Hoje vamos falar sobre fórmulas logarítmicas e dar demonstração exemplos de soluções.

Por si só, eles implicam padrões de solução de acordo com as propriedades básicas dos logaritmos. Antes de aplicar as fórmulas de logaritmo à solução, lembramos para você, primeiro, todas as propriedades:

Agora, com base nessas fórmulas (propriedades), mostramos exemplos de resolução de logaritmos.

Exemplos de resolução de logaritmos com base em fórmulas.

Logaritmo um número positivo b na base a (denominado log a b) é o expoente ao qual a deve ser elevado para obter b, com b > 0, a > 0 e 1.

De acordo com a definição log a b = x, que é equivalente a a x = b, então log a a x = x.

Logaritmos, exemplos:

log 2 8 = 3, porque 2 3 = 8

log 7 49 = 2 porque 7 2 = 49

log 5 1/5 = -1, porque 5 -1 = 1/5

logaritmo decimalé um logaritmo comum, cuja base é 10. Denotado como lg.

log 10 100 = 2 porque 10 2 = 100

Logaritmo natural- também o logaritmo usual, mas com a base e (e \u003d 2.71828 ... - um número irracional). Referido como ln.

É desejável lembrar as fórmulas ou propriedades dos logaritmos, porque precisaremos delas mais tarde ao resolver logaritmos, equações logarítmicas e desigualdades. Vamos trabalhar com cada fórmula novamente com exemplos.

• Identidade logarítmica básica
  a log a b = b

  8 2log 8 3 = (8 2log 8 3) 2 = 3 2 = 9

• O logaritmo do produto é igual à soma dos logaritmos
  log a (bc) = log a b + log a c

  log 3 8,1 + log 3 10 = log 3 (8,1*10) = log 3 81 = 4

• O logaritmo do quociente é igual à diferença dos logaritmos
  log a (b/c) = log a b - log a c

  9 log 5 50 /9 log 5 2 = 9 log 5 50- log 5 2 = 9 log 5 25 = 9 2 = 81

• Propriedades do grau de um número logarítmico e da base do logaritmo

  O expoente de um número logarítmico log a b m = mlog a b

  Expoente da base do logaritmo log a n b =1/n*log a b

  log a n b m = m/n*log a b,

  se m = n, obtemos log a n b n = log a b

  log 4 9 = log 2 2 3 2 = log 2 3

• Transição para uma nova fundação
  log a b = log c b / log c a,

  se c = b, obtemos log b b = 1

  então log a b = 1/log b a

  log 0,8 3*log 3 1,25 = log 0,8 3*log 0,8 1,25/log 0,8 3 = log 0,8 1,25 = log 4/5 5/4 = -1

Como você pode ver, as fórmulas de logaritmo não são tão complicadas quanto parecem. Agora, tendo considerado exemplos de resolução de logaritmos, podemos passar para equações logarítmicas. Consideraremos exemplos de resolução de equações logarítmicas com mais detalhes no artigo: "". Não perca!

Se você ainda tiver dúvidas sobre a solução, escreva-as nos comentários do artigo.

Nota: decidiu obter uma educação de outra classe estudar no exterior como opção.

Com o desenvolvimento da sociedade, a complexidade da produção, a matemática também se desenvolveu. Movimento do simples ao complexo. Do método contábil usual de adição e subtração, com sua repetição repetida, chegaram ao conceito de multiplicação e divisão. A redução da operação de repetição múltipla tornou-se o conceito de exponenciação. As primeiras tabelas da dependência dos números na base e do número de exponenciação foram compiladas no século VIII pelo matemático indiano Varasena. A partir deles, você pode contar o tempo de ocorrência dos logaritmos.

Contorno histórico

O renascimento da Europa no século XVI também estimulou o desenvolvimento da mecânica. T exigiu uma grande quantidade de computação associado à multiplicação e divisão de números de vários dígitos. As mesas antigas fizeram um ótimo serviço. Eles tornaram possível substituir operações complexas por outras mais simples - adição e subtração. Um grande passo à frente foi o trabalho do matemático Michael Stiefel, publicado em 1544, no qual ele percebeu a ideia de muitos matemáticos. Isso tornou possível usar tabelas não apenas para graus na forma de números primos, mas também para racionais arbitrários.

Em 1614, o escocês John Napier, desenvolvendo essas ideias, introduziu pela primeira vez o novo termo "logaritmo de um número". Novas tabelas complexas foram compiladas para calcular os logaritmos de senos e cossenos, bem como tangentes. Isso reduziu muito o trabalho dos astrônomos.

Novas tabelas começaram a aparecer, que foram usadas com sucesso pelos cientistas por três séculos. Muito tempo se passou antes que a nova operação em álgebra adquirisse sua forma final. O logaritmo foi definido e suas propriedades estudadas.

Somente no século XX, com o advento da calculadora e do computador, a humanidade abandonou as antigas tabelas que vinham operando com sucesso ao longo do século XIII.

Hoje chamamos o logaritmo de b para basear a o número x, que é a potência de a, para obter o número b. Isto é escrito como uma fórmula: x = log a(b).

Por exemplo, log 3(9) será igual a 2. Isso é óbvio se você seguir a definição. Se elevarmos 3 à potência de 2, obtemos 9.

Assim, a definição formulada coloca apenas uma restrição, os números aeb devem ser reais.

Variedades de logaritmos

A definição clássica é chamada de logaritmo real e é na verdade uma solução para a equação a x = b. A opção a = 1 é limítrofe e não tem interesse. Nota: 1 para qualquer potência é 1.

Valor real do logaritmo definido somente se a base e o argumento forem maiores que 0, e a base não deve ser igual a 1.

Lugar especial no campo da matemática jogar logaritmos, que serão nomeados dependendo do valor de sua base:

Regras e restrições

A propriedade fundamental dos logaritmos é a regra: o logaritmo de um produto é igual à soma logarítmica. log abp = log a(b) + log a(p).

Como variante desta declaração, será: log c (b / p) \u003d log c (b) - log c (p), a função quociente é igual à diferença das funções.

É fácil ver pelas duas regras anteriores que: log a(b p) = p * log a(b).

Outras propriedades incluem:

Comente. Não cometa um erro comum - o logaritmo da soma não é igual à soma dos logaritmos.

Por muitos séculos, a operação de encontrar o logaritmo era uma tarefa bastante demorada. Os matemáticos usaram a conhecida fórmula da teoria logarítmica da expansão em um polinômio:

ln (1 + x) = x - (x^2)/2 + (x^3)/3 - (x^4)/4 + ... + ((-1)^(n + 1))* ((x^n)/n), onde n é um número natural maior que 1, que determina a precisão do cálculo.

Os logaritmos com outras bases foram calculados usando o teorema da transição de uma base para outra e a propriedade do logaritmo do produto.

Como este método é muito trabalhoso e ao resolver problemas práticos difícil de implementar, eles usaram tabelas pré-compiladas de logaritmos, o que acelerou muito todo o trabalho.

Em alguns casos, foram usados ​​gráficos de logaritmos especialmente compilados, que davam menos precisão, mas agilizavam significativamente a busca pelo valor desejado. A curva da função y = log a(x), construída em vários pontos, permite usar a régua usual para encontrar os valores da função em qualquer outro ponto. Por muito tempo, os engenheiros usaram o chamado papel milimetrado para esses fins.

No século XVII, surgiram as primeiras condições auxiliares de computação analógica, que no século XIX adquiriram uma forma acabada. O dispositivo de maior sucesso foi chamado de régua de cálculo. Apesar da simplicidade do dispositivo, sua aparência acelerou significativamente o processo de todos os cálculos de engenharia, e isso é difícil de superestimar. Atualmente, poucas pessoas estão familiarizadas com este dispositivo.

O advento de calculadoras e computadores tornou inútil o uso de quaisquer outros dispositivos.

Equações e desigualdades

As seguintes fórmulas são usadas para resolver várias equações e desigualdades usando logaritmos:

• Transição de uma base para outra: log a(b) = log c(b) / log c(a);
• Como consequência da versão anterior: log a(b) = 1 / log b(a).

Para resolver inequações, é útil saber:

• O valor do logaritmo só será positivo se tanto a base quanto o argumento forem maiores ou menores que um; se pelo menos uma condição for violada, o valor do logaritmo será negativo.
• Se a função logarítmica for aplicada aos lados direito e esquerdo da desigualdade e a base do logaritmo for maior que um, o sinal da desigualdade será preservado; caso contrário, ele muda.

Exemplos de tarefas

Considere várias opções para usar logaritmos e suas propriedades. Exemplos com resolução de equações:

Considere a opção de colocar o logaritmo no grau:

• Tarefa 3. Calcule 25^log 5(3). Solução: nas condições do problema, a notação é semelhante à seguinte (5^2)^log5(3) ou 5^(2 * log 5(3)). Vamos escrever de forma diferente: 5^log 5(3*2), ou o quadrado de um número como argumento de função pode ser escrito como o quadrado da própria função (5^log 5(3))^2. Usando as propriedades dos logaritmos, essa expressão é 3^2. Resposta: como resultado do cálculo, obtemos 9.

Uso pratico

Sendo uma ferramenta puramente matemática, parece muito distante da vida real que o logaritmo de repente se tornou de grande importância na descrição de objetos no mundo real. É difícil encontrar uma ciência onde ela não seja usada. Isso se aplica plenamente não apenas aos campos de conhecimento naturais, mas também às humanidades.

Dependências logarítmicas

Aqui estão alguns exemplos de dependências numéricas:

Mecânica e física

Historicamente, a mecânica e a física sempre se desenvolveram usando métodos de pesquisa matemática e ao mesmo tempo serviram de incentivo para o desenvolvimento da matemática, incluindo os logaritmos. A teoria da maioria das leis da física está escrita na linguagem da matemática. Damos apenas dois exemplos da descrição das leis físicas usando o logaritmo.

É possível resolver o problema de calcular uma quantidade tão complexa como a velocidade de um foguete usando a fórmula de Tsiolkovsky, que lançou as bases para a teoria da exploração espacial:

V = I * ln(M1/M2), onde

• V é a velocidade final da aeronave.
• I é o impulso específico do motor.
• M 1 é a massa inicial do foguete.
• M 2 - massa final.

Outro exemplo importante- este é o uso na fórmula de outro grande cientista, Max Planck, que serve para avaliar o estado de equilíbrio na termodinâmica.

S = k * ln (Ω), onde

• S é uma propriedade termodinâmica.
• k é a constante de Boltzmann.
• Ω é o peso estatístico de diferentes estados.

Química

Menos óbvio seria o uso de fórmulas em química contendo a razão de logaritmos. Aqui estão apenas dois exemplos:

• A equação de Nernst, a condição do potencial redox do meio em relação à atividade das substâncias e a constante de equilíbrio.
• O cálculo de constantes como o índice de autoprólise e a acidez da solução também não está completo sem nossa função.

Psicologia e biologia

E é completamente incompreensível o que a psicologia tem a ver com isso. Acontece que a força da sensação é bem descrita por esta função como a razão inversa do valor da intensidade do estímulo para o valor da intensidade mais baixa.

Após os exemplos acima, não é mais surpreendente que o tema dos logaritmos também seja amplamente utilizado na biologia. Volumes inteiros podem ser escritos sobre formas biológicas correspondentes a espirais logarítmicas.

Outras áreas

Parece que a existência do mundo é impossível sem conexão com essa função, e ela rege todas as leis. Especialmente quando as leis da natureza estão ligadas a uma progressão geométrica. Vale a pena consultar o site MatProfi, e existem muitos exemplos desse tipo nas seguintes áreas de atividade:

A lista poderia ser interminável. Tendo dominado as leis básicas desta função, você pode mergulhar no mundo da sabedoria infinita.

Sua privacidade é importante para nós. Por esse motivo, desenvolvemos uma Política de Privacidade que descreve como usamos e armazenamos suas informações. Por favor, leia nossa política de privacidade e deixe-nos saber se você tiver alguma dúvida.

Coleta e uso de informações pessoais

Informações pessoais referem-se a dados que podem ser usados ​​para identificar ou contatar uma pessoa específica.

Você pode ser solicitado a fornecer suas informações pessoais a qualquer momento quando entrar em contato conosco.

A seguir estão alguns exemplos dos tipos de informações pessoais que podemos coletar e como podemos usar essas informações.

Quais informações pessoais coletamos:

• Quando você envia uma inscrição no site, podemos coletar várias informações, incluindo seu nome, número de telefone, endereço de e-mail etc.

Como usamos suas informações pessoais:

• As informações pessoais que coletamos nos permitem entrar em contato com você e informá-lo sobre ofertas exclusivas, promoções e outros eventos e eventos futuros.
• De tempos em tempos, podemos usar suas informações pessoais para enviar avisos e mensagens importantes.
• Também podemos usar informações pessoais para fins internos, como realizar auditorias, análise de dados e várias pesquisas para melhorar os serviços que prestamos e fornecer recomendações sobre nossos serviços.
• Se você participar de um sorteio, concurso ou incentivo semelhante, poderemos usar as informações fornecidas para administrar tais programas.

Divulgação a terceiros

Não divulgamos informações recebidas de você a terceiros.

Exceções:

• Caso seja necessário - de acordo com a lei, ordem judicial, em processos judiciais e / ou com base em solicitações públicas ou solicitações de órgãos estatais no território da Federação Russa - divulgue suas informações pessoais. Também podemos divulgar informações sobre você se determinarmos que tal divulgação é necessária ou apropriada por motivos de segurança, aplicação da lei ou outros motivos de interesse público.
• No caso de uma reorganização, fusão ou venda, podemos transferir as informações pessoais que coletamos para o sucessor terceirizado relevante.

Proteção de informações pessoais

Tomamos precauções - incluindo administrativas, técnicas e físicas - para proteger suas informações pessoais contra perda, roubo e uso indevido, bem como contra acesso, divulgação, alteração e destruição não autorizados.

Mantendo sua privacidade no nível da empresa

Para garantir que suas informações pessoais estejam seguras, comunicamos práticas de privacidade e segurança aos nossos funcionários e aplicamos rigorosamente as práticas de privacidade.

O que é um logaritmo?

Atenção!
Existem adicionais
material na Seção Especial 555.
Para aqueles que fortemente "não muito..."
E para aqueles que "muito...")

O que é um logaritmo? Como resolver logaritmos? Essas perguntas confundem muitos graduados. Tradicionalmente, o tema dos logaritmos é considerado complexo, incompreensível e assustador. Especialmente - equações com logaritmos.

Isso absolutamente não é verdade. Absolutamente! Não acredito? Bom. Agora, por cerca de 10 a 20 minutos você:

1. Entenda o que é um logaritmo.

2. Aprenda a resolver toda uma classe de equações exponenciais. Mesmo que você não tenha ouvido falar deles.

3. Aprenda a calcular logaritmos simples.

Além disso, para isso você só precisará conhecer a tabuada e como um número é elevado a uma potência...

Eu sinto que você duvida ... Bem, mantenha o tempo! Vai!

Primeiro, resolva mentalmente a seguinte equação:

Se você gosta deste site...

A propósito, tenho mais alguns sites interessantes para você.)

Você pode praticar a resolução de exemplos e descobrir seu nível. Testes com verificação instantânea. Aprendendo - com interesse!)

você pode se familiarizar com funções e derivadas.

Vamos começar com propriedades do logaritmo da unidade. Sua formulação é a seguinte: o logaritmo da unidade é igual a zero, ou seja, registrar um 1=0 para qualquer a>0, a≠1. A prova é direta: como a 0 = 1 para qualquer a que satisfaça as condições acima a>0 e a≠1 , então a igualdade provada log a 1=0 segue imediatamente da definição do logaritmo.

Vamos dar exemplos de aplicação da propriedade considerada: log 3 1=0 , lg1=0 e .

Vamos para a próxima propriedade: o logaritmo de um número igual à base é igual a um, isso é, log a a = 1 para a>0, a≠1. De fato, como a 1 =a para qualquer a , então pela definição do logaritmo log a a=1 .

Exemplos de uso desta propriedade de logaritmos são log 5 5=1 , log 5.6 5.6 e lne=1 .

Por exemplo, log 2 2 7 =7 , log10 -4 =-4 e .

Logaritmo do produto de dois números positivos x e y é igual ao produto dos logaritmos desses números: log a (x y) = log a x + log a y, a>0, a≠1. Vamos provar a propriedade do logaritmo do produto. Pelas propriedades do grau a log a x + log a y = a log a x a log a y, e como pela identidade logarítmica principal a log a x = x e a log a y = y , então a log a x a log a y = x y . Assim, a log a x+log a y =x y , de onde a igualdade requerida segue pela definição do logaritmo.

Vamos mostrar exemplos de uso da propriedade do logaritmo do produto: log 5 (2 3)=log 5 2+log 5 3 e .

A propriedade do logaritmo do produto pode ser generalizada para o produto de um número finito n de números positivos x 1 , x 2 , …, x n como log a (x 1 x 2 ... x n)= log a x 1 + log a x 2 +…+ log a x n . Essa igualdade é facilmente provada.

Por exemplo, o logaritmo natural de um produto pode ser substituído pela soma de três logaritmos naturais dos números 4 , e , e .

Logaritmo do quociente de dois números positivos xey é igual à diferença entre os logaritmos desses números. A propriedade do logaritmo do quociente corresponde a uma fórmula da forma , onde a>0 , a≠1 , xey são alguns números positivos. A validade desta fórmula é provada como a fórmula do logaritmo do produto: uma vez que , então pela definição do logaritmo .

Aqui está um exemplo de uso desta propriedade do logaritmo: .

Vamos seguir para propriedade do logaritmo do grau. O logaritmo de um grau é igual ao produto do expoente pelo logaritmo do módulo da base deste grau. Escrevemos esta propriedade do logaritmo do grau na forma de uma fórmula: log a b p =p log a |b|, onde a>0 , a≠1 , b e p são números tais que o grau de b p faz sentido e b p >0 .

Primeiro provamos esta propriedade para b positivo. A identidade logarítmica básica nos permite representar o número b como a log a b , então b p =(a log a b) p , e a expressão resultante, devido à propriedade da potência, é igual a a p log a b . Assim chegamos à igualdade b p = a p log a b , da qual, pela definição do logaritmo, concluímos que log a b p =p log a b .

Resta provar esta propriedade para b negativo. Aqui notamos que a expressão log a b p para b negativo faz sentido apenas para expoentes pares p (já que o valor do grau b p deve ser maior que zero, caso contrário o logaritmo não fará sentido), e neste caso b p =|b| p. Então bp =|b| p =(a log a |b|) p =a p log a |b|, de onde log a b p =p log a |b| .

Por exemplo, e ln(-3) 4 =4 ln|-3|=4 ln3 .

Segue da propriedade anterior propriedade do logaritmo da raiz: o logaritmo da raiz do grau n é igual ao produto da fração 1/n e o logaritmo da expressão raiz, ou seja, , onde a>0 , a≠1 , n é um número natural maior que um, b>0 .

A prova é baseada na igualdade (ver ), que é válida para qualquer b positivo, e na propriedade do logaritmo do grau: .

Aqui está um exemplo de uso desta propriedade: .

Agora vamos provar fórmula de conversão para a nova base do logaritmo Gentil . Para isso, basta provar a validade da igualdade log c b=log a b log c a . A identidade logarítmica básica nos permite representar o número b como a log a b , então log c b=log c a log a b . Resta usar a propriedade do logaritmo do grau: log c a log a b = log a b log c a. Assim, fica provada a igualdade log c b=log a b log c a, o que significa que também está provada a fórmula de transição para uma nova base do logaritmo.

Vamos mostrar alguns exemplos de aplicação dessa propriedade dos logaritmos: e .

A fórmula para mudar para uma nova base permite que você passe a trabalhar com logaritmos que tenham uma base “conveniente”. Por exemplo, ele pode ser usado para alternar para logaritmos naturais ou decimais para que você possa calcular o valor do logaritmo a partir da tabela de logaritmos. A fórmula para a transição para uma nova base do logaritmo também permite em alguns casos encontrar o valor de um determinado logaritmo, quando são conhecidos os valores de alguns logaritmos com outras bases.

Frequentemente usado é um caso especial da fórmula para a transição para uma nova base do logaritmo para c=b da forma . Isso mostra que log a b e log b a – . Por exemplo, .

Também é frequentemente usada a fórmula , que é útil para encontrar valores logarítmicos. Para confirmar nossas palavras, mostraremos como o valor do logaritmo do formulário é calculado usando-o. Nós temos . Para provar a fórmula basta usar a fórmula de transição para a nova base do logaritmo a: .

Resta provar as propriedades de comparação dos logaritmos.

Vamos provar que para quaisquer números positivos b 1 e b 2 , b 1 log a b 2 , e para a>1, a desigualdade log a b 1

Finalmente, resta provar a última das propriedades listadas dos logaritmos. Limitamo-nos a provar a sua primeira parte, isto é, provamos que se a 1 >1 , a 2 >1 e a 1 1 é verdadeiro log a 1 b> log a 2 b . As declarações restantes desta propriedade dos logaritmos são provadas por um princípio semelhante.

Vamos usar o método oposto. Suponha que para a 1 > 1 , a 2 > 1 e a 1 1 log a 1 b≤log a 2 b é verdadeiro. Pelas propriedades dos logaritmos, essas desigualdades podem ser reescritas como e respectivamente, e deles segue que log b a 1 ≤log b a 2 e log b a 1 ≥log b a 2, respectivamente. Então, pelas propriedades das potências de mesmas bases, as igualdades b log b a 1 ≥b log b a 2 e b log b a 1 ≥b log b a 2 devem ser satisfeitas, ou seja, a 1 ≥a 2 . Assim, chegamos a uma contradição com a condição a 1

Bibliografia.

• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. e outros Álgebra e os primórdios da análise: um livro-texto para as séries 10-11 de instituições educacionais gerais.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matemática (um manual para candidatos a escolas técnicas).