Infelizmente, nem todos os alunos e crianças em idade escolar conhecem e amam álgebra, mas todos têm que preparar trabalhos de casa, resolver testes e fazer exames. É especialmente difícil para muitos encontrar tarefas para traçar gráficos de funções: se algo não for entendido, não concluído ou perdido em algum lugar, os erros são inevitáveis. Mas quem quer tirar notas ruins?
Você gostaria de se juntar à coorte de tailers e perdedores? Para fazer isso, você tem 2 maneiras: sentar para ler livros didáticos e preencher as lacunas de conhecimento ou usar um assistente virtual - um serviço para plotar automaticamente gráficos de funções de acordo com condições especificadas. Com ou sem decisão. Hoje vamos apresentá-lo a alguns deles.
A melhor coisa sobre Desmos.com é uma interface altamente personalizável, interatividade, a capacidade de espalhar os resultados em tabelas e armazenar seu trabalho no banco de dados de recursos gratuitamente sem limites de tempo. E a desvantagem é que o serviço não está totalmente traduzido para o russo.
Grafikus.ru
Grafikus.ru é outra notável calculadora de gráficos em russo. Além disso, ele os constrói não apenas no espaço bidimensional, mas também no espaço tridimensional.
Aqui está uma lista incompleta de tarefas com as quais este serviço lida com sucesso:
- Desenhar gráficos 2D de funções simples: linhas, parábolas, hipérboles, trigonométricas, logarítmicas, etc.
- Desenho de gráficos 2D de funções paramétricas: círculos, espirais, figuras de Lissajous e outras.
- Desenho de gráficos 2D em coordenadas polares.
- Construção de superfícies 3D de funções simples.
- Construção de superfícies 3D de funções paramétricas.
O resultado final é aberto em uma janela separada. O usuário tem opções para baixar, imprimir e copiar o link para ele. Para este último, você terá que fazer login no serviço através dos botões das redes sociais.
O plano de coordenadas Grafikus.ru suporta a alteração dos limites dos eixos, seus rótulos, o espaçamento da grade, bem como a largura e a altura do próprio plano e o tamanho da fonte.
A maior força do Grafikus.ru é a capacidade de criar gráficos 3D. Caso contrário, não funciona nem pior nem melhor do que os recursos analógicos.
Onlinecharts.ru
O assistente online Onlinecharts.ru não cria gráficos, mas gráficos de quase todos os tipos existentes. Incluindo:
- Linear.
- Colunar.
- Circular.
- com regiões.
- Radial.
- gráficos XY.
- Bolha.
- Ponto.
- Touros Polares.
- Pirâmides.
- Velocímetros.
- Coluna-linear.
O recurso é muito fácil de usar. A aparência do gráfico (cor de fundo, grade, linhas, ponteiros, formato de canto, fontes, transparência, efeitos especiais, etc.) é totalmente definida pelo usuário. Os dados para construção podem ser inseridos manualmente ou importados de uma tabela em um arquivo CSV armazenado em um computador. O resultado final está disponível para download em um PC como um arquivo de imagem, PDF, CSV ou SVG, bem como para salvar online na hospedagem de fotos ImageShack.Us ou em sua conta pessoal Onlinecharts.ru. A primeira opção pode ser usada por todos, a segunda - apenas registradas.
1. Função fracionária linear e seu gráfico
Uma função da forma y = P(x) / Q(x), onde P(x) e Q(x) são polinômios, é chamada de função racional fracionária.
Você provavelmente já está familiarizado com o conceito de números racionais. De forma similar funções racionais são funções que podem ser representadas como um quociente de dois polinômios.
Se uma função racional fracionária é um quociente de duas funções lineares - polinômios de primeiro grau, ou seja, função de visualização
y = (ax + b) / (cx + d), então é chamado de linear fracionário.
Observe que na função y = (ax + b) / (cx + d), c ≠ 0 (caso contrário a função se torna linear y = ax/d + b/d) e que a/c ≠ b/d (caso contrário a função função é uma constante). A função linear-fracionária é definida para todos os números reais, exceto para x = -d/c. Gráficos de funções fracionárias lineares não diferem em forma do gráfico que você conhece y = 1/x. A curva que é o gráfico da função y = 1/x é chamada hipérbole. Com um aumento ilimitado de x em valor absoluto, a função y = 1/x diminui indefinidamente em valor absoluto e ambos os ramos do gráfico se aproximam do eixo das abcissas: o da direita se aproxima de cima e o da esquerda se aproxima de baixo. As linhas aproximadas pelos ramos de uma hipérbole são chamadas de assíntotas.
Exemplo 1
y = (2x + 1) / (x - 3).
Solução.
Vamos selecionar a parte inteira: (2x + 1) / (x - 3) = 2 + 7 / (x - 3).
Agora é fácil ver que o gráfico desta função é obtido a partir do gráfico da função y = 1/x pelas seguintes transformações: deslocamento de 3 segmentos unitários para a direita, alongamento ao longo do eixo Oy por 7 vezes e deslocamento por 2 segmentos de unidade para cima.
Qualquer fração y = (ax + b) / (cx + d) pode ser escrita da mesma forma, destacando a “parte inteira”. Consequentemente, os gráficos de todas as funções lineares-fracionárias são hipérboles deslocadas ao longo dos eixos coordenados de várias maneiras e esticadas ao longo do eixo Oy.
Para traçar um gráfico de alguma função linear-fracionária arbitrária, não é necessário transformar a fração que define essa função. Como sabemos que o gráfico é uma hipérbole, será suficiente encontrar as linhas às quais seus ramos se aproximam - as assíntotas da hipérbole x = -d/cey = a/c.
Exemplo 2
Encontre as assíntotas do gráfico da função y = (3x + 5)/(2x + 2).
Solução.
A função não está definida, para x = -1. Portanto, a linha x = -1 serve como uma assíntota vertical. Para encontrar a assíntota horizontal, vamos descobrir o que os valores da função y(x) se aproximam quando o argumento x aumenta em valor absoluto.
Para fazer isso, dividimos o numerador e o denominador da fração por x:
y = (3 + 5/x) / (2 + 2/x).
Como x → ∞ a fração tende a 3/2. Portanto, a assíntota horizontal é a linha reta y = 3/2.
Exemplo 3
Plote a função y = (2x + 1)/(x + 1).
Solução.
Selecionamos a “parte inteira” da fração:
(2x + 1) / (x + 1) = (2x + 2 - 1) / (x + 1) = 2(x + 1) / (x + 1) - 1/(x + 1) =
2 – 1/(x + 1).
Agora é fácil ver que o gráfico dessa função é obtido do gráfico da função y = 1/x pelas seguintes transformações: um deslocamento de 1 unidade para a esquerda, uma exibição simétrica em relação a Ox e um deslocamento de intervalos de 2 unidades ao longo do eixo Oy.
Domínio de definição D(y) = (-∞; -1)ᴗ(-1; +∞).
Faixa de valores E(y) = (-∞; 2)ᴗ(2; +∞).
Pontos de intersecção com eixos: c Oy: (0; 1); c Ox: (-1/2; 0). A função aumenta em cada um dos intervalos do domínio de definição.
Resposta: Figura 1.
2. Função fracionária-racional
Considere uma função racional fracionária da forma y = P(x) / Q(x), onde P(x) e Q(x) são polinômios de grau maior que o primeiro.
Exemplos de tais funções racionais:
y \u003d (x 3 - 5x + 6) / (x 7 - 6) ou y \u003d (x - 2) 2 (x + 1) / (x 2 + 3).
Se a função y = P(x) / Q(x) for um quociente de dois polinômios de grau maior que o primeiro, então seu gráfico será, via de regra, mais complicado, e às vezes pode ser difícil construí-lo exatamente , com todos os detalhes. No entanto, muitas vezes é suficiente aplicar técnicas semelhantes às que já vimos acima.
Seja a fração própria (n< m). Известно, что любую несократимую рациональную дробь можно представить, и притом единственным образом, в виде суммы конечного числа элементарных дробей, вид которых определяется разложением знаменателя дроби Q(x) в произведение действительных сомножителей:
P(x) / Q(x) \u003d A 1 / (x - K 1) m1 + A 2 / (x - K 1) m1-1 + ... + A m1 / (x - K 1) + . .. +
L 1 /(x – K s) ms + L 2 /(x – K s) ms-1 + … + L ms /(x – K s) + …+
+ (B 1 x + C 1) / (x 2 +p 1 x + q 1) m1 + … + (B m1 x + C m1) / (x 2 +p 1 x + q 1) + …+
+ (M 1 x + N 1) / (x 2 + p t x + q t) m1 + ... + (M m1 x + N m1) / (x 2 + p t x + q t).
Obviamente, o gráfico de uma função racional fracionária pode ser obtido como a soma de gráficos de frações elementares.
Traçar funções racionais fracionárias
Considere várias maneiras de traçar uma função fracional-racional.
Exemplo 4
Plote a função y = 1/x 2 .
Solução.
Usamos o gráfico da função y \u003d x 2 para traçar o gráfico y \u003d 1 / x 2 e usamos o método de "dividir" os gráficos.
Domínio D(y) = (-∞; 0)ᴗ(0; +∞).
Faixa de valores E(y) = (0; +∞).
Não há pontos de interseção com os eixos. A função é par. Aumenta para todo x do intervalo (-∞; 0), diminui para x de 0 a +∞.
Resposta: figura 2.
Exemplo 5
Plote a função y = (x 2 - 4x + 3) / (9 - 3x).
Solução.
Domínio D(y) = (-∞; 3)ᴗ(3; +∞).
y \u003d (x 2 - 4x + 3) / (9 - 3x) \u003d (x - 3) (x - 1) / (-3 (x - 3)) \u003d - (x - 1) / 3 \ u003d -x / 3 + 1/3.
Aqui usamos a técnica de fatoração, redução e redução a uma função linear.
Resposta: figura 3.
Exemplo 6
Plote a função y \u003d (x 2 - 1) / (x 2 + 1).
Solução.
O domínio de definição é D(y) = R. Como a função é par, o gráfico é simétrico em relação ao eixo y. Antes de plotar, transformamos novamente a expressão destacando a parte inteira:
y \u003d (x 2 - 1) / (x 2 + 1) \u003d 1 - 2 / (x 2 + 1).
Observe que a seleção da parte inteira na fórmula de uma função fracional-racional é uma das principais na hora de traçar gráficos.
Se x → ±∞, então y → 1, ou seja, a linha y = 1 é uma assíntota horizontal.
Resposta: Figura 4.
Exemplo 7
Considere a função y = x/(x 2 + 1) e tente encontrar exatamente seu maior valor, ou seja, o ponto mais alto na metade direita do gráfico. Para construir este gráfico com precisão, o conhecimento de hoje não é suficiente. É óbvio que nossa curva não pode "subir" muito alto, pois o denominador rapidamente começa a “ultrapassar” o numerador. Vamos ver se o valor da função pode ser igual a 1. Para fazer isso, você precisa resolver a equação x 2 + 1 \u003d x, x 2 - x + 1 \u003d 0. Esta equação não tem raízes reais. Portanto, nossa suposição está errada. Para encontrar o maior valor da função, você precisa descobrir para qual maior A a equação A \u003d x / (x 2 + 1) terá uma solução. Vamos substituir a equação original por uma quadrática: Ax 2 - x + A \u003d 0. Esta equação tem uma solução quando 1 - 4A 2 ≥ 0. A partir daqui, encontramos o maior valor A \u003d 1/2. 
Resposta: Figura 5, max y(x) = ½.
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"Função de potência grau 9" - U. Parábola cúbica. Y = x3. A professora do 9º ano Ladoshkina I.A. Y = x2. Hipérbole. 0. Y \u003d xn, y \u003d x-n onde n é um determinado número natural. X. O expoente é um número natural par (2n).
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O comprimento do segmento no eixo de coordenadas é encontrado pela fórmula:
O comprimento do segmento no plano coordenado é procurado pela fórmula:
Para encontrar o comprimento de um segmento em um sistema de coordenadas tridimensional, a seguinte fórmula é usada:
As coordenadas do meio do segmento (para o eixo de coordenadas apenas a primeira fórmula é usada, para o plano de coordenadas - as duas primeiras fórmulas, para o sistema de coordenadas tridimensional - todas as três fórmulas) são calculadas pelas fórmulas:
Funçãoé uma correspondência da forma y= f(x) entre variáveis, devido a que cada valor considerado de alguma variável x(argumento ou variável independente) corresponde a um determinado valor de outra variável, y(variável dependente, às vezes esse valor é simplesmente chamado de valor da função). Observe que a função assume que um valor do argumento X só pode haver um valor da variável dependente no. No entanto, o mesmo valor no pode ser obtido com diversos X.
Escopo da função são todos os valores da variável independente (argumento da função, geralmente X) para o qual a função é definida, ou seja. seu significado existe. O domínio de definição é indicado D(y). Em geral, você já está familiarizado com esse conceito. O escopo de uma função também é chamado de domínio de valores válidos, ou ODZ, que você pode encontrar há muito tempo.
Faixa de funções são todos os valores possíveis da variável dependente desta função. Denotado E(no).
A função aumenta no intervalo em que o maior valor do argumento corresponde ao maior valor da função. Função decrescente no intervalo em que o maior valor do argumento corresponde ao menor valor da função.
Intervalos de função são os intervalos da variável independente em que a variável dependente mantém seu sinal positivo ou negativo.
Zeros de função são aqueles valores do argumento para os quais o valor da função é igual a zero. Nesses pontos, o gráfico da função intercepta o eixo das abcissas (eixo OX). Muitas vezes, a necessidade de encontrar os zeros de uma função significa simplesmente resolver a equação. Além disso, muitas vezes a necessidade de encontrar intervalos de sinal constante significa a necessidade de simplesmente resolver a desigualdade.
Função y = f(x) são chamados até X
Isso significa que para quaisquer valores opostos do argumento, os valores da função par são iguais. O gráfico de uma função par é sempre simétrico em relação ao eixo y do amplificador operacional.
Função y = f(x) são chamados ímpar, se for definido em um conjunto simétrico e para qualquer X do domínio de definição a igualdade é cumprida:
Isso significa que para quaisquer valores opostos do argumento, os valores da função ímpar também são opostos. O gráfico de uma função ímpar é sempre simétrico em relação à origem.
A soma das raízes das funções pares e ímpares (pontos de interseção do eixo de abcissas OX) é sempre igual a zero, pois para cada raiz positiva X tem raiz negativa X.
É importante notar que algumas funções não precisam ser pares ou ímpares. Existem muitas funções que não são nem pares nem ímpares. Tais funções são chamadas funções gerais, e nenhuma das igualdades ou propriedades acima vale para eles.
Função linearé chamada de função que pode ser dada pela fórmula:
O gráfico de uma função linear é uma linha reta e no caso geral se parece com isso (um exemplo é dado para o caso em que k> 0, neste caso a função é crescente; para o caso k < 0 функция будет убывающей, т.е. прямая будет наклонена в другую сторону - слева направо):
Gráfico de função quadrática (parábola)
O gráfico de uma parábola é dado por uma função quadrática:
Uma função quadrática, como qualquer outra função, intercepta o eixo OX nos pontos que são suas raízes: ( x 1 ; 0) e ( x 2; 0). Se não houver raízes, então a função quadrática não intercepta o eixo OX, se houver uma raiz, então neste ponto ( x 0; 0) a função quadrática toca apenas o eixo OX, mas não o intercepta. Uma função quadrática sempre intercepta o eixo OY em um ponto com coordenadas: (0; c). O gráfico de uma função quadrática (parábola) pode ficar assim (a figura mostra exemplos que longe de esgotar todos os tipos possíveis de parábolas):
Em que:
- se o coeficiente uma> 0, na função y = machado 2 + bx + c, então os ramos da parábola são direcionados para cima;
- E se uma < 0, то ветви параболы направлены вниз.
As coordenadas do vértice da parábola podem ser calculadas usando as seguintes fórmulas. X tops (p- nas figuras acima) de uma parábola (ou o ponto em que o trinômio quadrado atinge seu valor máximo ou mínimo):
Y tops (q- nas figuras acima) de uma parábola ou o máximo se os ramos da parábola estiverem direcionados para baixo ( uma < 0), либо минимальное, если ветви параболы направлены вверх (uma> 0), o valor do trinômio quadrado:
Gráficos de outras funções
Função liga-desliga
Aqui estão alguns exemplos de gráficos de funções de potência:
Dependência inversamente proporcional chame a função dada pela fórmula:
Dependendo do sinal do número k Um gráfico inversamente proporcional pode ter duas opções fundamentais:
Assíntotaé a linha da qual a linha do gráfico da função se aproxima infinitamente, mas não se cruza. As assíntotas para os gráficos de proporcionalidade inversa mostrados na figura acima são os eixos coordenados, dos quais o gráfico da função se aproxima infinitamente, mas não os intercepta.
função exponencial com base uma chame a função dada pela fórmula:
uma o gráfico de uma função exponencial pode ter duas opções fundamentais (daremos também exemplos, veja abaixo):
função logarítmica chame a função dada pela fórmula:
Dependendo se o número é maior ou menor que um uma O gráfico de uma função logarítmica pode ter duas opções fundamentais:
Gráfico de funções y = |x| do seguinte modo:
Gráficos de funções periódicas (trigonométricas)
Função no = f(x) é chamado periódico, se existir tal número diferente de zero T, o que f(x + T) = f(x), para qualquer pessoa X fora do escopo da função f(x). Se a função f(x) é periódica com período T, então a função:
Onde: UMA, k, b são números constantes e k diferente de zero, também periódica com um período T 1, que é determinado pela fórmula:
A maioria dos exemplos de funções periódicas são funções trigonométricas. Aqui estão os gráficos das principais funções trigonométricas. A figura a seguir mostra parte do gráfico da função y= pecado x(todo o gráfico continua indefinidamente para a esquerda e para a direita), o gráfico da função y= pecado x chamado sinusóide:
Gráfico de funções y= cos x chamado onda cosseno. Este gráfico é mostrado na figura a seguir. Desde o gráfico do seno, ele continua indefinidamente ao longo do eixo OX para a esquerda e para a direita:
Gráfico de funções y=tg x chamado tangentóide. Este gráfico é mostrado na figura a seguir. Como os gráficos de outras funções periódicas, este gráfico se repete indefinidamente ao longo do eixo OX para a esquerda e para a direita.
E, finalmente, o gráfico da função y=ctg x chamado cotangentóide. Este gráfico é mostrado na figura a seguir. Como os gráficos de outras funções periódicas e trigonométricas, este gráfico é repetido indefinidamente ao longo do eixo OX para a esquerda e para a direita.
A implementação bem-sucedida, diligente e responsável desses três pontos permitirá que você mostre um excelente resultado no CT, o máximo do que você é capaz.
Encontrou um erro?
Se você, como parece, encontrou um erro nos materiais de treinamento, escreva sobre isso pelo correio. Você também pode escrever sobre o erro na rede social (). Na carta, indique o assunto (física ou matemática), o nome ou número do tópico ou teste, o número da tarefa ou o local no texto (página) onde, na sua opinião, há um erro. Descreva também qual é o suposto erro. Sua carta não passará despercebida, o erro será corrigido ou você será explicado por que não é um erro.
