O determinante é calculado apenas para matrizes quadradas e é a soma dos termos de enésima ordem. Um algoritmo detalhado para calculá-lo será descrito em uma solução pronta, que você pode obter imediatamente após inserir a condição nesta calculadora online. Esta é uma oportunidade acessível e fácil de obter uma teoria detalhada, pois a solução será apresentada com uma explicação detalhada de cada etapa.

As instruções para usar esta calculadora são simples. Para encontrar um determinante de matriz online, primeiro você precisa decidir sobre o tamanho da matriz e selecionar o número de colunas e, consequentemente, de linhas nela. Para fazer isso, clique no ícone “+” ou “-”. Resta inserir os números necessários e clicar em “Calcular”. Você pode inserir números inteiros e fracionários. A calculadora fará todo o trabalho necessário e fornecerá o resultado final.

Para se tornar um especialista em matemática, é preciso praticar muito e com persistência. E nunca é demais verificar-se novamente. Portanto, quando lhe for dada a tarefa de calcular o determinante de uma matriz, é aconselhável usar uma calculadora online. Ele vai lidar com isso muito rapidamente e, em poucos segundos, uma solução pronta aparecerá no monitor. Isso não significa que uma calculadora online deva substituir os cálculos tradicionais para você. Mas é uma excelente ajuda se você estiver interessado em entender o algoritmo de cálculo do determinante de uma matriz. Além disso, esta é uma excelente oportunidade para verificar se o teste foi concluído corretamente e para garantir uma avaliação reprovada.

Outras propriedades estão relacionadas aos conceitos de complemento menor e algébrico

Menor elementoé chamado de determinante, composto pelos elementos restantes após riscar a linha e a coluna na intersecção das quais esse elemento está localizado. O elemento menor do determinante de ordem tem ordem. Iremos denotá-lo por .

Exemplo 1. Deixar , Então .

Este menor é obtido de A riscando a segunda linha e a terceira coluna.

Complemento algébrico elemento é chamado de menor correspondente multiplicado por, ou seja, , onde é o número da linha e coluna na intersecção da qual este elemento está localizado.

VIII.(Decomposição do determinante em elementos de uma determinada string). O determinante é igual à soma dos produtos dos elementos de uma determinada linha e seus complementos algébricos correspondentes.

Exemplo 2. Deixar , Então

Exemplo 3. Vamos encontrar o determinante da matriz , decompondo-o nos elementos da primeira linha.

Formalmente, este teorema e outras propriedades dos determinantes são aplicáveis ​​apenas para determinantes de matrizes não superiores a terceira ordem, uma vez que não consideramos outros determinantes. A definição a seguir nos permitirá estender essas propriedades a determinantes de qualquer ordem.

Determinante da matriz ordemé um número calculado pela aplicação sequencial do teorema da expansão e outras propriedades dos determinantes.

Você pode verificar que o resultado dos cálculos não depende da ordem em que as propriedades acima são aplicadas e para quais linhas e colunas. Usando esta definição, o determinante é encontrado de forma única.

Embora esta definição não contenha uma fórmula explícita para encontrar o determinante, ela permite encontrá-lo reduzindo-o aos determinantes de matrizes de ordem inferior. Tais definições são chamadas recorrente.

Exemplo 4. Calcule o determinante:

Embora o teorema da fatoração possa ser aplicado a qualquer linha ou coluna de uma determinada matriz, menos cálculos são obtidos pela fatoração ao longo da coluna que contém tantos zeros quanto possível.

Como a matriz não possui zero elementos, nós os obtemos usando a propriedade VII. Multiplique a primeira linha sequencialmente por números e adicione-o às linhas e obtenha:

Vamos expandir o determinante resultante ao longo da primeira coluna e obter:

já que o determinante contém duas colunas proporcionais.

Alguns tipos de matrizes e seus determinantes

Uma matriz quadrada que possui zero elementos abaixo ou acima da diagonal principal () é chamada triangular.

Sua estrutura esquemática se parece com: ou

.

Para calcular o determinante de uma matriz de quarta ordem ou superior, você pode expandir o determinante ao longo de uma linha ou coluna ou aplicar o método gaussiano e reduzir o determinante à forma triangular. Consideremos a decomposição do determinante em linha ou coluna.

O determinante de uma matriz é igual à soma dos elementos da linha do determinante multiplicada pelos seus complementos algébricos:

Expansão por eu-essa linha.

O determinante de uma matriz é igual à soma dos elementos da coluna do determinante multiplicada pelos seus complementos algébricos:

Expansão por j-essa linha.

Para facilitar a decomposição do determinante de uma matriz, geralmente escolhe-se a linha/coluna que possui o número máximo de elementos zero.

Exemplo

Vamos encontrar o determinante de uma matriz de quarta ordem.

Vamos expandir este determinante coluna por coluna №3

Vamos fazer um zero em vez de um elemento uma 4 3 =9. Para fazer isso a partir da linha №4 subtrair dos elementos correspondentes da linha №1 multiplicado por 3 .
O resultado está escrito na linha №4 Todas as outras linhas são reescritas sem alterações.

Então tornamos todos os elementos zeros, exceto uma 1 3 = 3 na coluna № 3 . Agora podemos prosseguir para uma maior expansão do determinante por trás desta coluna.

Vemos que apenas o termo №1 não vira zero, todos os outros termos serão zeros, pois são multiplicados por zero.
Isso significa que precisamos expandir ainda mais apenas um determinante:

Vamos expandir este determinante linha por linha №1 . Vamos fazer algumas transformações para facilitar cálculos posteriores.

Vemos que existem dois números idênticos nesta linha, então subtraímos da coluna №3 coluna №2 e escreva o resultado na coluna №3 , isso não alterará o valor do determinante.

Em seguida, precisamos fazer um zero em vez de um elemento uma 1 2 =4. Para isso temos elementos de coluna №2 multiplique por 3 e subtraia dele os elementos da coluna correspondentes №1 multiplicado por 4 . O resultado está escrito na coluna №2 Todas as outras colunas são reescritas sem alterações.

Mas não devemos esquecer que se multiplicarmos uma coluna №2 sobre 3 , então todo o determinante aumentará em 3 . E para que não mude significa que deve ser dividido em 3 .

Exercício. Calcule o determinante decompondo-o em elementos de alguma linha ou coluna.

Solução. Vamos primeiro realizar transformações elementares nas linhas do determinante, fazendo tantos zeros quanto possível na linha ou na coluna. Para fazer isso, primeiro subtraia nove terços da primeira linha, cinco terços da segunda e três terços da quarta, obtemos:

Vamos decompor o determinante resultante nos elementos da primeira coluna:

Também expandiremos o determinante de terceira ordem resultante nos elementos da linha e da coluna, tendo previamente obtido zeros, por exemplo, na primeira coluna. Para fazer isso, subtraia as duas segundas linhas da primeira linha e a segunda linha da terceira:

Responder.

12. Slough 3ª ordem

1. Regra do triângulo

Esquematicamente, esta regra pode ser descrita da seguinte forma:

O produto dos elementos do primeiro determinante que estão conectados por linhas retas é obtido com um sinal de mais; da mesma forma, para o segundo determinante, os produtos correspondentes são considerados com um sinal negativo, ou seja,

2. Governo de Sarrus

À direita do determinante, some as duas primeiras colunas e pegue os produtos dos elementos da diagonal principal e das diagonais paralelas a ela com sinal de mais; e os produtos dos elementos da diagonal secundária e das diagonais paralelas a ela, com sinal menos:

3. Expansão do determinante em linha ou coluna

O determinante é igual à soma dos produtos dos elementos da linha do determinante e seus complementos algébricos. Normalmente a linha/coluna que contém zeros é selecionada. A linha ou coluna ao longo da qual a decomposição é realizada será indicada por uma seta.

Exercício. Expandindo ao longo da primeira linha, calcule o determinante

Solução.

Responder.

4. Reduzindo o determinante à forma triangular

Utilizando transformações elementares sobre linhas ou colunas, o determinante é reduzido a uma forma triangular e então seu valor, de acordo com as propriedades do determinante, é igual ao produto dos elementos da diagonal principal.

Exemplo

Exercício. Determinante de cálculo trazendo-o para uma forma triangular.

Solução. Primeiro fazemos zeros na primeira coluna abaixo da diagonal principal. Todas as transformações serão mais fáceis de realizar se o elemento for igual a 1. Para isso, trocaremos a primeira e a segunda colunas do determinante, o que, de acordo com as propriedades do determinante, fará com que ele mude seu sinal para o oposto: