Área de um triângulo abcé igual a 12 . Em uma linha reta CA ponto tomado D assim
ponto Cé o ponto médio do segmento DE ANÚNCIOS. Ponto K- lado do meio AB,
direto KD cruza o lado BC no ponto eu.
a) Prove que BL:LC=2:1.
b) Encontre a área do triângulo PRETO.

Para começar, faremos um desenho cuidadosamente, marcando a igualdade dos segmentos ao longo do caminho.

Agora é fácil ver que ligando os pontos NO e D, obtemos um triângulo ABD,
em que NS e Sol são medianas por definição (você se lembra?)

E as medianas no ponto de interseção são divididas por 2: 1 contando de cima.
Está feito. Escreva, você pode provar essa propriedade por si mesmo?
Encontre a área de um triângulo PRETO pode ser diferente. Deixar EA- terceira mediana

triângulo ABD, ele passará pelo ponto eu cruzamento dos dois primeiros.
Mediana Sol divide o triângulo ABD em dois triângulos iguais.
Portanto, a área ABD duas vezes a área abc e igual a 12 2 = 24.
Três medianas dividem o triângulo em seis triângulos de mesma área.
A partir daqui é fácil encontrar a área do triângulo desejado PRETO. 24:6 = 4 .
Observo que ambas as declarações também devem ser capazes de provar.
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Você pode comparar as áreas dos triângulos PRETO e abc sem tocar na mediana.

Esses triângulos têm um ângulo comum NO Vamos usar este fato.

Vamos encontrar a razão de área:

Então a área PRETO três vezes a área abc.

A área do triângulo ABC é 198. A bissetriz AL intercepta a mediana BM no ponto K. Encontre a área do quadrilátero MCLK se BL:CL=7:4 for conhecido.

Construindo um esboço:

É bastante difícil ver imediatamente o progresso da solução do problema, mas sempre podemos fazer a pergunta: o que pode ser encontrado usando os dados na condição e as propriedades conhecidas por nós?

Podemos determinar as áreas de alguns triângulos, considere:

Como AM \u003d MC, as áreas dos triângulos serão iguais, ou seja:

Considere os triângulos ALB e ALC. A condição diz BL:CL=7:4. Vamos introduzir o coeficiente de proporcionalidade "x" e escrever as fórmulas para suas áreas:

A razão de área será:

Também sabemos que S ALB + S ALC = 198. Podemos calcular a área:

Observe que não recebemos nenhum ângulo e dimensão linear (comprimento do elemento) na condição, portanto, você não deve se esforçar para calcular ângulos e comprimentos (lados, medianas, bissetrizes, etc.). Por quê?

Quando as razões dos segmentos (ângulos) são dadas na condição e não há um único valor específico, provavelmente com esses dados é possível construir muitas variantes da figura. *Nem para todos os alunos é possível vê-lo imediatamente, é necessária experiência.

Portanto, nesses casos, esforce-se para usar proporções - a saber: proporções de elementos, áreas, use a semelhança de triângulos, se possível.

Aqui podemos encontrar a razão entre os lados do triângulo. Vamos expressar as áreas dos triângulos:

Baseado no fato de que AM=MC segue que

Agora atenção! Estamos próximos do desfecho. Há outra relação a partir da qual podemos estabelecer a razão das áreas de dois triângulos. Expresse as áreas dos triângulos.

Que seja necessário determinar a área do triângulo ABC. Tracemos linhas retas passando por seus vértices C e B, paralelas aos lados AB e AC.

Obtemos um paralelogramo ABDC. Sua área é igual ao produto da base AB pela altura CO. O paralelogramo ABDC consiste em dois triângulos iguais ABC e BCD, portanto, a área do triângulo ABC é igual à metade da área do paralelogramo, ou seja, S\(\Delta\)ABC = 1/2 AB CO.

Daqui: A área de um triângulo é metade do produto de sua base vezes sua altura.

S \(\Delta\) = \(\frac(a h)(2)\)

Essa fórmula pode ser representada da seguinte forma:

S \(\Delta\) = \(\frac(a)(2)\) h, ou S \(\Delta\) = uma\(\frac(h)(2)\).

Fórmulas para calcular a área de um triângulo

1. Da geometria, a fórmula de Heron é conhecida:

$$ S = \sqrt(p (p - a)(p - b) (p - c)),$$

(onde p = ( a + b + c) / 2 - semi-perímetro), que permite calcular a área de um triângulo em seus lados.

2 . Teorema. A área de um triângulo é igual à metade do produto de dois lados pelo seno do ângulo entre eles:

S=1/2 bc sinA.

Prova. Sabe-se da geometria que a área de um triângulo é igual à metade do produto do lado do triângulo e a altura caiu para este lado do vértice oposto.

S=1/2 bh b (1)

Se o ângulo A é agudo, então do triângulo ABH encontramos BH = hb = c sinA.

Se o ângulo A é obtuso, então

HH = hb = c sen (π - A)= Com sinA.

Se o ângulo A é reto, então sen A = 1 e
hb=AB= Com = Com sinA.

Portanto, em todos os casos hb = c sin A. Substituindo na igualdade (1), obtemos a fórmula a ser provada.

Da mesma forma, obtemos as fórmulas: S = 1 / 2 ab sen C= 1/2 ac pecado B

3. Com base no teorema do seno:

$$ b = \frac(a sinB)(sinA); \;\; c = \frac(a sinC)(sinA) $$

Substituindo essas expressões na fórmula (1), obtemos a seguinte fórmula:

$$ S = \frac(a^2 sinB sinC)(2sinA) $$