Falta cada vez menos tempo para passar no exame de matemática. A situação está esquentando, os nervos de alunos, pais, professores e tutores estão cada vez mais tensos. Aulas diárias de matemática aprofundadas irão ajudá-lo a aliviar a tensão nervosa. Afinal, nada, como você sabe, tanto cobra de positivo e não ajuda na aprovação nos exames, como a confiança nas próprias habilidades e conhecimentos. Hoje, um professor de matemática falará sobre como resolver sistemas de desigualdades logarítmicas e exponenciais, tarefas que tradicionalmente causam dificuldades para muitos estudantes modernos do ensino médio.

Para aprender a resolver problemas C3 do Exame Estadual Unificado em matemática, como tutor em matemática, recomendo que você preste atenção aos seguintes pontos importantes.

1. Antes de prosseguir com a resolução de sistemas de desigualdades logarítmicas e exponenciais, é necessário aprender a resolver cada um desses tipos de desigualdade separadamente. Em particular, para entender como a área de valores admissíveis é encontrada, são realizadas transformações equivalentes de expressões logarítmicas e exponenciais. Você pode compreender alguns dos segredos relacionados a isso estudando os artigos "" e "".

2. Ao mesmo tempo, é preciso perceber que a solução de um sistema de desigualdades nem sempre se resume a resolver cada desigualdade separadamente e cruzar as lacunas resultantes. Às vezes, conhecendo a solução de uma desigualdade do sistema, a solução da segunda é bastante simplificada. Como um tutor de matemática que prepara os alunos para os exames finais no formato USE, vou revelar alguns segredos relacionados a isso neste artigo.

3. É necessário entender claramente por si mesmo a diferença entre a interseção e a união de conjuntos. Este é um dos conhecimentos matemáticos mais importantes que um tutor profissional experiente tenta passar ao seu aluno desde as primeiras aulas. Uma representação visual da interseção e união de conjuntos é dada pelos chamados "círculos de Euler".

Definir interseção Um conjunto é chamado de conjunto que contém apenas os elementos que cada um desses conjuntos possui.

interseção

Imagem da interseção de conjuntos usando "círculos de Euler"

Explicação do dedo. Diana tem um “conjunto” em sua bolsa, composto por ( canetas, lápis, governantes, cadernos, pentes). Alice tem um "conjunto" em sua bolsa, composto por ( caderno, lápis, espelhos, cadernos, as costeletas de Kiev). A intersecção destes dois "conjuntos" será o "conjunto" constituído por ( lápis, cadernos), já que tanto Diana quanto Alice possuem esses dois “elementos”.

Importante lembrar! Se a solução da inequação é o intervalo e a solução da inequação é o intervalo, então a solução dos sistemas:

é o intervalo que interseção intervalos originais. Aqui e abaixoqualquer um dos personagens title="(!LANG:Renderizado por QuickLaTeX.com" height="17" width="93" style="vertical-align: -4px;">!} e abaixo é o sinal oposto.

União de conjuntos é chamado de conjunto que consiste em todos os elementos dos conjuntos originais.

Em outras palavras, se dois conjuntos são dados e então seus Associação será um conjunto da seguinte forma:

Imagem da união de conjuntos usando "círculos de Euler"

Explicação do dedo. A união dos "conjuntos" tomados no exemplo anterior será o "conjunto" composto por ( canetas, lápis, governantes, cadernos, pentes, caderno, espelhos, as costeletas de Kiev), uma vez que consiste em todos os elementos dos "conjuntos" originais. Um esclarecimento que pode não ser supérfluo. Vários não pode contêm os mesmos elementos.

Importante lembrar! Se a solução da inequação é o intervalo e a solução da inequação é o intervalo, então a solução do conjunto é:

é o intervalo que uma associação intervalos originais.

Vamos direto aos exemplos.

Exemplo 1 Resolva o sistema de inequações:

Solução do problema C3.

1. Resolvemos primeiro a primeira inequação. Usando a substituição, passamos para a desigualdade:

2. Resolvemos agora a segunda desigualdade. O intervalo de seus valores admissíveis é determinado pela desigualdade:

Title="(!LANG:Renderizado por QuickLaTeX.com">!}

Dentro do intervalo aceitável, dado que a base do logaritmo title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com" height="18" width="52" style="vertical-align: -4px;"> переходим к равносильному неравенству:!}

Excluindo soluções que não estejam dentro da faixa de valores admissíveis, obtemos o intervalo

3. Responda para sistema as desigualdades vão interseção

As lacunas resultantes na linha numérica. A solução é a sua interseção

Exemplo 2 Resolva o sistema de inequações:

Solução do problema C3.

1. Resolvemos primeiro a primeira inequação. Multiplique ambas as partes por title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com" height="14" width="55" style="vertical-align: 0px;"> и делаем замену в результате чего приходим к неравенству:!}

Vamos para a substituição inversa:

2.

Title="(!LANG:Renderizado por QuickLaTeX.com">!}

Representação gráfica do vão resultante. Solução do sistema - sua interseção

Exemplo 3 Resolva o sistema de inequações:

Solução do problema C3.

1. Resolvemos primeiro a primeira inequação. Multiplique ambas as partes por title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com" height="18" width="61" style="vertical-align: -4px;"> после чего получаем неравенство:!}

Usando substituição, passamos para a seguinte desigualdade:

Vamos para a substituição inversa:

2. Resolvemos agora a segunda desigualdade. Vamos primeiro determinar o intervalo de valores admissíveis dessa desigualdade:

ql-right-eqno">

Observe que

Então, levando em consideração a faixa de valores permitidos, obtemos:

3. Encontramos a solução geral das inequações. Comparar os valores irracionais obtidos dos pontos nodais não é uma tarefa trivial neste exemplo. Isso pode ser feito da seguinte maneira. Porque

Title="(!LANG:Renderizado por QuickLaTeX.com">!}

então e a resposta final do sistema é:

Exemplo 4 Resolva o sistema de inequações:

Solução do problema С3.

1. Vamos resolver a segunda desigualdade primeiro:

2. A primeira desigualdade do sistema original é uma desigualdade logarítmica de base variável. Uma maneira conveniente de resolver tais desigualdades é descrita no artigo "Desigualdades logarítmicas complexas", é baseado em uma fórmula simples:

Em vez de um sinal, qualquer sinal de desigualdade pode ser substituído, o principal é que seja o mesmo em ambos os casos. Usar esta fórmula simplifica muito a solução da desigualdade:

Vamos agora determinar o intervalo de valores admissíveis dessa desigualdade. É dado pelo seguinte sistema:

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Title="(!LANG:Renderizado por QuickLaTeX.com">!}

É fácil ver que, ao mesmo tempo, esse intervalo também será a solução de nossa desigualdade.

3. A resposta final para o original sistemas as desigualdades vão interseção intervalos obtidos, ou seja,

Exemplo 5 Resolva o sistema de inequações:

Solução do problema C3.

1. Resolvemos primeiro a primeira inequação. Usamos substituição Passamos para a seguinte desigualdade quadrática:

2. Resolvemos agora a segunda desigualdade. O intervalo de seus valores permitidos é determinado pelo sistema:

Title="(!LANG:Renderizado por QuickLaTeX.com">!}

Esta desigualdade é equivalente ao seguinte sistema misto:

No intervalo de valores válidos, ou seja, com title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com" height="18" width="53" style="vertical-align: -4px;"> используя равносильные преобразования переходим к следующей смешанной системе:!}

Levando em conta a faixa de valores permitidos, obtemos:

3. A decisão final do original sistemasé

Solução do problema C3.

1. Resolvemos primeiro a primeira inequação. Por transformações equivalentes, trazemos para a forma:

2. Resolvemos agora a segunda desigualdade. O intervalo de seus valores válidos é determinado pelo intervalo: title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com" height="14" width="68" style="vertical-align: 0px;"> Используя замену переменной переходим к следующему квадратичному неравенству:!}

Essa resposta pertence inteiramente à faixa de valores aceitáveis ​​de desigualdade.

3. Cruzando os intervalos obtidos nos parágrafos anteriores, obtemos a resposta final para o sistema de desigualdades:

Hoje resolvemos sistemas de desigualdades logarítmicas e exponenciais. Tarefas deste tipo foram oferecidas em versões de teste do USE em matemática ao longo do ano letivo atual. No entanto, como um tutor de matemática com experiência em preparação para o USE, posso dizer que isso não significa que tarefas semelhantes estarão nas versões reais do USE em matemática em junho.

Permitam-me fazer um alerta, dirigido principalmente aos tutores e professores envolvidos na preparação de alunos do ensino médio para o USE em matemática. É muito perigoso preparar os alunos para um exame estritamente sobre determinados tópicos, porque, neste caso, existe o risco de “preenchê-lo” completamente, mesmo com uma pequena alteração no formato da tarefa declarado anteriormente. A educação matemática deve ser completa. Caros colegas, por favor, não comparem seus alunos a robôs pelo chamado "treinamento" para resolver determinado tipo de problema. Afinal, não há nada pior do que a formalização do pensamento humano.

Boa sorte a todos e sucesso criativo!

Sergey Valerievich

Se você tentar, existem duas opções: funcionará ou não funcionará. Se você não tentar, há apenas um.
© Sabedoria popular

A solução da maioria dos problemas matemáticos está de alguma forma ligada à transformação de expressões numéricas, algébricas ou funcionais. Isso se aplica especialmente à solução. Nas variantes USE em matemática, este tipo de tarefa inclui, em particular, a tarefa C3. Aprender a resolver tarefas C3 é importante não apenas para a aprovação no exame, mas também porque essa habilidade será útil ao estudar um curso de matemática no ensino superior.

Executando tarefas C3, você tem que resolver vários tipos de equações e desigualdades. Entre eles estão racionais, irracionais, exponenciais, logarítmicos, trigonométricos, contendo módulos (valores absolutos), bem como combinados. Este artigo discute os principais tipos de equações e desigualdades exponenciais, bem como vários métodos para resolvê-las. Leia sobre como resolver outros tipos de equações e desigualdades no título "" em artigos dedicados a métodos para resolver problemas C3 das variantes USE em matemática.

Antes de prosseguir com a análise de equações exponenciais e desigualdades, como professor de matemática, sugiro que você retome alguns dos materiais teóricos que precisaremos.

Função exponencial

O que é uma função exponencial?

Função de visualização y = um x, Onde uma> 0 e uma≠ 1, chamado função exponencial.

Principal propriedades da função exponencial y = um x:

Gráfico de uma função exponencial

O gráfico da função exponencial é expositor:

Gráficos de funções exponenciais (expoentes)

Solução de equações exponenciais

indicativo chamadas equações em que a variável desconhecida é encontrada apenas em expoentes de quaisquer potências.

Para soluções equações exponenciais você precisa saber e ser capaz de usar o seguinte teorema simples:

Teorema 1. equação exponencial uma f(x) = uma g(x) (Onde uma > 0, uma≠ 1) é equivalente à equação f(x) = g(x).

Além disso, é útil lembrar as fórmulas básicas e ações com graus:

Title="(!LANG:Renderizado por QuickLaTeX.com">!}

Exemplo 1 Resolva a equação:

Solução: use as fórmulas acima e substitua:

A equação fica então:

O discriminante da equação quadrática resultante é positivo:

Title="(!LANG:Renderizado por QuickLaTeX.com">!}

Isso significa que essa equação tem duas raízes. Nós os encontramos:

Voltando à substituição, temos:

A segunda equação não tem raízes, pois a função exponencial é estritamente positiva em todo o domínio de definição. Vamos resolver o segundo:

Levando em conta o que foi dito no Teorema 1, passamos para a equação equivalente: x= 3. Esta será a resposta para a tarefa.

Responda: x = 3.

Exemplo 2 Resolva a equação:

Solução: a equação não tem restrições na área de valores admissíveis, pois a expressão radical faz sentido para qualquer valor x(função exponencial y = 9 4 -x positivo e diferente de zero).

Resolvemos a equação por transformações equivalentes usando as regras de multiplicação e divisão de potências:

A última transição foi realizada de acordo com o Teorema 1.

Responda:x= 6.

Exemplo 3 Resolva a equação:

Solução: ambos os lados da equação original podem ser divididos por 0,2 x. Esta transição será equivalente, pois esta expressão é maior que zero para qualquer valor x(a função exponencial é estritamente positiva em seu domínio). Então a equação toma a forma:

Responda: x = 0.

Exemplo 4 Resolva a equação:

Solução: simplificamos a equação para uma elementar por transformações equivalentes usando as regras de divisão e multiplicação de potências dadas no início do artigo:

Dividindo ambos os lados da equação por 4 x, como no exemplo anterior, é uma transformação equivalente, pois essa expressão não é igual a zero para nenhum valor x.

Responda: x = 0.

Exemplo 5 Resolva a equação:

Solução: função y = 3x, do lado esquerdo da equação, está aumentando. Função y = —x-2/3, do lado direito da equação, está diminuindo. Isso significa que, se os gráficos dessas funções se cruzam, no máximo em um ponto. Neste caso, é fácil adivinhar que os gráficos se cruzam no ponto x= -1. Não haverá outras raízes.

Responda: x = -1.

Exemplo 6 Resolva a equação:

Solução: simplificamos a equação por transformações equivalentes, tendo em mente em todos os lugares que a função exponencial é estritamente maior que zero para qualquer valor x e usando as regras de cálculo do produto e poderes parciais dadas no início do artigo:

Responda: x = 2.

Resolvendo inequações exponenciais

indicativo chamadas desigualdades em que a variável desconhecida está contida apenas nos expoentes de algumas potências.

Para soluções desigualdades exponenciaisé necessário o conhecimento do seguinte teorema:

Teorema 2. Se um uma> 1, então a desigualdade uma f(x) > uma g(x) é equivalente a uma desigualdade de mesmo significado: f(x) > g(x). Se 0< uma < 1, то показательное неравенство uma f(x) > uma g(x) é equivalente a uma desigualdade de significado oposto: f(x) < g(x).

Exemplo 7 Resolva a desigualdade:

Solução: represente a desigualdade original na forma:

Divida ambos os lados desta desigualdade por 3 2 x, e (devido à positividade da função y= 3 2x) o sinal de desigualdade não mudará:

Vamos usar uma substituição:

Então a desigualdade toma a forma:

Então, a solução da inequação é o intervalo:

passando para a substituição inversa, temos:

A desigualdade da esquerda, devido à positividade da função exponencial, é preenchida automaticamente. Usando a conhecida propriedade do logaritmo, passamos para a desigualdade equivalente:

Como a base do grau é um número maior que um, equivalente (pelo Teorema 2) será a transição para a seguinte desigualdade:

Então nós finalmente conseguimos responda:

Exemplo 8 Resolva a desigualdade:

Solução: usando as propriedades de multiplicação e divisão de potências, reescrevemos a desigualdade na forma:

Vamos introduzir uma nova variável:

Com essa substituição, a desigualdade assume a forma:

Multiplicando o numerador e o denominador da fração por 7, obtemos a seguinte desigualdade equivalente:

Então, a desigualdade é satisfeita pelos seguintes valores da variável t:

Então, voltando à substituição, temos:

Como a base do grau aqui é maior que um, é equivalente (pelo Teorema 2) passar para a desigualdade:

Finalmente obtemos responda:

Exemplo 9 Resolva a desigualdade:

Solução:

Dividimos ambos os lados da desigualdade pela expressão:

É sempre maior que zero (porque a função exponencial é positiva), então o sinal de desigualdade não precisa ser alterado. Nós temos:

t , que estão no intervalo:

Passando para a substituição reversa, descobrimos que a desigualdade original se divide em dois casos:

A primeira desigualdade não tem solução devido à positividade da função exponencial. Vamos resolver o segundo:

Exemplo 10 Resolva a desigualdade:

Solução:

Ramos de parábola y = 2x+2-x 2 são direcionados para baixo, portanto, é limitado de cima pelo valor que atinge em seu vértice:

Ramos de parábola y = x 2 -2x+2, que está no indicador, são direcionados para cima, o que significa que é limitado por baixo pelo valor que atinge no topo:

Ao mesmo tempo, a função acaba sendo limitada por baixo y = 3 x 2 -2x+2 no lado direito da equação. Ela atinge seu menor valor no mesmo ponto da parábola no índice, e esse valor é igual a 3 1 = 3. Assim, a desigualdade original só pode ser verdadeira se a função da esquerda e a função da direita tomarem o value , igual a 3 (a interseção dos intervalos dessas funções é apenas esse número). Esta condição é satisfeita em um único ponto x = 1.

Responda: x= 1.

Para aprender a resolver equações exponenciais e desigualdades, você precisa treinar constantemente em sua solução. Vários manuais metodológicos, livros de problemas de matemática elementar, coleções de problemas competitivos, aulas de matemática na escola, bem como aulas individuais com um tutor profissional podem ajudá-lo nesta difícil tarefa. Sinceramente, desejo-lhe sucesso em sua preparação e resultados brilhantes no exame.

Sergey Valerievich

P.S. Caros convidados! Por favor, não escreva pedidos para resolver suas equações nos comentários. Infelizmente, não tenho tempo para isso. Tais mensagens serão deletadas. Por favor, leia o artigo. Talvez nele você encontre respostas para perguntas que não permitiram que você resolvesse sua tarefa sozinho.

Desigualdades irracionais

Uma desigualdade irracional é entendida como uma desigualdade em que as incógnitas estão sob o signo do radical. A solução de tais desigualdades geralmente consiste no fato de que, com a ajuda de algumas transformações, elas são substituídas por equações racionais equivalentes, desigualdades ou sistemas de equações e desigualdades (geralmente sistemas mistos, ou seja, aqueles que incluem equações e desigualdades) , e ainda a solução pode seguir as etapas descritas acima. Essas transformações são, além da mudança de variáveis ​​(introdução de novas variáveis) e fatoração, também a elevação de ambas as partes da desigualdade no mesmo grau. No entanto, neste caso é necessário monitorar a equivalência das transições de uma desigualdade para outra. Com a exponenciação irrefletida, as raízes da desigualdade podem ser perdidas e ganhas ao mesmo tempo. Por exemplo, elevando ao quadrado a desigualdade correta -1<2, мы получим верное неравенство 1<4; из верного неравенства -5<2 получается уже неверное неравенство 25<4;из неверного неравенства 1<-2 получим верное неравенство 1<4; наконец, из неверного неравенства 5<2 получим неверное неравенство 25<4. Вы видите, что возможны все комбинации верных и неверных неравенств!

No entanto, a principal afirmação usada aqui é verdadeira: se ambos os lados de uma desigualdade são não negativos, então ela é equivalente à desigualdade obtida por exponenciação termo a termo.

Ao resolver as desigualdades desta forma, deve-se tomar cuidado para não adquirir soluções estranhas. Portanto, é útil, sempre que possível, encontrar o domínio de definição da desigualdade, bem como o domínio dos valores possíveis das soluções.

Desigualdades exponenciais e logarítmicas

A solução de desigualdades exponenciais e logarítmicas é precedida pelo estudo das propriedades das funções correspondentes; realizando muitas tarefas na transformação de expressões exponenciais e logarítmicas; solução de equações contendo logaritmos e variáveis ​​no expoente. A solução das desigualdades mais simples, que são consideradas

onde significa uma das desigualdades<,>,.

A questão é que este tópico geralmente é apresentado como absolutamente novo, baseado apenas nas propriedades previamente estudadas dessas funções. É conveniente, na minha opinião, conectá-lo com a solução de desigualdades em geral (ou seja, com o algoritmo já conhecido). Deve-se notar que o método de intervalo não pode ser usado diretamente. Mas a solução de várias desigualdades exponenciais e logarítmicas é baseada nas seguintes regras:

Se a>1, então

Se 0

Se a>1, então

Se 0

Onde o sinal significa o oposto em significado para o sinal.

Usando quais desigualdades exponenciais e logarítmicas geralmente são reduzidas a racionais, que já podem ser resolvidas pelo método dos intervalos descrito acima.

Desigualdades contendo funções trigonométricas

Este tema é pouco abordado na literatura educacional e, em alguns livros didáticos, geralmente é retirado do escopo do curso em estudo (como já mencionado no Capítulo I deste trabalho). Das desigualdades trigonométricas, como regra, apenas os tipos mais simples são considerados.

Já as tarefas apresentadas na parte prática referente a este parágrafo se encontram em coleções de problemas competitivos, em coleções para candidatos e em materiais para vestibulares de faculdades técnicas de universidades. Aqueles. este material não está incluído no estudo obrigatório no ensino fundamental e médio, mas é útil.

O método intervalar é especialmente eficaz na resolução de inequações contendo funções trigonométricas. Ao resolver desigualdades puramente trigonométricas por este método, em vez do eixo numérico, é conveniente usar um círculo numérico, que é dividido pelas raízes das equações trigonométricas correspondentes (numerador e denominador) em arcos que desempenham o mesmo papel que os intervalos no eixo numérico. Nesses arcos, a expressão trigonométrica correspondente à inequação que está sendo resolvida tem sinais constantes, que podem ser determinados usando a regra de um ponto “conveniente” separado e a propriedade da multiplicidade de raízes. Muitas vezes, para determinar os próprios arcos, não é necessário encontrar todo o conjunto (infinito) de raízes das equações correspondentes; basta a partir dessas equações encontrar os valores​​das principais funções trigonométricas (seno, cosseno, tangente, cotangente) e marcar os pontos no círculo numérico correspondentes a esses valores.

Você pode usar o círculo numérico diretamente para resolver a desigualdade trigonométrica original usando o método intervalar se todas as funções pelas quais a desigualdade é escrita têm o período principal (menor positivo) ou, onde m é algum número inteiro positivo. Se o período principal dessas funções for maior que ou, você deve primeiro alterar as variáveis ​​e, em seguida, usar o círculo numérico.

Se a desigualdade contiver funções trigonométricas e outras, o eixo numérico deve ser usado para resolvê-la pelo método do intervalo.

Todos os problemas B7 que vi foram formulados da mesma maneira: resolva uma equação. Nesse caso, as próprias equações pertencem a um dos três tipos:

1. logarítmico;
2. Demonstrativo;
3. Irracional.

De um modo geral, um guia completo para cada tipo de equação levará mais de uma dúzia de páginas, indo muito além do escopo do exame. Portanto, consideraremos apenas os casos mais simples que exigem raciocínio e cálculos despretensiosos. Este conhecimento será suficiente para resolver qualquer problema B7.

Em matemática, o termo "resolver uma equação" significa encontrar o conjunto de todas as raízes de uma dada equação, ou provar que esse conjunto é vazio. Mas apenas números podem ser inseridos no formulário USE - sem conjuntos. Portanto, se houver mais de uma raiz na tarefa B7 (ou, inversamente, nenhuma) - foi cometido um erro na solução.

Equações logarítmicas

Uma equação logarítmica é qualquer equação que se reduz à forma logarítmica uma f(x) = k, Onde uma > 0, uma≠ 1 é a base do logaritmo, f(x) é uma função arbitrária, ké alguma constante.

Tal equação é resolvida introduzindo a constante k sob o sinal do logaritmo: k= registro uma uma k. A base do novo logaritmo é igual à base do original. Obtemos o log da equação uma f(x) = log uma uma k, que é resolvido descartando o logaritmo.

Observe que, pela condição uma> 0, então f(x) = uma k> 0, ou seja o logaritmo original existe.

Uma tarefa. Resolva a equação: log 7 (8 − x) = 2.

Solução. log 7 (8 − x) = 2 ⇔ log 7 (8 − x) = log 7 7 2 ⇔ 8 − x = 49 ⇔ x = −41.

Uma tarefa. Resolva a equação: log 0,5 (6 − x) = −2.

Solução. log 0,5 (6 − x) = −2 ⇔ log 0,5 (6 − x) = log 0,5 0,5 −2 ⇔ 6 − x = 4 ⇔ x = 2.

Mas e se a equação original for mais complicada do que o logaritmo padrão uma f(x) = k? Em seguida, reduzimos ao padrão, coletando todos os logaritmos em uma direção e os números na outra.

Se houver mais de um logaritmo na equação original, você terá que procurar a faixa de valores aceitáveis ​​(RTV) de cada função abaixo do logaritmo. Caso contrário, raízes extras podem aparecer.

Uma tarefa. Resolva a equação: log 5 ( x+ 1) + log 5 ( x + 5) = 1.

Como existem dois logaritmos na equação, encontramos a ODZ:

1. x + 1 > 0 ⇔ x > −1
2. x + 5 > 0 ⇔ x > −5

Obtemos que a ODZ é o intervalo (−1, +∞). Agora resolvemos a equação:

registro 5 ( x+ 1) + log 5 ( x+ 5) = 1 ⇒ log 5 ( x + 1)(x+ 5) = 1 ⇔ log 5 ( x + 1)(x+ 5) = log 5 5 1 ⇔ ( x + 1)(x + 5) = 5 ⇔ x 2 + 6x + 5 = 5 ⇔ x (x + 6) = 0 ⇔ x 1 = 0, x 2 = −6.

Mas x 2 = -6 não se qualifica para ODZ. Permanece a raiz x 1 = 0.

equações exponenciais

Uma equação exponencial é qualquer equação que se reduz à forma uma f(x) = k, Onde uma > 0, uma≠ 1 - base de grau, f(x) é uma função arbitrária, ké alguma constante.

Esta definição quase literalmente repete a definição de uma equação logarítmica. As equações exponenciais são resolvidas ainda mais facilmente do que as logarítmicas, porque aqui não é necessário que a função f(x) foi positivo.

Para resolver isso, fazemos a substituição k = uma t, Onde t De um modo geral, o logaritmo ( t= registro uma k), mas no USE os números uma e k será escolhido de modo que para encontrar t será fácil. Na equação resultante uma f(x) = uma t as bases são iguais, o que significa que os expoentes são iguais, ou seja, f(x) = t. A solução da última equação, via de regra, não causa problemas.

Uma tarefa. Resolver a equação: 7 x − 2 = 49.

Solução. 7 x − 2 = 49 ⇔ 7 x − 2 = 7 2 ⇔ x − 2 = 2 ⇔ x = 4.

Uma tarefa. Resolva a equação: 6 16 − x = 1/36.

Solução. 6 16 - x = 1/36 ⇔ 6 16 − x = 6 −2 ⇔ 16 − x = −2 ⇔ x = 18.

Um pouco sobre a transformação de equações exponenciais. Se a equação original for diferente de uma f(x) = k , aplicamos as regras para trabalhar com graus:

1. uma n · uma m = uma n + m ,
2. uma n / uma m = uma n − m ,
3. (uma n) m = uma n · m .

Além disso, você precisa conhecer as regras para substituir raízes e frações por graus com um expoente racional:

Tais equações são extremamente raras no USE, mas sem elas a análise do problema B7 seria incompleta.

Uma tarefa. Resolver a equação: (5/7) x− 2 (7/5) 2 x − 1 = 125/343

Notar que:

1. (7/5) 2x − 1 = ((5/7) −1) 2x − 1 = (5/7) 1 − 2x ,
2. 125/343 = (5 3) /(7 3) = (5/7) 3 .

Temos: (5/7) x− 2 (7/5) 2 x − 1 = 125/343 ⇔ (5/7) x− 2 · (5/7) 1 − 2 x = (5/7) 3 ⇔ (5/7) x − 2 + 1 − 2x = (5/7) 3 ⇔ (5/7) −x − 1 = (5/7) 3 ⇔ −x − 1 = 3 ⇔ x = −4.

Equações irracionais

Por irracional entende-se qualquer equação que contenha o sinal da raiz. De toda a variedade de equações irracionais, consideraremos apenas o caso mais simples, quando a equação tem a forma:

Para resolver esta equação, elevamos ambos os lados ao quadrado. Obtemos a equação f(x) = uma 2. Neste caso, o requisito da ODZ é automaticamente atendido: f(x) ≥ 0, porque uma 2 ≥ 0. Resta resolver uma equação simples f(x) = uma 2 .

Uma tarefa. Resolva a equação:

Elevamos ambos os lados ao quadrado e obtemos: 5 x − 6 = 8 2 ⇔ 5x − 6 = 64 ⇔ 5x = 70 ⇔ x = 14.

Uma tarefa. Resolva a equação:

Primeiro, como da última vez, elevamos os dois lados ao quadrado. E então adicionaremos um sinal de menos ao numerador. Nós temos:

Observe que quando x= −4 haverá um número positivo sob a raiz, ou seja o requisito da ODZ foi cumprido.