Palavras-chave

PADRÕES EDUCACIONAIS DE TERCEIRA GERAÇÃO / NORMAS EDUCACIONAIS DA TERCEIRA GERAÇÃO / ABORDAGEM BASEADA EM COMPETÊNCIAS NO ENSINO / ABORDAGEM DE COMPETÊNCIA NO ENSINO / ENSINO DE GEOMETRIA ANALÍTICA/ ENSINO DE GEOMETRIA ANALÍTICA / RELAÇÕES ENTRE SUJEITOS / RELAÇÕES ENTRE SUJEITOS / COMUNICAÇÃO INTERDISCIPLINAR / ENSINO DE MATEMÁTICA SUPERIOR/ ENSINO DE MATEMÁTICA / CURVAS NO PLANO / SUPERFÍCIES DA PRIMEIRA E SEGUNDA ORDEM / AS SUPERFÍCIES CURVAS DA PRIMEIRA E SEGUNDA ORDEM/ INTRA COMUNICAÇÃO

anotação artigo científico sobre as ciências da educação, autor do trabalho científico - Balabaeva Natalya Petrovna, Enbom Ekaterina Alexandrovna

A cada ano, a questão da formação para empresas em vários campos de especialistas altamente qualificados com tecnologias e métodos altamente eficientes torna-se cada vez mais urgente. A situação atual exige uma séria revisão da abordagem do processo de aprendizagem na universidade, mudanças fundamentais na estrutura e conteúdo das disciplinas ministradas. Nos currículos dos bacharéis das áreas técnicas, o número de aulas expositivas e de aulas práticas nas disciplinas do ciclo de física e matemática foi significativamente reduzido, desde que seja preservado o conteúdo e a profundidade de abrangência da área disciplinar. Nesta situação, é importante selecionar e estruturar o conteúdo da disciplina de tal forma que a qualidade de assimilação do material atenda aos requisitos modernos do padrão educacional. Este momento é especialmente importante no primeiro ano, no início dos estudos em uma universidade, quando são lançadas as bases dos conhecimentos fundamentais e formada a atitude do aluno em relação ao estudo e à futura atividade profissional. Neste artigo, este problema é considerado no exemplo do ensino de bacharéis de direções técnicas na seção "Geometria Analítica" do curso "Matemática". Os autores propõem formas específicas de alterar a organização das sessões de formação em geometria analítica no contexto de uma redução acentuada do número de horas de aula na disciplina "Matemática" como um todo. A justificativa para essas mudanças são interdisciplinares e, principalmente, comunicações intra-assunto geometria analítica com outras seções de matemática superior e disciplinas técnicas.

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• 2014 / Balabaeva Natalya Petrovna, Enbom Ekaterina Alexandrovna

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  2014 / Balabaeva Natalya Petrovna
• 2017 / Murashkina Tatyana Ivanovna, Korolev Evgeny Alekseevich, Egorov Alexander Yuryevich

• Experiência computacional na educação produtiva de futuros bacharéis

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  2014 / Bolotyuk Vladimir Anatolyevich, Bolotyuk Lyudmila Anatolyevna, Shved Elena Anatolyevna

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• Implementação do princípio da continuidade e utilização de uma abordagem integrativa no exemplo de estudo das questões de ortogonalidade de famílias de curvas de segunda ordem no âmbito da disciplina "Equações Diferenciais"

  2019 / Nikolai Kirin

• Formação da cultura matemática de alunos da direção de formação de engenharia de rádio.

  2013 / Kutarova Evgenia Ivanovna, Samokhin Anatoly Vasilyevich

• Pesquisa computacional no ensino de geometria para futuros bacharéis

  2017 / Bukusheva Aliya Vladimirovna

A cada ano torna-se mais urgente a questão da formação para empresas em várias áreas de pessoal de especialistas de qualificação superior que dominam tecnologias e métodos de alta eficiência. A situação moderna exige uma séria revisão da abordagem do processo de aprendizagem na Universidade, mudanças radicais na estrutura e conteúdo das disciplinas ministradas. Na grade curricular dos bacharéis nas áreas técnicas da área diminuiu significativamente o número de aulas teóricas e aulas práticas nas disciplinas do ciclo de física e matemática, condicionada à necessidade de preservação do conteúdo e profundidade de abrangência da área disciplinar. Nesta situação é importante selecionar e estruturar o conteúdo da disciplina para que a qualidade do material didático atenda as exigências modernas do padrão educacional. Especialmente importante este momento é no primeiro ano, no início do estudo na Universidade, quando o quadro de conhecimentos fundamentais e forma a atitude do aluno para o estudo e a futura atividade profissional. nas áreas técnicas da seção "Geometria Analítica" do curso de Matemática Geral.A justificativa para essas mudanças são interdisciplinares e, especialmente, comunicações intradisciplinas de geometria analítica com outras seções de matemática superior e disciplinas técnicas.

O texto do trabalho científico sobre o tema "Os principais aspectos do ensino de geometria analítica em uma universidade técnica, levando em consideração as exigências do padrão educacional federal de terceira geração"

PRINCIPAIS ASPECTOS DO ENSINO DE GEOMETRIA ANALÍTICA EM UMA UNIVERSIDADE TÉCNICA COM REQUISITOS DA TERCEIRA GERAÇÃO DO PADRÃO EDUCACIONAL FEDERAL

Balabaeva Natalya Petrovna, Candidata de Ciências Físicas e Matemáticas, Professora Associada, Professora Associada do Departamento de Matemática Superior Ekaterina Alexandrovna Enbom, Candidata de Ciências Físicas e Matemáticas, Professora Associada,

Professor Associado, Departamento de Matemática Superior, Universidade Estadual de Telecomunicações e Informática do Volga, Samara (Rússia) Resumo. A cada ano, a questão da formação de pessoal altamente qualificado para empresas em vários campos - especialistas que possuem tecnologias e métodos altamente eficientes - torna-se cada vez mais urgente. A situação atual exige uma séria revisão da abordagem do processo de aprendizagem na universidade, mudanças fundamentais na estrutura e conteúdo das disciplinas ministradas. Nos currículos dos bacharéis das áreas técnicas, o número de aulas expositivas e de aulas práticas nas disciplinas do ciclo de física e matemática foi significativamente reduzido, desde que seja preservado o conteúdo e a profundidade de abrangência da área disciplinar. Nesta situação, é importante selecionar e estruturar o conteúdo da disciplina de tal forma que a qualidade de assimilação do material atenda aos requisitos modernos do padrão educacional. Este momento é especialmente importante no primeiro ano, no início dos estudos em uma universidade, quando são lançadas as bases dos conhecimentos fundamentais e formada a atitude do aluno em relação ao estudo e à futura atividade profissional. Neste artigo, este problema é considerado no exemplo do ensino de bacharéis de direções técnicas na seção "Geometria Analítica" do curso "Matemática". Os autores propõem formas específicas de alterar a organização das sessões de formação em geometria analítica no contexto de uma redução acentuada do número de horas de aula na disciplina "Matemática" como um todo. A justificativa para essas mudanças são as conexões interdisciplinares e, especialmente, intradisciplinares da geometria analítica com outras seções da matemática superior e disciplinas técnicas.

Palavras-chave: padrões educacionais de terceira geração, abordagem de ensino baseada em competências, ensino de geometria analítica, comunicação intradisciplina, comunicação interdisciplina, ensino de matemática superior, curvas em um plano, superfícies de primeira e segunda ordem.

OS PRINCIPAIS ASPECTOS DO ENSINO DE GEOMETRIA ANALÍTICA NA UNIVERSIDADE TÉCNICA SUJEITOS AOS REQUISITOS PADRÃO EDUCACIONAL FEDERAL TERCEIRA GERAÇÃO

Balabaeva Natalia Petrovna, a candidata de ciências físicas e matemáticas, professora associada

do Departamento de Matemática Superior Enbom Ekaterina Aleksandrovna, o candidato de Ciências Físicas e Matemáticas, professor associado do Departamento de Matemática Superior Povolzhskiy Universidade Estadual de Telecomunicações e Informática, Samara (Rússia) Resumo. A cada ano torna-se mais urgente a questão da formação para empresas em várias áreas de pessoal de especialistas de qualificação superior que dominam tecnologias e métodos de alta eficiência. A situação moderna exige uma séria revisão da abordagem do processo de aprendizagem na Universidade, mudanças radicais na estrutura e conteúdo das disciplinas ministradas. Na grade curricular dos bacharéis nas áreas técnicas da área diminuiu significativamente o número de aulas teóricas e aulas práticas nas disciplinas do ciclo de física e matemática, condicionada à necessidade de preservação do conteúdo e profundidade de abrangência da área disciplinar. Nesta situação é importante selecionar e estruturar o conteúdo da disciplina para que a qualidade do material didático atenda as exigências modernas do padrão educacional. Especialmente importante este momento é no primeiro ano, no início do estudo na Universidade, quando o quadro de conhecimentos fundamentais e forma a atitude do aluno para o estudo e a futura atividade profissional. nas áreas técnicas da seção "Geometria Analítica" do curso de Matemática Geral.A justificativa para essas mudanças são interdisciplinares e, especialmente, comunicações intradisciplinas de geometria analítica com outras seções de matemática superior e disciplinas técnicas.

Palavras-chave: padrões educacionais de terceira geração, abordagem de competências em ensino, ensino de geometria analítica, intracomunicação, comunicação interdisciplinar, ensino de matemática, superfícies curvas de primeira e segunda ordem.

O rápido desenvolvimento da ciência e tecnologia modernas, meios e tecnologias afeta todas as esferas da atividade humana. O Ministério da Educação e Ciência da Federação Russa está respondendo a isso emitindo novos Padrões Educacionais Estaduais Federais para o Ensino Superior. Uma análise das competências profissionais declaradas no Padrão Estadual de Educação Federal do ensino superior para as áreas de engenharia de formação de bacharelado revelou a presença de competências próximas em sua funcionalidade. Essas competências profissionais dos futuros engenheiros correspondem às modernas habilidades práticas exigidas nas atividades de engenharia e são capazes de satisfazer a necessidade de profissionais altamente qualificados para dar continuidade ao progresso científico e tecnológico.

Com o mecanismo certo para a formação do

de altas competências, os futuros engenheiros devem ser capazes de desempenhar suas funções de forma rápida e eficiente, possuindo alto potencial criativo e conhecimento moderno de alta qualidade.

A geometria analítica desempenha um papel importante no desenvolvimento do pensamento espacial dos alunos de uma universidade técnica e, mais importante, na formação de conhecimento estável da teoria de curvas e superfícies de primeira e segunda ordem. O estudo da geometria contribui para o desenvolvimento das representações espaciais e da imaginação espacial dos alunos - as qualidades necessárias para resolver problemas técnicos aplicados e caracterizando um alto nível de pensamento de engenharia.

A redução das horas de aula leva inevitavelmente a uma redução do material sobre geometria analítica estudado pelos alunos nas aulas e

exercícios práticos sob a orientação de um professor. Os alunos são estimulados a dominar por conta própria uma parte significativa dos tópicos, o que pressupõe sua capacidade previamente formada para trabalhar com literatura matemática científica, analisando e sistematizando material teórico. Como esta seção de matemática superior é estudada no primeiro semestre do primeiro ano de estudo, é muito difícil para os alunos, na verdade, os alunos de ontem, lidar com um texto científico. Além disso, o nível de preparação matemática e desenvolvimento do pensamento espacial de muitos graduados da escola é insuficiente para o domínio bem-sucedido do material. O professor deve apresentar a teoria e os problemas básicos da geometria analítica em menos horas de aula, de modo que possam ser dominados com sucesso por alunos com diferentes formações matemáticas. A manutenção de uma educação de alta qualidade diante da redução da carga horária em sala de aula preocupa muitos professores de diversas instituições de ensino superior.

Nesse sentido, há um sério problema de escolher os assuntos que devem receber atenção considerável na sala de aula; questões sobre as quais é suficiente dar apenas uma breve visão geral; e questões que podem ser deixadas para estudo independente.

A escolha dos tópicos que requerem atenção especial deve ser feita, em nossa opinião, com base nas conexões intra e interdisciplinares da geometria analítica com vários ramos da matemática e outras disciplinas. É a consideração das relações intra-sujeitos que permite organizar o estudo de conceitos inter-relacionados em diferentes etapas da educação. A construção consistente de ligações sucessivas e recursivas intradisciplinares entre secções da matemática permite evitar o formalismo no conhecimento dos alunos, contribui para o desenvolvimento do pensamento lógico e reflexivo.

No estudo mais aprofundado de seções de matemática superior, surge constantemente a necessidade de aplicar vários fatos da geometria analítica, e o professor, é claro, não tem tempo para explicá-los em detalhes. Por exemplo, a equação de uma linha reta que passa por dois pontos dados é usada no estudo da seção "Teoria de Campo" ao calcular diretamente a circulação de um campo vetorial usando uma integral curvilínea. Portanto, a habilidade de compilar exatamente essa equação deve ser especialmente bem trabalhada, enquanto as tarefas de compilar uma equação vetorial de uma linha reta podem ser oferecidas aos alunos para desmontarem por conta própria.

Ao estudar as aplicações de uma integral definida, integrais múltiplas e curvilíneas, há a necessidade de uma representação geométrica do modelo em estudo. Nesse sentido, na aula de geometria analítica

atenção especial deve ser dada ao reconhecimento das equações das curvas de segunda ordem e à construção dessas curvas de acordo com uma dada equação. Ao mesmo tempo, em nossa opinião, não se deve excluir de consideração a análise da equação geral de uma reta, a equação geral de um plano e a equação geral de uma curva de segunda ordem do ponto de vista de o significado geométrico dos coeficientes.

Como exemplo, considere um problema que ilustra a conexão entre as equações de curvas, suas imagens geométricas e o cálculo da área de uma figura usando o cálculo integral (Figura 1).

Tarefa 1. Calcule a área da figura delimitada por linhas: y2 - 6y + x2 = 0, y2 - 10y + x2 = 0,

Solução. A figura cuja área precisa ser encontrada é uma parte do plano entre os círculos x2 + (y _ 3) 2 = 9 e

x2 + (y _ 5)2 = 25 com centros respectivamente nos pontos

(0; 3) e (0; 5), e raios R = 3 e R = 5 , eixo Oy e

bissetriz do primeiro quarto (Fig. 1).

Calculamos sua área usando uma integral dupla, na qual é aconselhável mudar para coordenadas polares x = p cos f, y = p sin f:

S = Цdxdy = Црdрdф = | df | pdp = 4(n + 2).

D D l/ 4 6sin f

Você pode considerar essa área como a diferença entre as áreas de dois setores curvilíneos e calculá-la usando uma certa integral usando a fórmula 1 em

S = 2 |p2 (f)d f.

Para trabalhos independentes, pode-se oferecer aos alunos uma tarefa mais complexa, de modo que sua solução exija a introdução não de um padrão, mas de um sistema de coordenadas polares generalizadas. A teoria deste tema não é possível de ser considerada em sala de aula por falta de tempo, os alunos precisam estudar por conta própria, utilizando a literatura recomendada. De fato, já nessa fase de ensino, os alunos são envolvidos em trabalhos de pesquisa, o que, aliás, também é uma exigência da Norma Estadual Federal de Educação.

Problema 2. A placa B é dada pelas desigualdades

1 < х 716 + у2 /4 < 4, х >0, y\u003e x / 2, q \u003d x / y - densidade da superfície. Encontre a massa da placa.

Solução. A placa D faz parte

o plano compreendido entre as elipses x716 + y 74 = 1, x2/64 + y 716 = 1, o eixo Oy, a reta y = x/2, localizada no primeiro quarto (Fig.

2). O sistema de coordenadas polares generalizadas tem a forma: x = 4 p cos f, y = 2 p sin f. Neste sistema de coordenadas, as elipses têm equações: p \u003d 1,_ p \u003d 2 e linhas retas -

φ = n/4 e φ = n/2. O determinante de Jacobi é calculado

simples o suficiente:

dx/ df dx/dr dn/df dn/dr

4p sen f 4cos f 2p cos f 2sin f

Com tal mudança de variáveis, a integral dupla é calculada de forma mais racional, no sistema de coordenadas:

Com esta abordagem ao ensino de geometria analítica, resolvendo o problema 3 no decorrer da análise matemática: encontre a área de uma figura delimitada por linhas

x \u003d 6 - l / 36 - y2, x + ^6 - y2 \u003d 0,

A atenção dos alunos deve ser

está focado no cálculo das correspondentes integrais bastante complexas, e a definição de tipos de dados de curvas (círculo, parábola, elipse) e sua construção não devem mais causar dificuldades.

Como no curso da geometria analítica em um plano, um grande número de curvas é estudado, que são especificados explicitamente e parametricamente no sistema de coordenadas cartesianas e

dado por equações explícitas e implícitas no sistema de coordenadas polares, que são de grande importância em matemática, física, tecnologia, é aconselhável recomendar aos alunos que completem o "Álbum de curvas" como um trabalho independente.

Desenha as curvas propostas pelo professor, necessárias para o aprofundamento da matemática, com indicação de suas equações.

Como mostra a experiência, os alunos estão interessados ​​neste tipo de tarefas. Muitos alunos do primeiro ano realizam gráficos em pacotes de matemática aplicada em um computador, o que sem dúvida é bem-vindo em uma universidade técnica.

Alguns alunos fornecem informações no álbum sobre onde essas curvas são usadas na tecnologia. Isso também é bem recebido pelo professor, pois de fato a busca por tais informações é um elemento da atividade de pesquisa. Por exemplo, a lemniscata de Bernoulli (Fig. 3) é usada no projeto de estradas e ferrovias como uma curva de transição - uma linha cuja curvatura aumenta gradualmente a partir do valor inicial, em contraste com um círculo, ao se mover ao longo do qual a força centrífuga aumenta bruscamente, o que não é seguro.

Com um estudo mais aprofundado da matemática, esse "Álbum de curvas" é muito útil. Quando o tópico “Integrais Impróprias com Limites Infinitos e Integrais Impróprias de Funções Ilimitadas” é considerado nas aulas de análise matemática, é aconselhável não apenas investigar a convergência de integrais impróprias, mas também considerar algumas de suas aplicações geométricas e físicas; Por exemplo, resolva as seguintes tarefas:

Tarefa 4. Encontre a área da figura delimitada pelas linhas y \u003d 1 / x, x \u003d 1, y \u003d 0. Encontre o volume obtido

da rotação desta figura em torno do eixo Ox (Fig. 4).

No decorrer da solução, provou-se que essa figura plana não possui área, pois a integral imprópria que expressa essa área diverge. Mas o corpo ilimitado obtido da rotação da área especificada em torno do eixo Ox tem

volume igual a: V \u003d n G -- \u003d n unidades cúbicas.

Problema 5. Encontre a área da figura limitada pela curva de Agnesi y \u003d 1 (1 + x2) e sua assimetria horizontal

ptota. A área desejada de uma figura que se estende indefinidamente para a direita e para a esquerda é igual a: ^ = ex

Para o trabalho independente dos alunos sob a orientação de um professor sobre este tópico, podem ser propostas tarefas que exijam não apenas conhecimento de geometria analítica, habilidades para estudar integrais impróprias de primeiro e segundo tipo para convergência, mas também a capacidade de estudar um função usando a primeira e segunda derivadas para monotonicidade, extremos, convexidade, concavidade, pontos de inflexão e assíntotas.

Problema 6. Encontre a área da figura entre a curva y = 1 (x2 + 2 x) e sua assíntota horizontal para x > 1.

Tarefa 7. Encontre o volume do corpo obtido pela rotação em torno do eixo Ox de uma figura plana delimitada por um inter-

a curva y \u003d 1Y4 - x, sua assíntota vertical e o eixo Ox no segmento .

Ao estudar geometria analítica no espaço, é necessário considerar em detalhes as superfícies de primeira e segunda ordem. Como você sabe, as superfícies compõem uma enorme variedade de objetos no espaço tridimensional, e as atividades de engenharia humana estão diretamente relacionadas ao projeto e fabricação de várias superfícies. Como, mais uma vez, estamos muito limitados pelo prazo, surge um problema metodológico: como distribuir o material entre aulas teóricas e exercícios práticos e trabalhos independentes. É aconselhável, em nossa opinião, prestar atenção ao estudo de equações de superfície, pois no futuro, os alunos deverão reconhecer imediatamente um cilindro, parabolóide, cone, hiperbolóide, etc. pela forma dessas equações e, além disso, determinar a posição dos eixos de simetria das superfícies consideradas. A redução da carga horária não deve levar ao fato de os alunos terem um corpo cilíndrico

a superfície pode ser percebida apenas como a superfície de um cilindro circular reto (superfície cilíndrica de revolução), a superfície cônica - como uma superfície cônica de revolução. Em nossa opinião, não se deve negligenciar superfícies complexas ao estudar o curso e nem considerá-las. Isso pode levar a uma diminuição na qualidade do ensino dos graduados de engenheiros, uma vez que a maioria das tarefas da geometria aplicada se reduz ao projeto, cálculos e reprodução de superfícies técnicas complexas. O projeto de superfícies em condições modernas é de grande interesse para a ciência, o objetivo principal desses estudos é a construção de um modelo geométrico de uma superfície física na implementação de projetos inovadores de engenharia. Exemplos disso são: o desenvolvimento e produção de carrocerias, cascos de navios, fuselagens e asas de aeronaves, etc. Também é de grande importância o desenvolvimento de métodos e técnicas de modelagem da superfície do terreno para resolver problemas aplicados de navegação terrestre (por exemplo, estabelecer rotas transitáveis ​​para veículos em terrenos acidentados). O uso de várias superfícies na arquitetura é amplamente conhecido. Métodos para moldar e exibir superfícies formam a base da modelagem tridimensional dos editores gráficos modernos. Atualmente, têm sido desenvolvidos sistemas de software que permitem modelar superfícies lisas curvas com a forma desejada. Mas seu uso impõe sérias exigências na preparação do usuário, a presença de uma cultura geométrica adequada e erudição matemática. Ou seja, o usuário deve compreender superfícies complexas e saber moldá-las.

Problema 8. Calcule o volume de um corpo limitado pelas superfícies x2 + y 2 + 2y12 y \u003d 0, r \u003d x2 + y 2 - 4,

r = 0 (r > 0).

Solução. O corpo é uma parte do espaço limitada por um cilindro circular com um eixo de simetria paralelo ao eixo aplicado, um parabolóide elíptico com um vértice no ponto (0, 0, -4) e um plano coordenado хОу. Vamos calcular o volume usando a integral tripla, na qual, a julgar pela forma do corpo, é conveniente passar para as coordenadas cilx 2 + y 2 - 4: V = [[[ dxdydz = |Г dxdy [ dz] =

7 p / 4 - 2l / 2w f r 2 - 4

| df | pdr | dz = 4 | bsh2 2fdf = n.

Problema 9. Calcule o volume de um corpo limitado por superfícies y = 17^2 x, y = 2^2 x, x + r = 12,

Solução. Ao analisar estas equações, os alunos devem compreender que está a ser considerado um corpo tridimensional no espaço, portanto, as equações são dadas não para parábolas sobre um plano, mas para cilindros parabólicos (Fig. 5).

1/2 17 .DG 1/2- x 12

V = | dx | dia | dz = 15 |(1/2 - x2 xdx = 1.

Como tarefas para trabalho de pesquisa independente, os alunos podem receber as seguintes tarefas mais complexas:

Problema 10. Encontre o volume de um corpo limitado pelas superfícies y + r = 0, x2 - y + r2 = 0,

Y2 + (r - R)2< R2.

Problema 11. Encontre o volume de um corpo limitado pelas superfícies 2 2 + xz k ao longo da linha b obtida por

a intersecção do parabolóide r = 1 - x2 - y2 com os planos coordenados no primeiro octante.

Solução. A linha b consiste em três seções AB, BC, CA. Portanto, a circulação de um determinado campo vetorial

é definido da seguinte forma:

O=| xy dx + yzdy + xzdz =| +| +| .

L AB BC CA

Na seção AB: r = 0, x2 + y2 =1; escrevemos a equação deste círculo na forma paramétrica:

x = custo t, y = sin t, z = 0, 0< t < 2 п, следовательно,

J F dr = J custosint(- sint)dt = -

No gráfico BC: x=0, z=1-y2,1< y < 0, тогда

J F-dr = Jy(l - y2)dy = (y72 - y2/4)|0

Na seção CA: y = 0, z = 1 - x2, 0< х < 1, следо-

vg - a 1 / e le. o4,

J F dr \u003d -2 Jx2 (1-x2) dx \u003d -2 (x3 / 3 -x75) | o \u003d - -.

Ö \u003d - 13 - 14 - 4/15 \u003d - 5160.

A abordagem baseada em competências implementada pelo padrão federal estadual de ensino superior impõe sérias exigências a todos os componentes do processo educacional - conteúdo, tecnologias pedagógicas, meios de controle e avaliação. A geometria analítica, como uma das seções mais importantes da matemática superior, serve de base para outras ciências naturais, engenharia geral e disciplinas especiais. A procura de métodos eficazes de ensino da geometria analítica, que proporcionem um elevado nível de assimilação dos conceitos e métodos mais significativos para a formação continuada nas condições de carga horária reduzida, é um dos objetivos mais importantes de um professor de matemática superior.

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a)

Solução.

O primeiro e mais importante momento da decisão é a construção de um desenho.

Vamos fazer um desenho:

A equação y=0 define o eixo x;

- x=-2 e x=1 - reta, paralela ao eixo UO;

- y \u003d x 2 +2 - uma parábola cujos ramos são direcionados para cima, com um vértice no ponto (0;2).

Comente. Para construir uma parábola, basta encontrar os pontos de sua interseção com os eixos coordenados, ou seja, colocando x=0 encontre a interseção com o eixo UO e resolvendo a equação quadrática correspondente, encontre a interseção com o eixo Oh .

O vértice de uma parábola pode ser encontrado usando as fórmulas:

Você pode desenhar linhas e ponto a ponto.

No intervalo [-2;1] o gráfico da função y = x 2 +2 localizado sobre o eixo Boi , é por isso:

Responda: S \u003d 9 unidades quadradas

Depois que a tarefa estiver concluída, é sempre útil olhar o desenho e descobrir se a resposta é real. Neste caso, "a olho" contamos o número de células no desenho - bem, cerca de 9 serão digitados, parece ser verdade. É bastante claro que se tivéssemos, digamos, a resposta: 20 unidades quadradas, então, obviamente, um erro foi cometido em algum lugar - 20 células claramente não se encaixam na figura em questão, no máximo uma dúzia. Se a resposta for negativa, a tarefa também foi resolvida incorretamente.

O que fazer se o trapézio curvilíneo estiver localizado sob o eixo Oh?

b) Calcular a área de uma figura delimitada por linhas y=-e x , x=1 e eixos coordenados.

Solução.

Vamos fazer um desenho.

Se um trapézio curvilíneo completamente sob o eixo Oh , então sua área pode ser encontrada pela fórmula:

Responda: S=(e-1) unidade quadrada" 1,72 unidade quadrada

Atenção! Não confunda os dois tipos de tarefas:

1) Se você for solicitado a resolver apenas uma integral definida sem qualquer significado geométrico, então ela pode ser negativa.

2) Se você for solicitado a encontrar a área de uma figura usando uma integral definida, então a área é sempre positiva! É por isso que o menos aparece na fórmula que acabamos de considerar.

Na prática, na maioria das vezes a figura está localizada nos semiplanos superior e inferior.

Com) Encontre a área de uma figura plana delimitada por linhas y \u003d 2x-x 2, y \u003d -x.

Solução.

Primeiro você precisa fazer um desenho. De um modo geral, ao construir um desenho em problemas de área, estamos mais interessados ​​nos pontos de interseção das linhas. Vamos encontrar os pontos de intersecção da parábola com a reta, o que pode ser feito de duas maneiras. A primeira forma é analítica.

Resolvemos a equação:

Portanto, o limite inferior de integração a=0 , o limite superior de integração b=3 .

Construímos as linhas dadas: 1. Parábola - vértice no ponto (1;1); interseção do eixo Oh - pontos(0;0) e (0;2). 2. Reta - a bissetriz dos ângulos coordenados 2º e 4º. E agora Atenção! Se no segmento [ a; b] alguma função contínua f(x) maior ou igual a alguma função contínua g(x), então a área da figura correspondente pode ser encontrada pela fórmula: . E não importa onde a figura está localizada - acima do eixo ou abaixo do eixo, mas é importante qual gráfico está MAIS ALTO (em relação a outro gráfico) e qual está ABAIXO. No exemplo em consideração, é óbvio que no segmento a parábola está localizada acima da linha reta e, portanto, é necessário subtrair de

É possível construir linhas ponto a ponto, enquanto os limites de integração são descobertos como se fossem "por si mesmos". No entanto, o método analítico de encontrar os limites às vezes ainda precisa ser usado se, por exemplo, o gráfico for grande o suficiente ou a construção encadeada não revelar os limites de integração (eles podem ser fracionários ou irracionais).

A figura desejada é limitada por uma parábola de cima e uma linha reta de baixo.

No segmento , de acordo com a fórmula correspondente:

Responda: S \u003d unidades de 4,5 m²

Calculando a área de uma figura Este é talvez um dos problemas mais difíceis na teoria da área. Na geometria escolar, eles são ensinados a encontrar as áreas de formas geométricas básicas como, por exemplo, um triângulo, um losango, um retângulo, um trapézio, um círculo, etc. No entanto, muitas vezes é preciso lidar com o cálculo das áreas de figuras mais complexas. É na resolução de tais problemas que é muito conveniente usar o cálculo integral.

Definição.

trapézio curvilíneo alguma figura G é chamada, limitada pelas linhas y = f(x), y = 0, x = aex = b, e a função f(x) é contínua no segmento [a; b] e não muda seu sinal nele (Figura 1). A área de um trapézio curvilíneo pode ser denotada por S(G).

A integral definida ʃ a b f(x)dx para a função f(x), que é contínua e não negativa no segmento [a; b], e é a área do trapézio curvilíneo correspondente.

Ou seja, para encontrar a área da figura G, delimitada pelas linhas y \u003d f (x), y \u003d 0, x \u003d a e x \u003d b, é necessário calcular o integral definida ʃ a b f (x) dx.

Nesse caminho, S(G) = ʃ a b f(x)dx.

Se a função y = f(x) não for positiva em [a; b], então a área do trapézio curvilíneo pode ser encontrada pela fórmula S(G) = -ʃ a b f(x)dx.

Exemplo 1

Calcule a área da figura delimitada pelas linhas y \u003d x 3; y = 1; x = 2.

Solução.

As linhas dadas formam a figura ABC, que é mostrada pela hachura arroz. 2.

A área desejada é igual à diferença entre as áreas do trapézio curvilíneo DACE e o quadrado DABE.

Usando a fórmula S = ʃ a b f(x)dx = S(b) – S(a), encontramos os limites de integração. Para fazer isso, resolvemos um sistema de duas equações:

(y \u003d x 3,
(y = 1.

Assim, temos x 1 \u003d 1 - o limite inferior e x \u003d 2 - o limite superior.

Então, S = S DACE - S DABE = ʃ 1 2 x 3 dx - 1 = x 4 /4| 1 2 - 1 \u003d (16 - 1) / 4 - 1 \u003d 11/4 (unidades quadradas).

Resposta: 11/4 m² unidades

Exemplo 2

Calcule a área da figura delimitada pelas linhas y \u003d √x; y = 2; x = 9.

Solução.

As linhas dadas formam a figura ABC, que é limitada de cima pelo gráfico da função

y \u003d √x, e abaixo do gráfico da função y \u003d 2. A figura resultante é mostrada hachurando em arroz. 3.

A área desejada é igual a S = ʃ a b (√x - 2). Vamos encontrar os limites de integração: b = 9, para encontrar a, resolvemos o sistema de duas equações:

(y = √x,
(y = 2.

Assim, temos que x = 4 = a é o limite inferior.

Então, S = ∫ 4 9 (√x – 2)dx = ∫ 4 9 √x dx –∫ 4 9 2dx = 2/3 x√x| 4 9 - 2x| 4 9 \u003d (18 - 16/3) - (18 - 8) \u003d 2 2/3 (unidades quadradas).

Resposta: S = 2 2/3 m². unidades

Exemplo 3

Calcule a área da figura delimitada pelas linhas y \u003d x 3 - 4x; y = 0; x ≥ 0.

Solução.

Vamos traçar a função y \u003d x 3 - 4x para x ≥ 0. Para fazer isso, encontramos a derivada y ':

y' = 3x 2 – 4, y' = 0 em х = ±2/√3 ≈ 1,1 são pontos críticos.

Se desenharmos os pontos críticos no eixo real e colocarmos os sinais da derivada, obtemos que a função diminui de zero a 2/√3 e aumenta de 2/√3 a mais infinito. Então x = 2/√3 é o ponto mínimo, o valor mínimo da função y é min = -16/(3√3) ≈ -3.

Vamos determinar os pontos de interseção do gráfico com os eixos coordenados:

se x \u003d 0, então y \u003d 0, o que significa que A (0; 0) é o ponto de interseção com o eixo Oy;

se y \u003d 0, então x 3 - 4x \u003d 0 ou x (x 2 - 4) \u003d 0, ou x (x - 2) (x + 2) \u003d 0, de onde x 1 \u003d 0, x 2 \u003d 2, x 3 \u003d -2 (não é adequado, porque x ≥ 0).

Os pontos A(0; 0) e B(2; 0) são os pontos de interseção do gráfico com o eixo Ox.

As linhas dadas formam a figura OAB, que é mostrada por hachura em arroz. quatro.

Como a função y \u003d x 3 - 4x assume (0; 2) um valor negativo, então

S = |ʃ 0 2 (x 3 – 4x)dx|.

Temos: ʃ 0 2 (x 3 - 4x)dx = (x 4 /4 - 4x 2 /2)| 0 2 \u003d -4, de onde S \u003d 4 metros quadrados. unidades

Resposta: S = 4 m². unidades

Exemplo 4

Encontre a área da figura limitada pela parábola y \u003d 2x 2 - 2x + 1, as linhas retas x \u003d 0, y \u003d 0 e a tangente a esta parábola no ponto com a abcissa x 0 \u003d 2.

Solução.

Primeiro, compomos a equação da tangente à parábola y \u003d 2x 2 - 2x + 1 no ponto com a abcissa x₀ \u003d 2.

Como a derivada y' = 4x - 2, então para x 0 = 2 obtemos k = y'(2) = 6.

Encontre a ordenada do ponto de toque: y 0 = 2 2 2 – 2 2 + 1 = 5.

Portanto, a equação tangente tem a forma: y - 5 \u003d 6 (x - 2) ou y \u003d 6x - 7.

Vamos construir uma figura delimitada por linhas:

y \u003d 2x 2 - 2x + 1, y \u003d 0, x \u003d 0, y \u003d 6x - 7.

Г y \u003d 2x 2 - 2x + 1 - parábola. Pontos de intersecção com os eixos coordenados: A(0; 1) - com o eixo Oy; com o eixo Ox - não há pontos de interseção, porque a equação 2x 2 - 2x + 1 = 0 não tem soluções (D< 0). Найдем вершину параболы:

x b \u003d 2/4 \u003d 1/2;

y b \u003d 1/2, ou seja, o vértice do ponto da parábola B tem coordenadas B (1/2; 1/2).

Assim, a figura cuja área deve ser determinada é mostrada hachurando em arroz. 5.

Temos: S O A B D \u003d S OABC - S ADBC.

Encontre as coordenadas do ponto D a partir da condição:

6x - 7 = 0, ou seja x \u003d 7/6, depois DC \u003d 2 - 7/6 \u003d 5/6.

Encontramos a área do triângulo DBC usando a fórmula S ADBC ​​​​= 1/2 · DC · BC. Nesse caminho,

S ADBC ​​= 1/2 5/6 5 = 25/12 sq. unidades

S OABC = ʃ 0 2 (2x 2 - 2x + 1)dx = (2x 3 /3 - 2x 2 /2 + x)| 0 2 \u003d 10/3 (unidades quadradas).

Finalmente, obtemos: S O A B D \u003d S OABC - S ADBC ​​​​\u003d 10/3 - 25/12 \u003d 5/4 \u003d 1 1/4 (unidades quadradas).

Resposta: S = 1 1/4 sq. unidades

Revisamos exemplos encontrar as áreas de figuras delimitadas por linhas dadas. Para resolver esses problemas com sucesso, você precisa ser capaz de construir linhas e gráficos de funções em um plano, encontrar os pontos de interseção das linhas, aplicar uma fórmula para encontrar a área, o que implica a capacidade e as habilidades para calcular certas integrais.

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