Teorema de Vieta - este conceito é familiar a quase todos desde os tempos de escola. Mas é realmente "familiar"? Poucas pessoas se deparam com isso na vida cotidiana. Mas nem todos aqueles que lidam com matemática às vezes entendem completamente o significado profundo e o grande significado desse teorema.

O teorema de Vieta facilita muito o processo de resolução de um grande número de problemas matemáticos, que acabam por resolver:

Tendo entendido o significado de uma ferramenta matemática tão simples e eficaz, involuntariamente pensa-se na pessoa que a descobriu pela primeira vez.

O famoso cientista francês que começou sua carreira como advogado. Mas, obviamente, a matemática era sua vocação. Enquanto estava no serviço real como conselheiro, ele ficou famoso por ser capaz de ler uma mensagem criptografada interceptada do rei da Espanha para a Holanda. Isso deu ao rei francês Henrique III a oportunidade de conhecer todas as intenções de seus oponentes.

Aos poucos, familiarizando-se com o conhecimento matemático, François Viet chegou à conclusão de que deve haver uma conexão estreita entre as últimas pesquisas dos "algebristas" da época e a profunda herança geométrica dos antigos. No curso da pesquisa científica, ele desenvolveu e formulou quase toda a álgebra elementar. Ele foi o primeiro a introduzir o uso de valores literais no aparato matemático, distinguindo claramente entre os conceitos: número, magnitude e suas relações. Viet provou que, realizando operações de forma simbólica, é possível resolver o problema para o caso geral, para quase qualquer valor de quantidades dadas.

Sua pesquisa para resolver equações de graus superiores ao segundo resultou em um teorema que agora é conhecido como o teorema de Vieta generalizado. É de grande importância prática, e sua aplicação permite resolver rapidamente equações de ordem superior.

Uma das propriedades deste teorema é a seguinte: o produto de todas as n-ésimas potências é igual ao seu termo constante. Esta propriedade é frequentemente usada ao resolver equações do terceiro ou quarto grau para reduzir a ordem de um polinômio. Se um polinômio de grau n possui raízes inteiras, elas podem ser facilmente determinadas por seleção simples. E depois de dividir o polinômio pela expressão (x-x1), obtemos o polinômio (n-1)-ésimo grau.

Por fim, gostaria de observar que o teorema de Vieta é um dos teoremas mais famosos do curso de álgebra escolar. E seu nome ocupa um lugar digno entre os nomes dos grandes matemáticos.

Em matemática, existem truques especiais com os quais muitas equações quadráticas são resolvidas muito rapidamente e sem discriminantes. Além disso, com treinamento adequado, muitos começam a resolver equações quadráticas verbalmente, literalmente "de relance".

Infelizmente, no curso moderno da matemática escolar, tais tecnologias quase não são estudadas. E você precisa saber! E hoje vamos considerar uma dessas técnicas - o teorema de Vieta. Primeiro, vamos introduzir uma nova definição.

Uma equação quadrática da forma x 2 + bx + c = 0 é chamada de reduzida. Observe que o coeficiente em x 2 é igual a 1. Não há outras restrições sobre os coeficientes.

1. x 2 + 7x + 12 = 0 é a equação quadrática reduzida;
2. x 2 − 5x + 6 = 0 - também reduzido;
3. 2x 2 − 6x + 8 = 0 - mas isso não é nada reduzido, já que o coeficiente em x 2 é 2.

Claro, qualquer equação quadrática da forma ax 2 + bx + c = 0 pode ser reduzida - basta dividir todos os coeficientes pelo número a. Sempre podemos fazer isso, pois segue da definição de uma equação quadrática que a ≠ 0.

É verdade que essas transformações nem sempre serão úteis para encontrar raízes. Um pouco mais abaixo, garantiremos que isso seja feito apenas quando na equação final ao quadrado todos os coeficientes forem inteiros. Por enquanto, vejamos alguns exemplos simples:

Uma tarefa. Converter equação quadrática para reduzida:

1. 3x2 − 12x + 18 = 0;
2. −4x2 + 32x + 16 = 0;
3. 1,5x2 + 7,5x + 3 = 0;
4. 2x2 + 7x − 11 = 0.

Vamos dividir cada equação pelo coeficiente da variável x 2 . Nós temos:

1. 3x 2 - 12x + 18 = 0 ⇒ x 2 - 4x + 6 = 0 - dividido tudo por 3;
2. −4x 2 + 32x + 16 = 0 ⇒ x 2 − 8x − 4 = 0 - dividido por −4;
3. 1,5x 2 + 7,5x + 3 \u003d 0 ⇒ x 2 + 5x + 2 \u003d 0 - dividido por 1,5, todos os coeficientes se tornaram inteiros;
4. 2x 2 + 7x - 11 \u003d 0 ⇒ x 2 + 3,5x - 5,5 \u003d 0 - dividido por 2. Nesse caso, surgiram coeficientes fracionários.

Como você pode ver, as equações quadráticas dadas podem ter coeficientes inteiros, mesmo que a equação original contenha frações.

Agora formulamos o teorema principal, para o qual, de fato, foi introduzido o conceito de uma equação quadrática reduzida:

Teorema de Vieta. Considere a equação quadrática reduzida da forma x 2 + bx + c \u003d 0. Suponha que essa equação tenha raízes reais x 1 e x 2. Neste caso, as seguintes afirmações são verdadeiras:

1. x1 + x2 = −b. Em outras palavras, a soma das raízes da equação quadrática dada é igual ao coeficiente da variável x, tomada com o sinal oposto;
2. x 1 x 2 = c. O produto das raízes de uma equação quadrática é igual ao coeficiente livre.

Exemplos. Para simplificar, consideraremos apenas as equações quadráticas dadas que não requerem transformações adicionais:

1. x 2 − 9x + 20 = 0 ⇒ x 1 + x 2 = − (−9) = 9; x 1 x 2 = 20; raízes: x 1 = 4; x 2 \u003d 5;
2. x 2 + 2x − 15 = 0 ⇒ x 1 + x 2 = −2; x 1 x 2 \u003d -15; raízes: x 1 = 3; x 2 \u003d -5;
3. x 2 + 5x + 4 = 0 ⇒ x 1 + x 2 = −5; x 1 x 2 = 4; raízes: x 1 \u003d -1; x 2 \u003d -4.

O teorema de Vieta nos dá informações adicionais sobre as raízes de uma equação quadrática. À primeira vista, isso pode parecer complicado, mas mesmo com treinamento mínimo, você aprenderá a "ver" as raízes e literalmente adivinhá-las em questão de segundos.

Uma tarefa. Resolva a equação quadrática:

1. x2 − 9x + 14 = 0;
2. x2 - 12x + 27 = 0;
3. 3x2 + 33x + 30 = 0;
4. −7x2 + 77x − 210 = 0.

Vamos tentar escrever os coeficientes de acordo com o teorema de Vieta e "adivinhar" as raízes:

1. x 2 − 9x + 14 = 0 é a equação quadrática reduzida.
   Pelo teorema de Vieta, temos: x 1 + x 2 = −(−9) = 9; x 1 x 2 = 14. É fácil ver que as raízes são os números 2 e 7;
2. x 2 − 12x + 27 = 0 - também reduzido.
   Pelo teorema de Vieta: x 1 + x 2 = −(−12) = 12; x 1 x 2 = 27. Daí as raízes: 3 e 9;
3. 3x 2 + 33x + 30 = 0 - esta equação não é reduzida. Mas vamos corrigir isso agora dividindo os dois lados da equação pelo coeficiente a \u003d 3. Obtemos: x 2 + 11x + 10 \u003d 0.
   Resolvemos de acordo com o teorema de Vieta: x 1 + x 2 = −11; x 1 x 2 = 10 ⇒ raízes: −10 e −1;
4. −7x 2 + 77x − 210 = 0 - novamente o coeficiente em x 2 não é igual a 1, ou seja equação não dada. Dividimos tudo pelo número a = −7. Obtemos: x 2 - 11x + 30 = 0.
   Pelo teorema de Vieta: x 1 + x 2 = −(−11) = 11; x 1 x 2 = 30; a partir dessas equações é fácil adivinhar as raízes: 5 e 6.

A partir do raciocínio acima, pode-se ver como o teorema de Vieta simplifica a solução de equações quadráticas. Sem cálculos complicados, sem raízes aritméticas e frações. E mesmo o discriminante (veja a lição "Resolvendo equações quadráticas") Não precisávamos.

É claro que em todas as nossas reflexões partimos de dois pressupostos importantes, que, em geral, nem sempre se cumprem em problemas reais:

1. A equação quadrática é reduzida, i.e. o coeficiente em x 2 é 1;
2. A equação tem duas raízes diferentes. Do ponto de vista da álgebra, neste caso o discriminante D > 0 - de fato, inicialmente assumimos que essa desigualdade é verdadeira.

No entanto, em problemas matemáticos típicos, essas condições são atendidas. Se, como resultado dos cálculos, for obtida uma equação quadrática “ruim” (o coeficiente em x 2 é diferente de 1), isso é fácil de corrigir - dê uma olhada nos exemplos no início da lição. Geralmente silencio sobre as raízes: que tipo de tarefa é essa em que não há resposta? Claro que haverá raízes.

Assim, o esquema geral para resolver equações quadráticas de acordo com o teorema de Vieta é o seguinte:

1. Reduza a equação quadrática à dada, se isso ainda não tiver sido feito na condição do problema;
2. Se os coeficientes na equação quadrática acima forem fracionários, resolvemos através do discriminante. Você pode até voltar à equação original para trabalhar com números mais "convenientes";
3. No caso de coeficientes inteiros, resolvemos a equação usando o teorema de Vieta;
4. Se em poucos segundos não for possível adivinhar as raízes, pontuamos no teorema de Vieta e resolvemos através do discriminante.

Uma tarefa. Resolva a equação: 5x 2 − 35x + 50 = 0.

Então, temos uma equação que não é reduzida, porque coeficiente a \u003d 5. Divida tudo por 5, obtemos: x 2 - 7x + 10 \u003d 0.

Todos os coeficientes da equação quadrática são inteiros - vamos tentar resolver usando o teorema de Vieta. Temos: x 1 + x 2 = −(−7) = 7; x 1 x 2 \u003d 10. Nesse caso, as raízes são fáceis de adivinhar - são 2 e 5. Você não precisa contar pelo discriminante.

Uma tarefa. Resolva a equação: -5x 2 + 8x - 2,4 = 0.

Olhamos: -5x 2 + 8x - 2,4 = 0 - esta equação não é reduzida, dividimos ambos os lados pelo coeficiente a = -5. Obtemos: x 2 - 1,6x + 0,48 = 0 - uma equação com coeficientes fracionários.

É melhor retornar à equação original e contar através do discriminante: −5x 2 + 8x − 2,4 = 0 ⇒ D = 8 2 − 4 (−5) (−2,4) = 16 ⇒ ... ⇒ x 1 = 1,2 ; x 2 \u003d 0,4.

Uma tarefa. Resolva a equação: 2x 2 + 10x − 600 = 0.

Para começar, dividimos tudo pelo coeficiente a \u003d 2. Obtemos a equação x 2 + 5x - 300 \u003d 0.

Esta é a equação reduzida, de acordo com o teorema de Vieta temos: x 1 + x 2 = −5; x 1 x 2 \u003d -300. É difícil adivinhar as raízes da equação quadrática neste caso - pessoalmente, eu "congelei" seriamente quando resolvi esse problema.

Teremos que procurar raízes através do discriminante: D = 5 2 − 4 1 (−300) = 1225 = 35 2 . Se você não se lembrar da raiz do discriminante, vou apenas observar que 1225: 25 = 49. Portanto, 1225 = 25 49 = 5 2 7 2 = 35 2 .

Agora que a raiz do discriminante é conhecida, resolver a equação não é difícil. Obtemos: x 1 \u003d 15; x 2 \u003d -20.

Antes de prosseguir com o teorema de Vieta, introduzimos uma definição. Equação quadrática da forma x² + px + q= 0 é chamado de reduzido. Nesta equação, o coeficiente principal é igual a um. Por exemplo, a equação x² - 3 x- 4 = 0 é reduzido. Qualquer equação quadrática da forma machado² + b x + c= 0 pode ser reduzido, para isso dividimos ambos os lados da equação por uma≠ 0. Por exemplo, Equação 4 x² + 4 x- 3 \u003d 0 dividido por 4 é reduzido para a forma: x² + x- 3/4 = 0. Derivamos a fórmula para as raízes da equação quadrática reduzida, para isso usamos a fórmula para as raízes de uma equação quadrática geral: machado² + bx + c = 0

Equação Reduzida x² + px + q= 0 coincide com uma equação geral na qual uma = 1, b = p, c = q. Portanto, para a equação quadrática dada, a fórmula assume a forma:

a última expressão é chamada de fórmula das raízes da equação quadrática reduzida, é especialmente conveniente usar esta fórmula quando R- numero par. Por exemplo, vamos resolver a equação x² - 14 x — 15 = 0

Em resposta, escrevemos que a equação tem duas raízes.

Para uma equação quadrática reduzida com positivo, vale o seguinte teorema.

Teorema de Vieta

Se um x 1 e x 2 - raízes da equação x² + px + q= 0, então as fórmulas são válidas:

x 1 + x 2 = — R

x 1 * x 2 \u003d q, isto é, a soma das raízes da equação quadrática dada é igual ao segundo coeficiente, tomado com o sinal oposto, e o produto das raízes é igual ao termo livre.

Com base na fórmula das raízes da equação quadrática acima, temos:

Somando essas igualdades, temos: x 1 + x 2 = —R.

Multiplicando essas igualdades, usando a fórmula da diferença de quadrados, obtemos:

Observe que o teorema de Vieta também é válido quando o discriminante é zero, se assumirmos que neste caso a equação quadrática tem duas raízes idênticas: x 1 = x 2 = — R/2.

Não resolver equações x² - 13 x+ 30 = 0 encontre a soma e o produto de suas raízes x 1 e x 2. esta equação D\u003d 169 - 120 \u003d 49\u003e 0, então você pode aplicar o teorema de Vieta: x 1 + x 2 = 13, x 1 * x 2 = 30. Considere mais alguns exemplos. Uma das raízes da equação x² — px- 12 = 0 é x 1 = 4. Encontrar coeficiente R e segunda raiz x 2 desta equação. De acordo com o teorema de Vieta x 1 * x 2 =— 12, x 1 + x 2 = — R. Porque x 1 = 4 então 4 x 2 = - 12, de onde x 2 = — 3, R = — (x 1 + x 2) \u003d - (4 - 3) \u003d - 1. Em resposta, anotamos a segunda raiz x 2 = - 3, coeficiente p = - 1.

Não resolver equações x² + 2 x- 4 = 0 encontre a soma dos quadrados de suas raízes. Deixar x 1 e x 2 são as raízes da equação. De acordo com o teorema de Vieta x 1 + x 2 = — 2, x 1 * x 2 = - 4. Porque x 1²+ x 2² = ( x 1 + x 2)² - 2 x 1 x 2, então x 1²+ x 2 ² \u003d (- 2) ² -2 (- 4) \u003d 12.

Encontre a soma e o produto das raízes da equação 3 x² + 4 x- 5 \u003d 0. Esta equação tem duas raízes diferentes, pois o discriminante D= 16 + 4*3*5 > 0. Para resolver a equação, usamos o teorema de Vieta. Este teorema foi provado para a equação quadrática reduzida. Então vamos dividir essa equação por 3.

Portanto, a soma das raízes é -4/3 e seu produto é -5/3.

Em geral, as raízes da equação machado² + b x + c= 0 estão relacionados pelas seguintes igualdades: x 1 + x 2 = — b/a, x 1 * x 2 = c/a, Para obter essas fórmulas, basta dividir ambos os lados desta equação quadrática por uma ≠ 0 e aplicar o teorema de Vieta à equação quadrática reduzida resultante. Considere um exemplo, você precisa compor uma dada equação quadrática, cujas raízes x 1 = 3, x 2 = 4. Porque x 1 = 3, x 2 = 4 são as raízes da equação quadrática x² + px + q= 0, então pelo teorema de Vieta R = — (x 1 + x 2) = — 7, q = x 1 x 2 = 12. Em resposta, escrevemos x² - 7 x+ 12 = 0. O seguinte teorema é usado para resolver alguns problemas.

Teorema inverso ao teorema de Vieta

Se os números R, q, x 1 , x 2 são tais que x 1 + x 2 = — p, x 1 * x 2 \u003d q, então x 1 e x2 são as raízes da equação x² + px + q= 0. Substitua no lado esquerdo x² + px + q ao invés de R expressão - ( x 1 + x 2), mas em vez disso q- trabalhar x 1 * x 2 . Nós temos: x² + px + q = x² — ( x 1 + x 2) x + x 1 x 2 \u003d x² - x 1 x - x 2 x + x 1 x 2 \u003d (x - x 1) (x - x 2). Assim, se os números R, q, x 1 e x 2 estão relacionados por essas relações, então para todos X igualdade x² + px + q = (x - x 1) (x - x 2), de onde decorre que x 1 e x 2 - raízes da equação x² + px + q= 0. Usando o teorema inverso ao teorema de Vieta, às vezes é possível encontrar as raízes de uma equação quadrática por seleção. Considere um exemplo, x² - 5 x+ 6 = 0. Aqui R = — 5, q= 6. Escolha dois números x 1 e x 2 para que x 1 + x 2 = 5, x 1 * x 2 = 6. Observando que 6 = 2 * 3, e 2 + 3 = 5, pelo teorema inverso ao teorema de Vieta, obtemos que x 1 = 2, x 2 = 3 - raízes da equação x² - 5 x + 6 = 0.

O teorema de Vieta é frequentemente usado para testar raízes já encontradas. Se você encontrou as raízes, pode usar as fórmulas \(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\end(cases)\) para calcular os valores \(p\ ) e \(q\ ). E se forem as mesmas da equação original, as raízes serão encontradas corretamente.

Por exemplo, vamos usar , resolver a equação \(x^2+x-56=0\) e obter as raízes: \(x_1=7\), \(x_2=-8\). Vamos verificar se cometemos um erro no processo de resolução. No nosso caso, \(p=1\) e \(q=-56\). Pelo teorema de Vieta temos:

\(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\end(cases)\) \(\Leftrightarrow\) \(\begin(cases)7+(-8)=-1 \\7\cdot(-8)=-56\end(cases)\) \(\Leftrightarrow\) \(\begin(cases)-1=-1\\-56=-56\end(cases)\ )

Ambas as declarações convergiram, o que significa que resolvemos a equação corretamente.

Este teste pode ser feito oralmente. Levará 5 segundos e o salvará de erros estúpidos.

Teorema de Vieta inverso

Se \(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\end(cases)\), então \(x_1\) e \(x_2\) são as raízes da equação quadrática \ (x^ 2+px+q=0\).

Ou de uma maneira simples: se você tiver uma equação da forma \(x^2+px+q=0\), então resolvendo o sistema \(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \ cdot x_2=q\ end(cases)\) você encontrará suas raízes.

Graças a este teorema, você pode encontrar rapidamente as raízes de uma equação quadrática, especialmente se essas raízes forem . Essa habilidade é importante, pois economiza muito tempo.

Exemplo . Resolva a equação \(x^2-5x+6=0\).

Solução : Usando o teorema de Vieta inverso, obtemos que as raízes satisfazem as condições: \(\begin(cases)x_1+x_2=5 \\x_1 \cdot x_2=6\end(cases)\).
Veja a segunda equação do sistema \(x_1 \cdot x_2=6\). Em quais dois o número \(6\) pode ser decomposto? Em \(2\) e \(3\), \(6\) e \(1\) ou \(-2\) e \(-3\), e \(-6\) e \(- 1\). E qual par escolher, a primeira equação do sistema dirá: \(x_1+x_2=5\). \(2\) e \(3\) são semelhantes, porque \(2+3=5\).
Responda : \(x_1=2\), \(x_2=3\).

Exemplos . Usando o inverso do teorema de Vieta, encontre as raízes da equação quadrática:
a) \(x^2-15x+14=0\); b) \(x^2+3x-4=0\); c) \(x^2+9x+20=0\); d) \(x^2-88x+780=0\).

Solução :
a) \(x^2-15x+14=0\) - em quais fatores \(14\) se decompõe? \(2\) e \(7\), \(-2\) e \(-7\), \(-1\) e \(-14\), \(1\) e \(14\ ). Que pares de números somam \(15\)? Resposta: \(1\) e \(14\).

b) \(x^2+3x-4=0\) - em quais fatores \(-4\) se decompõe? \(-2\) e \(2\), \(4\) e \(-1\), \(1\) e \(-4\). Que pares de números somam \(-3\)? Resposta: \(1\) e \(-4\).

c) \(x^2+9x+20=0\) – em quais fatores \(20\) se decompõe? \(4\) e \(5\), \(-4\) e \(-5\), \(2\) e \(10\), \(-2\) e \(-10\ ), \(-20\) e \(-1\), \(20\) e \(1\). Que pares de números somam \(-9\)? Resposta: \(-4\) e \(-5\).

d) \(x^2-88x+780=0\) - em quais fatores \(780\) se decompõe? \(390\) e \(2\). Eles somam \(88\)? Não. Que outros multiplicadores \(780\) tem? \(78\) e \(10\). Eles somam \(88\)? Sim. Resposta: \(78\) e \(10\).

Não é necessário decompor o último termo em todos os fatores possíveis (como no último exemplo). Você pode verificar imediatamente se sua soma dá \(-p\).

Importante! O teorema de Vieta e o teorema inverso só funcionam com , ou seja, aquele cujo coeficiente na frente de \(x^2\) é igual a um. Se inicialmente tivermos uma equação não reduzida, podemos reduzi-la simplesmente dividindo pelo coeficiente na frente de \ (x ^ 2 \).

Por exemplo, seja dada a equação \(2x^2-4x-6=0\) e queremos usar um dos teoremas de Vieta. Mas não podemos, porque o coeficiente antes de \(x^2\) é igual a \(2\). Vamos nos livrar disso dividindo toda a equação por \(2\).

\(2x^2-4x-6=0\) \(|:2\)
\(x^2-2x-3=0\)

Preparar. Agora podemos usar os dois teoremas.

Respostas para perguntas frequentes

Pergunta: Pelo teorema de Vieta, você pode resolver qualquer ?
Responda: Infelizmente não. Se não houver inteiros na equação ou a equação não tiver raízes, o teorema de Vieta não ajudará. Neste caso, você precisa usar discriminante . Felizmente, 80% das equações no curso de matemática escolar têm soluções inteiras.