Poliedros
O principal objeto de estudo da estereometria são os corpos tridimensionais. Corpoé uma parte do espaço limitada por alguma superfície.
poliedro Um corpo cuja superfície consiste em um número finito de polígonos planos é chamado. Um poliedro é chamado convexo se estiver em um lado do plano de cada polígono plano em sua superfície. A parte comum de tal plano e a superfície de um poliedro é chamada borda. As faces de um poliedro convexo são polígonos convexos planos. Os lados das faces são chamados bordas do poliedro, e os vértices vértices do poliedro.
Por exemplo, um cubo consiste em seis quadrados que são suas faces. Ele contém 12 arestas (lados dos quadrados) e 8 vértices (vértices dos quadrados).
Os poliedros mais simples são os prismas e as pirâmides, que estudaremos mais adiante.
Prisma
Definição e propriedades de um prisma
prismaé chamado de poliedro consistindo de dois polígonos planos dispostos em planos paralelos combinados por translação paralela e todos os segmentos conectando os pontos correspondentes desses polígonos. Os polígonos são chamados bases de prisma, e os segmentos que ligam os vértices correspondentes dos polígonos são bordas laterais do prisma.
Altura do prisma chamado de distância entre os planos de suas bases (). Um segmento que conecta dois vértices de um prisma que não pertencem à mesma face é chamado prisma diagonal(). O prisma é chamado n-carvão se sua base for um n-gon.
Qualquer prisma tem as seguintes propriedades, que decorrem do fato de que as bases do prisma são combinadas por tradução paralela:
1. As bases do prisma são iguais.
2. As arestas laterais do prisma são paralelas e iguais.
A superfície de um prisma é formada por bases e superfície lateral. A superfície lateral do prisma consiste em paralelogramos (isso decorre das propriedades do prisma). A área da superfície lateral de um prisma é a soma das áreas das faces laterais.
prisma reto
O prisma é chamado direto se suas arestas laterais são perpendiculares às bases. Caso contrário, o prisma é chamado oblíquo.
As faces de um prisma reto são retângulos. A altura de um prisma reto é igual a suas faces laterais.
superfície completa do prismaé a soma da área da superfície lateral e das áreas das bases.
Prisma corretoé chamado de prisma reto com um polígono regular na base.
Teorema 13.1. A área da superfície lateral de um prisma reto é igual ao produto do perímetro e a altura do prisma (ou, equivalentemente, à aresta lateral).
Prova. As faces laterais de um prisma reto são retângulos cujas bases são os lados dos polígonos nas bases do prisma e as alturas são as arestas laterais do prisma. Então, por definição, a área de superfície lateral é:
,
onde é o perímetro da base de um prisma reto.
Paralelepípedo
Se paralelogramos estão nas bases de um prisma, então ele é chamado paralelepípedo. Todas as faces de um paralelepípedo são paralelogramos. Neste caso, as faces opostas do paralelepípedo são paralelas e iguais.
Teorema 13.2. As diagonais do paralelepípedo se cruzam em um ponto e o ponto de interseção é dividido ao meio.
Prova. Considere duas diagonais arbitrárias, por exemplo, e . Porque as faces do paralelepípedo são paralelogramos, então e , o que significa que de acordo com T cerca de duas retas paralelas ao terceiro . Além disso, isso significa que as linhas e estão no mesmo plano (o plano). Este plano intercepta planos paralelos e ao longo de linhas paralelas e . Assim, um quadrilátero é um paralelogramo, e pela propriedade de um paralelogramo, suas diagonais e se cruzam e o ponto de interseção é dividido ao meio, o que precisava ser provado.
Um paralelepípedo reto cuja base é um retângulo é chamado cubóide. Todas as faces de um paralelepípedo são retângulos. Os comprimentos das arestas não paralelas de um paralelepípedo retangular são chamados de suas dimensões lineares (medidas). Existem três tamanhos (largura, altura, comprimento).
Teorema 13.3. Em um paralelepípedo, o quadrado de qualquer diagonal é igual à soma dos quadrados de suas três dimensões 
(comprovado pela aplicação de T pitagórico duas vezes).
Um paralelepípedo retangular em que todas as arestas são iguais é chamado de cubo.
Tarefas
13.1 Quantas diagonais tem n- Prisma de carbono
13.2 Em um prisma triangular inclinado, as distâncias entre as arestas laterais são 37, 13 e 40. Encontre a distância entre a face lateral maior e a aresta do lado oposto.
13.3 Através do lado da base inferior de um prisma triangular regular, traça-se um plano que intercepta as faces laterais ao longo de segmentos, cujo ângulo entre os quais é . Encontre o ângulo de inclinação deste plano para a base do prisma.
Prismas diferentes são diferentes uns dos outros. Ao mesmo tempo, eles têm muito em comum. Para encontrar a área da base de um prisma, você precisa descobrir de que tipo ele se parece.
Teoria geral
Um prisma é qualquer poliedro cujos lados têm a forma de um paralelogramo. Além disso, qualquer poliedro pode estar em sua base - de um triângulo a um n-gon. Além disso, as bases do prisma são sempre iguais entre si. O que não se aplica às faces laterais - elas podem variar significativamente em tamanho.
Ao resolver problemas, não é apenas a área da base do prisma que é encontrada. Pode ser necessário conhecer a superfície lateral, ou seja, todas as faces que não são bases. A superfície cheia já será a união de todas as faces que compõem o prisma.
Às vezes, as alturas aparecem nas tarefas. É perpendicular às bases. A diagonal de um poliedro é um segmento que conecta em pares quaisquer dois vértices que não pertencem à mesma face.
Deve-se notar que a área da base de um prisma reto ou inclinado não depende do ângulo entre eles e as faces laterais. Se eles tiverem as mesmas figuras nas faces superior e inferior, suas áreas serão iguais.
Prisma triangular
Tem na base uma figura com três vértices, ou seja, um triângulo. Sabe-se que é diferente. Se então basta lembrar que sua área é determinada pela metade do produto das pernas.
A notação matemática fica assim: S = ½ av.
Para descobrir a área da base de forma geral, as fórmulas são úteis: Heron e aquela em que metade do lado é levado à altura desenhada para ele.
A primeira fórmula deve ser escrita assim: S \u003d √ (p (p-a) (p-in) (p-s)). Essa entrada contém um semiperímetro (p), ou seja, a soma de três lados dividido por dois.
Segundo: S = ½ n a * a.
Se você deseja conhecer a área da base de um prisma triangular, que é regular, o triângulo acaba sendo equilátero. Tem sua própria fórmula: S = ¼ a 2 * √3.
prisma quadrangular
Sua base é qualquer um dos quadriláteros conhecidos. Pode ser um retângulo ou um quadrado, um paralelepípedo ou um losango. Em cada caso, para calcular a área da base do prisma, você precisará de sua própria fórmula.
Se a base for um retângulo, então sua área é determinada da seguinte forma: S = av, onde a, b são os lados do retângulo.
Quando se trata de um prisma quadrangular, a área da base de um prisma regular é calculada usando a fórmula de um quadrado. Porque é ele quem está na base. S \u003d a 2.
No caso de a base ser um paralelepípedo, será necessária a seguinte igualdade: S \u003d a * n a. Acontece que um lado de um paralelepípedo e um dos ângulos são dados. Então, para calcular a altura, você precisará usar uma fórmula adicional: na \u003d b * sin A. Além disso, o ângulo A é adjacente ao lado "b" e a altura é na oposta a esse ângulo.
Se um losango estiver na base do prisma, será necessária a mesma fórmula para determinar sua área como para um paralelogramo (já que é um caso especial dele). Mas você também pode usar este: S = ½ d 1 d 2. Aqui d 1 e d 2 são duas diagonais do losango.
Prisma pentagonal regular
Este caso envolve dividir o polígono em triângulos, cujas áreas são mais fáceis de descobrir. Embora aconteça que as figuras possam estar com um número diferente de vértices.
Como a base do prisma é um pentágono regular, ele pode ser dividido em cinco triângulos equiláteros. Então a área da base do prisma é igual à área de um desses triângulos (a fórmula pode ser vista acima), multiplicada por cinco.
Prisma hexagonal regular
De acordo com o princípio descrito para um prisma pentagonal, é possível dividir o hexágono de base em 6 triângulos equiláteros. A fórmula para a área da base desse prisma é semelhante à anterior. Somente nele deve ser multiplicado por seis.
A fórmula ficará assim: S = 3/2 e 2 * √3.
Tarefas
Nº 1. Uma linha reta regular é fornecida. Sua diagonal é de 22 cm, a altura do poliedro é de 14 cm. Calcule a área da base do prisma e de toda a superfície.
Solução. A base de um prisma é um quadrado, mas seu lado não é conhecido. Você pode encontrar seu valor a partir da diagonal do quadrado (x), que está relacionada à diagonal do prisma (d) e sua altura (n). x 2 \u003d d 2 - n 2. Por outro lado, este segmento "x" é a hipotenusa de um triângulo cujos catetos são iguais ao lado do quadrado. Ou seja, x 2 \u003d a 2 + a 2. Assim, verifica-se que um 2 \u003d (d 2 - n 2) / 2.
Substitua o número 22 em vez de d e substitua "n" por seu valor - 14, verifica-se que o lado do quadrado é de 12 cm. Agora é fácil descobrir a área da base: 12 * 12 \u003d 144 cm 2 .
Para descobrir a área de toda a superfície, você precisa adicionar o dobro do valor da área da base e quadruplicar o lado. Este último é fácil de encontrar pela fórmula de um retângulo: multiplique a altura do poliedro pelo lado da base. Ou seja, 14 e 12, esse número será igual a 168 cm 2. A área total da superfície do prisma é de 960 cm 2 .
Responda. A área da base do prisma é de 144 cm2. Toda a superfície - 960 cm 2 .
Não. 2. Dana Na base encontra-se um triângulo com lado de 6 cm. Neste caso, a diagonal da face lateral é de 10 cm. Calcule as áreas: a base e a superfície lateral.
Solução. Como o prisma é regular, sua base é um triângulo equilátero. Portanto, sua área é igual a 6 ao quadrado vezes ¼ e a raiz quadrada de 3. Um cálculo simples leva ao resultado: 9√3 cm 2. Esta é a área de uma base do prisma.
Todas as faces laterais são iguais e são retângulos com lados de 6 e 10 cm. Para calcular suas áreas, basta multiplicar esses números. Em seguida, multiplique-os por três, porque o prisma tem exatamente tantas faces laterais. Em seguida, a área da superfície lateral é enrolada em 180 cm 2 .
Responda.Áreas: base - 9√3 cm 2, superfície lateral do prisma - 180 cm 2.
Definição 1. Superfície prismática
Teorema 1. Em seções paralelas de uma superfície prismática
Definição 2. Seção perpendicular de uma superfície prismática
Definição 3. Prisma
Definição 4. Altura do prisma
Definição 5. Prisma direto
Teorema 2. A área da superfície lateral do prisma
Paralelepípedo:
Definição 6. Paralelepípedo
Teorema 3. Na intersecção das diagonais de um paralelepípedo
Definição 7. Paralelepípedo direito
Definição 8. Paralelepípedo retangular
Definição 9. Dimensões de um paralelepípedo
Definição 10. Cubo
Definição 11. Romboedro
Teorema 4. Nas diagonais de um paralelepípedo retangular
Teorema 5. Volume de um prisma
Teorema 6. Volume de um prisma reto
Teorema 7. Volume de um paralelepípedo retangular
prisma um poliedro é chamado, no qual duas faces (bases) estão em planos paralelos, e as arestas que não estão nessas faces são paralelas entre si.
Faces que não sejam bases são chamadas lateral.
Os lados das faces laterais e bases são chamados bordas de prisma, as extremidades das arestas são chamadas topos do prisma. Costelas laterais chamadas arestas que não pertencem às bases. A união das faces laterais é chamada superfície lateral do prisma, e a união de todas as faces é chamada toda a superfície do prisma. Altura do prisma chamada perpendicular baixada do ponto da base superior ao plano da base inferior ou o comprimento desta perpendicular. 
prisma reto chamado de prisma, no qual as arestas laterais são perpendiculares aos planos das bases. 
correto chamado de prisma reto (Fig. 3), na base do qual se encontra um polígono regular.
Designações:
l - costela lateral;
P - perímetro da base;
S o - área da base;
H - altura;
P ^ - perímetro da seção perpendicular;
S b - área de superfície lateral;
V - volume;
S p - área da superfície total do prisma.
|
V=SH |
*Supõe-se que a cada dois planos consecutivos se interceptam e que o último plano intercepta o primeiro.
Teorema 1 . Seções de uma superfície prismática por planos paralelos entre si (mas não paralelos às suas arestas) são polígonos iguais.
Sejam ABCDE e A"B"C"D"E" seções de uma superfície prismática por dois planos paralelos. Para garantir que esses dois polígonos são iguais, basta mostrar que os triângulos ABC e A"B"C" são iguais e têm o mesmo sentido de rotação e que o mesmo vale para os triângulos ABD e A"B"D", ABE e A"B"E". Mas os lados correspondentes desses triângulos são paralelos (por exemplo, AC é paralelo a A "C") como as linhas de interseção de um determinado plano com dois planos paralelos; segue-se que esses lados são iguais (por exemplo, AC é igual a A"C") como lados opostos de um paralelogramo, e que os ângulos formados por esses lados são iguais e têm a mesma direção.
Definição 2 . Uma seção perpendicular de uma superfície prismática é uma seção dessa superfície por um plano perpendicular às suas arestas. Com base no teorema anterior, todas as seções perpendiculares de uma mesma superfície prismática serão polígonos iguais.
Definição 3
. Um prisma é um poliedro limitado por uma superfície prismática e dois planos paralelos entre si (mas não paralelos às arestas da superfície prismática)
As faces situadas nestes últimos planos são chamadas bases de prisma; faces pertencentes a uma superfície prismática - faces laterais; bordas da superfície prismática - bordas laterais do prisma. Em virtude do teorema anterior, as bases do prisma são polígonos iguais. Todas as faces laterais do prisma paralelogramos; todas as arestas laterais são iguais entre si.
É óbvio que se a base do prisma ABCDE e uma das arestas AA" são dadas em magnitude e direção, então é possível construir um prisma desenhando as arestas BB", CC", .., iguais e paralelas a a borda AA".
Definição 4 . A altura de um prisma é a distância entre os planos de suas bases (HH").
Definição 5
. Um prisma é chamado de linha reta se suas bases são seções perpendiculares de uma superfície prismática. Neste caso, a altura do prisma é, obviamente, sua costela lateral; bordas laterais serão retângulos.
Os prismas podem ser classificados pelo número de faces laterais, igual ao número de lados do polígono que lhe serve de base. Assim, os prismas podem ser triangulares, quadrangulares, pentagonais, etc.
Teorema 2
. A área da superfície lateral do prisma é igual ao produto da aresta lateral e o perímetro da seção perpendicular.
Seja ABCDEA"B"C"D"E" o prisma dado e abcde sua seção perpendicular, de modo que os segmentos ab, bc, .. sejam perpendiculares às suas arestas laterais. A face ABA"B" é um paralelogramo; sua área é igual ao produto da base AA" por uma altura que corresponde a ab; a área da face BCV "C" é igual ao produto da base BB" pela altura bc, etc. Portanto, a superfície lateral (ou seja, a soma das áreas das faces laterais) é igual ao produto da aresta lateral, ou seja, o comprimento total dos segmentos AA", BB", .., pela soma ab+bc+cd+de+ea.
Informações gerais sobre um prisma reto
A superfície lateral do prisma (mais precisamente, a área de superfície lateral) é chamada somaáreas da face lateral. A superfície total do prisma é igual à soma da superfície lateral e as áreas das bases.
Teorema 19.1. A superfície lateral de um prisma reto é igual ao produto do perímetro da base pela altura do prisma, ou seja, o comprimento da aresta lateral.
Prova. As faces laterais de um prisma reto são retângulos. As bases desses retângulos são os lados do polígono situado na base do prisma, e as alturas são iguais ao comprimento das arestas laterais. Segue que a superfície lateral do prisma é igual a
S = a 1 l + a 2 l + ... + a n l = pl,
onde a 1 e n são os comprimentos das nervuras da base, p é o perímetro da base do prisma e I é o comprimento das nervuras laterais. O teorema foi provado.
Tarefa prática
Tarefa (22) . Em um prisma inclinado seção, perpendicular às arestas laterais e cruzando todas as arestas laterais. Encontre a superfície lateral do prisma se o perímetro da seção for p e as arestas laterais forem l.
Solução. O plano do corte desenhado divide o prisma em duas partes (Fig. 411). Vamos submeter um deles a uma tradução paralela que combine as bases do prisma. Neste caso, obtemos um prisma reto, no qual a seção do prisma original serve como base e as arestas laterais são iguais a l. Este prisma tem a mesma superfície lateral do original. Assim, a superfície lateral do prisma original é igual a pl.
Generalização do tópico
E agora vamos tentar resumir o tópico do prisma e lembrar quais propriedades um prisma possui.
Propriedades do Prisma
Primeiro, para um prisma, todas as suas bases são polígonos iguais;
Em segundo lugar, para um prisma, todas as suas faces laterais são paralelogramos;
Em terceiro lugar, em uma figura multifacetada como um prisma, todas as arestas laterais são iguais;
Além disso, deve-se lembrar que poliedros como prismas podem ser retos e inclinados.
O que é um prisma reto?
Se a borda lateral de um prisma estiver localizada perpendicular ao plano de sua base, esse prisma será chamado de linha reta.
Não será supérfluo lembrar que as faces laterais de um prisma reto são retângulos.
O que é um prisma oblíquo?
Mas se a borda lateral do prisma não estiver localizada perpendicular ao plano de sua base, podemos dizer com segurança que este é um prisma inclinado.
Qual é o prisma certo?
Se um polígono regular está na base de um prisma reto, esse prisma é regular.
Agora vamos relembrar as propriedades que um prisma regular possui.
Propriedades de um prisma regular
Primeiro, os polígonos regulares sempre servem como bases de um prisma regular;
Em segundo lugar, se considerarmos as faces laterais de um prisma regular, elas são sempre retângulos iguais;
Em terceiro lugar, se compararmos os tamanhos das nervuras laterais, no prisma correto elas serão sempre iguais.
Quarto, um prisma regular é sempre reto;
Quinto, se em um prisma regular as faces laterais estiverem na forma de quadrados, essa figura geralmente é chamada de polígono semi-regular.
Seção de prisma
Agora vamos olhar para a seção transversal de um prisma:
Trabalho de casa
E agora vamos tentar consolidar o tema estudado resolvendo problemas.
Vamos desenhar um prisma triangular inclinado, no qual a distância entre suas arestas será: 3 cm, 4 cm e 5 cm, e a superfície lateral desse prisma será igual a 60 cm2. Com esses parâmetros, encontre a aresta lateral do prisma dado.
Você sabia que as figuras geométricas constantemente nos cercam não apenas nas aulas de geometria, mas também na vida cotidiana existem objetos que se assemelham a uma ou outra figura geométrica.
Cada casa, escola ou trabalho tem um computador, cuja unidade de sistema está na forma de um prisma reto.
Se você pegar um lápis simples, verá que a parte principal do lápis é um prisma.
Caminhando pela rua principal da cidade, vemos que sob nossos pés está um azulejo que tem a forma de um prisma hexagonal.
A. V. Pogorelov, Geometria para as séries 7-11, Livro didático para instituições educacionais
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