Muitas pessoas pensam que as desigualdades exponenciais são algo tão complicado e incompreensível. E que aprender a resolvê-los é quase uma grande arte, que só os Escolhidos são capazes de compreender...
Bobagem completa! As desigualdades exponenciais são fáceis. E são sempre fáceis de resolver. Bem, quase sempre. :)
Hoje vamos analisar este tema amplamente. Esta lição será muito útil para aqueles que estão apenas começando a entender esta seção da matemática escolar. Vamos começar com tarefas simples e passar para questões mais complexas. Não haverá dureza hoje, mas o que você está prestes a ler será suficiente para resolver a maioria das desigualdades em todos os tipos de controle e trabalho independente. E neste seu exame também.
Como sempre, vamos começar com uma definição. Uma desigualdade exponencial é qualquer desigualdade que contém uma função exponencial. Em outras palavras, ela sempre pode ser reduzida a uma desigualdade da forma
\[((a)^(x)) \gt b\]
Onde o papel de $b$ pode ser um número comum, ou talvez algo mais difícil. Exemplos? Sim por favor:
\[\begin(align) & ((2)^(x)) \gt 4;\quad ((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2));\ quad ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16; \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0.01;\quad ((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac (4) )(x))). \\\end(alinhar)\]
Eu acho que o significado é claro: existe uma função exponencial $((a)^(x))$, ela é comparada com algo, e então solicitada a encontrar $x$. Em casos especialmente clínicos, ao invés da variável $x$, eles podem colocar alguma função $f\left(x \right)$ e assim complicar um pouco a desigualdade. :)
É claro que, em alguns casos, a desigualdade pode parecer mais grave. Por exemplo:
\[((9)^(x))+8 \gt ((3)^(x+2))\]
Ou mesmo isso:
Em geral, a complexidade de tais desigualdades pode ser muito diferente, mas no final elas ainda se resumem a uma construção simples $((a)^(x)) \gt b$. E de alguma forma lidaremos com esse projeto (em casos especialmente clínicos, quando nada vem à mente, os logaritmos nos ajudarão). Portanto, agora vamos aprender como resolver essas construções simples.
Solução das desigualdades exponenciais mais simples
Vejamos algo muito simples. Por exemplo, aqui está:
\[((2)^(x)) \gt 4\]
Obviamente, o número à direita pode ser reescrito como uma potência de dois: $4=((2)^(2))$. Assim, a desigualdade original é reescrita de uma forma muito conveniente:
\[((2)^(x)) \gt ((2)^(2))\]
E agora as mãos estão coçando para "riscar" os dois, parados nas bases dos graus, para obter a resposta $x \gt 2$. Mas antes de riscarmos qualquer coisa, vamos lembrar as potências de dois:
\[((2)^(1))=2;\quad ((2)^(2))=4;\quad ((2)^(3))=8;\quad ((2)^( 4))=16;...\]
Como você pode ver, quanto maior o número no expoente, maior o número de saída. "Obrigado, Capitão!" um dos alunos exclamará. Acontece diferente? Infelizmente, isso acontece. Por exemplo:
\[((\left(\frac(1)(2) \right))^(1))=\frac(1)(2);\quad ((\left(\frac(1)(2)) \ right))^(2))=\frac(1)(4);\quad ((\left(\frac(1)(2) \right))^(3))=\frac(1)(8 );...\]
Aqui, também, tudo é lógico: quanto maior o grau, mais vezes o número 0,5 é multiplicado por si mesmo (ou seja, é dividido pela metade). Assim, a sequência de números resultante é decrescente, e a diferença entre a primeira e a segunda sequência está apenas na base:
- Se a base de grau $a \gt 1$, então à medida que o expoente $n$ cresce, o número $((a)^(n))$ também cresce;
- Por outro lado, se $0 \lt a \lt 1$, à medida que o expoente $n$ cresce, o número $((a)^(n))$ diminui.
Resumindo esses fatos, obtemos a afirmação mais importante, na qual toda a solução das desigualdades exponenciais se baseia:
Se $a \gt 1$, então a desigualdade $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ é equivalente à desigualdade $x \gt n$. Se $0 \lt a \lt 1$, então a desigualdade $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ é equivalente à desigualdade $x \lt n$.
Em outras palavras, se a base for maior que um, você pode simplesmente removê-la - o sinal de desigualdade não mudará. E se a base for menor que um, ela também poderá ser removida, mas o sinal de desigualdade também terá que ser alterado.
Observe que não consideramos as opções $a=1$ e $a\le 0$. Porque nesses casos há incerteza. Suponha como resolver uma inequação da forma $((1)^(x)) \gt 3$? Um para qualquer potência dará novamente um - nunca obteremos um três ou mais. Aqueles. não há soluções.
Com bases negativas, é ainda mais interessante. Considere, por exemplo, a seguinte desigualdade:
\[((\left(-2 \right))^(x)) \gt 4\]
À primeira vista, tudo é simples:
Corretamente? Mas não! Basta substituir alguns números pares e ímpares em vez de $x$ para ter certeza de que a solução está errada. Dê uma olhada:
\[\begin(align) & x=4\Rightarrow ((\left(-2 \right))^(4))=16 \gt 4; \\ & x=5\Rightarrow ((\left(-2 \right))^(5))=-32 \lt 4; \\ & x=6\Rightarrow ((\left(-2 \right))^(6))=64 \gt 4; \\ & x=7\Rightarrow ((\left(-2 \right))^(7))=-128 \lt 4. \\\end(align)\]
Como você pode ver, os sinais se alternam. Mas ainda existem graus fracionários e outros estanho. Como, por exemplo, você ordenaria contar $((\left(-2 \right))^(\sqrt(7)))$ (menos dois elevado à raiz de sete)? De jeito nenhum!
Portanto, por definição, assumimos que em todas as desigualdades exponenciais (e equações, a propósito, também) $1\ne a \gt 0$. E então tudo é resolvido de forma muito simples:
\[((a)^(x)) \gt ((a)^(n))\Rightarrow \left[ \begin(align) & x \gt n\quad \left(a \gt 1 \right), \\ & x \lt n\quad \left(0 \lt a \lt 1 \right). \\\end(align) \right.\]
Em geral, lembre-se mais uma vez da regra principal: se a base na equação exponencial for maior que um, você pode simplesmente removê-la; e se a base for menor que um, ela também pode ser removida, mas isso mudará o sinal de desigualdade.
Exemplos de soluções
Então, considere algumas desigualdades exponenciais simples:
\[\begin(align) & ((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2)); \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01; \\ & ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16; \\ & ((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25). \\\end(alinhar)\]
A tarefa principal é a mesma em todos os casos: reduzir as desigualdades à forma mais simples $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$. Isso é o que faremos agora com cada desigualdade e, ao mesmo tempo, repetiremos as propriedades das potências e da função exponencial. Então vamos!
\[((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2))\]
O que pode ser feito aqui? Bem, à esquerda já temos uma expressão demonstrativa - nada precisa ser mudado. Mas à direita há algum tipo de porcaria: uma fração e até uma raiz no denominador!
No entanto, lembre-se das regras para trabalhar com frações e potências:
\[\begin(align) & \frac(1)(((a)^(n)))=((a)^(-n)); \\ & \sqrt[k](a)=((a)^(\frac(1)(k))). \\\end(alinhar)\]
O que isto significa? Primeiro, podemos facilmente nos livrar da fração transformando-a em um expoente negativo. E em segundo lugar, como o denominador é a raiz, seria bom transformá-lo em um grau - desta vez com um expoente fracionário.
Vamos aplicar essas ações sequencialmente ao lado direito da desigualdade e ver o que acontece:
\[\frac(1)(\sqrt(2))=((\left(\sqrt(2) \right))^(-1))=((\left(((2)^(\frac( 1)(3))) \right))^(-1))=((2)^(\frac(1)(3)\cdot \left(-1 \right)))=((2)^ (-\frac(1)(3)))\]
Não esqueça que ao elevar um grau a uma potência, os expoentes desses graus são adicionados. E, em geral, ao trabalhar com equações e desigualdades exponenciais, é absolutamente necessário conhecer pelo menos as regras mais simples para trabalhar com potências:
\[\begin(align) & ((a)^(x))\cdot ((a)^(y))=((a)^(x+y)); \\ & \frac(((a)^(x)))(((a)^(y)))=((a)^(x-y)); \\ & ((\left(((a)^(x)) \right))^(y))=((a)^(x\cdot y)). \\\end(alinhar)\]
Na verdade, acabamos de aplicar a última regra. Portanto, nossa desigualdade original será reescrita da seguinte forma:
\[((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2))\Rightarrow ((2)^(x-1))\le ((2)^(-\ frac(1)(3)))\]
Agora nos livramos do empate na base. Como 2 > 1, o sinal de desigualdade permanece o mesmo:
\[\begin(align) & x-1\le -\frac(1)(3)\Rightarrow x\le 1-\frac(1)(3)=\frac(2)(3); \\ & x\in \left(-\infty ;\frac(2)(3) \right]. \\\end(align)\]
Essa é toda a solução! A principal dificuldade não está na função exponencial, mas na transformação competente da expressão original: você precisa com cuidado e o mais rápido possível trazê-la à sua forma mais simples.
Considere a segunda desigualdade:
\[((0,1)^(1-x)) \lt 0,01\]
Bem bem. Aqui estamos esperando por frações decimais. Como já disse muitas vezes, em qualquer expressão com potências, você deve se livrar das frações decimais - geralmente essa é a única maneira de ver uma solução rápida e fácil. Aqui está o que vamos nos livrar:
\[\begin(align) & 0,1=\frac(1)(10);\quad 0,01=\frac(1)(100)=((\left(\frac(1)(10)) \ direito))^(2)); \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01\Rightarrow ((\left(\frac(1)(10) \right))^(1-x)) \lt ( (\left(\frac(1)(10) \right))^(2)). \\\end(alinhar)\]
Diante de nós está novamente a desigualdade mais simples, e mesmo com a base 1/10, ou seja. menos de um. Bem, removemos as bases, alterando simultaneamente o sinal de "menos" para "maior", e obtemos:
\[\begin(alinhar) & 1-x \gt 2; \\ & -x \gt 2-1; \\ & -x \gt 1; \\& x \lt -1. \\\end(alinhar)\]
Obtivemos a resposta final: $x\in \left(-\infty ;-1 \right)$. Observe que a resposta é exatamente o conjunto, e em nenhum caso é a construção da forma $x \lt -1$. Porque formalmente tal construção não é um conjunto, mas uma desigualdade em relação à variável $x$. Sim, é muito simples, mas não é a resposta!
Nota importante. Essa desigualdade poderia ser resolvida de outra maneira - reduzindo ambas as partes a uma potência com base maior que um. Dê uma olhada:
\[\frac(1)(10)=((10)^(-1))\Rightarrow ((\left(((10)^(-1)) \right))^(1-x)) \ lt ((\left(((10)^(-1)) \right))^(2))\Rightarrow ((10)^(-1\cdot \left(1-x \right))) \lt ((10)^(-1\cdot 2))\]
Após tal transformação, obtemos novamente uma desigualdade exponencial, mas com uma base de 10 > 1. E isso significa que você pode simplesmente riscar o dez - o sinal da desigualdade não mudará. Nós temos:
\[\begin(align) & -1\cdot \left(1-x \right) \lt -1\cdot 2; \\ & x-1 \lt-2; \\ & x \lt -2+1=-1; \\ & x \lt -1. \\\end(alinhar)\]
Como você pode ver, a resposta é exatamente a mesma. Ao mesmo tempo, nos poupamos da necessidade de trocar o letreiro e geralmente lembramos de algumas regras por lá. :)
\[((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16\]
No entanto, não deixe isso te assustar. O que quer que esteja nos indicadores, a tecnologia para resolver a desigualdade em si continua a mesma. Portanto, notamos primeiro que 16 = 2 4 . Vamos reescrever a desigualdade original levando este fato em consideração:
\[\begin(align) & ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt ((2)^(4)); \\ & ((x)^(2))-7x+14 \lt 4; \\ & ((x)^(2))-7x+10 \lt 0. \\\end(align)\]
Viva! Temos a desigualdade quadrada usual! O sinal não mudou em nenhum lugar, já que a base é um deuce - um número maior que um.
Função zeros na reta numérica
Nós organizamos os sinais da função $f\left(x \right)=((x)^(2))-7x+10$ - obviamente, seu gráfico será uma parábola com ramificações para cima, então haverá “mais " dos lados. Estamos interessados na região onde a função é menor que zero, ou seja, $x\in \left(2;5 \right)$ é a resposta para o problema original.
Finalmente, considere outra desigualdade:
\[((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25)\]
Novamente vemos uma função exponencial com uma fração decimal na base. Vamos converter esta fração em uma fração comum:
\[\begin(align) & 0,2=\frac(2)(10)=\frac(1)(5)=((5)^(-1))\Rightarrow \\ & \Rightarrow ((0) ,2)^(1+((x)^(2))))=((\left(((5)^(-1)) \right))^(1+((x)^(2) )))=((5)^(-1\cdot \left(1+((x)^(2)) \right)))\end(align)\]
Nesse caso, aproveitamos a observação feita anteriormente - reduzimos a base para o número 5\u003e 1 para simplificar nossa decisão adicional. Vamos fazer o mesmo com o lado direito:
\[\frac(1)(25)=((\left(\frac(1)(5) \right))^(2))=((\left((5)^(-1)) \ right))^(2))=((5)^(-1\cdot 2))=((5)^(-2))\]
Vamos reescrever a desigualdade original, levando em conta as duas transformações:
\[((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25)\Rightarrow ((5)^(-1\cdot \left(1+) ((x)^(2)) \direito)))\ge ((5)^(-2))\]
As bases de ambos os lados são iguais e maiores que um. Não há outros termos à direita e à esquerda, então apenas “riscamos” os cincos e obtemos uma expressão muito simples:
\[\begin(align) & -1\cdot \left(1+((x)^(2)) \right)\ge -2; \\ & -1-((x)^(2))\ge -2; \\ & -((x)^(2))\ge -2+1; \\ & -((x)^(2))\ge -1;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))\le 1. \\\end(align)\]
Este é o lugar onde você tem que ter cuidado. Muitos alunos gostam de simplesmente tirar a raiz quadrada de ambos os lados da inequação e escrever algo como $x\le 1\Rightarrow x\in \left(-\infty ;-1 \right]$. Você nunca deve fazer isso, pois a raiz do quadrado exato é o módulo, e de forma alguma a variável original:
\[\sqrt(((x)^(2)))=\esquerda| x\direita|\]
No entanto, trabalhar com módulos não é a experiência mais agradável, certo? Então não vamos trabalhar. Em vez disso, simplesmente movemos todos os termos para a esquerda e resolvemos a desigualdade usual usando o método intervalar:
$\begin(alinhar) & ((x)^(2))-1\le 0; \\ & \left(x-1 \right)\left(x+1 \right)\le 0 \\ & ((x)_(1))=1;\quad ((x)_(2)) =-1; \\\end(alinhar)$
Novamente, marcamos os pontos obtidos na reta numérica e observamos os sinais:
Observação: os pontos estão sombreados. Como estávamos resolvendo uma desigualdade não estrita, todos os pontos no gráfico estão sombreados. Portanto, a resposta será: $x\in \left[ -1;1 \right]$ não é um intervalo, mas um segmento.
Em geral, gostaria de observar que não há nada complicado em desigualdades exponenciais. O significado de todas as transformações que realizamos hoje se resume a um algoritmo simples:
- Encontre a base para a qual reduziremos todos os graus;
- Execute cuidadosamente as transformações para obter uma desigualdade da forma $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$. É claro que, em vez das variáveis $x$ e $n$, podem existir funções muito mais complexas, mas isso não altera o significado;
- Risque as bases dos graus. Neste caso, o sinal de desigualdade pode mudar se a base $a \lt 1$.
Na verdade, este é um algoritmo universal para resolver todas essas desigualdades. E tudo o mais que será dito a você neste tópico são apenas truques e truques específicos para simplificar e acelerar a transformação. Aqui está um daqueles truques sobre os quais falaremos agora. :)
método de racionalização
Considere outro lote de desigualdades:
\[\begin(align) & ((\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))^(x+7)) \gt ((\text( )\!\!\pi \!\!\text( ))^(((x)^(2))-3x+2)); \\ & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1; \\ & ((\left(\frac(1)(3) \right))^(((x)^(2))+2x)) \gt ((\left(\frac(1)(9)) \direito))^(16-x)); \\ & ((\left(3-2\sqrt(2) \right))^(3x-((x)^(2)))) \lt 1. \\\end(align)\]
Bem, o que há de tão especial sobre eles? Eles também são leves. Embora, pare! Pi é elevado a uma potência? Que tipo de bobagem?
E como elevar o número $2\sqrt(3)-3$ a uma potência? Ou $3-2\sqrt(2)$? Os compiladores dos problemas obviamente beberam muito "Hawthorn" antes de sentar para trabalhar. :)
Na verdade, não há nada de errado com essas tarefas. Deixe-me lembrá-lo: uma função exponencial é uma expressão da forma $((a)^(x))$, onde a base $a$ é qualquer número positivo, exceto um. O número π é positivo - já sabemos disso. Os números $2\sqrt(3)-3$ e $3-2\sqrt(2)$ também são positivos - isso é fácil de ver se os compararmos com zero.
Acontece que todas essas desigualdades “aterrorizantes” não são diferentes das simples discutidas acima? E eles fazem do mesmo jeito? Sim, absolutamente certo. No entanto, usando o exemplo deles, gostaria de considerar um truque que economiza muito tempo em trabalhos e exames independentes. Vamos falar sobre o método de racionalização. Então atenção:
Qualquer desigualdade exponencial da forma $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ é equivalente à desigualdade $\left(x-n \right)\cdot \left(a-1 \ direita) \gt 0 $.
Esse é todo o método. :) Você achou que haveria algum tipo de próximo jogo? Nada como isto! Mas esse simples fato, escrito literalmente em uma linha, simplificará muito nosso trabalho. Dê uma olhada:
\[\begin(matrix) ((\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))^(x+7)) \gt ((\text( )\!\!\pi\ !\!\text( ))^(((x)^(2))-3x+2)) \\ \Downarrow \\ \left(x+7-\left(((x)^(2))) -3x+2 \right) \right)\cdot \left(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \right) \gt 0 \\\end(matrix)\]
Aqui não há mais funções exponenciais! E você não precisa se lembrar se o sinal muda ou não. Mas surge um novo problema: o que fazer com a porra do multiplicador \[\left(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \right)\]? Não sabemos qual é o valor exato de pi. No entanto, o capitão parece sugerir o óbvio:
\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )\approx 3,14... \gt 3\Rightarrow \text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \gt 3-1=2\]
Em geral, o valor exato de π não nos incomoda muito - é importante apenas entendermos que em qualquer caso $\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \gt 2 $, t.e. é uma constante positiva, e podemos dividir ambos os lados da desigualdade por ela:
\[\begin(align) & \left(x+7-\left(((x)^(2))-3x+2 \right) \right)\cdot \left(\text( )\!\! \pi\!\!\text( )-1 \right) \gt 0 \\ & x+7-\left(((x)^(2))-3x+2 \right) \gt 0; \\ & x+7-((x)^(2))+3x-2 \gt 0; \\ & -((x)^(2))+4x+5 \gt 0;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))-4x-5 \lt 0; \\ & \left(x-5 \right)\left(x+1 \right) \lt 0. \\\end(align)\]
Como você pode ver, em um certo ponto, tivemos que dividir por menos um, e o sinal de desigualdade mudou. No final, expandi o trinômio quadrado de acordo com o teorema de Vieta - é óbvio que as raízes são iguais a $((x)_(1))=5$ e $((x)_(2))=- 1 $. Então tudo é resolvido pelo método clássico de intervalos:
Resolvemos a desigualdade pelo método dos intervalos Todos os pontos são puncionados porque a desigualdade original é estrita. Estamos interessados na área com valores negativos, então a resposta é $x\in \left(-1;5 \right)$. Essa é a solução. :)
Vamos para a próxima tarefa:
\[((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1\]
Tudo é simples aqui, porque há uma unidade à direita. E lembramos que uma unidade é qualquer número elevado à potência de zero. Mesmo que este número seja uma expressão irracional, estando na base à esquerda:
\[\begin(align) & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1=((\left(2) \sqrt(3)-3\direita))^(0)); \\ & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^((x)^(2))-2x)) \lt ((\left(2\sqrt(3)-3) \direito))^(0)); \\\end(alinhar)\]
Então vamos racionalizar:
\[\begin(align) & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot \left(2\sqrt(3)-3-1 \right) \lt 0; \\ & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot \left(2\sqrt(3)-4 \right) \lt 0; \\ & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 0. \\\end(align)\ ]
Resta apenas lidar com os sinais. O multiplicador $2\left(\sqrt(3)-2 \right)$ não contém a variável $x$ - é apenas uma constante, e precisamos descobrir seu sinal. Para fazer isso, observe o seguinte:
\[\begin(matrix) \sqrt(3) \lt \sqrt(4)=2 \\ \Downarrow \\ 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 2\cdot \left(2 -2 \right)=0 \\\end(matriz)\]
Acontece que o segundo fator não é apenas uma constante, mas uma constante negativa! E ao dividir por ele, o sinal da desigualdade original mudará para o oposto:
\[\begin(align) & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 0; \\ & ((x)^(2))-2x-0 \gt 0; \\ & x\left(x-2 \right) \gt 0. \\\end(align)\]
Agora tudo se torna bastante óbvio. As raízes do trinômio quadrado à direita são $((x)_(1))=0$ e $((x)_(2))=2$. Nós os marcamos na reta numérica e observamos os sinais da função $f\left(x \right)=x\left(x-2 \right)$:
O caso em que estamos interessados em intervalos laterais Estamos interessados nos intervalos marcados com um sinal de mais. Resta apenas anotar a resposta:
Vamos para o próximo exemplo:
\[((\left(\frac(1)(3) \right))^(((x)^(2))+2x)) \gt ((\left(\frac(1)(9)) \ direito))^(16-x))\]
Bem, tudo é bastante óbvio aqui: as bases são potências de mesmo número. Portanto, vou escrever tudo brevemente:
\[\begin(matrix) \frac(1)(3)=((3)^(-1));\quad \frac(1)(9)=\frac(1)(((3)^( 2)))=((3)^(-2)) \\ \Downarrow \\ ((\left(((3)^(-1)) \right))^(((x)^(2) )+2x)) \gt ((\left((3)^(-2)) \right))^(16-x)) \\\end(matrix)\]
\[\begin(align) & ((3)^(-1\cdot \left(((x)^(2))+2x \right))) \gt ((3)^(-2\cdot \ esquerda(16-x\direita))); \\ & ((3)^(-((x)^(2))-2x)) \gt ((3)^(-32+2x)); \\ & \left(-((x)^(2))-2x-\left(-32+2x \right) \right)\cdot \left(3-1 \right) \gt 0; \\ & -((x)^(2))-2x+32-2x \gt 0; \\ & -((x)^(2))-4x+32 \gt 0;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))+4x-32 \lt 0; \\ & \left(x+8 \right)\left(x-4 \right) \lt 0. \\\end(align)\]
Como você pode ver, no processo de transformações, tivemos que multiplicar por um número negativo, então o sinal de desigualdade mudou. No final, apliquei novamente o teorema de Vieta para fatorar um trinômio quadrado. Como resultado, a resposta será a seguinte: $x\in \left(-8;4 \right)$ - quem quiser pode verificar desenhando uma reta numérica, marcando pontos e contando sinais. Enquanto isso, vamos passar para a última desigualdade do nosso “conjunto”:
\[((\left(3-2\sqrt(2) \right))^(3x-((x)^(2)))) \lt 1\]
Como você pode ver, a base é novamente um número irracional e a unidade está novamente à direita. Portanto, reescrevemos nossa desigualdade exponencial da seguinte forma:
\[((\left(3-2\sqrt(2) \right))^(3x-((x)^(2)))) \lt ((\left(3-2\sqrt(2)) \ direito))^(0))\]
Vamos racionalizar:
\[\begin(align) & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot \left(3-2\sqrt(2)-1 \right) \lt 0; \\ & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot \left(2-2\sqrt(2) \right) \lt 0; \\ & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot 2\left(1-\sqrt(2) \right) \lt 0. \\\end(align)\ ]
No entanto, é bastante óbvio que $1-\sqrt(2) \lt 0$, já que $\sqrt(2)\approx 1.4... \gt 1$. Portanto, o segundo fator é novamente uma constante negativa, pela qual ambas as partes da desigualdade podem ser divididas:
\[\begin(matrix) \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot 2\left(1-\sqrt(2) \right) \lt 0 \\ \Downarrow \ \\end(matriz)\]
\[\begin(align) & 3x-((x)^(2))-0 \gt 0; \\ & 3x-((x)^(2)) \gt 0;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))-3x \lt 0; \\ & x\left(x-3 \right) \lt 0. \\\end(align)\]
Mudar para outra base
Um problema separado na solução de desigualdades exponenciais é a busca pela base “correta”. Infelizmente, à primeira vista da tarefa, está longe de ser sempre óbvio o que tomar como base e o que fazer como o grau dessa base.
Mas não se preocupe: não há tecnologias mágicas e "secretas" aqui. Em matemática, qualquer habilidade que não pode ser algoritmizada pode ser facilmente desenvolvida através da prática. Mas para isso você terá que resolver problemas de diferentes níveis de complexidade. Por exemplo, estes são:
\[\begin(align) & ((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac(4)(x))); \\ & ((\left(\frac(1)(3) \right))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x)); \\ & ((\left(0,16 \right))^(1+2x))\cdot ((\left(6,25 \right))^(x))\ge 1; \\ & ((\left(\frac(27)(\sqrt(3)) \right))^(-x)) \lt ((9)^(4-2x))\cdot 81. \\\ end(alinhar)\]
Difícil? Apavorante? Sim, é mais fácil que uma galinha no asfalto! Vamos tentar. Primeira desigualdade:
\[((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac(4)(x)))\]
Bem, acho que tudo está claro aqui:
Reescrevemos a desigualdade original, reduzindo tudo à base "dois":
\[((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((2)^(\frac(8)(x)))\Rightarrow \left(\frac(x)(2)- \frac(8)(x) \right)\cdot \left(2-1 \right) \lt 0\]
Sim, sim, você entendeu corretamente: acabei de aplicar o método de racionalização descrito acima. Agora precisamos trabalhar com cuidado: temos uma desigualdade fracional-racional (esta é aquela que tem uma variável no denominador), então antes de igualar algo a zero, você precisa reduzir tudo a um denominador comum e se livrar do fator constante .
\[\begin(align) & \left(\frac(x)(2)-\frac(8)(x) \right)\cdot \left(2-1 \right) \lt 0; \\ & \left(\frac(((x)^(2))-16)(2x) \right)\cdot 1 \lt 0; \\ & \frac(((x)^(2))-16)(2x) \lt 0. \\\end(align)\]
Agora usamos o método de intervalo padrão. Zeros do numerador: $x=\pm 4$. O denominador vai para zero somente quando $x=0$. No total, há três pontos que devem ser marcados na reta numérica (todos os pontos são perfurados, pois o sinal de desigualdade é estrito). Nós temos:
Caso mais complicado: três raízes Como você pode imaginar, a hachura marca os intervalos nos quais a expressão à esquerda assume valores negativos. Portanto, dois intervalos entrarão na resposta final de uma só vez:
As extremidades dos intervalos não estão incluídas na resposta porque a desigualdade original era estrita. Nenhuma validação adicional desta resposta é necessária. A este respeito, as desigualdades exponenciais são muito mais simples do que as logarítmicas: sem DPV, sem restrições, etc.
Vamos para a próxima tarefa:
\[((\left(\frac(1)(3) \right))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x))\]
Também não há problemas aqui, pois já sabemos que $\frac(1)(3)=((3)^(-1))$, então toda a desigualdade pode ser reescrita assim:
\[\begin(align) & ((\left(((3)^(-1)) \right))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x ))\Rightarrow ((3)^(-\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x)); \\ & \left(-\frac(3)(x)-\left(2+x \right) \right)\cdot \left(3-1 \right)\ge 0; \\ & \left(-\frac(3)(x)-2-x \right)\cdot 2\ge 0;\quad \left| :\esquerda(-2\direita)\direita. \\ & \frac(3)(x)+2+x\le 0; \\ & \frac(((x)^(2))+2x+3)(x)\le 0. \\\end(align)\]
Atenção: na terceira linha, decidi não perder tempo com ninharias e imediatamente dividir tudo por (−2). Minul foi para o primeiro colchete (agora há vantagens em todos os lugares), e o deuce foi reduzido com um multiplicador constante. Isso é exatamente o que você deve fazer ao fazer cálculos reais para trabalho independente e de controle - você não precisa pintar todas as ações e transformações diretamente.
Em seguida, o método familiar de intervalos entra em jogo. Zeros do numerador: mas não há nenhum. Porque o discriminante será negativo. Por sua vez, o denominador é definido como zero somente quando $x=0$ — assim como da última vez. Bem, é claro que a fração terá valores positivos à direita de $x=0$, e negativos à esquerda. Como estamos interessados apenas em valores negativos, a resposta final é $x\in \left(-\infty ;0 \right)$.
\[((\left(0,16 \right))^(1+2x))\cdot ((\left(6,25 \right))^(x))\ge 1\]
E o que deve ser feito com frações decimais em desigualdades exponenciais? Isso mesmo: livre-se deles convertendo-os em comuns. Aqui estamos traduzindo:
\[\begin(align) & 0,16=\frac(16)(100)=\frac(4)(25)\Rightarrow ((\left(0,16 \right))^(1+2x)) =((\left(\frac(4)(25) \right))^(1+2x)); \\ & 6,25=\frac(625)(100)=\frac(25)(4)\Rightarrow ((\left(6,25 \right))^(x))=((\left(\ frac(25)(4) \direita))^(x)). \\\end(alinhar)\]
Bem, o que conseguimos nas bases das funções exponenciais? E temos dois números mutuamente recíprocos:
\[\frac(25)(4)=((\left(\frac(4)(25) \right))^(-1))\Rightarrow ((\left(\frac(25)(4)) \ right))^(x))=((\left(((\left(\frac(4)(25) \right))^(-1)) \right))^(x))=((\ left(\frac(4)(25) \right))^(-x))\]
Assim, a desigualdade original pode ser reescrita da seguinte forma:
\[\begin(align) & ((\left(\frac(4)(25) \right))^(1+2x))\cdot ((\left(\frac(4)(25) \right) )^(-x))\ge 1; \\ & ((\left(\frac(4)(25) \right))^(1+2x+\left(-x \right)))\ge ((\left(\frac(4)(25)) \direito))^(0)); \\ & ((\left(\frac(4)(25) \right))^(x+1))\ge ((\left(\frac(4)(25) \right))^(0) ). \\\end(alinhar)\]
É claro que, ao multiplicar potências de mesma base, seus indicadores se somam, o que aconteceu na segunda linha. Além disso, representamos a unidade à direita, também como potência na base 4/25. Resta apenas racionalizar:
\[((\left(\frac(4)(25) \right))^(x+1))\ge ((\left(\frac(4)(25) \right))^(0)) \Rightarrow \left(x+1-0 \right)\cdot \left(\frac(4)(25)-1 \right)\ge 0\]
Observe que $\frac(4)(25)-1=\frac(4-25)(25) \lt 0$, ou seja, o segundo fator é uma constante negativa e, quando dividido por ela, o sinal de desigualdade mudará:
\[\begin(alinhar) & x+1-0\le 0\Rightarrow x\le -1; \\ & x\in \left(-\infty ;-1 \right]. \\\end(align)\]
Finalmente, a última desigualdade do "conjunto" atual:
\[((\left(\frac(27)(\sqrt(3)) \right))^(-x)) \lt ((9)^(4-2x))\cdot 81\]
Em princípio, a ideia de solução aqui também é clara: todas as funções exponenciais que compõem a desigualdade devem ser reduzidas à base “3”. Mas para isso você tem que mexer um pouco com raízes e graus:
\[\begin(align) & \frac(27)(\sqrt(3))=\frac(((3)^(3)))(((3)^(\frac(1)(3))) ))=((3)^(3-\frac(1)(3)))=((3)^(\frac(8)(3))); \\ & 9=((3)^(2));\quad 81=((3)^(4)). \\\end(alinhar)\]
Dados esses fatos, a desigualdade original pode ser reescrita da seguinte forma:
\[\begin(align) & ((\left(((3)^(\frac(8)(3)))) \right))^(-x)) \lt ((\left(((3)) ^(2)) \right))^(4-2x))\cdot ((3)^(4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(8-4x))\cdot ((3)^(4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(8-4x+4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(4-4x)). \\\end(alinhar)\]
Preste atenção às 2ª e 3ª linhas de cálculos: antes de fazer algo com desigualdade, certifique-se de trazê-lo para a forma que falamos desde o início da lição: $((a)^(x)) \lt ( (a)^(n))$. Contanto que você tenha multiplicadores esquerdo ou direito esquerdo, constantes extras, etc., nenhuma racionalização e "riscagem" dos fundamentos pode ser realizada! Inúmeras tarefas foram feitas de forma errada devido a um mal-entendido desse simples fato. Eu mesmo observo constantemente esse problema com meus alunos quando estamos apenas começando a analisar desigualdades exponenciais e logarítmicas.
Mas voltando à nossa tarefa. Vamos tentar desta vez fazer sem racionalização. Lembramos: a base do grau é maior que um, então os triplos podem ser simplesmente riscados - o sinal de desigualdade não mudará. Nós temos:
\[\begin(alinhar) & -\frac(8x)(3) \lt 4-4x; \\ & 4x-\frac(8x)(3) \lt 4; \\ & \frac(4x)(3) \lt 4; \\ & 4x \lt 12; \\ & x \lt 3. \\\end(alinhar)\]
Isso é tudo. Resposta final: $x\in \left(-\infty ;3 \right)$.
Destacando uma expressão estável e substituindo uma variável
Em conclusão, proponho resolver mais quatro desigualdades exponenciais, que já são bastante difíceis para alunos despreparados. Para lidar com eles, você precisa se lembrar das regras para trabalhar com diplomas. Em particular, colocando fatores comuns fora dos colchetes.
Mas o mais importante é aprender a entender: o que exatamente pode ser colocado entre colchetes. Tal expressão é chamada de estável - pode ser denotada por uma nova variável e, assim, se livrar da função exponencial. Então, vamos às tarefas:
\[\begin(alinhar) & ((5)^(x+2))+((5)^(x+1))\ge 6; \\ & ((3)^(x))+((3)^(x+2))\ge 90; \\ & ((25)^(x+1,5))-((5)^(2x+2)) \gt 2500; \\ & ((\left(0,5 \right))^(-4x-8))-((16)^(x+1,5)) \gt 768. \\\end(align)\]
Vamos começar com a primeira linha. Vamos escrever esta desigualdade separadamente:
\[((5)^(x+2))+((5)^(x+1))\ge 6\]
Observe que $((5)^(x+2))=((5)^(x+1+1))=((5)^(x+1))\cdot 5$, então o lado direito pode ser reescrita:
Observe que não há outras funções exponenciais, exceto $((5)^(x+1))$ na desigualdade. E, em geral, a variável $x$ não ocorre em nenhum outro lugar, então vamos introduzir uma nova variável: $((5)^(x+1))=t$. Obtemos a seguinte construção:
\[\begin(alinhar) & 5t+t\ge 6; \\ & 6t\ge 6; \\ & t\ge 1. \\\end(align)\]
Voltamos à variável original ($t=((5)^(x+1))$), e ao mesmo tempo lembramos que 1=5 0 . Nós temos:
\[\begin(alinhar) & ((5)^(x+1))\ge ((5)^(0)); \\ &x+1\ge 0; \\ & x\ge -1. \\\end(alinhar)\]
Essa é toda a solução! Resposta: $x\in \left[ -1;+\infty \right)$. Vamos para a segunda desigualdade:
\[((3)^(x))+((3)^(x+2))\ge 90\]
Tudo é igual aqui. Observe que $((3)^(x+2))=((3)^(x))\cdot ((3)^(2))=9\cdot ((3)^(x))$ . Então o lado esquerdo pode ser reescrito:
\[\begin(align) & ((3)^(x))+9\cdot ((3)^(x))\ge 90;\quad \left| ((3)^(x))=t \direito. \\&t+9t\ge 90; \\ & 10t\ge 90; \\ & t\ge 9\Rightarrow ((3)^(x))\ge 9\Rightarrow ((3)^(x))\ge ((3)^(2)); \\ & x\ge 2\Rightarrow x\in \left[ 2;+\infty \right). \\\end(alinhar)\]
É aproximadamente assim que você precisa tomar uma decisão sobre controle real e trabalho independente.
Bem, vamos tentar algo mais difícil. Por exemplo, aqui está uma desigualdade:
\[((25)^(x+1,5))-((5)^(2x+2)) \gt 2500\]
Qual é o problema aqui? Em primeiro lugar, as bases das funções exponenciais à esquerda são diferentes: 5 e 25. No entanto, 25 \u003d 5 2, então o primeiro termo pode ser transformado:
\[\begin(align) & ((25)^(x+1,5))=((\left(((5)^(2)) \right))^(x+1,5))= ((5)^(2x+3)); \\ & ((5)^(2x+3))=((5)^(2x+2+1))=((5)^(2x+2))\cdot 5. \\\end(align )\]
Como você pode ver, no começo trouxemos tudo para a mesma base, e depois notamos que o primeiro termo é facilmente reduzido ao segundo - basta expandir o expoente. Agora podemos introduzir com segurança uma nova variável: $((5)^(2x+2))=t$, e toda a desigualdade será reescrita assim:
\[\begin(align) & 5t-t\ge 2500; \\ & 4t\ge 2500; \\ & t\ge 625=((5)^(4)); \\ & ((5)^(2x+2))\ge ((5)^(4)); \\ & 2x+2\ge 4; \\ & 2x\ge 2; \\ & x\ge 1. \\\end(align)\]
Novamente, sem problemas! Resposta final: $x\in \left[ 1;+\infty \right)$. Passando para a desigualdade final na lição de hoje:
\[((\left(0,5 \right))^(-4x-8))-((16)^(x+1,5)) \gt 768\]
A primeira coisa que você deve prestar atenção é, claro, a fração decimal na base do primeiro grau. É necessário se livrar dele e, ao mesmo tempo, trazer todas as funções exponenciais para a mesma base - o número "2":
\[\begin(align) & 0,5=\frac(1)(2)=((2)^(-1))\Rightarrow ((\left(0,5 \right))^(-4x- 8))=((\left(((2)^(-1)) \right))^(-4x-8))=((2)^(4x+8)); \\ & 16=((2)^(4))\Rightarrow ((16)^(x+1,5))=((\left(((2)^(4)) \right))^( x+1,5))=((2)^(4x+6)); \\ & ((2)^(4x+8))-((2)^(4x+6)) \gt 768. \\\end(align)\]
Ótimo, demos o primeiro passo - tudo levou à mesma base. Agora precisamos destacar a expressão estável. Observe que $((2)^(4x+8))=((2)^(4x+6+2))=((2)^(4x+6))\cdot 4$. Se introduzirmos uma nova variável $((2)^(4x+6))=t$, então a desigualdade original pode ser reescrita da seguinte forma:
\[\begin(align) & 4t-t \gt 768; \\ & 3t \gt 768; \\ & t \gt 256=((2)^(8)); \\ & ((2)^(4x+6)) \gt ((2)^(8)); \\ & 4x+6 \gt 8; \\ & 4x \gt 2; \\ & x \gt \frac(1)(2)=0,5. \\\end(alinhar)\]
Naturalmente, pode surgir a pergunta: como descobrimos que 256 = 2 8 ? Infelizmente, aqui você só precisa saber as potências de dois (e ao mesmo tempo as potências de três e cinco). Bem, ou divida 256 por 2 (você pode dividir, já que 256 é um número par) até chegarmos ao resultado. Vai parecer algo assim:
\[\begin(align) & 256=128\cdot 2= \\ & =64\cdot 2\cdot 2= \\ & =32\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =16\cdot 2 \cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =8\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =4\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =((2)^(8)).\end(align )\]
O mesmo acontece com o três (os números 9, 27, 81 e 243 são suas potências), e com o sete (os números 49 e 343 também seria bom lembrar). Bem, os cinco também têm diplomas “bonitos” que você precisa conhecer:
\[\begin(alinhar) & ((5)^(2))=25; \\ & ((5)^(3))=125; \\ & ((5)^(4))=625; \\ & ((5)^(5))=3125. \\\end(alinhar)\]
Claro, todos esses números, se desejado, podem ser restaurados na mente, simplesmente multiplicando-os sucessivamente um pelo outro. No entanto, quando você tem que resolver várias desigualdades exponenciais, e cada uma delas é mais difícil que a anterior, a última coisa que você quer pensar é nas potências de alguns números. E, nesse sentido, esses problemas são mais complexos do que as desigualdades "clássicas", que são resolvidas pelo método intervalar.
Espero que esta lição tenha ajudado você a dominar este tópico. Se algo não estiver claro, pergunte nos comentários. E até os próximos tutoriais. :)
Tópico 6. Equações e desigualdades exponenciais e logarítmicas (11 horas)
Tópico da lição. Desigualdades que são reduzidas ao mais simples substituindo a incógnita.
O objetivo da lição: Formar as habilidades de resolver desigualdades exponenciais e logarítmicas, reduzindo às mais simples, substituindo a incógnita.
Tarefas:
Educacional: repetir e consolidar o conhecimento sobre o tema "resolver as mais simples desigualdades exponenciais e logarítmicas", aprender a resolver as desigualdades logarítmicas e exponenciais pelo método de substituição.
Desenvolver: formar a capacidade do aluno de distinguir dois tipos de desigualdade e determinar maneiras de resolvê-los (pensamento lógico e intuitivo, fundamentação de julgamentos, classificação, comparação), formar habilidades de autocontrole e autoexame, a capacidade de se mover de acordo com um determinado algoritmo, avalie e corrija o resultado.
Educacional: dar continuidade à formação de qualidades dos alunos como: a capacidade de ouvir uns aos outros; a capacidade de exercer controle mútuo e auto-avaliação.
Tipo de aula: combinado.
Livro didático de álgebra série 10 S.M. Nikolsky, M. K. Potapov, N. N. Reshetnikov, A. V. Shevkin
Durante as aulas
Organizando o tempo.
Verificando a lição de casa.
Atualização de conhecimentos básicos.
Frontal:
1. Que desigualdades são chamadas de desigualdades exponenciais mais simples?
2. Explique qual é o significado de resolver as desigualdades exponenciais mais simples.
3. Que desigualdades são chamadas de desigualdades logarítmicas mais simples?
4. Explique qual é o significado de resolver as desigualdades logarítmicas mais simples.
Com uma anotação no quadro (1 aluno cada):
Resolver desigualdades
2x<1160,3х<103log2x>5log15x>-2Explicação do novo material e sua consolidação gradual.
1.1. Explicação do novo material.
1. Resolva a desigualdade:
2x2-3x<14Пусть х2-3х=t, тогда
2t<142t<2-2т. к. основание 2>1, então
t<-2Обратная замена:
x2-3x<-2х2-3х+2<0Нахдим его корни: x1=1, x2=2Отмечаем эти точки на координатной прямой и выясняем знак выражения x2−3x+2 на каждом из полученных интервалов.
Estamos interessados no sinal "−−".
Resposta: x∈(1;2)
2. Resolva a desigualdade
1.2. Reforço passo a passo.
Nº 6.49 (a, c).
Nº 6.52(e).
a) 74x2-9x+6>74x2-9x+6>14x2-9x+5>0x1=5/4x2=1
Resposta: -∞; 1∪54; + ∞v) (13) 5x2-4x-3> 95x2-4x-3<-25х2-4х-1<0x1=-15 x2=1
Resposta: -15; 1e) log5x2-2x-3<1
log5x2-2x-3
Resposta: -2;-1∪3;42.1. Explicação do novo material.
3. Resolva a desigualdade
Então 1 desigualdade faz sentido para todo x, e a segunda
2.2. Reforço passo a passo.
Resolva a desigualdade #6.56(c)
3.1. Explicação do novo material.
4. Resolva a desigualdade
3.2. Reforço passo a passo.
Resolva a desigualdade #6.60(a)
Resumindo a lição.
Reflexão.
Trabalho de casa.
P. 6.6
Nº 6.49 (b, d)
Nº 6.52 (a, b)
Nº 6.56 (e)
Nº 6.60 (b)
Arquivos anexados
Professor de matemática MOU - escola secundária No. 2 r.p. Stepnoe Trufyakova Galina Ivanovna website
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Resumo da lição
O tópico "Desigualdades expositivas" é o tópico mais importante da matemática. De acordo com o livro didático de S. M. Nikolsky, é estudado na 10ª série e 2 horas são alocadas para seu estudo no planejamento: 1 hora - As desigualdades exponenciais mais simples; 1 hora - Desigualdades que se reduzem à mais simples substituição do desconhecido. Durante este tempo, é necessário apresentar aos alunos um material novo e muito volumoso, ensiná-los a resolver todos os tipos de desigualdades exponenciais e trabalhar bem essas habilidades e habilidades. as tecnologias de informação e comunicação permitem resolver estes problemas de forma rápida e com grande sucesso.
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Albert Einstein
“Tenho que dividir meu tempo entre política e resolver equações e desigualdades. No entanto, a solução de equações e desigualdades, na minha opinião, é muito mais importante, porque a política existe apenas para este momento, e equações e desigualdades existirão para sempre.
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Estrutura da lição
Momento organizacional Estabelecimento de metas e objetivos Plano de aula Atualização do conhecimento dos alunos na forma de repetição de material previamente estudado Introdução de novos conhecimentos Consolidação do conhecimento na forma de entrevista Resumo da lição Trabalho de casa
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Organizando o tempo
Cumprimente os alunos Registre os nomes dos alunos que estão ausentes da aula no diário da turma
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Estabelecimento de metas e objetivos
Anunciar aos alunos no início da aula suas metas e objetivos Apresente aos alunos o plano de aula e anote-o em um caderno
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lições objetivas
Educacional Formação do conceito de desigualdade exponencial Familiarização dos alunos com tipos de desigualdades exponenciais Formação de competências e habilidades para a resolução de desigualdades exponenciais
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Educacional Educação da diligência Educação da independência no alcance da meta Formação de habilidades computacionais Formação de habilidades estéticas ao fazer registros
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Desenvolvimento Desenvolvimento da atividade mental Desenvolvimento da iniciativa criativa Desenvolvimento da atividade cognitiva Desenvolvimento da fala e da memória
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Lições objetivas
Repetir as propriedades de uma função exponencial Repetir as regras para resolver inequações racionais quadradas e fracionárias Elaborar um algoritmo para resolver as inequações exponenciais mais simples Ensine os alunos a distinguir entre os tipos de inequações exponenciais Ensine os alunos a resolver inequações exponenciais
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Tipo de lição
Lição na formação de novos conhecimentos
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Tipo de aula
Lição - palestra
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Métodos de ensino
Problemática de pesquisa heurística explicativa-ilustrativa
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Tecnologia de aprendizagem
Tecnologia da Informação e Comunicação Baseada na Aprendizagem Baseada em Problemas
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Plano de aula
Repetição das propriedades de uma função exponencial As desigualdades exponenciais mais simples As desigualdades exponenciais que se reduzem às mais simples As desigualdades exponenciais que se reduzem a desigualdades quadráticas Desigualdades exponenciais homogêneas de primeiro grau Desigualdades exponenciais homogêneas de segundo grau
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Repetição de material previamente estudado
Resolva no quadro e no caderno: a) inequações quadradas: x² - 2x - 1≥0 x² - 2x - 3 ≤0 b) desigualdade fracionária-racional: (x - 5) \ (x - 2) ≤ 0
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Repetição das propriedades da função exponencial
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decrescente monotonicamente em R O eixo x é uma assíntota horizontal aumentando monotonicamente em R 8. Para quaisquer valores reais de x e y; a>0, a≠1; b>0, b≠1. 7. Assíntota 6. Extremos 5. Monotonicidade 4. Paridade, estranheza 3. Intervalos de comparação de valores de uma função com a unidade 2. Domínio de valores de uma função 1 Domínio de uma função Propriedades de uma função exponencial Desigualdades exponenciais , tipos e métodos de solução não tem extremos A função não é nem par nem ímpar (função geral).
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Desigualdades exponenciais, seus tipos e métodos de solução Tarefa número 1 Encontre o domínio da função
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Desigualdades exponenciais, seus tipos e métodos de solução Tarefa número 2 Determine os valores
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Desigualdades exponenciais, seus tipos e métodos de solução Tarefa № 3 Determine o tipo de função crescente decrescente crescente decrescente
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Introdução de novos conhecimentos
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Desigualdades exponenciais, seus tipos e métodos de solução DEFINIÇÃO das desigualdades exponenciais mais simples: Seja a um dado número positivo diferente de um e b um dado número real. Então as desigualdades ax>b (ax≥b) e ax
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Desigualdades exponenciais, seus tipos e métodos de solução A solução de uma inequação de incógnita x é o número x0, ao substituí-lo na inequação obtém-se uma verdadeira inequação numérica.
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Desigualdades exponenciais, seus tipos e métodos de solução O QUE SIGNIFICA resolver uma desigualdade? Resolver uma inequação significa encontrar todas as suas soluções ou mostrar que não há nenhuma.
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Considere a posição relativa do gráfico da função y=ax, a>0, a≠1 e a reta y=b. Desigualdades exponenciais, seus tipos e métodos para resolver y x y x y=b, b 0 y=b, b> 0 0 1 0 1 x0 x0
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Desigualdades exponenciais, seus tipos e métodos de solução está localizado abaixo da curva y=ax, então as desigualdades ax>b(ax≥b) valem para xR, e as desigualdades ax
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CONCLUSÃO №2: y x 0 x0 x1 y=b, b>0 x2 Desigualdades exponenciais, seus tipos e métodos de solução Se a>1 eb>0, então para cada x1 x0- abaixo da linha y=b. 1 Para b> 0, a linha y = b intercepta o gráfico da função y= ax em um único ponto, cuja abcissa é x0 = logab
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CONCLUSÃO №2: y x 0 x0 x1 y=b, b>0 1 Desigualdades exponenciais, seus tipos e métodos de solução de cada x2 0, a reta y = b intercepta o gráfico da função y= ax em um único ponto , cuja abcissa é x0 = logab x2
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As desigualdades exponenciais mais simples Desigualdades exponenciais, seus tipos e métodos de solução
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Desigualdades exponenciais, seus tipos e métodos de solução Exemplo nº 1.1 Resposta: aumenta em todo o domínio de definição, Solução:
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Desigualdades exponenciais, seus tipos e métodos de solução Exemplo nº 1.2 Solução: Resposta: diminui em todo o domínio de definição,
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Desigualdades exponenciais, seus tipos e métodos de solução Exemplo nº 1.3 Solução: Resposta: aumenta em todo o domínio de definição,
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Desigualdades exponenciais, seus tipos e métodos para resolver Tipos de desigualdades exponenciais e métodos para resolvê-las
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Desigualdades exponenciais, seus tipos e métodos de solução Exemplo nº 1.4 Solução: aumenta em todo o domínio de definição, Resposta:
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Desigualdades exponenciais, seus tipos e métodos de solução
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Desigualdades exponenciais, seus tipos e métodos de resolução Tipos de desigualdades exponenciais e métodos para resolvê-las 2) Desigualdades exponenciais que se reduzem a desigualdades quadráticas
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Desigualdades exponenciais, seus tipos e métodos de resolução Tipos de desigualdades exponenciais e métodos de resolução 3) Desigualdades exponenciais homogéneas de primeiro e segundo grau. Desigualdades exponenciais homogêneas do primeiro grau Exemplo nº 1 aumenta em todo o domínio de definição Resposta: Solução:
Desigualdades exponenciais, seus tipos e métodos de resolução Tipos de desigualdades exponenciais e métodos de resolução 4) Desigualdades exponenciais que se reduzem a desigualdades racionais.
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Desigualdades exponenciais, seus tipos e métodos para resolver Tipos de desigualdades exponenciais e métodos para resolvê-las 5) Desigualdades exponenciais não padronizadas Exemplo Solução: Vamos resolver cada afirmação do conjunto separadamente. A desigualdade é igual ao agregado
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Desigualdades exponenciais, seus tipos e métodos para resolver Tipos de desigualdades exponenciais e métodos para resolvê-las não é uma solução para a equação. Então,
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Consolidação do conhecimento
Que desigualdades são chamadas de exponenciais? Quando uma desigualdade exponencial tem solução para quaisquer valores de x? Quando uma desigualdade exponencial não tem soluções? Que tipos de desigualdade você aprendeu nesta lição? Como as inequações simples são resolvidas? Como as desigualdades reduzidas a quadrados são resolvidas? Como as desigualdades homogêneas são resolvidas? Como se resolvem as desigualdades reduzidas a racionais?
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Resumo da lição
Descubra o que os alunos aprenderam nesta lição Atribua notas aos alunos para o trabalho na lição com comentários detalhados
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Trabalho de casa
Livro didático para o grau 10 "Álgebra e o início da análise" Autor S.M. Nikolsky Para estudar os parágrafos 6.4 e 6.6, No. 6.31-6.35 e No. 6.45-6.50 resolver
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Desigualdades exponenciais, seus tipos e métodos de solução
Local de trabalho, cargo: — MOU-SOSH r.p. Pushkino, professor
Região: — região de Saratov
Características da aula (turma) Nível de escolaridade: - ensino secundário (completo) geral
Público-alvo: – Aluno (estudante)
Público-alvo: – Professor (professor)
Turma(s): – 10ª série
Assunto(s): – Álgebra
O objectivo da aula: - didáctico: melhorar as técnicas e métodos básicos de resolução de desigualdades logarítmicas e exponenciais e assegurar que todos os alunos dominem os métodos algorítmicos básicos para resolver desigualdades exponenciais e logarítmicas; desenvolver: desenvolver o pensamento lógico, a memória, o interesse cognitivo, continuar a formação do discurso matemático, desenvolver a capacidade de analisar e comparar; educacional: acostumar-se ao design estético das notas em um caderno, a capacidade de ouvir os outros e a capacidade de se comunicar, incutir precisão e diligência.
Tipo de aula: - Aula de generalização e sistematização do conhecimento
Alunos da turma (público): - 25
Breve descrição: - A resolução de desigualdades exponenciais e logarítmicas é considerada um dos tópicos mais difíceis da matemática e exige que os alunos tenham bons conhecimentos teóricos, a capacidade de aplicá-los na prática, requer atenção, diligência e raciocínio rápido. O tema discutido na lição também é submetido a exames de admissão em universidades e exames finais. Este tipo de aula desenvolve o pensamento lógico, a memória, o interesse cognitivo, contribui para o desenvolvimento da capacidade de analisar, comparar e ouvir os outros.
Etapas da lição e seu conteúdo
Tempo
(min)
atividade
professores
aluna
1. Estágio organizacional
organizacional
Informe os ausentes.
2. Definição de metas
Hoje, na lição, continuaremos a trabalhar os métodos e métodos básicos estudados para resolver desigualdades exponenciais e logarítmicas e também considerar outras maneiras de resolver desigualdades logarítmicas e exponenciais: esta é a transição para desigualdades racionais substituindo a incógnita e também uma maneira de dividir ambas as partes da desigualdade por um número positivo.
Informa o tema da aula, a data da aula, o objetivo da aula
Anote em um caderno
3. Verificando a lição de casa
A pedido dos alunos, chama 3 pessoas para o quadro, em paralelo realiza uma conversa frontal sobre questões teóricas
Quatro pessoas trabalham no quadro-negro, o restante participa de uma pesquisa teórica
Em casa, você foi solicitado a resolver desigualdades logarítmicas e exponenciais em dois níveis de complexidade. Vamos ver a solução de alguns deles
6.49(a); 6.52(d) 6.56(b), 6.54(b).
4.Atualizando o conhecimento dos alunos
Vamos lembrar quais métodos discutimos na última lição.
Hoje vamos considerar as desigualdades, que, após a introdução de uma nova incógnita, se transformam em desigualdades racionais.
Para fazer isso, lembre-se qual é a solução de uma desigualdade racional da forma A(x) / B(x)>0? Que método é usado para resolver desigualdades racionais?
5. Melhorar o conhecimento e as habilidades dos alunos
xx
Exemplo1)2 - 9 / (2 -1)0
3 minutos
x +0,5xx +0,5
3). 25- 710+4>0
3 minutos
5). Fixação de um novo.
Fazendo exercícios na prancha
6.48(.g);6.58(b);6.59(b) -no conselho 6.62(c)
Direciona para a escolha de um método de solução racional. monitora a alfabetização do raciocínio e o registro correto da solução da desigualdade. Dá uma estimativa para o trabalho
Um aluno decide no quadro-negro. O restante anota a solução em um caderno.
6) Trabalho independente diferenciado (Tarefa na tela)
1º nível:
1 opção 2 opção
No. 6.48(b); No. 6.48(e);
Nº 6.58 (a); Nº 6.58 (c)
2º nível:
1 opção 2 opção
Nº 6.61(b); Nº 6.61(d);
Nº 6.62 (c); Nº 6.62 (d).
5 minutos
2 pessoas trabalham individualmente na placa lateral. O restante realiza trabalho independente em vários níveis no campo.
7) Verificação do trabalho autônomo
3 minutos
8) Dever de casa (na tela)
Nível 1 p.6.6; Nº 6.48 (a.); Nº 6.57 (1 artigo); Nº 6.50 (a).
Nível 2: p.6.6; No. 6.59(c); Nº 6.62 (a); Nº. 158 (p. 382); Nº. 168 (a, b) (pág. 383)
2 minutos
Explica o dever de casa, chamando a atenção dos alunos para o fato de que tarefas semelhantes foram resolvidas em sala de aula.
As duas últimas tarefas foram oferecidas na admissão à Universidade Estadual de Moscou e à MTITF.
Depois de ouvir atentamente o professor, anote o dever de casa. O nível de dificuldade é escolhido por você mesmo.
8) Resumindo a lição: A resolução de desigualdades exponenciais e logarítmicas é considerada um dos tópicos difíceis do curso de matemática escolar e exige que os alunos tenham bons conhecimentos teóricos, a capacidade de aplicá-los na prática, requer atenção, diligência, raciocínio rápido, é por isso que as desigualdades consideradas na aula são submetidas aos exames introdutórios para universidades e exames finais. Hoje na aula todos trabalharam muito bem e receberam as seguintes notas
Obrigado a todos.
2 minutos
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