O cálculo das coordenadas de algum ponto C, que divide o segmento AB dado em uma certa razão, pode ser realizado usando as fórmulas:
хС = (хА + λхВ) / (1 + λ), уС = (уА + λуВ) / (1 + λ),
onde (xA; yA) e (xB; yB) são as coordenadas das extremidades do segmento AB dado; o número λ \u003d AC / CB é a razão na qual o segmento AB é dividido pelo ponto C, que possui coordenadas (xC; yC).
Se o segmento AB for dividido pelo ponto C ao meio, o número λ \u003d 1 e as fórmulas para xC e yC terão a forma:
xC = (xA + xB)/2, yC = (yA + yB)/2.
Deve-se ter em mente que nas tarefas λ é a razão dos comprimentos dos segmentos e, portanto, os números incluídos nessa razão não são os comprimentos dos próprios segmentos em uma determinada unidade de medida. Por exemplo, AC = 12 cm, CB = 16 cm: λ = AC/CB = 12 cm / 16 cm = 3/4.
1. Procure as coordenadas do meio de um determinado segmento, de acordo com as coordenadas dadas de suas extremidades
Exemplo 1
Os pontos A (-2; 3) e B (6; -9) são as extremidades do segmento AB. Encontre o ponto C, que é o ponto médio do segmento AB.
Solução.
Na condição do problema, especifica-se que xA = -2; xB = 6; yA = 3 e yB = -9. É necessário encontrar C(xC; yC).
Aplicando as fórmulas xC = (xA + xB)/2, yC = (yA + yB)/2, obtemos:
xC \u003d (-2 + 6) / 2 \u003d 2, yC \u003d (3 + (-9)) / 2 \u003d -3.
Assim, o ponto C, que é o ponto médio do segmento AB, tem coordenadas (-2; 3) (Figura 1).
2. Cálculo das coordenadas do final de um determinado segmento, conhecendo as coordenadas do seu meio e outro extremo
Exemplo 2
Uma extremidade do segmento AB é o ponto A, com coordenadas (-3; -5), e seu ponto médio é o ponto C (3; -2). Calcule as coordenadas da segunda extremidade do segmento - ponto B.
Solução.
De acordo com a condição do problema, fica claro que xA = -3; yA = -5; xC = 3 e yC = -2.
Substituindo esses valores nas fórmulas xC = (xA + xB)/2, yC = (yA + yB)/2, temos:
3 = (-3 + xB)/2 e
2 \u003d (-5 + uV) / 2.
Resolvendo a primeira equação para xB e a segunda para yB, encontramos: xB = 9 e yB = 1, verifica-se que o ponto desejado B será dado pelas coordenadas (9; 1) (Figura 2).
3. Cálculo das coordenadas dos vértices de um determinado triângulo de acordo com as coordenadas dadas dos pontos médios de seus lados
Exemplo 3
Os pontos médios dos lados do triângulo ABC são os pontos D(1; 3), E(-1; -2) e F(4; -1). Encontre as coordenadas dos vértices A, B e C do triângulo dado.
Solução.
Seja o ponto D o ponto médio do lado AB, o ponto E o ponto médio de BC e o ponto F o ponto médio do lado AC (Fig. 3). Encontre os pontos A, B e C.
Denotamos os vértices do triângulo como A (xA; yA), B (xB; yB) e C (xC; yC) e conhecendo as coordenadas dos pontos D, E e F, de acordo com as fórmulas xC \u003d (xA + xB) / 2, yC \u003d (yA + uV)/2 obtemos:
(1 = (xA + xB)/2, 
(-1 \u003d (xB + xC) / 2,
(4 \u003d (xA + xC) / 2,
(3 \u003d (uA + uB) / 2,
(-2 \u003d (uV + uS) / 2,
(-1 \u003d (yA + yC) / 2.
Trazemos as equações para uma forma inteira:
(xA + xB = 2,
(xB + xC = -2,
(xA + xC = 8,
(uA + uB = 6,
(uV + yC = -4,
(uA + yC = -2.
Resolvendo os sistemas, temos:
xA = 6; xB = -4; xC = 2.
yA = 4; uV = 2; yC = -6.
Os pontos A (6; 4), B (-4; 2) e C (2; -6) são os vértices necessários do triângulo.
4. Cálculo das coordenadas dos pontos que dividem o segmento em uma determinada proporção, de acordo com as coordenadas dadas das extremidades deste segmento
Exemplo 4
O segmento AB é dividido pelo ponto C na proporção de 3:5 (contando do ponto A ao ponto B). As extremidades do segmento AB são os pontos A(2; 3) e B(10; 11). Encontre o ponto C.
Solução.
A condição do problema diz que xA = 2; xB = 10; yA = 3; uV = 11; λ = AC/CB = 3/5. Encontre C(xC; yC) (Fig. 4).
de acordo com as fórmulas xC = (xA + λxB) / (1 + λ), yC = (yA + λyB) / (1 + λ) temos:
xC = (2 + 3/5 10) / (1 + 3/5) = 5 e yC = (3 + 3/5 11) / (1 + 3/5) = 6. Assim, temos C( 5; 6).
Vamos checar: CA = 3√2, CB = 5√2, λ = CA/CB = 3√2/5√2 = 3/5.
Comente. A condição do problema afirma que a divisão do segmento é realizada em uma determinada razão do ponto A ao ponto B. Se isso não fosse especificado, o problema teria duas soluções. Segunda solução: divisão do segmento do ponto B ao ponto A. 
Exemplo 5
Algum segmento AB é dividido na proporção 2:3:5 (contando do ponto A ao ponto B), suas extremidades são pontos com coordenadas A (-11; 1) e B (9; 11). Encontre os pontos de divisão do segmento dado.
Solução.
Vamos denotar os pontos de divisão do segmento de A a B passando por C e D. Na condição do problema, é dado que
xA = -11; xB = 9; yA = 1; yB = 11. Encontre C(xC; yC) e D(xD; yD) se AC: CD: DB = 2: 3: 5.
O ponto C divide o segmento AB em relação a λ = AC/CB = 2/(3 + 5) = 2/8 = 1/4.
De acordo com as fórmulas xC = (xA + λxB) / (1 + λ), yC = (yA + λyB) / (1 + λ) temos:
xC = (-11 + ¼ 9) / (1 + 1/4) = -7 e yC = (1 + ¼ 11) / (1 + 1/4) = 3.
Assim, C(-7; 3).
O ponto D é o ponto médio do segmento AB. Aplicando as fórmulas xD = (xA + xB)/2, yD = (yA + yB)/2, encontramos:
xD \u003d (-11 + 9) / 2 \u003d -1, yD \u003d (1 + 11) / 2 \u003d 6. Portanto, D tem coordenadas (-1; 6).
5. Cálculo das coordenadas dos pontos que dividem o segmento, se forem fornecidas as coordenadas das extremidades deste segmento e o número de partes em que este segmento é dividido
Exemplo 6
As extremidades do segmento são os pontos A(-8; -5) e B(10; 4). Encontre os pontos C e D que dividem este segmento em três partes iguais.
Solução.
Da condição do problema sabe-se que xA = -8; xB = 10; yA = -5; yB = 4 e n = 3. Encontre C(xC; yC) e D(xD; yD) (Fig. 5).
Vamos encontrar o ponto C. Ele divide o segmento AB em relação a λ = 1/2. Dividimos do ponto A ao ponto B. De acordo com as fórmulas xC = (xA + λxB) / (1 + λ), yC = (yA + λyB) / (1 + λ) temos:
xC = (-8 + ½ 10) / (1 + 1/2) = -2 e yC = (-5 + ½ 4) / (1 + 1/2) = -2. Então C(-2; -2).
A divisão do segmento CB é realizada na proporção de 1:1, então usamos as fórmulas
xD = (xA + xB)/2, yD = (yA + yB)/2:
xD \u003d (-2 + 10) / 2 \u003d 4, yD \u003d (-2 + 4) / 2 \u003d 1. Assim, D (4; 1).
Pontos de divisão C(-2; -2) e D(4; 1).
Nota: O ponto D pode ser encontrado dividindo o segmento AB em relação a 2: 1. Neste caso, será necessário aplicar as fórmulas xD = (xA + λxB) / (1 + λ), yD = (yA + λyB ) / (1 + λ).
Exemplo 7
Os pontos A(5; -6) e B(-5; 9) são as extremidades do segmento. Encontre os pontos que dividem o segmento dado em cinco partes iguais.
Solução.
Sejam os pontos consecutivos de divisão de A a B C(xC; yC), D(xD; yD), E(xE; yE) e F(xF; yF). As condições do problema dizem que xA = 5; xB = -5; yA = -6; yB = 9 e n = 5.
Usando as fórmulas xC = (xA + λxB) / (1 + λ), yC = (yA + λyB) / (1 + λ) ponto C. Divide o segmento AB em relação a λ = 1/4:
xC = (5 + 1/4 (-5)) / (1 + 1/4) = 3 e yC = (-6 + 1/4 9) / (1 + 1/4) = -3, obtemos que o ponto C tem coordenadas (3; -3).
O segmento AB é dividido pelo ponto D na razão 2:3 (ou seja, λ = 2/3), portanto:
xD = (5 + 2/3 (-5)) / (1 + 2/3) = 1 e yD = (-6 + 2/3 9) / (1 + 2/3) = 0, então D (dez ).
Vamos encontrar o ponto E. Ele divide o segmento AB em relação a λ = 2/3:
XE = (5 + 3/2 (-5)) / (1 + 3/2) = -1 e yE = (-6 + 3/2 9) / (1 + 3/2) = 3. Assim, E(-1; 3).
O ponto F divide o segmento AB em relação a λ = 4/1, portanto:
XF = (5 + 4 (-5)) / (1 + 4) = -3 e yF = (-6 + 4 9) / (1 + 4) = 6, F(-3; 6).
Pontos de divisão С(-2; -2); D(4; 1); E(-1; 3) e F(-3; 6).
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Sejam os pontos M 1 , M 2 , M 3 localizados em uma linha reta. Diz-se que o ponto M divide o segmento M 1 M 2 em relação a λ(λ≠-1) se .
Sejam conhecidas as coordenadas dos pontos M 1 e M 2 em relação a algum sistema de coordenadas: M 1 (x 1 , y 1 , z 1), M 2 (x 2 , y 2 , z 2), então as coordenadas de o ponto M(x, y, z ) relativo ao mesmo sistema de coordenadas são encontrados pelas fórmulas:
Se o ponto M está no meio do segmento M 1 M 2 , então 
, ou seja, λ=1 e as fórmulas (*) terão a forma:
(**)
Use a seguinte calculadora para resolver:
- Os pontos são dados por duas coordenadas: A(x 1 ,y 1), B(x 2 ,y 2).
- Os pontos são dados por três coordenadas: A(x 1 ,y 1 ,z 1), B(x 2 ,y 2 ,z 2).
Exemplo 1. O triângulo é dado pelas coordenadas de seus vértices A(3, -2, 1), B(3, 1, 5), C(4, 0, 3). Encontre as coordenadas D(x, y, z) - os pontos de interseção de suas medianas.
Solução. Denote por M(x 0 , y 0 , z 0) o ponto médio de BC, depois pelas fórmulas (**)
e M(7/2, ½, 4). O ponto D divide a mediana AM em relação a λ=2 . Aplicando as fórmulas (*), encontramos .
Exemplo #2. O segmento AB é dividido pelo ponto C(4,1) em relação a λ=1/4 , contando a partir do ponto A . Encontre as coordenadas de A se B(8,5).
Solução. Aplicando as fórmulas (*), obtemos: 
, de onde encontramos x=3 , y=0 .
Exemplo #3. O segmento AB é dividido em três partes iguais pelos pontos C(3, -1) e D(1,4). Encontre as coordenadas das extremidades do segmento.
Solução. Denote A(x 1 , y 1 ), B(x 2 , y 2). O ponto C é o ponto médio do segmento AD, portanto, usando as fórmulas (**) encontramos: 
onde x 1 = 5, y 1 = -6. Da mesma forma, as coordenadas do ponto B são encontradas: x 2 \u003d -1, y 2 \u003d 9.
Quando existem condições para dividir um segmento em uma determinada proporção, é necessário poder determinar as coordenadas do ponto que serve como separador. Derivamos uma fórmula para encontrar essas coordenadas definindo o problema no plano.
Dados iniciais: um sistema de coordenadas retangulares O x y e dois pontos não coincidentes situados sobre ele com as coordenadas dadas A (x A , y A) e B (x B , y B) são dados. E também um ponto C é dado, dividindo o segmento AB em relação a λ (algum número real positivo). É necessário determinar as coordenadas do ponto C: x C e y C .
Antes de prosseguir com a solução da tarefa, vamos revelar um pouco o significado da condição dada: "ponto C, dividindo o segmento A B em relação a λ". Em primeiro lugar, esta expressão indica que o ponto C está no segmento A B (isto é, entre os pontos A e B). Em segundo lugar, fica claro que, de acordo com a condição dada, a razão dos comprimentos dos segmentos A C e C B é igual a λ. Aqueles. a igualdade está correta:
Neste caso, o ponto A é o início do segmento, o ponto B é o final do segmento. Se fosse dado que o ponto C divide o segmento B A em uma dada razão, então a igualdade seria verdadeira: .
Bem, é um fato completamente óbvio que se λ = 1, então o ponto C é o ponto médio do segmento A B.
Vamos resolver o problema com a ajuda de vetores. Vamos exibir arbitrariamente os pontos A, B e C no segmento A B em um determinado sistema de coordenadas retangulares Vamos construir os vetores raio desses pontos, assim como os vetores A C → e C B → . De acordo com as condições do problema, o ponto C divide o segmento AB em relação a λ.
As coordenadas do vetor raio do ponto são iguais às coordenadas do ponto, então as igualdades são verdadeiras: O A → = (x A , y A) e O B → = (x B , y B) .
Vamos determinar as coordenadas do vetor: elas serão iguais às coordenadas do ponto C, que devem ser encontradas de acordo com a condição do problema.
Usando a operação de adição vetorial, escrevemos as igualdades: O C → = O A → + A C → O B → = O C → + C B → ⇔ C B → = O B → - O C →
De acordo com a condição do problema, o ponto C divide o segmento AB em relação a λ, ou seja. a igualdade A C = λ · C B é verdadeira.
Os vetores A C → e C B → estão na mesma linha reta e são codirecionais. λ > 0 pela condição do problema, então, de acordo com a operação de multiplicar um vetor por um número, obtemos: A C → = λ · C B → .
Vamos transformar a expressão substituindo nela: C B → = O B → - O C → .
A C → = λ · (O B → - O C →) .
A igualdade O C → = O A → + A C → pode ser reescrita como O C → = O A → + λ · (O B → - O C →) .
Usando as propriedades das operações sobre vetores, a última igualdade implica: O C → = 1 1 + λ · (O A → + λ · O B →) .
Agora nos resta calcular diretamente as coordenadas do vetor O C → = 1 1 + λ · O A → + λ · O B → .
Vamos realizar as operações necessárias nos vetores O A → e O B → .
O A → = (x A , y A) e O B → = (x B , y B) , então O A → + λ O B → = (x A + λ x B , y A + λ y B) .
Assim, O C → = 1 1 + λ · (O A → + λ · O B →) = (x A + λ · x B 1 + λ , y A + λ · y B 1 + λ) .
Resumindo: as coordenadas do ponto C dividindo o segmento AB em uma determinada proporção λ são determinadas pelas fórmulas: x C \u003d x A + λ x B 1 + λ e y C \u003d y A + λ y B 1 + λ .
Determinando as coordenadas de um ponto dividindo um segmento em uma dada razão no espaço
Dados iniciais: sistema de coordenadas retangulares O x y z , pontos com coordenadas dadas A (x A , y A , z A) e B (x B , y B , z B) .
O ponto C divide o segmento A B em relação a λ. É necessário determinar as coordenadas do ponto C.
Usando o mesmo esquema de raciocínio do caso acima no plano, chegamos à igualdade:
O C → = 1 1 + λ (O A → + λ O B →)
Os vetores e são os vetores raio dos pontos A e B, o que significa:
O A → = (x A , y A , z A) e O B → = (x B , y B , z B) , portanto
O C → = 1 1 + λ (O A → + λ O B →) = (x A + λ x B 1 + λ , y A + λ y B 1 + λ , z A + λ z B 1 + λ)
Assim, o ponto C, dividindo o segmento A B no espaço em uma dada razão λ, tem coordenadas: (x A + λ x B 1 + λ, y A + λ y B 1 + λ, z A + λ z B 1+λ )
Vamos considerar a teoria em exemplos específicos.
Exemplo 1
Dados iniciais: o ponto C divide o segmento A B em uma proporção de cinco para três. As coordenadas dos pontos A e B são dadas por A (11 , 1 , 0) , B (- 9 , 2 , - 4) .
Solução
Pela condição do problema λ = 5 3 . Vamos aplicar as fórmulas acima e obter:
x A + λ x B 1 + λ = 11 + 5 3 (- 9) 1 + 5 3 = - 3 2
y A + λ y B 1 + λ = 1 + 5 3 2 1 + 5 3 = 13 8
z A + λ z B 1 + λ = 0 + 5 3 (- 4) 1 + 5 3 = - 5 2
Resposta: C (- 3 2 , 13 8 , - 5 2)
Exemplo 2
Dados iniciais: é necessário determinar as coordenadas do centro de gravidade do triângulo A B C.
As coordenadas de seus vértices são dadas: A (2 , 3 , 1) , B (4 , 1 , - 2) , C (- 5 , - 4 , 8)
Solução
Sabe-se que o centro de gravidade de qualquer triângulo é o ponto de interseção de suas medianas (seja este o ponto M). Cada uma das medianas é dividida pelo ponto M na proporção de 2 para 1, contando de cima para baixo. Com base nisso, encontramos a resposta para a questão colocada.
Suponha que A D é a mediana do triângulo A B C. O ponto M é o ponto de interseção das medianas, tem coordenadas M (x M, y M, z M) e é o centro de gravidade do triângulo. M, como ponto de intersecção das medianas, divide o segmento A D na razão de 2 para 1, ou seja. λ = 2 .
Vamos encontrar as coordenadas do ponto D. Como A D é a mediana, então o ponto D é o ponto médio do segmento B C. Então, usando a fórmula para encontrar as coordenadas do ponto médio do segmento, obtemos:
x D = x B + x C 2 = 4 + (- 5) 2 = - 1 2 y D = y B + y C 2 = 1 + (- 4) 2 = - 3 2 z D = z B + z C 2 = - 2 + 8 2 = 3
Calcule as coordenadas do ponto M:
x M = x A + λ x D 1 + λ = 2 + 2 (- 1 2) 1 + 2 = 1 3
y M = y A + λ y D 1 + λ = 3 + 2 (- 3 2) 1 + 2 = 0
z M = z A + λ z D 1 + λ = 1 + 2 3 1 + 2 = 7 3
Resposta: (1 3 , 0 , 7 3)
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Seja dado um segmento de reta direcionado AB; diga ponto
M desta linha divide o segmento AB em uma razão igual a X, onde é um número real arbitrário, se
Quando o ponto M está entre os pontos A e B (ou seja, dentro do segmento
AB), então os vetores AM e MB são direcionados na mesma direção (Fig. 2) e a razão (1) é positiva.
Quando o ponto M está fora do segmento
AB, então os vetores AM e MB são direcionados em direções opostas (Fig. 3) e a razão (1) é negativa.
Vamos ver como a relação (1) muda quando o ponto M percorre toda a linha. Quando o ponto M coincide com o ponto A, então a relação (1) é igual a zero; se então o ponto M percorre o segmento AB na direção de A para B, então a razão (1) aumenta continuamente, tornando-se arbitrariamente grande à medida que o ponto M se aproxima de B. Quando , então a fração (1) perde seu significado, pois seu denominador passa a ser um vetor zero. Com o movimento adicional do ponto ao longo de uma linha reta na mesma direção (na Fig. 3, a à direita de B), a razão (1) torna-se negativa e, se W estiver próximo o suficiente de B, então essa razão tem um valor arbitrariamente grande valor absoluto.
Como , então (em virtude da Proposição 8 do § 4) temos
Quando o ponto M, movendo-se o tempo todo na mesma direção (na nossa Fig. 3, e da esquerda para a direita), mas vai direto para o infinito, então a fração - tende a zero (já que seu numerador permanece constante e o denominador aumenta indefinidamente), portanto , razão , - tende a -1.
Agora deixe M ir para a "esquerda" das duas meias-linhas nas quais o ponto A divide a linha (isto é, naquela meia-linha que não contém o segmento AB). Se, neste caso, o ponto M estiver longe o suficiente do ponto A, então, novamente, arbitrariamente pequeno e, portanto, a razão da fórmula difere arbitrariamente pouco de -1. Quando o ponto M se aproxima do ponto A pela esquerda (Fig. 3, b), a razão (I), permanecendo negativa, diminui continuamente em valor absoluto e finalmente se torna igual a zero quando o ponto M retorna ao ponto A.
Observe que para qualquer posição do ponto M na linha, a razão não é igual a -1. De fato, a razão é negativa somente quando o ponto M está fora do segmento AB. Mas neste caso os segmentos AM e MB nunca são iguais, ou seja,
Agora, seja estabelecido um sistema de coordenadas na linha e O seja a origem desse sistema. Denotamos a coordenada do ponto A através dos pontos B, e o ponto variável M através. Então e
Se o ponto M (x; y) estiver em uma linha reta que passa por dois pontos dados M 1 (x 1; y 1), M 2 (x 2; y 2) e a razão λ \u003d M 1 M / MM 2 é dado, em que o ponto M divide o segmento M 1 M 2, então as coordenadas do ponto M
são determinados pelas fórmulas
x = (x 1 + λx 2)/(1 + λ), y = (y 1 + λy 2)/(1 + λ)
Se o ponto M é o ponto médio do segmento M 1 M 2, então suas coordenadas são determinadas pelas fórmulas
x \u003d (x 1 + x 2) / 2, y \u003d (y 1 + y 2) / 2
86. Dadas as extremidades A(3; -5) e 6(-1; 1) de uma haste homogênea. Determine as coordenadas de seu centro de gravidade.
87. O centro de gravidade de uma haste homogênea está no ponto M (1; 4), uma de suas extremidades está no ponto P (-2; 2). Determine as coordenadas do ponto Q da outra extremidade desta haste
88. Os vértices do triângulo A(1; -3), 6(3; -5) e C(-5; 7) são dados. Determine os pontos médios de seus lados.
89. Dois pontos A(3; - 1) e B(2; 1) são dados. Definir:
1) coordenadas do ponto M, simétricas ao ponto A em relação ao ponto B;
2) coordenadas do ponto N, simétricas ao ponto B em relação ao ponto A.
90. Os pontos M (2; -1), N (-1; 4) e P (-2; 2) são os pontos médios dos lados do triângulo. Determine seus vértices.
91. Três vértices de um paralelogramo A(3; -5), B(5; -3), C(-1; 3) são dados. Determine o quarto vértice D, oposto a B.
92. Dados dois vértices adjacentes de um paralelogramo A(-3; 5), B(1; 7) e o ponto de interseção de suas diagonais M(1; 1). Defina dois outros vértices.
93. Três vértices A(2; 3), 6(4; -1) e C(0; 5) do paralelogramo ABCD são dados. Encontre seu quarto vértice D.
94. Vértices de um triângulo A(1; 4), B(3; -9), С(-5; 2) são dados. Encontre o comprimento de sua mediana tirada do vértice B.
95. O segmento delimitado pelos pontos A (1;-3) e B(4; 3) é dividido em três partes iguais. Determine as coordenadas dos pontos de divisão.
96. Vértices de um triângulo A(2; -5), B(1; -2), C(4; 7) são dados. Encontre o ponto de interseção com o lado AC da bissetriz de seu ângulo interno no vértice B.
97. Os vértices do triângulo A(3; -5), B(-3; 3) e C(-1; -2) são dados. Determine o comprimento da bissetriz de seu ângulo interno no vértice A.
98. Dados os vértices de um triângulo A(-1; -1), B(3; 5), C(-4; 1). Encontre o ponto de interseção com a extensão do lado BC da bissetriz de seu ângulo externo no vértice A.
99. Dados os vértices do triângulo A (3; -5), B (1; - 3), C (2; -2). Determine o comprimento da bissetriz de seu ângulo externo no vértice B.
100. Dados três pontos A(1; -1), B(3; 3) e C(4; 5) situados na mesma linha reta. Determine a razão λ em que cada um deles divide o segmento limitado pelos outros dois.
101. Determine as coordenadas das extremidades A e B do segmento, que é dividido pelos pontos P (2; 2) e Q (1; 5) em três partes iguais.
102. A reta passa pelos pontos M 1 (-12; -13) e M 2 (- 2; -5). Encontre um ponto nesta linha cuja abcissa é 3.
103. A reta passa pelos pontos M(2; -3) e N(-6; 5). Nesta linha, encontre um ponto cuja ordenada é -5.
104. A reta passa pelos pontos A(7;-3) e B(23;.-6). Encontre o ponto de intersecção desta linha com o eixo x.
105. A linha passa pelos pontos A(5; 2) e B(-4; -7). Encontre o ponto de intersecção desta linha com o eixo y.
106. Vértices do quadrilátero A(-3; 12), B(3; -4), C(5; -4) e D(5; 8) são dados. Determine em que razão sua diagonal AC divide a diagonal BD.
107. Os vértices A(-2; 14), B(4; -2), C(6; -2) e D(6; 10) são dados. Encontre o ponto de interseção de suas diagonais AC e BD.
108. Dados os vértices de uma placa triangular homogênea A (x 1; y 1), B (x 2; y 2) e C (x 3; y 3). Determine as coordenadas de seu centro de gravidade,
Instrução. O centro de gravidade está no ponto de intersecção das medianas.
109. O ponto M da intersecção das medianas do triângulo está no eixo das abcissas, seus dois vértices são os pontos A (2; -3) e B (-5; 1), o terceiro vértice C está no y- eixo. Determine as coordenadas dos pontos M e C.
110. Dados os vértices de uma placa triangular homogênea A (x 1; y 1), B (x 2; y 2) e C (x 3; y 3). Se você conectar os pontos médios de seus lados, uma nova placa triangular homogênea será formada. Prove que os centros de gravidade de ambas as placas são os mesmos.
Instrução. Use o resultado da tarefa 108.
111. Um prato homogêneo tem a forma de um quadrado de lado igual a 12, no qual é feito um corte quadrado, as linhas de corte passam pelo centro do quadrado, os eixos
as coordenadas são direcionadas ao longo das bordas da placa (Fig. 4). Determine o centro de gravidade desta placa.
112. Um prato homogêneo tem a forma de um retângulo com lados iguais a a e b, no qual é feito um corte retangular; as linhas retas do corte passam pelo centro, os eixos coordenados são direcionados ao longo das bordas da placa (Fig. 5). Determine o centro de gravidade desta placa.
113. Um prato homogêneo tem a forma de um quadrado de lado igual a 2a, do qual é recortado um triângulo; a linha de corte conecta os pontos médios de dois lados adjacentes, os eixos coordenados são direcionados ao longo das bordas da placa (Fig. 6). Determine o centro de gravidade da placa.
114. Nos pontos seguintes A (x 1; y 1), B (x 2; y 2) e C (x 3; y 3) as massas m, nep são concentradas. Determine as coordenadas do centro de gravidade deste sistema de três massas.
115. Os pontos A (4; 2), B (7; -2) e C (1; 6) são os vértices de um triângulo feito de um fio homogêneo. Encontre o centro de gravidade desse triângulo.
