As principais grandezas que caracterizam o movimento oscilatório. movimento oscilatório

Com a ajuda deste tutorial em vídeo, você pode estudar de forma independente o tópico "Quantidades que caracterizam o movimento oscilatório". Nesta lição, você aprenderá como e por quais quantidades os movimentos oscilatórios são caracterizados. Será dada a definição de grandezas como amplitude e deslocamento, período e frequência de oscilação.

Vamos discutir as características quantitativas das oscilações. Vamos começar com a característica mais óbvia - amplitude. Amplitude denotado por uma letra maiúscula A e medido em metros.

Definição

Amplitude chamado de deslocamento máximo a partir da posição de equilíbrio.

Muitas vezes a amplitude é confundida com a faixa de oscilações. Um balanço é quando um corpo oscila de um ponto extremo a outro. E a amplitude é o deslocamento máximo, ou seja, a distância do ponto de equilíbrio, da linha de equilíbrio até o ponto extremo em que caiu. Além da amplitude, há outra característica - deslocamento. Este é o desvio atual da posição de equilíbrio.

MAS – amplitude –

X - Deslocamento -

Arroz. 1. Amplitude

Vamos ver como a amplitude e o deslocamento diferem em um exemplo. O pêndulo matemático está em estado de equilíbrio. A linha de localização do pêndulo no momento inicial é a linha de equilíbrio. Se você levar o pêndulo para o lado, este será seu deslocamento máximo (amplitude). Em qualquer outro momento, a distância não será uma amplitude, mas simplesmente um deslocamento.

Arroz. 2. Diferença entre amplitude e deslocamento

O próximo recurso para o qual passamos é chamado período de oscilação.

Definição

Período de oscilaçãoé o intervalo de tempo durante o qual ocorre uma oscilação completa.

Observe que o valor "period" é indicado por uma letra maiúscula , é definido da seguinte forma: , .

Arroz. 3. Período

Vale acrescentar que quanto mais tomarmos o número de oscilações em um tempo maior, mais precisamente determinaremos o período das oscilações.

O próximo valor é frequência.

Definição

O número de oscilações por unidade de tempo é chamado frequência flutuações.

Arroz. 4. Frequência

A frequência é indicada pela letra grega, que é lida como "nu". A frequência é a razão entre o número de oscilações e o tempo durante o qual essas oscilações ocorreram:.

Unidades de frequência. Esta unidade é chamada de "hertz" em homenagem ao físico alemão Heinrich Hertz. Observe que o período e a frequência estão relacionados em termos do número de oscilações e do tempo durante o qual essa oscilação ocorre. Para cada sistema oscilatório, a frequência e o período são valores constantes. A relação entre essas quantidades é bastante simples: .

Além do conceito de "frequência de oscilação", é frequentemente utilizado o conceito de "frequência de oscilação cíclica", ou seja, o número de oscilações por segundo. É denotado por uma letra e é medido em radianos por segundo.

Gráficos de oscilações livres não amortecidas

Já conhecemos a solução para o principal problema da mecânica das oscilações livres - a lei do seno ou cosseno. Também sabemos que os gráficos são uma ferramenta poderosa para estudar processos físicos. Vamos falar sobre como os gráficos da onda senoidal e cosseno ficarão quando aplicados a oscilações harmônicas.

Para começar, vamos definir os pontos singulares durante as oscilações. Isso é necessário para escolher corretamente a escala de construção. Considere um pêndulo matemático. A primeira pergunta que surge é: qual função usar - seno ou cosseno? Se a oscilação começar no ponto superior - o desvio máximo, a lei do cosseno será a lei do movimento. Se você começar a se mover a partir do ponto de equilíbrio, a lei do movimento será a lei do seno.

Se a lei do movimento é a lei do cosseno, então após um quarto do período o pêndulo estará na posição de equilíbrio, após outro quarto - no ponto extremo, após outro quarto - novamente na posição de equilíbrio e após outro quarto ele retornará à sua posição original.

Se o pêndulo oscilar de acordo com a lei do seno, depois de um quarto do período estará no ponto extremo, depois de outro quarto - na posição de equilíbrio. Então, novamente no ponto extremo, mas do outro lado, e depois de mais um quarto do período, ele retornará à posição de equilíbrio.

Assim, a escala de tempo não será um valor arbitrário de 5 s, 10 s, etc., mas uma fração do período. Construiremos um gráfico em trimestres do período.

Vamos para a construção. varia de acordo com a lei do seno ou de acordo com a lei do cosseno. O eixo das ordenadas é , o eixo das abcissas é . A escala de tempo é igual a trimestres do período: O gráfico ficará no intervalo de a .

Arroz. 5. Gráficos de dependência

O gráfico de oscilação de acordo com a lei do seno sai de zero e é indicado em azul escuro (Fig. 5). O gráfico de oscilação de acordo com a lei dos cossenos sai da posição de desvio máximo e é indicado em azul na figura. Os gráficos parecem absolutamente idênticos, mas são deslocados de fase em relação um ao outro por um quarto de período ou radianos.

Gráficos de dependência e terão uma aparência semelhante, pois também mudam de acordo com a lei harmônica.

Características das oscilações de um pêndulo matemático

Pêndulo matemáticoé um ponto material de massa suspenso em um longo fio inextensível sem peso de comprimento .

Preste atenção na fórmula do período de oscilação de um pêndulo matemático: , onde é o comprimento do pêndulo, é a aceleração da queda livre.

Quanto maior o pêndulo, maior o período de suas oscilações (Fig. 6). Quanto mais longo o fio, mais tempo o pêndulo oscila.

Arroz. 6 Dependência do período de oscilação do comprimento do pêndulo

Quanto maior a aceleração de queda livre, menor o período de oscilação (Fig. 7). Quanto maior a aceleração da queda livre, mais forte o corpo celeste atrai o peso e mais rápido tende a retornar à posição de equilíbrio.

Arroz. 7 Dependência do período de oscilação da aceleração de queda livre

Observe que o período de oscilação não depende da massa da carga e da amplitude de oscilação (Fig. 8).

Arroz. 8. O período de oscilação não depende da amplitude de oscilação

Galileu Galilei foi o primeiro a chamar a atenção para este fato. Com base neste fato, um mecanismo de relógio de pêndulo é proposto.

Deve-se notar que a precisão da fórmula é máxima apenas para pequenos desvios relativamente pequenos. Por exemplo, para o desvio, o erro da fórmula é . Para desvios maiores, a precisão da fórmula não é tão grande.

Considere problemas qualitativos que descrevem um pêndulo matemático.

Uma tarefa.Como o curso dos relógios de pêndulo mudará se eles forem: 1) transportados de Moscou para o Pólo Norte; 2) transporte de Moscou ao equador; 3) levante alto morro acima; 4) retire-o da sala aquecida para o frio.

Para responder corretamente à pergunta do problema, é necessário entender o que se entende por “funcionamento de um relógio de pêndulo”. Relógios de pêndulo são baseados em um pêndulo matemático. Se o período de oscilação do relógio for menor do que o necessário, o relógio começará a acelerar. Se o período de oscilação se tornar mais longo do que o necessário, o relógio ficará atrasado. A tarefa se reduz a responder à pergunta: o que acontecerá com o período de oscilação de um pêndulo matemático como resultado de todas as ações listadas na tarefa?

Vamos considerar a primeira situação. O pêndulo matemático é transferido de Moscou para o Pólo Norte. Recordamos que a Terra tem a forma de um geóide, ou seja, uma bola achatada nos pólos (Fig. 9). Isso significa que no Pólo a magnitude da aceleração de queda livre é um pouco maior do que em Moscou. E como a aceleração da queda livre é maior, então o período de oscilação se tornará um pouco mais curto e o relógio de pêndulo vai começar a correr. Aqui negligenciamos o fato de que é mais frio no Pólo Norte.

Arroz. 9. A aceleração da queda livre é maior nos pólos da Terra

Vamos considerar a segunda situação. Movemos o relógio de Moscou para o equador, supondo que a temperatura não mude. A aceleração de queda livre no equador é ligeiramente menor do que em Moscou. Isso significa que o período de oscilação do pêndulo matemático aumentará e o relógio começa a desacelerar.

No terceiro caso, o relógio é elevado para cima, aumentando assim a distância ao centro da Terra (Fig. 10). Isso significa que a aceleração de queda livre no topo da montanha é menor. O período de oscilação aumenta o relógio estará atrasado.

Arroz. 10 A gravidade é maior no topo da montanha

Vamos considerar o último caso. O relógio é retirado da sala quente para o frio. À medida que a temperatura diminui, as dimensões lineares dos corpos diminuem. Isso significa que o comprimento do pêndulo será ligeiramente reduzido. Como o comprimento se tornou menor, o período de oscilação também diminuiu. O relógio vai correr.

Consideramos as situações mais típicas que nos permitem entender como funciona a fórmula do período de oscilação de um pêndulo matemático.

Em conclusão, considere outra característica das oscilações - Estágio. Falaremos sobre o que é uma fase com mais detalhes nas classes seniores. Hoje temos que considerar com o que essa característica pode ser comparada, contrastada e como determiná-la por nós mesmos. É mais conveniente comparar a fase das oscilações com a velocidade do pêndulo.

A Figura 11 mostra dois pêndulos idênticos. O primeiro pêndulo foi desviado para a esquerda por um certo ângulo, o segundo também foi desviado para a esquerda por um certo ângulo, o mesmo que o primeiro. Ambos os pêndulos farão exatamente as mesmas oscilações. Neste caso, podemos dizer que os pêndulos oscilam com a mesma fase, pois as velocidades do pêndulo têm a mesma direção e módulos iguais.

A Figura 12 mostra dois pêndulos semelhantes, mas um está inclinado para a esquerda e o outro para a direita. Eles também têm o mesmo módulo de velocidades, mas a direção é oposta. Neste caso, diz-se que os pêndulos oscilam em antifase.

Em todos os outros casos, como regra, é feita menção à diferença de fase.

Arroz. 13 Diferença de fase

A fase das oscilações em um ponto arbitrário no tempo pode ser calculada pela fórmula , ou seja, como o produto da frequência cíclica pelo tempo decorrido desde o início das oscilações. A fase é medida em radianos.

Características das oscilações de um pêndulo de mola

A fórmula para a oscilação de um pêndulo de mola: . Assim, o período de oscilação de um pêndulo de mola depende da massa da carga e da rigidez da mola.

Quanto maior a massa da carga, maior a sua inércia. Ou seja, o pêndulo acelerará mais lentamente, o período de suas oscilações será maior (Fig. 14).

Arroz. 14 Dependência do período de oscilação da massa

Quanto maior a rigidez da mola, mais rápido ela tende a retornar à sua posição de equilíbrio. O período do pêndulo da mola será menor.

Arroz. 15 Dependência do período de oscilação da rigidez da mola

Considere a aplicação da fórmula no exemplo do problema.

Arroz. 17 Período de oscilação

Se agora substituirmos todos os valores necessários na fórmula para calcular a massa, obtemos:

Responda: peso do peso é de aproximadamente 10 g.

Assim como no caso de um pêndulo matemático, para um pêndulo de mola o período de oscilação não depende de sua amplitude. Naturalmente, isso é verdade apenas para pequenos desvios da posição de equilíbrio, quando a deformação da mola é elástica. Este fato foi a base para a construção dos relógios de mola (Fig. 18).

Arroz. 18 relógio de primavera

Conclusão

É claro que, além das oscilações e das características de que falamos, existem outras características igualmente importantes do movimento oscilatório. Mas vamos falar sobre eles no ensino médio.

Bibliografia

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Trabalho de casa

O que são pêndulos matemáticos e de mola? Qual é a diferença entre eles?
O que é oscilação harmônica, período de oscilação?
Um peso de 200 g oscila sobre uma mola com rigidez de 200 N/m. Encontre a energia mecânica total das oscilações e a velocidade máxima de movimento da carga se a amplitude das oscilações for 10 cm (despreze o atrito).

Comparemos as oscilações de dois pêndulos idênticos mostrados na Figura 58. O primeiro pêndulo oscila com grande oscilação, ou seja, suas posições extremas estão mais distantes da posição de equilíbrio do que a do segundo pêndulo.

Arroz. 58. Oscilações de pêndulos ocorrendo com diferentes amplitudes

O maior desvio (módulo) de um corpo oscilante da posição de equilíbrio é chamado de amplitude de oscilação

Consideraremos oscilações que ocorrem com pequenas amplitudes (Fig. 59), nas quais o comprimento do arco AB pode ser considerado igual ao segmento AB e até mesmo à meia corda CB. Portanto, a amplitude das oscilações de um pêndulo de rosca pode ser entendida como um arco ou qualquer um desses segmentos. Assim, a amplitude das oscilações do primeiro pêndulo (veja a Fig. 58) é igual a 0 1 A 1 ou 0 1 B 1, e o segundo - 0 2 A 2 ou O 2 B 2. A amplitude é denotada pela letra A e no SI é medida em unidades de comprimento - metros (m), centímetros (cm), etc. A amplitude também pode ser medida em unidades de um ângulo plano, por exemplo, em graus, pois um certo ângulo central corresponde ao arco de um círculo, ou seja, ângulo com um vértice no centro do círculo (neste caso no ponto O).

Arroz. 59. Para oscilações com pequena amplitude, o comprimento do arco AB é igual ao segmento AB

A amplitude de oscilação do pêndulo da mola (ver Fig. 53) é igual ao comprimento do segmento OB ou OA.

Um corpo oscilante faz uma oscilação completa se um caminho igual a quatro amplitudes passa desde o início das oscilações. Por exemplo, tendo se movido do ponto O 1 para o ponto B 1, depois para o ponto A 1 e novamente para o ponto O 1 (ver Fig. 58), a bola faz uma oscilação completa.

O período de tempo durante o qual o corpo faz uma oscilação completa é chamado de período de oscilação.

O período de oscilação é indicado pela letra T e no SI é medido em segundos (s).

Penduramos duas bolas idênticas em fios de diferentes comprimentos e as colocamos em movimento oscilatório. Veremos que no mesmo período de tempo um pêndulo curto fará mais oscilações do que um pêndulo longo.

O número de oscilações por unidade de tempo é chamado de frequência de oscilação

A frequência é indicada pela letra grega v (“nu”). A unidade de frequência é uma oscilação por segundo. Esta unidade é denominada hertz (Hz) em homenagem ao cientista alemão Heinrich Hertz.

Digamos que em um segundo o pêndulo faz duas oscilações, ou seja, a frequência de suas oscilações é de 2 Hz. Para encontrar o período de oscilação, é necessário dividir um segundo pelo número de oscilações neste segundo, ou seja, pela frequência:

Assim, o período de oscilação T e a frequência de oscilação v estão relacionados pela seguinte relação:

Usando o exemplo de oscilações de pêndulos de diferentes comprimentos, chegamos à conclusão de que a frequência e o período de oscilações livres de um pêndulo de filamento dependem do comprimento de seu filamento. Quanto mais longo o fio do pêndulo, maior o período de oscilação e menor a frequência.

As oscilações livres na ausência de atrito e resistência do ar são chamadas de oscilações naturais, e sua frequência é a frequência natural do sistema oscilatório.

Não apenas um pêndulo de filamento, mas também qualquer outro sistema oscilatório tem uma certa frequência natural, que depende dos parâmetros desse sistema. Por exemplo, a frequência natural de um pêndulo de mola depende da massa da carga e da rigidez da mola.

Considere as oscilações de dois pêndulos idênticos (Fig. 60). No mesmo momento, o pêndulo esquerdo da posição mais à esquerda começa a se mover para a direita e o pêndulo direito da posição mais à direita se move para a esquerda. Ambos os pêndulos oscilam com a mesma frequência (porque os comprimentos de seus fios são iguais) e com as mesmas amplitudes. No entanto, essas oscilações diferem umas das outras: a qualquer momento, as velocidades dos pêndulos são direcionadas em direções opostas. Neste caso, diz-se que os pêndulos oscilam em fases opostas.

Arroz. 60. Oscilações de pêndulos ocorrendo em fases opostas

Os pêndulos mostrados na Figura 58 também oscilam com as mesmas frequências. As velocidades desses pêndulos são direcionadas na mesma direção a qualquer momento. Neste caso, diz-se que os pêndulos oscilam nas mesmas fases.

Vamos considerar mais um caso. No momento mostrado na Figura 61, a, as velocidades de ambos os pêndulos estão direcionadas para a direita. Mas depois de um tempo (Fig. 61, b) eles serão direcionados em direções diferentes. Neste caso, diz-se que as oscilações ocorrem com uma certa diferença de fase.

Arroz. 61. Oscilações de pêndulos ocorrendo com uma certa diferença de fase

Uma grandeza física chamada fase é usada não apenas para comparar as vibrações de dois ou mais corpos, mas também para descrever as vibrações de um corpo.

A fórmula para determinar a fase em um determinado momento será abordada no ensino médio.

Assim, o movimento oscilatório é caracterizado por amplitude, frequência (ou período) e fase.

Perguntas

O que é chamado de amplitude de oscilações; período de oscilação; frequência de oscilação? Em que unidades cada uma dessas grandezas é medida?
Qual é a relação matemática entre o período e a frequência das oscilações?
Como dependem: a) frequência; b) o período de oscilações livres do pêndulo no comprimento de seu fio?
Que vibrações são chamadas de naturais?
Como é chamada a frequência natural de um sistema oscilatório?

Exercício 24

A Figura 62 mostra pares de pêndulos oscilantes. Em que casos dois pêndulos oscilam: nas mesmas fases um em relação ao outro; em fases opostas?
A frequência de oscilação de uma ponte ferroviária de cem metros é de 2 Hz. Determine o período dessas oscilações.
O período de oscilações verticais de um vagão ferroviário é de 0,5 s. Determine a frequência de oscilação do carro.
A agulha da máquina de costura faz 600 oscilações completas por minuto. Qual é a frequência de oscilação da agulha?
A amplitude das oscilações da carga na mola é de 3 cm Para que lado da posição de equilíbrio a carga passará em um tempo igual a - ¼T; - ½T; - ¾T; - T?
A amplitude das oscilações de carga na mola é de 10 cm, a frequência é de 0,5 Hz. Qual é a distância percorrida pela carga em 2 segundos?

Exercício

Projete um experimento envolvendo forças magnéticas que simulem um aumento na aceleração de queda livre e atuem em um pêndulo de filamento oscilante. Realize este experimento e tire uma conclusão sobre a dependência qualitativa do período de oscilação da aceleração de queda livre.

Considere a figura a seguir:

Possui dois pêndulos idênticos. Como pode ser visto na figura, o primeiro pêndulo oscila com uma oscilação maior do que o segundo. Ou seja, em outras palavras, as posições extremas que o primeiro pêndulo ocupa estão a uma distância maior entre si do que a do segundo pêndulo.

Amplitude

Amplitude de oscilação- o maior desvio do corpo oscilante da posição de equilíbrio em valor absoluto.

Normalmente, a letra A é usada para denotar a amplitude das vibrações. As unidades de medida da amplitude são as mesmas que as unidades de comprimento, ou seja, são metros, centímetros, etc. Em princípio, a amplitude pode ser escrita em unidades de um ângulo plano, pois cada arco de um círculo corresponderá a um único ângulo central.

Diz-se que um corpo oscilante faz uma oscilação completa quando percorre um caminho igual a quatro amplitudes.

Período de oscilação

Período de oscilaçãoé o tempo que o corpo leva para fazer uma oscilação completa.

O período de oscilação é indicado pela letra T. As unidades do período de oscilação T são segundos.

Se pendurarmos duas bolas idênticas em fios de comprimentos diferentes e as colocarmos em movimento oscilatório, perceberemos que, nos mesmos intervalos de tempo, elas farão um número diferente de oscilações. Uma bola suspensa por uma corda curta oscilará mais do que uma bola suspensa por uma corda longa.

Frequência de oscilação

Frequência de oscilação chamado o número de oscilações que foram feitas em uma unidade de tempo.

A frequência de oscilação é indicada pela letra ν (lida como "nu"). As unidades de frequência de oscilação são chamadas de Hertz. Um hertz significa uma oscilação por segundo.

O período e a frequência das oscilações estão interligados pela seguinte relação:

A frequência de oscilações livres é chamada de frequência natural do sistema oscilatório. Cada sistema tem sua própria frequência de oscilação.

Fase de oscilação

Existe também a fase das oscilações. Dois pêndulos podem ter a mesma frequência de oscilação, mas ao mesmo tempo podem oscilar em fases diferentes, ou seja, suas velocidades a qualquer momento estarão direcionadas em direções opostas.

Se as velocidades dos pêndulos em qualquer momento são direcionadas na mesma direção, então eles dizem que os pêndulos oscilam nas mesmas fases de oscilação.

Os pêndulos também podem oscilar com uma certa diferença de fase, caso em que em alguns pontos no tempo a direção de suas velocidades coincidirá e em outros não.