Como você sabe, ao multiplicar expressões por potências, seus expoentes sempre somam (a b *a c = a b+c). Esta lei matemática foi derivada por Arquimedes e, mais tarde, no século VIII, o matemático Virasen criou uma tabela de expoentes inteiros. Foram eles que serviram para a descoberta dos logaritmos. Exemplos de uso desta função podem ser encontrados em quase todos os lugares onde você precisa simplificar multiplicações complicadas por meio de simples adição. Se você gastar 10 minutos lendo este artigo, explicaremos o que são logaritmos e como trabalhar com eles. Em linguagem simples e acessível.

Definição em matemática

Um logaritmo é uma expressão da seguinte forma: log a b=c, ou seja, o logaritmo de qualquer número não negativo (ou seja, qualquer positivo) “b” elevado à sua base “a” é considerado a potência “c ” para o qual a base “a” deve ser elevada para finalmente obter o valor “b”. Vamos analisar o logaritmo usando exemplos, digamos que exista uma expressão log 2 8. Como encontrar a resposta? É muito simples, você precisa encontrar uma potência tal que de 2 até a potência necessária você obtenha 8. Depois de fazer alguns cálculos de cabeça, obtemos o número 3! E isso é verdade, porque 2 elevado a 3 dá a resposta como 8.

Tipos de logaritmos

Para muitos alunos e estudantes, este tema parece complicado e incompreensível, mas na verdade os logaritmos não são tão assustadores, o principal é compreender o seu significado geral e lembrar as suas propriedades e algumas regras. Existem três tipos separados de expressões logarítmicas:

1. Logaritmo natural ln a, onde a base é o número de Euler (e = 2,7).
2. Decimal a, onde a base é 10.
3. Logaritmo de qualquer número b na base a> 1.

Cada um deles é resolvido de forma padrão, incluindo simplificação, redução e posterior redução a um único logaritmo usando teoremas logarítmicos. Para obter os valores corretos dos logaritmos, deve-se lembrar suas propriedades e a sequência de ações ao resolvê-los.

Regras e algumas restrições

Na matemática, existem diversas regras-restrições que são aceitas como um axioma, ou seja, não são passíveis de discussão e são verdadeiras. Por exemplo, é impossível dividir números por zero e também é impossível extrair a raiz par de números negativos. Os logaritmos também têm suas próprias regras, seguindo as quais você pode aprender facilmente a trabalhar mesmo com expressões logarítmicas longas e amplas:

• A base “a” deve ser sempre maior que zero, e não igual a 1, caso contrário a expressão perderá o sentido, pois “1” e “0” em qualquer grau são sempre iguais aos seus valores;
• se a > 0, então a b >0, verifica-se que “c” também deve ser maior que zero.

Como resolver logaritmos?

Por exemplo, a tarefa é encontrar a resposta para a equação 10 x = 100. Isso é muito fácil, você precisa escolher uma potência elevando o número dez ao qual obtemos 100. Isso, claro, é 10 2 = 100.

Agora vamos representar esta expressão na forma logarítmica. Obtemos log 10 100 = 2. Ao resolver logaritmos, todas as ações praticamente convergem para encontrar a potência à qual é necessário inserir a base do logaritmo para obter um determinado número.

Para determinar com precisão o valor de um grau desconhecido, você precisa aprender a trabalhar com uma tabela de graus. Se parece com isso:

Como você pode ver, alguns expoentes podem ser adivinhados intuitivamente se você tiver uma mente técnica e conhecimento da tabuada. Porém, para valores maiores você precisará de uma mesa de potência. Pode ser usado até mesmo por aqueles que não sabem nada sobre tópicos matemáticos complexos. A coluna da esquerda contém números (base a), a linha superior de números é o valor da potência c à qual o número a é elevado. Na interseção, as células contêm os valores numéricos que são a resposta (a c =b). Vamos pegar, por exemplo, a primeira célula com o número 10 e elevá-la ao quadrado, obtemos o valor 100, que é indicado na intersecção de nossas duas células. Tudo é tão simples e fácil que até o mais verdadeiro humanista entenderá!

Equações e desigualdades

Acontece que sob certas condições o expoente é o logaritmo. Portanto, quaisquer expressões numéricas matemáticas podem ser escritas como uma igualdade logarítmica. Por exemplo, 3 4 =81 pode ser escrito como o logaritmo de base 3 de 81 igual a quatro (log 3 81 = 4). Para potências negativas as regras são as mesmas: 2 -5 = 1/32 escrevemos como um logaritmo, obtemos log 2 (1/32) = -5. Uma das seções mais fascinantes da matemática é o tópico dos “logaritmos”. Veremos exemplos e soluções de equações a seguir, imediatamente após estudar suas propriedades. Agora vamos ver como são as desigualdades e como distingui-las das equações.

É dada a seguinte expressão: log 2 (x-1) > 3 - é uma desigualdade logarítmica, pois o valor desconhecido “x” está sob o sinal logarítmico. E também na expressão duas quantidades são comparadas: o logaritmo do número desejado na base dois é maior que o número três.

A diferença mais importante entre equações logarítmicas e desigualdades é que equações com logaritmos (por exemplo, o logaritmo 2 x = √9) implicam um ou mais valores numéricos específicos na resposta, enquanto ao resolver uma desigualdade, tanto a faixa de aceitável os valores e os pontos são determinados quebrando esta função. Como consequência, a resposta não é um simples conjunto de números individuais, como na resposta a uma equação, mas uma série contínua ou conjunto de números.

Teoremas básicos sobre logaritmos

Ao resolver problemas primitivos de encontrar os valores do logaritmo, suas propriedades podem não ser conhecidas. Porém, quando se trata de equações ou desigualdades logarítmicas, antes de tudo, é necessário compreender claramente e aplicar na prática todas as propriedades básicas dos logaritmos. Veremos exemplos de equações mais tarde; primeiro examinaremos cada propriedade com mais detalhes.

1. A identidade principal fica assim: a logaB =B. Aplica-se apenas quando a é maior que 0, diferente de um, e B é maior que zero.
2. O logaritmo do produto pode ser representado na seguinte fórmula: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. Neste caso, a condição obrigatória é: d, s 1 e s 2 > 0; a≠1. Você pode fornecer uma prova para esta fórmula logarítmica, com exemplos e solução. Seja log a s 1 = f 1 e log a s 2 = f 2, então a f1 = s 1, a f2 = s 2. Obtemos que s 1 * s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (propriedades de graus ), e então por definição: log a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, que é o que precisava ser provado.
3. O logaritmo do quociente é assim: log a (s 1/ s 2) = log a s 1 - log a s 2.
4. O teorema na forma de fórmula assume a seguinte forma: log a q b n = n/q log a b.

Esta fórmula é chamada de “propriedade do grau do logaritmo”. Assemelha-se às propriedades dos graus comuns, e não é surpreendente, porque toda a matemática é baseada em postulados naturais. Vejamos a prova.

Seja log a b = t, resulta a t =b. Se elevarmos ambas as partes à potência m: a tn = b n ;

mas como a tn = (a q) nt/q = b n, portanto log a q b n = (n*t)/t, então log a q b n = n/q log a b. O teorema foi provado.

Exemplos de problemas e desigualdades

Os tipos mais comuns de problemas sobre logaritmos são exemplos de equações e desigualdades. Eles são encontrados em quase todos os livros de problemas e também são parte obrigatória dos exames de matemática. Para ingressar em uma universidade ou passar no vestibular de matemática, você precisa saber como resolver corretamente essas tarefas.

Infelizmente, não existe um plano ou esquema único para resolver e determinar o valor desconhecido do logaritmo, mas certas regras podem ser aplicadas a cada desigualdade matemática ou equação logarítmica. Em primeiro lugar, deve-se descobrir se a expressão pode ser simplificada ou reduzida a uma forma geral. Você pode simplificar expressões logarítmicas longas se usar suas propriedades corretamente. Vamos conhecê-los rapidamente.

Ao resolver equações logarítmicas, devemos determinar que tipo de logaritmo temos: uma expressão de exemplo pode conter um logaritmo natural ou decimal.

Aqui estão os exemplos ln100, ln1026. A solução deles se resume ao fato de que eles precisam determinar a potência à qual a base 10 será igual a 100 e 1026, respectivamente. Para resolver logaritmos naturais, você precisa aplicar identidades logarítmicas ou suas propriedades. Vejamos exemplos de resolução de problemas logarítmicos de vários tipos.

Como usar fórmulas de logaritmo: com exemplos e soluções

Então, vejamos exemplos de uso dos teoremas básicos sobre logaritmos.

1. A propriedade do logaritmo de um produto pode ser utilizada em tarefas onde é necessário decompor um grande valor do número b em fatores mais simples. Por exemplo, log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. A resposta é 9.
2. log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 - como você pode ver, usando a quarta propriedade da potência do logaritmo, conseguimos resolver uma expressão aparentemente complexa e insolúvel. Você só precisa fatorar a base e depois retirar os valores do expoente do sinal do logaritmo.

Tarefas do Exame Estadual Unificado

Logaritmos são frequentemente encontrados em vestibulares, especialmente muitos problemas logarítmicos no Exame Estadual Unificado (exame estadual para todos os graduados). Normalmente, essas tarefas estão presentes não apenas na parte A (a parte de teste mais fácil do exame), mas também na parte C (as tarefas mais complexas e volumosas). O exame exige conhecimento preciso e perfeito do tema “Logaritmos naturais”.

Exemplos e soluções para problemas são retirados das versões oficiais do Exame de Estado Unificado. Vamos ver como essas tarefas são resolvidas.

Dado log 2 (2x-1) = 4. Solução:
vamos reescrever a expressão, simplificando um pouco log 2 (2x-1) = 2 2, pela definição do logaritmo obtemos que 2x-1 = 2 4, portanto 2x = 17; x = 8,5.

• É melhor reduzir todos os logaritmos à mesma base para que a solução não seja complicada e confusa.
• Todas as expressões sob o sinal do logaritmo são indicadas como positivas, portanto, quando o expoente de uma expressão que está sob o sinal do logaritmo e como sua base é retirado como multiplicador, a expressão restante sob o logaritmo deve ser positiva.

O foco deste artigo é logaritmo. Aqui daremos uma definição de logaritmo, mostraremos a notação aceita, daremos exemplos de logaritmos e falaremos sobre logaritmos naturais e decimais. Depois disso, consideraremos a identidade logarítmica básica.

Navegação na página.

Definição de logaritmo

O conceito de logaritmo surge ao resolver um problema em um certo sentido inverso, quando é necessário encontrar um expoente a partir de um valor de expoente conhecido e de uma base conhecida.

Mas chega de prefácios, é hora de responder à pergunta “o que é um logaritmo”? Vamos dar a definição correspondente.

Definição.

Logaritmo de b para basear a, onde a>0, a≠1 e b>0 é o expoente ao qual você precisa elevar o número a para obter b como resultado.

Nesta fase, notamos que a palavra falada “logaritmo” deve imediatamente levantar duas questões de acompanhamento: “que número” e “com que base”. Em outras palavras, simplesmente não existe logaritmo, mas apenas o logaritmo de um número com alguma base.

Vamos entrar imediatamente notação logarítmica: o logaritmo de um número b na base a é geralmente denotado como log a b. O logaritmo de um número b na base e e o logaritmo na base 10 têm suas próprias designações especiais lnb e logb, respectivamente, ou seja, eles escrevem não log e b, mas lnb, e não log 10 b, mas lgb.

Agora podemos dar: .
E os registros não faz sentido, pois no primeiro deles há um número negativo sob o sinal de logaritmo, no segundo há um número negativo na base, e no terceiro há um número negativo sob o sinal de logaritmo e uma unidade em a base.

Agora vamos falar sobre regras para leitura de logaritmos. Log a b é lido como "o logaritmo de b na base a". Por exemplo, log 2 3 é o logaritmo de três elevado à base 2 e é o logaritmo de dois vírgula dois terços elevado à raiz quadrada da base de cinco. O logaritmo na base e é chamado Logaritmo natural, e a notação lnb diz "logaritmo natural de b". Por exemplo, ln7 é o logaritmo natural de sete e vamos lê-lo como o logaritmo natural de pi. O logaritmo de base 10 também tem um nome especial - logaritmo decimal, e lgb é lido como "logaritmo decimal de b". Por exemplo, lg1 é o logaritmo decimal de um e lg2,75 é o logaritmo decimal de dois vírgula sete cinco centésimos.

Vale a pena nos determos separadamente nas condições a>0, a≠1 e b>0, sob as quais é dada a definição do logaritmo. Deixe-nos explicar de onde vêm essas restrições. Uma igualdade na forma chamada , que segue diretamente da definição de logaritmo dada acima, nos ajudará a fazer isso.

Vamos começar com a≠1. Como um elevado a qualquer potência é igual a um, a igualdade só pode ser verdadeira quando b=1, mas log 1 1 pode ser qualquer número real. Para evitar esta ambigüidade, a≠1 é assumido.

Justifiquemos a conveniência da condição a>0. Com a=0, pela definição de logaritmo, teríamos igualdade, o que só é possível com b=0. Mas então log 0 0 pode ser qualquer número real diferente de zero, já que zero elevado a qualquer potência diferente de zero é zero. A condição a≠0 permite-nos evitar esta ambiguidade. E quando um<0 нам бы пришлось отказаться от рассмотрения рациональных и иррациональных значений логарифма, так как степень с рациональным и иррациональным показателем определена лишь для неотрицательных оснований. Поэтому и принимается условие a>0 .

Finalmente, a condição b>0 decorre da desigualdade a>0, uma vez que , e o valor de uma potência com base positiva a é sempre positivo.

Para concluir este ponto, digamos que a definição declarada do logaritmo permite indicar imediatamente o valor do logaritmo quando o número sob o sinal do logaritmo é uma certa potência da base. Na verdade, a definição de logaritmo permite-nos afirmar que se b=a p, então o logaritmo do número b na base a é igual a p. Ou seja, o log de igualdade a a p =p é verdadeiro. Por exemplo, sabemos que 2 3 =8, então log 2 8=3. Falaremos mais sobre isso no artigo.

O logaritmo de um número positivo b na base a (a> 0, a não é igual a 1) é um número c tal que a c = b: log a b = c ⇔ a c = b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)       

Observe que o logaritmo de um número não positivo é indefinido. Além disso, a base do logaritmo deve ser um número positivo que não seja igual a 1. Por exemplo, se elevarmos -2 ao quadrado, obteremos o número 4, mas isso não significa que o logaritmo na base -2 de 4 é igual a 2.

Identidade logarítmica básica

um log a b = b (a > 0, a ≠ 1) (2)

É importante que o âmbito de definição dos lados direito e esquerdo desta fórmula seja diferente. O lado esquerdo é definido apenas para b>0, a>0 e a ≠ 1. O lado direito é definido para qualquer b e não depende de a. Assim, a aplicação da “identidade” logarítmica básica na resolução de equações e desigualdades pode levar a uma mudança no DO.

Duas consequências óbvias da definição de logaritmo

log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1) (3)
log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1) (4)

Na verdade, ao elevar o número a à primeira potência, obtemos o mesmo número, e ao elevá-lo à potência zero, obtemos um.

Logaritmo do produto e logaritmo do quociente

log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (5)

Log a b c = log a b - log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (6)

Gostaria de alertar os alunos contra o uso impensado dessas fórmulas ao resolver equações logarítmicas e desigualdades. Ao usá-los “da esquerda para a direita”, o ODZ se estreita, e ao passar da soma ou diferença dos logaritmos para o logaritmo do produto ou quociente, o ODZ se expande.

Na verdade, a expressão log a (f (x) g (x)) é definida em dois casos: quando ambas as funções são estritamente positivas ou quando f(x) e g(x) são ambas menores que zero.

Transformando esta expressão na soma log a f (x) + log a g (x), somos obrigados a nos limitar apenas ao caso em que f(x)>0 e g(x)>0. Há um estreitamento da faixa de valores aceitáveis, o que é categoricamente inaceitável, pois pode levar à perda de soluções. Um problema semelhante existe para a fórmula (6).

O grau pode ser retirado do sinal do logaritmo

log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0) (7)

E mais uma vez gostaria de apelar à precisão. Considere o seguinte exemplo:

Log a (f (x) 2 = 2 log a f (x)

O lado esquerdo da igualdade é obviamente definido para todos os valores de f(x), exceto zero. O lado direito é apenas para f(x)>0! Ao retirar o grau do logaritmo, estreitamos novamente a ODZ. O procedimento inverso leva a uma expansão da faixa de valores aceitáveis. Todas estas observações aplicam-se não apenas à potência 2, mas também a qualquer potência par.

Fórmula para mudar para uma nova fundação

log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1) (8)

Aquele raro caso em que o ODZ não muda durante a transformação. Se você escolheu a base c com sabedoria (positiva e diferente de 1), a fórmula para mudar para uma nova base é completamente segura.

Se escolhermos o número b como nova base c, obteremos um importante caso especial da fórmula (8):

Log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) (9)

Alguns exemplos simples com logaritmos

Exemplo 1. Calcule: log2 + log50.
Solução. log2 + log50 = log100 = 2. Utilizamos a fórmula da soma dos logaritmos (5) e a definição do logaritmo decimal.

Exemplo 2. Calcule: lg125/lg5.
Solução. log125/log5 = log 5 125 = 3. Usamos a fórmula para passar para uma nova base (8).

Tabela de fórmulas relacionadas a logaritmos

um log a b = b (a > 0, a ≠ 1)

log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1)

log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1)

log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0)

log a b c = log a b - log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0)

log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)

log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1)

log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1)

(do grego λόγος - “palavra”, “relação” e ἀριθμός - “número”) números b baseado em a(log α b) é chamado de tal número c, E b= um c, ou seja, registra log α b=c E b = umac são equivalentes. O logaritmo faz sentido se a > 0, a ≠ 1, b > 0.

Em outras palavras logaritmo números b baseado em A formulado como um expoente ao qual um número deve ser elevado a para obter o número b(logaritmo existe apenas para números positivos).

Desta formulação segue-se que o cálculo x= log α b, é equivalente a resolver a equação a x =b.

Por exemplo:

log 2 8 = 3 porque 8 = 2 3 .

Ressaltamos que a formulação indicada do logaritmo permite determinar imediatamente valor logaritmo, quando o número sob o sinal do logaritmo atua como uma certa potência da base. Com efeito, a formulação do logaritmo permite justificar que se b=uma c, então o logaritmo do número b baseado em aé igual a Com. Também está claro que o tema dos logaritmos está intimamente relacionado ao tema potências de um número.

O cálculo do logaritmo é chamado logaritmo. Logaritmo é a operação matemática de obter um logaritmo. Ao tomar logaritmos, os produtos dos fatores são transformados em somas de termos.

Potenciaçãoé uma operação matemática inversa ao logaritmo. Durante a potenciação, uma determinada base é elevada ao grau de expressão sobre o qual a potenciação é realizada. Nesse caso, a soma dos termos é transformada em produto de fatores.

Muitas vezes, logaritmos reais são usados ​​com bases 2 (binário), número de Euler e ≈ 2,718 (logaritmo natural) e 10 (decimal).

Nesta fase é aconselhável considerar amostras logarítmicas registro 7 2 , Em √ 5, lg0.0001.

E as entradas lg(-3), log -3 3,2, log -1 -4,3 não fazem sentido, pois na primeira delas é colocado um número negativo sob o sinal do logaritmo, na segunda há um número negativo na base, e no terceiro há um número negativo sob o sinal do logaritmo e uma unidade na base.

Condições para determinar o logaritmo.

Vale a pena considerar separadamente as condições a > 0, a ≠ 1, b > 0.sob as quais obtemos definição de logaritmo. Consideremos por que essas restrições foram adotadas. Uma igualdade da forma x = log α nos ajudará com isso b, chamada de identidade logarítmica básica, que segue diretamente da definição de logaritmo dada acima.

Vamos pegar a condição a≠1. Como um elevado a qualquer potência é igual a um, então a igualdade x=log α b só pode existir quando b=1, mas log 1 1 será qualquer número real. Para eliminar esta ambigüidade, tomamos a≠1.

Vamos provar a necessidade da condição a>0. No uma=0 de acordo com a formulação do logaritmo só pode existir quando b=0. E consequentemente então registro 0 0 pode ser qualquer número real diferente de zero, pois zero elevado a qualquer potência diferente de zero é zero. Essa ambigüidade pode ser eliminada pela condição a≠0. E quando a<0 teríamos que rejeitar a análise dos valores racionais e irracionais do logaritmo, pois um grau com expoente racional e irracional é definido apenas para bases não negativas. É por esta razão que a condição é estipulada a>0.

E a última condição b>0 segue da desigualdade a>0, já que x = log α b, e o valor do grau com base positiva a sempre positivo.

Características dos logaritmos.

Logaritmos caracterizado por distintivo características, o que levou ao seu uso generalizado para facilitar significativamente cálculos meticulosos. Ao passar “para o mundo dos logaritmos”, a multiplicação é transformada em uma adição muito mais fácil, a divisão é transformada em subtração e a exponenciação e extração de raiz são transformadas, respectivamente, em multiplicação e divisão pelo expoente.

A formulação de logaritmos e uma tabela de seus valores (para funções trigonométricas) foi publicada pela primeira vez em 1614 pelo matemático escocês John Napier. As tabelas logarítmicas, ampliadas e detalhadas por outros cientistas, foram amplamente utilizadas em cálculos científicos e de engenharia, e permaneceram relevantes até o uso de calculadoras eletrônicas e computadores.

Hoje vamos falar sobre fórmulas logarítmicas e daremos indicativos exemplos de solução.

Eles próprios implicam padrões de solução de acordo com as propriedades básicas dos logaritmos. Antes de aplicar fórmulas logarítmicas para resolver, vamos lembrá-lo de todas as propriedades:

Agora, com base nessas fórmulas (propriedades), mostraremos exemplos de resolução de logaritmos.

Exemplos de resolução de logaritmos com base em fórmulas.

Logaritmo um número positivo b na base a (denotado por log a b) é um expoente ao qual a deve ser elevado para obter b, com b > 0, a > 0 e 1.

De acordo com a definição, log a b = x, que equivale a a x = b, portanto log a a x = x.

Logaritmos, exemplos:

log 2 8 = 3, porque 2 3 = 8

log 7 49 = 2, porque 7 2 = 49

log 5 1/5 = -1, porque 5 -1 = 1/5

Logaritmo decimal- este é um logaritmo comum, cuja base é 10. É denotado como lg.

log 10 100 = 2, porque 10 2 = 100

Logaritmo natural- também um logaritmo comum, um logaritmo, mas com base e (e = 2,71828... - um número irracional). Denotado como ln.

É aconselhável memorizar as fórmulas ou propriedades dos logaritmos, pois precisaremos delas posteriormente na resolução de logaritmos, equações logarítmicas e desigualdades. Vamos trabalhar cada fórmula novamente com exemplos.

• Identidade logarítmica básica
  um log a b = b

  8 2log 8 3 = (8 2log 8 3) 2 = 3 2 = 9

• O logaritmo do produto é igual à soma dos logaritmos
  log a (bc) = log a b + log a c

  log 3 8,1 + log 3 10 = log 3 (8,1*10) = log 3 81 = 4

• O logaritmo do quociente é igual à diferença dos logaritmos
  log a (b/c) = log a b - log a c

  9 log 5 50 /9 log 5 2 = 9 log 5 50- log 5 2 = 9 log 5 25 = 9 2 = 81

• Propriedades da potência de um número logarítmico e da base do logaritmo

  Expoente do número logarítmico log a b m = mlog a b

  Expoente da base do logaritmo log a n b =1/n*log a b

  log a n b m = m/n*log a b,

  se m = n, obtemos log a n b n = log a b

  log 4 9 = log 2 2 3 2 = log 2 3

• Transição para uma nova fundação
  log a b = log c b/log c a,

  se c = b, obtemos log b b = 1

  então log a b = 1/log b a

  log 0,8 3*log 3 1,25 = log 0,8 3*log 0,8 1,25/log 0,8 3 = log 0,8 1,25 = log 4/5 5/4 = -1

Como você pode ver, as fórmulas dos logaritmos não são tão complicadas quanto parecem. Agora, depois de examinar exemplos de resolução de logaritmos, podemos passar para as equações logarítmicas. Veremos exemplos de resolução de equações logarítmicas com mais detalhes no artigo: "". Não perca!

Se você ainda tiver dúvidas sobre a solução, escreva-as nos comentários do artigo.

Nota: decidimos obter uma turma diferente de ensino e estudar no exterior como opção.