Para resolver equações diferenciais, é necessário conhecer o valor da variável dependente e suas derivadas para determinados valores da variável independente. Se condições adicionais forem especificadas para um valor da incógnita, ou seja, variável independente., então esse problema é chamado de problema de Cauchy. Se as condições iniciais forem especificadas para dois ou mais valores da variável independente, o problema será chamado de problema de valor limite. Ao resolver equações diferenciais de vários tipos, a função cujos valores precisam ser determinados é calculada na forma de uma tabela.

Classificação dos métodos numéricos de resolução de diferenciais. Nv. Tipos.

Problema de Cauchy – passo único: métodos de Euler, métodos de Runge-Kutta; – multi-etapas: Método principal, método Adams. Problema de fronteira – um método para reduzir um problema de fronteira ao problema de Cauchy; – método das diferenças finitas.

Ao resolver o problema de Cauchy, a dif. deve ser especificada. você. ordem n ou sistema de dif. você. primeira ordem de n equações e n condições adicionais para sua solução. Condições adicionais devem ser especificadas para o mesmo valor da variável independente. Ao resolver um problema de fronteira, as equações devem ser especificadas. enésima ordem ou um sistema de n equações e n condições adicionais para dois ou mais valores da variável independente. Ao resolver o problema de Cauchy, a função necessária é determinada discretamente na forma de uma tabela com um certo passo especificado . Ao determinar cada valor sucessivo, você pode usar informações sobre um ponto anterior. Nesse caso, os métodos são chamados de uma etapa, ou você pode usar informações sobre vários pontos anteriores - métodos de várias etapas.

Equações diferenciais ordinárias. Problema de Cauchy. Métodos de uma etapa. Método de Euler.

Dado: g(x,y)y+h(x,y)=0, y=-h(x,y)/g(x,y)= f(x,y), x 0 , y( x 0)=y 0 . É conhecido: f(x,y), x 0 , y 0 . Determine a solução discreta: x i , y i , i=0,1,…,n. O método de Euler é baseado na expansão de uma função em uma série de Taylor na vizinhança do ponto x 0 . A vizinhança é descrita pelo passo h. y(x 0 +h)y(x 0)+hy(x 0)+…+ (1). O método de Euler leva em consideração apenas dois termos da série de Taylor. Vamos introduzir algumas notações. A fórmula de Euler terá a forma: y i+1 =y i +y i, y i =hy(x i)=hf(x i,y i), y i+1 =y i +hf(x i,y i) (2), eu= 0,1,2…, x eu+1 =x eu +h

A fórmula (2) é a fórmula do método de Euler simples.

Interpretação geométrica da fórmula de Euler

Para obter uma solução numérica, utiliza-se a reta tangente que passa pela equação. tangente: y=y(x 0)+y(x 0)(x-x 0), x=x 1,

y 1 =y(x 0)+f(x 0 ,y 0)  (x-x 0), porque

x-x 0 =h, então y 1 =y 0 +hf(x 0 ,y 0), f(x 0 ,y 0)=tg £.

Método de Euler modificado

Dado: y=f(x,y), y(x 0)=y 0 . É conhecido: f(x,y), x 0 , y 0 . Determine: a dependência de y em x na forma de uma função tabular discreta: x i, y i, i=0,1,…,n.

Interpretação geométrica

1) calcular a tangente do ângulo de inclinação no ponto inicial

tg £=y(x n ,y n)=f(x n ,y n)

2) Calcule o valor  y n+1 em

fim da etapa de acordo com a fórmula de Euler

 y n+1 =y n +f(x n ,y n) 3) Calcule a tangente do ângulo de inclinação

tangente no ponto n+1: tg £=y(x n+1 ,  y n+1)=f(x n+1 ,  y n+1) 4) Calcule a média aritmética dos ângulos

inclinação: tg £=½. 5) Utilizando a tangente do ângulo de inclinação, recalculamos o valor da função no ponto n+1: y n+1 =y n +htg £= y n +½h=y n +½h – fórmula do método de Euler modificado. Pode-se mostrar que o f-la resultante corresponde à expansão do f-i em uma série de Taylor, incluindo termos (até h 2). O método de Eilnra modificado, diferentemente do simples, é um método de precisão de segunda ordem, pois o erro é proporcional a h 2.

Consideramos apenas a solução para o problema de Cauchy. Um sistema de equações diferenciais ou uma equação deve ser convertida para a forma

Onde ,
–n vetores dimensionais; sim– função vetorial desconhecida; x– argumento independente,
. Em particular, se n= 1, então o sistema se transforma em uma equação diferencial. As condições iniciais são definidas da seguinte forma:
, Onde
.

Se
nas proximidades de um ponto
é contínuo e tem derivadas parciais contínuas em relação a sim, então o teorema da existência e unicidade garante que existe apenas uma função vetorial contínua
, definido em alguns vizinhança de um ponto , satisfazendo a equação (7) e a condição
.

Prestemos atenção ao fato de que a vizinhança do ponto , onde a solução é determinada, pode ser muito pequena. Ao se aproximar do limite desta vizinhança, a solução pode ir ao infinito, oscilar com frequência infinitamente crescente, em geral, comportar-se tão mal que não pode continuar além do limite da vizinhança. Conseqüentemente, tal solução não pode ser rastreada por métodos numéricos em um segmento maior, se um for especificado na definição do problema.

Resolvendo o problema de Cauchy em [ a; b] é uma função. Nos métodos numéricos, a função é substituída por uma tabela (Tabela 1).

tabela 1

Aqui
,
. A distância entre nós de tabelas adjacentes geralmente é considerada constante:
,
.

Existem tabelas com etapas variáveis. A etapa da tabela é determinada pelos requisitos do problema de engenharia e não conectado com a precisão de encontrar uma solução.

Se simé um vetor, então a tabela de valores da solução terá a forma de uma tabela. 2.

mesa 2

No sistema MATHCAD, uma matriz é usada em vez de uma tabela e é transposta em relação à tabela especificada.

Resolva o problema de Cauchy com precisão ε significa obter os valores na tabela especificada (números ou vetores),
, de tal modo que
, Onde
- solução exata. É possível que a solução do segmento especificado no problema não continue. Então você precisa responder que o problema não pode ser resolvido em todo o segmento, e você precisa conseguir uma solução no segmento onde ele existe, tornando esse segmento o maior possível.

Deve ser lembrado que a solução exata
não sabemos (caso contrário, por que usar o método numérico?). Nota
deve ser justificado em alguma outra base. Via de regra, não é possível obter 100% de garantia de que a avaliação está sendo realizada. Portanto, algoritmos são usados ​​para estimar o valor
, que se mostram eficazes na maioria dos problemas de engenharia.

O princípio geral para resolver o problema de Cauchy é o seguinte. Segmento de linha [ a; b] é dividido em vários segmentos por nós de integração. Número de nós k não precisa corresponder ao número de nós eu tabela final de valores de decisão (Tabelas 1, 2). Geralmente, k > eu. Para simplificar, assumiremos que a distância entre os nós é constante,
;h chamada etapa de integração. Então, de acordo com certos algoritmos, conhecendo os valores no eu < é, calcule o valor . Quanto menor o passo h, menor será o valor será diferente do valor da solução exata
. Etapa h nesta partição já é determinado não pelos requisitos do problema de engenharia, mas pela precisão necessária para resolver o problema de Cauchy. Além disso, deve ser selecionado de forma que a mesa fique em uma única etapa. 1, 2 ajusta um número inteiro de etapas h. Neste caso os valores sim, obtido como resultado de cálculos com etapas h em pontos
, são usados ​​adequadamente na tabela. 1 ou 2.

O algoritmo mais simples para resolver o problema de Cauchy para a equação (7) é o método de Euler. A fórmula de cálculo é:

(8)

Vamos ver como é avaliada a precisão da solução encontrada. Vamos fingir que
é a solução exata do problema de Cauchy, e também que
, embora isso quase sempre não seja o caso. Então onde está a constante C depende da função
nas proximidades de um ponto
. Assim, em uma etapa da integração (encontrar uma solução), obtemos um erro da ordem . Porque é preciso tomar medidas
, então é natural esperar que o erro total no último ponto
tudo vai ficar bem
, ou seja ordem h. Portanto, o método de Euler é chamado de método de primeira ordem, ou seja, o erro tem a ordem da primeira potência do passo h. Na verdade, num passo da integração, a seguinte estimativa pode ser justificada. Deixar
– solução exata do problema de Cauchy com a condição inicial
. Está claro que
não coincide com a solução exata necessária
o problema original de Cauchy da equação (7). No entanto, em pequenos h e função "boa"
essas duas soluções exatas serão pouco diferentes. A fórmula do resto de Taylor garante que
, isso gera o erro da etapa de integração. O erro final consiste não apenas em erros em cada etapa de integração, mas também em desvios da solução exata desejada
de soluções exatas
,
, e esses desvios podem se tornar muito grandes. No entanto, a estimativa final do erro no método de Euler para uma função “boa”
ainda parece
,
.

Ao aplicar o método de Euler, o cálculo ocorre da seguinte forma. De acordo com a precisão especificada ε determinar o passo aproximado
. Determinando o número de etapas
e novamente selecione aproximadamente a etapa
. Então, novamente, ajustamos para baixo para que a cada passo a mesa. 1 ou 2 ajustam-se a um número inteiro de etapas de integração. Damos um passo h. De acordo com a fórmula (8), sabendo E , nós achamos. Por valor encontrado E
encontramos assim por diante.

O resultado resultante pode não ter, e geralmente não terá, a precisão desejada. Portanto, reduzimos o passo pela metade e aplicamos novamente o método de Euler. Comparamos os resultados da primeira aplicação do método e da segunda em idêntico pontos . Se todas as discrepâncias forem menores que a precisão especificada, o último resultado do cálculo pode ser considerado a resposta ao problema. Caso contrário, reduzimos novamente o passo pela metade e aplicamos novamente o método de Euler. Agora comparamos os resultados da última e penúltima aplicação do método, etc.

O método de Euler é usado relativamente raramente devido ao fato de que para atingir uma determinada precisão ε é necessário um grande número de etapas, na ordem de
. No entanto, se
tem descontinuidades ou derivadas descontínuas, então os métodos de ordem superior produzirão o mesmo erro que o método de Euler. Ou seja, será necessária a mesma quantidade de cálculos que no método de Euler.

Dos métodos de ordem superior, o método Runge-Kutta de quarta ordem é o mais usado. Nele os cálculos são realizados de acordo com as fórmulas

Este método, na presença de quartas derivadas contínuas da função
dá um erro em uma etapa do pedido , ou seja na notação introduzida acima,
. Em geral, no intervalo de integração, desde que a solução exata seja determinada neste intervalo, o erro de integração será da ordem de .

A seleção da etapa de integração ocorre da mesma forma descrita no método de Euler, exceto que o valor inicial aproximado da etapa é selecionado a partir da relação
, ou seja
.

A maioria dos programas usados ​​para resolver equações diferenciais usa seleção automática de etapas. A essência disso é esta. Deixe o valor já calculado . O valor é calculado
em incrementos h, escolhido durante o cálculo . Em seguida, duas etapas de integração são executadas com a etapa , ou seja nó extra é adicionado
no meio entre os nós E
. Dois valores são calculados
E
em nós
E
. O valor é calculado
, Onde p– ordem do método. Se δ é menor que a precisão especificada pelo usuário, então assume-se
. Caso contrário, escolha uma nova etapa h iguais e repita a verificação de precisão. Se durante a primeira verificação δ for muito menor que a precisão especificada, será feita uma tentativa de aumentar o passo. Para isso é calculado
no nó
em incrementos h do nó
e é calculado
em passos de 2 h do nó . O valor é calculado
. Se for menor que a precisão especificada, então a etapa 2 h considerado aceitável. Neste caso, uma nova etapa é atribuída
,
,
. Se mais precisão, então a etapa permanece a mesma.

Deve-se levar em consideração que programas com seleção automática da etapa de integração atingem a precisão especificada apenas ao realizar uma etapa. Isto ocorre devido à precisão da aproximação da solução que passa pelo ponto
, ou seja aproximação da solução
. Tais programas não levam em conta o quanto a solução
difere da solução desejada
. Portanto, não há garantia de que a precisão especificada será alcançada durante todo o intervalo de integração.

Os métodos de Euler e Runge-Kutta descritos pertencem ao grupo dos métodos de uma etapa. Isso significa que para calcular
no ponto
basta saber o significado no nó . É natural esperar que se forem utilizadas mais informações sobre uma decisão, vários valores anteriores da decisão serão levados em consideração
,
etc., então o novo valor
será possível encontrar com mais precisão. Esta estratégia é usada em métodos de múltiplas etapas. Para descrevê-los, introduzimos a notação
.

Representantes de métodos de múltiplas etapas são os métodos Adams – Bashforth:

Método k-ésimo pedido dá um erro de pedido local
ou global – ordem .

Esses métodos pertencem ao grupo de métodos de extrapolação, ou seja, o novo significado é claramente expresso através dos anteriores. Outro tipo são os métodos de interpolação. Neles, a cada passo, você tem que resolver uma equação não linear para um novo valor . Tomemos os métodos Adams – Moulton como exemplo:

Para usar esses métodos, você precisa saber vários valores no início da contagem
(seu número depende da ordem do método). Esses valores devem ser obtidos por outros métodos, por exemplo o método Runge-Kutta com um pequeno passo (para aumentar a precisão). Os métodos de interpolação, em muitos casos, revelam-se mais estáveis ​​e permitem passos maiores do que os métodos de extrapolação.

Para não resolver uma equação não linear em cada etapa dos métodos de interpolação, são utilizados métodos de correção de preditores de Adams. O resultado final é que o método de extrapolação é aplicado primeiro na etapa e o valor resultante
é substituído no lado direito do método de interpolação. Por exemplo, no método de segunda ordem

Solução numérica de equações diferenciais

Muitos problemas em ciência e tecnologia se resumem à resolução de equações diferenciais ordinárias (EDOs). EDOs são aquelas equações que contêm uma ou mais derivadas da função desejada. Em geral, a EDO pode ser escrita da seguinte forma:

Onde x é uma variável independente, é a i-ésima derivada da função desejada. n é a ordem da equação. A solução geral de uma EDO de enésima ordem contém n constantes arbitrárias, ou seja, a solução geral tem a forma .

Para selecionar uma única solução, é necessário definir n condições adicionais. Dependendo do método de especificação de condições adicionais, existem dois tipos diferentes de problemas: o problema de Cauchy e o problema do valor limite. Se condições adicionais forem especificadas em um ponto, esse problema será chamado de problema de Cauchy. As condições adicionais no problema de Cauchy são chamadas de condições iniciais. Se condições adicionais forem especificadas em mais de um ponto, ou seja, para diferentes valores da variável independente, esse problema é chamado de problema de valor limite. As próprias condições adicionais são chamadas de condições de contorno ou condições de contorno.

É claro que quando n=1 só podemos falar do problema de Cauchy.

Exemplos de configuração do problema de Cauchy:

Exemplos de problemas de valor limite:

É possível resolver tais problemas analiticamente apenas para alguns tipos especiais de equações.

Métodos numéricos para resolver o problema de Cauchy para EDOs de primeira ordem

Formulação do problema. Encontre uma solução para a EDO de primeira ordem

No segmento fornecido

Ao encontrar uma solução aproximada, assumiremos que os cálculos são realizados com um passo calculado, os nós de cálculo são os pontos de intervalo [ x 0 , x n ].

O objetivo é construir uma mesa

x eu				x n
sim eu				sim n

aqueles. Valores aproximados de y são procurados nos nós da grade.

Integrando a equação no intervalo, obtemos

Uma maneira completamente natural (mas não a única) de obter uma solução numérica é substituir a integral nela contida por alguma fórmula de quadratura de integração numérica. Se usarmos a fórmula mais simples para retângulos esquerdos de primeira ordem

,

então obtemos fórmula de Euler explícita:

Procedimento de pagamento:

Sabendo, encontramos, então etc.

Interpretação geométrica do método de Euler:

Aproveitando o que está no ponto x 0 a solução é conhecida sim(x 0)= você 0 e o valor de sua derivada, podemos escrever a equação da tangente ao gráfico da função desejada no ponto :. Com um passo pequeno o suficiente h a ordenada desta tangente, obtida substituindo o valor no lado direito, deve diferir pouco da ordenada sim(x 1) soluções sim(x) Problemas de Cauchy. Portanto, o ponto de intersecção da tangente com a reta x = x 1 pode ser considerado aproximadamente como o novo ponto de partida. Através deste ponto traçamos novamente uma linha reta, que reflete aproximadamente o comportamento da tangente no ponto. Substituindo aqui (ou seja, a intersecção com a linha x = x 2), obtemos um valor aproximado sim(x) no ponto x 2: etc Como resultado para eu-ésimo ponto obtemos a fórmula de Euler.

O método explícito de Euler possui precisão ou aproximação de primeira ordem.

Se você usar a fórmula do retângulo correto: , então chegamos ao método

Este método é chamado método de Euler implícito, uma vez que calcular um valor desconhecido a partir de um valor conhecido requer a resolução de uma equação que geralmente é não linear.

O método implícito de Euler tem precisão ou aproximação de primeira ordem.

Neste método, o cálculo consiste em duas etapas:

Este esquema também é chamado de método preditor-corretor (correção preditiva). Na primeira etapa, o valor aproximado é previsto com baixa precisão (h), e na segunda etapa essa previsão é corrigida para que o valor resultante tenha precisão de segunda ordem.

Métodos Runge-Kutta: a ideia de construir métodos Runge-Kutta explícitos p-ésima ordem é obter aproximações para os valores sim(x eu+1) de acordo com uma fórmula do formulário

…………………………………………….

Aqui a n ,b Nova Jersey , p n, – alguns números fixos (parâmetros).

Ao construir os métodos Runge – Kutta, os parâmetros da função ( a n ,b Nova Jersey , p n) são selecionados de forma a obter a ordem de aproximação desejada.

Esquema Runge-Kutta de quarta ordem de precisão:

Exemplo. Resolva o problema de Cauchy:

Considere três métodos: método de Euler explícito, método de Euler modificado, método de Runge – Kutta.

Solução exata:

Fórmulas de cálculo usando o método Euler explícito para este exemplo:

Fórmulas de cálculo do método de Euler modificado:

Fórmulas de cálculo para o método Runge – Kutta:

y1 – método de Euler, y2 – método de Euler modificado, y3 – método de Runge Kutta.

Pode-se observar que o mais preciso é o método Runge-Kutta.

Métodos numéricos para resolver sistemas de EDOs de primeira ordem

Os métodos considerados também podem ser usados ​​para resolver sistemas de equações diferenciais de primeira ordem.

Vamos mostrar isso para o caso de um sistema de duas equações de primeira ordem:

Método de Euler explícito:

Método de Euler modificado:

Esquema Runge-Kutta de quarta ordem de precisão:

Os problemas de Cauchy para equações de ordem superior também são reduzidos à resolução de sistemas de equações de EDO. Por exemplo, considere Problema de Cauchy para uma equação de segunda ordem

Vamos apresentar uma segunda função desconhecida. Então o problema de Cauchy é substituído pelo seguinte:

Aqueles. em termos do problema anterior: .

Exemplo. Encontre uma solução para o problema de Cauchy:

No segmento.

Solução exata:

Realmente:

Vamos resolver o problema usando o método de Euler explícito, modificado pelo método de Euler e Runge-Kutta com passo h=0,2.

Vamos apresentar a função.

Então obtemos o seguinte problema de Cauchy para um sistema de duas EDOs de primeira ordem:

Método de Euler explícito:

Método de Euler modificado:

Método Runge-Kutta:

Circuito de Euler:

Método de Euler modificado:

Esquema Runge-Kutta:

Máx (teoria yy) = 4 * 10 -5

Método de diferenças finitas para resolver problemas de valor limite para EDO

Formulação do problema: encontre uma solução para uma equação diferencial linear

satisfazendo as condições de contorno:. (2)

Teorema. Deixar . Então há uma solução única para o problema.

Este problema reduz-se, por exemplo, ao problema de determinação das deflexões de uma viga que é articulada nas suas extremidades.

Principais etapas do método das diferenças finitas:

1) a área de mudança contínua de argumento () é substituída por um conjunto discreto de pontos chamados nós: .

2) A função desejada do argumento contínuo x é aproximadamente substituída pela função do argumento discreto em uma determinada grade, ou seja, . A função é chamada de função de grade.

3) A equação diferencial original é substituída por uma equação de diferença em relação à função de grade. Essa substituição é chamada de aproximação de diferença.

Assim, resolver uma equação diferencial se resume a encontrar os valores da função de grade nos nós da grade, que são encontrados na resolução de equações algébricas.

Aproximação de derivadas.

Para aproximar (substituir) a primeira derivada, você pode usar as fórmulas:

- derivada de diferença à direita,

- derivada da diferença à esquerda,

Derivada de diferença central.

isto é, existem muitas maneiras possíveis de aproximar a derivada.

Todas essas definições decorrem do conceito de derivada como limite: .

Com base na aproximação diferencial da primeira derivada, podemos construir uma aproximação diferencial da segunda derivada:

Da mesma forma, podemos obter aproximações de derivadas de ordem superior.

Definição. O erro de aproximação da enésima derivada é a diferença: .

Para determinar a ordem de aproximação, é usada a expansão em série de Taylor.

Vamos considerar a aproximação da diferença à direita da primeira derivada:

Aqueles. a derivada da diferença correta tem primeiro por h ordem de aproximação.

O mesmo se aplica à derivada da diferença à esquerda.

A derivada da diferença central tem aproximação de segunda ordem.

A aproximação da segunda derivada de acordo com a fórmula (3) também possui uma segunda ordem de aproximação.

Para aproximar uma equação diferencial, é necessário substituir todas as suas derivadas pelas suas aproximações. Vamos considerar os problemas (1), (2) e substituir as derivadas em (1):

Como resultado obtemos:

(4)

A ordem de aproximação do problema original é 2, porque a segunda e a primeira derivadas são substituídas pela ordem 2 e o restante - exatamente.

Assim, ao invés das equações diferenciais (1), (2), obtém-se um sistema de equações lineares para determinação nos nós da rede.

O diagrama pode ser representado como:

ou seja, obtivemos um sistema de equações lineares com uma matriz:

Esta matriz é tridiagonal, ou seja, todos os elementos que não estão localizados na diagonal principal e nas duas diagonais adjacentes a ela são iguais a zero.

Ao resolver o sistema de equações resultante, obtemos uma solução para o problema original.

Introdução

Ao resolver problemas científicos e de engenharia, muitas vezes é necessário descrever matematicamente algum sistema dinâmico. Isso é melhor feito na forma de equações diferenciais ( DU) ou sistemas de equações diferenciais. Na maioria das vezes, esse problema surge ao resolver problemas relacionados à modelagem da cinética de reações químicas e vários fenômenos de transferência (calor, massa, momento) - transferência de calor, mistura, secagem, adsorção, ao descrever o movimento de macro e micropartículas.

Em alguns casos, uma equação diferencial pode ser transformada numa forma em que a derivada mais alta é expressa explicitamente. Esta forma de escrita é chamada de equação resolvida em relação à derivada mais alta (neste caso, a derivada mais alta está ausente no lado direito da equação):

Uma solução para uma equação diferencial ordinária é uma função y(x) que, para qualquer x, satisfaz esta equação em um certo intervalo finito ou infinito. O processo de resolução de uma equação diferencial é chamado de integração de uma equação diferencial.

Historicamente, a primeira e mais simples maneira de resolver numericamente o problema de Cauchy para uma EDO de primeira ordem é o método de Euler. Baseia-se na aproximação da derivada pela razão dos incrementos finitos das variáveis ​​​​dependentes (y) e independentes (x) entre os nós de uma grade uniforme:

onde y i+1 é o valor desejado da função no ponto x i+1.

A precisão do método de Euler pode ser melhorada se uma fórmula de integração mais precisa for usada para aproximar a integral - fórmula trapezoidal.

Esta fórmula acaba por ser implícita em relação a y i+1 (este valor está tanto no lado esquerdo como no lado direito da expressão), ou seja, é uma equação em relação a y i+1, que pode ser resolvida, por exemplo, numericamente, usando algum método iterativo (nessa forma, pode ser considerado como uma fórmula iterativa do método de iteração simples).

Composição do trabalho do curso: O trabalho do curso consiste em três partes. A primeira parte contém uma breve descrição dos métodos. Na segunda parte, a formulação e solução do problema. Na terceira parte – implementação de software em linguagem de computador

O objetivo do trabalho da unidade curricular: estudar dois métodos de resolução de equações diferenciais - o método de Euler-Cauchy e o método de Euler melhorado.

1. Parte teórica

Diferenciação numérica

Uma equação diferencial é uma equação que contém uma ou mais derivadas. Dependendo do número de variáveis ​​independentes, as equações diferenciais são divididas em duas categorias.

Equações diferenciais ordinárias (EDO)

Equações diferenciais parciais.

Equações diferenciais ordinárias são aquelas equações que contêm uma ou mais derivadas da função desejada. Eles podem ser escritos como

variável independente

A ordem mais alta incluída na equação (1) é chamada de ordem da equação diferencial.

A EDO (linear) mais simples é a equação (1) de ordem resolvida em relação à derivada

Uma solução para a equação diferencial (1) é qualquer função que, após sua substituição na equação, a transforme em uma identidade.

O principal problema associado à EDO linear é conhecido como problema de Kasha:

Encontre uma solução para a equação (2) na forma de uma função que satisfaça a condição inicial (3)

Geometricamente, isso significa que é necessário encontrar a curva integral que passa pelo ponto ) quando a igualdade (2) for satisfeita.

Numérico do ponto de vista do problema Kasha significa: é necessário construir uma tabela de valores de função que satisfaça a equação (2) e a condição inicial (3) em um segmento com um determinado passo. Geralmente assume-se que isto é, a condição inicial é especificada na extremidade esquerda do segmento.

O método numérico mais simples para resolver uma equação diferencial é o método de Euler. Baseia-se na ideia de construir graficamente uma solução para uma equação diferencial, mas este método também fornece uma forma de encontrar a função desejada em forma numérica ou em uma tabela.

Seja dada a equação (2) com a condição inicial, ou seja, o problema de Kasha foi colocado. Vamos resolver o seguinte problema primeiro. Encontre da maneira mais simples o valor aproximado da solução em um determinado ponto onde há um passo bastante pequeno. A equação (2) juntamente com a condição inicial (3) especificam a direção da tangente da curva integral desejada no ponto com coordenadas

A equação tangente tem a forma

Movendo-se ao longo desta tangente, obtemos um valor aproximado da solução no ponto:

Tendo uma solução aproximada em um ponto, pode-se repetir o procedimento descrito anteriormente: construir uma reta passando por este ponto com um coeficiente angular, e a partir dela encontrar o valor aproximado da solução no ponto

. Observe que esta reta não é tangente à curva integral real, pois o ponto não está disponível para nós, mas se for pequeno o suficiente, os valores aproximados resultantes serão próximos dos valores exatos da solução.

Continuando esta ideia, vamos construir um sistema de pontos igualmente espaçados

Obtenção de uma tabela de valores da função necessária

O método de Euler consiste em aplicar ciclicamente a fórmula

Figura 1. Interpretação gráfica do método de Euler

Os métodos de integração numérica de equações diferenciais, nos quais as soluções são obtidas de um nó para outro, são chamados de passo a passo. O método de Euler é o representante mais simples dos métodos passo a passo. Uma característica de qualquer método passo a passo é que a partir da segunda etapa, o valor inicial na fórmula (5) é aproximado, ou seja, o erro em cada etapa subsequente aumenta sistematicamente. O método mais utilizado para avaliar a precisão dos métodos passo a passo para solução numérica aproximada de EDOs é o método de passar um determinado segmento duas vezes com um passo e com um passo

1.1 Método de Euler aprimorado

A ideia principal deste método: o próximo valor calculado pela fórmula (5) será mais preciso se o valor da derivada, ou seja, o coeficiente angular da reta que substitui a curva integral no segmento, for calculado não ao longo da borda esquerda (ou seja, no ponto), mas no centro do segmento. Mas como o valor da derivada entre os pontos não é calculado, passamos para as seções duplas com centro, nas quais está o ponto, e a equação da reta assume a forma:

E a fórmula (5) assume a forma

A fórmula (7) é aplicada apenas para , portanto, os valores não podem ser obtidos a partir dela, portanto são encontrados pelo método de Euler, e para obter um resultado mais preciso fazem o seguinte: desde o início, usando a fórmula (5) eles encontram o valor

(8)

No ponto e então encontrado de acordo com a fórmula (7) com etapas

(9)

Uma vez encontrados mais cálculos em produzido pela fórmula (7)

Laboratório 1

Métodos de solução numérica

equações diferenciais ordinárias (4 horas)

Ao resolver muitos problemas físicos e geométricos, é necessário procurar uma função desconhecida com base em uma dada relação entre a função desconhecida, suas derivadas e variáveis ​​independentes. Essa proporção é chamada equação diferencial , e encontrar uma função que satisfaça a equação diferencial é chamada resolvendo uma equação diferencial.

Equação diferencial ordinária chamada igualdade

, (1)

no qual

é uma variável independente que muda em um determinado segmento, e - função desconhecida sim ( x ) e o primeiro dela n derivados. chamado ordem da equação .

A tarefa é encontrar uma função y que satisfaça a igualdade (1). Além disso, sem estipular isso separadamente, assumiremos que a solução desejada possui um ou outro grau de suavidade necessário à construção e aplicação “legal” de um ou outro método.

Existem dois tipos de equações diferenciais ordinárias

Equações sem condições iniciais

Equações com condições iniciais.

Equações sem condições iniciais são equações da forma (1).

Equação com condições iniciaisé uma equação da forma (1), na qual é necessário encontrar tal função

, que para alguns satisfaz as seguintes condições: ,

aqueles. no ponto

a função e suas primeiras derivadas assumem valores predeterminados.

Problemas de Cauchy

Ao estudar métodos para resolver equações diferenciais usando métodos aproximados tarefa principal conta Problema de Cauchy.

Consideremos o método mais popular para resolver o problema de Cauchy - o método Runge-Kutta. Este método permite construir fórmulas para calcular uma solução aproximada de quase qualquer ordem de precisão.

Vamos derivar as fórmulas do método Runge-Kutta de precisão de segunda ordem. Para fazer isso, representamos a solução como um pedaço de uma série de Taylor, descartando termos de ordem superior à segunda. Então o valor aproximado da função desejada no ponto x 1 pode ser escrito como:

(2)

Segunda derivada sim "( x 0 ) pode ser expresso através da derivada da função f ( x , sim ) , porém, no método Runge-Kutta, em vez da derivada, é utilizada a diferença

selecionando os valores dos parâmetros de acordo

Então (2) pode ser reescrito como:

sim 1 = sim 0 + h [ β f ( x 0 , sim 0 ) + α f ( x 0 + γh , sim 0 + δh )], (3)

Onde α , β , γ E δ – alguns parâmetros.

Considerando o lado direito de (3) como função do argumento h , vamos dividir em graus h :

sim 1 = sim 0 +( α + β ) h f ( x 0 , sim 0 ) + ah 2 [ γ fx ( x 0 , sim 0 ) + δ por favor ( x 0 , sim 0 )],

e selecione os parâmetros α , β , γ E δ de modo que esta expansão seja próxima de (2). Segue que

α + β =1, αγ =0,5, α δ =0,5 f ( x 0 , sim 0 ).

Usando essas equações, expressamos β , γ E δ através de parâmetros α , Nós temos

sim 1 = sim 0 + h [(1 - α ) f ( x 0 , sim 0 ) + α f ( x 0 +, sim 0 + f ( x 0 , sim 0 )], (4)

0 < α ≤ 1.

Agora, se em vez de ( x 0 , sim 0 ) em (4) substituto ( x 1 , sim 1 ), obtemos uma fórmula para calcular sim 2 – valor aproximado da função desejada no ponto x 2 .

No caso geral, o método Runge-Kutta é aplicado a uma partição arbitrária do segmento [ x 0 , X ] sobre n partes, ou seja, com passo variável

x 0 , x 1 , …, x n ; h eu = x eu+1 – x eu , x n = X. (5)

Opções α são escolhidos iguais a 1 ou 0,5. Vamos finalmente escrever as fórmulas de cálculo do método Runge-Kutta de segunda ordem com etapas variáveis ​​​​para α =1:

y eu+1 =y eu +h eu f(x eu + , sim, eu + f(x eu , y eu)), (6.1)

eu = 0, 1,…, n -1.

E α =0,5:

y eu+1 = y eu + , (6.2)

eu = 0, 1,…, n -1.

As fórmulas mais utilizadas do método Runge-Kutta são fórmulas de quarta ordem de precisão:

y eu+1 = y eu + (k 1 + 2k 2 + 2k 3 + k 4),

k 1 =f(x eu , y eu), k 2 = f(x eu + , sim, eu + k 1), (7)

k 3 = f(x eu + , sim, eu + k 2), k 4 = f(x eu +h, y eu +hk 3).

Para o método Runge-Kutta, a regra de Runge é aplicável para estimar o erro. Deixar sim ( x ; h ) – valor aproximado da solução no ponto x , obtido usando fórmulas (6.1), (6.2) ou (7) com etapas h , A p – a ordem de precisão da fórmula correspondente. Então o erro R ( h ) valores sim ( x ; h ) pode ser estimado usando um valor aproximado sim ( x ; 2 h ) soluções em um ponto x , obtido em incrementos 2 h :

(8)

Onde p =2 para fórmulas (6.1) e (6.2) e p =4 para (7).