamente em álgebra e geometria. Licenciaturas em matemática têm um lugar separado e importante. Com a ajuda deles, equações e desigualdades exponenciais são resolvidas, assim como potências muitas vezes complicam equações e exemplos relacionados a outras seções da matemática. Os expoentes ajudam a evitar cálculos grandes e longos, é mais fácil reduzir e calcular os expoentes. Mas para trabalhar com grandes potências, ou com potências de grandes números, você precisa conhecer não apenas as propriedades do grau, mas também trabalhar com competência com as bases, ser capaz de decompô-las para facilitar sua tarefa. Por conveniência, você também deve saber o significado dos números elevados a uma potência. Isso reduzirá seu tempo na resolução, eliminando a necessidade de cálculos longos.

O conceito de grau desempenha um papel especial nos logaritmos. Já que o logaritmo, em essência, é a potência de um número.

Fórmulas de multiplicação abreviadas são outro exemplo do uso de potências. Eles não podem usar as propriedades dos graus, eles são decompostos de acordo com regras especiais, mas em cada fórmula de multiplicação abreviada há invariavelmente graus.

Graus também são usados ​​ativamente em física e ciência da computação. Todas as traduções para o sistema SI são feitas usando graus e, no futuro, ao resolver problemas, as propriedades do diploma são aplicadas. Na ciência da computação, as potências de dois são usadas ativamente, para a conveniência de contar e simplificar a percepção dos números. Cálculos adicionais para conversões de unidades de medida ou cálculos de problemas, assim como na física, ocorrem usando as propriedades do grau.

Os graus também são muito úteis em astronomia, onde raramente você pode encontrar o uso das propriedades de um grau, mas os próprios graus são usados ​​ativamente para encurtar o registro de várias quantidades e distâncias.

Graus também são usados ​​na vida cotidiana, ao calcular áreas, volumes, distâncias.

Com a ajuda de graus, valores muito grandes e muito pequenos são escritos em qualquer campo da ciência.

equações exponenciais e desigualdades

As propriedades de grau ocupam um lugar especial precisamente em equações e desigualdades exponenciais. Essas tarefas são muito comuns, tanto no curso escolar quanto nos exames. Todos eles são resolvidos aplicando as propriedades do grau. A incógnita está sempre no próprio grau, portanto, conhecendo todas as propriedades, não será difícil resolver tal equação ou desigualdade.

Como multiplicar poderes? Quais poderes podem ser multiplicados e quais não podem? Como se multiplica um número por uma potência?

Em álgebra, você pode encontrar o produto de potências em dois casos:

1) se os graus tiverem a mesma base;

2) se os graus têm os mesmos indicadores.

Ao multiplicar potências com a mesma base, a base deve permanecer a mesma e os expoentes devem ser adicionados:

Ao multiplicar graus com os mesmos indicadores, o indicador total pode ser retirado dos parênteses:

Considere como multiplicar potências, com exemplos específicos.

A unidade no expoente não é escrita, mas ao multiplicar os graus, eles levam em consideração:

Ao multiplicar, o número de graus pode ser qualquer um. Deve ser lembrado que você não pode escrever o sinal de multiplicação antes da letra:

Em expressões, a exponenciação é realizada primeiro.

Se você precisar multiplicar um número por uma potência, primeiro deve executar a exponenciação e só depois - a multiplicação:

www.algebraclass.ru

Adição, subtração, multiplicação e divisão de potências

Adição e subtração de potências

Obviamente, números com potências podem ser somados como outras quantidades , adicionando-os um a um com seus sinais.

Então, a soma de a 3 e b 2 é a 3 + b 2 .
A soma de a 3 - b n e h 5 -d 4 é a 3 - b n + h 5 - d 4.

Chances as mesmas potências das mesmas variáveis pode ser adicionado ou subtraído.

Então, a soma de 2a 2 e 3a 2 é 5a 2 .

Também é óbvio que se tomarmos dois quadrados a, ou três quadrados a, ou cinco quadrados a.

Mas graus várias variáveis e vários graus variáveis ​​idênticas, devem ser adicionados adicionando-os aos seus sinais.

Então, a soma de a 2 e a 3 é a soma de a 2 + a 3 .

É óbvio que o quadrado de a e o cubo de a não são duas vezes o quadrado de a, mas duas vezes o cubo de a.

A soma de a 3 b n e 3a 5 b 6 é a 3 b n + 3a 5 b 6 .

Subtração os poderes são executados da mesma maneira que a adição, exceto que os sinais do subtraendo devem ser alterados de acordo.

Ou:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3h 2 b 6 - 4h 2 b 6 \u003d -h 2 b 6
5(a - h) 6 - 2(a - h) 6 = 3(a - h) 6

Multiplicação de poder

Números com potências podem ser multiplicados como outras quantidades escrevendo-os um após o outro, com ou sem o sinal de multiplicação entre eles.

Então, o resultado da multiplicação de a 3 por b 2 é a 3 b 2 ou aaabb.

Ou:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y

O resultado no último exemplo pode ser ordenado adicionando as mesmas variáveis.
A expressão terá a forma: a 5 b 5 y 3 .

Ao comparar vários números (variáveis) com potências, podemos ver que se dois deles forem multiplicados, o resultado é um número (variável) com potência igual a soma graus de termos.

Assim, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .

Aqui 5 é a potência do resultado da multiplicação, igual a 2 + 3, a soma das potências dos termos.

Assim, a n .a m = a m+n .

Para a n , a é tomado como fator tantas vezes quanto a potência de n;

E a m , é tomado como fator tantas vezes quanto o grau m é igual a;

É por isso, potências com as mesmas bases podem ser multiplicadas pela adição dos expoentes.

Assim, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . E x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

Ou:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1

Multiplique (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Resposta: x 4 - y 4.
Multiplique (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

Esta regra também é verdadeira para números cujos expoentes são - negativo.

1. Assim, a -2 .a -3 = a -5 . Isso pode ser escrito como (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.

2. s-n .y-m = y-n-m .

3. a -n.am = am-n.

Se a + b for multiplicado por a - b, o resultado será a 2 - b 2: isto é

O resultado da multiplicação da soma ou diferença de dois números é igual à soma ou diferença de seus quadrados.

Se a soma e a diferença de dois números elevados a quadrado, o resultado será igual à soma ou diferença desses números em quarto grau.

Então, (a - y).(a + y) = a 2 - y 2 .
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4 .
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8 .

Divisão de graus

Números com potências podem ser divididos como outros números subtraindo do divisor ou colocando-os na forma de uma fração.

Então a 3 b 2 dividido por b 2 é a 3 .

Escrever um 5 dividido por um 3 se parece com $\frac $. Mas isso é igual a um 2 . Em uma série de números
a +4, a +3, a +2, a +1, a 0, a -1, a -2, a -3, a -4.
qualquer número pode ser dividido por outro, e o expoente será igual a diferença indicadores de números divisíveis.

Ao dividir potências com a mesma base, seus expoentes são subtraídos..

Então, y 3:y 2 = y 3-2 = y 1 . Ou seja, $\frac = y$.

E a n+1:a = a n+1-1 = a n . Ou seja, $\frac = a^n$.

Ou:
a2m: aa = aa
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b + y) n-3

A regra também é válida para números com negativo valores de grau.
O resultado da divisão de um -5 por um -3 é um -2.
Além disso, $\frac: \frac = \frac .\frac = \frac = \frac $.

h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 ou $h^2:\frac = h^2.\frac = h^3$

É necessário dominar muito bem a multiplicação e a divisão de potências, pois tais operações são muito utilizadas em álgebra.

Exemplos de resolução de exemplos com frações contendo números com potências

1. Reduza os expoentes em $\frac $ Resposta: $\frac $.

2. Reduza os expoentes em $\frac$. Resposta: $\frac $ ou 2x.

3. Reduza os expoentes a 2 / a 3 e a -3 / a -4 e leve a um denominador comum.
a 2 .a -4 é um primeiro numerador -2.
a 3 .a -3 é a 0 = 1, o segundo numerador.
a 3 .a -4 é a -1 , o numerador comum.
Após simplificação: a -2 /a -1 e 1/a -1 .

4. Reduza os expoentes 2a 4 /5a 3 e 2 /a 4 e leve a um denominador comum.
Resposta: 2a 3 / 5a 7 e 5a 5 / 5a 7 ou 2a 3 / 5a 2 e 5/5a 2.

5. Multiplique (a 3 + b)/b 4 por (a - b)/3.

6. Multiplique (a 5 + 1)/x 2 por (b 2 - 1)/(x + a).

7. Multiplique b 4 /a -2 por h -3 /x e a n /y -3 .

8. Divida 4 /y 3 por 3 /y 2 . Resposta: a/s.

propriedades de grau

Lembramos que nesta lição entendemos propriedades de grau com indicadores naturais e zero. Graus com indicadores racionais e suas propriedades serão discutidos nas aulas para a 8ª série.

Um expoente com um expoente natural tem várias propriedades importantes que permitem simplificar os cálculos em exemplos de expoentes.

Propriedade nº 1
Produto de poderes

Ao multiplicar potências com a mesma base, a base permanece inalterada e os expoentes são adicionados.

a m a n \u003d a m + n, onde "a" é qualquer número e "m", "n" são quaisquer números naturais.

Esta propriedade das potências também afeta o produto de três ou mais potências.

Simplifique a expressão.
b b 2 b 3 b 4 b 5 = b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b 15

Apresentar como um grau.
6 15 36 = 6 15 6 2 = 6 15 6 2 = 6 17

Apresentar como um grau.
(0,8) 3 (0,8) 12 = (0,8) 3 + 12 = (0,8) 15

Observe que na propriedade indicada tratava-se apenas de multiplicar potências com as mesmas bases.. Não se aplica à sua adição.

Você não pode substituir a soma (3 3 + 3 2) por 3 5 . Isso é compreensível se
calcule (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36 e 3 5 = 243

Propriedade #2
Graus particulares

Ao dividir potências com a mesma base, a base permanece inalterada e o expoente do divisor é subtraído do expoente do dividendo.

Escreva o quociente como uma potência
(2b) 5: (2b) 3 = (2b) 5 − 3 = (2b) 2

Calcular.

11 3 - 2 4 2 - 1 = 11 4 = 44
Exemplo. Resolva a equação. Usamos a propriedade de graus parciais.
3 8: t = 3 4

Resposta: t = 3 4 = 81

Usando as propriedades No. 1 e No. 2, você pode simplificar facilmente as expressões e realizar cálculos.

Exemplo. Simplifique a expressão.
4 5m + 6 4 m + 2: 4 4m + 3 = 4 5m + 6 + m + 2: 4 4m + 3 = 4 6m + 8 − 4m − 3 = 4 2m + 5

Exemplo. Encontre o valor de uma expressão usando propriedades de grau.

2 11 − 5 = 2 6 = 64

Observe que a propriedade 2 tratou apenas da divisão de poderes com as mesmas bases.

Você não pode substituir a diferença (4 3 −4 2) por 4 1 . Isso é compreensível se você calcular (4 3 −4 2) = (64 − 16) = 48 e 4 1 = 4

Propriedade nº 3
Exponenciação

Ao elevar uma potência a uma potência, a base da potência permanece inalterada e os expoentes são multiplicados.

(a n) m \u003d a n m, onde "a" é qualquer número e "m", "n" são quaisquer números naturais.

Observe que a propriedade nº 4, como outras propriedades de graus, também é aplicada na ordem inversa.

(a n b n)= (a b) n

Ou seja, para multiplicar graus com os mesmos expoentes, você pode multiplicar as bases e deixar o expoente inalterado.

Exemplo. Calcular.
2 4 5 4 = (2 5) 4 = 10 4 = 10.000

Exemplo. Calcular.
0,5 16 2 16 = (0,5 2) 16 = 1

Em exemplos mais complexos, pode haver casos em que a multiplicação e a divisão devem ser realizadas em potências com diferentes bases e diferentes expoentes. Nesse caso, recomendamos que você faça o seguinte.

Por exemplo, 4 5 3 2 = 4 3 4 2 3 2 = 4 3 (4 3) 2 = 64 12 2 = 64 144 = 9216

Exemplo de exponenciação de uma fração decimal.

4 21 (−0,25) 20 = 4 4 20 (−0,25) 20 = 4 (4 (−0,25)) 20 = 4 (−1) 20 = 4 1 = quatro

Propriedades 5
Potência do quociente (frações)

Para elevar um quociente a uma potência, você pode elevar o dividendo e o divisor separadamente a essa potência e dividir o primeiro resultado pelo segundo.

(a: b) n \u003d a n: b n, onde "a", "b" são quaisquer números racionais, b ≠ 0, n é qualquer número natural.

Exemplo. Expresse a expressão como potências parciais.
(5: 3) 12 = 5 12: 3 12

Lembramos que um quociente pode ser representado como uma fração. Portanto, vamos nos deter no tópico de elevar uma fração a uma potência com mais detalhes na próxima página.

Graus e raízes

Operações com potências e raízes. Grau com negativo ,

zero e fracionário indicador. Sobre expressões que não fazem sentido.

Operações com graus.

1. Ao multiplicar potências com a mesma base, seus indicadores são somados:

sou · a n = a m + n .

2. Ao dividir graus com a mesma base, seus indicadores subtraído .

3. O grau do produto de dois ou mais fatores é igual ao produto dos graus desses fatores.

4. O grau da razão (fração) é igual à razão dos graus do dividendo (numerador) e divisor (denominador):

(a/b) n = a n / b n .

5. Ao elevar um grau a um poder, seus indicadores são multiplicados:

Todas as fórmulas acima são lidas e executadas em ambas as direções da esquerda para a direita e vice-versa.

EXEMPLO (2 3 5 / 15)² = 2 ² 3 ² 5 ² / 15 ² = 900 / 225 = 4 .

Operações com raízes. Em todas as fórmulas abaixo, o símbolo significa raiz aritmética(a expressão radical é positiva).

1. A raiz do produto de vários fatores é igual ao produto das raízes desses fatores:

2. A raiz da razão é igual à razão das raízes do dividendo e do divisor:

3. Ao elevar uma raiz a uma potência, basta elevar a esta potência número da raiz:

4. Se você aumentar o grau da raiz em m vezes e simultaneamente aumentar o número da raiz para o m -th grau, o valor da raiz não será alterado:

5. Se você reduzir o grau da raiz em m vezes e ao mesmo tempo extrair a raiz do m-ésimo grau do número radical, o valor da raiz não será alterado:

Extensão do conceito de grau. Até agora, consideramos graus apenas com um indicador natural; mas as operações com poderes e raízes também podem levar a negativo, zero e fracionário indicadores. Todos esses expoentes requerem uma definição adicional.

Grau com expoente negativo. A potência de algum número com um expoente negativo (inteiro) é definida como um dividido pela potência do mesmo número com um expoente igual ao valor absoluto do expoente negativo:

Agora a fórmula sou : um = um m-n pode ser usado não só para m, mais do que n, mas também em m, Menor que n .

EXEMPLO uma 4: uma 7 = um 4 — 7 = um — 3 .

Se queremos a fórmula sou : um = sou — n foi justo em m = n, precisamos de uma definição do grau zero.

Grau com expoente zero. O grau de qualquer número diferente de zero com expoente zero é 1.

EXEMPLOS. 2 0 = 1, ( – 5) 0 = 1, (– 3 / 5) 0 = 1.

Um grau com um expoente fracionário. Para elevar um número real a à potência m / n, você precisa extrair a raiz do n-ésimo grau da m-ésima potência desse número a:

Sobre expressões que não fazem sentido. Existem várias dessas expressões.

Onde uma ≠ 0 , não existe.

Com efeito, se assumirmos que xé um certo número, então, de acordo com a definição da operação de divisão, temos: uma = 0· x, ou seja uma= 0, o que contradiz a condição: uma ≠ 0

— qualquer número.

De fato, se assumirmos que esta expressão é igual a algum número x, então de acordo com a definição da operação de divisão temos: 0 = 0 x. Mas essa igualdade vale para qualquer número x, que deveria ser provado.

0 0 — qualquer número.

Solução. Considere três casos principais:

1) x = 0 – este valor não satisfaz esta equação

2) quando x> 0 temos: x / x= 1, ou seja 1 = 1, de onde segue,

o que x- qualquer número; mas tendo em conta que

nosso caso x> 0, a resposta é x > 0 ;

Regras para multiplicar potências com bases diferentes

GRADUAÇÃO COM UM INDICADOR RACIONAL,

FUNÇÃO DE ENERGIA IV

§ 69. Multiplicação e divisão de poderes com as mesmas bases

Teorema 1. Para multiplicar potências com as mesmas bases, basta somar os expoentes, e deixar a base igual, ou seja

Prova. Por definição de grau

2 2 2 3 = 2 5 = 32; (-3) (-3) 3 = (-3) 4 = 81.

Consideramos o produto de duas potências. De fato, a propriedade provada é verdadeira para qualquer número de potências com as mesmas bases.

Teorema 2. Para dividir potências com as mesmas bases, quando o indicador do dividendo for maior que o indicador do divisor, basta subtrair o indicador do divisor do indicador do dividendo, e deixar a base igual, ou seja no t > n

(uma =/= 0)

Prova. Lembre-se que o quociente da divisão de um número por outro é o número que, quando multiplicado por um divisor, dá o dividendo. Portanto, prove a fórmula , onde uma =/= 0, é como provar a fórmula

Se um t > n , então o número t-p será natural; portanto, pelo Teorema 1

O teorema 2 está provado.

Observe que a fórmula

provado por nós apenas sob a suposição de que t > n . Portanto, do que foi comprovado, ainda não é possível tirar, por exemplo, as seguintes conclusões:

Além disso, ainda não consideramos graus com expoentes negativos e ainda não sabemos que significado pode ser dado à expressão 3 - 2 .

Teorema 3. Para elevar uma potência a uma potência, basta multiplicar os expoentes, deixando a base do expoente a mesma, isso é

Prova. Usando a definição de grau e o Teorema 1 desta seção, temos:

Q.E.D.

Por exemplo, (2 3) 2 = 2 6 = 64;

518 (Oral.) Determinar X das equações:

1) 2 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6 = 2 x ; 3) 4 2 4 4 4 6 4 8 4 10 = 2 x ;

2) 3 3 3 3 5 3 7 3 9 = 3 x ; 4) 1 / 5 1 / 25 1 / 125 1 / 625 = 1 / 5 x .

519. (Ajustado) Simplifique:

520. (Ajustado) Simplifique:

521. Apresente essas expressões como graus com as mesmas bases:

1) 32 e 64; 3) 85 e 163; 5) 4 100 e 32 50;

2) -1000 e 100; 4) -27 e -243; 6) 81 75 8 200 e 3 600 4 150.