Tipo de trabalho: 7

Doença

A figura mostra um gráfico de y \u003d f "(x) - a derivada da função f (x), definida no intervalo (-4; 10). Encontre os intervalos da função decrescente f (x). Em sua resposta , indique o comprimento do maior deles.

Mostrar solução

Solução

Como você sabe, a função f (x) diminui nesses intervalos, em cada ponto em que a derivada f "(x) é menor que zero. Considerando que é necessário encontrar o comprimento do maior deles, três desses intervalos são naturalmente distinguidos da figura: (-4; -2) ;(0;3);(5;9).

O comprimento do maior deles - (5; 9) é igual a 4.

Responda

Tipo de trabalho: 7
Tópico: Aplicação da derivada ao estudo de funções e plotagem

Doença

A figura mostra um gráfico de y \u003d f "(x) - a derivada da função f (x), definida no intervalo (-8; 7). Encontre o número de pontos máximos da função f (x) pertencentes ao intervalo [-6; -2].

Mostrar solução

Solução

O gráfico mostra que a derivada f "(x) da função f (x) muda de sinal de mais para menos (haverá um máximo nesses pontos) em exatamente um ponto (entre -5 e -4) do intervalo [ -6; -2 Portanto, há exatamente um ponto máximo no intervalo [-6;-2].

Responda

Fonte: "Matemática. Preparação para o exame 2017. nível do perfil. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Tipo de trabalho: 7
Tópico: Aplicação da derivada ao estudo de funções e plotagem

Doença

A figura mostra um gráfico da função y=f(x) definida no intervalo (-2; 8). Determine o número de pontos onde a derivada da função f(x) é igual a 0 .

Mostrar solução

Solução

Se a derivada em um ponto é igual a zero, então a tangente ao gráfico da função desenhada neste ponto é paralela ao eixo Ox. Portanto, encontramos tais pontos nos quais a tangente ao gráfico da função é paralela ao eixo Ox. Neste gráfico, tais pontos são pontos extremos (pontos máximos ou mínimos). Como você pode ver, existem 5 pontos extremos.

Responda

Fonte: "Matemática. Preparação para o exame 2017. nível do perfil. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Tipo de trabalho: 7
Tópico: Aplicação da derivada ao estudo de funções e plotagem

Doença

A figura mostra um gráfico da função y=f(x) e os pontos marcados -6, -1, 1, 4 no eixo x. Em qual desses pontos o valor da derivada é o menor? Indique este ponto na sua resposta.

Mostrar solução

Solução

Traçamos tangentes ao gráfico da função em pontos com as abcissas indicadas. Determinamos em que ângulo eles estão inclinados para a direção positiva do eixo Ox. Como você sabe, o valor da tangente do ângulo especificado é o valor da derivada nos pontos especificados.

Nos pontos -1 e 4, as tangentes são inclinadas em um ângulo agudo, de modo que o valor da derivada é negativo nesses pontos. Considerando que no ponto x=-6 a tangente está inclinada em um ângulo obtuso menor (mais próximo da linha vertical), o valor da derivada neste ponto é o menor.

Responda

Fonte: "Matemática. Preparação para o exame 2017. nível do perfil. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Tipo de trabalho: 7
Tópico: Aplicação da derivada ao estudo de funções e plotagem

Doença

A figura mostra um gráfico de y \u003d f "(x) - a derivada da função f (x), definida no intervalo (-9; 4). Encontre os intervalos de aumento da função f (x). Em seu resposta, indique o comprimento do maior deles.

Mostrar solução

Solução

Como você sabe, a função f (x) aumenta nesses intervalos, em cada ponto em que a derivada f "(x) é maior que zero. Considerando que é necessário encontrar o comprimento do maior deles, três desses intervalos distinguem-se naturalmente da figura: (-9; -8) ; (-5; -1); (1; 4).

O comprimento do maior deles (-5; -1) é 4.

Responda

Fonte: "Matemática. Preparação para o exame 2017. nível do perfil. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Tipo de trabalho: 7
Tópico: Aplicação da derivada ao estudo de funções e plotagem

Doença

A figura mostra um gráfico de y \u003d f "(x) - a derivada da função f (x), definida no intervalo (-8; 7). Encontre o número de pontos mínimos da função f (x) pertencentes ao intervalo [-4; 3].

Se em algum intervalo o gráfico da função é uma linha contínua, em outras palavras, uma linha que pode ser desenhada sem um lápis em uma folha de papel, então essa função é chamada de contínua nesse intervalo. Existem também funções que não são contínuas. Como exemplo, considere o gráfico de uma função que, nos intervalos e [c; b] é contínua, mas em um ponto
x = c é descontínua e, portanto, não é contínua em todo o segmento. Todas as funções que estudamos no curso de matemática escolar são funções contínuas em cada intervalo em que são definidas.

Observe que se uma função tem uma derivada em algum intervalo, então ela é contínua nesse intervalo.

O inverso não é verdadeiro. Uma função que é contínua em um intervalo pode não ter derivada em alguns pontos desse intervalo. Por exemplo, a função
y = |log 2 x| é contínua no intervalo x > 0, mas no ponto x = 1 não tem derivada, pois neste ponto o gráfico da função não tem tangente.

Considere traçar gráficos usando a derivada.

Plote a função f(x) = x 3 - 2x 2 + x.

Solução.

1) Esta função é definida para todo x ∈ R.

2) Encontre os intervalos de monotonicidade da função em consideração e seu ponto extremo usando a derivada. A derivada é f "(x) = 3x 2 - 4x + 1. Encontre os pontos estacionários:
3x 2 - 4x + 1 \u003d 0, de onde x 1 \u003d 1/3, x 2 \u003d 1.

Para determinar o sinal da derivada, decompomos o trinômio quadrado 3x 2 - 4x + 1 em fatores:
f "(x) \u003d 3 (x - 1/3) (x - 1). Portanto, nos intervalos x< 1/3 и х >1 derivada é positiva; então a função é crescente nesses intervalos.

A derivada é negativa em 1/3< х < 1; следовательно, функция убывает на этом интервале.

O ponto x 1 \u003d 1/3 é o ponto máximo, pois a função diminui à direita desse ponto e aumenta à esquerda. Neste ponto, o valor da função é f (1/3) = (1/3) 3 - 2(1/3) 2 + 1/3 = 4/27.

O ponto mínimo é o ponto x 2 \u003d 1, pois a função diminui à esquerda desse ponto e aumenta à direita; seu valor neste ponto mínimo é f(1) = 0.

3) Ao construir um gráfico, geralmente são encontrados os pontos de interseção do gráfico com os eixos coordenados. Como f(0) = 0, o gráfico passa pela origem. Resolvendo a equação f(0) = 0, encontramos os pontos de interseção do gráfico com o eixo x:

x 3 - 2x 2 + x \u003d 0, x (x 2 - 2x + 1) \u003d 0, x (x - 1) 2 \u003d 0, de onde x \u003d 0, x \u003d 1.

4) Para uma plotagem mais precisa, vamos encontrar os valores da função em mais dois pontos: f(-1/2) = -9/8, f(2) = 2.

5) Usando os resultados do estudo (pontos 1 - 4), construímos um gráfico da função y \u003d x 3 - 2x 2 + x.

Para plotar uma função, geralmente primeiro investigamos as propriedades dessa função usando sua derivada de acordo com um esquema semelhante ao esquema da solução do Problema 1.

Assim, ao estudar as propriedades de uma função, é necessário encontrar:

1) a área de sua definição;

2) derivado;

3) pontos estacionários;

4) intervalos de aumento e diminuição;

5) pontos extremos e valores de função nesses pontos.

Os resultados do estudo são convenientemente registrados na forma de uma tabela. Em seguida, usando a tabela, construa um gráfico da função. Para uma plotagem mais precisa, geralmente são encontrados os pontos de sua interseção com os eixos coordenados e, se necessário, mais alguns pontos do gráfico.

Se estivermos diante de uma função par ou ímpar, então para construindo seu gráfico, basta investigar as propriedades e construir seu gráfico para x\u003e 0 e depois refleti-lo simetricamente em torno do eixo y (origem). Por exemplo, analisando a função f(x) = x + 4/x, chegamos à conclusão de que esta função é ímpar: f(-x) = -x + 4/(-x) = -(x + 4/ x) = -f(x). Tendo completado todos os pontos do plano, construímos um gráfico da função para x\u003e 0 e o gráfico dessa função para x< 0 получаем посредством симметричного отражения графика при х >0 em relação à origem.

Para brevidade na resolução de problemas para funções de plotagem, a maior parte do raciocínio é realizada oralmente.

Também notamos que ao resolver alguns problemas, podemos encontrar a necessidade de estudar a função não em todo o domínio de definição, mas apenas em um determinado intervalo, por exemplo, se você precisar plotar, digamos, a função f(x) = 1 + 2x 2 - x 4 no segmento [-1; 2].

site, com cópia total ou parcial do material, é necessário um link para a fonte.

A variável é chamada função variável , se cada valor válido corresponde a um único valor . variável é chamado variável independente ou argumento funções.

O conjunto de todos os valores de argumentos para os quais a função assume determinados valores reais é chamado domínio de definição esta função. O conjunto de todos os valores de uma função é chamado seu alcance.

Escopo e escopo de uma função f simbolizado
e
respectivamente. Domínio
chamado conjunto simétrico se junto com cada elemento ele também contém o elemento oposto (
).

Investigue se uma função é par ou ímpar.

Função
chamado até

para todos
.

Função f chamado ímpar, se seu domínio for
é um conjunto simétrico e a igualdade
para todos
.

O gráfico de uma função par é simétrico em relação ao eixo y OS, e o gráfico de uma função ímpar é relativo à origem. Portanto, se a função em estudo for par ou ímpar, basta estudá-la para valores positivos do argumento do domínio de sua definição.

Investigue se a função é periódica.

Vários
chamado periódica com período T (
), se para qualquer
realizado
e
.

Função f chamado periódico com período T, E se
- conjunto periódico com período T e para qualquer
igualdade
.

Gráfico periódico com período T função entra em si mesma quando deslocada por T ao longo do eixo x.

Em linha reta
na superfície
chamado assíntota vertical funções
, se um dos limites laterais
ou
é igual a
.

Assim, o direto
é a assíntota vertical da função
se ponto - ponto de ruptura do segundo tipo para a função
.

Investigue o comportamento de uma função no infinito e encontre suas assíntotas horizontais e oblíquas.

Em linha reta
chamado assíntota oblíqua gráfico de função
no
(
), E se
no
(
).

Teorema 1. Para a existência de uma assíntota oblíqua
no
funções
necessário e suficiente para
condições foram atendidas:

1.
,
,

2.
,
.

Encontre pontos extremos e intervalos de aumento e diminuição da função.

Função
chamado aumentando(minguante) no
, se para qualquer
da desigualdade
segue a desigualdade
(
).

As funções crescentes e decrescentes são chamadas monótono.

Teorema 2(condição suficiente para a monotonicidade). Deixe a função
definido e contínuo em
e diferenciável por
. Se um
(
), então
aumenta (diminui)
.

Ponto
chamado ponto máximo (ponto mínimo) funções
se em todos os pontos , suficientemente próximo do ponto
(
).

O valor da função no ponto de máximo (mínimo) é chamado máximo (mínimo) funções.

Ponto
chamado ponto máximo estrito (mínimo estrito) funções
se em todos os pontos , suficientemente próximo do ponto e diferente disso, a desigualdade
(
).

Valor da função no ponto chamado máximo estrito (mínimo estrito) funções.

Os pontos de máximo e mínimo são chamados pontos extremos, e os valores da função neles são extremos funções.

Teorema 3(condição extrema necessária). Se a função
tem no ponto extremo, então a derivada da função neste ponto é igual a zero ou não existe.

Ponto chamado ponto estacionário funções
, E se
. Ponto chamado ponto crítico funções
, E se
ou não existe.

Segue do Teorema 3 que apenas pontos críticos podem ser pontos extremos. O inverso nem sempre é verdade.

Teorema 4(Condição suficiente para um extremo. Primeira regra). Deixe no ponto
função derivada
desaparece e muda de sinal ao passar por este ponto, então o ponto é o ponto extremo da função, e se:

1)
no
e
no
, então
- ponto de máximo estrito;

2)
no
e
no
, então
é um ponto mínimo estrito.

Teorema 5(Condição suficiente para um extremo. Segunda regra). Se no ponto
primeira derivada da função
é igual a zero, e a segunda derivada é diferente de zero, então - ponto extremo, e:

1) é o ponto máximo, se
;

2) é o ponto mínimo, se
.

Um algoritmo para encontrar pontos extremos para uma função contínua em
:

Vamos encontrar pontos críticos
funções
no
. Vamos organizá-los em ordem crescente: Eles compartilham
nos intervalos
,
,…,
. Em cada um deles
, é de sinal constante (positivo ou negativo). Para determinar o sinal de uma derivada em um intervalo, é necessário determinar seu sinal em qualquer ponto do intervalo. Então, mudando o sinal da derivada durante a transição de um intervalo para outro, determinamos os pontos extremos de acordo com o Teorema 4.

Determinação das direções de convexidade do gráfico da função e dos pontos de inflexão.

Deixe a função
diferenciável por
. Então existe uma tangente ao gráfico da função
em qualquer ponto
,
, e essas tangentes não são paralelas ao eixo
.

Função
chamado convexo para cima (caminho) no
se o gráfico da função estiver dentro de
não está acima (nem abaixo) de nenhuma de suas tangentes.

Teorema 6(condição suficiente para a convexidade). Deixe a função
duplamente diferenciável em
. Então se
(
) no
, então a função é convexa para baixo (para cima) em
.

Ponto chamado ponto de inflexão funções
se a direção da convexidade da função muda ao passar por este ponto
.

Teorema 7(condição de flexão necessária). Se no ponto de inflexão funções
a segunda derivada existe e é contínua, então é igual a zero neste ponto.

Teorema 8(condição suficiente para inflexão). Se um
e

1)
muda de sinal ao passar , então - ponto de inflexão da função
;

2)
não muda de sinal ao passar , então não é um ponto de inflexão da função
.

Plotando uma função.

cronograma funções
é o conjunto de pontos no plano cujas coordenadas satisfazem a dependência funcional dada.

Exemplo 7.1. Função Explorar

Solução.

, uma vez que esta função é um polinômio.

Examinamos a função de monotonicidade, encontramos os pontos extremos.

Vamos primeiro encontrar os pontos críticos da função.

, pois a derivada também é um polinômio.


ou
, ou
. Consequentemente,
,
,
são os pontos críticos da função.

H vamos colocar os pontos críticos da função na reta real e determinar os sinais derivado

Entre
,
a função é decrescente, nos intervalos
,
a função é crescente.

pontos
e
são os pontos de mínimo da função, .

Ponto
é o ponto de máximo da função,
.

Examinamos a função para a direção da convexidade, encontramos os pontos de inflexão.



.

Vamos colocar pontos X 1 e X 2 na reta numérica e determine os sinais segunda derivada em cada um dos intervalos resultantes.

H e entre
e
a função é convexa para baixo, no intervalo
a função é convexa para cima. pontos
e
são pontos de inflexão.

Exemplo 7.2. Função Explorar
na monotonicidade e direção da convexidade, encontre os pontos extremos e de inflexão.

Solução.

Encontre o domínio da função.

:

 .

2. Investigamos a função para monotonicidade, encontramos os pontos extremos.

, .



. Consequentemente,
– ponto crítico da função.

Traçamos o domínio da função e o ponto crítico na reta real. Vamos determinar os sinais da derivada em cada um dos intervalos resultantes.

H e entre
,
a função é decrescente, no intervalo
a função é crescente. Ponto
- ponto máximo,
.

3. Determine a direção da convexidade do gráfico da função e encontre os pontos de inflexão.



.

T pontos
- ponto de possível inflexão. Vamos determinar os sinais da segunda derivada nos intervalos
,
,
.

Entre
,
a função é convexa para cima, no intervalo
a função é convexa para baixo. Ponto
- ponto de inflexão.

Exemplo 7.3. Conduza um estudo completo da função
e plotá-lo.

Solução. 1.
.

2. A função não é nem par nem ímpar.

3. A função não é periódica.

4. Encontre os pontos de intersecção do gráfico com os eixos coordenados e intervalos de constância. Eixo O X o gráfico não se cruza, porque
para todos
. Eixo O no:
,
.

no
,
no
.

5. A função é contínua no domínio da definição, pois é elementar,
- ponto de ruptura. Vamos explorar a natureza da lacuna:

,
.

Consequentemente,
– ponto de descontinuidade do segundo tipo, linha reta
é a assíntota vertical do gráfico da função.

6. Estudamos o comportamento da função para
e em
:

,
. Portanto, uma linha reta
é a assíntota horizontal do gráfico da função em
.

Porque
, então outras assíntotas oblíquas em
não.

Descubra se existem assíntotas oblíquas para
:

. Portanto, quando
não há assíntotas oblíquas.

7. Investigamos a função para monotonicidade e extremo.

,

- ponto mínimo
- mínimo.

8. Examinamos a função para a direção da convexidade e inflexão.

=

.

no
,não existe no ponto
.Não há pontos de inflexão.

9. Vamos construir um gráfico da função (Fig. 4).

Figura 4 - Ilustração por exemplo 7.3.

Exemplo 7.4. Função Explorar
e plotá-lo.

Solução. Vamos explorar esse recurso.

,
.

Investigamos o comportamento da função no infinito e encontramos as assíntotas horizontais e oblíquas:

Porque
, então não há assíntotas horizontais.

,

Assim, existe uma única assíntota oblíqua

Examinamos a função para monotonicidade e encontramos extremos:

.

A partir de
deve
, Onde
,
.

No intervalo

, portanto, a função aumenta nesse intervalo; dentro

, ou seja, a função é decrescente. Portanto, o ponto
é o ponto máximo:
. No intervalo

, portanto, a função diminui nesse intervalo; dentro

, ou seja, a função é crescente. No ponto
temos um mínimo:
.

Examinamos o gráfico da função para a direção da convexidade e determinamos os pontos de inflexão. Para isso encontramos

Obviamente, no intervalo

, portanto, neste intervalo a curva é convexa para cima; no intervalo

, ou seja, neste intervalo, a curva é convexa para baixo. Desde em
função não está definida, então não há ponto de inflexão.

O gráfico da função é mostrado na Fig. 5.

Figura 5 - Ilustração por exemplo 7.3.

Algoritmo para resolver o problema de traçar um gráfico de função.

1. Encontre o domínio da função.

2. Encontre a derivada da função.

3.Encontre pontos estacionários.

4. Determine o sinal da derivada nos intervalos obtidos.

5. Determinar intervalos de monotonicidade.

6. determine os pontos de extremos e encontre o valor da função nesses pontos.

7. Faça uma mesa.

8. Encontre pontos adicionais.

9. Faça um gráfico da função.

Por exemplo. Explore uma função usando uma derivada e trace seu gráfico.

1. OOF:

2.

9. .___+____.___-____.___+_______

9. , então a função aumenta;

Então a função é decrescente;

Essa função aumenta;

6. - ponto máximo, porque derivativo mudou o sinal de + para - ;

O ponto mínimo, porque A derivada mudou de sinal de - para +.

X
	+		-		+

8. Pontos adicionais:

9. Construindo um gráfico.

2.3 . Variantes de trabalhos de controle.

Exame nº 1 sobre o tema "Derivativo" B-1

uma ) f(x)\u003d 4x 2 + 6x + 3, x 0 \u003d 1;

b) ;

dentro) f(x)\u003d (3x 2 +1) (3x 2 -1), x 0 \u003d 1;

G ) f(x)= 2x cosx,

a) f(x)= 5 3x-4 ;

b) f(x) = sen(4x-7);

d) f (x) \u003d ln (x 3 + 5x).

3. Encontre a inclinação da tangente ao gráfico da função f (x) \u003d 4 - x 2 no ponto x 0 \u003d -3.

No ponto com a abcissa x 0 = -1.

f (x) \u003d x 2 - 2x no ponto com a abcissa x 0 \u003d -2.

6. A equação do movimento do corpo tem a forma s(t) = 2,5t 2 + 1,5t. Encontre a velocidade do corpo 4 segundos após o início do movimento.

7.

Exame nº 1 sobre o tema "Derivativo" B-2

uma ) f(x)\u003d x 4 -3x 2 +5, x 0 \u003d -3;

b) ;

dentro) f(x)\u003d (2x 2 +1) (4 + x 3), x 0 \u003d 1;

G ) f(x)=2x senx-1,

2. Encontre a derivada da função:

a) f (x) \u003d 4 2 x -1;

b) f(x) = cos(4x+5);

d) f(x) = +2x.

3. Encontre a inclinação da tangente ao gráfico da função f (x) \u003d - x 4 + x 3 no ponto x 0 \u003d - 1.

4. Em que ponto a tangente ao gráfico da função

f (x) \u003d 3x 2 -12x +11 paralelo ao eixo x?

5. Escreva a equação da tangente ao gráfico da função

f (x) \u003d x 3 - 3x 2 + 2x - 1 no ponto com a abcissa x 0 \u003d 2.

6. O ponto se move de acordo com uma lei retilínea x(t) = 2,5t 2 -10t + 11. Em que instante a velocidade do corpo será igual a 20? (coordenada é medida em metros, tempo - em segundos).

7. Explore a função usando a derivada e construa um gráfico:

Exame nº 1 sobre o tema "Derivativo" B-3

1. Encontre o valor da derivada no ponto x 0

uma ) f(x)\u003d 7x 2 -56x + 8, x 0 \u003d 4;

b) ;

dentro) f(x)

G ) f(x)=3x senx,

2. Encontre a derivada da função:

a) f (x) \u003d 2 5 x +3;

b) f(x) = сos(0,5x+3);

d) f(x) = +5x.

3. Encontre a inclinação da tangente ao gráfico da função f (x) \u003d 2x 2 + x no ponto x 0 \u003d -2.

4. Em que ponto a tangente ao gráfico da função f (x) \u003d x 2 + 4x - 12 é paralela ao eixo x?

5. Escreva a equação da tangente ao gráfico da função

f (x) \u003d -x 2 -3x + 2 no ponto com a abcissa x 0 \u003d -1.

6. O ponto se move de acordo com a lei retilínea x(t) = 3t 2 + t + 4. Em que instante a velocidade do corpo será igual a 7? (coordenada em metros, tempo em segundos)

Exame nº 1 sobre o tema "Derivativo" B-4

1. Encontre o valor da derivada no ponto x 0

uma ) f(x)\u003d x 5 -4x + 8, x 0 \u003d 2;

b) ;

dentro) f(x)\u003d (x 3 +7) (3x 2 -1), x 0 \u003d -1;

G ) f(x)=5x cosx+2,

2. Encontre a derivada da função:

a) f(x)= 3 4 x- 1 ;

b) f(x) = 2sin (2,5x-2);

d) f(x) = ln (2x 3 + x).

3. Encontre a inclinação da tangente ao gráfico da função f (x) \u003d 0,5x 2 + 1 no ponto x 0 \u003d 3.

4. Encontre o ângulo de inclinação da tangente ao gráfico da função no ponto com a abcissa x 0 = 1.

5. Escreva a equação da tangente ao gráfico da função

f(x) = x 2 +2x+1 em c

abscissa x 0 = - 2.

6. O ponto se move de acordo com a lei retilínea x(t) = 4t + t 2 - . Encontre sua velocidade no instante t = 2 (a coordenada é medida em metros, o tempo em segundos.)

7. Explore a função usando a derivada e construa um gráfico:

Exame nº 1 sobre o tema "Derivativo" B-5

1. Encontre o valor da derivada no ponto x 0

uma ) f(x)\u003d 3x 5 -12x 2 + 6x + 2, x 0 \u003d 1;

b) ;

dentro) f(x)= (2x+1) (x-5), x 0 = 2;

G ) f(x)=2x cos3x,

2. Encontre a derivada da função:

a) f(x)= 2 3x-4 ;

b) f (x) \u003d sin (3x 2 - 2);

d) f (x) \u003d ln (x 2 + 5x).

3. Encontre a inclinação da tangente ao gráfico da função f (x) \u003d 3x 2 + 40x -10 no ponto x 0 \u003d -1.

4. Encontre o ângulo de inclinação da tangente ao gráfico da função

f (x) \u003d no ponto com a abcissa x 0 \u003d - 1.

5. Escreva a equação da tangente ao gráfico da função

f (x) \u003d x 2 -2x + 3 no ponto com a abcissa x 0 \u003d - 2.

6. O ponto se move de acordo com a lei retilínea x(t) = 3t 3 +2t+1. Encontre sua velocidade no instante t = 2 (a coordenada está em metros, o tempo está em segundos.)

7. Explore a função usando a derivada e construa um gráfico:

Exame nº 1 sobre o tema "Derivativo" B-6

1. Encontre o valor da derivada no ponto x 0

uma ) f(x)\u003d 5x 3 -6x 4 + 3x 2 +1, x 0 \u003d 1;

b) ;

dentro) f(x)\u003d (x 2 +1) (x 3 -2), x 0 \u003d 1;

G ) f(x)=2x sen5x,

2. Encontre a derivada da função:

a) f(x)= 2 3 x+ 5 ,

b) f(x) = сos(3x-1);

d) f(x) = -2x.

3. Encontre o ângulo de inclinação da tangente ao gráfico da função

f (x) \u003d 3x 3 -35x + 8 no ponto x 0 \u003d 2.

4. Em que ponto a tangente ao gráfico da função f (x) \u003d x 3 -3x + 1 é paralela ao eixo x?

5. Escreva a equação da tangente ao gráfico da função

f (x) \u003d x 2 + 3x-2 no ponto com a abcissa x 0 \u003d -1.

6. O ponto se move de acordo com a lei retilínea x(t) = 3t 2 -2t+4. Em que instante a velocidade do corpo será 4? (coordenada em metros, tempo em segundos)

7. Explore a função usando a derivada e construa um gráfico:

Exame nº 3 sobre o tema "Derivativo" B-7

1. Encontre o valor da derivada no ponto x 0

uma ) f(x)\u003d x 6 -3x 2 +2, x 0 \u003d 2;

b) ;

dentro) f(x)\u003d (x 3 -4) (3x 2 +1), x 0 \u003d 2;

G ) f(x)=5x cosx+2,

2. Encontre a derivada da função:

a) f(x)= 3 4 x + 2 ;

b) f(x) = 2sen(5x+2);

d) f(x) = ln (3x 2 - x).

3. Encontre a inclinação da tangente ao gráfico da função f (x) \u003d 0,5x 2 -1 no ponto x 0 \u003d - 3.

4. Encontre o ângulo de inclinação da tangente ao gráfico da função no ponto com a abcissa x 0 = -1.

5. Escreva a equação da tangente ao gráfico da função

f (x) \u003d x 2 + 2x + 1 no ponto com a abcissa x 0 \u003d - 2.

6. O ponto se move de acordo com a lei retilínea x(t) = 4t - t 2 + . Encontre sua velocidade no instante t = 2 (a coordenada está em metros, o tempo está em segundos.)

7. Explore a função usando a derivada e construa um gráfico:

Exame nº 1 sobre o tema "Derivativo" B-8

1. Encontre o valor da derivada no ponto x 0

uma ) f(x)\u003d x 4 -2x 3 + 5x-1, x 0 \u003d 2;

b) ;

dentro) f(x)\u003d (2x 2 +1) (1 + x 3), x 0 \u003d 2;

G ) f(x)=2x senx-1,

2. Encontre a derivada da função:

a) f (x) \u003d 5 2 x +3,

b) f(x) = cos(5x 2 +1);

d) f(x) = +5x.

3. Encontre a inclinação da tangente ao gráfico da função f (x) \u003d x 4 -x 2 no ponto x 0 \u003d 1.

4. Encontre o ângulo de inclinação da tangente ao gráfico da função

f (x) \u003d no ponto com a abcissa x 0 \u003d 2.

5. Escreva a equação da tangente ao gráfico da função

f (x) \u003d x 3 -3x 2 + 2x no ponto com a abcissa x 0 \u003d 2.

6. O ponto se move de acordo com a lei retilínea x(t) = 2,5t 2 - 10t +6. Encontre a velocidade do corpo no instante t = 4 (a coordenada é medida em metros, o tempo em segundos).

7. Explore a função usando a derivada e construa um gráfico:

Informação sobre o autor

Osiptsova Galina Petrovna

Local de trabalho, cargo:

MBOU "Escola secundária No. 12" da cidade de Vyborg, professora de matemática.

região de Leningrado

Características da aula (aulas)

O nível de escolaridade:

Educação geral secundária (completa)

O público alvo:

Professor professor)

Aulas):

Itens):

Álgebra

Itens):

Matemáticas

O objetivo da lição:

Formar a capacidade de aplicar a derivada ao estudo de funções e plotagem.

Desenvolva o pensamento lógico, a capacidade de analisar, a capacidade de colocar um problema, resolvê-lo.

Cultive o desejo de expressar sua opinião.

Tipo de aula:

Lição de estudo e consolidação primária de novos conhecimentos

Alunos da turma:

Livros e tutoriais usados:

WCU: S. M. Nikolsky, M. K. Potapov, N. N. Reshetnikov, A. V. Shevkin

Literatura metodológica usada:

M.K. Potapov, A.V. Shevkin "Álgebra e os primórdios da análise matemática, 10". O livro para o professor. M: "Iluminismo" 2010.

Equipamento usado:

Computador, câmera de documentos, mesa com o algoritmo de pesquisa de funções, cartões de tarefas.

Pequena descrição:

1. Abordagem sistema-atividade na construção de uma aula de álgebra e análise iniciada no 11º ano.

Aula de álgebra e começou a análise na 11ª série

(UMC: S. M. Nikolsky, M. K. Potapov, N. N. Reshetnikov, A. V. Shevkin)

Tópico da lição: "Aplicação da derivada à construção de gráficos de funções"

Os principais objetivos da aula:

formar a capacidade de aplicar a derivada ao estudo de funções e plotagem;

desenvolver a capacidade de colocar um problema, resolvê-lo, o pensamento lógico, a capacidade de analisar;

nutrir o desejo de expressar sua opinião.

Equipamentos e apostilas: computador, câmera de documentos, mesa com o algoritmo de pesquisa de funções, cartões de tarefas.

Durante as aulas

Motivação da atividade educativa.

Olá, pessoal.

O que você aprendeu nas aulas anteriores? (como usar a derivada para encontrar pontos críticos, intervalos de aumento, diminuição de uma função, seus extremos, o maior (menor) valor).

Nesta lição, continuaremos a explorar funções usando a derivada.

Atualização de conhecimento.

Na tela você vê um gráfico da função y=f(x):

Que propriedades de uma função podem ser determinadas a partir de um gráfico? Nomeie-os.

Resposta: 1) D(f) = R;

2) a função é contínua

3) A função aumenta no segmento [-2; 0,5] e no intervalo e em , e, portanto, f "(x)< 0 на (-∞; -2) и на (0,5; 3).

pontos máximos da função: x pontos mínimos : x=-2 x=3;

4) o maior valor da função não existe, o menor é -2 em = 3;

E(f) = [-2; +∞).

Como encontrar pontos extremos de uma função? (Se a derivada, ao passar por um ponto crítico, muda de sinal de "+" para "-", então este ponto é um ponto de máximo, se a derivada, ao passar por um ponto crítico, muda de sinal de

“-” para “+”, então este ponto é um ponto mínimo, se a derivada não muda de sinal ao passar por um ponto crítico, então este ponto crítico não é um ponto extremo.

− Formular um algoritmo para encontrar intervalos de aumento, diminuição e extremos da função no = f(x) dado analiticamente.

Os alunos formulam, as etapas do algoritmo são abertas sequencialmente na tela.

Algoritmo.

1. Encontre o domínio da função.

2. Encontre a derivada da função.

3. Encontre pontos críticos.

4. Marque o domínio de definição e pontos críticos na reta real. Usando o método generalizado dos intervalos, determine os sinais da derivada nos intervalos obtidos.

5. Usando sinais suficientes, encontre intervalos de aumento, diminuição e extremos da função.

Agora examine a função f(x) =⅓x³ + 2x² + 3x.

O professor escreve no quadro-negro enquanto os alunos ditam. Os alunos trabalham em cadernos.

1. D(f) = R, f(x) é contínua em D(f).

   A função não é nem par nem ímpar, não periódica.

Pontos de interseção

com o eixo x: (0; 0) e (-3; 0), porque

f(x) = 0, ou seja, ⅓x³ + 2x² + 3x = 0

⅓x(x² + 6x + 9) = 0

⅓x (x + 3)² = 0

com eixo y: (0; 0).

Derivada da função: f "(x) \u003d x² + 4x + 3, D (f "(x)) \u003d R

pontos críticos: f "(x) \u003d 0 em x \u003d -3, x \u003d -1.

Marcamos os pontos críticos na reta numérica e determinamos os sinais da derivada nos intervalos obtidos:

f "(x) > 0 em (-∞; -3) e em (-1; +∞); f "(x)< 0 на (-3; -1), значит, f(x) возрастает на (-∞; -3] и на [-1; +∞), убывает на [-3; -1].

f máximo= 0 em x = -3, f min= -4 em x = -1

4) A função não possui valores máximos e mínimos.

O que você repetiu?

Qual você acha que será a próxima tarefa que vou lhe oferecer?

Então você fez sua pesquisa de recursos. E agora você precisa, usando os resultados do estudo, traçar a função f (x) \u003d ⅓x³ + 2x² + 3x.

Você terá alguma dificuldade?

3. Identificação de dificuldades, problemas

A professora convida vários alunos a dar voz às dificuldades.

Que tarefa você teve que completar? (Usando os dados da pesquisa, construa um gráfico da função).

Por que você está com dificuldade? (Não sabemos como traçar gráficos de acordo com o estudo da função).

O que você usa para pesquisa de recursos? (derivado).

4. Construindo um projeto para sair de uma dificuldade.

Informe o objetivo de sua atividade. (Aprenda a desenhar um gráfico usando o estudo de funções com a ajuda de uma derivada).

Formule o tema da lição. (Usando a derivada para traçar gráficos de funções).

O tópico da lição é exibido no quadro.

Então você está tendo problemas para traçar um gráfico de função. O que você usou para traçar gráficos de funções antes? (tabelas com alguns pontos pertencentes ao gráfico).

Mas muitas vezes os pontos não dão uma imagem objetiva do gráfico. E agora, conhecendo o algoritmo de pesquisa de funções, quais dados você inserirá na tabela? (você precisa inserir os resultados do estudo da função na tabela e, em seguida, desenhar um gráfico da tabela).

5. Implementação do projeto construído

Uma mesa vazia se abre no tabuleiro:

Você examinou a função f(x) =⅓x³ + 2x² + 3x.

Liste as etapas que você executou para explorar a função. (A tabela é preenchida à medida que você avança.)

Os resultados obtidos na tabela são transferidos para o plano de coordenadas.

O que mais pode ser feito para tornar o gráfico mais preciso? (Você pode encontrar vários pontos adicionais pertencentes ao gráfico da função).

Um gráfico da função f(x) =⅓x³ + 2x² + 3x aparece no quadro.

Você traçou uma função.

Como você fez isso? (Criamos um algoritmo gráfico). (Mais uma vez, vamos falar sobre os estágios de estudo da função e construção de seu gráfico).

Algoritmo para traçar um gráfico usando uma derivada.

1. D(f), continuidade de f(x);
2. f"(x);
3. f "(x) =0, f "(x) não existe;

pontos adicionais;

6. Consolidação primária dos conhecimentos adquiridos.

O que precisa ser feito agora? (você precisa aprender a usar o algoritmo para construir gráficos).

Trace agora o gráfico da função. f(x) = X + .

Um aluno trabalha no quadro-negro, comentando suas ações, os demais trabalham em cadernos.

1. D (f) = (-∞; 0) U (0; + ∞), f(x) é contínua em D (f).
2. Função derivada: f "(x) \u003d 1 - 4 / x².

   D(f ") = (-∞; 0) U (0; + ∞).

Pontos críticos: \u003d 0 para x \u003d 2 e x \u003d -2, não há pontos em que f "() não exista.

5. Pontos adicionais:

6. Função de gráfico:

Tente desenhar o gráfico você mesmo.

Um gráfico aparece na tela para verificação.

7. Trabalho independente com auto-exame de acordo com a amostra

E agora vamos verificar como cada um de vocês entendeu como aplicar o algoritmo construído.

	Opção 1. Explorar uma função e traçar seu gráfico Opção 2. De acordo com um estudo parcialmente realizado, construa um gráfico da função

Os alunos concluem a tarefa por conta própria, depois de concluir o trabalho, os alunos comparam seu trabalho com uma amostra detalhada:

Opção 1 .

1) D(f)=R, a função é contínua.

2) y | = 3x 2 - 6x

3) 3x 2 - 6x = 0; D(f | ) = R

X 1 = 0; X 2 = 2

¦ / ( X)

Opção 2.

1) D(f)=R, a função é contínua.

2) y¢ = 6 x 2 - 6

3) 6x 2 - 6 = 0; D(f | ) = R

X 1 = − 1; X 2 = 1

A tarefa de quem causou dificuldade?

− Em que passo do algoritmo?

- Qual é a causa do problema?

- Quem fez a tarefa corretamente?

8. Inclusão no sistema de conhecimento e repetição.

Vamos agora ver em quais tarefas do exame você pode aplicar os conhecimentos adquiridos.

Resolver problemas:

1. Encontre o conjunto de valores da função.

2. Em quais valores do parâmetro R equação = p tem 2 raízes, 1 raiz, nenhuma raiz?

1) Resposta: (− ¥; − 4] U )