) e o denominador pelo denominador (obtemos o denominador do produto).

Fórmula de multiplicação de frações:

Por exemplo:

Antes de prosseguir com a multiplicação de numeradores e denominadores, é necessário verificar a possibilidade de redução de fração. Se você conseguir reduzir a fração, será mais fácil continuar fazendo cálculos.

Divisão de uma fração ordinária por uma fração.

Divisão de frações envolvendo um número natural.

Não é tão assustador quanto parece. Como no caso da adição, convertemos um inteiro em uma fração com uma unidade no denominador. Por exemplo:

Multiplicação de frações mistas.

Regras para multiplicar frações (mistas):

• converter frações mistas em impróprias;
• multiplique os numeradores e denominadores das frações;
• reduzimos a fração;
• se obtivermos uma fração imprópria, convertemos a fração imprópria em uma mista.

Observação! Para multiplicar uma fração mista por outra fração mista, primeiro você precisa trazê-las para a forma de frações impróprias e depois multiplicar de acordo com a regra para multiplicar frações ordinárias.

A segunda maneira de multiplicar uma fração por um número natural.

É mais conveniente usar o segundo método de multiplicar uma fração ordinária por um número.

Observação! Para multiplicar uma fração por um número natural, é necessário dividir o denominador da fração por esse número e deixar o numerador inalterado.

A partir do exemplo acima, fica claro que esta opção é mais conveniente de usar quando o denominador de uma fração é dividido sem resto por um número natural.

Frações multiníveis.

No ensino médio, muitas vezes são encontradas frações de três andares (ou mais). Exemplo:

Para trazer essa fração à sua forma usual, a divisão por 2 pontos é usada:

Observação! Ao dividir frações, a ordem de divisão é muito importante. Tenha cuidado, é fácil ficar confuso aqui.

Observação, por exemplo:

Ao dividir um por qualquer fração, o resultado será a mesma fração, apenas invertida:

Dicas práticas para multiplicar e dividir frações:

1. A coisa mais importante ao trabalhar com expressões fracionárias é a precisão e a atenção. Faça todos os cálculos com cuidado e precisão, de forma concentrada e clara. É melhor escrever algumas linhas extras em um rascunho do que ficar confuso nos cálculos em sua cabeça.

2. Em tarefas com diferentes tipos de frações - vá para o tipo de frações ordinárias.

3. Reduzimos todas as frações até que não seja mais possível reduzir.

4. Transformamos expressões fracionárias de vários níveis em expressões ordinárias, usando a divisão por 2 pontos.

5. Nós dividimos a unidade em uma fração em nossa mente, simplesmente virando a fração.

Com frações, você pode realizar todas as ações, incluindo a divisão. Este artigo mostra a divisão de frações ordinárias. Definições serão dadas, exemplos serão considerados. Detenhamo-nos na divisão de frações por números naturais e vice-versa. Será considerada a divisão de uma fração ordinária por um número misto.

Divisão de frações ordinárias

A divisão é o inverso da multiplicação. Ao dividir, o fator desconhecido está no produto conhecido e outro fator, onde seu significado dado é preservado com frações ordinárias.

Se for necessário dividir a fração ordinária a b por c d, para determinar esse número, você precisa multiplicar pelo divisor c d, isso acabará dando o dividendo a b. Vamos pegar um número e escrevê-lo a b · d c , onde d c é o inverso do número c d. As igualdades podem ser escritas usando as propriedades da multiplicação, a saber: a b d c c d = a b d c c d = a b 1 = a b , onde a expressão a b d c é o quociente da divisão de a b por c d .

A partir daqui, obtemos e formulamos a regra para dividir frações ordinárias:

Definição 1

Para dividir uma fração ordinária a b por c d, é necessário multiplicar o dividendo pelo inverso do divisor.

Vamos escrever a regra como uma expressão: a b: c d = a b d c

As regras da divisão são reduzidas à multiplicação. Para cumpri-lo, você precisa ser bem versado na execução da multiplicação de frações comuns.

Vamos passar para a divisão de frações ordinárias.

Exemplo 1

Execute a divisão 9 7 por 5 3 . Escreva o resultado como uma fração.

Solução

O número 5 3 é o recíproco de 3 5 . Você deve usar a regra para dividir frações ordinárias. Escrevemos esta expressão da seguinte forma: 9 7: 5 3 \u003d 9 7 3 5 \u003d 9 3 7 5 \u003d 27 35.

Responda: 9 7: 5 3 = 27 35 .

Ao reduzir frações, você deve destacar a parte inteira se o numerador for maior que o denominador.

Exemplo 2

Divida 8 15: 24 65 . Escreva a resposta como uma fração.

Solução

A solução é passar da divisão para a multiplicação. Escrevemos desta forma: 8 15: 24 65 = 2 2 2 5 13 3 5 2 2 2 3 = 13 3 3 = 13 9

É necessário fazer uma redução, e isso é feito da seguinte forma: 8 65 15 24 \u003d 2 2 2 5 13 3 5 2 2 2 3 \u003d 13 3 3 \u003d 13 9

Selecionamos a parte inteira e obtemos 13 9 = 1 4 9 .

Responda: 8 15: 24 65 = 1 4 9 .

Divisão de uma fração extraordinária por um número natural

Usamos a regra de dividir uma fração por um número natural: para dividir a b por um número natural n, você precisa multiplicar apenas o denominador por n. Daqui obtemos a expressão: a b: n = a b · n .

A regra da divisão é uma consequência da regra da multiplicação. Portanto, representar um número natural como uma fração dará uma igualdade deste tipo: a b: n \u003d a b: n 1 \u003d a b 1 n \u003d a b n.

Considere esta divisão de uma fração por um número.

Exemplo 3

Divida a fração 1645 pelo número 12.

Solução

Aplique a regra para dividir uma fração por um número. Obtemos uma expressão como 16 45: 12 = 16 45 12 .

Vamos reduzir a fração. Obtemos 16 45 12 = 2 2 2 2 (3 3 5) (2 2 3) = 2 2 3 3 3 5 = 4 135 .

Responda: 16 45: 12 = 4 135 .

Divisão de um número natural por uma fração comum

A regra de divisão é semelhante cerca de a regra de dividir um número natural por uma fração ordinária: para dividir um número natural n por um ordinário a b , é necessário multiplicar o número n pelo inverso da fração a b .

Com base na regra, temos n: a b \u003d n b a, e graças à regra de multiplicar um número natural por uma fração ordinária, obtemos nossa expressão na forma n: a b \u003d n b a. É necessário considerar esta divisão com um exemplo.

Exemplo 4

Divida 25 por 15 28 .

Solução

Precisamos passar da divisão para a multiplicação. Escrevemos na forma de uma expressão 25: 15 28 = 25 28 15 = 25 28 15 . Vamos reduzir a fração e obter o resultado na forma de uma fração 46 2 3 .

Responda: 25: 15 28 = 46 2 3 .

Divisão de uma fração comum por um número misto

Ao dividir uma fração comum por um número misto, você pode facilmente dividir frações comuns. Você precisa converter um número misto em uma fração imprópria.

Exemplo 5

Divida a fração 35 16 por 3 1 8 .

Solução

Como 3 1 8 é um número misto, vamos representá-lo como uma fração imprópria. Então temos 3 1 8 = 3 8 + 1 8 = 25 8 . Agora vamos dividir as frações. Obtemos 35 16: 3 1 8 = 35 16: 25 8 = 35 16 8 25 = 35 8 16 25 = 5 7 2 2 2 2 2 2 2 (5 5) = 7 10

Responda: 35 16: 3 1 8 = 7 10 .

A divisão de um número misto é feita da mesma forma que os números comuns.

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Conteúdo da lição

Somando frações com os mesmos denominadores

A adição de frações é de dois tipos:

1. Somando frações com os mesmos denominadores
2. Adicionando frações com denominadores diferentes

Vamos começar adicionando frações com os mesmos denominadores. Tudo é simples aqui. Para adicionar frações com os mesmos denominadores, você precisa adicionar seus numeradores e deixar o denominador inalterado. Por exemplo, vamos adicionar as frações e . Adicionamos os numeradores e deixamos o denominador inalterado:

Este exemplo pode ser facilmente entendido se pensarmos em uma pizza dividida em quatro partes. Se você adicionar pizza a pizza, você obtém pizza:

Exemplo 2 Adicione frações e .

A resposta é uma fração imprópria. Se o fim da tarefa chegar, é costume se livrar das frações impróprias. Para se livrar de uma fração imprópria, você precisa selecionar a parte inteira nela. No nosso caso, a parte inteira é alocada facilmente - dois dividido por dois é igual a um:

Este exemplo pode ser facilmente entendido se pensarmos em uma pizza dividida em duas partes. Se você adicionar mais pizzas à pizza, obterá uma pizza inteira:

Exemplo 3. Adicione frações e .

Novamente, adicione os numeradores e deixe o denominador inalterado:

Este exemplo pode ser facilmente entendido se pensarmos em uma pizza dividida em três partes. Se você adicionar mais pizzas à pizza, você obterá pizzas:

Exemplo 4 Encontrar o valor de uma expressão

Este exemplo é resolvido exatamente da mesma maneira que os anteriores. Os numeradores devem ser somados e o denominador mantido inalterado:

Vamos tentar representar nossa solução usando uma imagem. Se você adicionar pizzas a uma pizza e adicionar mais pizzas, receberá 1 pizza inteira e mais pizzas.

Como você pode ver, adicionar frações com os mesmos denominadores não é difícil. Basta entender as seguintes regras:

1. Para somar frações com o mesmo denominador, você precisa somar seus numeradores e deixar o denominador inalterado;

Adicionando frações com denominadores diferentes

Agora vamos aprender como somar frações com denominadores diferentes. Ao adicionar frações, os denominadores dessas frações devem ser os mesmos. Mas nem sempre são iguais.

Por exemplo, frações podem ser adicionadas porque têm os mesmos denominadores.

Mas frações não podem ser somadas de uma só vez, porque essas frações têm denominadores diferentes. Nesses casos, as frações devem ser reduzidas ao mesmo denominador (comum).

Existem várias maneiras de reduzir frações ao mesmo denominador. Hoje consideraremos apenas um deles, pois o restante dos métodos pode parecer complicado para um iniciante.

A essência deste método está no fato de que o primeiro (LCM) dos denominadores de ambas as frações é procurado. Então o LCM é dividido pelo denominador da primeira fração e o primeiro fator adicional é obtido. Eles fazem o mesmo com a segunda fração - o LCM é dividido pelo denominador da segunda fração e o segundo fator adicional é obtido.

Em seguida, os numeradores e denominadores das frações são multiplicados por seus fatores adicionais. Como resultado dessas ações, frações com denominadores diferentes se transformam em frações com denominadores iguais. E já sabemos como somar essas frações.

Exemplo 1. Adicione frações e

Em primeiro lugar, encontramos o mínimo múltiplo comum dos denominadores de ambas as frações. O denominador da primeira fração é o número 3, e o denominador da segunda fração é o número 2. O mínimo múltiplo comum desses números é 6

LCM (2 e 3) = 6

Agora de volta às frações e . Primeiro, dividimos o MMC pelo denominador da primeira fração e obtemos o primeiro fator adicional. LCM é o número 6, e o denominador da primeira fração é o número 3. Divida 6 por 3, temos 2.

O número 2 resultante é o primeiro fator adicional. Escrevemos na primeira fração. Para fazer isso, fazemos uma pequena linha oblíqua acima da fração e anotamos o fator adicional encontrado acima dela:

Fazemos o mesmo com a segunda fração. Dividimos o MMC pelo denominador da segunda fração e obtemos o segundo fator adicional. LCM é o número 6, e o denominador da segunda fração é o número 2. Divida 6 por 2, temos 3.

O número 3 resultante é o segundo fator adicional. Escrevemos na segunda fração. Novamente, fazemos uma pequena linha oblíqua acima da segunda fração e escrevemos o fator adicional encontrado acima dela:

Agora estamos todos prontos para adicionar. Resta multiplicar os numeradores e denominadores das frações por seus fatores adicionais:

Olhe atentamente para o que chegamos. Chegamos à conclusão de que frações com denominadores diferentes se transformam em frações com denominadores iguais. E já sabemos como somar essas frações. Vamos completar este exemplo até o final:

Assim termina o exemplo. Para adicioná-lo acontece.

Vamos tentar representar nossa solução usando uma imagem. Se você adicionar pizzas a uma pizza, obterá uma pizza inteira e outro sexto de uma pizza:

A redução de frações ao mesmo denominador (comum) também pode ser representada usando uma imagem. Trazendo as frações e para um denominador comum, obtemos as frações e . Essas duas frações serão representadas pelas mesmas fatias de pizza. A única diferença será que desta vez serão divididos em partes iguais (reduzidas ao mesmo denominador).

O primeiro desenho mostra uma fração (quatro peças de seis) e a segunda foto mostra uma fração (três peças de seis). Juntando essas peças, obtemos (sete peças de seis). Esta fração está incorreta, então destacamos a parte inteira nela. O resultado foi (uma pizza inteira e outra sexta pizza).

Observe que pintamos este exemplo com muitos detalhes. Nas instituições de ensino não é costume escrever de forma tão detalhada. Você precisa ser capaz de encontrar rapidamente o MMC de ambos os denominadores e fatores adicionais a eles, bem como multiplicar rapidamente os fatores adicionais encontrados por seus numeradores e denominadores. Enquanto na escola, teríamos que escrever este exemplo da seguinte forma:

Mas há também o outro lado da moeda. Se notas detalhadas não forem feitas nos primeiros estágios do estudo da matemática, então perguntas do tipo “De onde vem esse número?”, “Por que as frações de repente se transformam em frações completamente diferentes? «.

Para facilitar a adição de frações com denominadores diferentes, você pode usar as seguintes instruções passo a passo:

1. Encontre o MMC dos denominadores das frações;
2. Divida o MMC pelo denominador de cada fração e obtenha um multiplicador adicional para cada fração;
3. Multiplique os numeradores e denominadores das frações por seus fatores adicionais;
4. Adicione frações que tenham os mesmos denominadores;
5. Se a resposta for uma fração imprópria, selecione sua parte inteira;

Exemplo 2 Encontrar o valor de uma expressão .

Vamos usar as instruções acima.

Etapa 1. Encontre o MMC dos denominadores das frações

Encontre o MMC dos denominadores de ambas as frações. Os denominadores das frações são os números 2, 3 e 4

Etapa 2. Divida o LCM pelo denominador de cada fração e obtenha um multiplicador adicional para cada fração

Divida o MMC pelo denominador da primeira fração. LCM é o número 12, e o denominador da primeira fração é o número 2. Divida 12 por 2, obtemos 6. Obtemos o primeiro fator adicional 6. Escrevemos sobre a primeira fração:

Agora dividimos o MMC pelo denominador da segunda fração. LCM é o número 12, e o denominador da segunda fração é o número 3. Divida 12 por 3, obtemos 4. Obtemos o segundo fator adicional 4. Escrevemos sobre a segunda fração:

Agora dividimos o MMC pelo denominador da terceira fração. LCM é o número 12, e o denominador da terceira fração é o número 4. Divida 12 por 4, obtemos 3. Obtemos o terceiro fator adicional 3. Escrevemos sobre a terceira fração:

Etapa 3. Multiplique os numeradores e denominadores das frações por seus fatores adicionais

Multiplicamos os numeradores e denominadores pelos nossos fatores adicionais:

Etapa 4. Adicione frações que tenham os mesmos denominadores

Chegamos à conclusão de que frações que tinham denominadores diferentes se transformavam em frações que tinham os mesmos denominadores (comuns). Resta adicionar essas frações. Adicionar:

A adição não coube em uma linha, então movemos a expressão restante para a próxima linha. Isso é permitido em matemática. Quando uma expressão não cabe em uma linha, ela é transferida para a próxima linha, sendo necessário colocar um sinal de igual (=) no final da primeira linha e no início de uma nova linha. O sinal de igual na segunda linha indica que esta é uma continuação da expressão que estava na primeira linha.

Etapa 5. Se a resposta for uma fração imprópria, selecione a parte inteira nela

Nossa resposta é uma fração imprópria. Devemos destacar toda a parte dela. Destacamos:

Obteve uma resposta

Subtração de frações com os mesmos denominadores

Existem dois tipos de subtração de fração:

1. Subtração de frações com os mesmos denominadores
2. Subtração de frações com denominadores diferentes

Primeiro, vamos aprender a subtrair frações com os mesmos denominadores. Tudo é simples aqui. Para subtrair outra de uma fração, você precisa subtrair o numerador da segunda fração do numerador da primeira fração e deixar o denominador o mesmo.

Por exemplo, vamos encontrar o valor da expressão . Para resolver este exemplo, é necessário subtrair o numerador da segunda fração do numerador da primeira fração e deixar o denominador inalterado. Vamos fazer isso:

Este exemplo pode ser facilmente entendido se pensarmos em uma pizza dividida em quatro partes. Se você cortar pizzas de uma pizza, você recebe pizzas:

Exemplo 2 Encontre o valor da expressão.

Novamente, do numerador da primeira fração, subtraia o numerador da segunda fração e deixe o denominador inalterado:

Este exemplo pode ser facilmente entendido se pensarmos em uma pizza dividida em três partes. Se você cortar pizzas de uma pizza, você recebe pizzas:

Exemplo 3 Encontrar o valor de uma expressão

Este exemplo é resolvido exatamente da mesma maneira que os anteriores. Do numerador da primeira fração, você precisa subtrair os numeradores das frações restantes:

Como você pode ver, não há nada complicado em subtrair frações com os mesmos denominadores. Basta entender as seguintes regras:

1. Para subtrair outra de uma fração, você precisa subtrair o numerador da segunda fração do numerador da primeira fração e deixar o denominador inalterado;
2. Se a resposta for uma fração imprópria, você precisará selecionar a parte inteira nela.

Subtração de frações com denominadores diferentes

Por exemplo, uma fração pode ser subtraída de uma fração, pois essas frações têm os mesmos denominadores. Mas uma fração não pode ser subtraída de uma fração, porque essas frações têm denominadores diferentes. Nesses casos, as frações devem ser reduzidas ao mesmo denominador (comum).

O denominador comum é encontrado de acordo com o mesmo princípio que usamos ao somar frações com denominadores diferentes. Em primeiro lugar, encontre o MMC dos denominadores de ambas as frações. Então o MMC é dividido pelo denominador da primeira fração e o primeiro fator adicional é obtido, que é escrito sobre a primeira fração. Da mesma forma, o MMC é dividido pelo denominador da segunda fração e um segundo fator adicional é obtido, que é escrito sobre a segunda fração.

As frações são então multiplicadas por seus fatores adicionais. Como resultado dessas operações, frações com denominadores diferentes se transformam em frações com denominadores iguais. E já sabemos como subtrair tais frações.

Exemplo 1 Encontre o valor de uma expressão:

Essas frações têm denominadores diferentes, então você precisa trazê-las para o mesmo denominador (comum).

Primeiro, encontramos o MMC dos denominadores de ambas as frações. O denominador da primeira fração é o número 3, e o denominador da segunda fração é o número 4. O mínimo múltiplo comum desses números é 12

LCM (3 e 4) = 12

Agora de volta às frações e

Vamos encontrar um fator adicional para a primeira fração. Para fazer isso, dividimos o MMC pelo denominador da primeira fração. LCM é o número 12, e o denominador da primeira fração é o número 3. Divida 12 por 3, obtemos 4. Escrevemos o quatro sobre a primeira fração:

Fazemos o mesmo com a segunda fração. Dividimos o MMC pelo denominador da segunda fração. LCM é o número 12, e o denominador da segunda fração é o número 4. Divida 12 por 4, temos 3. Escreva um triplo sobre a segunda fração:

Agora estamos todos prontos para a subtração. Resta multiplicar as frações por seus fatores adicionais:

Chegamos à conclusão de que frações com denominadores diferentes se transformam em frações com denominadores iguais. E já sabemos como subtrair tais frações. Vamos completar este exemplo até o final:

Obteve uma resposta

Vamos tentar representar nossa solução usando uma imagem. Se você cortar pizzas de uma pizza, você recebe pizzas.

Esta é a versão detalhada da solução. Estando na escola, teríamos que resolver este exemplo de uma forma mais curta. Tal solução ficaria assim:

A redução de frações e a um denominador comum também pode ser representada usando uma imagem. Trazendo essas frações para um denominador comum, obtemos as frações e . Essas frações serão representadas pelas mesmas fatias de pizza, mas desta vez serão divididas nas mesmas frações (reduzidas ao mesmo denominador):

O primeiro desenho mostra uma fração (oito peças de doze), e a segunda foto mostra uma fração (três peças de doze). Ao cortar três pedaços de oito pedaços, obtemos cinco pedaços de doze. A fração descreve essas cinco peças.

Exemplo 2 Encontrar o valor de uma expressão

Essas frações têm denominadores diferentes, então primeiro você precisa trazê-las para o mesmo denominador (comum).

Encontre o MMC dos denominadores dessas frações.

Os denominadores das frações são os números 10, 3 e 5. O mínimo múltiplo comum desses números é 30

LCM(10, 3, 5) = 30

Agora encontramos fatores adicionais para cada fração. Para fazer isso, dividimos o MMC pelo denominador de cada fração.

Vamos encontrar um fator adicional para a primeira fração. LCM é o número 30, e o denominador da primeira fração é o número 10. Divida 30 por 10, obtemos o primeiro fator adicional 3. Escrevemos sobre a primeira fração:

Agora encontramos um fator adicional para a segunda fração. Divida o MMC pelo denominador da segunda fração. LCM é o número 30, e o denominador da segunda fração é o número 3. Divida 30 por 3, obtemos o segundo fator adicional 10. Escrevemos sobre a segunda fração:

Agora encontramos um fator adicional para a terceira fração. Divida o MMC pelo denominador da terceira fração. LCM é o número 30, e o denominador da terceira fração é o número 5. Divida 30 por 5, obtemos o terceiro fator adicional 6. Escrevemos sobre a terceira fração:

Agora tudo está pronto para a subtração. Resta multiplicar as frações por seus fatores adicionais:

Chegamos à conclusão de que frações que tinham denominadores diferentes se transformavam em frações que tinham os mesmos denominadores (comuns). E já sabemos como subtrair tais frações. Vamos terminar este exemplo.

A continuação do exemplo não caberá em uma linha, então movemos a continuação para a próxima linha. Não se esqueça do sinal de igual (=) na nova linha:

A resposta acabou sendo uma fração correta, e tudo parece nos convém, mas é muito complicado e feio. Devemos facilitar. O que pode ser feito? Você pode reduzir essa fração.

Para reduzir uma fração, você precisa dividir seu numerador e denominador por (mdc) os números 20 e 30.

Então, encontramos o MDC dos números 20 e 30:

Agora voltamos ao nosso exemplo e dividimos o numerador e denominador da fração pelo MDC encontrado, ou seja, por 10

Obteve uma resposta

Multiplicando uma fração por um número

Para multiplicar uma fração por um número, você precisa multiplicar o numerador da fração dada por esse número e deixar o denominador o mesmo.

Exemplo 1. Multiplique a fração pelo número 1.

Multiplique o numerador da fração pelo número 1

A entrada pode ser entendida como demorando metade 1 vez. Por exemplo, se você pegar pizza 1 vez, você ganha pizza

Pelas leis da multiplicação, sabemos que se o multiplicando e o multiplicador forem trocados, o produto não mudará. Se a expressão for escrita como , o produto ainda será igual a . Novamente, a regra para multiplicar um inteiro e uma fração funciona:

Esta entrada pode ser entendida como tendo metade da unidade. Por exemplo, se houver 1 pizza inteira e levarmos metade, teremos pizza:

Exemplo 2. Encontrar o valor de uma expressão

Multiplique o numerador da fração por 4

A resposta é uma fração imprópria. Vamos pegar uma parte inteira:

A expressão pode ser entendida como tendo dois quartos 4 vezes. Por exemplo, se você comer pizzas 4 vezes, você ganha duas pizzas inteiras.

E se trocarmos o multiplicando e o multiplicador em lugares, obtemos a expressão. Também será igual a 2. Esta expressão pode ser entendida como tirar duas pizzas de quatro pizzas inteiras:

Multiplicação de frações

Para multiplicar frações, você precisa multiplicar seus numeradores e denominadores. Se a resposta for uma fração imprópria, você precisa selecionar a parte inteira nela.

Exemplo 1 Encontre o valor da expressão.

Obteve uma resposta. É desejável reduzir esta fração. A fração pode ser reduzida em 2. Então a solução final terá a seguinte forma:

A expressão pode ser entendida como tirar uma pizza de meia pizza. Digamos que temos meia pizza:

Como tirar dois terços desta metade? Primeiro você precisa dividir essa metade em três partes iguais:

E pegue dois desses três pedaços:

Nós vamos pegar pizza. Lembre-se de como é uma pizza dividida em três partes:

Uma fatia desta pizza e as duas fatias que tiramos terão as mesmas dimensões:

Em outras palavras, estamos falando do mesmo tamanho de pizza. Portanto, o valor da expressão é

Exemplo 2. Encontrar o valor de uma expressão

Multiplique o numerador da primeira fração pelo numerador da segunda fração e o denominador da primeira fração pelo denominador da segunda fração:

A resposta é uma fração imprópria. Vamos pegar uma parte inteira:

Exemplo 3 Encontrar o valor de uma expressão

Multiplique o numerador da primeira fração pelo numerador da segunda fração e o denominador da primeira fração pelo denominador da segunda fração:

A resposta acabou sendo uma fração correta, mas será boa se for reduzida. Para reduzir essa fração, você precisa dividir o numerador e o denominador dessa fração pelo máximo divisor comum (MDC) dos números 105 e 450.

Então, vamos encontrar o MDC dos números 105 e 450:

Agora dividimos o numerador e o denominador de nossa resposta ao MDC que encontramos agora, ou seja, por 15

Representando um inteiro como uma fração

Qualquer número inteiro pode ser representado como uma fração. Por exemplo, o número 5 pode ser representado como . A partir disso, o cinco não mudará seu significado, pois a expressão significa “o número cinco dividido por um”, e isso, como você sabe, é igual a cinco:

Números reversos

Agora vamos nos familiarizar com um tópico muito interessante em matemática. Chama-se "números reversos".

Definição. Reverter para númerouma é o número que, multiplicado poruma dá uma unidade.

Vamos substituir nesta definição em vez de uma variável uma número 5 e tente ler a definição:

Reverter para número 5 é o número que, multiplicado por 5 dá uma unidade.

É possível encontrar um número que, quando multiplicado por 5, dê um? Acontece que você pode. Vamos representar cinco como uma fração:

Em seguida, multiplique essa fração por ela mesma, apenas troque o numerador e o denominador. Em outras palavras, vamos multiplicar a fração por ela mesma, apenas invertida:

Qual será o resultado disso? Se continuarmos a resolver este exemplo, obtemos um:

Isso significa que o inverso do número 5 é o número, pois quando 5 é multiplicado por um, obtém-se um.

O recíproco também pode ser encontrado para qualquer outro inteiro.

Você também pode encontrar o recíproco para qualquer outra fração. Para fazer isso, basta virá-lo.

Divisão de uma fração por um número

Digamos que temos meia pizza:

Vamos dividi-lo igualmente entre dois. Quantas pizzas cada um receberá?

Pode-se ver que após dividir metade da pizza, foram obtidos dois pedaços iguais, cada um dos quais compõe uma pizza. Então todo mundo ganha uma pizza.

A divisão de frações é feita usando recíprocos. Os recíprocos permitem que você substitua a divisão pela multiplicação.

Para dividir uma fração por um número, você precisa multiplicar essa fração pelo inverso do divisor.

Usando esta regra, vamos escrever a divisão da nossa metade da pizza em duas partes.

Então, você precisa dividir a fração pelo número 2. Aqui o dividendo é uma fração e o divisor é 2.

Para dividir uma fração pelo número 2, você precisa multiplicar essa fração pelo inverso do divisor 2. O inverso do divisor 2 é uma fração. Então você precisa multiplicar por

Uma fração é uma ou mais partes de um todo, que geralmente é tomado como uma unidade (1). Tal como acontece com os números naturais, você pode realizar todas as operações aritméticas básicas com frações (adição, subtração, divisão, multiplicação), para isso você precisa conhecer os recursos de trabalhar com frações e distinguir entre seus tipos. Existem vários tipos de frações: decimais e ordinárias, ou simples. Cada tipo de frações tem suas próprias especificidades, mas depois de descobrir como lidar com elas uma vez, você poderá resolver qualquer exemplo com frações, pois conhecerá os princípios básicos para realizar cálculos aritméticos com frações. Vejamos exemplos de como dividir uma fração por um inteiro usando diferentes tipos de frações.

Como dividir uma fração por um número natural?
Frações ordinárias ou simples são chamadas de frações que são escritas como uma razão de números em que o dividendo (numerador) é indicado no topo da fração e o divisor (denominador) da fração é indicado abaixo. Como dividir tal fração por um inteiro? Vejamos um exemplo! Digamos que precisamos dividir 8/12 por 2.

Para fazer isso, devemos executar uma série de ações:
Assim, se nos depararmos com a tarefa de dividir uma fração por um inteiro, o esquema de solução será algo assim:

Da mesma forma, você pode dividir qualquer fração ordinária (simples) por um inteiro.

Como dividir um decimal por um inteiro?
Uma fração decimal é uma fração que é obtida dividindo uma unidade em dez, mil e assim por diante. As operações aritméticas com frações decimais são bastante simples.

Considere um exemplo de como dividir uma fração por um inteiro. Digamos que precisamos dividir a fração decimal 0,925 pelo número natural 5.

Resumindo, vamos nos concentrar em dois pontos principais que são importantes ao realizar a operação de divisão de frações decimais por um inteiro:

• para dividir uma fração decimal por um número natural, é usada a divisão em uma coluna;
  
• uma vírgula é colocada no privado quando a divisão da parte inteira do dividendo é concluída.
  

Ao aplicar essas regras simples, você sempre pode dividir facilmente qualquer decimal ou fração por um número inteiro.

Da última vez, aprendemos como somar e subtrair frações (veja a lição "Adição e subtração de frações"). O momento mais difícil dessas ações foi trazer as frações para um denominador comum.

Agora é hora de lidar com multiplicação e divisão. A boa notícia é que essas operações são ainda mais fáceis do que a adição e a subtração. Para começar, considere o caso mais simples, quando há duas frações positivas sem uma parte inteira distinta.

Para multiplicar duas frações, você precisa multiplicar seus numeradores e denominadores separadamente. O primeiro número será o numerador da nova fração e o segundo será o denominador.

Para dividir duas frações, você precisa multiplicar a primeira fração pela segunda "invertida".

Designação:

Da definição segue-se que a divisão de frações se reduz à multiplicação. Para inverter uma fração, basta trocar o numerador e o denominador. Portanto, toda a lição consideraremos principalmente a multiplicação.

Como resultado da multiplicação, uma fração reduzida pode surgir (e muitas vezes surge) - é claro, ela deve ser reduzida. Se, após todas as reduções, a fração estiver incorreta, toda a parte deve ser distinguida nela. Mas o que exatamente não vai acontecer com a multiplicação é a redução a um denominador comum: não há métodos cruzados, fatores máximos e mínimos múltiplos comuns.

Por definição temos:

Multiplicação de frações com parte inteira e frações negativas

Se houver uma parte inteira nas frações, elas devem ser convertidas em impróprias - e só então multiplicadas de acordo com os esquemas descritos acima.

Se houver um menos no numerador de uma fração, no denominador ou na frente dela, ele pode ser retirado dos limites de multiplicação ou removido completamente de acordo com as seguintes regras:

1. Mais vezes menos dá menos;
2. Duas negativas fazem uma afirmativa.

Até agora, essas regras só eram encontradas na adição e subtração de frações negativas, quando era necessário se livrar da parte inteira. Para um produto, eles podem ser generalizados para “queimar” vários pontos negativos de uma só vez:

1. Nós riscamos os pontos negativos em pares até que eles desapareçam completamente. Em um caso extremo, um menos pode sobreviver - aquele que não encontrou uma correspondência;
2. Se não houver menos, a operação está concluída - você pode começar a multiplicar. Se o último menos não estiver riscado, já que não encontrou um par, o retiramos dos limites da multiplicação. Você obtém uma fração negativa.

Uma tarefa. Encontre o valor da expressão:

Traduzimos todas as frações em impróprias e, em seguida, tiramos as menos fora dos limites da multiplicação. O que resta é multiplicado de acordo com as regras usuais. Nós temos:

Deixe-me lembrá-lo mais uma vez que o menos que vem antes de uma fração com uma parte inteira destacada refere-se especificamente à fração inteira, e não apenas à sua parte inteira (isso se aplica aos dois últimos exemplos).

Preste atenção também aos números negativos: quando multiplicados, eles são colocados entre colchetes. Isso é feito para separar os sinais de menos dos sinais de multiplicação e tornar toda a notação mais precisa.

Reduzindo frações em tempo real

A multiplicação é uma operação muito trabalhosa. Os números aqui são bem grandes e, para simplificar a tarefa, você pode tentar reduzir ainda mais a fração antes da multiplicação. De fato, em essência, os numeradores e denominadores das frações são fatores ordinários e, portanto, podem ser reduzidos usando a propriedade básica de uma fração. Dê uma olhada nos exemplos:

Uma tarefa. Encontre o valor da expressão:

Por definição temos:

Em todos os exemplos, os números que foram reduzidos e o que resta deles estão marcados em vermelho.

Atenção: no primeiro caso, os multiplicadores foram reduzidos completamente. As unidades permaneceram em seu lugar, o que, em geral, pode ser omitido. No segundo exemplo, não foi possível obter uma redução completa, mas a quantidade total de cálculos ainda diminuiu.

No entanto, em nenhum caso, não use essa técnica ao adicionar e subtrair frações! Sim, às vezes há números semelhantes que você só quer reduzir. Olhe aqui:

Você não pode fazer isso!

O erro ocorre devido ao fato de que ao somar uma fração, a soma aparece no numerador de uma fração, e não no produto de números. Portanto, é impossível aplicar a propriedade principal de uma fração, pois essa propriedade trata especificamente da multiplicação de números.

Simplesmente não há outro motivo para reduzir frações, então a solução correta para o problema anterior é assim:

A decisão certa:

Como você pode ver, a resposta correta acabou não sendo tão bonita. Em geral, tenha cuidado.