O máximo divisor comum e o mínimo múltiplo comum são conceitos aritméticos chave que permitem operar facilmente com frações ordinárias. LCM e são mais frequentemente usados ​​para encontrar o denominador comum de várias frações.

Conceitos Básicos

O divisor de um inteiro X é outro inteiro Y pelo qual X é divisível sem resto. Por exemplo, o divisor de 4 é 2 e 36 é 4, 6, 9. Um múltiplo do inteiro X é um número Y que é divisível por X sem deixar resto. Por exemplo, 3 é um múltiplo de 15 e 6 é um múltiplo de 12.

Para qualquer par de números, podemos encontrar seus divisores comuns e múltiplos. Por exemplo, para 6 e 9, o múltiplo comum é 18 e o divisor comum é 3. Obviamente, os pares podem ter vários divisores e múltiplos, então o maior divisor do GCD e o menor múltiplo do LCM são usados ​​nos cálculos .

O menor divisor não faz sentido, pois para qualquer número é sempre um. O maior múltiplo também não tem sentido, pois a sequência de múltiplos tende ao infinito.

Encontrando o GCD

Existem muitos métodos para encontrar o máximo divisor comum, sendo os mais famosos:

• enumeração sequencial dos divisores, seleção dos comuns para um par e busca pelo maior deles;
• decomposição de números em fatores indivisíveis;
• algoritmo de Euclides;
• algoritmo binário.

Hoje, nas instituições de ensino, os métodos mais populares de decomposição em fatores primos e o algoritmo euclidiano. Este último, por sua vez, é utilizado na resolução de equações diofantinas: a busca por GCD é necessária para verificar a equação quanto à possibilidade de resolvê-la em números inteiros.

Encontrando o NOC

O mínimo múltiplo comum também é determinado exatamente por enumeração iterativa ou fatoração em fatores indivisíveis. Além disso, é fácil encontrar o LCM se o maior divisor já tiver sido determinado. Para os números X e Y, LCM e GCD estão relacionados pela seguinte relação:

LCM(X,Y) = X × Y / GCM(X,Y).

Por exemplo, se mdc(15,18) = 3, então LCM(15,18) = 15 × 18 / 3 = 90. O uso mais óbvio de LCM é encontrar o denominador comum, que é o mínimo múltiplo comum do frações dadas.

Números primos

Se um par de números não possui divisores comuns, esse par é chamado coprimo. O GCM para tais pares é sempre igual a um, e baseado na conexão de divisores e múltiplos, o GCM para coprime é igual ao seu produto. Por exemplo, os números 25 e 28 são primos, porque não têm divisores comuns, e LCM(25, 28) = 700, que corresponde ao seu produto. Quaisquer dois números indivisíveis sempre serão primos.

Divisor comum e calculadora múltipla

Com nossa calculadora você pode calcular GCD e LCM para qualquer número de números para escolher. Tarefas para calcular divisores comuns e múltiplos são encontradas na aritmética do 5º e 6º ano, no entanto, GCD e LCM são os conceitos-chave da matemática e são usados ​​na teoria dos números, planimetria e álgebra comunicativa.

Exemplos da vida real

Denominador comum de frações

O mínimo múltiplo comum é usado para encontrar o denominador comum de várias frações. Suponha que em um problema aritmético seja necessário somar 5 frações:

1/8 + 1/9 + 1/12 + 1/15 + 1/18.

Para somar frações, a expressão deve ser reduzida a um denominador comum, o que se reduz ao problema de encontrar o MMC. Para fazer isso, selecione 5 números na calculadora e insira os valores do denominador nas células apropriadas. O programa calculará LCM (8, 9, 12, 15, 18) = 360. Agora você precisa calcular fatores adicionais para cada fração, que são definidos como a razão entre LCM e o denominador. Assim, os multiplicadores extras ficariam assim:

• 360/8 = 45
• 360/9 = 40
• 360/12 = 30
• 360/15 = 24
• 360/18 = 20.

Depois disso, multiplicamos todas as frações pelo fator adicional correspondente e obtemos:

45/360 + 40/360 + 30/360 + 24/360 + 20/360.

Podemos facilmente adicionar essas frações e obter o resultado na forma de 159/360. Reduzimos a fração em 3 e vemos a resposta final - 53/120.

Solução de equações diofantinas lineares

As equações diofantinas lineares são expressões da forma ax + by = d. Se a razão d / gcd(a, b) for um número inteiro, então a equação é solúvel em números inteiros. Vamos verificar algumas equações para a possibilidade de uma solução inteira. Primeiro, verifique a equação 150x + 8y = 37. Usando uma calculadora, encontramos mdc (150,8) = 2. Divida 37/2 = 18,5. O número não é um número inteiro, portanto, a equação não possui raízes inteiras.

Vamos verificar a equação 1320x + 1760y = 10120. Use a calculadora para encontrar mdc(1320, 1760) = 440. Divida 10120/440 = 23. Como resultado, obtemos um inteiro, portanto, a equação diofantina pode ser resolvida em coeficientes inteiros .

Conclusão

GCD e LCM desempenham um papel importante na teoria dos números, e os próprios conceitos são amplamente utilizados em várias áreas da matemática. Use nossa calculadora para calcular os maiores divisores e os menores múltiplos de qualquer número de números.

Segundo número: b=

Separador de dígitos Sem separador de espaço " ´

Resultado:

Máximo Divisor Comum gcd( uma,b)=6

Mínimo múltiplo comum de MMC( uma,b)=468

O maior número natural pelo qual os números a e b são divisíveis sem resto é chamado máximo divisor comum(mdc) desses números. Denotado gcd(a,b), (a,b), gcd(a,b) ou hcf(a,b).

Mínimo múltiplo comum(LCM) de dois inteiros a e b é o menor número natural que é divisível por a e b sem deixar resto. Denotado LCM(a,b), ou lcm(a,b).

Os inteiros a e b são chamados coprime se não tiverem divisores comuns além de +1 e −1.

Máximo Divisor Comum

Sejam dados dois números positivos uma 1 e uma 21). É necessário encontrar um divisor comum desses números, ou seja, encontrar tal número λ , que divide os números uma 1 e uma 2 ao mesmo tempo. Vamos descrever o algoritmo.

1) Neste artigo, a palavra número significará um número inteiro.

Deixar uma 1 ≥ uma 2 e deixe

Onde m 1 , uma 3 são alguns números inteiros, uma 3 <uma 2 (resto da divisão uma 1 em uma 2 deve ser menor uma 2).

Vamos fingir que λ divide uma 1 e uma 2, então λ divide m 1 uma 2 e λ divide uma 1 −m 1 uma 2 =uma 3 (Asserção 2 do artigo "Divisibilidade dos números. Sinal de divisibilidade"). Segue que todo divisor comum uma 1 e uma 2 é um divisor comum uma 2 e uma 3 . A recíproca também é verdadeira se λ divisor comum uma 2 e uma 3, então m 1 uma 2 e uma 1 =m 1 uma 2 +uma 3 também são divididos em λ . Daí o divisor comum uma 2 e uma 3 também é um divisor comum uma 1 e uma 2. Porque uma 3 <uma 2 ≤uma 1 , então podemos dizer que a solução para o problema de encontrar um divisor comum de números uma 1 e uma 2 reduzido a um problema mais simples de encontrar um divisor comum de números uma 2 e uma 3 .

Se um uma 3 ≠0, então podemos dividir uma 2 em uma 3 . Então

,

Onde m 1 e uma 4 são alguns números inteiros, ( uma 4 resto da divisão uma 2 em uma 3 (uma 4 <uma 3)). Por raciocínio semelhante, chegamos à conclusão de que os divisores comuns de números uma 3 e uma 4 é o mesmo que divisores comuns de números uma 2 e uma 3 , e também com divisores comuns uma 1 e uma 2. Porque uma 1 , uma 2 , uma 3 , uma 4 , ... números que estão constantemente diminuindo, e como há um número finito de inteiros entre uma 2 e 0, então em algum passo n, resto da divisão uma não uma n+1 será igual a zero ( uma n+2=0).

.

Todo divisor comum λ números uma 1 e uma 2 também é um divisor de números uma 2 e uma 3 , uma 3 e uma 4 , .... uma n e uma n+1. O inverso também é verdadeiro, divisores comuns de números uma n e uma n+1 também são divisores de números uma n−1 e uma n , .... , uma 2 e uma 3 , uma 1 e uma 2. Mas o divisor comum uma n e uma n+1 é um número uma n+1 , porque uma n e uma n+1 são divisíveis por uma n+1 (lembre-se que uma n+2=0). Consequentemente uma n+1 também é um divisor de números uma 1 e uma 2 .

Observe que o número uma n+1 é o maior divisor de números uma n e uma n+1 , pois o maior divisor uma n+1 é ele mesmo uma n+1. Se um uma n + 1 pode ser representado como um produto de números inteiros, então esses números também são divisores comuns de números uma 1 e uma 2. Número uma n+1 são chamados máximo divisor comum números uma 1 e uma 2 .

Números uma 1 e uma 2 podem ser números positivos e negativos. Se um dos números for igual a zero, o máximo divisor comum desses números será igual ao valor absoluto do outro número. O máximo divisor comum de zero números não está definido.

O algoritmo acima é chamado Algoritmo de Euclides para encontrar o máximo divisor comum de dois inteiros.

Um exemplo de encontrar o máximo divisor comum de dois números

Encontre o máximo divisor comum de dois números 630 e 434.

• Passo 1. Divida o número 630 por 434. O resto é 196.
• Passo 2. Divida o número 434 por 196. O resto é 42.
• Passo 3. Divida o número 196 por 42. O resto é 28.
• Passo 4. Divida o número 42 por 28. O resto é 14.
• Passo 5. Divida o número 28 por 14. O resto é 0.

Na etapa 5, o resto da divisão é 0. Portanto, o máximo divisor comum dos números 630 e 434 é 14. Observe que os números 2 e 7 também são divisores dos números 630 e 434.

Números primos

Definição 1. Seja o máximo divisor comum dos números uma 1 e uma 2 é igual a um. Então esses números são chamados números primos que não possuem divisor comum.

Teorema 1. Se um uma 1 e uma 2 números relativamente primos, e λ algum número, então qualquer divisor comum de números λa 1 e uma 2 também é um divisor comum de números λ e uma 2 .

Prova. Considere o algoritmo de Euclides para encontrar o máximo divisor comum de números uma 1 e uma 2 (ver acima).

.

Segue-se das condições do teorema que o máximo divisor comum dos números uma 1 e uma 2 e, portanto, uma n e uma n+1 é 1. I.e. uma n+1=1.

Vamos multiplicar todas essas igualdades por λ , então

.

Deixe o divisor comum uma 1 λ e uma 2 é δ . Então δ entra como fator de uma 1 λ , m 1 uma 2 λ e em uma 1 λ -m 1 uma 2 λ =uma 3 λ (Ver "Divisibilidade dos números", Afirmação 2). Mais longe δ entra como fator de uma 2 λ e m 2 uma 3 λ , e, portanto, entra como um fator de uma 2 λ -m 2 uma 3 λ =uma 4 λ .

Ao raciocinar desta forma, estamos convencidos de que δ entra como fator de uma n−1 λ e m n−1 uma n λ , e, portanto, em uma n−1 λ −m n−1 uma n λ =uma n+1 λ . Porque uma n+1 = 1, então δ entra como fator de λ . Daí o número δ é um divisor comum de números λ e uma 2 .

Considere casos especiais do Teorema 1.

Consequência 1. Deixar uma e c os números primos são relativamente b. Então o produto deles acé um número primo em relação a b.

Sério. Do Teorema 1 ac e b têm os mesmos divisores comuns que c e b. Mas os números c e b coprime, ou seja tem um único divisor comum 1. Então ac e b também têm um único divisor comum 1. Portanto ac e b mutuamente simples.

Consequência 2. Deixar uma e b números primos e deixe b divide ak. Então b divide e k.

Sério. Da condição de afirmação ak e b tem um divisor comum b. Em virtude do Teorema 1, b deve ser um divisor comum b e k. Consequentemente b divide k.

O corolário 1 pode ser generalizado.

Consequência 3. 1. Deixe os números uma 1 , uma 2 , uma 3 , ..., uma m são primos em relação ao número b. Então uma 1 uma 2 , uma 1 uma 2 · uma 3 , ..., uma 1 uma 2 uma 3 ··· uma m , o produto desses números é primo em relação ao número b.

2. Vamos ter duas linhas de números

tal que todo número da primeira linha é primo em relação a todo número da segunda linha. Então o produto

É necessário encontrar esses números que são divisíveis por cada um desses números.

Se o número for divisível por uma 1, então parece sa 1, onde s algum número. Se um qé o máximo divisor comum dos números uma 1 e uma 2, então

Onde s 1 é algum número inteiro. Então

é mínimo múltiplo comum de números uma 1 e uma 2 .

uma 1 e uma 2 coprimo, então o mínimo múltiplo comum dos números uma 1 e uma 2:

Encontre o mínimo múltiplo comum desses números.

Segue-se do exposto que qualquer múltiplo dos números uma 1 , uma 2 , uma 3 deve ser um múltiplo de números ε e uma 3 e vice-versa. Seja o mínimo múltiplo comum dos números ε e uma 3 é ε 1 . Além disso, um múltiplo de números uma 1 , uma 2 , uma 3 , uma 4 deve ser um múltiplo de números ε 1 e uma quatro. Seja o mínimo múltiplo comum dos números ε 1 e uma 4 é ε 2. Assim, descobrimos que todos os múltiplos de números uma 1 , uma 2 , uma 3 ,...,uma m coincide com múltiplos de algum número específico ε n , que é chamado de mínimo múltiplo comum dos números dados.

No caso particular em que os números uma 1 , uma 2 , uma 3 ,...,uma m coprimo, então o mínimo múltiplo comum dos números uma 1 , uma 2 como mostrado acima tem a forma (3). Além disso, desde uma 3 primos em relação aos números uma 1 , uma 2, então uma 3 é um número relativo primo uma 1 · uma 2 (Corolário 1). Então o mínimo múltiplo comum dos números uma 1 ,uma 2 ,uma 3 é um número uma 1 · uma 2 · uma 3 . Argumentando de maneira semelhante, chegamos às seguintes afirmações.

Declaração 1. Mínimo múltiplo comum de números primos uma 1 , uma 2 , uma 3 ,...,uma m é igual ao seu produto uma 1 · uma 2 · uma 3 ··· uma m.

Declaração 2. Qualquer número que é divisível por cada um dos números primos uma 1 , uma 2 , uma 3 ,...,uma m também é divisível pelo seu produto uma 1 · uma 2 · uma 3 ··· uma m.

A calculadora online permite que você encontre rapidamente o máximo divisor comum e o mínimo múltiplo comum de dois ou qualquer outro número de números.

Calculadora para encontrar GCD e NOC

Encontrar GCD e NOC

GCD e NOC encontrados: 5806

Como usar a calculadora

• Digite os números no campo de entrada
• Em caso de inserção de caracteres incorretos, o campo de entrada será destacado em vermelho
• pressione o botão "Encontrar GCD e NOC"

Como inserir números

• Os números são inseridos separados por espaços, pontos ou vírgulas
• O comprimento dos números inseridos não é limitado, portanto, encontrar o mdc e lcm de números longos não será difícil

O que é NOD e NOK?

Máximo Divisor Comum de vários números é o maior inteiro natural pelo qual todos os números originais são divisíveis sem deixar resto. O máximo divisor comum é abreviado como GCD.
Mínimo múltiplo comum vários números é o menor número que é divisível por cada um dos números originais sem deixar resto. O mínimo múltiplo comum é abreviado como CON.

Como verificar se um número é divisível por outro número sem deixar resto?

Para descobrir se um número é divisível por outro sem deixar resto, você pode usar algumas propriedades de divisibilidade de números. Então, ao combiná-los, pode-se verificar a divisibilidade por alguns deles e suas combinações.

Alguns sinais de divisibilidade de números

1. Sinal de divisibilidade de um número por 2
Para determinar se um número é divisível por dois (se é par), basta olhar para o último dígito desse número: se for igual a 0, 2, 4, 6 ou 8, então o número é par, o que significa que é divisível por 2.
Exemplo: determine se o número 34938 é divisível por 2.
Solução: olhe para o último dígito: 8 significa que o número é divisível por dois.

2. Sinal de divisibilidade de um número por 3
Um número é divisível por 3 quando a soma de seus algarismos é divisível por 3. Assim, para determinar se um número é divisível por 3, você precisa calcular a soma dos dígitos e verificar se é divisível por 3. Mesmo que a soma dos dígitos seja muito grande, você pode repetir o mesmo processo novamente.
Exemplo: determine se o número 34938 é divisível por 3.
Solução: contamos a soma dos dígitos: 3+4+9+3+8 = 27. 27 é divisível por 3, o que significa que o número é divisível por três.

3. Sinal de divisibilidade de um número por 5
Um número é divisível por 5 quando seu último dígito é zero ou cinco.
Exemplo: determine se o número 34938 é divisível por 5.
Solução: olhe para o último dígito: 8 significa que o número NÃO é divisível por cinco.

4. Sinal de divisibilidade de um número por 9
Este sinal é muito semelhante ao sinal de divisibilidade por três: um número é divisível por 9 quando a soma de seus dígitos é divisível por 9.
Exemplo: determine se o número 34938 é divisível por 9.
Solução: calculamos a soma dos dígitos: 3+4+9+3+8 = 27. 27 é divisível por 9, o que significa que o número é divisível por nove.

Como encontrar GCD e LCM de dois números

Como encontrar o GCD de dois números

A maneira mais simples de calcular o máximo divisor comum de dois números é encontrar todos os divisores possíveis desses números e escolher o maior deles.

Considere este método usando o exemplo de encontrar GCD(28, 36) :

1. Fatoramos os dois números: 28 = 1 2 2 7 , 36 = 1 2 2 3 3
2. Encontramos fatores comuns, ou seja, aqueles que ambos os números possuem: 1, 2 e 2.
3. Calculamos o produto desses fatores: 1 2 2 \u003d 4 - este é o máximo divisor comum dos números 28 e 36.

Como encontrar o LCM de dois números

Existem duas maneiras mais comuns de encontrar o menor múltiplo de dois números. A primeira maneira é que você pode escrever os primeiros múltiplos de dois números e, em seguida, escolher entre eles um número que seja comum a ambos os números e ao mesmo tempo o menor. E a segunda é encontrar o GCD desses números. Vamos apenas considerá-lo.

Para calcular o LCM, você precisa calcular o produto dos números originais e depois dividi-lo pelo GCD encontrado anteriormente. Vamos encontrar o LCM para os mesmos números 28 e 36:

1. Encontre o produto dos números 28 e 36: 28 36 = 1008
2. gcd(28, 36) já é conhecido por ser 4
3. LCM(28, 36) = 1008 / 4 = 252 .

Encontrando GCD e LCM para vários números

O máximo divisor comum pode ser encontrado para vários números, e não apenas para dois. Para isso, os números a serem encontrados para o máximo divisor comum são decompostos em fatores primos, então o produto dos fatores primos comuns desses números é encontrado. Além disso, para encontrar o GCD de vários números, você pode usar a seguinte relação: mdc(a, b, c) = mdc(mdc(a, b), c).

Uma relação semelhante também se aplica ao mínimo múltiplo comum de números: LCM(a, b, c) = LCM(LCM(a, b), c)

Exemplo: encontre GCD e LCM para os números 12, 32 e 36.

1. Primeiro, vamos fatorar os números: 12 = 1 2 2 3 , 32 = 1 2 2 2 2 2 , 36 = 1 2 2 3 3 .
2. Vamos encontrar fatores comuns: 1, 2 e 2 .
3. O produto deles dará mdc: 1 2 2 = 4
4. Agora vamos encontrar o LCM: para isso, primeiro encontramos o LCM(12, 32): 12 32 / 4 = 96 .
5. Para encontrar o MMC de todos os três números, você precisa encontrar o MDC(96, 36): 96 = 1 2 2 2 2 2 3 , 36 = 1 2 2 3 3 , GCD = 1 2 . 2 3 = 12 .
6. LCM(12, 32, 36) = 96 36 / 12 = 288 .

O mínimo múltiplo comum de dois números está diretamente relacionado ao máximo divisor comum desses números. este ligação entre GCD e NOCé definida pelo seguinte teorema.

Teorema.

O mínimo múltiplo comum de dois inteiros positivos a e b é igual ao produto de a e b dividido pelo máximo divisor comum de a e b, ou seja, LCM(a, b)=a b: GCM(a, b).

Prova.

Deixar M é um múltiplo dos números a e b. Ou seja, M é divisível por a, e pela definição de divisibilidade, existe algum inteiro k tal que a igualdade M=a·k é verdadeira. Mas M também é divisível por b, então a k é divisível por b.

Denote mdc(a, b) como d . Então podemos escrever as igualdades a=a 1 ·d e b=b 1 ·d, e a 1 =a:de b 1 =b:d serão números primos. Portanto, a condição obtida no parágrafo anterior de que a k é divisível por b pode ser reformulada da seguinte forma: a 1 d k é divisível por b 1 d , e isso, devido às propriedades de divisibilidade, equivale à condição de que a 1 k é divisível por b um.

Também precisamos escrever dois corolários importantes do teorema considerado.

Os múltiplos comuns de dois números são iguais aos múltiplos do seu mínimo múltiplo comum.

Isso é verdade, pois qualquer múltiplo comum de M números a e b é definido pela igualdade M=LCM(a, b) t para algum valor inteiro t .

O mínimo múltiplo comum de números positivos coprimos a e b é igual ao seu produto.

A razão para este fato é bastante óbvia. Como a e b são primos, então gcd(a, b)=1 , portanto, LCM(a, b)=a b: GCD(a, b)=a b:1=a b.

Mínimo múltiplo comum de três ou mais números

Encontrar o mínimo múltiplo comum de três ou mais números pode ser reduzido a encontrar sucessivamente o MMC de dois números. Como isso é feito é indicado no seguinte teorema: a 1 , a 2 , …, a k coincidem com múltiplos comuns dos números m k-1 e a k , portanto, coincidem com múltiplos de m k . E como o mínimo múltiplo positivo do número m k é o próprio número m k, então o mínimo múltiplo comum dos números a 1 , a 2 , …, a k é m k .

Bibliografia.

• Vilenkin N.Ya. etc. Matemática. 6ª série: livro didático para instituições de ensino.
• Vinogradov I. M. Fundamentos da teoria dos números.
• Mikhelovich Sh.Kh. Teoria dos Números.
• Kulikov L.Ya. e outros Coleção de problemas em álgebra e teoria dos números: livro didático para estudantes de fiz.-mat. especialidades dos institutos pedagógicos.

Para entender como calcular o LCM, você deve primeiro determinar o significado do termo "múltiplo".

Um múltiplo de A é um número natural que é divisível por A sem deixar resto. Assim, 15, 20, 25 e assim por diante podem ser considerados múltiplos de 5.

Pode haver um número limitado de divisores de um determinado número, mas há um número infinito de múltiplos.

Um múltiplo comum de números naturais é um número que é divisível por eles sem deixar resto.

Como encontrar o mínimo múltiplo comum de números

O mínimo múltiplo comum (MLC) de números (dois, três ou mais) é o menor número natural que é divisível por todos esses números.

Para encontrar o NOC, você pode usar vários métodos.

Para números pequenos, é conveniente escrever em uma linha todos os múltiplos desses números até encontrar um comum entre eles. Múltiplos são indicados no registro com uma letra maiúscula K.

Por exemplo, múltiplos de 4 podem ser escritos assim:

K(4) = (8,12, 16, 20, 24, ...)

K(6) = (12, 18, 24, ...)

Assim, você pode ver que o mínimo múltiplo comum dos números 4 e 6 é o número 24. Essa entrada é realizada da seguinte forma:

LCM(4, 6) = 24

Se os números forem grandes, encontre o múltiplo comum de três ou mais números, então é melhor usar outra maneira de calcular o MMC.

Para completar a tarefa, é necessário decompor os números propostos em fatores primos.

Primeiro você precisa escrever a expansão do maior dos números em uma linha e abaixo dela - o resto.

Na expansão de cada número, pode haver um número diferente de fatores.

Por exemplo, vamos fatorar os números 50 e 20 em fatores primos.

Na expansão do número menor, deve-se sublinhar os fatores que faltam na expansão do primeiro número maior e, em seguida, adicioná-los a ele. No exemplo apresentado, um deuce está faltando.

Agora podemos calcular o mínimo múltiplo comum de 20 e 50.

LCM (20, 50) = 2 * 5 * 5 * 2 = 100

Assim, o produto dos fatores primos do número maior pelos fatores do segundo número, que não estão incluídos na decomposição do número maior, será o mínimo múltiplo comum.

Para encontrar o MMC de três ou mais números, todos eles devem ser decompostos em fatores primos, como no caso anterior.

Como exemplo, você pode encontrar o mínimo múltiplo comum dos números 16, 24, 36.

36 = 2 * 2 * 3 * 3

24 = 2 * 2 * 2 * 3

16 = 2 * 2 * 2 * 2

Assim, apenas dois duques da decomposição de dezesseis não foram incluídos na fatoração de um número maior (um está na decomposição de vinte e quatro).

Assim, eles precisam ser adicionados à decomposição de um número maior.

LCM (12, 16, 36) = 2 * 2 * 3 * 3 * 2 * 2 = 9

Existem casos especiais de determinação do mínimo múltiplo comum. Portanto, se um dos números puder ser dividido sem deixar resto por outro, o maior desses números será o mínimo múltiplo comum.

Por exemplo, NOCs de doze e vinte e quatro seriam vinte e quatro.

Se for necessário encontrar o mínimo múltiplo comum de números primos que não possuem os mesmos divisores, seu MMC será igual ao seu produto.

Por exemplo, LCM(10, 11) = 110.