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Legendas dos slides:

Visualização:

Tema

Progressão aritmética

META :

• ensinar a reconhecer a progressão aritmética, utilizando a sua definição e sinal;
• ensinar a resolver problemas usando a definição, sinal, fórmula do membro geral da progressão.

LIÇÕES OBJETIVAS:

dar uma definição de progressão aritmética, provar um sinal de progressão aritmética e ensinar como aplicá-los na resolução de problemas.

MÉTODOS DE ENSINO:

atualização do conhecimento dos alunos, trabalho independente, trabalho individual, criação de uma situação-problema.

TECNOLOGIAS MODERNAS:

TIC, aprendizagem baseada em problemas, aprendizagem diferenciada, tecnologias que salvam a saúde.

PLANO DE AULA

	Etapas da lição.	Tempo de implementação.
	Organizando o tempo.	2 minutos
	Repetição do passado	5 minutos
	Aprendendo novos materiais	15 minutos
	Minuto de Educação Física	3 minutos
	Concluindo tarefas sobre o tema	15 minutos
	Trabalho de casa	2 minutos
	Resumindo	3 minutos

DURANTE AS AULAS:

1. Na última lição, nos familiarizamos com o conceito de "Sequência".

Hoje continuaremos estudando sequências numéricas, definindo algumas delas, familiarizando-nos com suas propriedades e recursos.

1. Responda às perguntas: O que é uma sequência?

Quais são as sequências?

Como você pode configurar uma sequência?

O que é uma sequência numérica?

Quais são as formas de especificar uma sequência numérica que você conhece? Que fórmula é chamada de recursiva?

1. As sequências numéricas são dadas:

1. 1, 2, 3, 4, 5, …
2. 2, 5, 8, 11, 14,…
3. 8, 6, 4, 2, 0, - 2, …
4. 0,5; 1; 1,5; 2; 2,5; …

Encontre um padrão em cada sequência e nomeie os próximos três membros de cada um.

1. a n = a n -1 +1
2. a n \u003d a n -1 + 3
3. a n = a n -1 + (-2)
4. a n \u003d a n -1 + 0,5

Nomeie a fórmula recursiva para cada sequência.

slide 1

Uma sequência numérica, cada membro da qual, a partir do segundo, é igual ao membro anterior, somado ao mesmo número, é chamada de progressão aritmética.

O número d é chamado de diferença de uma progressão aritmética.

Uma progressão aritmética é uma sequência numérica, portanto, pode ser crescente, decrescente, constante. Dê exemplos de tais sequências, nomeie a diferença de cada progressão, tire uma conclusão.

Derivamos a fórmula para o termo comum de uma progressão aritmética.

No tabuleiro: deixe um 1 é o primeiro membro da progressão, d é sua diferença, então

a 2 \u003d a 1 + d

a 3 \u003d (a 1 + d) + d \u003d a 1 + 2d

a 4 \u003d (a 1 + 2d) + d \u003d a 1 + 3d

a 5 \u003d (a 1 + 3d) + d \u003d a 1 + 4d

a n \u003d a 1 + d (n-1) - a fórmula do n-ésimo membro da progressão aritmética.

Resolva o problema: Em uma progressão aritmética, o primeiro termo é 5 e a diferença é 4.

Encontre o 22º termo desta progressão.

O aluno decide no quadro: um n = a 1 +d(n-1)

A 22 \u003d a 1 + 21d \u003d 5 + 21 * 4 \u003d 89

Fizkultminutka.

Nós levantamos.

Mãos no cinto. Inclina para a esquerda, direita, (2 vezes);

Inclina-se para a frente, para trás (2 vezes);

Levante as mãos, respire fundo, abaixe as mãos, expire. (2 vezes)

Apertaram as mãos. Obrigada.

Sentou-se. Continuamos a lição.

Resolvemos problemas de aplicação da fórmula do termo geral de uma progressão aritmética.

Os alunos recebem as seguintes tarefas:

1. Em uma progressão aritmética, o primeiro termo é -2, d = 3, um n=118.

Encontre n.

1. Em uma progressão aritmética, o primeiro termo é 7, o décimo quinto termo é -35. Encontre a diferença.
2. Sabe-se que em uma progressão aritmética d=-2, a39=83. Encontre o primeiro termo da progressão.

Os alunos são divididos em grupos. A tarefa é dada por 5 minutos. Em seguida, os 3 primeiros alunos que resolveram os problemas os resolveram no quadro. A solução é duplicada nas lâminas.

Considere as propriedades características de uma progressão aritmética.

Na progressão aritmética

a n -d=a (n-1)

n+d=a (n+1)

Adicionamos essas duas igualdades termo a termo, obtemos: 2а n=a(n+1)+a(n-1)

A n =(a (n+1) +a (n-1))/2

Isso significa que cada membro da progressão aritmética, exceto o primeiro e o último, é igual à média aritmética dos membros anteriores e subsequentes.

TEOREMA:

Uma sequência numérica é uma progressão aritmética se e somente se cada um de seus membros, exceto o primeiro (e o último, no caso de uma sequência finita), for igual à média aritmética dos membros anteriores e subsequentes (uma propriedade característica de uma progressão aritmética).

A compreensão de muitos tópicos em matemática e física está associada ao conhecimento das propriedades das séries numéricas. Alunos da 9ª série, ao estudar o assunto "Álgebra", consideram uma das importantes sequências de números - uma progressão aritmética. Vamos dar as fórmulas básicas de uma progressão aritmética (9º ano), bem como exemplos de seu uso para resolver problemas.

Progressão algébrica ou aritmética

A série numérica que será discutida neste artigo é chamada de duas maneiras diferentes, apresentadas no título deste parágrafo. Assim, uma progressão aritmética em matemática é entendida como uma série de números em que quaisquer dois números próximos um do outro diferem pela mesma quantidade, o que é chamado de diferença. Os números em tal série são geralmente denotados por letras com um índice inteiro inferior, por exemplo, a1, a2, a3 e assim por diante, onde o índice indica o número do elemento da série.

Dada a definição acima de uma progressão aritmética, podemos escrever a seguinte igualdade: a2-a1 =...=an-an-1=d, aqui d é a diferença de uma progressão algébrica e n é qualquer número inteiro. Se d>0, então podemos esperar que cada termo subsequente da série seja maior que o anterior, neste caso falamos de uma progressão crescente. Se d

Fórmulas de progressão aritmética (nota 9)

A série de números considerada, por ser ordenada e obedecer a uma certa lei matemática, possui duas propriedades importantes para seu uso:

Primeiro, conhecendo apenas dois números a1 e d, você pode encontrar qualquer membro da sequência. Isso é feito usando a seguinte fórmula: an = a1+(n-1)*d.

Em segundo lugar, para calcular a soma de n termos dos primeiros, não é necessário somá-los em ordem, pois você pode usar a seguinte fórmula: Sn = n*(an+a1)/2.

A primeira fórmula é fácil de entender, pois é uma consequência direta do fato de que cada membro da série considerada difere de seu vizinho pela mesma diferença.

A segunda fórmula de progressão aritmética pode ser obtida observando que a soma a1+an é equivalente às somas a2+an-1, a3+an-2, e assim por diante. De fato, como a2 = d+a1, an-2 = -2*d+an, a3 = 2*d+a1 e an-1 = -d+an, então substituindo essas expressões nas somas correspondentes, obtemos que eles serão os mesmos. O fator n/2 na 2ª fórmula (para Sn) aparece devido ao fato de que existem exatamente n/2 somas do tipo ai+1+an-i, aqui i é um inteiro que varia de 0 a n/2- um .

De acordo com evidências históricas sobreviventes, a fórmula para a soma Sn foi obtida pela primeira vez por Karl Gauss (o famoso matemático alemão) quando um professor lhe deu a tarefa de somar os primeiros 100 números.

Exemplo de problema nº 1: encontre a diferença

Tarefas que colocam a questão da seguinte forma: conhecer as fórmulas para uma progressão aritmética, como encontrar q (d), são as mais simples que só podem ser para este tópico.

Aqui está um exemplo: dada uma sequência numérica -5, -2, 1, 4, ..., é necessário determinar sua diferença, ou seja, d.

Para fazer isso é tão fácil quanto descascar peras: você precisa pegar dois elementos e subtrair o menor do maior. Neste caso, temos: d = -2 - (-5) = 3.

Para ter certeza da resposta recebida, recomenda-se verificar as diferenças restantes, pois a sequência apresentada pode não satisfazer a condição de progressão algébrica. Temos: 1-(-2)=3 e 4-1=3. Esses dados indicam que obtivemos o resultado correto (d=3) e provamos que a série de números no enunciado do problema é de fato uma progressão algébrica.

Exemplo de Problema nº 2: Encontre a Diferença Conhecendo Dois Termos da Progressão

Considere outro problema interessante, que é colocado pela questão de como encontrar a diferença. A fórmula de progressão aritmética neste caso deve ser usada para o enésimo termo. Então, a tarefa: dados o primeiro e o quinto números de uma série que corresponde a todas as propriedades de uma progressão algébrica, por exemplo, esses são os números a1 = 8 e a5 = -10. Como encontrar a diferença d?

Você deve começar a resolver este problema escrevendo a forma geral da fórmula para o enésimo elemento: an = a1+d*(-1+n). Agora você pode ir de duas maneiras: substituir os números imediatamente e trabalhar com eles já, ou expressar d, e então passar para a1 e a5 específicos. Vamos usar o último método, temos: a5 = a1+d*(-1+5) ou a5 = 4*d+a1, o que implica que d = (a5-a1)/4. Agora você pode substituir com segurança os dados conhecidos da condição e obter a resposta final: d = (-10-8)/4 = -4,5.

Observe que neste caso a diferença de progressão acabou sendo negativa, ou seja, há uma sequência decrescente de números. É necessário prestar atenção a esse fato ao resolver problemas para não confundir os sinais "+" e "-". Todas as fórmulas acima são universais, portanto devem ser sempre seguidas independentemente do sinal dos números com os quais as operações são realizadas.

Um exemplo de resolução do problema nº 3: encontre a1, conhecendo a diferença e o elemento

Vamos mudar um pouco a condição do problema. Sejam dois números: a diferença d=6 e o ​​9º elemento da progressão a9 = 10. Como encontrar a1? As fórmulas da progressão aritmética permanecem inalteradas, vamos usá-las. Para o número a9 temos a seguinte expressão: a1+d*(9-1) = a9. De onde podemos obter facilmente o primeiro elemento da série: a1 = a9-8*d = 10 - 8*6 = -38.

Um exemplo de solução do problema nº 4: encontre a1, conhecendo dois elementos

Esta versão do problema é uma versão complicada da anterior. A essência é a mesma, é necessário calcular a1, mas agora a diferença d não é conhecida, e outro elemento da progressão é dado em seu lugar.

Um exemplo desse tipo de problema é o seguinte: encontre o primeiro número de uma sequência conhecida como progressão aritmética e cujos 15º e 23º elementos são 7 e 12, respectivamente.

É necessário resolver este problema escrevendo uma expressão para o enésimo termo para cada elemento conhecido da condição, temos: a15 = d*(15-1)+a1 e a23 = d*(23-1)+a1. Como você pode ver, recebemos duas equações lineares que precisam ser resolvidas em relação a a1 e d. Vamos fazer isso: subtrair a primeira equação da segunda equação, então obtemos a seguinte expressão: a23-a15 = 22*d - 14*d = 8*d. Ao derivar a última equação, os valores de a1 foram omitidos porque se cancelam quando subtraídos. Substituindo os dados conhecidos, encontramos a diferença: d = (a23-a15)/8 = (12-7)/8 = 0,625.

O valor de d deve ser substituído em qualquer fórmula por um elemento conhecido para obter o primeiro membro da sequência: a15 = 14*d+a1, de onde: a1=a15-14*d = 7-14*0,625 = - 1,75.

Vamos verificar o resultado, para isso encontramos a1 através da segunda expressão: a23 = d*22+a1 ou a1 = a23-d*22 = 12 - 0,625*22 = -1,75.

Um exemplo de resolução do problema nº 5: encontre a soma de n elementos

Como você pode ver, até este ponto, apenas uma fórmula de progressão aritmética (Grau 9) foi usada para a solução. Agora apresentamos um problema para cuja solução precisamos conhecer a segunda fórmula, ou seja, para a soma Sn.

Dada a seguinte série ordenada de números -1.1, -2.1, -3.1,..., você precisa calcular a soma de seus 11 primeiros elementos.

Pode-se ver nesta série que está diminuindo, e a1 = -1,1. Sua diferença é: d = -2,1 - (-1,1) = -1. Agora vamos definir o 11º termo: a11 = 10*d + a1 = -10 + (-1.1) = -11.1. Depois de concluir os cálculos preparatórios, você pode usar a fórmula acima para a soma, temos: S11 \u003d 11 * (-1.1 + (-11.1)) / 2 \u003d -67.1. Como todos os termos eram números negativos, sua soma também tem o sinal correspondente.

Um exemplo de resolução do problema nº 6: encontre a soma dos elementos de n a m

Talvez esse tipo de problema seja o mais difícil para a maioria dos alunos. Vamos dar um exemplo típico: dada uma série de números 2, 4, 6, 8 ..., você precisa encontrar a soma do 7º ao 13º termos.

As fórmulas de progressão aritmética (Grau 9) são usadas exatamente da mesma forma que em todas as tarefas anteriores. Recomenda-se que esta tarefa seja resolvida em etapas:

Primeiro, encontre a soma de 13 termos usando a fórmula padrão.

Em seguida, calcule esta soma para os primeiros 6 elementos.

Em seguida, subtraia o 2º da 1ª soma.

Vamos à solução. Como no caso anterior, faremos cálculos preparatórios: a6 = 5*d+a1 = 10+2 = 12, a13 = 12*d+a1 = 24+2 = 26.

Vamos calcular duas somas: S13 = 13*(2+26)/2 = 182, S6 = 6*(2+12)/2 = 42. Faça a diferença e obtenha a resposta desejada: S7-13 = S13 - S6 = 182-42 = 140. Note que ao obter este valor, foi a soma de 6 elementos da progressão que foi utilizada como subtraendo, pois o 7º termo está incluído na soma de S7-13.

Classe: 9

Tipo de aula: aula aprendendo novo material.

O objetivo da lição: Formação do conceito de progressão aritmética como um dos tipos de sequências, derivação da fórmula para o n-ésimo membro, conhecimento da propriedade característica dos membros de uma progressão aritmética. Solução de problemas.

Lições objetivas:

• Educacional- introduzir o conceito de progressão aritmética; fórmulas do enésimo membro; propriedade característica que os membros de progressões aritméticas têm.
• Educacional- desenvolver a capacidade de comparar conceitos matemáticos, encontrar semelhanças e diferenças, a capacidade de observar, perceber padrões, raciocinar por analogia; para formar a capacidade de construir e interpretar um modelo matemático de alguma situação real.
• Educacional- promover o desenvolvimento do interesse pela matemática e suas aplicações, atividade, capacidade de comunicação e defesa de seus pontos de vista com razão.

Equipamento: computador, projetor multimídia, apresentação (Anexo 1)

Livros didáticos: Álgebra 9, Yu.N.

Plano de aula:

1. Momento organizacional, definição de tarefas
2. Atualização do conhecimento, trabalho oral
3. Aprendendo novos materiais
4. Fixação primária
5. Resumindo a lição
6. Trabalho de casa

Para aumentar a visibilidade e a conveniência de trabalhar com o material, a aula é acompanhada de uma apresentação. No entanto, isso não é um pré-requisito, e a mesma aula pode ser ministrada em salas de aula que não estejam equipadas com equipamentos multimídia. Para isso, os dados necessários podem ser preparados no quadro ou na forma de tabelas e cartazes.

Durante as aulas

I. Momento organizacional, definição da tarefa.

Saudações.

O tema da lição de hoje é progressão aritmética. Nesta lição, aprenderemos o que é uma progressão aritmética, que forma geral ela possui, descobriremos como distinguir uma progressão aritmética de outras sequências e resolveremos problemas que usam as propriedades das progressões aritméticas.

II. Atualização do conhecimento, trabalho oral.

A sequência () é dada pela fórmula: =. Qual é o número de um membro desta sequência se for igual a 144? 225? 100? Os números são 48 membros desta sequência? 49? 168?

Sabe-se sobre a sequência () que , . Como se chama esse tipo de sequenciamento? Encontre os quatro primeiros termos desta sequência.

Sabe-se sobre a sequência () que . Como se chama esse tipo de sequenciamento? Encontrar se?

III. Aprendendo novos materiais.

Progressão - uma sequência de valores, cada um dos quais é de alguma forma comum a toda a progressão, dependendo do anterior. O termo agora é amplamente obsoleto e ocorre apenas em combinações de "progressão aritmética" e "progressão geométrica".

O termo "progressão" é de origem latina (progressão, que significa "avançar") e foi introduzido pelo autor romano Boécio (século VI). Este termo em matemática costumava se referir a qualquer sequência de números construída de acordo com uma lei que permite que essa sequência continue indefinidamente em uma direção. Atualmente, o termo "progressão" em seu sentido amplo original não é usado. Dois importantes tipos particulares de progressões - aritmética e geométrica - mantiveram seus nomes.

Considere sequências de números:

• 2, 6, 10, 14, 18, :.
• 11, 8, 5, 2, -1, :.
• 5, 5, 5, 5, 5, :.

Qual é o terceiro termo da primeira sequência? Membro subsequente? Membro anterior? Qual é a diferença entre o segundo e o primeiro termos? Terceiro e segundo membros? Quarta e terceira?

Se a sequência for construída de acordo com uma lei, qual será a diferença entre o sexto e o quinto membros da primeira sequência? Entre o sétimo e o sexto?

Nomeie os próximos dois membros de cada sequência. Porque você acha isso?

(o aluno responde)

Que propriedade comum essas sequências têm? Indique esta propriedade.

(o aluno responde)

As sequências numéricas que possuem essa propriedade são chamadas de progressões aritméticas. Peça aos alunos que tentem formular a definição eles mesmos.

Definição de uma progressão aritmética: Uma progressão aritmética é uma sequência em que cada termo, a partir do segundo, é igual ao anterior, acrescido do mesmo número:

(é uma progressão aritmética se , onde é algum número.

Número d, mostrando o quanto o próximo membro da sequência difere do anterior, é chamado de diferença de progressão: .

Vamos dar outra olhada nas sequências e falar sobre as diferenças. Quais recursos cada sequência possui e com o que eles estão associados?

Se em uma progressão aritmética a diferença for positiva, então a progressão é crescente: 2, 6, 10, 14, 18, :. (

Se em uma progressão aritmética a diferença for negativa ( , então a progressão é decrescente: 11, 8, 5, 2, -1, :. (

Se a diferença for zero () e todos os membros da progressão forem iguais ao mesmo número, a sequência é chamada de estacionária: 5, 5, 5, 5, :.

Como definir uma progressão aritmética? Considere o seguinte problema.

Uma tarefa. Havia 50 toneladas de carvão no armazém no dia 1. Todos os dias durante um mês, um caminhão com 3 toneladas de carvão chega ao armazém. Quanto carvão estará no armazém no dia 30, se o carvão do armazém não tiver sido consumido durante esse período.

Se escrevermos a quantidade de carvão no depósito de cada número, obteremos uma progressão aritmética. Como resolver este problema? É realmente necessário calcular a quantidade de carvão em cada dia do mês? É possível de alguma forma fazer sem ele? Constatamos que antes do dia 30 chegarão ao armazém 29 camiões com carvão. Assim, no dia 30 haverá 50+329=137 toneladas de carvão em estoque.

Assim, conhecendo apenas o primeiro membro da progressão aritmética e a diferença, podemos encontrar qualquer membro da sequência. É sempre assim?

Vamos analisar como cada membro da sequência depende do primeiro membro e da diferença:

Assim, obtivemos a fórmula para o enésimo membro de uma progressão aritmética.

Exemplo 1 Sequência () é uma progressão aritmética. Encontre se e .

Usamos a fórmula para o enésimo termo ,

Resposta: 260.

Considere o seguinte problema:

Em uma progressão aritmética, os membros pares acabaram sendo substituídos: 3, :, 7, :, 13: É possível restaurar os números perdidos?

É provável que os alunos primeiro calculem a diferença da progressão e, em seguida, encontrem os termos desconhecidos da progressão. Então você pode convidá-los a encontrar a relação entre o membro desconhecido da sequência, o anterior e o próximo.

Solução: Vamos usar o fato de que em uma progressão aritmética a diferença entre termos vizinhos é constante. Let Ser o membro desejado da seqüência. Então

.

Comente. Esta propriedade de uma progressão aritmética é sua propriedade característica. Isso significa que em qualquer progressão aritmética, cada termo, a partir do segundo, é igual à média aritmética do anterior e do subsequente ( . E, inversamente, qualquer sequência em que cada termo, a partir do segundo, seja igual à média aritmética do anterior e do subsequente, é uma progressão aritmética.

4. Fixação primária.

• Nº 575 ab - oralmente
• Nº 576 awd - oralmente
• Nº 577b - independente com verificação

Sequência (- progressão aritmética. Encontre se e

Vamos usar a fórmula do n-ésimo membro,

Resposta: -24.2.

Encontre os membros 23 e n da progressão aritmética -8; -6,5; :

Solução: O primeiro termo da progressão aritmética é -8. Vamos encontrar a diferença da progressão aritmética, para isso é necessário subtrair o anterior do próximo membro da sequência: -6,5-(-8)=1,5.

Vamos usar a fórmula do enésimo termo:

Encontre o primeiro termo da progressão aritmética () se .

Vamos relembrar o início da nossa aula, pessoal. Você conseguiu aprender algo novo durante a aula de hoje, para fazer algumas descobertas? Quais são os objetivos da aula? Você acha que alcançamos nossos objetivos?

Trabalho de casa.

Item 25, No. 578a, No. 580b, No. 582, No. 586a, No. 601a.

Tarefa criativa para alunos fortes: Prove que em uma progressão aritmética para quaisquer números tais que k as igualdades e .

Obrigado pela aula galera. Você trabalhou duro hoje.

A matemática tem sua própria beleza, assim como a pintura e a poesia.

Cientista russo, mecânico N.E. Zhukovsky

Tarefas muito comuns nas provas de ingresso em matemática são tarefas relacionadas ao conceito de progressão aritmética. Para resolver tais problemas com sucesso, é necessário conhecer bem as propriedades de uma progressão aritmética e ter certas habilidades em sua aplicação.

Vamos primeiro relembrar as principais propriedades de uma progressão aritmética e apresentar as fórmulas mais importantes, associados a este conceito.

Definição. Sequência numérica, em que cada termo subsequente difere do anterior pelo mesmo número, chamada progressão aritmética. Ao mesmo tempo, o númeroé chamada de diferença de progressão.

Para uma progressão aritmética, as fórmulas são válidas

, (1)

Onde . A fórmula (1) é chamada de fórmula do termo comum de uma progressão aritmética, e a fórmula (2) é a principal propriedade de uma progressão aritmética: cada membro da progressão coincide com a média aritmética de seus membros vizinhos e .

Observe que é justamente por causa dessa propriedade que a progressão considerada é chamada de "aritmética".

As fórmulas (1) e (2) acima são resumidas da seguinte forma:

(3)

Para calcular a soma primeiro membros de uma progressão aritméticaa fórmula é geralmente usada

(5) onde e .

Se levarmos em conta a fórmula (1), então a fórmula (5) implica

se nós designássemos

Onde . Como , então as fórmulas (7) e (8) são uma generalização das fórmulas correspondentes (5) e (6).

Em particular , da fórmula (5) segue, o que

Entre o pouco conhecido da maioria dos estudantes está a propriedade de uma progressão aritmética, formulada por meio do seguinte teorema.

Teorema. Se então

Prova. Se então

O teorema foi provado.

Por exemplo , usando o teorema, pode-se mostrar que

Passemos à consideração de exemplos típicos de resolução de problemas no tópico "Progressão aritmética".

Exemplo 1 Deixe e. Achar .

Solução. Aplicando a fórmula (6), obtemos . Desde e , então ou .

Exemplo 2 Deixe três vezes mais, e ao dividir por no quociente, resulta 2 e o resto é 8. Determine e.

Solução. O sistema de equações segue da condição do exemplo

Como , , e , então do sistema de equações (10) obtemos

A solução deste sistema de equações são e .

Exemplo 3 Encontre se e .

Solução. De acordo com a fórmula (5), temos ou . No entanto, usando a propriedade (9), obtemos .

Como e , então da igualdade a equação segue ou .

Exemplo 4 Encontre se.

Solução.Pela fórmula (5) temos

No entanto, usando o teorema, pode-se escrever

A partir daqui e da fórmula (11) obtemos .

Exemplo 5. Dado: . Achar .

Solução. Desde então . No entanto, portanto .

Exemplo 6 Deixe , e . Achar .

Solução. Usando a fórmula (9), obtemos . Portanto, se , então ou .

Desde e então aqui temos um sistema de equações

Resolvendo qual, obtemos e .

Raiz natural da equaçãoé .

Exemplo 7 Encontre se e .

Solução. Como de acordo com a fórmula (3) temos que , então o sistema de equações segue da condição do problema

Se substituirmos a expressãona segunda equação do sistema, então obtemos ou .

As raízes da equação quadrática são e .

Vamos considerar dois casos.

1. Seja , então . Desde e , então .

Neste caso, de acordo com a fórmula (6), temos

2. Se , então , e

Resposta: e.

Exemplo 8 Sabe-se que e Achar .

Solução. Levando em conta a fórmula (5) e a condição do exemplo, escrevemos e .

Isso implica o sistema de equações

Se multiplicarmos a primeira equação do sistema por 2 e depois adicioná-la à segunda equação, obtemos

Pela fórmula (9), temos. A esse respeito, de (12) segue ou .

Desde e , então .

Responda: .

Exemplo 9 Encontre se e .

Solução. Desde , e por condição , então ou .

Da fórmula (5) é conhecido, o que . Desde então .

Consequentemente , aqui temos um sistema de equações lineares

A partir daqui temos e . Levando em conta a fórmula (8), escrevemos .

Exemplo 10 Resolva a equação.

Solução. Segue da equação dada que . Vamos supor que , , e . Nesse caso .

De acordo com a fórmula (1), podemos escrever ou .

Como , a equação (13) tem uma única raiz adequada .

Exemplo 11. Encontre o valor máximo desde que e .

Solução. Desde , então a progressão aritmética considerada é decrescente. Nesse sentido, a expressão assume um valor máximo quando é o número do membro mínimo positivo da progressão.

Usamos a fórmula (1) e o fato, que e . Então obtemos isso ou .

Porque então ou . No entanto, nesta desigualdademaior número natural, é por isso .

Se os valores e forem substituídos na fórmula (6), obtemos .

Responda: .

Exemplo 12. Encontre a soma de todos os números naturais de dois algarismos que, quando divididos por 6, têm resto 5.

Solução. Denote pelo conjunto de todos os números naturais de dois valores, ou seja, . Em seguida, construímos um subconjunto formado por aqueles elementos (números) do conjunto que, quando divididos pelo número 6, dão um resto de 5.

Fácil de instalar, o que . Obviamente , que os elementos do conjuntoformar uma progressão aritmética, em que e .

Para determinar a cardinalidade (número de elementos) do conjunto, assumimos que . Como e , então a fórmula (1) implica ou . Levando em conta a fórmula (5), obtemos .

Os exemplos acima de resolução de problemas não podem de forma alguma pretender ser exaustivos. Este artigo foi escrito com base em uma análise de métodos modernos para resolver problemas típicos em um determinado tópico. Para um estudo mais aprofundado dos métodos de resolução de problemas relacionados à progressão aritmética, é aconselhável consultar a lista de literatura recomendada.

1. Recolha de tarefas em matemática para candidatos a universidades técnicas / Ed. MI. Scanavi. - M.: Mundo e Educação, 2013. - 608 p.

2. Suprun V.P. Matemática para alunos do ensino médio: seções adicionais do currículo escolar. – M.: Lenand/URSS, 2014. - 216 p.

3. Medynsky M.M. Um curso completo de matemática elementar em tarefas e exercícios. Livro 2: Sequências numéricas e progressões. – M.: Editus, 2015. - 208 p.

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Tema: Progressões aritméticas e geométricas

Classe: 9

Sistema de treinamento: material para preparar o estudo de um tópico em álgebra e a etapa preparatória para passar no exame OGE

Alvo: formação dos conceitos de progressão aritmética e geométrica

Tarefas: ensinar a distinguir entre tipos de progressão, ensinar corretamente, usar fórmulas

Progressão aritmética nomear uma sequência de números (membros de uma progressão)

em que cada termo subsequente difere do anterior por um termo de aço, que também é chamado de diferença de passo ou progressão.

Assim, definindo o passo da progressão e seu primeiro termo, você pode encontrar qualquer um de seus elementos usando a fórmula

1) Cada membro da progressão aritmética, a partir do segundo número, é a média aritmética do membro anterior e seguinte da progressão

A recíproca também é verdadeira. Se a média aritmética dos membros ímpares (pares) vizinhos da progressão for igual ao membro que está entre eles, então esta sequência de números é uma progressão aritmética. Por esta asserção é muito fácil verificar qualquer sequência.

Também pela propriedade da progressão aritmética, a fórmula acima pode ser generalizada para a seguinte

Isso é fácil de verificar se escrevermos os termos à direita do sinal de igual

É frequentemente usado na prática para simplificar cálculos em problemas.

2) A soma dos n primeiros termos de uma progressão aritmética é calculada pela fórmula

Lembre-se bem da fórmula da soma de uma progressão aritmética, ela é indispensável nos cálculos e é bastante comum em situações simples da vida.

3) Se você precisar encontrar não a soma inteira, mas uma parte da sequência a partir de seu k-ésimo membro, a seguinte fórmula de soma será útil para você

4) De interesse prático é encontrar a soma de n membros de uma progressão aritmética a partir do k-ésimo número. Para isso, use a fórmula

Encontre o quadragésimo termo da progressão aritmética 4;7;...

Solução:

De acordo com a condição, temos

Defina a etapa de progressão

De acordo com a conhecida fórmula, encontramos o quadragésimo termo da progressão

A progressão aritmética é dada por seu terceiro e sétimo membros. Encontre o primeiro termo da progressão e a soma de dez.

Solução:

Escrevemos os elementos dados da progressão de acordo com as fórmulas

Uma progressão aritmética é dada pelo denominador e um de seus membros. Encontre o primeiro termo da progressão, a soma de seus 50 termos a partir de 50 e a soma dos primeiros 100 .

Solução:

Vamos escrever a fórmula para o centésimo elemento da progressão

e encontre o primeiro

Com base no primeiro, encontramos o 50º termo da progressão

Encontrando a soma da parte da progressão

e a soma dos 100 primeiros

A soma da progressão é 250. Encontre o número de membros da progressão aritmética se:

a3-a1=8, a2+a4=14, Sn=111.

Solução:

Escrevemos as equações em termos do primeiro termo e do passo da progressão e as definimos

Substituímos os valores obtidos na fórmula da soma para determinar o número de termos na soma

Fazendo simplificações

e resolva a equação do segundo grau

Dos dois valores encontrados, apenas o número 8 é adequado para a condição do problema. Assim, a soma dos primeiros oito termos da progressão é 111.

resolva a equação

1+3+5+...+x=307.

Solução:

Esta equação é a soma de uma progressão aritmética. Escrevemos seu primeiro termo e encontramos a diferença da progressão

Substituímos os valores encontrados na fórmula da soma da progressão para encontrar o número de termos

Como na tarefa anterior, realizamos simplificações e resolvemos a equação quadrática

Escolha o mais lógico dos dois valores. Temos que a soma de 18 membros da progressão com valores dados a1=1, d=2 é igual a Sn=307.

Exemplos de resolução de problemas: Progressão aritmética

Tarefa 1

A equipa estudantil contratou a colocação de ladrilhos cerâmicos no chão do salão do clube de jovens com uma área de 288m2. Ganhando experiência, os alunos todos os dias, a partir do segundo, dispuseram 2 m2 a mais que o anterior, e eles tinham telhas suficientes para exatamente 11 dias de trabalho. Planejando para que a produtividade aumentasse da mesma forma, o capataz determinou que levaria mais 5 dias para concluir o trabalho. Quantas caixas de ladrilhos ele precisa pedir se 1 caixa é suficiente para 1,2 m2 de piso e são necessárias 3 caixas para substituir ladrilhos de baixa qualidade?

Solução

Pela condição do problema, fica claro que estamos falando de uma progressão aritmética na qual

a1=x, Sn=288, n=16

Então usamos a fórmula: Sn= (2à1+d(n-1))*n/0,86=200mmHg. Arte.

288=(2x+2*15)*16/2

Calcule quantos m2 os alunos vão dispor em 11 dias: S11=(2*3+2*10)*11,2=143m 2

288-143=145m2 restantes após 11 dias de trabalho, ou seja por 5 dias

145/1,2=121(aproximadamente) caixas precisam ser encomendadas por 5 dias.

121+3=124 caixas devem ser encomendadas com defeitos

Resposta: 124 caixas

Tarefa 2

Após cada movimento do pistão da bomba de diluição, 20% do ar nele contido é removido do recipiente. Vamos determinar a pressão do ar dentro do vaso após seis movimentos do pistão, se a pressão inicial foi de 760 mm Hg. Arte.

Solução

Como 20% do ar disponível é removido do recipiente após cada movimento do pistão, 80% do ar permanece. Para descobrir a pressão do ar no recipiente após o próximo movimento do pistão, você precisa aumentar a pressão do movimento anterior do pistão em 0,8.

Temos uma progressão geométrica cujo primeiro termo é 760 e cujo denominador é 0,8. O número que expressa a pressão do ar no vaso (em mm Hg) após seis golpes do pistão é o sétimo membro dessa progressão. É igual a 760*0,86=200mm Hg. Arte.

Resposta: 200mmHg

Uma progressão aritmética é dada, onde o quinto e décimo termos são iguais a 38 e 23, respectivamente. Encontre o décimo quinto termo da progressão e a soma de seus dez primeiros termos.

Solução:

Encontre o número de termos da progressão aritmética 5,14,23,..., se seu º termo é 239.

Solução:

Achar o número de termos de uma progressão aritmética é 9,12,15,..., se sua soma é 306.

Solução:

Encontre o x para o qual os números x-1, 2x-1, x2-5 formam uma progressão aritmética

Solução:

Encontre a diferença entre 1 e 2 membros da progressão:

d=(2x-1)-(x-1)=x

Encontre a diferença entre 2 e 3 membros da progressão:

d=(x2-5)-(2x-1)=x2-2x-4

Porque a diferença é a mesma, então os termos da progressão podem ser igualados:

Quando verificado em ambos os casos, obtém-se uma progressão aritmética

Resposta: em x=-1 e x=4

A progressão aritmética é dada por seu terceiro e sétimo membros a3=5; a7=13. Encontre o primeiro termo da progressão e a soma de dez.

Solução:

Subtraímos a primeira equação da segunda equação, como resultado encontramos o passo de progressão

a1+6d-(a1+2d)=4d=13-5=8, então d=2

O valor encontrado é substituído em qualquer uma das equações para encontrar o primeiro termo da progressão aritmética

Calcule a soma dos dez primeiros termos da progressão

S10=(2*1+(10-1)*2)*10/2=100

Resposta: a1=1; S10=100

Em uma progressão aritmética cujo primeiro termo é -3,4 e a diferença é 3, encontre o quinto e o décimo primeiro termos.

Então sabemos que a1 = -3,4; d = 3. Encontre: a5, a11-.

Solução. Para encontrar o n-ésimo membro da progressão aritmética, usamos a fórmula: an = a1+ (n – 1)d. Nós temos:

a5 \u003d a1 + (5 - 1) d \u003d -3,4 + 4 3 \u003d 8,6;

a11 \u003d a1 + (11 - 1) d \u003d -3,4 + 10 3 \u003d 26,6.

Como você pode ver, neste caso, a solução não é difícil.

O décimo segundo termo da progressão aritmética é 74, e a diferença é -4. Encontre o trigésimo quarto termo desta progressão.

Dizem-nos que a12 = 74; d = -4, e você precisa encontrar a34-.

Neste problema, não é possível aplicar imediatamente a fórmula an = a1 + (n – 1)d, pois o primeiro termo a1 não é conhecido. Este problema pode ser resolvido em várias etapas.

1. Usando o termo a12 e a fórmula do enésimo termo, encontramos a1:

a12 = a1 + (12 – 1)d, agora simplifique e substitua d: a12 = a1 + 11 (-4). A partir desta equação encontramos a1: a1 = a12 - (-44);

Conhecemos o décimo segundo termo da condição do problema, então calculamos a1 sem problemas

a1 = 74 + 44 = 118. Vamos para o segundo passo - calcular a34.

2. Novamente, de acordo com a fórmula an = a1 + (n - 1)d, como a1 já é conhecido, determinaremos a34-,

a34 = a1 + (34 - 1)d = 118 + 33 (-4) = 118 - 132 = -14.

Resposta: O trigésimo quarto termo de uma progressão aritmética é -14.

Como você pode ver, a solução do segundo exemplo é mais complicada. A mesma fórmula é usada duas vezes para obter a resposta. Mas tudo é tão complicado. A solução pode ser encurtada usando fórmulas adicionais.

Como já observado, se a1 é conhecido no problema, então é muito conveniente aplicar a fórmula para determinar o enésimo membro de uma progressão aritmética. Mas, se não for especificado o primeiro termo na condição, então uma fórmula pode vir em socorro que conecta o n-ésimo termo que precisamos e o termo ak especificado no problema.

an = ak + (n – k)d.

Vamos resolver o segundo exemplo, mas usando a nova fórmula.

Dado: a12 = 74; d=-4. Encontrar: a34-.

Usamos a fórmula an = ak + (n – k)d. No nosso caso será:

a34 = a12 + (34 - 12) (-4) = 74 + 22 (-4) = 74 - 88 = -14.

A resposta no problema foi obtida muito mais rápido, pois não foi necessário realizar ações adicionais e procurar o primeiro membro da progressão.

Usando as fórmulas acima, você pode resolver problemas para calcular a diferença de uma progressão aritmética. Então, usando a fórmula an = a1 + (n - 1)d, podemos expressar d:

d = (an - a1) / (n - 1). No entanto, problemas com um dado primeiro termo não são tão comuns, e podem ser resolvidos usando nossa fórmula an = ak + (n – k)d, da qual se pode ver que d = (an – ak) / (n – k). Vamos considerar tal tarefa.

Encontre a diferença da progressão aritmética se for conhecido que a3 = 36; a8 = 106.

Usando a fórmula que obtivemos, a solução do problema pode ser escrita em uma linha:

d = (a8 - a3) / (8 - 3) = (106 - 36) / 5 = 14.

Se essa fórmula não estivesse no arsenal, a solução do problema levaria muito mais tempo, pois teria que resolver um sistema de duas equações.

progressões geométricas

1. Fórmula do º membro (membro geral da progressão).
2. A fórmula para a soma dos primeiros membros da progressão:. Quando se costuma falar de progressão geométrica convergente; neste caso, você pode calcular a soma de toda a progressão usando a fórmula .
3. A fórmula da "média geométrica": se , , são três termos consecutivos de uma progressão geométrica, então em virtude da definição temos a relação: ou ou .