Equação de uma linha reta em um plano.
O vetor de direção é reto. Vetor normal

Uma linha reta em um plano é uma das formas geométricas mais simples, familiar para você desde as séries iniciais, e hoje aprenderemos como lidar com ela usando os métodos da geometria analítica. Para dominar o material, é necessário saber construir uma linha reta; saber qual equação define uma reta, em particular, uma reta passando pela origem e retas paralelas aos eixos coordenados. Essas informações podem ser encontradas no manual. Gráficos e propriedades de funções elementares, eu criei para o matan, mas a seção sobre a função linear acabou sendo muito bem sucedida e detalhada. Portanto, queridos bules, primeiro aqueçam lá. Além disso, é necessário ter conhecimentos básicos de vetores caso contrário, a compreensão do material será incompleta.

Nesta lição, veremos maneiras pelas quais você pode escrever a equação de uma linha reta em um plano. Recomendo não negligenciar exemplos práticos (mesmo que pareçam muito simples), pois os fornecerei com fatos elementares e importantes, métodos técnicos que serão necessários no futuro, inclusive em outras seções da matemática superior.

• Como escrever a equação de uma linha reta com uma inclinação?
• Como ?
• Como encontrar o vetor de direção pela equação geral de uma linha reta?
• Como escrever uma equação de uma linha reta dado um ponto e um vetor normal?

e começamos:

Equação de linha com inclinação

A conhecida forma "escola" da equação de uma linha reta é chamada equação de uma reta com inclinação. Por exemplo, se uma linha reta é dada pela equação, então sua inclinação: . Considere o significado geométrico desse coeficiente e como seu valor afeta a localização da linha:

No curso da geometria é provado que a inclinação da reta é tangente de um ângulo entre a direção do eixo positivoe linha dada: , e o canto é “desaparafusado” no sentido anti-horário.

Para não confundir o desenho, desenhei ângulos para apenas duas linhas retas. Considere a linha reta "vermelha" e sua inclinação. De acordo com o acima: (ângulo "alfa" é indicado por um arco verde). Para a linha reta "azul" com a inclinação, a igualdade é verdadeira (o ângulo "beta" é indicado pelo arco marrom). E se a tangente do ângulo é conhecida, então, se necessário, é fácil encontrar e o canto usando a função inversa - arco tangente. Como se costuma dizer, uma tabela trigonométrica ou uma calculadora na mão. Nesse caminho, a inclinação caracteriza o grau de inclinação da linha reta para o eixo x.

Neste caso, os seguintes casos são possíveis:

1) Se a inclinação for negativa: , então a linha, grosso modo, vai de cima para baixo. Exemplos são linhas retas "azul" e "carmesim" no desenho.

2) Se a inclinação for positiva: , então a linha vai de baixo para cima. Exemplos são linhas retas "pretas" e "vermelhas" no desenho.

3) Se a inclinação for igual a zero: , então a equação assume a forma , e a linha correspondente é paralela ao eixo. Um exemplo é a linha "amarela".

4) Para uma família de retas paralelas ao eixo (não há exemplo no desenho, exceto o próprio eixo), a inclinação não existe (tangente de 90 graus não definida).

Quanto maior o módulo de inclinação, mais íngreme fica o gráfico de linha.

Por exemplo, considere duas linhas retas. Aqui , então a linha reta tem uma inclinação mais acentuada. Relembro que o módulo permite ignorar o sinal, só nos interessa valores absolutos coeficientes angulares.

Por sua vez, uma linha reta é mais íngreme do que linhas retas. .

Vice-versa: quanto menor o módulo de inclinação, a linha reta é mais plana.

Para linhas retas a desigualdade é verdadeira, portanto, a linha reta é mais do que um dossel. Slide infantil, para não plantar hematomas e inchaços.

Por que isso é necessário?

Prolongue seu tormento Conhecer os fatos acima permite que você veja imediatamente seus erros, em particular, erros ao traçar gráficos - se o desenho acabou "claramente algo está errado". É desejável que você imediatamente ficou claro que, por exemplo, uma linha reta é muito íngreme e vai de baixo para cima, e uma linha reta é muito plana, próxima ao eixo e vai de cima para baixo.

Em problemas geométricos, muitas vezes aparecem várias linhas retas, por isso é conveniente denotá-las de alguma forma.

Notação: as linhas retas são indicadas por pequenas letras latinas: . Uma opção popular é a designação da mesma letra com subscritos naturais. Por exemplo, as cinco linhas que acabamos de considerar podem ser denotadas por .

Uma vez que qualquer linha reta é determinada exclusivamente por dois pontos, ela pode ser denotada por estes pontos: etc. A notação obviamente implica que os pontos pertencem à linha.

Hora de relaxar um pouco:

Como escrever a equação de uma linha reta com uma inclinação?

Se for conhecido um ponto que pertence a uma determinada linha e a inclinação dessa linha, a equação dessa linha é expressa pela fórmula:

Exemplo 1

Componha a equação de uma reta com inclinação se for conhecido que o ponto pertence a essa reta.

Solução: Vamos compor a equação de uma reta de acordo com a fórmula . Nesse caso:

Responda:

Exame executado de forma elementar. Primeiro, olhamos para a equação resultante e nos certificamos de que nossa inclinação está em seu lugar. Em segundo lugar, as coordenadas do ponto devem satisfazer a equação dada. Vamos colocá-los na equação:

A igualdade correta é obtida, o que significa que o ponto satisfaz a equação resultante.

Conclusão: Equação encontrada corretamente.

Um exemplo mais complicado para uma solução faça você mesmo:

Exemplo 2

Escreva a equação de uma linha reta se for conhecido que seu ângulo de inclinação para a direção positiva do eixo é , e o ponto pertence a essa linha reta.

Se tiver alguma dificuldade, releia o material teórico. Mais precisamente, mais prático, sinto falta de muitas provas.

O último sinal tocou, o baile de formatura acabou e atrás dos portões de nossa escola natal, de fato, a geometria analítica está esperando por nós. As brincadeiras acabaram... Talvez esteja apenas começando =)

Nostalgicamente, acenamos com a maçaneta para o familiar e nos familiarizamos com a equação geral de uma linha reta. Como na geometria analítica é precisamente isso que está em uso:

A equação geral de uma reta tem a forma: , onde estão alguns números. Ao mesmo tempo, os coeficientes simultaneamente não são iguais a zero, pois a equação perde seu significado.

Vamos vestir um terno e amarrar uma equação com uma inclinação. Primeiro, movemos todos os termos para o lado esquerdo:

O termo com "x" deve ser colocado em primeiro lugar:

Em princípio, a equação já tem a forma , mas de acordo com as regras de etiqueta matemática, o coeficiente do primeiro termo (neste caso ) deve ser positivo. Mudança de sinais:

Lembre-se deste recurso técnico! Tornamos o primeiro coeficiente (na maioria das vezes) positivo!

Na geometria analítica, a equação de uma linha reta quase sempre será dada de uma forma geral. Bem, se necessário, é fácil trazê-lo para uma forma “escola” com uma inclinação (com exceção de linhas retas paralelas ao eixo y).

Vamos nos perguntar o que o suficiente sabe construir uma linha reta? Dois pontos. Mas sobre este caso de infância mais tarde, agora fica com a regra das setas. Cada linha reta tem uma inclinação bem definida, à qual é fácil "adaptar" vetor.

Um vetor que é paralelo a uma linha é chamado de vetor de direção dessa linha.. Obviamente, qualquer linha reta tem infinitos vetores de direção, e todos eles serão colineares (codirigidos ou não - não importa).

Vou denotar o vetor de direção da seguinte forma: .

Mas um vetor não é suficiente para construir uma linha reta, o vetor é livre e não está ligado a nenhum ponto do plano. Portanto, além disso, é necessário conhecer algum ponto que pertença à linha.

Como escrever uma equação de uma linha reta dado um ponto e um vetor de direção?

Se um certo ponto pertencente à linha e o vetor diretor desta linha são conhecidos, então a equação desta linha pode ser compilada pela fórmula:

Às vezes é chamado equação canônica da reta .

O que fazer quando uma das coordenadas for zero, veremos exemplos práticos abaixo. A propósito, note - ambos de uma vez coordenadas não podem ser zero, pois o vetor zero não especifica uma direção específica.

Exemplo 3

Escreva uma equação de uma linha reta dado um ponto e um vetor de direção

Solução: Vamos compor a equação de uma reta de acordo com a fórmula. Nesse caso:

Usando as propriedades da proporção, nos livramos das frações:

E trazemos a equação para uma forma geral:

Responda:

Desenhar em tais exemplos, como regra, não é necessário, mas por uma questão de compreensão:

No desenho, vemos o ponto de partida, o vetor de direção original (pode ser adiado de qualquer ponto do plano) e a linha construída. A propósito, em muitos casos, a construção de uma linha reta é mais convenientemente realizada usando a equação da inclinação. Nossa equação é fácil de converter para a forma e sem problemas pegar mais um ponto para construir uma linha reta.

Conforme observado no início da seção, uma linha tem infinitos vetores de direção e todos eles são colineares. Por exemplo, desenhei três desses vetores: . Qualquer que seja o vetor de direção que escolhermos, o resultado será sempre a mesma equação de linha reta.

Vamos compor a equação de uma reta por um ponto e um vetor diretor:

Dividindo a proporção:

Divida ambos os lados por -2 e obtenha a equação familiar:

Aqueles que desejarem podem testar vetores da mesma forma ou qualquer outro vetor colinear.

Agora vamos resolver o problema inverso:

Como encontrar o vetor de direção pela equação geral de uma linha reta?

Muito simples:

Se uma linha reta é dada por uma equação geral em um sistema de coordenadas retangulares, então o vetor é o vetor de direção dessa linha reta.

Exemplos de encontrar vetores de direção de linhas retas:

A declaração nos permite encontrar apenas um vetor de direção de um conjunto infinito, mas não precisamos de mais. Embora em alguns casos seja aconselhável reduzir as coordenadas dos vetores de direção:

Assim, a equação especifica uma linha reta que é paralela ao eixo e as coordenadas do vetor de direção resultante são convenientemente divididas por -2, obtendo exatamente o vetor base como o vetor de direção. Logicamente.

Da mesma forma, a equação define uma linha reta paralela ao eixo, e dividindo as coordenadas do vetor por 5, obtemos o ort como o vetor de direção.

Agora vamos executar verifique o exemplo 3. O exemplo subiu, então lembro que nele fizemos a equação de uma reta usando um ponto e um vetor de direção

Primeiramente, de acordo com a equação de uma linha reta, restauramos seu vetor diretor: - está tudo bem, temos o vetor original (em alguns casos, pode ser colinear ao vetor original, e isso geralmente é fácil de ver pela proporcionalidade das coordenadas correspondentes).

Em segundo lugar, as coordenadas do ponto devem satisfazer a equação . Substituímos na equação:

A igualdade correta foi obtida, com a qual estamos muito satisfeitos.

Conclusão: Trabalho concluído corretamente.

Exemplo 4

Escreva uma equação de uma linha reta dado um ponto e um vetor de direção

Este é um exemplo de faça você mesmo. Solução e resposta no final da lição. É altamente desejável fazer uma verificação de acordo com o algoritmo que acabamos de considerar. Tente sempre (se possível) verificar um rascunho. É tolice cometer erros onde eles podem ser 100% evitados.

Caso uma das coordenadas do vetor de direção seja zero, é muito simples de fazer:

Exemplo 5

Solução: A fórmula é inválida porque o denominador do lado direito é zero. Existe uma saída! Usando as propriedades da proporção, reescrevemos a fórmula na forma , e o resto rolou ao longo de um sulco profundo:

Responda:

Exame:

1) Restaure o vetor de direção da linha reta:
– o vetor resultante é colinear ao vetor de direção original.

2) Substitua as coordenadas do ponto na equação:

A igualdade correta é obtida

Conclusão: trabalho concluído corretamente

Surge a pergunta: por que se preocupar com a fórmula se existe uma versão universal que funcionará de qualquer maneira? Existem duas razões. Primeiro, a fórmula fracionária muito melhor lembrar. E em segundo lugar, a desvantagem da fórmula universal é que risco marcadamente aumentado de confusão ao substituir as coordenadas.

Exemplo 6

Componha a equação de uma linha reta dado um ponto e um vetor de direção.

Este é um exemplo de faça você mesmo.

Vamos voltar aos dois pontos onipresentes:

Como escrever a equação de uma reta dados dois pontos?

Se dois pontos são conhecidos, então a equação de uma linha reta que passa por esses pontos pode ser compilada usando a fórmula:

Na verdade, este é um tipo de fórmula, e aqui está o porquê: se dois pontos são conhecidos, então o vetor será o vetor de direção desta linha. Na lição Vetores para bonecos consideramos o problema mais simples - como encontrar as coordenadas de um vetor de dois pontos. De acordo com este problema, as coordenadas do vetor de direção:

Observação : pontos podem ser "trocados" e usar a fórmula . Tal decisão seria igual.

Exemplo 7

Escreva a equação de uma reta a partir de dois pontos .

Solução: Use a fórmula:

Penteamos os denominadores:

E embaralhe o baralho:

Agora é conveniente se livrar de números fracionários. Nesse caso, você precisa multiplicar ambas as partes por 6:

Abra os colchetes e lembre-se da equação:

Responda:

Exameé óbvio - as coordenadas dos pontos iniciais devem satisfazer a equação resultante:

1) Substitua as coordenadas do ponto:

Verdadeira igualdade.

2) Substitua as coordenadas do ponto:

Verdadeira igualdade.

Conclusão: a equação da reta está correta.

Se um pelo menos um de pontos não satisfaz a equação, procure um erro.

Vale ressaltar que a verificação gráfica neste caso é difícil, pois para construir uma linha e ver se os pontos pertencem a ela , não tão fácil.

Vou observar alguns pontos técnicos da solução. Talvez neste problema seja mais vantajoso usar a fórmula do espelho e, para os mesmos pontos faça uma equação:

Há menos frações. Se quiser, você pode completar a solução até o final, o resultado deve ser a mesma equação.

O segundo ponto é olhar para a resposta final e ver se ela pode ser simplificada ainda mais? Por exemplo, se uma equação for obtida, é aconselhável reduzi-la por dois: - a equação definirá a mesma linha reta. No entanto, este já é um tema de conversa sobre arranjo mútuo de linhas retas.

Tendo recebido uma resposta no Exemplo 7, por precaução, verifiquei se TODOS os coeficientes da equação são divisíveis por 2, 3 ou 7. Embora, na maioria das vezes, essas reduções sejam feitas durante a solução.

Exemplo 8

Escreva a equação de uma reta que passa pelos pontos .

Este é um exemplo para uma solução independente, que apenas permitirá que você entenda e trabalhe melhor a técnica de cálculo.

Semelhante ao parágrafo anterior: se na fórmula um dos denominadores (coordenada do vetor de direção) desaparece, então nós o reescrevemos como . E, novamente, observe como ela começou a parecer estranha e confusa. Não vejo muito sentido em dar exemplos práticos, pois já resolvemos realmente esse problema (ver nºs 5, 6).

Vetor normal de linha reta (vetor normal)

O que é normal? Em termos simples, uma normal é uma perpendicular. Ou seja, o vetor normal de uma linha é perpendicular à linha dada. É óbvio que qualquer linha reta tem um número infinito deles (além de vetores direcionadores), e todos os vetores normais da linha reta serão colineares (codirecionais ou não - não importa).

Lidar com eles será ainda mais fácil do que com vetores de direção:

Se uma linha reta é dada por uma equação geral em um sistema de coordenadas retangular, então o vetor é o vetor normal dessa linha reta.

Se as coordenadas do vetor de direção tiverem que ser cuidadosamente “retiradas” da equação, então as coordenadas do vetor normal podem simplesmente ser “removidas”.

O vetor normal é sempre ortogonal ao vetor de direção da linha. Vamos verificar a ortogonalidade desses vetores usando produto escalar:

Vou dar exemplos com as mesmas equações que para o vetor de direção:

É possível escrever uma equação de uma reta, conhecendo um ponto e um vetor normal? Parece que é possível. Se o vetor normal for conhecido, a direção da linha mais reta também será determinada exclusivamente - esta é uma “estrutura rígida” com um ângulo de 90 graus.

Como escrever uma equação de uma linha reta dado um ponto e um vetor normal?

Se algum ponto pertencente à linha e o vetor normal desta linha são conhecidos, então a equação desta linha é expressa pela fórmula:

Aqui tudo correu sem frações e outras surpresas. Esse é o nosso vetor normal. Adoro. E respeito =)

Exemplo 9

Componha a equação de uma reta dado um ponto e um vetor normal. Encontre o vetor de direção da linha reta.

Solução: Use a fórmula:

A equação geral da reta é obtida, vamos verificar:

1) "Remova" as coordenadas do vetor normal da equação: - sim, de fato, o vetor original é obtido da condição (ou o vetor deve ser colinear ao vetor original).

2) Verifique se o ponto satisfaz a equação:

Verdadeira igualdade.

Depois de estarmos convencidos de que a equação está correta, completaremos a segunda parte mais fácil da tarefa. Retiramos o vetor de direção da linha reta:

Responda:

No desenho, a situação é a seguinte:

Para fins de treinamento, uma tarefa semelhante para uma solução independente:

Exemplo 10

Componha a equação de uma reta dado um ponto e um vetor normal. Encontre o vetor de direção da linha reta.

A seção final da lição será dedicada a tipos menos comuns, mas também importantes, de equações de uma linha reta em um plano

Equação de uma linha reta em segmentos.
Equação de uma linha reta na forma paramétrica

A equação de uma reta em segmentos tem a forma , onde são constantes diferentes de zero. Alguns tipos de equações não podem ser representados desta forma, por exemplo, a proporcionalidade direta (já que o termo livre é zero e não há como obter um do lado direito).

Este é, figurativamente falando, um tipo "técnico" de equação. A tarefa usual é representar a equação geral de uma linha reta como uma equação de uma linha reta em segmentos. Por que é conveniente? A equação de uma linha reta em segmentos permite encontrar rapidamente os pontos de interseção de uma linha reta com os eixos coordenados, o que é muito importante em alguns problemas de matemática superior.

Encontre o ponto de interseção da linha com o eixo. Reiniciamos o “y”, e a equação assume a forma . O ponto desejado é obtido automaticamente: .

O mesmo com o eixo é o ponto onde a linha intercepta o eixo y.

Definição. Qualquer linha no plano pode ser dada por uma equação de primeira ordem

Ah + Wu + C = 0,

e as constantes A, B não são iguais a zero ao mesmo tempo. Essa equação de primeira ordem é chamada a equação geral de uma reta. Dependendo dos valores das constantes A, B e C, os seguintes casos especiais são possíveis:

C \u003d 0, A ≠ 0, B ≠ 0 - a linha passa pela origem

A \u003d 0, B ≠ 0, C ≠ 0 (By + C \u003d 0) - a linha é paralela ao eixo Ox

B \u003d 0, A ≠ 0, C ≠ 0 ( Ax + C \u003d 0) - a linha é paralela ao eixo Oy

B \u003d C \u003d 0, A ≠ 0 - a linha reta coincide com o eixo Oy

A \u003d C \u003d 0, B ≠ 0 - a linha reta coincide com o eixo Ox

A equação de uma linha reta pode ser apresentada de várias formas, dependendo de quaisquer condições iniciais.

Equação de uma linha reta por um ponto e um vetor normal

Definição. Em um sistema de coordenadas retangulares cartesianas, um vetor com componentes (A, B) é perpendicular à linha dada pela equação Ax + By + C = 0.

Exemplo. Encontre a equação de uma linha reta que passa pelo ponto A(1, 2) perpendicular a (3, -1).

Solução. Em A = 3 e B = -1, compomos a equação de uma linha reta: 3x - y + C = 0. Para encontrar o coeficiente C, substituímos as coordenadas do ponto A dado na expressão resultante. 3 - 2 + C = 0, portanto, C = -1 . Total: a equação desejada: 3x - y - 1 \u003d 0.

Equação de uma reta que passa por dois pontos

Sejam dois pontos M 1 (x 1, y 1, z 1) e M 2 (x 2, y 2, z 2) no espaço, então a equação de uma linha reta que passa por esses pontos:

Se algum dos denominadores for igual a zero, o numerador correspondente deve ser igual a zero. No plano, a equação da reta escrita acima é simplificada:

se x 1 ≠ x 2 e x = x 1 se x 1 = x 2.

Fração = k é chamada fator de inclinação direto.

Exemplo. Encontre a equação de uma reta que passa pelos pontos A(1, 2) e B(3, 4).

Solução. Aplicando a fórmula acima, obtemos:

Equação de uma linha reta de um ponto e uma inclinação

Se o total Ax + Wu + C = 0 levar à forma:

e designar , então a equação resultante é chamada equação de uma reta com inclinaçãok.

Equação de uma linha reta com um vetor ponto e direção

Por analogia com o ponto considerando a equação de uma linha reta através do vetor normal, você pode inserir a atribuição de uma linha reta através de um ponto e um vetor direcionador de uma linha reta.

Definição. Cada vetor diferente de zero (α 1, α 2), cujos componentes satisfazem a condição A α 1 + B α 2 = 0, é chamado de vetor diretor da linha

Ah + Wu + C = 0.

Exemplo. Encontre a equação de uma linha reta com vetor de direção (1, -1) e passando pelo ponto A(1, 2).

Solução. Procuraremos a equação da reta desejada na forma: Ax + By + C = 0. De acordo com a definição, os coeficientes devem satisfazer as condições:

1 * A + (-1) * B = 0, ou seja A = B

Então a equação de uma linha reta tem a forma: Ax + Ay + C = 0, ou x + y + C / A = 0. para x = 1, y = 2 obtemos C / A = -3, ou seja. equação desejada:

Equação de uma linha reta em segmentos

Se na equação geral da reta Ah + Wu + C = 0 C≠0, então, dividindo por –C, obtemos: ou

O significado geométrico dos coeficientes é que o coeficiente umaé a coordenada do ponto de intersecção da linha com o eixo x, e b- a coordenada do ponto de intersecção da reta com o eixo Oy.

Exemplo. Dada a equação geral da reta x - y + 1 = 0. Encontre a equação desta reta nos segmentos.

C \u003d 1, , a \u003d -1, b \u003d 1.

Equação normal de uma reta

Se ambos os lados da equação Ax + Vy + C = 0 são multiplicados pelo número , que é chamado fator de normalização, então obtemos

xcosφ + ysinφ - p = 0 –

equação normal de uma reta. O sinal ± do fator de normalização deve ser escolhido de modo que μ * С< 0. р – длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, а φ - угол, образованный этим перпендикуляром с положительным направлением оси Ох.

Exemplo. Dada a equação geral da linha 12x - 5y - 65 = 0. É necessário escrever vários tipos de equações para esta linha.

a equação desta reta em segmentos:

a equação desta linha com a inclinação: (dividir por 5)

; cos φ = 12/13; sen φ= -5/13; p=5.

Deve-se notar que nem toda reta pode ser representada por uma equação em segmentos, por exemplo, retas paralelas aos eixos ou passando pela origem.

Exemplo. A linha reta corta segmentos positivos iguais nos eixos coordenados. Escreva a equação de uma reta se a área do triângulo formado por esses segmentos for 8 cm 2.

Solução. A equação da reta tem a forma: , ab /2 = 8; ab=16; a=4, a=-4. a = -4< 0 не подходит по условию задачи. Итого: или х + у – 4 = 0.

Exemplo. Escreva a equação de uma reta que passa pelo ponto A (-2, -3) e pela origem.

Solução. A equação de uma reta tem a forma: , onde x 1 \u003d y 1 \u003d 0; x 2 \u003d -2; y 2 \u003d -3.

Ângulo entre linhas em um plano

Definição. Se duas linhas são dadas y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2 , então o ângulo agudo entre essas linhas será definido como

.

Duas retas são paralelas se k 1 = k 2 . Duas retas são perpendiculares se k 1 = -1/ k 2 .

Teorema. As linhas retas Ax + Vy + C \u003d 0 e A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 são paralelas quando os coeficientes A 1 \u003d λA, B 1 \u003d λB são proporcionais. Se também С 1 = λС, então as linhas coincidem. As coordenadas do ponto de interseção de duas retas são encontradas como solução para o sistema de equações dessas retas.

Equação de uma linha que passa por um ponto dado perpendicular a uma linha dada

Definição. A linha que passa pelo ponto M 1 (x 1, y 1) e perpendicular à linha y \u003d kx + b é representada pela equação:

Distância do ponto à linha

Teorema. Se um ponto M(x 0, y 0) for fornecido, a distância até a linha Ax + Vy + C \u003d 0 será definida como

.

Prova. Seja o ponto M 1 (x 1, y 1) a base da perpendicular baixada do ponto M até a reta dada. Então a distância entre os pontos M e M 1:

(1)

As coordenadas x 1 e y 1 podem ser encontradas como uma solução para o sistema de equações:

A segunda equação do sistema é a equação de uma linha reta que passa por um ponto dado M 0 perpendicular a uma linha reta dada. Se transformarmos a primeira equação do sistema na forma:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + Por 0 + C = 0,

então, resolvendo, temos:

Substituindo essas expressões na equação (1), encontramos:

O teorema foi provado.

Exemplo. Determine o ângulo entre as linhas: y = -3 x + 7; y = 2x + 1.

k 1 \u003d -3; k2 = 2; tgφ = ; φ= π/4.

Exemplo. Mostre que as retas 3x - 5y + 7 = 0 e 10x + 6y - 3 = 0 são perpendiculares.

Solução. Encontramos: k 1 \u003d 3/5, k 2 \u003d -5/3, k 1 * k 2 \u003d -1, portanto, as linhas são perpendiculares.

Exemplo. Os vértices do triângulo A(0; 1), B (6; 5), C (12; -1) são dados. Encontre a equação para a altura tirada do vértice C.

Solução. Encontramos a equação do lado AB: ; 4 x = 6 y - 6;

2x – 3y + 3 = 0;

A equação de altura desejada é: Ax + By + C = 0 ou y = kx + b. k = . Então y = . Porque a altura passa pelo ponto C, então suas coordenadas satisfazem esta equação: onde b = 17. Total: .

Resposta: 3x + 2y - 34 = 0.

A linha que passa pelo ponto K(x 0; y 0) e paralela à linha y = kx + a é encontrada pela fórmula:

y - y 0 \u003d k (x - x 0) (1)

Onde k é a inclinação da linha reta.

Fórmula alternativa:
A reta que passa pelo ponto M 1 (x 1 ; y 1) e paralela à reta Ax+By+C=0 é representada pela equação

A(x-x 1)+B(y-y 1)=0 . (2)

Escreva a equação de uma reta que passa pelo ponto K( ;) paralela à reta y = x + .

Exemplo 1. Componha a equação de uma reta que passa pelo ponto M 0 (-2,1) e ao mesmo tempo:
a) paralela à reta 2x+3y -7 = 0;
b) perpendicular à linha 2x+3y -7 = 0.
Solução . Vamos representar a equação da inclinação como y = kx + a . Para isso, vamos transferir todos os valores exceto y para o lado direito: 3y = -2x + 7 . Então dividimos o lado direito pelo coeficiente 3 . Obtemos: y = -2/3x + 7/3
Encontre a equação NK que passa pelo ponto K(-2;1) paralelo à reta y = -2 / 3 x + 7 / 3
Substituindo x 0 \u003d -2, k \u003d -2 / 3, y 0 \u003d 1, obtemos:
y-1 = -2/3 (x-(-2))
ou
y = -2 / 3 x - 1 / 3 ou 3y + 2x +1 = 0

Exemplo #2. Escreva a equação de uma reta paralela à reta 2x + 5y = 0 e formando, junto com os eixos coordenados, um triângulo cuja área é 5.
Solução . Como as retas são paralelas, a equação da reta desejada é 2x + 5y + C = 0. A área de um triângulo retângulo, onde aeb são seus catetos. Encontre os pontos de interseção da linha desejada com os eixos coordenados:
;
.
Então, A(-C/2,0), B(0,-C/5). Substituindo na fórmula da área: . Obtemos duas soluções: 2x + 5y + 10 = 0 e 2x + 5y - 10 = 0 .

Exemplo #3. Escreva a equação da reta que passa pelo ponto (-2; 5) e a reta paralela 5x-7y-4=0 .
Solução. Esta linha reta pode ser representada pela equação y = 5/7 x – 4/7 (aqui a = 5/7). A equação da linha desejada é y - 5 = 5/7 (x - (-2)), ou seja 7(y-5)=5(x+2) ou 5x-7y+45=0 .

Exemplo #4. Resolvendo o exemplo 3 (A=5, B=-7) usando a fórmula (2), encontramos 5(x+2)-7(y-5)=0.

Exemplo número 5. Escreva a equação de uma reta que passa pelo ponto (-2;5) e uma reta paralela 7x+10=0.
Solução. Aqui A=7, B=0. A fórmula (2) dá 7(x+2)=0, i.e. x+2=0. A fórmula (1) não é aplicável, pois esta equação não pode ser resolvida em relação a y (esta reta é paralela ao eixo y).

Propriedades de uma reta na geometria euclidiana.

Existem infinitas linhas que podem ser traçadas através de qualquer ponto.

Por quaisquer dois pontos não coincidentes, há apenas uma linha reta.

Duas linhas não coincidentes no plano se cruzam em um único ponto ou são

paralelo (segue do anterior).

No espaço tridimensional, existem três opções para a posição relativa de duas linhas:

• linhas se cruzam;

• linhas retas são paralelas;

• linhas retas se cruzam.

Em linha reta linha- curva algébrica de primeira ordem: no sistema de coordenadas cartesianas, uma linha reta

é dado no plano por uma equação de primeiro grau (equação linear).

Equação geral de uma reta.

Definição. Qualquer linha no plano pode ser dada por uma equação de primeira ordem

Ah + Wu + C = 0,

e constante A, B não é igual a zero ao mesmo tempo. Essa equação de primeira ordem é chamada em geral

equação da reta. Dependendo dos valores das constantes A, B e A PARTIR DE Os seguintes casos especiais são possíveis:

. C = 0, A ≠ 0, B ≠ 0- a linha passa pela origem

. A = 0, B ≠0, C ≠0 (Por + C = 0)- linha reta paralela ao eixo Oh

. B = 0, A ≠ 0, C ≠ 0 (Ax + C = 0)- linha reta paralela ao eixo UO

. B = C = 0, A ≠ 0- a linha coincide com o eixo UO

. A = C = 0, B ≠ 0- a linha coincide com o eixo Oh

A equação de uma linha reta pode ser representada de várias formas, dependendo de qualquer

condições iniciais.

Equação de uma reta por um ponto e um vetor normal.

Definição. Em um sistema de coordenadas retangulares cartesianas, um vetor com componentes (A, B)

perpendicular à reta dada pela equação

Ah + Wu + C = 0.

Exemplo. Encontre a equação de uma reta que passa por um ponto A(1, 2) perpendicular ao vetor (3, -1).

Solução. Vamos compor em A \u003d 3 e B \u003d -1 a equação da linha reta: 3x - y + C \u003d 0. Para encontrar o coeficiente C

substituímos as coordenadas do ponto A dado na expressão resultante. Obtemos: 3 - 2 + C = 0, portanto

C = -1. Total: a equação desejada: 3x - y - 1 \u003d 0.

Equação de uma linha reta que passa por dois pontos.

Sejam dados dois pontos no espaço M 1 (x 1 , y 1 , z 1) e M2 (x 2, y 2 , z 2), então equação de linha reta,

passando por estes pontos:

Se algum dos denominadores for igual a zero, o numerador correspondente deve ser igual a zero. No

plano, a equação de uma linha reta escrita acima é simplificada:

E se x 1 ≠ x 2 e x = x 1, E se x 1 = x 2 .

Fração = k chamado fator de inclinação direto.

Exemplo. Encontre a equação de uma reta que passa pelos pontos A(1, 2) e B(3, 4).

Solução. Aplicando a fórmula acima, obtemos:

Equação de uma linha reta por um ponto e uma inclinação.

Se a equação geral de uma reta Ah + Wu + C = 0 trazer para o formulário:

e designar , então a equação resultante é chamada

equação de uma linha reta com inclinação k.

A equação de uma linha reta em um ponto e um vetor diretor.

Por analogia com o ponto considerando a equação de uma linha reta através do vetor normal, você pode entrar na tarefa

uma linha reta que passa por um ponto e um vetor direcional de uma linha reta.

Definição. Todo vetor diferente de zero (α 1 , α 2), cujos componentes satisfazem a condição

Aα 1 + Bα 2 = 0 chamado vetor de direção da reta.

Ah + Wu + C = 0.

Exemplo. Encontre a equação de uma linha reta com vetor de direção (1, -1) e passando pelo ponto A(1, 2).

Solução. Vamos procurar a equação da linha reta desejada na forma: Ax + Por + C = 0. De acordo com a definição,

os coeficientes devem satisfazer as condições:

1 * A + (-1) * B = 0, ou seja A = B

Então a equação de uma reta tem a forma: Ax + Ay + C = 0, ou x + y + C / A = 0.

no x=1, y=2 Nós temos C/A = -3, ou seja equação desejada:

x + y - 3 = 0

Equação de uma linha reta em segmentos.

Se na equação geral da reta Ah + Wu + C = 0 C≠0, então, dividindo por -C, obtemos:

ou onde

O significado geométrico dos coeficientes é que o coeficiente a é a coordenada do ponto de interseção

reta com eixo Oh, uma b- a coordenada do ponto de intersecção da linha com o eixo UO.

Exemplo. A equação geral de uma reta é dada x - y + 1 = 0. Encontre a equação desta linha reta em segmentos.

C \u003d 1, , a \u003d -1, b \u003d 1.

Equação normal de uma reta.

Se ambos os lados da equação Ah + Wu + C = 0 dividir por número , que é chamado

fator de normalização, então obtemos

xcosφ + ysinφ - p = 0 -equação normal de uma reta.

O sinal ± do fator de normalização deve ser escolhido de modo que µ * C< 0.

R- o comprimento da perpendicular baixada da origem até a linha,

uma φ - o ângulo formado por esta perpendicular com a direção positiva do eixo Oh.

Exemplo. Dada a equação geral de uma linha reta 12x - 5a - 65 = 0. Necessário para escrever vários tipos de equações

esta linha reta.

A equação desta linha reta em segmentos:

A equação desta linha com inclinação: (dividir por 5)

Equação de uma reta:

cos φ = 12/13; sen φ= -5/13; p=5.

Deve-se notar que nem toda linha reta pode ser representada por uma equação em segmentos, por exemplo, linhas retas,

paralelas aos eixos ou passando pela origem.

Ângulo entre linhas em um plano.

Definição. Se duas linhas são dadas y \u003d k 1 x + b 1, y \u003d k 2 x + b 2, então o ângulo agudo entre essas linhas

será definido como

Duas retas são paralelas se k 1 = k 2. Duas retas são perpendiculares

E se k 1 \u003d -1 / k 2 .

Teorema.

Direto Ah + Wu + C = 0 e A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 são paralelos quando os coeficientes são proporcionais

A 1 \u003d λA, B 1 \u003d λB. Se também С 1 \u003d λС, então as linhas coincidem. Coordenadas do ponto de intersecção de duas linhas

são encontrados como uma solução para o sistema de equações dessas linhas.

A equação de uma reta que passa por um ponto dado é perpendicular a uma reta dada.

Definição. Uma linha que passa por um ponto M 1 (x 1, y 1) e perpendicular à linha y = kx + b

representado pela equação:

A distância de um ponto a uma linha.

Teorema. Se for dado um ponto M(x 0, y 0), então a distância até a linha Ah + Wu + C = 0 definido como:

Prova. Deixe o ponto M 1 (x 1, y 1)- a base da perpendicular caiu do ponto M para um dado

direto. Então a distância entre os pontos M e M 1:

(1)

Coordenadas x 1 e 1 pode ser encontrada como uma solução para o sistema de equações:

A segunda equação do sistema é a equação de uma linha reta que passa por um ponto dado M 0 perpendicularmente

dada linha. Se transformarmos a primeira equação do sistema na forma:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + Por 0 + C = 0,

então, resolvendo, temos:

Substituindo essas expressões na equação (1), encontramos:

O teorema foi provado.

Este artigo revela a derivação da equação de uma reta que passa por dois pontos dados em um sistema de coordenadas retangulares localizado em um plano. Derivamos a equação de uma linha reta que passa por dois pontos dados em um sistema de coordenadas retangulares. Mostraremos e resolveremos visualmente vários exemplos relacionados ao material abordado.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Antes de obter a equação de uma reta que passa por dois pontos dados, é necessário atentar para alguns fatos. Existe um axioma que diz que através de dois pontos não coincidentes em um plano é possível traçar uma reta e apenas uma. Em outras palavras, dois pontos dados do plano são determinados por uma linha reta que passa por esses pontos.

Se o plano é dado pelo sistema de coordenadas retangulares Oxy, então qualquer linha reta representada nele corresponderá à equação da linha reta no plano. Há também uma conexão com o vetor diretor da reta, dados suficientes para elaborar a equação de uma reta que passa por dois pontos dados.

Considere um exemplo de resolução de um problema semelhante. É necessário compor a equação de uma reta a passando por dois pontos desencontrados M 1 (x 1, y 1) e M 2 (x 2, y 2) localizados no sistema de coordenadas cartesianas.

Na equação canônica de uma linha reta em um plano, tendo a forma x - x 1 a x \u003d y - y 1 a y , um sistema de coordenadas retangulares O x y é especificado com uma linha reta que se cruza com ela em um ponto com coordenadas M 1 (x 1, y 1) com um vetor guia a → = (a x , a y) .

É necessário compor a equação canônica da reta a, que passará por dois pontos de coordenadas M 1 (x 1, y 1) e M 2 (x 2, y 2) .

A reta a tem um vetor diretor M 1 M 2 → com coordenadas (x 2 - x 1, y 2 - y 1), pois intercepta os pontos M 1 e M 2. Obtivemos os dados necessários para transformar a equação canônica com as coordenadas do vetor de direção M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1) e as coordenadas dos pontos M 1 sobre eles (x 1, y 1) e M 2 (x 2 , y 2). Obtemos uma equação da forma x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 ou x - x 2 x 2 - x 1 = y - y 2 y 2 - y 1 .

Considere a figura abaixo.

Após os cálculos, escrevemos as equações paramétricas de uma reta em um plano que passa por dois pontos com coordenadas M 1 (x 1, y 1) e M 2 (x 2, y 2) . Obtemos uma equação da forma x \u003d x 1 + (x 2 - x 1) λ y \u003d y 1 + (y 2 - y 1) λ ou x \u003d x 2 + (x 2 - x 1) λ y \u003d y 2 + (y 2 - y 1) λ.

Vejamos mais de perto alguns exemplos.

Exemplo 1

Escreva a equação de uma linha reta que passa por 2 pontos dados com coordenadas M 1 - 5 , 2 3 , M 2 1 , - 1 6 .

Solução

A equação canônica para uma linha reta que intercepta em dois pontos com coordenadas x 1 , y 1 e x 2 , y 2 assume a forma x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 . De acordo com a condição do problema, temos que x 1 \u003d - 5, y 1 \u003d 2 3, x 2 \u003d 1, y 2 \u003d - 1 6. É necessário substituir valores numéricos na equação x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 . A partir daqui temos que a equação canônica terá a forma x - (- 5) 1 - (- 5) = y - 2 3 - 1 6 - 2 3 ⇔ x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6 .

Resposta: x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6 .

Se for necessário resolver um problema com um tipo diferente de equação, para começar, você pode ir para o canônico, pois é mais fácil chegar a qualquer outro.

Exemplo 2

Componha a equação geral de uma linha reta que passa por pontos com coordenadas M 1 (1, 1) e M 2 (4, 2) no sistema de coordenadas O x y.

Solução

Primeiro você precisa escrever a equação canônica de uma dada reta que passa pelos dois pontos dados. Obtemos uma equação da forma x - 1 4 - 1 = y - 1 2 - 1 ⇔ x - 1 3 = y - 1 1 .

Trazemos a equação canônica para a forma desejada, então obtemos:

x - 1 3 = y - 1 1 ⇔ 1 x - 1 = 3 y - 1 ⇔ x - 3 y + 2 = 0

Responda: x - 3 y + 2 = 0 .

Exemplos de tais tarefas foram considerados em livros escolares nas aulas de álgebra. As tarefas escolares diferiam porque a equação de uma linha reta com um coeficiente de inclinação era conhecida, tendo a forma y \u003d k x + b. Se você precisar encontrar o valor da inclinação ke o número b, no qual a equação y \u003d k x + b define uma linha no sistema O x y que passa pelos pontos M 1 (x 1, y 1) e M 2 (x 2, y 2) , onde x 1 ≠ x 2 . Quando x 1 = x 2 , então a inclinação assume o valor de infinito, e a linha reta M 1 M 2 é definida por uma equação geral incompleta da forma x - x 1 = 0 .

Porque os pontos M 1 e M 2 estão em uma linha reta, então suas coordenadas satisfazem a equação y 1 = k x 1 + b e y 2 = k x 2 + b. É necessário resolver o sistema de equações y 1 = k x 1 + b y 2 = k x 2 + b em relação a ke b.

Para fazer isso, encontramos k \u003d y 2 - y 1 x 2 - x 1 b \u003d y 1 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 ou k \u003d y 2 - y 1 x 2 - x 1 b \u003d y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2 .

Com esses valores de k e b, a equação de uma linha reta que passa por dois pontos dados assume a seguinte forma y = y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 ou y \u003d y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2.

Memorizar um número tão grande de fórmulas de uma só vez não funcionará. Para fazer isso, é necessário aumentar o número de repetições na resolução de problemas.

Exemplo 3

Escreva a equação de uma reta com inclinação que passa por pontos com coordenadas M 2 (2, 1) e y = k x + b.

Solução

Para resolver o problema, usamos uma fórmula com uma inclinação que tem a forma y \u003d k x + b. Os coeficientes k e b devem ter um valor tal que esta equação corresponda a uma recta que passa por dois pontos de coordenadas M 1 (- 7 , - 5) e M 2 (2 , 1) .

pontos M 1 e M 2 localizados em uma linha reta, então suas coordenadas devem inverter a equação y = k x + b a igualdade correta. Daqui temos que - 5 = k · (- 7) + b e 1 = k · 2 + b. Vamos combinar a equação no sistema - 5 = k · - 7 + b 1 = k · 2 + b e resolver.

Na substituição, obtemos que

5 = k - 7 + b 1 = k 2 + b ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k + b = 1 ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k - 5 + 7 k = 1 ⇔ ⇔ b = - 5 + 7 k k = 2 3 ⇔ b = - 5 + 7 2 3 k = 2 3 ⇔ b = - 1 3 k = 2 3

Agora os valores k = 2 3 e b = - 1 3 são substituídos na equação y = k x + b . Obtemos que a equação desejada passando pelos pontos dados será uma equação que tem a forma y = 2 3 x - 1 3 .

Esta forma de resolver predetermina o dispêndio de uma grande quantidade de tempo. Existe uma maneira pela qual a tarefa é resolvida literalmente em duas etapas.

Escrevemos a equação canônica de uma linha reta que passa por M 2 (2, 1) e M 1 (- 7, - 5) , tendo a forma x - (- 7) 2 - (- 7) = y - (- 5 ) 1 - (- 5) ⇔ x + 7 9 = y + 5 6 .

Agora vamos passar para a equação da inclinação. Obtemos que: x + 7 9 = y + 5 6 ⇔ 6 (x + 7) = 9 (y + 5) ⇔ y = 2 3 x - 1 3 .

Resposta: y = 2 3 x - 1 3 .

Se no espaço tridimensional existe um sistema de coordenadas retangulares O x y z com dois pontos dados não coincidentes com coordenadas M 1 (x 1, y 1, z 1) e M 2 (x 2, y 2, z 2), o reta M passando por eles 1 M 2 , é necessário obter a equação desta reta.

Temos que equações canônicas da forma x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z e equações paramétricas da forma x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ z = z 1 + a z λ são capazes de definir uma linha no sistema de coordenadas O x y z passando por pontos com coordenadas (x 1, y 1, z 1) com um vetor direcionador a → = (a x, a y, a z).

Reta M 1 M 2 tem um vetor direcional da forma M 1 M 2 → = (x 2 - x 1 , y 2 - y 1 , z 2 - z 1) , onde a linha passa pelo ponto M 1 (x 1 , y 1 , z 1) e M 2 (x 2, y 2, z 2), portanto, a equação canônica pode ser da forma x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - z 1 z 2 - z 1 ou x - x 2 x 2 - x 1 \u003d y - y 2 y 2 - y 1 \u003d z - z 2 z 2 - z 1, por sua vez, paramétrico x \u003d x 1 + (x 2 - x 1) λ y \u003d y 1 + (y 2 - y 1) λ z = z 1 + (z 2 - z 1) λ ou x = x 2 + (x 2 - x 1) λ y = y 2 + (y 2 - y 1) λ z \u003d z 2 + (z 2 - z 1) λ.

Considere uma figura que mostra 2 pontos dados no espaço e a equação de uma linha reta.

Exemplo 4

Escreva a equação de uma linha reta definida em um sistema de coordenadas retangular O x y z do espaço tridimensional, passando pelos dois pontos dados com coordenadas M 1 (2, - 3, 0) e M 2 (1, - 3, - 5 ).

Solução

Precisamos encontrar a equação canônica. Como estamos falando de espaço tridimensional, isso significa que quando uma linha reta passa por pontos dados, a equação canônica desejada terá a forma x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - z 1 z 2 - z 1 .

Por condição, temos que x 1 = 2, y 1 = - 3, z 1 = 0, x 2 = 1, y 2 = - 3, z 2 = - 5. Segue-se que as equações necessárias podem ser escritas da seguinte forma:

x - 2 1 - 2 = y - (- 3) - 3 - (- 3) = z - 0 - 5 - 0 ⇔ x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5

Resposta: x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5.

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