Os sinais de pertencimento são bem conhecidos desde o curso da planimetria. Nossa tarefa é considerá-los em relação às projeções de objetos geométricos.

Um ponto pertence a um plano se pertence a uma linha situada nesse plano.

Pertencer a um plano reto é determinado por um dos dois sinais:

a) uma linha passa por dois pontos situados neste plano;

b) uma reta passa por um ponto e é paralela às retas situadas nesse plano.

Usando essas propriedades, vamos resolver o problema como um exemplo. Seja o plano dado por um triângulo abc. É necessário construir a projeção que falta D 1 ponto D pertencentes a este plano. A sequência de construções é a seguinte (Fig. 2.5).

Arroz. 2.5. Para a construção de projeções de um ponto pertencente a um plano

Através do ponto D 2 realizamos a projeção de uma linha reta d deitado no avião  abc intersectando um dos lados do triângulo e o ponto MAS 2. Então o ponto 1 2 pertence às linhas MAS 2 D 2 e C 2 NO 2. Portanto, pode-se obter sua projeção horizontal 1 1 sobre C 1 NO 1 na linha de comunicação. Conectando os pontos 1 1 e MAS 1, obtemos uma projeção horizontal d 1 . É claro que o ponto D 1 pertence a ele e fica na linha de conexão de projeção com o ponto D 2 .

É bastante simples resolver problemas para determinar se um ponto ou uma linha reta pertence a um plano. Na fig. 2.6 mostra o curso de resolver tais problemas. Para maior clareza de apresentação do problema, o plano é definido por um triângulo.

Arroz. 2.6. Tarefas para determinar a pertença de um ponto e um plano reto.

Para determinar se um ponto pertence E avião  abc, trace uma linha reta através de sua projeção frontal E 2 uma 2. Assumindo que a linha a pertence ao plano  abc, construa sua projeção horizontal uma 1 nos pontos de interseção 1 e 2. Como você pode ver (Fig. 2.6, a), a linha reta uma 1 não passa pelo ponto E 1 . Daí o ponto E abc.

No problema de pertencer a uma linha dentro plano triangular abc(Fig. 2.6, b), basta que uma das projeções da linha reta dentro 2 construir outro dentro 1 * considerando que dentro abc. Como vemos, dentro 1 * e dentro 1 não correspondem. Portanto, uma linha reta dentro   abc.

2.4. Linhas de nível de plano

A definição de linhas de nível foi dada anteriormente. As linhas de nível pertencentes a um determinado plano são chamadas a Principal . Essas linhas (linhas retas) desempenham um papel essencial na resolução de vários problemas de geometria descritiva.

Considere a construção de linhas de nível no plano especificado pelo triângulo (Fig. 2.7).

Arroz. 2.7. Construção das linhas principais do plano definido pelo triângulo

Contorno plano  abc começamos desenhando sua projeção frontal h 2 , que é conhecido por ser paralelo ao eixo OH. Como esta linha horizontal pertence ao plano dado, ela passa por dois pontos do plano  abc, ou seja, pontos MAS e 1. Tendo suas projeções frontais MAS 2 e 1 2 , ao longo da linha de comunicação obtemos projeções horizontais ( MAS 1 já existe) 1 1 . Ao ligar os pontos MAS 1 e 1 1 , temos uma projeção horizontal h 1 plano horizontal  abc. Projeção do perfil h 3 contornos planos  abc será paralelo ao eixo OH por definição.

Frente do avião  abcé construído de forma semelhante (Fig. 2.7) com a única diferença de que seu desenho começa com uma projeção horizontal f 1 , uma vez que se sabe que é paralelo ao eixo OX. Projeção do perfil f 3 frentes devem ser paralelas ao eixo OZ e passar pelas projeções A PARTIR DE 3 , 2 3 mesmos pontos A PARTIR DE e 2.

Linha de perfil plano  abc tem uma horizontal R 1 e frente R 2 projeções paralelas aos eixos OY e oz, e a projeção do perfil R 3 pode ser acessado pelo frontal usando pontos de interseção NO e 3 segundos  abc.

Ao construir as linhas principais do plano, você precisa se lembrar de apenas uma regra: para resolver o problema, você sempre precisa obter dois pontos de interseção com o plano fornecido. A construção das linhas principais situadas em um plano dado de maneira diferente não é mais difícil do que a discutida acima. Na fig. 2.8 mostra a construção do plano horizontal e frontal dado por duas linhas que se cruzam uma e dentro.

Arroz. 2.8. Construção das linhas principais do plano dada por linhas retas que se cruzam.

Ponto e linha são as principais figuras geométricas do plano.

A definição de um ponto e uma linha reta não é introduzida na geometria; esses conceitos são considerados em um nível conceitual intuitivo.

Os pontos são indicados por letras latinas maiúsculas (maiúsculas, grandes): A, B, C, D, ...

As linhas retas são indicadas por uma letra latina minúscula (pequena), por exemplo,

- linha reta A.

Uma linha reta consiste em um número infinito de pontos e não tem começo nem fim. A figura representa apenas parte de uma linha reta, mas entende-se que ela se estende infinitamente no espaço, continuando indefinidamente em ambas as direções.

Diz-se que os pontos que estão em uma linha estão nessa linha. A associação é marcada com o sinal ∈. Diz-se que os pontos fora de uma linha não pertencem a essa linha. O sinal "não pertence" é ∉.

Por exemplo, o ponto B pertence à linha a (escrito: B∈a),

o ponto F não pertence à linha a, (eles escrevem: F∉a).

As principais propriedades de pertinência de pontos e linhas no plano:

Qualquer que seja a linha, existem pontos que pertencem a essa linha e pontos que não pertencem a ela.

É possível traçar uma linha reta passando por dois pontos quaisquer, e apenas um.

As linhas também são indicadas por duas grandes letras latinas, de acordo com os nomes dos pontos que se encontram na linha.

- reta AB.

- esta linha pode ser chamada de MK ou MN ou NK.

Duas linhas podem ou não se cruzar. Se as linhas não se cruzam, elas não têm pontos comuns. Se as linhas se cruzam, elas têm um ponto comum. Sinal de cruzamento - ∩ .

Por exemplo, as linhas a e b se cruzam no ponto O

(escreva: um ∩ b=O).

As linhas c e d também se cruzam, embora seu ponto de interseção não seja mostrado na figura.

Arroz. 3.2Arranjo mútuo de linhas

As linhas no espaço podem ocupar uma das três posições em relação umas às outras:

1) ser paralelo;

2) interseção;

3) cruzar.

Paralelochamadas linhas retas que estão no mesmo plano e não têm pontos comuns.

Se as linhas são paralelas entre si, então suas projeções de mesmo nome no CC também são paralelas (ver Seção 1.2).

cruzandochamadas linhas retas situadas no mesmo plano e tendo um ponto comum.

Para linhas de interseção em CC, as projeções de mesmo nome se cruzam nas projeções do ponto MAS. Além disso, as projeções frontal () e horizontal () deste ponto devem estar na mesma linha de comunicação.

cruzamentochamadas linhas retas dispostas em planos paralelos e sem pontos comuns.

Se as linhas estiverem se cruzando, então no CC suas projeções com o mesmo nome podem se cruzar, mas os pontos de interseção das projeções com o mesmo nome não estarão na mesma linha de comunicação.

Na fig. 3,4 pontos A PARTIR DE pertence à linha b, e o ponto D- direto uma. Esses pontos estão à mesma distância do plano de projeção frontal. Pontos semelhantes E e F pertencem a linhas diferentes, mas estão à mesma distância do plano de projeção horizontal. Portanto, suas projeções frontais coincidem no CC.

Existem dois casos em que um ponto está localizado em relação a um plano: um ponto pode ou não pertencer ao plano (Fig. 3.5).

Sinal de pertencimento de um ponto e um plano reto:

O ponto pertence ao plano, se pertence a uma linha situada neste plano.

A linha pertence ao plano, se tem dois pontos em comum com ela ou tem um ponto em comum com ela e é paralela a outra reta situada neste plano.

Na fig. 3.5 mostra um plano e pontos D e E. Ponto D pertence ao avião, pois pertence à linha eu, que tem dois pontos em comum com este plano - 1 e MAS. Ponto E não pertence ao avião, porque É impossível traçar uma linha reta através dele que esteja no plano dado.

Na fig. 3.6 mostra um plano e uma linha reta t deitado neste plano, porque tem um ponto em comum com ele 1 e paralela à linha uma.

No produto cartesiano , onde M é um conjunto de pontos, introduzimos uma relação de 3 casas d. Se um triplo ordenado de pontos (A, B, C) pertence a esta relação, então diremos que o ponto B está entre os pontos A e C e usamos a notação: A-B-C. A relação introduzida deve satisfazer os seguintes axiomas:

Se o ponto B está entre os pontos A e C, então A, B, C são três pontos diferentes na mesma linha, e B está entre C e A.

Quaisquer que sejam os pontos A e B, existe pelo menos um ponto C tal que B está entre A e C.

Entre quaisquer três pontos em uma linha, há no máximo um que fica entre os outros dois.

Para formular o último, quarto axioma do segundo grupo, é conveniente introduzir a seguinte noção.

Definição 3.1. Por um segmento (de acordo com Hilbert) queremos dizer um par de pontos AB. Os pontos A e B serão chamados de extremidades do segmento, os pontos situados entre suas extremidades - os pontos internos do segmento, ou simplesmente os pontos do segmento, e os pontos da reta AB, não situados entre as extremidades A e B - os pontos externos do segmento.

. (Axioma de Pasha) Sejam A, B e C três pontos não pertencentes à mesma reta, e seja l a reta do plano ABC que não passa por esses pontos. Então, se a reta l passa por um ponto do segmento AB, então ela contém um ponto do segmento AC ou um ponto do segmento BC.

Muitas propriedades geométricas de pontos, linhas e segmentos seguem os axiomas do primeiro e segundo grupos. Pode-se provar que qualquer segmento tem pelo menos um ponto interior, entre os três pontos da reta há sempre um e apenas um entre os outros dois, entre dois pontos da reta há sempre infinitos pontos, o que significa que há são infinitos pontos na reta. Também pode ser provado que a afirmação do axioma de Pasch também é válida para pontos situados na mesma linha: se os pontos A, B e C pertencem à mesma linha, a linha l não passa por esses pontos e intercepta um dos pontos os segmentos, por exemplo, AB em um ponto interior, então ele intercepta em um ponto interior o segmento AC ou o segmento BC. Observe também que não decorre dos axiomas do primeiro e do segundo grupos que o conjunto de pontos de uma linha é incontável. Não apresentaremos provas dessas afirmações. O leitor pode se familiarizar com eles em manuais, e. Detenhamo-nos com mais detalhes nos conceitos geométricos básicos, a saber, raio, semiplano e semiespaço, que são introduzidos usando os axiomas de pertinência e ordem.

A afirmação a seguir é verdadeira:

O ponto O da reta l divide o conjunto de outros pontos desta reta em dois subconjuntos não vazios, de modo que para quaisquer dois pontos A e B pertencentes ao mesmo subconjunto, o ponto O é um ponto externo ao segmento AB, e para quaisquer dois pontos C e D pertencentes a diferentes subconjuntos, o ponto O é um ponto interior do segmento CD.

Cada um desses subconjuntos é chamado feixe linha l com origem no ponto O. Os raios serão denotados por h, l, k, …OA, OB, OC,…, onde O é o início do raio, e A, B e C são os pontos do raio. A prova desta afirmação será dada mais adiante, na Seção 7, mas usando uma axiomática diferente do espaço euclidiano tridimensional. O conceito de raio permite definir o objeto geométrico mais importante - o ângulo.

Definição 3.2.Por um ângulo (de acordo com Hilbert) queremos dizer um par de raios h e k tendo uma origem comum O e não estando em uma linha reta.

O ponto O é chamado de vértice do ângulo, e as semirretas h e k são seus lados. Para ângulos, usaremos a notação . Considere o conceito mais importante da geometria elementar - o conceito de meio plano.

Teorema 3.1.A reta a no plano a divide seu conjunto de pontos que não pertencem à reta em dois subconjuntos não vazios, de modo que se os pontos A e B pertencem ao mesmo subconjunto, então o segmento AB não tem pontos comuns com a linha l, e se os pontos A e B B pertencem a diferentes subconjuntos, então o segmento AB intercepta a linha l em seu ponto interior.

Prova. Na prova, usaremos a seguinte propriedade da relação de equivalência. Se uma relação binária é introduzida em algum conjunto, que é uma relação de equivalência, ou seja, satisfaz as condições de reflexividade, simetria e transitividade, então todo o conjunto é dividido em subconjuntos não-intersecionais - classes de equivalência, e quaisquer dois elementos pertencem à mesma classe se e somente se forem equivalentes.

Considere o conjunto de pontos no plano que não pertencem à reta a. Vamos supor que dois pontos A e B estão na relação binária d: AdB se e somente se não houver pontos interiores no segmento AB que pertençam à reta a. Também vamos considerar Digamos que qualquer ponto está em uma relação binária d consigo mesmo. Mostremos que para qualquer ponto A que não pertence à reta a, existem pontos diferentes de A, estando e não estando com ela em uma relação binária. Escolhemos um ponto arbitrário P da reta a (veja a Fig. 6). Então, de acordo com o axioma, existe um ponto B da reta AP tal que P-A-B. A reta AB intercepta a em um ponto P, que não está entre os pontos A e B, então os pontos A e B estão em relação a d. De acordo com o mesmo axioma, existe um ponto C tal que A-P-C. Portanto, o ponto P está entre A e C, os pontos A e C não estão em relação a d.

Vamos provar que a relação d é uma relação de equivalência. A condição de reflexividade é obviamente satisfeita em virtude da definição da relação binária d: AdA. Sejam os pontos A e B em relação a d. Então não há pontos da reta a no segmento AB. Segue-se que não há pontos da reta a no segmento BA, portanto BdA, a relação de simetria é satisfeita. Sejam, finalmente, dados três pontos A, B e C tais que AdB e BdC. Mostremos que os pontos A e C estão na relação binária d. Suponha o contrário, no segmento AC existe um ponto P da reta a (Fig. 7). Então, em virtude do axioma , o axioma de Pasha, a linha a intercepta o segmento BC ou o segmento AB (na Fig. 7, a linha a intercepta o segmento BC). Chegamos a uma contradição, pois decorre das condições AdB e BdC que a reta a não intercepta esses segmentos. Assim, a relação d é uma relação de equivalência e divide o conjunto de pontos do plano que não pertencem à reta a em classes de equivalência.

Vamos verificar se existem exatamente duas dessas classes de equivalência. Para fazer isso, basta provar que se os pontos A e C e B e C não são equivalentes, então os pontos A e B são, por sua vez, equivalentes entre si. Como os pontos A e C e B e C não estão na relação de equivalência d, a reta a intercepta os segmentos AC e BC nos pontos P e Q (ver Fig. 7). Mas então, em virtude do axioma de Pasha, esta linha não pode cruzar o segmento AB. Portanto, os pontos A e B são equivalentes entre si. O teorema foi provado.

Cada uma das classes de equivalência definidas no Teorema 3.2 é chamada semiplano. Assim, qualquer linha reta de um plano o divide em dois semiplanos, para os quais serve fronteira.

Da mesma forma que o conceito de meio-plano, o conceito de meio-espaço é introduzido. Um teorema é provado, que afirma que qualquer plano a do espaço divide pontos do espaço em dois conjuntos. Um segmento, cujas extremidades são pontos de um conjunto, não tem pontos em comum com o plano a. Se as extremidades de um segmento pertencem a conjuntos diferentes, então tal segmento tem como ponto interior do plano a. A prova desta asserção é semelhante à prova do Teorema 3.2; não a apresentaremos aqui.

Vamos definir o conceito de um ponto interior de um ângulo. Seja dado um ângulo. Considere a linha OA contendo o raio OA, o lado desse ângulo. É claro que os pontos do raio OB pertencem ao mesmo semiplano a em relação à linha OA. Da mesma forma, os pontos do raio OA, os lados do ângulo dado, pertencem ao mesmo semiplano b, cuja fronteira é OB direto (Fig. 8). Os pontos pertencentes à intersecção dos semiplanos a e b são chamados pontos internosângulo. Na figura 8, o ponto M é um ponto interno. O conjunto de todos os pontos internos de um ângulo é chamado de região interna. Uma semi-reta cujo vértice coincide com o vértice de um ângulo e todos os seus pontos são interiores chama-se viga internaângulo. A Figura 8 mostra o raio interno h do ângulo AOB.

As seguintes afirmações são verdadeiras.

dez. Se um raio com origem no vértice de um ângulo contém pelo menos um de seus pontos internos, então é um raio interno desse ângulo.

vinte . Se as extremidades do segmento estiverem localizadas em dois lados diferentes do ângulo, qualquer ponto interno do segmento é um ponto interno do ângulo.

trinta . Qualquer raio interno de um ângulo intercepta um segmento cujas extremidades estão nos lados do ângulo.

Consideraremos as provas dessas afirmações mais adiante, na Seção 5. Usando os axiomas do segundo grupo, definimos os conceitos de linha quebrada, triângulo, polígono, o conceito de região interna de um polígono simples, e está provado que um polígono simples divide um plano em duas regiões, interna e externa em relação a ele.

O terceiro grupo de axiomas de Hilbert do espaço euclidiano tridimensional são os chamados axiomas de congruência. Seja S o conjunto dos segmentos, A o conjunto dos ângulos. Nos produtos cartesianos e introduzimos relações binárias, que chamaremos de relação de congruência.

Note que a relação assim introduzida não é a relação dos objetos principais da axiomática considerada, ou seja, pontos de retas e planos. É possível introduzir o terceiro grupo de axiomas apenas quando os conceitos de segmento e ângulo são definidos, ou seja, o primeiro e segundo grupos de axiomas de Hilbert são introduzidos.

Também concordamos em chamar segmentos ou ângulos congruentes também geometricamente iguais ou simplesmente segmentos ou ângulos iguais, o termo "congruente", no caso em que isso não leve a mal-entendidos, será substituído pelo termo "igual" e denotado pelo símbolo "=".