Nesta vídeo-aula, o tópico “Função y \u003d x 2. Solução gráfica de equações. Durante esta aula, os alunos poderão familiarizar-se com uma nova forma de resolver equações - gráfica, que se baseia no conhecimento das propriedades dos gráficos de funções. O professor mostrará como resolver graficamente a função y=x 2 .
Tema:Função
Lição:Função. Solução gráfica de equações
A solução gráfica de equações é baseada no conhecimento de gráficos de funções e suas propriedades. Listamos as funções cujos gráficos conhecemos:
1), o gráfico é uma linha reta paralela ao eixo x, passando por um ponto no eixo y. Considere um exemplo: y=1:
Para valores diferentes, obtemos uma família de linhas retas paralelas ao eixo x.
2) Função de proporcionalidade direta o gráfico desta função é uma linha reta que passa pela origem. Considere um exemplo:
Já construímos esses gráficos em lições anteriores, lembre-se que para construir cada linha, você precisa selecionar um ponto que a satisfaça e tomar a origem como o segundo ponto.
Lembre-se do papel do coeficiente k: à medida que a função aumenta, o ângulo entre a linha reta e a direção positiva do eixo x é agudo; quando a função diminui, o ângulo entre a linha reta e a direção positiva do eixo x é obtuso. Além disso, existe a seguinte relação entre dois parâmetros k de mesmo sinal: para k positivo, quanto maior, mais rápido a função aumenta, e para negativo, a função diminui mais rapidamente para valores grandes de k módulo.
3) Função linear. Quando - obtemos o ponto de interseção com o eixo y e todas as linhas desse tipo passam pelo ponto (0; m). Além disso, à medida que a função aumenta, o ângulo entre a linha e a direção positiva do eixo x é agudo; quando a função diminui, o ângulo entre a linha reta e a direção positiva do eixo x é obtuso. E, claro, o valor de k afeta a taxa de variação do valor da função.
quatro). O gráfico desta função é uma parábola.
Considere exemplos.
Exemplo 1 - resolva graficamente a equação:
Não conhecemos funções desse tipo, então precisamos transformar a equação dada para trabalhar com funções conhecidas:
Temos funções familiares em ambas as partes da equação:
Vamos construir gráficos de funções:
Os gráficos possuem dois pontos de interseção: (-1; 1); (2; 4)
Vamos verificar se a solução foi encontrada corretamente, substitua as coordenadas na equação:
O primeiro ponto foi encontrado corretamente.
, 
, , , , ,
O segundo ponto também é encontrado corretamente.
Então, as soluções da equação são e
Agimos de maneira semelhante ao exemplo anterior: transformamos a equação dada nas funções conhecidas por nós, traçamos seus gráficos, encontramos as correntes de interseção e, a partir daqui, indicamos as soluções.
Obtemos duas funções:
Vamos construir gráficos:
Esses gráficos não têm pontos de interseção, o que significa que a equação dada não tem soluções
Conclusão: nesta lição, revisamos as funções conhecidas por nós e seus gráficos, lembramos suas propriedades e consideramos uma maneira gráfica de resolver equações.
1. Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E.A. et al.Álgebra 7. 6ª edição. M.: Iluminismo. 2010
2. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Álgebra 7. M.: VENTANA-GRAF
3. Kolyagin Yu.M., Tkacheva M.V., Fedorova N.E. e outros Álgebra 7 .M .: Educação. 2006
Tarefa 1: Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I. et ai, Algebra 7, nº 494, página 110;
Tarefa 2: Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I. e outros Álgebra 7, nº 495, item 110;
Tarefa 3: Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I. et ai, Algebra 7, nº 496, página 110;
Seja uma equação quadrática completa: A*x2+B*x+C=0, onde A, B e C são quaisquer números e A não é igual a zero. Este é o caso geral de uma equação quadrática. Existe também uma forma reduzida onde A=1. Para resolver graficamente qualquer equação, você precisa mover o termo de maior grau para outra parte e igualar ambas as partes a alguma variável.
Depois disso, A * x2 permanecerá no lado esquerdo da equação e B * x-C permanecerá no lado direito (podemos supor que B é um número negativo, isso não altera a essência). Obtemos a equação A*x2=B*x-C=y. Para maior clareza, neste caso, ambas as partes são equiparadas à variável y.
Plotando e processando resultados
Agora podemos escrever duas equações: y=A*x2 ey=B*x-C. Em seguida, você precisa traçar cada uma dessas funções. O gráfico y=A*x2 é uma parábola com um vértice na origem, cujos ramos são direcionados para cima ou para baixo, dependendo do sinal do número A. Se for negativo, os ramos são direcionados para baixo, se for positivo - para cima.
O gráfico y=B*x-C é uma linha reta regular. Se C=0, a linha passa pela origem. No caso geral, corta do eixo das ordenadas um segmento igual a C. O ângulo de inclinação dessa reta em relação ao eixo das abcissas é determinado pelo coeficiente B. É igual à inclinação desse ângulo.
Depois que os gráficos forem construídos, será visto que eles se cruzam em dois pontos. As coordenadas desses pontos ao longo da abcissa determinam as raízes da equação quadrática. Para determiná-los com precisão, você precisa criar gráficos claramente e escolher a escala certa.
Outra solução gráfica
Existe outra maneira de resolver graficamente uma equação quadrática. Não é necessário mover B*x+C para o outro lado da equação. Você pode plotar imediatamente a função y=A*x2+B*x+C. Tal gráfico é uma parábola com um vértice em um ponto arbitrário. Este método é mais complicado que o anterior, mas você só pode construir um gráfico para isso.
Primeiro você precisa determinar o vértice da parábola com as coordenadas x0 e y0. Sua abcissa é calculada pela fórmula x0=-B/2*a. Para determinar a ordenada, você precisa substituir o valor obtido da abcissa na função original. Matematicamente, esta declaração é escrita da seguinte forma: y0=y(x0).
Então você precisa encontrar dois pontos simétricos ao eixo da parábola. Neles, a função original deve desaparecer. Depois disso, você pode construir uma parábola. Os pontos de sua interseção com o eixo X darão duas raízes da equação quadrática.
Na programação linear, um método gráfico é usado para determinar conjuntos convexos (poliedro de solução). Se o principal problema de programação linear tem um plano ótimo, então a função objetivo assume um valor em um dos vértices do poliedro de decisão (veja a figura).
Atribuição de serviço. Usando este serviço, você pode resolver o problema de programação linear usando o método geométrico online, bem como obter uma solução para o problema dual (estimar o uso ótimo dos recursos). Além disso, um modelo de solução é criado no Excel.
Instrução. Selecione o número de linhas (número de limites).
Se o número de variáveis for superior a duas, é necessário trazer o sistema para SZLP (ver exemplo e exemplo nº 2). Se a restrição for dupla, por exemplo, 1 ≤ x 1 ≤ 4 , ela será dividida em duas: x 1 ≥ 1 , x 1 ≤ 4 (ou seja, o número de linhas aumenta em 1).Você também pode construir uma área de solução viável (DDR) usando este serviço.
O seguinte também é usado com esta calculadora:
Método Simplex para resolver LLP
Solução do problema de transporte
Solução de jogo de matriz
Usando o serviço online, você pode determinar o preço de um jogo de matriz (limites inferior e superior), verificar um ponto de sela, encontrar uma solução para uma estratégia mista usando os seguintes métodos: minimax, método simplex, método gráfico (geométrico), O método de Brown.
Extremo de uma função de duas variáveis
Cálculo de limite
Resolver um problema de programação linear por um método gráfico inclui as seguintes etapas:
- As linhas são construídas no plano X 1 0X 2.
- Meios planos são definidos.
- Definir um polígono de decisão;
- Construa um vetor N(c 1 ,c 2), que indique a direção da função objetivo;
- Mova a função objetivo direto c 1 x 2 + c 2 x 2= 0 na direção do vetor N até o ponto extremo do polígono solução.
- Calcule as coordenadas do ponto e o valor da função objetivo neste ponto.
Exemplo. A empresa fabrica dois tipos de produtos - P1 e P2. Para a produção de produtos, são utilizados dois tipos de matérias-primas - C1 e C2. O preço de atacado de uma unidade de produção é igual a: UM 5 para P1 e 4 c.u. para P2. O consumo de matérias-primas por unidade de produção do tipo P1 e do tipo P2 é dado na tabela.
Tabela - Consumo de matérias-primas para produção
É necessário determinar:
Quantos produtos de cada tipo a empresa deve produzir para maximizar a receita da venda de produtos?
- Formule um modelo matemático de um problema de programação linear.
- Resolva um problema de programação linear graficamente (para duas variáveis).
Vamos formular um modelo matemático de um problema de programação linear.
x 1 - produção P1, unidades.
x 2 - produção de produtos P2, unidades.
x 1 , x 2 ≥ 0
Limites de recursos
6x1 + 4x2 ≤ 24
x1 + 2x2 ≤ 6
Limites de demanda
x 1 +1 ≥ x 2
x2 ≤ 2
função objetiva
5x1 + 4x2 → máx.
Então obtemos o seguinte LLP:
6x1 + 4x2 ≤ 24
x1 + 2x2 ≤ 6
x 2 - x 1 ≤ 1
x2 ≤ 2
x 1 , x 2 ≥ 0
5x1 + 4x2 → máx.
Primeiro nível
Resolução de equações, inequações, sistemas usando gráficos de funções. Guia Visual (2019)
Muitas tarefas que estamos acostumados a calcular puramente algebricamente podem ser resolvidas de maneira muito mais fácil e rápida, o uso de gráficos de funções nos ajudará com isso. Você diz "como assim?" desenhar algo, e o que desenhar? Confie em mim, às vezes é mais conveniente e fácil. Podemos começar? Vamos começar com equações!
Solução gráfica de equações
Solução gráfica de equações lineares
Como você já sabe, o gráfico de uma equação linear é uma linha reta, daí o nome desse tipo. Equações lineares são muito fáceis de resolver algebricamente - transferimos todas as incógnitas para um lado da equação, tudo o que sabemos - para o outro, e voila! Encontramos a raiz. Agora vou te mostrar como fazer maneira gráfica.
Então você tem uma equação:
Como resolvê-lo?
Opção 1, e o mais comum é mover as incógnitas para um lado e as conhecidas para o outro, temos:
E agora estamos construindo. O que você conseguiu?
Qual você acha que é a raiz da nossa equação? Isso mesmo, a coordenada do ponto de interseção dos gráficos:
Nossa resposta é
Essa é toda a sabedoria da solução gráfica. Como você pode verificar facilmente, a raiz da nossa equação é um número!
Como eu disse acima, essa é a opção mais comum, próxima da solução algébrica, mas você pode resolver de outra forma. Para considerar uma solução alternativa, voltemos à nossa equação:
Desta vez não vamos mover nada de um lado para o outro, mas vamos construir gráficos diretamente, como estão agora:
Construído? Olhar!
Qual é a solução desta vez? Tudo bem. A mesma é a coordenada do ponto de intersecção dos gráficos:
E, novamente, nossa resposta é .
Como você pode ver, com equações lineares, tudo é extremamente simples. É hora de considerar algo mais complicado... Por exemplo, solução gráfica de equações quadráticas.
Solução gráfica de equações quadráticas
Então, agora vamos começar a resolver a equação quadrática. Digamos que você precise encontrar as raízes desta equação:
Claro, agora você pode começar a contar pelo discriminante, ou de acordo com o teorema de Vieta, mas muitos nervos cometem erros ao multiplicar ou ao quadrado, especialmente se o exemplo for com números grandes e, como você sabe, você não terá um calculadora no exame... Portanto, vamos tentar relaxar um pouco e desenhar enquanto resolvemos esta equação.
Graficamente, as soluções para esta equação podem ser encontradas de várias maneiras. Considere as várias opções e você mesmo escolherá qual delas você mais gosta.
Método 1. Diretamente
Acabamos de construir uma parábola de acordo com esta equação:
Para agilizar, vou dar uma dica: é conveniente iniciar a construção determinando o vértice da parábola. As seguintes fórmulas ajudarão a determinar as coordenadas do vértice da parábola:
Você diz "Pare! A fórmula para é muito semelhante à fórmula para encontrar o discriminante "sim, é, e isso é uma enorme desvantagem de" construir uma parábola "direta" para encontrar suas raízes. No entanto, vamos contar até o final, e então eu vou te mostrar como tornar isso muito (muito!) mais fácil!
Você contou? Quais são as coordenadas do vértice da parábola? Vamos descobrir juntos:
Exatamente a mesma resposta? Bem feito! E agora já sabemos as coordenadas do vértice, e para construir uma parábola precisamos de mais... pontos. O que você acha, quantos pontos mínimos precisamos? Corretamente, .
Você sabe que uma parábola é simétrica em relação ao seu vértice, por exemplo:
Assim, precisamos de mais dois pontos ao longo do ramo esquerdo ou direito da parábola e, no futuro, refletiremos simetricamente esses pontos no lado oposto:
Voltamos à nossa parábola. Para o nosso caso, o ponto. Precisamos de mais dois pontos, respectivamente, podemos pegar os positivos, mas podemos pegar os negativos? Quais são os melhores pontos para você? É mais conveniente para mim trabalhar com os positivos, então vou calcular com e.
Agora temos três pontos e podemos facilmente construir nossa parábola refletindo os dois últimos pontos sobre seu topo:
Qual você acha que é a solução da equação? Isso mesmo, os pontos em que, isto é, e. Porque.
E se dizemos isso, significa que também deve ser igual, ou.
Apenas? Acabamos de resolver a equação com você de uma forma gráfica complexa, ou haverá mais!
Claro, você pode verificar nossa resposta algebricamente - você pode calcular as raízes através do teorema de Vieta ou do Discriminante. O que você conseguiu? Mesmo? Aqui você vê! Agora vamos ver uma solução gráfica bem simples, tenho certeza que você vai gostar muito!
Método 2. Dividido em várias funções
Vamos pegar tudo, também, nossa equação: , mas escrevemos de uma maneira um pouco diferente, a saber:
Podemos escrever assim? Podemos, pois a transformação é equivalente. Vamos olhar mais longe.
Vamos construir duas funções separadamente:
- - o gráfico é uma parábola simples, que você pode construir facilmente mesmo sem definir o vértice usando fórmulas e fazendo uma tabela para determinar outros pontos.
- - o gráfico é uma linha reta, que você pode construir com a mesma facilidade estimando os valores e na sua cabeça sem recorrer a uma calculadora.
Construído? Compare com o que recebi:
Qual você acha que é a raiz da equação neste caso? Corretamente! Coordenadas por, que são obtidas pelo cruzamento de dois gráficos e, ou seja:
Assim, a solução para esta equação é:
O que você disse? Concordo, este método de solução é muito mais fácil do que o anterior e ainda mais fácil do que procurar raízes através do discriminante! Em caso afirmativo, tente este método para resolver a seguinte equação:
O que você conseguiu? Vamos comparar nossos gráficos:
Os gráficos mostram que as respostas são:
Você conseguiu? Bem feito! Agora vamos ver as equações um pouco mais complicadas, ou seja, a solução de equações mistas, ou seja, equações contendo funções de diferentes tipos.
Solução gráfica de equações mistas
Agora vamos tentar resolver o seguinte:
Claro, você pode trazer tudo para um denominador comum, encontrar as raízes da equação resultante, sem esquecer de levar em conta o ODZ, mas novamente, tentaremos resolvê-lo graficamente, como fizemos em todos os casos anteriores.
Desta vez, vamos plotar os 2 gráficos a seguir:
- - o gráfico é uma hipérbole
- - um gráfico é uma linha reta que você pode construir facilmente estimando os valores e na sua cabeça sem sequer recorrer a uma calculadora.
Percebi? Agora comece a construir.
Aqui está o que aconteceu comigo:
Olhando para esta imagem, quais são as raízes da nossa equação?
Isso mesmo, e. Aqui está a confirmação:
Tente colocar nossas raízes na equação. Ocorrido?
Tudo bem! Concordo, resolver graficamente essas equações é um prazer!
Tente resolver a equação você mesmo graficamente:
Eu dou uma dica: mova parte da equação para a direita para que ambos os lados tenham as funções mais simples de construir. Tem a dica? Tome uma atitude!
Agora vamos ver o que você tem:
Respectivamente:
- - parábola cúbica.
- - uma linha reta comum.
Bem, estamos construindo:
Como você escreveu por um longo tempo, a raiz desta equação é -.
Tendo resolvido isso um grande número de exemplos, tenho certeza que você percebeu como você pode resolver equações de forma fácil e rápida graficamente. É hora de descobrir como resolver sistemas dessa maneira.
Solução gráfica de sistemas
A solução gráfica de sistemas não é essencialmente diferente da solução gráfica de equações. Também construiremos dois grafos, e seus pontos de interseção serão as raízes desse sistema. Um gráfico é uma equação, o segundo gráfico é outra equação. Tudo é extremamente simples!
Vamos começar com o mais simples - resolvendo sistemas de equações lineares.
Resolvendo sistemas de equações lineares
Digamos que temos o seguinte sistema:
Para começar, vamos transformá-lo de tal maneira que à esquerda haja tudo o que está conectado e à direita - o que está conectado. Em outras palavras, escrevemos essas equações como uma função na forma usual para nós:
E agora nós apenas construímos duas linhas retas. Qual é a solução no nosso caso? Corretamente! O ponto de sua intersecção! E aqui você precisa ter muito, muito cuidado! Pense por quê? Vou te dar uma dica: estamos lidando com um sistema: o sistema tem os dois, e... Entendeu a dica?
Tudo bem! Ao resolver o sistema, devemos olhar para ambas as coordenadas, e não apenas, como ao resolver equações! Outro ponto importante é anotá-los corretamente e não confundir onde temos o valor e onde está o valor! Gravado? Agora vamos comparar tudo em ordem:
E responde: i. Faça uma verificação - substitua as raízes encontradas no sistema e certifique-se de que resolvemos corretamente de maneira gráfica?
Resolvendo sistemas de equações não lineares
Mas e se, em vez de uma linha reta, tivermos uma equação quadrática? Está bem! Você acabou de construir uma parábola em vez de uma linha reta! Não confie? Tente resolver o seguinte sistema:
Qual é o nosso próximo passo? Isso mesmo, anote para que seja conveniente para nós construirmos gráficos:
E agora é tudo sobre a coisa pequena - eu construí rapidamente e aqui está a solução para você! Prédio:
Os gráficos são os mesmos? Agora marque as soluções do sistema na imagem e anote corretamente as respostas reveladas!
Eu fiz tudo? Compare com minhas notas:
Tudo bem? Bem feito! Você já clica em tarefas como nozes! E se assim for, vamos dar-lhe um sistema mais complicado:
O que estamos fazendo? Corretamente! Escrevemos o sistema de modo que seja conveniente construir:
Vou te dar uma pequena dica, já que o sistema parece muito complicado! Ao construir gráficos, construa-os "mais" e, o mais importante, não se surpreenda com o número de pontos de interseção.
Então vamos! Exalado? Agora comece a construir!
Bem, como? Bonito? Quantos pontos de interseção você conseguiu? Eu tenho três! Vamos comparar nossos gráficos:
Do mesmo jeito? Agora anote cuidadosamente todas as soluções do nosso sistema:
Agora observe o sistema novamente:
Você pode imaginar que você resolveu em apenas 15 minutos? Concordo, a matemática ainda é simples, principalmente quando se olha para uma expressão, você não tem medo de errar, mas você pega e decide! Você é um grande rapaz!
Solução gráfica de inequações
Solução gráfica de desigualdades lineares
Após o último exemplo, você está pronto para a tarefa! Agora expire - em comparação com as seções anteriores, esta será muito, muito fácil!
Começamos, como de costume, com uma solução gráfica de uma desigualdade linear. Por exemplo, este:
Para começar, realizaremos as transformações mais simples - abriremos os colchetes de quadrados perfeitos e forneceremos termos semelhantes:
A desigualdade não é estrita, portanto - não está incluída no intervalo, e a solução será todos os pontos à direita, pois mais, mais e assim por diante:
Responda:
Isso é tudo! Facilmente? Vamos resolver uma inequação simples com duas variáveis:
Vamos desenhar uma função no sistema de coordenadas.
Você tem esse gráfico? E agora olhamos cuidadosamente para o que temos em desigualdade? Menos? Então, pintamos sobre tudo o que está à esquerda de nossa linha reta. E se houvesse mais? Isso mesmo, então eles pintariam tudo que está à direita da nossa linha reta. Tudo é simples.
Todas as soluções para esta desigualdade estão sombreadas em laranja. Pronto, a desigualdade de duas variáveis está resolvida. Isso significa que as coordenadas e qualquer ponto da área sombreada são as soluções.
Solução gráfica de desigualdades quadráticas
Agora vamos lidar com como resolver graficamente as desigualdades quadráticas.
Mas antes de irmos direto ao ponto, vamos recapitular algumas coisas sobre a função quadrada.
Pelo que o discriminante é responsável? Isso mesmo, para a posição do gráfico em relação ao eixo (se você não se lembra disso, então leia a teoria sobre funções quadráticas com certeza).
De qualquer forma, aqui está um pequeno lembrete para você:
Agora que atualizamos todo o material em nossa memória, vamos ao que interessa - vamos resolver graficamente a desigualdade.
Direi imediatamente que existem duas opções para resolvê-lo.
Opção 1
Escrevemos nossa parábola como uma função:
Usando as fórmulas, determinamos as coordenadas do vértice da parábola (da mesma forma que ao resolver equações do segundo grau):
Você contou? O que você conseguiu?
Agora vamos pegar mais dois pontos diferentes e calcular para eles:
Começamos a construir um ramo da parábola:
Nós refletimos simetricamente nossos pontos em outro ramo da parábola:
Agora, de volta à nossa desigualdade.
Precisamos que seja menor que zero, respectivamente:
Como em nossa desigualdade há um sinal estritamente menor, excluímos os pontos finais - nós “apontamos”.
Responda:
Longo caminho, certo? Agora vou mostrar uma versão mais simples da solução gráfica usando a mesma desigualdade como exemplo:
opção 2
Voltamos à nossa desigualdade e marcamos os intervalos que precisamos:
Concordo, é muito mais rápido.
Vamos escrever a resposta agora:
Vamos considerar outro método de solução que simplifica a parte algébrica, mas o principal é não se confundir.
Multiplique os lados esquerdo e direito por:
Tente resolver a seguinte desigualdade quadrática por conta própria da maneira que desejar: .
Você conseguiu?
Veja como ficou meu gráfico:
Responda: .
Solução gráfica de desigualdades mistas
Agora vamos passar para desigualdades mais complexas!
Como você gosta disso:
Horrível, certo? Sinceramente, não tenho ideia de como resolver isso algebricamente... Mas, não é necessário. Graficamente, não há nada complicado nisso! Os olhos estão com medo, mas as mãos estão fazendo!
A primeira coisa com a qual começamos é construindo dois gráficos:
Não vou escrever uma tabela para todos - tenho certeza que você pode fazer isso perfeitamente sozinho (claro, há tantos exemplos para resolver!).
Pintado? Agora construa dois gráficos.
Vamos comparar nossos desenhos?
Você tem o mesmo? Excelente! Agora vamos organizar os pontos de interseção e determinar com uma cor qual gráfico devemos ter, em teoria, deve ser maior, ou seja. Veja o que aconteceu no final:
E agora vamos ver onde nosso gráfico selecionado é mais alto que o gráfico? Sinta-se à vontade para pegar um lápis e pintar sobre esta área! Será a solução para nossa complexa desigualdade!
Em que intervalos ao longo do eixo estamos mais altos do que? Certo, . Esta é a resposta!
Bem, agora você pode lidar com qualquer equação e qualquer sistema, e ainda mais com qualquer desigualdade!
BREVEMENTE SOBRE O PRINCIPAL
Algoritmo para resolver equações usando gráficos de funções:
- Expressar através
- Defina o tipo de função
- Vamos construir gráficos das funções resultantes
- Encontre os pontos de interseção dos gráficos
- Anote corretamente a resposta (levando em consideração os sinais de ODZ e desigualdade)
- Verifique a resposta (substitua as raízes na equação ou sistema)
Para obter mais informações sobre plotagem de gráficos de funções, consulte o tópico "".
Na aula, os alunos demonstraram o conhecimento e as habilidades do programa:
- reconhecer os tipos de funções, construir seus gráficos;
– praticou as habilidades de construção de uma função quadrática;
– desenvolveu métodos gráficos para resolver equações quadráticas usando o método de seleção de quadrados completos.
Eu queria prestar atenção especial à resolução de problemas com um parâmetro, já que o USE em matemática oferece muitas tarefas desse tipo.
A oportunidade de aplicar esse tipo de trabalho em sala de aula foi-me dada pelos próprios alunos, pois eles possuem uma base de conhecimento suficiente que pode ser aprofundada e ampliada.
Modelos pré-preparados por alunos com permissão para economizar tempo de aula. Durante a aula, consegui implementar as tarefas do início da aula e obter o resultado esperado.
A utilização de um minuto de educação física ajudou a evitar o excesso de trabalho dos alunos, a manter uma motivação produtiva para a aquisição de conhecimento.
Em geral, estou satisfeito com o resultado da aula, mas acho que ainda há oportunidades de reserva: ferramentas tecnológicas modernas e inovadoras, que, infelizmente, não temos a oportunidade de usar.
Tipo de aula: consolidação do material estudado.
Lições objetivas:
- Educação geral e didática:
- desenvolver uma variedade de formas de atividade mental dos alunos;
- formar a capacidade de resolver problemas de forma independente;
- educar a cultura matemática dos alunos;
- desenvolver a intuição dos alunos e a capacidade de usar o conhecimento adquirido.
- metas de aprendizagem:
- resumir informações previamente estudadas sobre o tema "Solução gráfica de equações quadráticas";
- repetição de plotagem de funções quadráticas;
- formar as habilidades de usar algoritmos para resolver equações quadráticas por um método gráfico.
- Educacional:
- despertar o interesse pelas atividades educativas, na disciplina de matemática;
- formação de tolerância (tolerância), a capacidade de trabalhar em equipe.
DURANTE AS AULAS
I. Momento organizacional
- Hoje na lição vamos generalizar e consolidar a solução gráfica de equações quadráticas de várias maneiras.
No futuro, precisaremos dessas habilidades no ensino médio nas aulas de matemática ao resolver equações trigonométricas e logarítmicas, encontrar a área de um trapézio curvilíneo, bem como nas aulas de física.
II. Verificando a lição de casa
Vamos analisar no quadro nº 23.5 (g).
Resolva esta equação usando uma parábola e uma linha reta.
Solução:
x 2 + x - 6 = 0
Vamos transformar a equação: x 2 \u003d 6 - x
Vamos apresentar as funções:
y \u003d x 2; função quadrática y \u003d 6 - x linear,
gráfico yavl. parábola, gráfico yavl. direto,
Construímos gráficos de funções em um sistema de coordenadas (de acordo com um modelo)
Temos dois pontos de interseção.
A solução da equação quadrática é a abscissa desses pontos x 1 = - 3, x 2 = 2.
Resposta: - 3; 2.
III. Levantamento frontal
- Qual é o gráfico de uma função quadrática?
- Você pode me dizer o algoritmo para traçar um gráfico de uma função quadrática?
- O que é uma equação quadrática?
- Dê exemplos de equações do segundo grau?
- Escreva no quadro seu exemplo de equação quadrática.Quais são os coeficientes?
- O que significa resolver uma equação?
- De quantas maneiras você conhece a solução gráfica de equações do segundo grau?
- Quais são os métodos gráficos para resolver equações do segundo grau:
4. Fixação do material
No quadro, os alunos decidem da primeira, segunda e terceira maneiras.
Classe decide quarta
- x 2 + 6x - 5 \u003d 0
Vou transformar a equação quadrática, destacando o quadrado completo do binômio:
- x 2 + 6x - 5 \u003d - (x 2 - 6x + 5) \u003d - (x 2 - 6x + 32 - 9 + 5) \u003d - ((x - 3) 2 - 4) \u003d - ( x - 3) 2+4
Temos uma equação quadrática:
- (x - 3) 2 + 4 \u003d 0
Vamos introduzir uma função:
y \u003d - (x 2 - 3) 2 + 4
Função quadrática da forma y \u003d a (x + L) 2 + m
Gráfico yavl. parábola, ramos direcionados para baixo, deslocamento da parábola principal ao longo do eixo Ox para a direita em 3 unidades, para cima em 4 unidades ao longo do eixo Oy, top (3; 4).
Construímos de acordo com o modelo.
Encontre os pontos de intersecção da parábola com o eixo x. Abscissas desses pontos yavl. solução desta equação. x=1, x=5.
Vamos ver outras soluções gráficas no quadro. Comente sobre sua maneira de resolver equações do segundo grau.
1 aluno
Solução:
- x 2 + 6x - 5 \u003d 0
Apresentamos a função y \u003d - x + 6x - 5, uma função quadrática, o gráfico é uma parábola, os ramos são direcionados para baixo, o topo
x 0 \u003d - em / 2a
x 0 \u003d - 6 / - 2 \u003d 3
y 0 \u003d - 3 2 + 18 \u003d 9; ponto (3; 9)
eixo de simetria x = 3
Construímos de acordo com o modelo
Temos pontos de intersecção com o eixo Ox, as abcissas desses pontos são a solução de uma equação quadrática. Duas raízes x 1 = 1, x 2 = 5
2 alunos
Solução:
- x 2 + 6x - 5 \u003d 0
Vamos transformar: - x 2 + 6x \u003d 5
Apresentamos as funções: y1 \u003d - x 2 + 6x, y2 \u003d 5, função linear, função quadrática, gráfico gráfico yavl. linha y || Ah, sim. parábola, ramos direcionados para baixo, vértice x 0 \u003d - in / 2a
x 0 \u003d - 6 / - 2 \u003d 3
y 0 \u003d - 3 2 + 18 \u003d 9;
(3; 9).
eixo de simetria x = 3
Construímos de acordo com o modelo
Tem pontos de interseção
parábolas e uma linha reta, suas abcissas são a solução de uma equação quadrática. Duas raízes x 1 = 1, x 2 = 5
Assim, a mesma equação pode ser resolvida de maneiras diferentes, e a resposta deve ser a mesma.
V. Educação física
VI. Resolvendo um problema com um parâmetro
Em que valores R equação x 2 + 6x + 8 = p:
- Não tem raízes?
- Tem uma raiz?
Tem duas raízes?
Como esta equação é diferente da anterior?
Isso mesmo, letra!
Vamos nos referir a esta carta como parâmetro, R.
Desde que ela não lhe diga nada. Mas continuaremos a resolver vários problemas com um parâmetro.
Hoje vamos resolver uma equação quadrática com um parâmetro usando um método gráfico usando o terceiro método usando uma parábola e uma linha reta paralela ao eixo x.
O aluno ajuda o professor a resolver no quadro-negro.
Por onde começamos a decidir?
Vamos definir as funções:
y 1 \u003d x 2 + 6x + 8 y 2 \u003d p função linear,
função quadrática, o gráfico é uma linha reta
gráfico yavl. parábola,
ramos apontando para baixo
x 0 \u003d - em / 2a,
x 0 = - 6/2 = - 3
y 0 \u003d (- 3) 2 + 6 (- 3) + 8 \u003d - 1
(– 3; – 1)
O eixo de simetria x = 3, não vou construir uma tabela, mas vou pegar o modelo y = x 2 e prendê-lo no topo da parábola.
A parábola está construída! Agora precisamos traçar uma linha y = p.
Onde deve ser traçada uma linha? R obter duas raízes?
Onde deve ser traçada uma linha? R para obter uma raiz?
Onde deve ser traçada uma linha? R sem raízes?
– Então, quantas raízes nossa equação pode ter?
Gostou da tarefa? Obrigado pela ajuda! Grau 5.
VII. Trabalho independente por opções (5 min.)
y \u003d x 2 - 5x + 6 y \u003d - x 2 + x - 6
Resolva uma equação quadrática de forma gráfica, escolhendo uma forma conveniente para você. Se alguém concluir a tarefa antes, verifique sua solução de outra maneira. Isso estará sujeito a marcas adicionais.
VIII. Resumo da lição
- O que você aprendeu na lição de hoje?
- Hoje na lição resolvemos equações do segundo grau usando um método gráfico, usando vários métodos de resolução, e consideramos um método gráfico para resolver uma equação do segundo grau com um parâmetro!
- Vamos para a lição de casa.
IX. Trabalho de casa
1. Teste caseiro na página 147, do livro de problemas de Mordkovich para as opções I e II.
2. No círculo, na quarta-feira, vamos resolver o método V-th, (hipérbole e linha reta).
X. Literatura:
1. A.G. Mordkovich. Álgebra-8. Parte 1. Livro didático para alunos de instituições de ensino. Moscou: Mnemosyne, 2008
2. A.G. Mordkovich, L.A. Aleksandrova, T.N. Mishustin, E. E. Tulchinskaya. Álgebra - 8. Parte 2. Caderno de tarefas para alunos de instituições de ensino. Moscou: Mnemosyne, 2008
3. A.G. Mordkovich. Álgebra 7-9. Guia metodológico para um professor. M.: Mnemosyne, 2004
4. LA Alexandrova. Álgebra-8. Trabalho independente para alunos de instituições de ensino./Ed. A.G. Mordkovich. Moscou: Mnemosyne, 2009
