Aula e apresentação sobre o tema: "Sistemas de equações. O método de substituição, o método de adição, o método de introdução de uma nova variável"

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Formas de resolver sistemas de inequações

Pessoal, estudamos sistemas de equações e aprendemos a resolvê-los usando gráficos. Agora vamos ver que outras formas de resolver sistemas existem?
Quase todas as maneiras de resolvê-los não diferem daquelas que estudamos na 7ª série. Agora precisamos fazer alguns ajustes de acordo com as equações que aprendemos a resolver.
A essência de todos os métodos descritos nesta lição é a substituição do sistema por um sistema equivalente com uma forma e método de solução mais simples. Pessoal, lembrem-se do que é um sistema equivalente.

Método de substituição

A primeira maneira de resolver sistemas de equações com duas variáveis ​​é bem conhecida por nós - este é o método de substituição. Usamos esse método para resolver equações lineares. Agora vamos ver como resolver equações no caso geral?

Como se deve proceder ao tomar uma decisão?
1. Expresse uma das variáveis ​​em função da outra. As variáveis ​​mais comuns usadas nas equações são x e y. Em uma das equações, expressamos uma variável em termos de outra. Dica: Dê uma boa olhada em ambas as equações antes de começar a resolver e escolha aquela em que será mais fácil expressar a variável.
2. Substitua a expressão resultante na segunda equação, em vez da variável que foi expressa.
3. Resolva a equação que obtivemos.
4. Substitua a solução resultante na segunda equação. Se houver várias soluções, é necessário substituí-las sequencialmente para não perder algumas soluções.
5. Como resultado, você obterá um par de números $(x;y)$, que deve ser escrito como resposta.

Exemplo.
Resolva um sistema com duas variáveis ​​usando o método de substituição: $\begin(cases)x+y=5, \\xy=6\end(cases)$.

Solução.
Vamos dar uma olhada em nossas equações. Obviamente, expressar y em termos de x na primeira equação é muito mais fácil.
$\begin(cases)y=5-x, \\xy=6\end(cases)$.
Substitua a primeira expressão na segunda equação $\begin(cases)y=5-x, \\x(5-2x)=6\end(cases)$.
Vamos resolver a segunda equação separadamente:
$x(5-x)=6$.
$-x^2+5x-6=0$.
$x^2-5x+6=0$.
$(x-2)(x-3)=0$.
Temos duas soluções da segunda equação $x_1=2$ e $x_2=3$.
Substitua sucessivamente na segunda equação.
Se $x=2$ então $y=3$. Se $x=3$ então $y=2$.
A resposta será dois pares de números.
Resposta: $(2;3)$ e $(3;2)$.

Método de adição algébrica

Também estudamos esse método na 7ª série.
Sabe-se que podemos multiplicar uma equação racional em duas variáveis ​​por qualquer número, lembrando de multiplicar ambos os lados da equação. Multiplicamos uma das equações por um certo número para que, quando a equação resultante for adicionada à segunda equação do sistema, uma das variáveis ​​seja destruída. Em seguida, a equação foi resolvida em relação à variável restante.
Este método ainda funciona, embora nem sempre seja possível destruir uma das variáveis. Mas permite simplificar significativamente a forma de uma das equações.

Exemplo.
Resolva o sistema: $\begin(cases)2x+xy-1=0, \\4y+2xy+6=0\end(cases)$.

Solução.
Multiplique a primeira equação por 2.
$\begin(cases)4x+2xy-2=0, \\4y+2xy+6=0\end(cases)$.
Subtraia a segunda da primeira equação.
$4x+2xy-2-4y-2xy-6=4x-4y-8$.
Como você pode ver, a forma da equação resultante é muito mais simples que a original. Agora podemos usar o método de substituição.
$\begin(cases)4x-4y-8=0, \\4y+2xy+6=0\end(cases)$.
Vamos expressar x por y na equação resultante.
$\begin(cases)4x=4y+8, \\4y+2xy+6=0\end(cases)$.
$\begin(cases)x=y+2, \\4y+2(y+2)y+6=0\end(cases)$.
$\begin(cases)x=y+2, \\4y+2y^2+4y+6=0\end(cases)$.
$\begin(cases)x=y+2, \\2y^2+8y+6=0\end(cases)$.
$\begin(cases)x=y+2, \\y^2+4y+3=0\end(cases)$.
$\begin(cases)x=y+2, \\(y+3)(y+1)=0\end(cases)$.
Tem $y=-1$ e $y=-3$.
Substitua esses valores sequencialmente na primeira equação. Obtemos dois pares de números: $(1;-1)$ e $(-1;-3)$.
Resposta: $(1;-1)$ e $(-1;-3)$.

Método para introduzir uma nova variável

Também estudamos esse método, mas vamos analisá-lo novamente.

Exemplo.
Resolva o sistema: $\begin(cases)\frac(x)(y)+\frac(2y)(x)=3, \\2x^2-y^2=1\end(cases)$.

Solução.
Vamos introduzir a substituição $t=\frac(x)(y)$.
Vamos reescrever a primeira equação com uma nova variável: $t+\frac(2)(t)=3$.
Vamos resolver a equação resultante:
$\frac(t^2-3t+2)(t)=0$.
$\frac((t-2)(t-1))(t)=0$.
Tem $t=2$ ou $t=1$. Vamos introduzir a mudança inversa $t=\frac(x)(y)$.
Obteve: $x=2y$ e $x=y$.

Para cada uma das expressões, o sistema original deve ser resolvido separadamente:
$\begin(cases)x=2y, \\2x^2-y^2=1\end(cases)$. $\begin(cases)x=y, \\2x^2-y^2=1\end(cases)$.
$\begin(cases)x=2y, \\8y^2-y^2=1\end(cases)$. $\begin(cases)x=y, \\2y^2-y^2=1\end(cases)$.
$\begin(cases)x=2y, \\7y^2=1\end(cases)$. $\begin(cases)x=2y, \\y^2=1\end(cases)$.
$\begin(cases)x=2y, \\y=±\frac(1)(\sqrt(7))\end(cases)$. $\begin(cases)x=y, \\y=±1\end(cases)$.
$\begin(cases)x=±\frac(2)(\sqrt(7)), \\y=±\frac(1)(\sqrt(7))\end(cases)$. $\begin(cases)x=±1, \\y=±1\end(cases)$.
Recebemos quatro pares de soluções.
Resposta: $(\frac(2)(\sqrt(7));\frac(1)(\sqrt(7)))$; $(-\frac(2)(\sqrt(7));-\frac(1)(\sqrt(7)))$; $(1;1)$; $(-1;-1)$.

Exemplo.
Resolva o sistema: $\begin(cases)\frac(2)(x-3y)+\frac(3)(2x+y)=2, \\\frac(8)(x-3y)-\frac( 9 )(2x+y)=1\end(casos)$.

Solução.
Introduzimos a substituição: $z=\frac(2)(x-3y)$ e $t=\frac(3)(2x+y)$.
Vamos reescrever as equações originais com novas variáveis:
$\begin(cases)z+t=2, \\4z-3t=1\end(cases)$.
Vamos usar o método da adição algébrica:
$\begin(casos)3z+3t=6, \\4z-3t=1\end(casos)$.
$\begin(cases)3z+3t+4z-3t=6+1, \\4z-3t=1\end(cases)$.
$\begin(cases)7z=7, \\4z-3t=1\end(cases)$.
$\begin(cases)z=1, \\-3t=1-4\end(cases)$.
$\begin(casos)z=1, \\t=1\end(casos)$.
Vamos introduzir a substituição inversa:
$\begin(cases)\frac(2)(x-3y)=1, \\\frac(3)(2x+y)=1\end(cases)$.
$\begin(cases)x-3y=2, \\2x+y=3\end(cases)$.
Vamos usar o método de substituição:
$\begin(cases)x=2+3y, \\4+6y+y=3\end(cases)$.
$\begin(cases)x=2+3y, \\7y=-1\end(cases)$.
$\begin(cases)x=2+3(\frac(-1)(7)), \\y=\frac(-1)(7)\end(cases)$.
$\begin(cases)x=\frac(11)(7), \\x=-\frac(11)(7)\end(cases)$.
Resposta: $(\frac(11)(7);-\frac(1)(7))$.

Problemas em sistemas de equações para solução independente

Resolva sistemas:
1. $\begin(cases)2x-2y=6, \\xy =-2\end(cases)$.
2. $\begin(cases)x+y^2=3, \\xy^2=4\end(cases)$.
3. $\begin(cases)xy+y^2=3, \\y^2-xy=5\end(cases)$.
4. $\begin(cases)\frac(2)(x)+\frac(1)(y)=4, \\\frac(1)(x)+\frac(3)(y)=9\ fim(casos)$.
5. $\begin(cases)\frac(5)(x^2-xy)+\frac(4)(y^2-xy)=-\frac(1)(6), \\\frac(7) )(x^2-xy)-\frac(3)(y^2-xy)=\frac(6)(5)\end(cases)$.

Vamos primeiro relembrar a definição de uma solução para um sistema de equações em duas variáveis.

Definição 1

Um par de números é chamado de solução para um sistema de equações com duas variáveis ​​se, quando elas são substituídas na equação, a igualdade correta é obtida.

A seguir, consideraremos sistemas de duas equações com duas variáveis.

Existir quatro maneiras básicas de resolver sistemas de equações: método de substituição, método de adição, método gráfico, novo método de gestão de variáveis. Vejamos esses métodos com exemplos específicos. Para descrever o princípio do uso dos três primeiros métodos, consideraremos um sistema de duas equações lineares com duas incógnitas:

Método de substituição

O método de substituição é o seguinte: qualquer uma dessas equações é tomada e $y$ é expresso em termos de $x$, então $y$ é substituído na equação do sistema, de onde a variável $x.$ é encontrada. Depois disso, podemos calcular facilmente a variável $y.$

Exemplo 1

Vamos expressar a partir da segunda equação $y$ em termos de $x$:

Substituindo na primeira equação, encontre $x$:

\ \ \

Encontre $y$:

Responda: $(-2,\ 3)$

Método de adição.

Considere este método com um exemplo:

Exemplo 2

\[\left\( \begin(array)(c) (2x+3y=5) \\ (3x-y=-9) \end(array) \right.\]

Multiplicando a segunda equação por 3, temos:

\[\left\( \begin(array)(c) (2x+3y=5) \\ (9x-3y=-27) \end(array) \right.\]

Agora vamos somar as duas equações:

\ \ \

Encontre $y$ da segunda equação:

\[-6-y=-9\] \

Responda: $(-2,\ 3)$

Observação 1

Observe que neste método é necessário multiplicar uma ou ambas as equações por tais números que ao adicionar uma das variáveis ​​"desaparece".

Modo gráfico

O método gráfico é o seguinte: ambas as equações do sistema são exibidas no plano de coordenadas e o ponto de sua interseção é encontrado.

Exemplo 3

\[\left\( \begin(array)(c) (2x+3y=5) \\ (3x-y=-9) \end(array) \right.\]

Vamos expressar $y$ de ambas as equações em termos de $x$:

\[\left\( \begin(array)(c) (y=\frac(5-2x)(3)) \\ (y=3x+9) \end(array) \right.\]

Vamos desenhar os dois gráficos no mesmo plano:

Imagem 1.

Responda: $(-2,\ 3)$

Como introduzir novas variáveis

Vamos considerar esse método no exemplo a seguir:

Exemplo 4

\[\left\( \begin(array)(c) (2^(x+1)-3^y=-1) \\ (3^y-2^x=2) \end(array) \right .\]

Solução.

Este sistema é equivalente ao sistema

\[\left\( \begin(array)(c) ((2\cdot 2)^x-3^y=-1) \\ (3^y-2^x=2) \end(array) \ certo.\]

Seja $2^x=u\ (u>0)$ e $3^y=v\ (v>0)$, temos:

\[\left\( \begin(array)(c) (2u-v=-1) \\ (v-u=2) \end(array) \right.\]

Resolvemos o sistema resultante pelo método de adição. Vamos adicionar as equações:

\ \

Então, da segunda equação, obtemos que

Voltando à substituição, obtemos um novo sistema de equações exponenciais:

\[\left\( \begin(array)(c) (2^x=1) \\ (3^y=3) \end(array) \right.\]

Nós temos:

\[\left\( \begin(array)(c) (x=0) \\ (y=1) \end(array) \right.\]

Vamos primeiro considerar o caso em que o número de equações é igual ao número de variáveis, ou seja, m = n. Então a matriz do sistema é quadrada e seu determinante é chamado de determinante do sistema.

Método de matriz inversa

Considere em termos gerais o sistema de equações AX = B com uma matriz quadrada não singular A. Neste caso, existe uma matriz inversa A -1 . Vamos multiplicar ambos os lados por A -1 à esquerda. Obtemos A -1 AX \u003d A -1 B. A partir daqui EX \u003d A -1 B e

A última igualdade é uma fórmula matricial para encontrar soluções para tais sistemas de equações. O uso desta fórmula é chamado de método da matriz inversa

Por exemplo, vamos usar este método para resolver o seguinte sistema:

;

Ao final da solução do sistema, uma verificação pode ser feita substituindo os valores encontrados nas equações do sistema. Nesse caso, eles devem se transformar em verdadeiras igualdades.

Para este exemplo, vamos verificar:

Método para resolver sistemas de equações lineares com uma matriz quadrada usando as fórmulas de Cramer

Seja n=2:

Se ambas as partes da primeira equação forem multiplicadas por a 22 e ambas as partes da segunda por (-a 12), e as equações resultantes forem adicionadas, excluiremos a variável x 2 do sistema. Da mesma forma, você pode eliminar a variável x 1 (multiplicando ambos os lados da primeira equação por (-a 21) e ambos os lados da segunda por 11). Como resultado, obtemos o sistema:

A expressão entre parênteses é o determinante do sistema

Indicar

Então o sistema terá a forma:

Segue-se do sistema resultante que se o determinante do sistema for 0, então o sistema será consistente e definido. Sua solução única pode ser calculada pelas fórmulas:

Se = 0, a 1 0 e/ou  2 0, então as equações do sistema terão a forma 0*х 1 = 2 e/ou 0*х 1 = 2. Neste caso, o sistema será inconsistente.

No caso em que = 1 = 2 = 0, o sistema será consistente e indefinido (terá um número infinito de soluções), pois terá a forma:

Teorema de Cramer(omitimos a prova). Se o determinante da matriz do sistema n de equações  não for igual a zero, então o sistema tem uma solução única, determinada pelas fórmulas:

,

onde  j é o determinante da matriz obtida da matriz A substituindo a j-ésima coluna por uma coluna de termos livres.

As fórmulas acima são chamadas Fórmulas de Cramer.

Como exemplo, vamos usar este método para resolver um sistema que foi resolvido anteriormente usando o método da matriz inversa:

Desvantagens dos métodos considerados:

1) complexidade significativa (cálculo de determinantes e obtenção da matriz inversa);

2) escopo limitado (para sistemas com matriz quadrada).

Situações econômicas reais são muitas vezes modeladas por sistemas em que o número de equações e variáveis ​​é bastante significativo, e há mais equações do que variáveis, portanto, o método a seguir é mais comum na prática.

Método de Gauss (método de eliminação sucessiva de variáveis)

Este método é usado para resolver um sistema de m equações lineares com n variáveis ​​de uma forma geral. Sua essência está em aplicar um sistema de transformações equivalentes à matriz expandida, com a ajuda do qual o sistema de equações é transformado na forma quando suas soluções se tornam fáceis de encontrar (se houver).

Esta é uma visão na qual a parte superior esquerda da matriz do sistema será uma matriz escalonada. Isso é obtido usando as mesmas técnicas que foram usadas para obter uma matriz escalonada para determinar o posto. Neste caso, são aplicadas transformações elementares à matriz expandida, o que permitirá obter um sistema de equações equivalente. Depois disso, a matriz aumentada terá a forma:

A obtenção de tal matriz é chamada em linha reta Método de Gauss.

Encontrar os valores das variáveis ​​do sistema de equações correspondente é chamado para trás Método de Gauss. Vamos considerá-lo.

Observe que as últimas (m – r) equações terão a forma:

Se pelo menos um dos números
não for igual a zero, então a igualdade correspondente será falsa e todo o sistema será inconsistente.

Portanto, para qualquer sistema de articulação
. Nesse caso, as últimas (m – r) equações para quaisquer valores das variáveis ​​serão identidades 0 = 0, e podem ser ignoradas ao resolver o sistema (basta descartar as linhas correspondentes).

Depois disso, o sistema ficará assim:

Considere primeiro o caso em que r = n. Então o sistema terá a forma:

Da última equação do sistema pode-se encontrar exclusivamente x r .

Conhecendo x r , pode-se expressar exclusivamente x r -1 a partir dele. Então, da equação anterior, conhecendo x r e x r -1 , podemos expressar x r -2 e assim por diante. até x 1 .

Então, neste caso, o sistema será colaborativo e definitivo.

Agora considere o caso em que r básico(básico), e todo o resto - não básico(menor, gratuito). A última equação do sistema ficará assim:

A partir desta equação, podemos expressar a variável básica x r em termos de não-básicas:

A penúltima equação ficará assim:

Substituindo a expressão resultante em vez de x r, será possível expressar a variável básica x r -1 por meio de variáveis ​​não básicas. etc. para a variável x 1 . Para obter uma solução para o sistema, você pode igualar variáveis ​​não básicas a valores arbitrários e depois calcular as variáveis ​​básicas usando as fórmulas obtidas. Assim, neste caso, o sistema será consistente e indeterminado (terá um número infinito de soluções).

Por exemplo, vamos resolver o sistema de equações:

O conjunto de variáveis ​​básicas será chamado base sistemas. O conjunto de colunas de coeficientes para eles também será chamado base(colunas básicas), ou menor básico matrizes do sistema. Essa solução do sistema, na qual todas as variáveis ​​não básicas são iguais a zero, será chamada solução básica.

No exemplo anterior, a solução básica será (4/5; -17/5; 0; 0) (variáveis ​​x 3 e x 4 (c 1 e c 2) são definidas como zero, e as variáveis ​​básicas x 1 e x 2 são calculados através deles). Para dar um exemplo de solução não básica, é necessário igualar x 3 e x 4 (c 1 e c 2) a números arbitrários que não são iguais a zero ao mesmo tempo, e calcular o resto das variáveis ​​por meio de eles. Por exemplo, com c 1 = 1 e c 2 = 0, obtemos uma solução não básica - (4/5; -12/5; 1; 0). Por substituição, é fácil verificar que ambas as soluções estão corretas.

Obviamente, em um sistema indefinido de soluções não básicas, pode haver um número infinito de soluções. Quantas soluções básicas podem existir? Cada linha da matriz transformada deve corresponder a uma variável básica. No total, existem n variáveis ​​no problema e r linhas básicas. Portanto, o número de conjuntos possíveis de variáveis ​​básicas não pode exceder o número de combinações de n a 2 . Pode ser menos de , porque nem sempre é possível transformar o sistema de tal forma que esse conjunto específico de variáveis ​​seja a base.

Que tipo é este? Esta é uma forma quando a matriz formada a partir das colunas dos coeficientes para essas variáveis ​​será passo a passo e, neste caso, consistirá em linhas. Aqueles. o posto da matriz de coeficientes para essas variáveis ​​deve ser igual a r. Não pode ser maior, pois o número de colunas é igual a r. Se for menor que r, isso indica uma dependência linear das colunas com variáveis. Essas colunas não podem formar uma base.

Vamos considerar que outras soluções básicas podem ser encontradas no exemplo acima. Para fazer isso, considere todas as combinações possíveis de quatro variáveis ​​com duas básicas. Tais combinações irão
, e um deles (x 1 e x 2) já foi considerado.

Vamos pegar as variáveis ​​x 1 e x 3 . Encontre o posto da matriz de coeficientes para eles:

Como é igual a dois, eles podem ser básicos. Igualamos as variáveis ​​não básicas x 2 e x 4 a zero: x 2 \u003d x 4 \u003d 0. Então, da fórmula x 1 \u003d 4/5 - (1/5) * x 4 segue que x 1 \u003d 4/5, e da fórmula x 2 \u003d -17/5 + x 3 - - (7/5) * x 4 \u003d -17/5 + x 3 segue que x 3 \u003d x 2 + 17/5 \u003d 17/5. Assim, obtemos a solução básica (4/5; 0; 17/5; 0).

Da mesma forma, você pode obter soluções básicas para as variáveis ​​básicas x 1 e x 4 - (9/7; 0; 0; -17/7); x 2 e x 4 - (0; -9; 0; 4); x 3 e x 4 - (0; 0; 9; 4).

As variáveis ​​x 2 e x 3 neste exemplo não podem ser consideradas básicas, pois o posto da matriz correspondente é igual a um, ou seja, menos de dois:

.

Outra abordagem é possível determinar se é ou não possível formar uma base a partir de algumas variáveis. Ao resolver o exemplo, como resultado da transformação da matriz do sistema em uma forma escalonada, ela assumiu a forma:

Ao escolher pares de variáveis, foi possível calcular os menores correspondentes desta matriz. É fácil ver que para todos os pares, exceto para x 2 e x 3 , eles não são iguais a zero, ou seja, as colunas são linearmente independentes. E apenas para colunas com variáveis ​​x 2 e x 3
, que indica sua dependência linear.

Vamos considerar mais um exemplo. Vamos resolver o sistema de equações

Portanto, a equação correspondente à terceira linha da última matriz é inconsistente - levou à igualdade errada 0 = -1, portanto, esse sistema é inconsistente.

Método Jordan-Gauss 3 é um desenvolvimento do método gaussiano. Sua essência é que a matriz estendida do sistema é transformada para a forma quando os coeficientes das variáveis ​​formam uma matriz identidade até uma permutação de linhas ou colunas 4 (onde é o posto da matriz do sistema).

Vamos resolver o sistema usando este método:

Considere a matriz aumentada do sistema:

Nesta matriz, selecionamos o elemento identidade. Por exemplo, o coeficiente em x 2 na terceira restrição é 5. Vamos garantir que nas linhas restantes nesta coluna haja zeros, ou seja, tornar a coluna única. No processo de transformações, chamaremos isso de colunapermissivo(principal, chave). A terceira restrição (a terceira corda) também será chamado permissivo. Eu mesmo elemento, que fica na interseção da linha e coluna de permissão (aqui é uma unidade), também é chamado permissivo.

A primeira linha agora contém o coeficiente (-1). Para obter zero em seu lugar, multiplique a terceira linha por (-1) e subtraia o resultado da primeira linha (ou seja, basta adicionar a primeira linha à terceira).

A segunda linha contém um coeficiente de 2. Para obter zero em seu lugar, multiplique a terceira linha por 2 e subtraia o resultado da primeira linha.

O resultado das transformações será:

Esta matriz mostra claramente que uma das duas primeiras restrições pode ser excluída (as linhas correspondentes são proporcionais, ou seja, essas equações seguem uma da outra). Vamos riscar o segundo:

Portanto, há duas equações no novo sistema. Uma única coluna (segundo) é recebida e a unidade aqui está na segunda linha. Lembremos que a variável básica x 2 corresponderá à segunda equação do novo sistema.

Vamos escolher uma variável básica para a primeira linha. Pode ser qualquer variável exceto x 3 (porque em x 3 a primeira restrição tem um coeficiente zero, ou seja, o conjunto de variáveis ​​x 2 e x 3 não pode ser básico aqui). Você pode pegar a primeira ou quarta variável.

Vamos escolher x 1. Então o elemento de resolução será 5, e ambos os lados da equação de resolução terão que ser divididos por cinco para obter um na primeira coluna da primeira linha.

Vamos garantir que o restante das linhas (ou seja, a segunda linha) tenha zeros na primeira coluna. Como agora a segunda linha não é zero, mas 3, é necessário subtrair da segunda linha os elementos da primeira linha convertida, multiplicados por 3:

Uma solução básica pode ser extraída diretamente da matriz resultante igualando as variáveis ​​não básicas a zero e as variáveis ​​básicas aos termos livres nas equações correspondentes: (0,8; -3,4; 0; 0). Você também pode derivar fórmulas gerais que expressam variáveis ​​básicas por meio de não básicas: x 1 \u003d 0,8 - 1,2 x 4; x 2 \u003d -3,4 + x 3 + 1,6x 4. Essas fórmulas descrevem todo o conjunto infinito de soluções para o sistema (igualando x 3 e x 4 a números arbitrários, você pode calcular x 1 e x 2).

Observe que a essência das transformações em cada estágio do método Jordan-Gauss foi a seguinte:

1) a string permissiva foi dividida pelo elemento permissivo para obter uma unidade em seu lugar,

2) de todas as outras linhas, o poder de resolução transformado multiplicado pelo elemento que estava na linha dada na coluna de resolução foi subtraído para obter zero no lugar desse elemento.

Considere mais uma vez a matriz aumentada transformada do sistema:

Pode-se ver a partir desta entrada que o posto da matriz do sistema A é r.

No decorrer do raciocínio acima, estabelecemos que o sistema é consistente se e somente se
. Isso significa que a matriz aumentada do sistema será semelhante a:

Descartando zero linhas, obtemos que o posto da matriz estendida do sistema também é igual a r.

Teorema de Kronecker-Capelli. Um sistema de equações lineares é consistente se e somente se o posto da matriz do sistema é igual ao posto da matriz estendida deste sistema.

Lembre-se de que o posto de uma matriz é igual ao número máximo de suas linhas linearmente independentes. Segue-se disso que, se o posto da matriz estendida for menor que o número de equações, as equações do sistema são linearmente dependentes e uma ou mais delas podem ser excluídas do sistema (porque são lineares combinação dos outros). O sistema de equações será linearmente independente apenas se o posto da matriz estendida for igual ao número de equações.

Além disso, para sistemas consistentes de equações lineares, pode-se argumentar que, se o posto da matriz for igual ao número de variáveis, o sistema terá uma solução única e, se for menor que o número de variáveis, então o sistema é indefinido e tem infinitas soluções.

1Por exemplo, suponha que haja cinco linhas na matriz (a ordem inicial das linhas é 12345). Precisamos mudar a segunda linha e a quinta. Para que a segunda linha caia no lugar da quinta, para “mover-se” para baixo, alteramos sequencialmente as linhas adjacentes três vezes: a segunda e a terceira (13245), a segunda e a quarta (13425) e a segunda e a quinta (13452). Então, para que a quinta linha caia no lugar da segunda na matriz original, é necessário “deslocar” a quinta linha para cima apenas duas mudanças consecutivas: a quinta e quarta linhas (13542) e a quinta e terceiro (15342).

2Número de combinações de n a r o número de todos os diferentes subconjuntos de elementos r de um conjunto de n elementos é chamado (conjuntos diferentes são aqueles que têm uma composição diferente de elementos, a ordem de seleção não é importante). É calculado pela fórmula:
. Lembre-se do significado do sinal “!” (fatorial):
0!=1.)

3Como esse método é mais comum do que o método de Gauss discutido anteriormente e, em essência, é uma combinação do método de Gauss direto e reverso, às vezes também é chamado de método de Gauss, omitindo a primeira parte do nome.

4Por exemplo,
.

5Se não houvesse unidades na matriz do sistema, então seria possível, por exemplo, dividir ambas as partes da primeira equação por dois, e então o primeiro coeficiente se tornaria a unidade; ou semelhante.

Com este programa matemático, você pode resolver um sistema de duas equações lineares com duas variáveis ​​usando o método de substituição e o método de adição.

O programa não só dá a resposta ao problema, mas também fornece uma solução detalhada com explicações das etapas da solução de duas maneiras: o método de substituição e o método de adição.

Este programa pode ser útil para alunos do ensino médio em preparação para testes e exames, ao testar conhecimentos antes do Exame Estadual Unificado, para os pais controlarem a solução de muitos problemas de matemática e álgebra. Ou talvez seja muito caro para você contratar um tutor ou comprar novos livros didáticos? Ou você só quer fazer sua lição de matemática ou álgebra o mais rápido possível? Nesse caso, você também pode usar nossos programas com uma solução detalhada.

Desta forma, pode realizar a sua própria formação e/ou a formação dos seus irmãos ou irmãs mais novos, enquanto aumenta o nível de formação no domínio das tarefas a resolver.

Regras para inserir equações

Qualquer letra latina pode atuar como uma variável.
Por exemplo: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q \) etc.

Ao inserir equações você pode usar colchetes. Neste caso, as equações são primeiro simplificadas. As equações após simplificações devem ser lineares, ou seja, da forma ax+by+c=0 com a precisão da ordem dos elementos.
Por exemplo: 6x+1 = 5(x+y)+2

Nas equações, você pode usar não apenas números inteiros, mas também números fracionários na forma de frações decimais e ordinárias.

Regras para inserir frações decimais.
As partes inteiras e fracionárias em frações decimais podem ser separadas por um ponto ou uma vírgula.
Por exemplo: 2,1n + 3,5m = 55

Regras para inserir frações ordinárias.
Apenas um número inteiro pode atuar como numerador, denominador e parte inteira de uma fração.
O denominador não pode ser negativo.
Ao inserir uma fração numérica, o numerador é separado do denominador por um sinal de divisão: /
A parte inteira é separada da fração por um e comercial: &

Exemplos.
-1&2/3a + 5/3x = 55
2,1p + 55 = -2/7(3,5p - 2&1/8q)

Resolver um sistema de equações

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Resolução de sistemas de equações lineares. Método de substituição

A sequência de ações ao resolver um sistema de equações lineares pelo método de substituição:
1) expressar uma variável de alguma equação do sistema em função de outra;
2) substituir a expressão resultante em outra equação do sistema ao invés desta variável;

$$ \left\( \begin(array)(l) 3x+y=7 \\ -5x+2y=3 \end(array) \right. $$

Vamos expressar da primeira equação y até x: y = 7-3x. Substituindo a expressão 7-3x em vez de y na segunda equação, obtemos o sistema:
$$ \left\( \begin(array)(l) y = 7-3x \\ -5x+2(7-3x)=3 \end(array) \right. $$

É fácil mostrar que o primeiro e o segundo sistemas têm as mesmas soluções. No segundo sistema, a segunda equação contém apenas uma variável. Vamos resolver esta equação:
$$ -5x+2(7-3x)=3 \Rightarrow -5x+14-6x=3 \Rightarrow -11x=-11 \Rightarrow x=1 $$

Substituindo o número 1 em vez de x na equação y=7-3x, encontramos o valor correspondente de y:
$$ y=7-3 \cdot 1 \Rightarrow y=4 $$

Par (1;4) - solução do sistema

Sistemas de equações em duas variáveis ​​que têm as mesmas soluções são chamados equivalente. Sistemas que não possuem soluções também são considerados equivalentes.

Resolvendo sistemas de equações lineares adicionando

Considere outra maneira de resolver sistemas de equações lineares - o método de adição. Ao resolver sistemas dessa maneira, bem como ao resolver pelo método de substituição, passamos de um determinado sistema para outro sistema equivalente a ele, no qual uma das equações contém apenas uma variável.

A sequência de ações ao resolver um sistema de equações lineares pelo método de adição:
1) multiplique as equações do sistema termo a termo, escolhendo fatores para que os coeficientes de uma das variáveis ​​se tornem números opostos;
2) somar termo a termo as partes esquerda e direita das equações do sistema;
3) resolva a equação resultante com uma variável;
4) encontre o valor correspondente da segunda variável.

Exemplo. Vamos resolver o sistema de equações:
$$ \left\( \begin(array)(l) 2x+3y=-5 \\ x-3y=38 \end(array) \right. $$

Nas equações deste sistema, os coeficientes de y são números opostos. Somando termo a termo as partes esquerda e direita das equações, obtemos uma equação com uma variável 3x=33. Vamos substituir uma das equações do sistema, por exemplo a primeira, pela equação 3x=33. Vamos pegar o sistema
$$ \left\( \begin(array)(l) 3x=33 \\ x-3y=38 \end(array) \right. $$

Da equação 3x=33 encontramos que x=11. Substituindo este valor x na equação \(x-3y=38 \) obtemos uma equação com a variável y: \(11-3y=38 \). Vamos resolver esta equação:
\(-3y=27 \Seta para a direita y=-9 \)

Assim, encontramos a solução do sistema de equações adicionando: \(x=11; y=-9 \) ou \((11; -9) \)

Aproveitando o fato de que nas equações do sistema os coeficientes de y são números opostos, reduzimos sua solução à solução de um sistema equivalente (somando ambas as partes de cada uma das equações do simema original), em que uma das equações contém apenas uma variável.

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Mais confiável do que o método gráfico discutido no parágrafo anterior.

Método de substituição

Usamos este método no 7º ano para resolver sistemas de equações lineares. O algoritmo que foi desenvolvido na 7ª série é bastante adequado para resolver sistemas de duas equações quaisquer (não necessariamente lineares) com duas variáveis ​​xey (claro, as variáveis ​​podem ser denotadas por outras letras, o que não importa). Na verdade, usamos esse algoritmo no parágrafo anterior, quando o problema de um número de dois dígitos levou a um modelo matemático, que é um sistema de equações. Resolvemos este sistema de equações acima pelo método de substituição (veja o exemplo 1 do § 4).

Algoritmo para usar o método de substituição na resolução de um sistema de duas equações com duas variáveis ​​x, y.

1. Expresse y em termos de x de uma equação do sistema.
2. Substitua a expressão resultante em vez de y em outra equação do sistema.
3. Resolva a equação resultante para x.
4. Substitua cada uma das raízes da equação encontrada na terceira etapa em vez de x na expressão de y a x obtida na primeira etapa.
5. Anote a resposta na forma de pares de valores (x; y), que foram encontrados, respectivamente, na terceira e quarta etapas.

4) Substitua cada um dos valores encontrados de y na fórmula x \u003d 5 - Zy. Se então
5) Pares (2; 1) e soluções de um dado sistema de equações.

Resposta: (2; 1);

Método de adição algébrica

Este método, como o método de substituição, é familiar para você no curso de álgebra da 7ª série, onde foi usado para resolver sistemas de equações lineares. Recordamos a essência do método no exemplo a seguir.

Exemplo 2 Resolver um sistema de equações

Multiplicamos todos os termos da primeira equação do sistema por 3 e deixamos a segunda equação inalterada:
Subtraia a segunda equação do sistema de sua primeira equação:

Como resultado da adição algébrica de duas equações do sistema original, obteve-se uma equação mais simples que a primeira e a segunda equações do sistema dado. Com esta equação mais simples, temos o direito de substituir qualquer equação de um determinado sistema, por exemplo, a segunda. Então o sistema de equações dado será substituído por um sistema mais simples:

Este sistema pode ser resolvido pelo método de substituição. Da segunda equação encontramos Substituindo esta expressão em vez de y na primeira equação do sistema, obtemos

Resta substituir os valores encontrados de x na fórmula

Se x = 2 então

Assim, encontramos duas soluções para o sistema:

Método para introdução de novas variáveis

Você se familiarizou com o método de introdução de uma nova variável ao resolver equações racionais com uma variável no curso de álgebra da 8ª série. A essência deste método para resolver sistemas de equações é a mesma, mas do ponto de vista técnico existem algumas características que discutiremos nos exemplos a seguir.

Exemplo 3 Resolver um sistema de equações

Vamos introduzir uma nova variável Então a primeira equação do sistema pode ser reescrita de uma forma mais simples: Vamos resolver esta equação em relação à variável t:

Ambos os valores satisfazem a condição e, portanto, são as raízes de uma equação racional com a variável t. Mas isso significa ou de onde encontramos que x = 2y, ou
Assim, com a ajuda do método de introdução de uma nova variável, conseguimos, por assim dizer, “estratificar” a primeira equação do sistema, que é bastante complexa na aparência, em duas equações mais simples:

x = 2y; e - 2x.

Qual é o próximo? E então cada uma das duas equações simples obtidas deve ser considerada por sua vez em um sistema com a equação x 2 - y 2 \u003d 3, que ainda não lembramos. Em outras palavras, o problema é reduzido a resolver dois sistemas de equações:

É necessário encontrar soluções para o primeiro sistema, o segundo sistema e incluir todos os pares de valores resultantes na resposta. Vamos resolver o primeiro sistema de equações:

Vamos usar o método de substituição, especialmente porque tudo está pronto para isso aqui: substituímos a expressão 2y em vez de x na segunda equação do sistema. Pegue

Como x \u003d 2y, encontramos x 1 \u003d 2, x 2 \u003d 2, respectivamente. Assim, duas soluções para o sistema dado são obtidas: (2; 1) e (-2; -1). Vamos resolver o segundo sistema de equações:

Vamos usar o método de substituição novamente: substituímos a expressão 2x em vez de y na segunda equação do sistema. Pegue

Esta equação não tem raízes, o que significa que o sistema de equações não tem soluções. Assim, apenas as soluções do primeiro sistema devem ser incluídas na resposta.

Resposta: (2; 1); (-2;-1).

O método de introdução de novas variáveis ​​na resolução de sistemas de duas equações com duas variáveis ​​é utilizado em duas versões. Primeira opção: uma nova variável é introduzida e utilizada em apenas uma equação do sistema. Foi exatamente o que aconteceu no exemplo 3. A segunda opção: duas novas variáveis ​​são introduzidas e utilizadas simultaneamente em ambas as equações do sistema. Este será o caso do exemplo 4.

Exemplo 4 Resolver um sistema de equações

Vamos introduzir duas novas variáveis:

Aprendemos que então

Isso nos permitirá reescrever o sistema fornecido de uma forma muito mais simples, mas com relação às novas variáveis ​​a e b:

Desde a \u003d 1, então da equação a + 6 \u003d 2 encontramos: 1 + 6 \u003d 2; 6=1. Assim, para as variáveis ​​a e b, temos uma solução:

Voltando às variáveis ​​x e y, obtemos o sistema de equações

Aplicamos o método de adição algébrica para resolver este sistema:

Desde então, da equação 2x + y = 3 encontramos:
Assim, para as variáveis ​​x e y, temos uma solução:

Vamos concluir esta seção com uma discussão teórica breve, mas bastante séria. Você já ganhou alguma experiência na resolução de várias equações: linear, quadrada, racional, irracional. Você sabe que a ideia principal de resolver uma equação é passar gradualmente de uma equação para outra, mais simples, mas equivalente à dada. Na seção anterior, introduzimos a noção de equivalência para equações com duas variáveis. Este conceito também é usado para sistemas de equações.

Definição.

Dois sistemas de equações com variáveis ​​x e y são considerados equivalentes se tiverem as mesmas soluções ou se ambos os sistemas não tiverem soluções.

Todos os três métodos (substituição, adição algébrica e introdução de novas variáveis) que discutimos nesta seção são absolutamente corretos do ponto de vista da equivalência. Em outras palavras, usando esses métodos, substituímos um sistema de equações por outro, mais simples, mas equivalente ao sistema original.

Método gráfico para resolver sistemas de equações

Já aprendemos como resolver sistemas de equações de maneiras tão comuns e confiáveis ​​como o método de substituição, adição algébrica e a introdução de novas variáveis. E agora vamos relembrar o método que você já estudou na lição anterior. Ou seja, vamos repetir o que você sabe sobre o método de solução gráfica.

O método de resolução de sistemas de equações graficamente é a construção de um gráfico para cada uma das equações específicas que estão incluídas neste sistema e estão no mesmo plano de coordenadas, e também onde é necessário encontrar a interseção dos pontos desses gráficos . Para resolver este sistema de equações são as coordenadas deste ponto (x; y).

Deve ser lembrado que é comum que um sistema gráfico de equações tenha uma única solução correta, ou um número infinito de soluções, ou não tenha nenhuma solução.

Agora vamos dar uma olhada em cada uma dessas soluções. E assim, o sistema de equações pode ter uma única solução se as linhas, que são os gráficos das equações do sistema, se cruzarem. Se essas linhas são paralelas, então esse sistema de equações não tem absolutamente nenhuma solução. No caso da coincidência dos gráficos diretos das equações do sistema, esse sistema permite encontrar muitas soluções.

Bem, agora vamos dar uma olhada no algoritmo para resolver um sistema de duas equações com 2 incógnitas usando um método gráfico:

Primeiramente, construímos um gráfico da 1ª equação;
O segundo passo será traçar um gráfico que se relacione com a segunda equação;
Em terceiro lugar, precisamos encontrar os pontos de interseção dos gráficos.
E como resultado, obtemos as coordenadas de cada ponto de interseção, que será a solução do sistema de equações.

Vejamos esse método com mais detalhes com um exemplo. Temos um sistema de equações a ser resolvido:

Resolvendo equações

1. Primeiro, vamos construir um gráfico desta equação: x2+y2=9.

Mas deve-se notar que este gráfico de equações será um círculo centrado na origem, e seu raio será igual a três.

2. Nosso próximo passo será traçar uma equação como: y = x - 3.

Neste caso, devemos construir uma reta e encontrar os pontos (0;−3) e (3;0).

3. Vamos ver o que temos. Vemos que a linha intercepta o círculo em dois de seus pontos A e B.

Agora estamos procurando as coordenadas desses pontos. Vemos que as coordenadas (3;0) correspondem ao ponto A, e as coordenadas (0;−3) correspondem ao ponto B.

E o que obtemos como resultado?

Os números (3;0) e (0;−3) obtidos na interseção de uma reta com um círculo são precisamente as soluções de ambas as equações do sistema. E disso segue-se que esses números também são soluções desse sistema de equações.

Ou seja, a resposta desta solução são os números: (3;0) e (0;−3).