Cada pessoa, ao resolver problemas de matemática, muitas vezes enfrentava problemas com frações. Existem muitos deles, por isso consideraremos diferentes opções para resolver os principais desses problemas.

O que são frações

O número de cima de qualquer fração é chamado de numerador e o número de baixo é chamado de denominador. Uma fração ordinária é um quociente de dois números, um desses números está no numerador da fração, o segundo está no denominador da fração. Os tipos dessas frações ordinárias serão determinados comparando o denominador e o numerador da fração.

Se o denominador de uma fração (um número natural) for maior que o numerador de uma fração (um número natural), então a fração é chamada própria. Aqui estão alguns exemplos: 19/07; 13/09; 31/152; 17/05.

Se o denominador de uma fração (um número natural) for menor ou igual ao numerador de uma fração (um número natural), então a fração é chamada de fração imprópria. Aqui estão alguns exemplos: 7/5; 19/3; 15/9; 231/63.

Como traduzir uma fração imprópria

Para converter uma fração mista em imprópria, você precisa multiplicar a parte inteira da fração pelo denominador na parte fracionária e adicionar o numerador a este produto. Em seguida, tome a soma como numerador, escrevendo o mesmo denominador de antes. aqui estão alguns exemplos:

• 4(3/11) = (4x11+3)/11 = (44+3)/11 = 47/11.
• 11(5/9) = (11x9+5)/9 = (99+5)/9 = 104/9.

Para converter uma fração imprópria em uma própria, você precisa dividir o numerador dessa fração imprópria pelo seu denominador. O inteiro resultante é tomado como a parte inteira da fração, e o resto (claro, se existir) é tomado como o numerador da parte fracionária da fração correta, escrevendo o mesmo denominador de antes. aqui estão alguns exemplos:

• 150/13 = (143/13)+(7/13) = 11(7/13).
• 156/12 = (13x12)/12 = 13.

Para converter uma fração imprópria em decimal, você precisa descobrir se tal fator existe, o que permitirá trazer o denominador da parte fracionária da fração imprópria para um número igual a dez (ou dez elevado a qualquer potência (10, 100, 1000 e além). Se tal fator é, então é necessário multiplicar o numerador e denominador da fração imprópria por este fator para verificar. Agora o numerador multiplicado deve ser atribuído, separado por uma vírgula , para a parte inteira da fração imprópria. Damos exemplos:

• Multiplicador "5" - 8/20 = (8x5) / (20x5) = 40/100 = 0,4.
• Multiplicador "4" - 14/25 = (14x4) / (25x4) = 56/100 = 0,56.
• Multiplicador "25" - 3/40 = (3x25)/(40x25) = 75/1000 = 0,075.

Se não existir tal fator, significa que esta fração decimal imprópria não tem um equivalente claro. Ou seja, nem toda fração imprópria pode ser convertida em decimal. Nesse caso, você precisa encontrar o valor aproximado da fração com o grau de precisão necessário. Você pode calcular essa fração em uma calculadora, em sua mente ou em uma coluna. Aqui estão alguns exemplos: 41/7 = 5(6/7) = 5,9 (arredondado para décimos), = 5,86 (arredondado para centésimos), = 5,857 (arredondado para milésimos); 3/7, 7/6, 1/3 e outros. Eles também não são claramente traduzidos e são contados em uma calculadora, na mente ou em uma coluna.

Agora você sabe como converter fração imprópria para própria ou decimal!

Toda pessoa moderna, quando estava na escola, ao resolver problemas matemáticos, muitas vezes encontrou uma variedade de problemas fracionários. Existem muitos deles, por isso faz sentido considerar várias opções para resolver o mais básico desses problemas.

Frações próprias e impróprias

O número de cima de qualquer fração é chamado de numerador, enquanto o número de baixo é o denominador. As frações ordinárias são parciais de dois números, além disso, um deles está no numerador da fração e o segundo, respectivamente, é o denominador dessa fração. Os tipos dessas frações ordinárias são determinados comparando os valores de seu denominador e numerador.

Fração própria

No caso em que o denominador de uma fração é um número natural, que em seu valor é maior que seu numerador, também um número natural, então a fração é chamada própria. Exemplos disso podem ser: 19/08; 14/09; 31/162; 37/05 e assim por diante.

Se o denominador de uma fração for menor ou igual ao seu numerador, essa fração já é chamada de imprópria. Por exemplo, são como: 7/4; 19/6; 15/3; 231/83 e similares.

Por que converter uma fração imprópria em uma própria?

Tal manipulação matemática é necessária se uma operação for realizada com várias frações, por exemplo, elas são somadas.

Adendo

Se houver uma fração mista, primeiro ela deve ser convertida em uma imprópria, depois outras operações matemáticas devem ser realizadas.

Convertendo em fração imprópria

Para transformar qualquer fração mista em imprópria, primeiro você precisa multiplicar sua parte inteira pelo denominador de sua parte fracionária e, em seguida, adicionar o numerador a esse produto. Além disso, a soma é tomada como numerador, mas com o mesmo denominador de antes. Para converter uma fração imprópria em uma própria, você precisa dividir o numerador dessa fração imprópria pelo seu denominador. Além disso, o inteiro obtido dessa maneira deve ser tomado como a parte inteira da fração, enquanto o resto, se existir, é claro, deve ser o numerador da parte fracionária da fração correta. O denominador é escrito da mesma forma que era. Para converter qualquer fração imprópria em um decimal, você deve primeiro descobrir se existe um fator que permita trazer o denominador de sua parte fracionária no formato errado para um número igual a dez ou dez elevado a qualquer potência. Ou seja, 10, 100, 1000 e assim por diante. Se houver tal fator, então tanto o numerador quanto o denominador da fração imprópria devem ser multiplicados por esse fator, por assim dizer, verificando-o. E depois disso, o numerador multiplicado precisará ser adicionado, separado por uma vírgula, à parte inteira da fração imprópria.

Não pode ser traduzido com arredondamento para décimos

No caso de tal fator não existir como tal, isso significa que tal fração imprópria não possui um equivalente claro na forma decimal. Simplificando, nem toda fração imprópria pode ser traduzida tornando-a decimal. Nesse caso, você precisará encontrar o valor máximo correspondente aproximado da fração. Tudo depende do grau de precisão exigido na condição de uma determinada tarefa. É mais fácil calcular essa fração em uma calculadora, mas você também pode fazê-lo mentalmente ou em uma coluna. Por exemplo, "41/7 = 5(6/7) = 5,9", é arredondado para décimos ou "= 5,86" quando é necessário arredondar para centésimos e também "= 5,857" para arredondar para milésimos. Muitas das frações não são claramente traduzidas em decimais, portanto é mais fácil contá-las não na mente e não em uma coluna, mas usando uma calculadora.

Conclusão:

Sem manipulações com frações, nem um único curso de matemática escolar é possível. Sim, e na vida cotidiana você raramente precisa lidar apenas com números inteiros e, portanto, todos precisam ser capazes de converter frações próprias em impróprias ou transformá-las em frações mistas. É muito simples e, portanto, você pode se lembrar de como fazê-lo literalmente depois de alguns exemplos práticos resolvidos no papel e, em geral, em sua mente. Com frações decimais, a situação é um pouco diferente e nem tudo pode ser traduzido com precisão para a forma decimal.

Frações matemáticas

Regras e truques matemáticos simples, se não forem usados ​​constantemente, são esquecidos mais rapidamente. Os termos estão desaparecendo da memória ainda mais rápido.

Uma dessas ações simples é a conversão de uma fração imprópria em própria, ou seja, mista.

Fração imprópria

Uma fração imprópria é uma fração na qual o numerador (o número acima da barra fracionária) é maior ou igual ao denominador (o número abaixo da barra). Essa fração é obtida adicionando frações ou multiplicando uma fração por um número inteiro. De acordo com as regras da matemática, essa fração deve ser transformada em uma fração regular.

Fração própria

É lógico supor que todas as outras frações são chamadas corretas. Definição estrita - uma fração correta é chamada, na qual o numerador é menor que o denominador. Uma fração que tem uma parte inteira é às vezes chamada de fração mista.

Convertendo uma Fração Imprópria em uma Fração Adequada

• Primeiro caso: numerador e denominador são iguais entre si. Como resultado da transformação de qualquer fração, uma será obtida. Não importa se são três terços ou cento e vinte e cinco cento e vinte e cinco avos. De fato, tal fração denota a ação de dividir um número por ele mesmo.

• Segundo caso: o numerador é maior que o denominador. Aqui você precisa se lembrar do método de divisão de números com resto.
  Para fazer isso, você precisa encontrar o número mais próximo do valor do numerador, que é divisível pelo denominador sem deixar resto. Por exemplo, você tem uma fração de dezenove terços. O número mais próximo que pode ser dividido por três é dezoito. Pegue seis. Agora subtraia o número resultante do numerador. Recebemos uma unidade. Este é o restante. Anote o resultado da transformação: seis inteiros e um terço.

Mas antes de trazer a fração para a forma correta, você precisa verificar se ela pode ser reduzida.
Uma fração pode ser reduzida se o numerador e o denominador tiverem um divisor comum. Ou seja, um número pelo qual ambos são divisíveis sem deixar resto. Se houver vários desses divisores, você precisará encontrar o maior deles.
Por exemplo, todos os números pares têm um divisor comum - dois. E a fração de décimo sexto décimo segundo tem outro divisor comum - quatro. Este é o maior divisor. Divida o numerador e o denominador por quatro. Resultado da redução: quatro terços. Agora, como prática, converta esta fração para uma adequada.

Uma fração é um número que consiste em uma ou mais frações de uma unidade. Existem três tipos de frações em matemática: comum, mista e decimal.

• 
  Frações comuns

Uma fração ordinária é escrita como uma razão na qual o numerador reflete quantas partes do número são tomadas e o denominador mostra em quantas partes a unidade é dividida. Se o numerador for menor que o denominador, temos uma fração própria, por exemplo: ½, 3/5, 8/9.

Se o numerador for igual ou maior que o denominador, estamos lidando com uma fração imprópria. Por exemplo: 5/5, 9/4, 5/2 Dividir o numerador pode resultar em um número finito. Por exemplo, 40/8 \u003d 5. Portanto, qualquer número inteiro pode ser escrito como uma fração imprópria ordinária ou uma série de tais frações. Considere escrever o mesmo número como uma série de .

• frações mistas

Em geral, uma fração mista pode ser representada pela fórmula:

Assim, uma fração mista é escrita como um inteiro e uma fração própria ordinária, e tal registro é entendido como a soma de um todo e sua parte fracionária.

• Decimais

Um decimal é um tipo especial de fração em que o denominador pode ser representado como uma potência de 10. Existem decimais infinitos e finitos. Ao escrever este tipo de fração, a parte inteira é indicada primeiro, depois a parte fracionária é fixada através do separador (ponto ou vírgula).

O registro da parte fracionária é sempre determinado por sua dimensão. A entrada decimal fica assim:

Regras de tradução entre diferentes tipos de frações

• Convertendo uma fração mista em uma fração comum

Uma fração mista só pode ser convertida em uma fração imprópria. Para a tradução, é necessário trazer a parte inteira para o mesmo denominador da parte fracionária. Em geral, ficará assim:
Considere o uso desta regra em exemplos específicos:

• Convertendo uma fração ordinária em uma mista

Uma fração comum imprópria pode ser convertida em uma fração mista por divisão simples, o que resulta em uma parte inteira e um resto (parte fracionária).

Por exemplo, vamos traduzir a fração 439/31 em uma mista:
​​

• Tradução de uma fração ordinária

Em alguns casos, converter uma fração em decimal é bastante simples. Nesse caso, aplica-se a propriedade básica de uma fração, multiplicando-se o numerador e o denominador pelo mesmo número, a fim de trazer o divisor à potência de 10.

Por exemplo:

Em alguns casos, pode ser necessário encontrar o quociente dividindo por um canto ou usando uma calculadora. E algumas frações não podem ser reduzidas a uma fração decimal final. Por exemplo, a fração 1/3 nunca dará o resultado final quando dividida.

Neste material, analisaremos algo como números mistos. Começamos, como sempre, com uma definição e pequenos exemplos, depois explicaremos a conexão entre números mistos e frações impróprias. Depois disso, aprenderemos como extrair corretamente a parte inteira de uma fração e obter um inteiro como resultado.

O conceito de número misto

Se tomarmos a soma n + a b , onde o valor de n pode ser qualquer número natural, e a b é uma fração ordinária própria, então podemos escrever a mesma coisa sem usar um mais: n a b . Vamos pegar números específicos para maior clareza: então, 28 + 5 7 é o mesmo que 28 5 7 . Escrever uma fração ao lado de um inteiro é chamado de número misto.

Definição 1

número mistoé um número que é igual à soma de um número natural n com uma fração ordinária própria a b . Nesse caso, n é a parte inteira do número e a b é sua parte fracionária.

Segue-se da definição que qualquer número misto é igual ao que resultará da adição de suas partes inteiras e fracionárias. Assim, a igualdade n a b = n + a b será válida.

Também pode ser escrito como n + a b = n a b .

Quais são alguns exemplos de números mistos? Então, 5 1 8 pertence a eles, enquanto cinco é sua parte inteira e um oitavo é fracionário. Mais exemplos: 1 1 2 , 234 34 53 , 34000 6 25 .

Escrevemos acima que apenas uma fração própria deve estar na parte fracionária de um número misto. Às vezes você pode encontrar entradas como 5 22 3 , 75 7 2 . Eles não são números mistos, porque sua parte fracionária está errada. Eles precisam ser entendidos como a soma de um inteiro e uma parte fracionária. Esses números podem ser reduzidos a números mistos padrão pegando a parte inteira da fração imprópria e somando-a a 5 e 75 nesses exemplos, respectivamente.

Os números da forma 0 3 14 também não são misturados. A primeira parte da condição não é cumprida aqui: a parte inteira deve ser representada apenas por um número natural, e zero não.

Como as frações impróprias e os números mistos estão relacionados?

Essa conexão é mais fácil de rastrear em um exemplo específico.

Exemplo 1

Vamos pegar um bolo inteiro e mais três quartos do mesmo. De acordo com as regras de adição, temos 1 + 3 4 bolos na mesa. Essa soma pode ser representada como um número misto como 1 3 4 bolos. Se pegarmos um bolo inteiro e também o cortarmos em quatro partes iguais, teremos 7 4 bolos na mesa. Obviamente, a quantidade não aumentou com o corte, e 1 3 4 = 7 4 .

Nosso exemplo prova que qualquer fração imprópria pode ser representada como um número misto.

Vamos voltar aos nossos 7 4 bolos que sobraram na mesa. Vamos colocar um bolo de volta de seus pedaços (1 + 3 4). Teremos novamente 1 3 4 .

Responda: 7 4 = 1 3 4 .

Descobrimos como converter uma fração imprópria em um número misto. Se o numerador de uma fração imprópria contiver um número que possa ser dividido pelo denominador sem deixar resto, você poderá fazer isso e nossa fração imprópria se tornará um número natural.

Exemplo 2

Por exemplo,

8 4 = 2 desde 8: 4 = 2 .

Como converter um número misto em uma fração imprópria

Para resolver problemas com sucesso, é útil poder realizar a ação inversa, ou seja, fazer frações impróprias a partir de números mistos. Neste parágrafo, analisaremos como fazê-lo corretamente.

Para fazer isso, você precisa reproduzir a seguinte sequência de ações:

1. Para começar, apresentamos o número misto disponível n a b como a soma das partes inteiras e fracionárias. Acontece que n + a b

3. Depois disso, realizamos uma ação já familiar - adicionamos duas frações ordinárias n 1 e a b. A fração imprópria resultante será igual ao número misto dado na condição.

Vamos analisar esta ação em um exemplo específico.

Exemplo 3

Escreva 5 3 7 como uma fração imprópria.

Solução

Realizamos as etapas do algoritmo acima em sequência. Nosso número 5 3 7 é a soma das partes inteiras e fracionárias, ou seja, 5 + 3 7. Agora vamos escrever o cinco como 5 1 . Obtivemos a soma 5 1 + 3 7 .

O último passo é adicionar frações com denominadores diferentes:

5 1 + 3 7 = 35 7 + 3 7 = 38 7

A solução completa para a forma abreviada pode ser escrita como 5 3 7 = 5 + 3 7 = 5 1 + 3 7 = 35 7 + 3 7 = 38 7 .

Responda: 5 3 7 = 38 7 .

Assim, com a ajuda da cadeia de ações acima, podemos converter qualquer número misto n a b em uma fração imprópria. Obtivemos a fórmula n a b = n b + a b , que usaremos para resolver outros problemas.

Exemplo 4

Escreva 15 2 5 como uma fração imprópria.

Solução

Pegue esta fórmula e substitua os valores desejados nela. Temos n = 15 , a = 2 , b = 5 , portanto 15 2 5 = 15 5 + 2 5 = 77 5 .

Responda: 15 2 5 = 77 5 .

Normalmente não listamos a fração imprópria como resposta final. É costume levar os cálculos até o final e substituí-los por um número natural (dividindo o numerador pelo denominador) ou por um número misto. Como regra, o primeiro método é usado quando é possível dividir o numerador pelo denominador sem deixar resto, e o segundo - se tal ação for impossível.

Quando extraímos a parte inteira de uma fração imprópria, simplesmente a substituímos por um número misto igual.

Vamos ver como exatamente isso é feito.

Definição 2

Apresentamos uma prova desta afirmação.

Precisamos explicar por que q r b = a b . Para isso, o número misto q r b deve ser representado como uma fração imprópria seguindo todos os passos do algoritmo do parágrafo anterior. Como é um quociente incompleto e r é o resto da divisão de a por b, então a igualdade a = b · q + r deve valer.

Então q b + r b = a b então q r b = a b . Esta é a prova da nossa afirmação. Para resumir:

Definição 3

A seleção da parte inteira da fração imprópria a b é realizada da seguinte forma:

1) dividimos a por b com resto e escrevemos o quociente incompleto q e o resto r separadamente.

2) Escreva os resultados como q r b . Este é o nosso número misto, igual à fração imprópria original.

Exemplo 5

Expresse 1074 como um número misto.

Solução

Dividimos 104 por 7 em uma coluna:

Dividindo o numerador a = 118 pelo denominador b = 7 nos dá o quociente incompleto q = 16 e o ​​resto r = 6.

Como resultado, obtemos que a fração imprópria 118 7 é igual ao número misto q r b = 16 6 7 .

Responda: 118 7 = 16 6 7 .

Resta-nos ver como substituir uma fração imprópria por um número natural (desde que seu numerador seja divisível pelo denominador sem deixar resto).

Para fazer isso, lembre-se da relação existente entre frações ordinárias e divisão. Disto podemos derivar as igualdades: a b = a: b = c . Acontece que a fração imprópria a b pode ser substituída por um número natural c.

Exemplo 6

Por exemplo, se a resposta for uma fração imprópria 27 3, podemos escrever 9, pois 27 3 \u003d 27: 3 \u003d 9.

Responda: 27 3 = 9 .

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