movimento rotativo corpo sólido em torno de um ponto fixo chama-se seu movimento, no qual um ponto de um corpo rígido ou invariavelmente conectado a ele permanece imóvel em relação ao referencial escolhido. Também é chamado movimento esférico, uma vez que a trajetória de qualquer ponto do corpo se encontra na superfície de uma esfera centrada em um ponto fixo. Um exemplo de tal movimento é um pião, que tem um fulcro fixo.

O número de graus de liberdade de um corpo rígido em movimento livre no espaço é seis. Se durante o movimento do corpo um de seus pontos permanece fixo, então o número de graus de liberdade de tal corpo quando gira em torno desse ponto fixo será três e, para estimar sua posição, três parâmetros independentes devem ser definidos. Isso pode ser feito de várias maneiras. Por exemplo, A. N. Krylov propôs os chamados ângulos do navio como tais parâmetros, que determinam a posição de um corpo rígido (navio) em relação ao sistema de coordenadas associado à sua origem com seu centro de gravidade (Fig. 3.1).

Os eixos do sistema de coordenadas fixo são tomados CXYZ, e para os eixos rigidamente ligados ao navio - Cxyz(Fig. 3.1). Eixo SH dirigido da popa à proa do navio, o eixo cz- para o seu lado estibordo, e o eixo CY forma um sistema de coordenadas à direita com eles (verticalmente para cima). Posição do sistema de coordenadas em movimento Cxyz, invariavelmente associado ao navio, relativamente imóvel CXYZ para cada momento do tempo é determinado por três ângulos de Krylov: ângulo de corte ,ângulo de inclinação ,ângulo de guinada (Fig. 3.2).

Como visto na fig. 3.2, avião CXY atravessa o avião xy ao longo de alguma linha formando um ângulo com o eixo CX e ângulo com eixo Cx. Avião CYZ atravessa o avião Cxy polilinhas Ci 1 formando um ângulo com o eixo Ci. Considere a transição do sistema CXYZ para o sistema Cxyz feito com três voltas.

Para combinar com o sistema CXYZ com o sistema Cxyz o suficiente:

1) gire o sistema CXYZ em torno do terceiro dos eixos coordenados cz ao ângulo de corte, como resultado do qual obtemos o sistema Cx 1 y 1 z 1, e cz 1 =cz(Fig. 3.3);

2) girar o sistema em torno do primeiro dos eixos coordenados por um ângulo de rolagem , como resultado obtemos um sistema , enquanto (Fig. 3.4);

3) gire o sistema em torno do segundo dos eixos coordenados pelo ângulo de guinada (Fig. 3.5), como resultado do qual chegamos ao sistema Cxyz.

As fórmulas de transformação de coordenadas estão relacionadas pelas seguintes relações:

1) de CXYZ para (Fig. 3.3)

X = x 1 cos y - y 1 senoidal + 0 ,

S =x 1 sen y + y 1 cos y + 0 , (3.1)

Z = 0 + 0 + z1,

ou em forma de matriz:

[X] =( a 3 anos ) t [ x 1] ou , (3.2)

onde é a matriz transposta para a matriz que descreve a rotação do sistema CXYZ em torno do terceiro eixo de coordenadas СZ para o ângulo de corte y,

; (3.3)

2) de sistema para sistema (Fig. 3.4)

x 1 = x 2 + 0 + 0 ,

y 1 = 0 + y 2 - z 2 , (3.4)

z 1 = 0 + y 2 +z 2 ,

ou em forma de matriz

[x 1 ] = [x 2] ou , (3.5)

onde é a matriz transposta para a matriz , que especifica a transformação de rotação dos eixos do sistema para os eixos do sistema em torno do primeiro dos eixos coordenados pelo ângulo de rolagem , com = ,

; (3.6)

3) de sistema de coordenadas para sistema Cxyz(Fig. 3.5)

x 2 = x cosj + 0 + z sinj,

y 2 = 0 + y + 0 , (3.7)

z 2 = -x sen j + 0 + z cosj,

ou em forma de matriz [ x 2 ]= [x], ou

. (3.8)

Além disso, a matriz de rotação (a 2 j ) t é a matriz transposta para a matriz ( a 2 j ), que especifica a transformação de rotação dos eixos do sistema para os eixos do sistema Cxyz pelo ângulo de guinada j em torno do segundo dos eixos coordenados = , tem a forma

. (3.9)

Para qualquer ponto M corpos com coordenadas x,y,z em um sistema de coordenadas em movimento, rigidamente conectado a ele e com suas próprias coordenadas X,S,Z– em um sistema de coordenadas fixo, é possível estabelecer a relação das projeções do vetor ponto nos eixos de dois sistemas de coordenadas,

, (3.10)

ou em forma de matriz

ou , (3.11)

onde os ângulos de Krylov são algumas funções do tempo: ângulo de corte , ângulo de inclinação , ângulo de guinada .

A matriz é transposta para a matriz de direção cosseno, que define a transformação de rotação a partir dos eixos do sistema fixo CXYZ aos eixos do sistema móvel Cxyz, invariavelmente associado ao navio. Obviamente, quando o corpo se move, as coordenadas x,y,z permanecem constantes em contraste com as coordenadas X,S,Z.

Substituindo as relações (3.5) e (3.8) em (3.2), obtemos:

Comparando (3.11) e (3.12), descobrimos que a matriz desejada é o produto de três matrizes de rotação

=

=

.(3.13)

Substituindo a relação (3.5) em (3.2), obtemos uma relação intermediária, que pode ser necessária mais tarde, [ X] = [x 2]. A matriz de rotação intermediária = é encontrada como o produto de duas matrizes de rotação:

=

= (3.13uma)

Ângulos de Euler

Nos casos em que a velocidade angular de rotação em uma direção é muito maior que nas outras duas (geradores, motores, turbinas, giroscópios), três ângulos de Euler são escolhidos como três parâmetros independentes para determinar a posição do corpo: ângulo de precessão y (t),ângulo de nutação q (t)e ângulo de rotação (rotação natural) j (t). Seus nomes são emprestados da astronomia.

Para definir esses ângulos, considere a rotação de um corpo rígido em torno de um ponto fixo O. Seja algum sistema de referência e o sistema de coordenadas fixo associado a ele dado OXYZ, em relação ao qual o corpo rígido se move, e o sistema de coordenadas associado ao corpo rígido Oxyz, que se move em relação ao primeiro (Fig. 3.6 ... 3.8). Isso significa que o primeiro e o segundo sistema de coordenadas têm uma origem comum O, e os ângulos formados pelos eixos Oxyz com machados OXYZ, mudança, ou seja sistema Oxyz
gira com o corpo rígido em torno de um ponto fixo O(Fig. 3.5 ... 3.8).

Arroz. 3.6

Equações cinemáticas em coordenadas generalizadas. Ângulos de Euler, Krylov, quatérnios.

No curso da mecânica teórica, o movimento esférico era dado pelos ângulos de Euler (Fig. 1.2) - o ângulo de precessão y (rotação em torno de um eixo fixo Oz), ângulo de nutação q (rotação em torno de um eixo semi-móvel OK- linhas de intersecção de planos Oxi e Oξη, chamada de linha de nós) e o ângulo de rotação próprio j (rotação em torno do eixo associado ao corpo Oz).

Arroz. 1.2. Sistema de ângulos orientacionais de Euler de um corpo rígido

Os ângulos de Euler estão listados aqui na ordem das voltas a serem feitas sobre o quadro fixo. Oxyz para que seja compatível com o SC móvel Oξηζ. O uso de ângulos de Euler em movimento esférico foi feito para demonstrar a possibilidade fundamental de resolver os problemas de cinemática correspondentes. Aqui temos a tarefa de descrever tal movimento de forma mais otimizada. As relações cinemáticas que expressam as projeções da velocidade angular do corpo no eixo do SC acoplado através das velocidades angulares dos ângulos indicados são representadas para os ângulos de Euler pelas fórmulas (verificadas com o programa KIDIM):

(1.1)

Apesar da brevidade de tal especificação da posição de um corpo durante o movimento esférico (3 graus de liberdade, 3 coordenadas), raramente é usada na mecânica moderna. Isso se explica, em particular, pelo fato de as fórmulas de cálculo das velocidades generalizadas através das projeções da velocidade angular do corpo (relações cinemáticas inversas) conterem singularidades e serem assimétricas, o que dificulta a análise dos resultados e leva a erros. Para ângulos de Euler, essas relações são representadas pelas fórmulas:

(1.2)

É mais preferível usar parâmetros de Rodrigues-Hamilton, quatérnios, parâmetros de Cayley-Klein.

Vamos provar teorema de d'Alembert-Euler.

Mover um corpo com um ponto fixo de uma posição para outra pode ser feito girando em torno de algum eixo que passa pelo ponto fixo.

O movimento do corpo é completamente determinado pelo movimento de qualquer triângulo pertencente ao corpo. Portanto, para o movimento esférico, isso é equivalente ao movimento de dois pontos em alguma esfera cujo centro coincide com um ponto fixo, ou ao movimento de um arco conectando esses pontos. Suponhamos que como resultado do movimento do corpo no tempo D t algum ponto MAS movido através da esfera para uma posição NO(Fig. 1.3). Ao mesmo tempo, o ponto que estava em posição NO, assumiu uma nova posição A PARTIR DE.

Arroz. 1.3.

Avião abc intercepta uma esfera fixa em um círculo (círculo pequeno ou grande). Se um D um dos pólos deste círculo na esfera, então , Porque são isósceles esféricas e , pois são duas posições do mesmo arco da esfera AB. por construção (equidistante do pólo). Portanto, ele pode ser alinhado por rotação em torno do eixo OD na esquina adb. O teorema foi provado.

Parâmetros Rodrigues-Hamilton. Para especificar tal rotação, que chamaremos volta final do corpo, obviamente, você precisa definir a posição do eixo, direção e ângulo de rotação. O eixo de rotação pode ser definido por um vetor unitário direcionado na direção a partir da qual a rotação do corpo será observada no sentido anti-horário. Este vetor é determinado por suas projeções nos eixos de algum SC (os cossenos de direção de seus ângulos com os eixos deste SC). Assim, a rotação final é determinada por quatro grandezas escalares - as projeções do vetor unitário do eixo e o valor do ângulo da própria rotação em torno desse eixo.

Para definir essas quatro quantidades, usamos os parâmetros Rodrigues-Hamilton, que denotamos aqui λ 0 , λ1 , λ2 , λ 3 . Os últimos três parâmetros são geralmente combinados em um vetor =(λ 1 , λ2 , λ3) T. Assim, vamos considerar o conjunto de grandezas escalares e vetoriais λ 0 , . Esses parâmetros são inseridos através dos elementos de giro final e podem ser definidos da seguinte forma. Seja o vetor diretor do eixo em torno do qual a rotação é feita, e ψ seja o valor do ângulo de rotação. Então

Programa educacional sobre quatérnios, parte 7: integração de velocidades angulares, ângulos de Euler-Krylov 27 de fevereiro de 2018

Integração de velocidades angulares

Então, finalmente chegamos ao objetivo principal dos quatérnios - à tarefa que eles executam mais dignamente e onde nenhuma alternativa é esperada para eles.

Para começar, estamos chutando um cavalo morto, no sentido dos ângulos de Euler e Krylov, mas é preciso entender o que fez as pessoas estudarem e aplicarem uma coisa tão esotérica como os quatérnions (três unidades imaginárias, espaço quadridimensional, semi-ângulos) - não poderia ter sido possível fazer com um curso-roll -pitch!?

A tarefa é a seguinte: sabemos a orientação do nosso produto no momento inicial e temos sensores de velocidade angular (AVS). Estes podem ser sensores mecânicos antiquados baseados em giroscópios (eles foram conectados incorretamente no infame Proton), ou sensores microeletromecânicos (MEMS), ou fibra ótica mais precisa ou laser. Os dois últimos são teimosamente chamados de giroscópios e, de fato, a luz corre em círculo lá, mas esse nome ainda não está totalmente correto. Usando as leituras desses sensores, devemos rastrear exatamente qual giro o produto fez, ou seja, rastrear sua orientação.

Esperamos que o leitor já entenda que acumular ângulos independentemente ao longo de cada um dos eixos do sensor é uma abordagem completamente errada. Tomemos por exemplo a rotação da aeronave, considerada em.

Inicialmente, a aeronave estava voando com zero roll, pitch e rumo. Ele então fez uma curva de inclinação de 90 graus, depois uma curva de guinada de 90 graus. Como vimos anteriormente, após essas duas curvas, o avião começou a voar verticalmente para baixo, ou seja, sua inclinação tornou-se igual a -90 °, embora não tenhamos feito nenhuma curva diretamente ao longo do eixo de inclinação!

Além disso, esta orientação da aeronave apresenta o fenômeno de "dobra de estrutura" ou "trava articulada". De acordo com GOST 20058-80 e similares DIN 9300 e ISO 1151-2:1985, quando dizemos que a aeronave tem um certo rumo, pitch and roll, isso significa: a orientação correspondente no espaço será alcançada se partirmos de uma posição horizontal posição para o norte, então viramos o avião ao longo do curso, depois disso - em pitch e, finalmente, em roll (veja a figura). Quando a inclinação é de ±90° (a aeronave está "olhando" verticalmente para cima ou verticalmente para baixo), a proa e a rolagem começam a funcionar da mesma maneira (proa 0° e inclinação de 90° darão a mesma atitude que proa 90° e inclinação de 0 °, e indefinidamente muitas outras combinações), o que é chamado de dobra de quadro. Se assumirmos que nesta orientação a proa é de 90° e o roll é zero (é assim que se recomenda resolver a ambiguidade), então uma curva arbitrariamente pequena da aeronave ao longo do curso (no sentido, em direção à asa , ou seja, ao trabalhar com o leme) forçará o salto para 0°, inclinação para 90°, e a inclinação diminuirá nessa menor curva. "Jumpy" significa uma derivada infinita nesse ponto - e isso claramente não é bom ...

Outro obstáculo inesperado: os livros de mecânica teórica tratam dos ângulos de Euler e dos ângulos de Krylov. Os ângulos de Euler têm nomes: precessão, nutação, rotação adequada - eles encontraram seu caminho na descrição de coisas que giram rapidamente.

Ângulos de Krylov: guinada, aparar, rolar. Guinada é o mesmo que direção, trim é o termo náutico para inclinação. Parece que o curso-pitch-roll familiar para nós são os ângulos de Krylov.

Não estava lá.
Aqui está como os ângulos de Krylov são definidos:

(lutei contra a tentação de photoshopar um cisne, lagostim e lúcio aqui, puxando em três direções perpendiculares entre si)

Aqui está uma citação do livro de Branz V.N. e Shmyglevsky I.P. - Aplicação de quatérnios em problemas de orientação de um corpo rígido (1973), p. 79:

A primeira rotação é realizada em torno do eixo i 3 pelo ângulo de proa φ, a segunda rotação ocorre ao longo do eixo i` 2 pelo ângulo de rolagem ψ e a terceira - em torno do eixo e 1 pelo ângulo de inclinação ϑ.

Podemos notar que as rotações não são feitas na mesma ordem de antes. Os ângulos assim determinados também têm o direito de existir, e com pequenos desvios de roll e pitch não diferirão dos anteriormente introduzidos, mas já em ângulos característicos de aeronaves da aviação civil, a diferença será perceptível.

Vamos dar um exemplo “degenerado” afinal - o avião voou de cabeça para baixo, enquanto para não cair, ele virou um pouco o nariz. Quando descrevemos a posição da aeronave através dos ângulos de Krylov, verifica-se que a aeronave está voando com um passo negativo, porque o rolo é realizado primeiro e só então - na aeronave invertida - o passo é girado, e é por isso que deve mudar de sinal - neste caso, o nariz será puxado para cima.

No entanto, GOST 20058-80 "DINÂMICA DE AVIÕES NA ATMOSFERA" (http://docs.cntd.ru/document/gost-20058-80) dá uma definição ligeiramente diferente de pitch:
26. Ângulo de inclinação ϑ - o ângulo entre o eixo longitudinal OX e o plano horizontal OXgZg do sistema de coordenadas normal.

Ou seja, quando o nariz está apontando para cima, a inclinação deve ser sempre positiva, não importa como o avião esteja inclinado!

Mesmo com giros suficientemente suaves, essa interdependência de ângulos se manifestará, o que levará a uma percepção errônea da orientação do objeto no espaço.

E, em geral, as equações cinemáticas para ângulos não são muito felizes. Nós os apresentamos para os ângulos de Euler e para as velocidades angulares medidas de forma acoplada (ou seja, os sensores ficam sobre o objeto e giram com ele):

Obviamente, essas fórmulas não são adequadas para trabalhar com os ângulos de inclinação, direção e rotação descritos no GOST 20058-80 - você precisa derivar outras. Deixemos isso como exercício para os leitores mais persistentes.

Existem certas vantagens em descrever a orientação de um corpo rígido como três cantos:
- é o mais compacto, necessitando apenas de 3 números,
- mais ou menos compreensível para uma pessoa,
- às vezes permite encontrar uma solução analítica de equações cinemáticas - para isso, Euler uma vez introduziu seus ângulos.

Todo o resto são deficiências: fórmulas de vários níveis com muitas funções trigonométricas, o aparecimento de pontos especiais nos quais você precisa colocar suas “muletas” ou desistir antecipadamente, dizendo - não venha aqui, caso contrário nos perderemos no espaço! Também podemos notar que todos os ângulos podem crescer indefinidamente, então é uma boa ideia manter cada um deles dentro de limites razoáveis, adicionando ou subtraindo 2π conforme necessário. Para a afinação, não seria nada mau limitarmo-nos a -π .. π, o que exige correcção não só da afinação em si, mas também do percurso. Quase todo trabalho com três ângulos é difícil - girar vetores, comparar duas posições, compor rotações, etc. - em todos os lugares nos deparamos com expressões de dois andares e pontos singulares.

Os ângulos de Euler ou Krylov (ou quaisquer outros) nunca foram usados ​​na prática em sistemas de controle de atitude strapdown, mas participaram implicitamente da operação de plataformas giroscópicas. Na verdade, a plataforma do giroscópio é um sensor que devolve a orientação do dispositivo no espaço imediatamente na forma de ângulos e, como bônus, integra as acelerações projetadas nos eixos fixos! Os pontos especiais de "matemática" aqui correspondiam aos pontos especiais "no ferro" - a dobra das molduras, a menos que fossem tomadas medidas especiais, como a introdução de uma quarta moldura (redundante), ou mesmo o abandono das molduras em favor de esferas aninhadas.

Duas outras representações da rotação de corpo rígido - através de matrizes de rotação e através de quatérnios - estão livres das desvantagens dos três ângulos. Todas as operações são lineares, não há pontos singulares. Continua...

Ângulos de Euler-Krylov

Três ângulos de Euler-Krylov e contados no sentido anti-horário permitem definir de forma única a posição angular de um corpo rígido no espaço. A figura mostra uma das variedades de ângulos de Krylov - os chamados ângulos de aeronaves usados ​​na aviação.

Ângulos de Euler-Krylov

O referencial fixo, no qual se considera a posição angular de um corpo rígido (aeronaves), é formado pelo triplo direito dos vetores. O eixo é direcionado ao longo da vertical local a partir do centro da Terra, o eixo está localizado no plano do horizonte e é direcionado para o norte geográfico (N, Norte), e o eixo complementa o sistema de coordenadas à direita. Com um objeto em movimento - por exemplo, uma aeronave (LA), - um sistema de coordenadas em movimento é rigidamente conectado. Seu eixo é direcionado ao longo do eixo de construção (longitudinal) da aeronave, o eixo - ao longo da normal na direção do zênite e o eixo - ao longo da transversal na direção do lado estibordo da aeronave. A posição angular (orientação) da aeronave no sistema de coordenadas é dada pelo curso (), pitch () e roll (). A presença de um sinal de menos na frente dos ângulos da aeronave se deve ao fato de que seus valores positivos, em contraste com os ângulos clássicos de Euler-Krylov, são contados no sentido horário. A posição final da aeronave é determinada pela sequência de curvas

Exposição sobre sinais de acelerômetros MEMS

O procedimento para determinar as coordenadas angulares iniciais é chamado de exposição. Para pitch and roll usando um acelerômetro MEMS de três eixos que produz acelerações e ao longo dos eixos X, Y e Z do sistema de coordenadas móveis OXYZ associado, os ângulos correspondentes podem ser encontrados a partir das projeções do vetor de aceleração gravitacional g = 9,81 m /s2 em cada um dos eixos, usando o aparato matemático das matrizes de rotação (3.1)

representa os valores das respectivas saídas do acelerômetro triaxial.

Vamos expressar a partir de (3.2) o vetor aceleração gravitacional, para o qual multiplicamos ambos os lados da igualdade à esquerda pela matriz:

Das duas primeiras equações do sistema (3.4) obtemos

Calibração do Acelerômetro MEMS

O erro na determinação das coordenadas angulares de um objeto a partir dos sinais de acelerômetros MEMS de três eixos depende em grande parte da precisão da determinação dos fatores de correção calculados durante a calibração.

Os erros de leitura do acelerômetro triaxial (TOA) são devidos a três fatores:

A presença de um viés constante;

"vazamento" do sinal de um canal para outro, causado pela não colinearidade de triplos de vetores que formam dois sistemas de coordenadas: associado ao gira-discos de calibração OXYZ e associado ao TOA (3.4);

Ruídos de cintilação próprios.

Não colinearidade dos eixos de sistemas de coordenadas de objetos e sistemas de coordenadas de acelerômetros

A partir disso, segue-se que o modelo matemático do sinal de um acelerômetro MEMS de três eixos ficará assim:

onde é o vetor de leituras do acelerômetro, é a matriz diagonal dos fatores de escala, é a matriz de correção, é a projeção do vetor de aceleração gravitacional nos eixos da trindade direita de vetores do sistema de coordenadas associado ao acelerômetro, é o vetor de deslocamentos constantes, é o vetor de ruído intrínseco TOA.

Sem levar em conta o ruído, o sistema de equações (3.6), tendo realizado as operações de multiplicação de matrizes e vetores, pode ser escrito como:

De (3.7) segue que para encontrar os parâmetros de calibração para um dos eixos, é necessário o número de medições igual ao número de parâmetros desconhecidos deste eixo: para o eixo Z - 2, para o eixo Y - 3 , para o eixo X - 4.

A calibração de um acelerômetro MEMS de três eixos envolve a configuração do sensor para posições conhecidas a priori e a resolução de um sistema de equações sobredeterminado para seus sinais de saída. Ao realizar este procedimento, é habitual definir o acelerômetro para 12 posições fixas

Acelerômetro MEMS de 12 posições de calibração

B mostra que, para reduzir o erro de estimação, deve-se calcular a média dos coeficientes de calibração encontrados a partir do número de combinações. No entanto, para reduzir o tempo de calibração, apenas seis posições chamadas ortogonais podem ser utilizadas: 2), 4), 6), 7), 8) e 11); neste caso, uma diminuição no número de combinações a leva a um aumento no erro na medição dos elementos da matriz dos fatores de escala ke dos elementos do vetor deslocamento b em não mais que 0,21% e 0,02%, respectivamente. Deve-se notar que o erro na medição dos elementos da matriz de correção T pode aumentar até centenas de por cento, mas como os elementos fora da diagonal T geralmente não excedem, em pequenos ângulos de rotação e inclinação (não mais que 30°), o erro de medição desses ângulos aumenta em não mais que 0,5°.

Os ângulos de Euler descrevem a rotação de um objeto no espaço euclidiano tridimensional. Neste caso, são considerados dois sistemas de coordenadas retangulares que possuem um centro comum: um sistema fixo e um móvel associado ao objeto. Na Fig.1, o sistema de coordenadas fixas é designado por XYZ (está inclinado), e o sistema de coordenadas móveis é designado por xyz. Os ângulos de Euler são os ângulos através dos quais o sistema de coordenadas móvel associado ao objeto é girado antes de ser alinhado com o sistema fixo. Na versão clássica, a primeira rotação ocorre através de um ângulo α em torno do eixo z associado ao objeto, até que o eixo x associado ao objeto coincida com o plano XY do sistema fixo. Tal coincidência ocorrerá ao longo da linha de interseção dos planos XY e xy (linha N na Fig. 1). A próxima rotação é realizada por um ângulo β em torno da nova posição do eixo x associado ao objeto, até que os eixos aplicados de ambos os sistemas retangulares coincidam. Neste caso, o eixo y associado ao objeto estará no plano xy do sistema de coordenadas XYZ fixo. A última rotação é feita por um ângulo γ em torno da nova posição do eixo aplicado do sistema de coordenadas móvel (coincidirá com o mesmo eixo do sistema fixo), após o que os eixos de coordenadas XY e xy coincidirão.

Arroz. 1. Ângulos de Euler

Tais rotações não são comutativas e a posição final do sistema de coordenadas móveis depende da ordem em que as rotações são executadas.

Se as coordenadas do vetor R(r x , r y , r z) no sistema de coordenadas móvel XYZ são conhecidas e os ângulos de Euler (α, β, γ) do sistema de coordenadas móvel xyz em relação ao fixo são conhecidos, então é possível calcular as coordenadas deste vetor no sistema de coordenadas fixo xyz. Para fazer isso, construa matrizes de três rotações sucessivas através dos ângulos α, β e γ:

Multiplicando essas matrizes na ordem inversa, obtemos a matriz ortogonal final:

T= T 3 ×T2×T1,

que converte as coordenadas do vetor R(r x , r y , r z) do sistema de coordenadas móvel nas coordenadas do vetor N(n x , n y , n z) de mesmo comprimento no sistema de coordenadas fixo:

N=T×R,

onde N e R são matrizes de coluna das coordenadas correspondentes.

Os ângulos de Euler são os mais naturais e compreensíveis ao realizar várias operações de rotação de objetos porque correspondem às rotações de objetos vistas nas janelas de visualização dos sistemas gráficos 3D. No entanto, a sua utilização em sistemas de animação por computador enfrenta uma série de dificuldades. Em primeiro lugar, é a necessidade de escolher uma certa sequência de rotações do objeto em relação aos eixos do sistema de coordenadas. Se você girar um objeto primeiro em torno do eixo X, depois em torno do eixo Y e, finalmente, em torno do eixo Z, não será a mesma rotação se você girar esse objeto nos mesmos ângulos, mas em uma sequência diferente.

Vamos considerar outro exemplo - criar uma animação de um cubo quando ele é girado em torno do eixo Z do sistema de coordenadas mundial por um ângulo superior a 360°, por exemplo, por um ângulo de 450°. Vamos tentar criar dois quadros-chave entre os quais o cubo deve girar por esse ângulo. Para fazer isso, crie uma caixa padrão no programa MaxScript:

b = caixa()

Depois disso, mova o controle deslizante da linha do tempo da animação para o quadro 10, ative o modo Auto Key e execute o comando:

b.rotação.z_rotação = 450

Reproduza a animação. O objeto girará apenas 90° porque sua rotação de 360° será ignorada. Agora faça o mesmo na janela do programa 3ds Max. A animação do objeto entre dois quadros-chave ocorrerá em um ângulo de 450°. Assim, o uso de rotações de Euler em programas de computação gráfica semelhantes ao MaxScript é limitado à rotação simultânea em um ângulo não superior a 360°. No entanto, isso não impede que você crie animações manualmente atrás da tela de exibição.

Outro problema com os ângulos de Euler é a trava do cardan. Sua aparência depende da escolha da ordem de rotação do objeto. Por exemplo, vamos girar um objeto primeiro em torno do eixo Z em 140°, depois em torno do eixo X em 90° e depois em 130° em torno do eixo Y (Fig. 2).

Arroz. 2. Rotações sucessivas de objetos

Se agora executarmos a mesma sequência de rotações novamente, por exemplo, 10° em torno do eixo Z, depois 90° em torno do eixo X e depois 0° em torno do eixo Y, obteremos o mesmo resultado. O problema é que quando a rotação em torno do eixo X se torna 90° ou -90°, então o eixo Y local de rotação torna-se paralelo ao eixo Z, mas na direção oposta e, portanto, a rotação em torno dele entra em conflito com a rotação anterior em torno o eixo Z.

A trava da dobradiça está ausente para matrizes e quatérnios. Quaternions fornecem uma notação matemática conveniente para a posição e rotação de objetos no espaço. Comparados aos ângulos de Euler, os quatérnios facilitam a combinação de rotações, além de evitar o problema de não poder girar em torno de um eixo, independentemente da rotação em outros eixos. Comparadas às matrizes, elas possuem maior estabilidade computacional e podem ser mais eficientes. Quaternions são usados ​​para realizar rotações em computação gráfica, robótica, mecanismos de jogos, navegação, dinâmica molecular e, geralmente, em qualquer lugar onde haja problemas com ângulos ou matrizes de Euler.

Literatura

1. Ângulos de Euler e trava Gimbal [recurso eletrônico] / http://habrahabr.ru - Habrahabr, 2006. - Modo de acesso: http://habrahabr.ru/post/183116/. – Data de acesso: 10.10.2013.
2. Quaternions e rotação do espaço [Recurso eletrônico] / http://ru.wikipedia.org/ - Wikipedia - a enciclopédia livre, 2001. - Modo de acesso: http://ru.wikipedia.org/wiki/ Quaternions_and_rotation_of_space. – Data de acesso: 11/10/2013.