Aula e apresentação sobre os temas: "Arxine. Tabela Arcsine. Formula y=arcsin(x)"

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Resolvemos problemas de geometria. Tarefas interativas para construir no espaço

O que vamos estudar:
1. Qual é o arco-seno?
2. Designação do arco seno.
3. Um pouco de história.
4. Definição.

6. Exemplos.

O que é arco-seno?

Pessoal, já aprendemos como resolver equações para cosseno, agora vamos aprender como resolver equações semelhantes para seno. Considere sen(x)= √3/2. Para resolver esta equação, você precisa construir uma reta y= √3/2 e ver: em que pontos ela intercepta o círculo numérico. Pode-se ver que a linha intercepta o círculo em dois pontos F e G. Esses pontos serão a solução para nossa equação. Renomeie F como x1 e G como x2. Já encontramos a solução para esta equação e obtivemos: x1= π/3 + 2πk,
e x2= 2π/3 + 2πk.

Resolver essa equação é bem simples, mas como resolver, por exemplo, a equação
sen(x)=5/6. Obviamente, esta equação também terá duas raízes, mas quais valores corresponderão à solução no círculo numérico? Vamos dar uma olhada em nossa equação sen(x)=5/6.
A solução da nossa equação será de dois pontos: F= x1 + 2πk e G= x2 ​​+ 2πk,
onde x1 é o comprimento do arco AF, x2 é o comprimento do arco AG.
Nota: x2= π - x1, porque AF= AC - FC, mas FC= AG, AF= AC - AG= π - x1.
Mas o que são esses pontos?

Diante de uma situação semelhante, os matemáticos criaram um novo símbolo - arcsin (x). Parece um arco-seno.

Então a solução da nossa equação será escrita da seguinte forma: x1= arcsin(5/6), x2= π -arcsin(5/6).

E a solução geral: x= arcsin(5/6) + 2πk ex= π - arcsin(5/6) + 2πk.
O arco seno é o ângulo (comprimento do arco AF, AG) seno, que é igual a 5/6.

Um pouco da história do arcsine

A história da origem do nosso símbolo é exatamente a mesma da arccos. Pela primeira vez, o símbolo arcsin aparece nas obras do matemático Scherfer e do famoso cientista francês J.L. Lagrange. Um pouco antes, o conceito de arco-seno foi considerado por D. Bernuli, embora ele o tenha escrito com outros símbolos.

Esses símbolos tornaram-se geralmente aceitos apenas no final do século XVIII. O prefixo "arco" vem do latim "arcus" (arco, arco). Isso é bastante consistente com o significado do conceito: arcsin x é um ângulo (ou você pode dizer um arco), cujo seno é igual a x.

Definição de arco-seno

Se |а|≤ 1, então arcsin(a) é tal número do intervalo [- π/2; π/2], cujo seno é a.

Se |a|≤ 1, então a equação sin(x)= a tem solução: x= arcsin(a) + 2πk e
x= π - arco sen(a) + 2πk

Vamos reescrever:

x= π - arcsin(a) + 2πk = -arcsin(a) + π(1 + 2k).

Pessoal, observem atentamente nossas duas soluções. O que você acha: eles podem ser escritos em uma fórmula geral? Observe que, se houver um sinal de mais antes do arco-seno, π será multiplicado por um número par 2πk e, se o sinal for menos, o multiplicador será ímpar 2k+1.
Com isso em mente, escrevemos a fórmula de solução geral para a equação sin(x)=a:

Existem três casos em que se prefere escrever soluções de forma mais simples:

sin(x)=0, então x= πk,

sin(x)=1, então x= π/2 + 2πk,

sin(x)=-1, então x= -π/2 + 2πk.

Para qualquer -1 ≤ a ≤ 1, vale a seguinte igualdade: arcsin(-a)=-arcsin(a).

Vamos escrever uma tabela de valores de cosseno ao contrário e obter uma tabela para o arco seno.

Exemplos

1. Calcule: arcsin(√3/2).
Solução: Seja arcsin(√3/2)= x, então sin(x)= √3/2. Por definição: - π/2 ≤x≤ π/2. Vejamos os valores do seno na tabela: x= π/3, pois sin(π/3)= √3/2 e –π/2 ≤ π/3 ≤ π/2.
Resposta: arcsin(√3/2)= π/3.

2. Calcule: arcsin(-1/2).
Solução: Seja arcsin(-1/2)= x, então sin(x)= -1/2. Por definição: - π/2 ≤x≤ π/2. Vejamos os valores do seno na tabela: x= -π/6, pois sin(-π/6)= -1/2 e -π/2 ≤-π/6≤ π/2.
Resposta: arcsin(-1/2)=-π/6.

3. Calcule: arcsin(0).
Solução: Seja arcsin(0)= x, então sin(x)= 0. Por definição: - π/2 ≤x≤ π/2. Vejamos os valores do seno na tabela: significa x = 0, porque sin(0)= 0 e - π/2 ≤ 0 ≤ π/2. Resposta: arcosin(0)=0.

4. Resolva a equação: sin(x) = -√2/2.
x= arcsin(-√2/2) + 2πk e x= π - arcsin(-√2/2) + 2πk.
Vejamos o valor na tabela: arcsin (-√2/2)= -π/4.
Resposta: x= -π/4 + 2πk e x= 5π/4 + 2πk.

5. Resolva a equação: sin(x) = 0.
Solução: Vamos usar a definição, então a solução será escrita na forma:
x= arcsin(0) + 2πk e x= π - arcsin(0) + 2πk. Vejamos o valor na tabela: arcsin(0)= 0.
Resposta: x= 2πk e x= π + 2πk

6. Resolva a equação: sin(x) = 3/5.
Solução: Vamos usar a definição, então a solução será escrita na forma:
x= arcsin(3/5) + 2πk e x= π - arcsin(3/5) + 2πk.
Resposta: x= (-1) n - arcsin(3/5) + πk.

7. Resolva a inequação sen(x) Solução: O seno é a ordenada do ponto do círculo numérico. Então: precisamos encontrar esses pontos, cuja ordenada é menor que 0,7. Vamos traçar uma linha reta y=0,7. Ele intercepta o círculo numérico em dois pontos. Desigualdade y Então a solução da desigualdade será: -π – arcsin(0.7) + 2πk

Problemas no arco seno para solução independente

1) Calcule: a) arcsin(√2/2), b) arcsin(1/2), c) arcsin(1), d) arcsin(-0,8).
2) Resolva a equação: a) sin(x) = 1/2, b) sin(x) = 1, c) sin(x) = √3/2, d) sin(x) = 0,25,
e) sen(x) = -1,2.
3) Resolva a desigualdade: a) sen (x)> 0,6, b) sen (x) ≤ 1/2.

Anteriormente, de acordo com o programa, os alunos tiveram uma ideia sobre como resolver equações trigonométricas, conheceram os conceitos de arco cosseno e arco seno, exemplos de soluções para as equações custo t = ae sen t = a. Neste tutorial em vídeo, consideraremos a solução das equações tg x = a e ctg x = a.

No início do estudo deste tópico, considere as equações tg x = 3 e tg x = - 3. Se resolvermos a equação tg x = 3 usando um gráfico, veremos que a interseção dos gráficos das funções y = tg x e ​​y = 3 tem um número infinito de soluções, onde x = x 1 + πk. O valor x 1 é a coordenada x do ponto de intersecção dos gráficos das funções y = tg x e ​​y = 3. O autor introduz o conceito de arco tangente: arctg 3 é um número cujo tg é 3, e este número pertence a o intervalo de -π/2 a π/2. Usando o conceito de arco tangente, a solução da equação tan x = 3 pode ser escrita como x = arco tan 3 + πk.

Por analogia, resolve-se a equação tg x \u003d - 3. De acordo com os gráficos construídos das funções y \u003d tg x e ​​y \u003d - 3, percebe-se que os pontos de interseção dos gráficos e, portanto, as soluções das equações, será x \u003d x 2 + πk. Usando o arco tangente, a solução pode ser escrita como x = arctan (- 3) + πk. Na figura a seguir, veremos que arctg (- 3) = - arctg 3.

A definição geral do arco tangente é a seguinte: o arco tangente de a é um número do intervalo de -π / 2 a π / 2, cuja tangente é a. Então a solução da equação tg x = a é x = arctg a + πk.

O autor dá um exemplo 1. Encontre uma solução para a expressão arctg. Vamos introduzir a notação: o arco tangente do número é x, então tg x será igual ao número dado, onde x pertence ao segmento de -π/ 2 a π/2. Assim como nos exemplos dos tópicos anteriores, usaremos uma tabela de valores. De acordo com esta tabela, a tangente deste número corresponde ao valor x = π/3. Escrevemos a solução para a equação do arco tangente de um determinado número igual a π / 3, π / 3 também pertence ao intervalo de -π / 2 a π / 2.

Exemplo 2 - Calcular o arco tangente de um número negativo. Usando a igualdade arctg (- a) = - arctg a, insira o valor de x. Similarmente ao exemplo 2, escrevemos o valor de x, que pertence ao intervalo de -π/2 a π/2. De acordo com a tabela de valores, verificamos que x = π/3, portanto, -- tg x = - π/3. A resposta para a equação é - π/3.

Considere o Exemplo 3. Vamos resolver a equação tan x = 1. Vamos escrever que x = arctan 1 + πk. Na tabela, o valor de tg 1 corresponde ao valor x \u003d π / 4, portanto, arctg 1 \u003d π / 4. Substitua esse valor na fórmula original x e escreva a resposta x = π/4 + πk.

Exemplo 4: calcular tg x = - 4.1. Neste caso, x = arctg (- 4.1) + πk. Porque não é possível encontrar o valor de arctg neste caso, a resposta será x = arctg (- 4.1) + πk.

O Exemplo 5 considera a solução da desigualdade tg x > 1. Para resolvê-la, plotamos os gráficos das funções y = tg x e ​​y = 1. Como pode ser visto na figura, esses gráficos se interceptam nos pontos x = π /4 + πk. Porque neste caso, tg x > 1, no gráfico selecionamos a área da tangente, que está acima do gráfico y = 1, onde x pertence ao intervalo de π/4 a π/2. Escrevemos a resposta como π/4 + πk< x < π/2 + πk.

Em seguida, considere a equação ctg x = a. A figura mostra gráficos de funções y = ctg x, y = a, y = - a, que possuem muitos pontos de interseção. As soluções podem ser escritas como x = x 1 + πk, onde x 1 = arcctg a e x = x 2 + πk, onde x 2 = arcctg (- a). Note-se que x 2 \u003d π - x 1. Isso implica a igualdade arcctg (- a) = π - arcctg a. Além disso, a definição do arco cotangente é dada: o arco cotangente de a é um número do intervalo de 0 a π, cuja cotangente é igual a a. A solução da equação сtg x = a é escrita como: x = arcctg a + πk.

Ao final da videoaula, outra conclusão importante é feita - a expressão ctg x = a pode ser escrita como tg x = 1/a, desde que a não seja igual a zero.

INTERPRETAÇÃO DO TEXTO:

Considere a solução das equações tg x \u003d 3 e tg x \u003d - 3. Resolvendo a primeira equação graficamente, vemos que os gráficos das funções y \u003d tg x e ​​y \u003d 3 têm infinitos pontos de interseção, o abscissas das quais escrevemos na forma

x \u003d x 1 + πk, onde x 1 é a abscissa do ponto de interseção da linha y \u003d 3 com o ramo principal da tangente (Fig. 1), para o qual a designação foi inventada

arctan 3 (arco tangente de três).

Como entender o arctg 3?

Este é um número cuja tangente é 3 e este número pertence ao intervalo (-;). Então todas as raízes da equação tg x \u003d 3 podem ser escritas pela fórmula x \u003d arctan 3 + πk.

Da mesma forma, a solução da equação tg x \u003d - 3 pode ser escrita como x \u003d x 2 + πk, onde x 2 é a abscissa do ponto de interseção da linha y \u003d - 3 com o ramo principal do tangenteide (Fig. 1), para o qual a designação arctg (- 3) (arco tangente menos três). Então todas as raízes da equação podem ser escritas pela fórmula: x \u003d arctg (-3) + πk. A figura mostra que arctg(- 3)= - arctg 3.

Vamos formular a definição do arco tangente. Arco tangente a é um número do intervalo (-;), cuja tangente é igual a a.

A igualdade é frequentemente usada: arctg(-a) = -arctg a, que é válido para qualquer a.

Conhecendo a definição do arco tangente, tiramos uma conclusão geral sobre a solução da equação

tg x \u003d a: a equação tg x \u003d a tem uma solução x \u003d arctg a + πk.

Considere exemplos.

EXEMPLO 1. Calcular arctg.

Solução. Seja arctg = x, então tgx = e xϵ (-;). Mostrar tabela de valores Portanto, x =, desde tg = e ϵ (- ;).

Então arctg =.

EXEMPLO 2 Calcular arctan (-).

Solução. Usando a igualdade arctg (- a) \u003d - arctg a, escrevemos:

arctg(-) = - arctg . Seja - arctg = x, então - tgx = e xϵ (-;). Portanto, x =, pois tg = e ϵ (- ;). Mostrar tabela de valores

Então - arctg=- tgх= - .

EXEMPLO 3. Resolva a equação tgх = 1.

1. Vamos anotar a fórmula da solução: x = arctg 1 + πk.

2. Encontre o valor do arco tangente

já que tg = . Mostrar tabela de valores

Então arctg1= .

3. Coloque o valor encontrado na fórmula da solução:

EXEMPLO 4. Resolva a equação tgx \u003d - 4,1 (a tangente x é igual a menos quatro vírgula um décimo).

Solução. Vamos anotar a fórmula da solução: x \u003d arctg (- 4,1) + πk.

Não podemos calcular o valor do arco tangente, então deixaremos a solução da equação como está.

EXEMPLO 5. Resolva a desigualdade tgх 1.

Solução. Vamos fazer isso graficamente.

1. Vamos construir uma tangenteide

y \u003d tgx e uma linha reta y \u003d 1 (Fig. 2). Eles se interceptam em pontos da forma x = + πk.

2. Selecione o intervalo do eixo x, no qual o ramo principal da tangente está localizado acima da reta y \u003d 1, pois de acordo com a condição tgх 1. Este é o intervalo (;).

3. Usamos a periodicidade da função.

Propriedade 2. y \u003d tg x - uma função periódica com um período básico π.

Levando em consideração a periodicidade da função y \u003d tgx, escrevemos a resposta:

(;). A resposta pode ser escrita como uma dupla desigualdade:

Vamos passar para a equação ctg x \u003d a. Vamos apresentar uma ilustração gráfica da solução da equação para a positivo e negativo (Fig. 3).

Gráficos de funções y \u003d ctg x e ​​y \u003d a e

y=ctg x e ​​y=-a

têm infinitos pontos comuns, cujas abcissas têm a forma:

x \u003d x 1 +, onde x 1 é a abcissa do ponto de interseção da linha y \u003d a com o ramo principal da tangente e

x 1 = arcctg a;

x \u003d x 2 +, onde x 2 é a abscissa do ponto de interseção da linha

y \u003d - mas com o ramo principal da tangente e x 2 \u003d arcсtg (- a).

Observe que x 2 \u003d π - x 1. Então, escrevemos a equação importante:

arcctg (-a) = π - arcctg a.

Formulemos a definição: o arco cotangente de a é tal número do intervalo (0; π) cuja cotangente é igual a a.

A solução da equação ctg x \u003d a é escrita como: x \u003d arcсtg a +.

Observe que a equação ctg x = a pode ser convertida na forma

tg x = , exceto quando a = 0.

O que é arco-seno, arco-cossino? O que é arco tangente, arco tangente?

Atenção!
Existem adicionais
material na Seção Especial 555.
Para aqueles que fortemente "não muito ..."
E para quem "muito...")

Para conceitos arco seno, arco cosseno, arco tangente, arco tangente a população estudantil é cautelosa. Ele não entende esses termos e, portanto, não confia nessa família gloriosa.) Mas em vão. Estes são conceitos muito simples. O que, aliás, facilita muito a vida de um conhecedor na hora de resolver equações trigonométricas!

Confuso sobre simplicidade? Em vão.) Aqui e agora você ficará convencido disso.

Claro, para entender, seria bom saber o que são seno, cosseno, tangente e cotangente. Sim, seus valores de tabela para alguns ângulos ... Pelo menos nos termos mais gerais. Então também não haverá problemas aqui.

Então, estamos surpresos, mas lembre-se: arco seno, arco cosseno, arco tangente e arco tangente são apenas alguns ângulos. Nem mais nem menos. Há um ângulo, digamos 30°. E há um ângulo arcosin0.4. Ou arctg(-1.3). Existem todos os tipos de ângulos.) Você pode simplesmente escrever ângulos de maneiras diferentes. Você pode escrever o ângulo em graus ou radianos. Ou você pode - através de seu seno, cosseno, tangente e cotangente ...

o que significa a expressão

arcosin 0.4?

Este é o ângulo cujo seno é 0,4! Sim Sim. Este é o significado do arco-seno. Repito especificamente: arcsin 0,4 é um ângulo cujo seno é 0,4.

E é isso.

Para manter esse pensamento simples em minha cabeça por muito tempo, vou até detalhar esse termo terrível - o arco-seno:

arco pecado 0,4
canto, cujo seno igual a 0,4

Como está escrito, assim é ouvido.) Quase. Console arco significa arco(palavra arco sabe?), porque os antigos usavam arcos em vez de cantos, mas isso não muda a essência do assunto. Lembre-se desta decodificação elementar de um termo matemático! Além disso, para arco cosseno, arco tangente e arco tangente, a decodificação difere apenas no nome da função.

O que é arcos 0.8?
Este é um ângulo cujo cosseno é 0,8.

O que é arctan(-1,3)?
Este é um ângulo cuja tangente é -1,3.

O que é arcctg 12?
Este é um ângulo cuja cotangente é 12.

Essa decodificação elementar permite, a propósito, evitar erros épicos.) Por exemplo, a expressão arccos1,8 parece bastante sólida. Vamos começar a decodificar: arccos1,8 é um ângulo cujo cosseno é igual a 1,8... Hop-hop!? 1.8!? O cosseno não pode ser maior que um!

Certo. A expressão arccos1,8 não faz sentido. E escrever tal expressão em alguma resposta divertirá muito o verificador.)

Elementar, como você pode ver.) Cada ângulo tem seu próprio seno e cosseno. E quase todo mundo tem sua própria tangente e cotangente. Portanto, conhecendo a função trigonométrica, você pode anotar o próprio ângulo. Para isso, pretende-se arcossenos, arcocossenos, arcotangentes e arcotangentes. Além disso, chamarei toda essa família de diminutivo - arcos. para digitar menos.)

Atenção! Verbal elementar e consciente decifrar os arcos permite que você resolva uma variedade de tarefas com calma e confiança. E em incomum tarefas só ela salva.

É possível mudar de arcos para graus ou radianos comuns?- Eu ouço uma pergunta cautelosa.)

Por que não!? Facilmente. Você pode ir lá e voltar. Além disso, às vezes é necessário fazê-lo. Arcos são uma coisa simples, mas sem eles fica mais tranquilo, né?)

Por exemplo: o que é arcsin 0.5?

Vejamos a descriptografia: arcsin 0,5 é o ângulo cujo seno é 0,5. Agora vire a cabeça (ou o Google)) e lembre-se de qual ângulo tem um seno de 0,5? O seno é 0,5 y ângulo de 30 graus. Isso é tudo que existe: arcosin 0,5 é um ângulo de 30°. Você pode escrever com segurança:

arco sen 0,5 = 30°

Ou, mais solidamente, em termos de radianos:

É isso, você pode esquecer o arco-seno e trabalhar com os graus ou radianos usuais.

Se você percebeu o que é arco seno, arco cosseno... O que é arco tangente, arco tangente... Então você pode facilmente lidar com, por exemplo, tal monstro.)

Um ignorante recuará de horror, sim ...) E um conhecedor lembre-se da descriptografia: o arco-seno é o ângulo cujo seno é ... Bem, e assim por diante. Se um conhecedor também conhece a tabela dos senos... A tabela dos cossenos. Uma tabela de tangentes e cotangentes, então não há problemas!

Basta considerar que:

Vou decifrar, ou seja, traduza a fórmula em palavras: ângulo cuja tangente é 1 (arctg1)é um ângulo de 45°. Ou, o que é o mesmo, Pi/4. De forma similar:

e pronto... Substituímos todos os arcos por valores em radianos, tudo se reduz, resta calcular quanto será 1 + 1. Será 2.) Qual é a resposta correta.

É assim que você pode (e deve) passar de arcosenos, arcocossenos, arcotangentes e arcotangentes para graus e radianos comuns. Isso simplifica muito os exemplos assustadores!

Muitas vezes, em tais exemplos, dentro dos arcos são negativo valores. Tipo, arctg(-1.3), ou, por exemplo, arccos(-0.8)... Isso não é um problema. Aqui estão algumas fórmulas simples para ir do negativo ao positivo:

Você precisa, digamos, determinar o valor de uma expressão:

Você pode resolver isso usando um círculo trigonométrico, mas não deseja desenhá-lo. Bem, tudo bem. Indo de negativo valores dentro do arco cosseno para positivo segundo a segunda fórmula:

Dentro do arco cosseno à direita já positivo significado. o que

você apenas tem que saber. Resta substituir os radianos em vez do arco cosseno e calcular a resposta:

Isso é tudo.

Restrições de arco seno, arco cosseno, arco tangente, arco tangente.

Existe um problema com os exemplos 7 - 9? Bem, sim, há algum truque aí.)

Todos esses exemplos, do 1º ao 9º, estão cuidadosamente separados nas prateleiras da Seção 555. O quê, como e por quê. Com todas as armadilhas e truques secretos. Mais maneiras de simplificar drasticamente a solução. A propósito, esta seção contém muitas informações úteis e dicas práticas sobre trigonometria em geral. E não apenas em trigonometria. Ajuda muito.

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A propósito, tenho mais alguns sites interessantes para você.)

Você pode praticar a resolução de exemplos e descobrir seu nível. Teste com verificação instantânea. Aprendendo - com interesse!)

você pode se familiarizar com funções e derivadas.

Arcotangente (y = arco x) é a função inversa da tangente (x = tg y
tg(arctg x) = x
arctg(tg x) = x

O arco tangente é denotado como segue:
.

Gráfico de função arco tangente

Gráfico da função y = arco x

O gráfico do arco tangente é obtido do gráfico da tangente trocando os eixos de abscissas e ordenadas. Para eliminar a ambigüidade, o conjunto de valores é limitado pelo intervalo , no qual a função é monotônica. Esta definição é chamada de valor principal do arco tangente.

Arco tangente, arcctg

Arco tangente (y = arco x) é a função inversa da cotangente (x = ctg y). Tem um escopo e um conjunto de valores.
ctg(arctg x) = x
arcctg(ctg x) = x

O arco tangente é denotado como segue:
.

Gráfico de função de arco cotangente

Gráfico da função y = arco x

O gráfico do arco tangente é obtido a partir do gráfico da cotangente trocando os eixos das abscissas e das ordenadas. Para eliminar a ambigüidade, o intervalo de valores é limitado ao intervalo no qual a função é monotônica. Tal definição é chamada de valor principal do arco tangente.

Paridade

A função arcotangente é ímpar:
arctan(-x) = arctg(-tg arctg x) = arctg(tg(-arctg x)) = - arco x

A função arco cotangente não é par ou ímpar:
arcctg(-x) = arcctg(-ctg arcctg x) = arcctg(ctg(π-arcctg x)) = π - arcctg x ≠ ± arcctg x.

Propriedades - extremo, aumento, diminuição

As funções arcotangente e arcotangente são contínuas em seu domínio, isto é, para todo x. (ver prova de continuidade). As principais propriedades do arco tangente e do arco tangente são apresentadas na tabela.

	y= arco x	y= arco x
Escopo e continuidade	- ∞ < x < + ∞	- ∞ < x < + ∞
muitos valores
Ascendente, descendente	aumenta monotonicamente	diminui monotonicamente
altos, baixos	Não	Não
Zeros, y = 0	x= 0	Não
Pontos de interseção com o eixo y, x = 0	y= 0	y = π/ 2
	-	π
		0

Tabela de arcos tangentes e arcos tangentes

Esta tabela mostra os valores dos arcos tangentes e arcos tangentes, em graus e radianos, para alguns valores do argumento.

x	arco x		arco x
	graus	alegre.	graus	alegre.
- ∞	- 90°	-	180°	π
-	- 60°	-	150°
- 1	- 45°	-	135°
-	- 30°	-	120°
0	0°	0	90°
	30°		60°
1	45°		45°
	60°		30°
+ ∞	90°		0°	0

≈ 0,5773502691896258
≈ 1,7320508075688772

Fórmulas

Fórmulas de soma e diferença

no

no

no

no

no

no

Expressões em termos de logaritmo, números complexos

,
.

Expressões em termos de funções hiperbólicas

Derivativos

Consulte Derivação de derivadas de arcotangente e arcotangente > > >

Derivadas de ordens superiores:
Deixar . Então a n-ésima derivada do arco tangente pode ser representada de uma das seguintes maneiras:
;
.
O símbolo significa a parte imaginária da seguinte expressão.

Consulte Derivação de derivadas de ordem superior de arco tangente e arco tangente > > >
As fórmulas para derivadas das cinco primeiras ordens também são dadas lá.

Da mesma forma para o arco tangente. Deixar . Então
;
.

Integrais

Fazemos uma substituição x = tg t e integrando por partes:
;
;
;

Expressamos o arco tangente através do arco tangente:
.

Expansão da série de potência

Para |x| ≤ 1 ocorre a seguinte decomposição:
;
.

funções inversas

As inversas de arcotangente e arcotangente são tangente e cotangente, respectivamente.

As seguintes fórmulas são válidas em todo o domínio de definição:
tg(arctg x) = x
ctg(arctg x) = x .

As seguintes fórmulas são válidas apenas no conjunto de valores de arco tangente e arco tangente:
arctg(tg x) = x no
arcctg(ctg x) = x no .

Referências:
DENTRO. Bronstein, K. A. Semendyaev, Manual de Matemática para Engenheiros e Estudantes de Instituições de Ensino Superior, Lan, 2009.