O ponto se move em linha reta de acordo com a lei S \u003d t 4 +2t (S - em metros t- em segundos). Encontre sua aceleração média entre os momentos t 1 = 5 s, t 2 = 7 s, bem como sua aceleração real no momento t 3 = 6 segundos.

Solução.

1. Encontre a velocidade do ponto como uma derivada do caminho S em relação ao tempo t, Essa.

2. Substituindo em vez de t seus valores t 1 \u003d 5 s e t 2 \u003d 7 s, encontramos as velocidades:

V 1 \u003d 4 5 3 + 2 \u003d 502 m / s; V 2 \u003d 4 7 3 + 2 \u003d 1374 m / s.

3. Determine o incremento de velocidade ΔV ao longo do tempo Δt = 7 - 5 = 2 s:

ΔV \u003d V 2 - V 1= 1374 - 502 = 872 m/s.

4. Assim, a aceleração média do ponto será igual a

5. Para determinar o valor real da aceleração do ponto, tomamos a derivada da velocidade em relação ao tempo:

6. Substituindo t valor t 3 \u003d 6 s, obtemos a aceleração neste momento

a cf \u003d 12-6 3 \u003d 432 m / s 2.

movimento curvilíneo. No movimento curvilíneo, a velocidade de um ponto muda em magnitude e direção.

Imagina um ponto M, que durante o tempo Δt, movendo-se ao longo de alguma trajetória curvilínea, moveu-se para a posição M 1(Fig. 6).

Incrementar (alterar) vetor de velocidade ΔV vai ser

Por encontrando o vetor ΔV movemos o vetor V 1 para o ponto M e construir um triângulo de velocidades. Vamos definir o vetor aceleração média:

Vetor admiradosé paralelo ao vetor ΔV, pois dividir o vetor por um valor escalar não altera a direção do vetor. O verdadeiro vetor aceleração é o limite para o qual a razão do vetor velocidade para o intervalo de tempo correspondente Δt tende a zero, ou seja,

Tal limite é chamado de derivada vetorial.

Nesse caminho, a verdadeira aceleração de um ponto durante o movimento curvilíneo é igual à derivada vetorial em relação à velocidade.

Da fig. 6 mostra que o vetor aceleração durante o movimento curvilíneo é sempre direcionado para a concavidade da trajetória.

Para conveniência dos cálculos, a aceleração é decomposta em dois componentes para a trajetória do movimento: tangencialmente, chamada de aceleração tangencial (tangencial) uma, e ao longo da normal, chamada de aceleração normal a n (Fig. 7).

Neste caso, a aceleração total será

A aceleração tangencial coincide na direção com a velocidade do ponto ou oposto a ele. Caracteriza a mudança no valor da velocidade e, portanto, é determinado pela fórmula

A aceleração normal é perpendicular à direção da velocidade do ponto, e seu valor numérico é determinado pela fórmula

onde r - raio de curvatura da trajetória no ponto considerado.

Como as acelerações tangencial e normal são mutuamente perpendiculares, portanto, a magnitude da aceleração total é determinada pela fórmula

e sua direção

Se um , então os vetores de aceleração tangencial e velocidade são direcionados na mesma direção e o movimento será acelerado.

Se um , então o vetor de aceleração tangencial é direcionado na direção oposta ao vetor de velocidade, e o movimento será lento.

O vetor de aceleração normal é sempre direcionado para o centro de curvatura, por isso é chamado centrípeto.

O significado físico da derivada. O USE em matemática inclui um conjunto de tarefas para a solução das quais é necessário o conhecimento e a compreensão do significado físico da derivada. Em particular, existem tarefas em que a lei do movimento de um determinado ponto (objeto) é dada, expressa por uma equação e é necessário encontrar sua velocidade em um determinado momento no tempo do movimento, ou o tempo após o qual o objeto adquire uma determinada velocidade.As tarefas são muito simples, elas são resolvidas em uma única etapa. Então:

Seja dada a lei do movimento de um ponto material x (t) ao longo do eixo de coordenadas, onde x é a coordenada do ponto de movimento, t é o tempo.

A velocidade em um determinado ponto no tempo é a derivada da coordenada em relação ao tempo. Este é o significado mecânico da derivada.

Da mesma forma, a aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo:

Assim, o significado físico da derivada é velocidade. Esta pode ser a velocidade do movimento, a velocidade de uma mudança em um processo (por exemplo, o crescimento de bactérias), a velocidade do trabalho (e assim por diante, existem muitas tarefas aplicadas).

Além disso, você precisa conhecer a tabela de derivadas (você precisa conhecê-la assim como a tabuada de multiplicação) e as regras de diferenciação. Especificamente, para resolver os problemas especificados, é necessário conhecer as primeiras seis derivadas (ver tabela):

Considere as tarefas:

x (t) \u003d t 2 - 7t - 20

onde x t é o tempo em segundos medido desde o início do movimento. Encontre sua velocidade (em metros por segundo) no instante t = 5 s.

O significado físico da derivada é velocidade (velocidade de movimento, velocidade de mudança de processo, velocidade de trabalho, etc.)

Vamos encontrar a lei da variação da velocidade: v (t) = x′(t) = 2t – 7 m/s.

Para t = 5 temos:

Resposta: 3

Decida por conta própria:

O ponto material move-se retilineamente de acordo com a lei x (t) = 6t 2 - 48t + 17, onde x- distância do ponto de referência em metros, t- tempo em segundos, medido a partir do início do movimento. Encontre sua velocidade (em metros por segundo) no instante t = 9 s.

O ponto material se move retilineamente de acordo com a lei x (t) = 0,5t 3 – 3t 2 + 2t, onde xt- tempo em segundos, medido a partir do início do movimento. Encontre sua velocidade (em metros por segundo) no instante t = 6 s.

O ponto material se move em linha reta de acordo com a lei

x (t) = –t 4 + 6t 3 + 5t + 23

Onde x- distância do ponto de referência em metros,t- tempo em segundos, medido a partir do início do movimento. Encontre sua velocidade (em metros por segundo) no instante t = 3 s.

O ponto material se move em linha reta de acordo com a lei

x (t) = (1/6) t 2 + 5t + 28

onde x é a distância do ponto de referência em metros, t é o tempo em segundos medido desde o início do movimento. Em que momento (em segundos) sua velocidade foi igual a 6 m/s?

Vamos encontrar a lei da mudança de velocidade:

Para saber em que momentota velocidade era igual a 3 m / s, é necessário resolver a equação:

Resposta: 3

Decida por si mesmo:

Um ponto material se move em linha reta de acordo com a lei x (t) \u003d t 2 - 13t + 23, onde x- distância do ponto de referência em metros, t- tempo em segundos, medido a partir do início do movimento. Em que momento (em segundos) sua velocidade foi igual a 3 m/s?

O ponto material se move em linha reta de acordo com a lei

x (t) \u003d (1/3) t 3 - 3t 2 - 5t + 3

Onde x- distância do ponto de referência em metros, t- tempo em segundos, medido a partir do início do movimento. Em que instante (em segundos) sua velocidade foi igual a 2 m/s?

Observo que não vale a pena focar apenas nesse tipo de tarefa no exame. Eles podem introduzir inesperadamente tarefas inversas às apresentadas. Quando a lei da mudança da velocidade for dada, a questão de encontrar a lei do movimento será levantada.

Dica: neste caso, você precisa encontrar a integral da função de velocidade (estas também são tarefas em uma ação). Se você precisar encontrar a distância percorrida em um determinado ponto no tempo, precisará substituir o tempo na equação resultante e calcular a distância. No entanto, também analisaremos essas tarefas, não perca!Eu te desejo sucesso!

Atenciosamente, Alexander Krutitskikh.

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"Responsabilidade material das partes no contrato de trabalho"- Responsabilidade do empregador. Se o valor da recuperação não exceder o salário médio por 1 mês. Voluntário mediante solicitação ou compromisso por escrito. Para um funcionário. Responsabilidade Civil de um funcionário Coletivo Individual Completo Limitado (equipe). Por dedução do salário por ordem do empregador.

"Balanço de ponto"- 5. Vibrações lineares. 7. Vibrações livres com resistência viscosa. 4. Exemplos de vibrações. bater. 3. Exemplos de oscilações. O movimento é amortecido e aperiódico. Mostra quantas vezes a amplitude das oscilações excede o desvio estático. Vibrações livres causadas por uma força motriz. 4) O período das oscilações amortecidas é maior que o das não amortecidas.

"Movimento retilíneo" - Gráficos para PRD. Movimento uniforme retilíneo (PRD). Sx \u003d X - X0 \u003d vx t - projeção do movimento no eixo X. Movimento retilíneo uniformemente acelerado (POND). Lago. X = X0 + sx é a lei do movimento. Gráficos de LAGOA. Isso significa que a velocidade muda? - A lei do movimento. Exemplo: X = X0 + Vx t - a lei do movimento para o PRD.

"Pontos da Esfera Celestial"- Os dias do solstício, como os dias do equinócio, podem mudar. A 1 radiano, 57°17-45". Um grau é o ângulo central correspondente a 1/360 de um círculo. No solstício de verão em 22 de junho, o Sol tem sua declinação máxima. O movimento do Sol ao longo da eclíptica é causada pelo movimento anual da Terra em torno do Sol.

"Distância do ponto à linha"- No cubo unitário A…D1 encontre a distância do ponto A à linha CB1. Encontrando distâncias 2. No cubo unitário A…D1, o ponto E é o ponto médio da aresta C1D1. No cubo unitário A…D1 encontre a distância do ponto A à linha CD. No cubo unitário A…D1 encontre a distância do ponto A à linha CD1. No cubo unitário A…D1 encontre a distância do ponto A à linha BD.

"Quatro Pontos Notáveis ​​do Triângulo"- A altura do triângulo. A mediana de um triângulo. O segmento AN é uma perpendicular baixada do ponto A para a linha a, se. Mediana. Um segmento de linha que conecta um vértice ao ponto médio do lado oposto é chamado. Bissetriz de um triângulo. Tarefa número 2. Problema nº 1. Chama-se a perpendicular baixada do vértice do triângulo à linha que contém o lado oposto.