Continuamos a lidar com sistemas de equações lineares. Até agora, consideramos sistemas que têm uma solução única. Tais sistemas podem ser resolvidos de qualquer maneira: método de substituição("escola") pelas fórmulas de Cramer, método matricial, Método de Gauss. No entanto, mais dois casos são difundidos na prática quando:

1) o sistema é inconsistente (não tem soluções);

2) o sistema tem infinitas soluções.

Para esses sistemas, o mais universal de todos os métodos de solução é usado - Método de Gauss. De fato, o método da "escola" também levará à resposta, mas na matemática superior é costume usar o método gaussiano de eliminação sucessiva de incógnitas. Aqueles que não estão familiarizados com o algoritmo do método de Gauss, por favor estudem a lição primeiro Método de Gauss

As próprias transformações elementares da matriz são exatamente as mesmas, a diferença estará no final da solução. Primeiro, considere alguns exemplos em que o sistema não tem soluções (inconsistentes).

Exemplo 1

O que imediatamente chama sua atenção neste sistema? O número de equações é menor que o número de variáveis. Existe um teorema que diz: “Se o número de equações no sistema for menor que o número de variáveis, então o sistema é inconsistente ou tem infinitas soluções. E resta apenas descobrir.

O início da solução é bastante comum - escrevemos a matriz estendida do sistema e, usando transformações elementares, trazemos para uma forma gradual:

(1). No degrau superior esquerdo, precisamos obter (+1) ou (-1). Não existem esses números na primeira coluna, portanto, reorganizar as linhas não funcionará. A unidade terá que ser organizada de forma independente, e isso pode ser feito de várias maneiras. Nós fizemos isso. À primeira linha adicionamos a terceira linha, multiplicada por (-1).

(2). Agora temos dois zeros na primeira coluna. À segunda linha, adicione a primeira linha, multiplicada por 3. À terceira linha, adicione a primeira, multiplicada por 5.

(3). Depois de feita a transformação, é sempre aconselhável ver se é possível simplificar as strings resultantes? Posso. Dividimos a segunda linha por 2, ao mesmo tempo obtendo a desejada (-1) na segunda etapa. Divida a terceira linha por (-3).

(quatro). Adicione a segunda linha à terceira linha. Provavelmente, todos prestaram atenção à linha ruim, que resultou de transformações elementares:

. É claro que não pode ser assim.

De fato, reescrevemos a matriz resultante

Voltando ao sistema de equações lineares:

Se, como resultado de transformações elementares, uma cadeia da forma , Ondeλ é um número diferente de zero, então o sistema é inconsistente (não tem soluções).

Como gravar o final de uma tarefa? Você precisa escrever a frase:

“Como resultado de transformações elementares, obtém-se um cordão da forma, onde λ ≠ 0 ". Resposta: "O sistema não tem soluções (inconsistentes)."

Observe que, neste caso, não há movimento reverso do algoritmo gaussiano, não há soluções e simplesmente não há nada para encontrar.

Exemplo 2

Resolver um sistema de equações lineares

Este é um exemplo de faça você mesmo. Solução completa e resposta no final da lição.

Novamente, lembramos que seu processo de solução pode diferir do nosso processo de solução, o método de Gauss não define um algoritmo inequívoco, você precisa adivinhar o procedimento e as próprias ações em cada caso.

Mais uma característica técnica da solução: transformações elementares podem ser interrompidas De uma vez só, assim que uma linha como , onde λ ≠ 0 . Considere um exemplo condicional: suponha que após a primeira transformação obtemos uma matriz

.

Esta matriz ainda não foi reduzida a uma forma escalonada, mas não há necessidade de mais transformações elementares, pois apareceu uma linha da forma, onde λ ≠ 0 . Deve-se responder imediatamente que o sistema é incompatível.

Quando um sistema de equações lineares não tem soluções, isso é quase um presente para o aluno, porque uma solução curta é obtida, às vezes literalmente em 2-3 etapas. Mas tudo neste mundo é equilibrado, e o problema em que o sistema tem infinitas soluções é apenas mais longo.

Exemplo 3:

Resolver um sistema de equações lineares

Existem 4 equações e 4 incógnitas, então o sistema pode ter uma única solução, ou não ter soluções, ou ter infinitas soluções. Fosse o que fosse, mas o método de Gauss, em qualquer caso, nos levará à resposta. Esta é a sua versatilidade.

O início é novamente padrão. Escrevemos a matriz estendida do sistema e, usando transformações elementares, a transformamos em um degrau:

Isso é tudo, e você estava com medo.

(1). Observe que todos os números da primeira coluna são divisíveis por 2, portanto, no degrau superior esquerdo, também estamos satisfeitos com um deuce. À segunda linha adicionamos a primeira linha, multiplicada por (-4). À terceira linha adicionamos a primeira linha, multiplicada por (-2). À quarta linha adicionamos a primeira linha, multiplicada por (-1).

Atenção! Muitos podem ser tentados a partir da quarta linha subtrair primeira linha. Isso pode ser feito, mas não é necessário, a experiência mostra que a probabilidade de um erro nos cálculos aumenta várias vezes. Apenas adicionamos: à quarta linha adicionamos a primeira linha, multiplicada por (-1) - exatamente!

(2). As últimas três linhas são proporcionais, duas delas podem ser apagadas. Aqui novamente é necessário mostrar atenção aumentada, mas as linhas são realmente proporcionais? Para resseguro, não será supérfluo multiplicar a segunda linha por (-1) e dividir a quarta linha por 2, resultando em três linhas idênticas. E só depois disso remova dois deles. Como resultado de transformações elementares, a matriz estendida do sistema é reduzida a uma forma escalonada:

Ao completar uma tarefa em um caderno, é aconselhável fazer as mesmas anotações a lápis para maior clareza.

Reescrevemos o sistema de equações correspondente:

A única solução “usual” do sistema não cheira aqui. Linha ruim onde λ ≠ 0, também não. Portanto, este é o terceiro caso restante - o sistema tem infinitas soluções.

O conjunto infinito de soluções do sistema é brevemente escrito na forma do chamado solução geral do sistema.

Encontraremos a solução geral do sistema usando o movimento reverso do método de Gauss. Para sistemas de equações com um conjunto infinito de soluções, novos conceitos aparecem: "variáveis ​​básicas" e "variáveis ​​livres". Primeiro, vamos definir quais variáveis ​​temos básico, e quais variáveis ​​- gratuitamente. Não é necessário explicar em detalhes os termos da álgebra linear, basta lembrar que existem tais variáveis ​​de base e variáveis ​​livres.

Variáveis ​​básicas sempre "se sentam" estritamente nos passos da matriz. Neste exemplo, as variáveis ​​de base são x 1 e x 3 .

Variáveis ​​livres são tudo remanescente variáveis ​​que não receberam um passo. No nosso caso, são dois: x 2 e x 4 - variáveis ​​livres.

Agora você precisa tudovariáveis ​​de base expressar apenas atravesvariáveis ​​livres. O movimento reverso do algoritmo gaussiano tradicionalmente funciona de baixo para cima. A partir da segunda equação do sistema, expressamos a variável básica x 3:

Agora veja a primeira equação: . Primeiro, substituímos a expressão encontrada nela:

Resta expressar a variável básica x 1 através de variáveis ​​livres x 2 e x 4:

O resultado é o que você precisa - tudo variáveis ​​de base ( x 1 e x 3) expresso apenas atraves variáveis ​​livres ( x 2 e x 4):

Na verdade, a solução geral está pronta:

.

Como escrever a solução geral? Em primeiro lugar, as variáveis ​​livres são escritas na solução geral “por conta própria” e estritamente em seus lugares. Neste caso, as variáveis ​​livres x 2 e x 4 deve ser escrito na segunda e quarta posições:

.

As expressões resultantes para as variáveis ​​básicas e obviamente precisa ser escrito na primeira e terceira posições:

A partir da solução geral do sistema, pode-se encontrar infinitas decisões privadas. É muito simples. variáveis ​​livres x 2 e x 4 são chamados assim porque podem ser dados quaisquer valores finais. Os valores mais populares são os valores zero, pois esta é a maneira mais fácil de obter uma solução específica.

Substituindo ( x 2 = 0; x 4 = 0) na solução geral, obtemos uma das soluções particulares:

, ou é uma solução particular correspondente a variáveis ​​livres com valores ( x 2 = 0; x 4 = 0).

Uns são outro casal querido, vamos substituir ( x 2 = 1 e x 4 = 1) na solução geral:

, ou seja, (-1; 1; 1; 1) é outra solução particular.

É fácil ver que o sistema de equações tem infinitas soluções já que podemos dar variáveis ​​livres algum valores.

Cada uma solução particular deve satisfazer para cada equação do sistema. Esta é a base para uma verificação “rápida” da correção da solução. Tome, por exemplo, uma solução particular (-1; 1; 1; 1) e substitua-a no lado esquerdo de cada equação no sistema original:

Tudo tem que vir junto. E com qualquer solução específica que você obtenha, tudo também deve convergir.

A rigor, a verificação de uma solução particular às vezes engana, ou seja, alguma solução particular pode satisfazer cada equação do sistema, e a própria solução geral é encontrada incorretamente. Portanto, em primeiro lugar, a verificação da solução geral é mais completa e confiável.

Como verificar a solução geral resultante ?

Não é difícil, mas requer uma transformação bastante longa. Precisamos tomar expressões básico variáveis, neste caso e , e substituí-los no lado esquerdo de cada equação do sistema.

Para o lado esquerdo da primeira equação do sistema:

O lado direito da primeira equação original do sistema é obtido.

Para o lado esquerdo da segunda equação do sistema:

O lado direito da segunda equação original do sistema é obtido.

E além disso - para as partes esquerdas da terceira e quarta equações do sistema. Essa verificação é mais longa, mas garante 100% de correção da solução geral. Além disso, em algumas tarefas é necessário verificar a solução geral.

Exemplo 4:

Resolva o sistema usando o método de Gauss. Encontre uma solução geral e duas privadas. Verifique a solução geral.

Este é um exemplo de faça você mesmo. Aqui, a propósito, novamente o número de equações é menor que o número de incógnitas, o que significa que fica imediatamente claro que o sistema será inconsistente ou com um número infinito de soluções.

Exemplo 5:

Resolva um sistema de equações lineares. Se o sistema tem infinitas soluções, encontre duas soluções particulares e verifique a solução geral

Solução: Vamos escrever a matriz estendida do sistema e, com a ajuda de transformações elementares, trazê-la para uma forma escalonada:

(1). Adicione a primeira linha à segunda linha. À terceira linha somamos a primeira linha multiplicada por 2. À quarta linha somamos a primeira linha multiplicada por 3.

(2). À terceira linha adicionamos a segunda linha, multiplicada por (-5). À quarta linha adicionamos a segunda linha, multiplicada por (-7).

(3). A terceira e quarta linhas são as mesmas, excluímos uma delas. Aqui está uma beleza:

As variáveis ​​de base ficam em etapas, portanto, são variáveis ​​de base.

Existe apenas uma variável livre, que não recebeu um passo: .

(quatro). Movimento reverso. Expressamos as variáveis ​​básicas em termos da variável livre:

Da terceira equação:

Considere a segunda equação e substitua a expressão encontrada nela:

, , ,

Considere a primeira equação e substitua as expressões encontradas e nela:

Assim, a solução geral com uma variável livre x 4:

Mais uma vez, como aconteceu? variável livre x 4 fica sozinho em seu legítimo quarto lugar. As expressões resultantes para as variáveis ​​básicas , , também estão em seus lugares.

Vamos verificar imediatamente a solução geral.

Substituímos as variáveis ​​básicas , , no lado esquerdo de cada equação do sistema:

Os lados direitos correspondentes das equações são obtidos, assim, a solução geral correta é encontrada.

Agora a partir da solução geral encontrada obtemos duas soluções particulares. Todas as variáveis ​​são expressas aqui através de um único variável livre x quatro. Você não precisa quebrar a cabeça.

Deixar x 4 = 0, então é a primeira solução particular.

Deixar x 4 = 1, então é outra solução particular.

Responda: Decisão comum: . Soluções Privadas:

e .

Exemplo 6:

Encontre a solução geral do sistema de equações lineares.

Já verificamos a solução geral, a resposta pode ser confiável. Seu curso de ação pode diferir do nosso curso de ação. O principal é que as soluções gerais coincidem. Provavelmente, muitos notaram um momento desagradável nas soluções: muitas vezes, durante o curso inverso do método de Gauss, tivemos que mexer com frações comuns. Na prática, isso é verdade, casos em que não há frações são muito menos comuns. Esteja preparado mentalmente e, mais importante, tecnicamente.

Detenhamo-nos nas características da solução que não foram encontradas nos exemplos resolvidos. A solução geral do sistema pode às vezes incluir uma constante (ou constantes).

Por exemplo, a solução geral: . Aqui uma das variáveis ​​básicas é igual a um número constante: . Não há nada de exótico nisso, acontece. Obviamente, neste caso, qualquer solução em particular conterá um cinco na primeira posição.

Raramente, mas existem sistemas em que o número de equações é maior que o número de variáveis. No entanto, o método de Gauss funciona sob as condições mais severas. Você deve calmamente trazer a matriz estendida do sistema para uma forma escalonada de acordo com o algoritmo padrão. Tal sistema pode ser inconsistente, pode ter infinitas soluções e, curiosamente, pode ter uma única solução.

Repetimos em nosso conselho - para se sentir confortável ao resolver um sistema usando o método de Gauss, você deve encher a mão e resolver pelo menos uma dúzia de sistemas.

Soluções e respostas:

Exemplo 2:

Solução:Vamos escrever a matriz estendida do sistema e, usando transformações elementares, trazê-la para uma forma escalonada.

Transformações elementares realizadas:

(1) A primeira e a terceira linhas foram trocadas.

(2) A primeira linha foi adicionada à segunda linha, multiplicada por (-6). A primeira linha foi adicionada à terceira linha, multiplicada por (-7).

(3) A segunda linha foi adicionada à terceira linha, multiplicada por (-1).

Como resultado de transformações elementares, uma string da forma, Onde λ ≠ 0 .Portanto, o sistema é inconsistente.Responda: não há soluções.

Exemplo 4:

Solução:Escrevemos a matriz estendida do sistema e, usando transformações elementares, a transformamos em um degrau:

Conversões realizadas:

(1). A primeira linha multiplicada por 2 foi adicionada à segunda linha. A primeira linha multiplicada por 3 foi adicionada à terceira linha.

Não há unidade para a segunda etapa , e a transformação (2) visa obtê-lo.

(2). A segunda linha foi adicionada à terceira linha, multiplicada por -3.

(3). A segunda e terceira linhas foram trocadas (o -1 resultante foi movido para a segunda etapa)

(quatro). A segunda linha foi adicionada à terceira linha, multiplicada por 3.

(5). O sinal das duas primeiras linhas foi alterado (multiplicado por -1), a terceira linha foi dividida por 14.

Movimento reverso:

(1). Aqui são as variáveis ​​básicas (que estão em etapas), e são variáveis ​​livres (que não obtiveram o passo).

(2). Expressamos as variáveis ​​básicas em termos de variáveis ​​livres:

Da terceira equação: .

(3). Considere a segunda equação:, soluções particulares:

Responda: Decisão comum:

Números complexos

Nesta seção, vamos introduzir o conceito número complexo, considere algébrico, trigonométrico e mostrar formulário número complexo. Também aprenderemos a realizar operações com números complexos: adição, subtração, multiplicação, divisão, exponenciação e extração de raízes.

Para dominar os números complexos, você não precisa de nenhum conhecimento especial do curso de matemática superior, e o material está disponível até para um estudante. Basta ser capaz de realizar operações algébricas com números "comuns" e lembrar da trigonometria.

Primeiro, vamos nos lembrar dos Números "comuns". Em matemática são chamados conjunto de números reais e estão marcados com a letra R, ou R (espesso). Todos os números reais ficam na linha numérica familiar:

A companhia de números reais é muito colorida - aqui estão números inteiros, frações e números irracionais. Neste caso, cada ponto do eixo numérico corresponde necessariamente a algum número real.

Sistemas de equações são amplamente utilizados na indústria econômica na modelagem matemática de vários processos. Por exemplo, ao resolver problemas de gestão e planejamento da produção, rotas logísticas (problema de transporte) ou colocação de equipamentos.

Os sistemas de equações são usados ​​não apenas no campo da matemática, mas também na física, química e biologia, ao resolver problemas de encontrar o tamanho da população.

Um sistema de equações lineares é um termo para duas ou mais equações com várias variáveis ​​para as quais é necessário encontrar uma solução comum. Tal sequência de números para os quais todas as equações se tornam verdadeiras igualdades ou provam que a sequência não existe.

Equação linear

Equações da forma ax+by=c são chamadas lineares. As designações x, y são as incógnitas, cujo valor deve ser encontrado, b, a são os coeficientes das variáveis, c é o termo livre da equação.
Resolver a equação traçando seu gráfico parecerá uma linha reta, todos os pontos dos quais são a solução do polinômio.

Tipos de sistemas de equações lineares

Os mais simples são exemplos de sistemas de equações lineares com duas variáveis ​​X e Y.

F1(x, y) = 0 e F2(x, y) = 0, onde F1,2 são funções e (x, y) são variáveis ​​de função.

Resolver um sistema de equações - significa encontrar tais valores (x, y) para os quais o sistema se torna uma verdadeira igualdade, ou estabelecer que não existem valores adequados de x e y.

Um par de valores (x, y), escrito como coordenadas de ponto, é chamado de solução para um sistema de equações lineares.

Se os sistemas têm uma solução comum ou não há solução, eles são chamados de equivalentes.

Sistemas homogêneos de equações lineares são sistemas cujo lado direito é igual a zero. Se a parte direita após o sinal de "igual" tiver um valor ou for expressa por uma função, esse sistema não é homogêneo.

O número de variáveis ​​pode ser muito mais do que dois, então devemos falar sobre um exemplo de um sistema de equações lineares com três variáveis ​​ou mais.

Diante dos sistemas, os escolares assumem que o número de equações deve necessariamente coincidir com o número de incógnitas, mas não é assim. O número de equações no sistema não depende das variáveis, pode haver um número arbitrariamente grande delas.

Métodos simples e complexos para resolver sistemas de equações

Não existe uma maneira analítica geral de resolver tais sistemas, todos os métodos são baseados em soluções numéricas. O curso escolar de matemática descreve em detalhes métodos como permutação, adição algébrica, substituição, bem como o método gráfico e matricial, a solução pelo método de Gauss.

A principal tarefa no ensino de métodos de resolução é ensinar como analisar corretamente o sistema e encontrar o algoritmo de solução ideal para cada exemplo. O principal não é memorizar um sistema de regras e ações para cada método, mas entender os princípios de aplicação de um método específico.

A solução de exemplos de sistemas de equações lineares da 7ª série do programa escolar do ensino geral é bastante simples e explicada em grande detalhe. Em qualquer livro de matemática, esta seção recebe atenção suficiente. A solução de exemplos de sistemas de equações lineares pelo método de Gauss e Cramer é estudada com mais detalhes nos primeiros cursos das instituições de ensino superior.

Solução de sistemas pelo método de substituição

As ações do método de substituição visam expressar o valor de uma variável por meio da segunda. A expressão é substituída na equação restante e, em seguida, é reduzida a uma única forma de variável. A ação é repetida dependendo do número de incógnitas no sistema

Vamos dar um exemplo de um sistema de equações lineares da 7ª classe pelo método de substituição:

Como pode ser visto no exemplo, a variável x foi expressa através de F(X) = 7 + Y. A expressão resultante, substituída na 2ª equação do sistema no lugar de X, ajudou a obter uma variável Y na 2ª equação . A solução deste exemplo não causa dificuldades e permite obter o valor de Y. O último passo é verificar os valores obtidos.

Nem sempre é possível resolver um exemplo de sistema de equações lineares por substituição. As equações podem ser complexas e a expressão da variável em termos da segunda incógnita será muito complicada para cálculos posteriores. Quando há mais de 3 incógnitas no sistema, a solução de substituição também é impraticável.

Solução de um exemplo de um sistema de equações lineares não homogêneas:

Solução usando adição algébrica

Ao procurar uma solução para sistemas pelo método de adição, são realizadas a adição termo a termo e a multiplicação de equações por vários números. O objetivo final das operações matemáticas é uma equação com uma variável.

As aplicações deste método requerem prática e observação. Não é fácil resolver um sistema de equações lineares usando o método de adição com o número de variáveis ​​3 ou mais. A adição algébrica é útil quando as equações contêm frações e números decimais.

Algoritmo de ação da solução:

1. Multiplique ambos os lados da equação por algum número. Como resultado da operação aritmética, um dos coeficientes da variável deve se tornar igual a 1.
2. Some a expressão resultante termo a termo e encontre uma das incógnitas.
3. Substitua o valor resultante na 2ª equação do sistema para encontrar a variável restante.

Método de solução introduzindo uma nova variável

Uma nova variável pode ser introduzida se o sistema precisar encontrar uma solução para não mais que duas equações, o número de incógnitas também não deve ser maior que duas.

O método é usado para simplificar uma das equações introduzindo uma nova variável. A nova equação é resolvida em relação à incógnita inserida e o valor resultante é usado para determinar a variável original.

Pode-se ver pelo exemplo que ao introduzir uma nova variável t, foi possível reduzir a 1ª equação do sistema a um trinômio quadrado padrão. Você pode resolver um polinômio encontrando o discriminante.

É necessário encontrar o valor do discriminante usando a conhecida fórmula: D = b2 - 4*a*c, onde D é o discriminante desejado, b, a, c são os multiplicadores do polinômio. No exemplo dado, a=1, b=16, c=39, portanto D=100. Se o discriminante for maior que zero, então existem duas soluções: t = -b±√D / 2*a, se o discriminante for menor que zero, então há apenas uma solução: x= -b / 2*a.

A solução para os sistemas resultantes é encontrada pelo método de adição.

Um método visual para resolver sistemas

Adequado para sistemas com 3 equações. O método consiste em traçar gráficos de cada equação incluída no sistema no eixo de coordenadas. As coordenadas dos pontos de intersecção das curvas serão a solução geral do sistema.

O método gráfico tem várias nuances. Considere vários exemplos de resolução de sistemas de equações lineares de forma visual.

Como pode ser visto no exemplo, foram construídos dois pontos para cada linha, os valores da variável x foram escolhidos arbitrariamente: 0 e 3. Com base nos valores de x, foram encontrados os valores para y: 3 e 0. Pontos com coordenadas (0, 3) e (3, 0) foram marcados no gráfico e conectados por uma linha.

Os passos devem ser repetidos para a segunda equação. O ponto de intersecção das linhas é a solução do sistema.

No exemplo a seguir, é necessário encontrar uma solução gráfica para o sistema de equações lineares: 0,5x-y+2=0 e 0,5x-y-1=0.

Como pode ser visto no exemplo, o sistema não tem solução, porque os gráficos são paralelos e não se cruzam ao longo de todo o seu comprimento.

Os sistemas dos Exemplos 2 e 3 são semelhantes, mas quando construídos, torna-se óbvio que suas soluções são diferentes. Deve-se lembrar que nem sempre é possível dizer se o sistema tem solução ou não, é sempre necessário construir um grafo.

Matrix e suas variedades

As matrizes são usadas para escrever brevemente um sistema de equações lineares. Uma matriz é um tipo especial de tabela preenchida com números. n*m tem n - linhas e m - colunas.

Uma matriz é quadrada quando o número de colunas e linhas é igual. Um vetor-matriz é uma matriz de coluna única com um número infinitamente possível de linhas. Uma matriz com unidades ao longo de uma das diagonais e outros elementos nulos é chamada identidade.

Uma matriz inversa é uma tal matriz, quando multiplicada pela qual a original se transforma em uma unidade, tal matriz existe apenas para o quadrado original.

Regras para transformar um sistema de equações em uma matriz

No que diz respeito aos sistemas de equações, os coeficientes e membros livres das equações são escritos como números da matriz, uma equação é uma linha da matriz.

Uma linha da matriz é chamada diferente de zero se pelo menos um elemento da linha não for igual a zero. Portanto, se em qualquer uma das equações o número de variáveis ​​for diferente, é necessário inserir zero no lugar da incógnita ausente.

As colunas da matriz devem corresponder estritamente às variáveis. Isso significa que os coeficientes da variável x só podem ser escritos em uma coluna, por exemplo na primeira, o coeficiente da incógnita y - apenas na segunda.

Ao multiplicar uma matriz, todos os elementos da matriz são sucessivamente multiplicados por um número.

Opções para encontrar a matriz inversa

A fórmula para encontrar a matriz inversa é bem simples: K -1 = 1 / |K|, onde K -1 é a matriz inversa e |K| - determinante matricial. |K| não deve ser igual a zero, então o sistema tem solução.

O determinante é facilmente calculado para uma matriz de dois por dois, bastando apenas multiplicar os elementos diagonalmente um pelo outro. Para a opção "três por três", existe uma fórmula |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + a 3 b 2 c 1 . Você pode usar a fórmula ou lembrar que precisa pegar um elemento de cada linha e cada coluna para que os números de coluna e linha dos elementos não se repitam no produto.

Solução de exemplos de sistemas de equações lineares pelo método matricial

O método matricial de encontrar uma solução permite reduzir entradas complicadas ao resolver sistemas com um grande número de variáveis ​​e equações.

No exemplo, a nm são os coeficientes das equações, a matriz é um vetor x n são as variáveis ​​e b n são os termos livres.

Solução de sistemas pelo método de Gauss

Na matemática superior, o método de Gauss é estudado em conjunto com o método de Cramer, e o processo de encontrar uma solução para sistemas é chamado de método de resolução de Gauss-Cramer. Esses métodos são usados ​​para encontrar as variáveis ​​de sistemas com um grande número de equações lineares.

O método gaussiano é muito semelhante às soluções de substituição e adição algébrica, mas é mais sistemático. No curso escolar, a solução gaussiana é usada para sistemas de 3 e 4 equações. O objetivo do método é trazer o sistema para a forma de um trapézio invertido. Por transformações e substituições algébricas, o valor de uma variável é encontrado em uma das equações do sistema. A segunda equação é uma expressão com 2 incógnitas e 3 e 4 - com 3 e 4 variáveis, respectivamente.

Depois de trazer o sistema para a forma descrita, a solução adicional é reduzida à substituição sequencial de variáveis ​​conhecidas nas equações do sistema.

Nos livros escolares da 7ª série, um exemplo de solução gaussiana é descrito a seguir:

Como pode ser visto no exemplo, na etapa (3) foram obtidas duas equações 3x 3 -2x 4 =11 e 3x 3 +2x 4 =7. A solução de qualquer uma das equações permitirá que você descubra uma das variáveis ​​x n.

O Teorema 5, mencionado no texto, afirma que se uma das equações do sistema for substituída por uma equivalente, o sistema resultante também será equivalente ao original.

O método gaussiano é difícil para os alunos do ensino médio entenderem, mas é uma das maneiras mais interessantes de desenvolver a engenhosidade das crianças que estudam no programa de estudos avançados nas aulas de matemática e física.

Para facilitar o registro dos cálculos, é comum fazer o seguinte:

Coeficientes de equação e termos livres são escritos na forma de uma matriz, onde cada linha da matriz corresponde a uma das equações do sistema. separa o lado esquerdo da equação do lado direito. Os algarismos romanos denotam o número de equações no sistema.

Primeiro, eles escrevem a matriz com a qual trabalhar, depois todas as ações realizadas com uma das linhas. A matriz resultante é escrita após o sinal de "seta" e continua a realizar as operações algébricas necessárias até que o resultado seja alcançado.

Como resultado, deve-se obter uma matriz na qual uma das diagonais é 1 e todos os outros coeficientes são iguais a zero, ou seja, a matriz é reduzida a uma única forma. Não devemos esquecer de fazer cálculos com os números de ambos os lados da equação.

Essa notação é menos complicada e permite que você não se distraia listando inúmeras incógnitas.

A aplicação gratuita de qualquer método de solução exigirá cuidado e certa experiência. Nem todos os métodos são aplicados. Algumas formas de encontrar soluções são mais preferíveis em uma determinada área da atividade humana, enquanto outras existem para fins de aprendizado.

No entanto, mais dois casos são comuns na prática:

– O sistema é inconsistente (não tem soluções);
O sistema é consistente e tem infinitas soluções.

Observação : o termo "consistência" implica que o sistema tem pelo menos alguma solução. Em várias tarefas, é necessário examinar preliminarmente a compatibilidade do sistema, como fazer isso - consulte o artigo sobre classificação da matriz.

Para esses sistemas, o mais universal de todos os métodos de solução é usado - Método de Gauss. De fato, o método da "escola" também levará à resposta, mas na matemática superior é costume usar o método gaussiano de eliminação sucessiva de incógnitas. Aqueles que não estão familiarizados com o algoritmo do método de Gauss, por favor estudem a lição primeiro método de gauss para manequins.

As próprias transformações elementares da matriz são exatamente as mesmas, a diferença estará no final da solução. Primeiro, considere alguns exemplos em que o sistema não tem soluções (inconsistentes).

Exemplo 1

O que imediatamente chama sua atenção neste sistema? O número de equações é menor que o número de variáveis. Se o número de equações for menor que o número de variáveis, então podemos dizer imediatamente que o sistema é inconsistente ou tem infinitas soluções. E resta apenas descobrir.

O início da solução é bastante comum - escrevemos a matriz estendida do sistema e, usando transformações elementares, trazemos para uma forma gradual:

(1) No degrau superior esquerdo, precisamos obter +1 ou -1. Não existem esses números na primeira coluna, portanto, reorganizar as linhas não funcionará. A unidade terá que ser organizada de forma independente, e isso pode ser feito de várias maneiras. Eu fiz isso: Na primeira linha, adicione a terceira linha, multiplicada por -1.

(2) Agora temos dois zeros na primeira coluna. À segunda linha somamos a primeira linha multiplicada por 3. À terceira linha somamos a primeira linha multiplicada por 5.

(3) Após a transformação, é sempre aconselhável ver se é possível simplificar as strings resultantes? Posso. Dividimos a segunda linha por 2, ao mesmo tempo obtendo o -1 desejado na segunda etapa. Divida a terceira linha por -3.

(4) Adicione a segunda linha à terceira linha.

Provavelmente, todos prestaram atenção à linha ruim, que resultou de transformações elementares: . É claro que não pode ser assim. De fato, reescrevemos a matriz resultante Voltando ao sistema de equações lineares:

Se, como resultado de transformações elementares, for obtida uma string da forma, onde é um número diferente de zero, o sistema é inconsistente (não tem soluções) .

Como gravar o final de uma tarefa? Vamos desenhar com giz branco: "como resultado de transformações elementares, uma linha da forma é obtida, onde" e dar a resposta: o sistema não tem soluções (inconsistentes).

Se, de acordo com a condição, for necessário EXPLORAR o sistema para compatibilidade, é necessário emitir uma solução em um estilo mais sólido envolvendo o conceito posto matricial e o teorema de Kronecker-Capelli.

Observe que não há movimento reverso do algoritmo gaussiano aqui - não há soluções e simplesmente não há nada para encontrar.

Exemplo 2

Resolver um sistema de equações lineares

Este é um exemplo de faça você mesmo. Solução completa e resposta no final da lição. Novamente, lembro que seu caminho de solução pode diferir do meu caminho de solução, o algoritmo gaussiano não possui uma “rigidez” forte.

Mais uma característica técnica da solução: transformações elementares podem ser interrompidas De uma vez só, assim que uma linha como , onde . Considere um exemplo condicional: suponha que após a primeira transformação obtemos uma matriz . A matriz ainda não foi reduzida a uma forma escalonada, mas não há necessidade de mais transformações elementares, pois apareceu uma linha da forma, onde . Deve-se responder imediatamente que o sistema é incompatível.

Quando um sistema de equações lineares não tem soluções, isso é quase um presente, porque uma solução curta é obtida, às vezes literalmente em 2-3 etapas.

Mas tudo neste mundo é equilibrado, e o problema em que o sistema tem infinitas soluções é apenas mais longo.

Exemplo 3

Resolver um sistema de equações lineares

Existem 4 equações e 4 incógnitas, então o sistema pode ter uma única solução, ou não ter soluções, ou ter infinitas soluções. Fosse o que fosse, mas o método de Gauss, em qualquer caso, nos levará à resposta. Aí reside a sua versatilidade.

O início é novamente padrão. Escrevemos a matriz estendida do sistema e, usando transformações elementares, a transformamos em um degrau:

Isso é tudo, e você estava com medo.

(1) Observe que todos os números na primeira coluna são divisíveis por 2, então um 2 é bom no degrau superior esquerdo. À segunda linha adicionamos a primeira linha, multiplicada por -4. À terceira linha adicionamos a primeira linha, multiplicada por -2. À quarta linha adicionamos a primeira linha, multiplicada por -1.

Atenção! Muitos podem ser tentados a partir da quarta linha subtrair primeira linha. Isso pode ser feito, mas não é necessário, a experiência mostra que a probabilidade de um erro nos cálculos aumenta várias vezes. Basta somar: Para a quarta linha, adicione a primeira linha, multiplicada por -1 - exatamente!

(2) As últimas três linhas são proporcionais, duas delas podem ser apagadas.

Aqui novamente é necessário mostrar atenção aumentada, mas as linhas são realmente proporcionais? Para resseguro (especialmente para um bule), não seria supérfluo multiplicar a segunda linha por -1 e dividir a quarta linha por 2, resultando em três linhas idênticas. E só depois disso remova dois deles.

Como resultado de transformações elementares, a matriz estendida do sistema é reduzida a uma forma escalonada:

Ao completar uma tarefa em um caderno, é aconselhável fazer as mesmas anotações a lápis para maior clareza.

Reescrevemos o sistema de equações correspondente:

A única solução “usual” do sistema não cheira aqui. Também não existe linha ruim. Isso significa que este é o terceiro caso restante - o sistema tem infinitas soluções. Às vezes, por condição, é necessário investigar a compatibilidade do sistema (ou seja, provar que existe uma solução), você pode ler sobre isso no último parágrafo do artigo Como encontrar o posto de uma matriz? Mas, por enquanto, vamos detalhar o básico:

O conjunto infinito de soluções do sistema é brevemente escrito na forma do chamado solução geral do sistema .

Encontraremos a solução geral do sistema usando o movimento reverso do método de Gauss.

Primeiro precisamos determinar quais variáveis ​​temos básico, e quais variáveis gratuitamente. Não é necessário se preocupar com os termos da álgebra linear, basta lembrar que existem tais variáveis ​​de base e variáveis ​​livres.

Variáveis ​​básicas sempre "se sentam" estritamente nos passos da matriz.
Neste exemplo, as variáveis ​​básicas são e

Variáveis ​​livres são tudo remanescente variáveis ​​que não receberam um passo. No nosso caso, existem duas delas: – variáveis ​​livres.

Agora você precisa tudo variáveis ​​de base expressar apenas atraves variáveis ​​livres.

O movimento reverso do algoritmo gaussiano tradicionalmente funciona de baixo para cima.
A partir da segunda equação do sistema, expressamos a variável básica:

Agora veja a primeira equação: . Primeiro, substituímos a expressão encontrada nela:

Resta expressar a variável básica em termos de variáveis ​​livres:

O resultado é o que você precisa - tudo as variáveis ​​de base ( e ) são expressas apenas atraves variáveis ​​livres:

Na verdade, a solução geral está pronta:

Como escrever a solução geral?
Variáveis ​​livres são escritas na solução geral "por conta própria" e estritamente em seus lugares. Neste caso, as variáveis ​​livres devem ser escritas na segunda e quarta posições:
.

As expressões resultantes para as variáveis ​​básicas e obviamente precisa ser escrito na primeira e terceira posições:

Dando variáveis ​​livres valores arbitrários, existem infinitas decisões privadas. Os valores mais populares são zeros, pois a solução específica é a mais fácil de obter. Substitua na solução geral:

é uma decisão privada.

Uns são outro casal querido, vamos substituir na solução geral:

é outra solução particular.

É fácil ver que o sistema de equações tem infinitas soluções(já que podemos dar variáveis ​​livres algum valores)

Cada uma solução particular deve satisfazer para cada equação do sistema. Esta é a base para uma verificação “rápida” da correção da solução. Tome, por exemplo, uma solução particular e substitua-a no lado esquerdo de cada equação no sistema original:

Tudo tem que vir junto. E com qualquer solução específica que você obtenha, tudo também deve convergir.

Mas, estritamente falando, a verificação de uma determinada solução às vezes engana; alguma solução particular pode satisfazer cada equação do sistema, e a própria solução geral é encontrada incorretamente.

Portanto, a verificação da solução geral é mais completa e confiável. Como verificar a solução geral resultante ?

É fácil, mas bastante trabalhoso. Precisamos tomar expressões básico variáveis, neste caso e , e substituí-los no lado esquerdo de cada equação do sistema.

Para o lado esquerdo da primeira equação do sistema:

Para o lado esquerdo da segunda equação do sistema:


O lado direito da equação original é obtido.

Exemplo 4

Resolva o sistema usando o método de Gauss. Encontre uma solução geral e duas privadas. Verifique a solução geral.

Este é um exemplo de faça você mesmo. Aqui, a propósito, novamente o número de equações é menor que o número de incógnitas, o que significa que fica imediatamente claro que o sistema será inconsistente ou com um número infinito de soluções. O que é importante no próprio processo de decisão? Atenção, e novamente atenção. Solução completa e resposta no final da lição.

E mais alguns exemplos para reforçar o material

Exemplo 5

Resolva um sistema de equações lineares. Se o sistema tem infinitas soluções, encontre duas soluções particulares e verifique a solução geral

Solução: Vamos escrever a matriz aumentada do sistema e com a ajuda de transformações elementares trazemos para a forma de degrau:

(1) Adicione a primeira linha à segunda linha. À terceira linha somamos a primeira linha multiplicada por 2. À quarta linha somamos a primeira linha multiplicada por 3.
(2) À terceira linha, adicione a segunda linha, multiplicada por -5. À quarta linha adicionamos a segunda linha, multiplicada por -7.
(3) A terceira e quarta linhas são as mesmas, excluímos uma delas.

Aqui está uma beleza:

As variáveis ​​de base ficam em etapas, portanto, são variáveis ​​de base.
Existe apenas uma variável livre, que não recebeu um passo:

Movimento reverso:
Expressamos as variáveis ​​básicas em termos da variável livre:
Da terceira equação:

Considere a segunda equação e substitua a expressão encontrada nela:

Considere a primeira equação e substitua as expressões encontradas e nela:

Sim, uma calculadora que conta frações comuns ainda é conveniente.

Então a solução geral é:

Mais uma vez, como aconteceu? A variável livre fica sozinha em seu quarto lugar. As expressões resultantes para as variáveis ​​básicas , também tomaram seus lugares ordinais.

Vamos verificar imediatamente a solução geral. Trabalho para negros, mas já fiz, então pega =)

Substituímos três heróis , , no lado esquerdo de cada equação do sistema:

Os lados direitos correspondentes das equações são obtidos, de modo que a solução geral é encontrada corretamente.

Agora a partir da solução geral encontrada obtemos duas soluções particulares. O chef aqui é a única variável livre. Você não precisa quebrar a cabeça.

Vamos então é uma decisão privada.
Vamos então é outra solução particular.

Responda: Decisão comum: , soluções particulares: , .

Em vão me lembrei dos negros aqui ... ... porque todos os tipos de motivos sádicos vieram à minha cabeça e me lembrei da conhecida fotozhaba, na qual os homens da Ku Klux Klan de macacão branco correm pelo campo atrás de um jogador de futebol negro . Sento-me e sorrio em silêncio. Você sabe o quão perturbador….

Muita matemática é prejudicial, então um exemplo final semelhante para uma solução independente.

Exemplo 6

Encontre a solução geral do sistema de equações lineares.

Já verifiquei a solução geral, a resposta pode ser confiável. Sua solução pode diferir da minha solução, o principal é que as soluções gerais correspondam.

Provavelmente, muitos notaram um momento desagradável nas soluções: muitas vezes, durante o curso inverso do método de Gauss, tivemos que mexer com frações comuns. Na prática, isso é verdade, casos em que não há frações são muito menos comuns. Esteja preparado mentalmente e, mais importante, tecnicamente.

Debruçar-me-ei sobre algumas características da solução que não foram encontradas nos exemplos resolvidos.

A solução geral do sistema às vezes pode incluir uma constante (ou constantes), por exemplo: . Aqui uma das variáveis ​​básicas é igual a um número constante: . Não há nada de exótico nisso, acontece. Obviamente, neste caso, qualquer solução em particular conterá um cinco na primeira posição.

Raramente, mas existem sistemas em que o número de equações é maior que o número de variáveis. O método gaussiano funciona nas condições mais severas; deve-se calmamente trazer a matriz estendida do sistema para uma forma escalonada de acordo com o algoritmo padrão. Tal sistema pode ser inconsistente, pode ter infinitas soluções e, curiosamente, pode ter uma única solução.

• Sistemas m equações lineares com n desconhecido.
  Resolvendo um sistema de equações linearesé um conjunto de números ( x 1 , x 2 , …, x n), substituindo qual em cada uma das equações do sistema, obtém-se a igualdade correta.
  Onde aij, i = 1, …, m; j = 1, …, n são os coeficientes do sistema;
  b i , i = 1, …, m- membros gratuitos;
  x j , j = 1, …, n- desconhecido.
  O sistema acima pode ser escrito na forma matricial: A X = B,
  
  
  
  
  Onde ( UMA|B) é a matriz principal do sistema;
  UMA— matriz estendida do sistema;
  X— coluna de incógnitas;
  Bé uma coluna de membros livres.
  Se a matriz B não é uma matriz nula ∅, então esse sistema de equações lineares é chamado de não homogêneo.
  Se a matriz B= ∅, então esse sistema de equações lineares é chamado de homogêneo. Um sistema homogêneo sempre tem uma solução zero (trivial): x 1 \u003d x 2 \u003d ..., x n \u003d 0.
  Sistema conjunto de equações linearesé um sistema de equações lineares que tem solução.
  Sistema inconsistente de equações linearesé um sistema de equações lineares que não tem solução.
  Certo sistema de equações linearesé um sistema de equações lineares que tem uma única solução.
  Sistema indefinido de equações linearesé um sistema de equações lineares que tem um número infinito de soluções.
• Sistemas de n equações lineares com n incógnitas
  Se o número de incógnitas é igual ao número de equações, então a matriz é quadrada. O determinante da matriz é chamado de determinante principal do sistema de equações lineares e é denotado pelo símbolo Δ.
  Método Cramer para resolver sistemas n equações lineares com n desconhecido.
  Regra de Cramer.
  Se o principal determinante de um sistema de equações lineares não for igual a zero, então o sistema é consistente e definido, e a única solução é calculada usando as fórmulas de Cramer:
  onde Δ i são os determinantes obtidos a partir do determinante principal do sistema Δ substituindo euª coluna para a coluna de membros livres. .
• Sistemas de m equações lineares com n incógnitas
  Teorema de Kronecker-Cappelli.
  
  
  Para que este sistema de equações lineares seja consistente, é necessário e suficiente que o posto da matriz do sistema seja igual ao posto da matriz estendida do sistema, posto(Α) = posto(Α|B).
  Se um tocou(Α) ≠ tocou(Α|B), então o sistema obviamente não tem soluções.
  Se posto(Α) = posto(Α|B), então dois casos são possíveis:
  1) rang(Α) = n(para o número de incógnitas) - a solução é única e pode ser obtida pelas fórmulas de Cramer;
  2) classificação (Α)< n − existem infinitas soluções.
• Método de Gauss para resolver sistemas de equações lineares
  
  
  Vamos compor a matriz aumentada ( UMA|B) do sistema de coeficientes dado nos lados desconhecido e à direita.
  O método gaussiano ou método de eliminação de incógnitas consiste em reduzir a matriz aumentada ( UMA|B) com a ajuda de transformações elementares sobre suas linhas para uma forma diagonal (para uma forma triangular superior). Voltando ao sistema de equações, todas as incógnitas são determinadas.
  Transformações elementares em strings incluem o seguinte:
  1) trocando duas linhas;
  2) multiplicar uma string por um número diferente de 0;
  3) adicionar à string outra string multiplicada por um número arbitrário;
  4) descartando uma string nula.
  Uma matriz estendida reduzida a uma forma diagonal corresponde a um sistema linear equivalente ao dado, cuja solução não causa dificuldades. .
• Sistema de equações lineares homogéneas.
  O sistema homogêneo tem a forma:
  
  corresponde à equação matricial AX = 0.
  1) Um sistema homogêneo é sempre consistente, pois r(A) = r(A|B), há sempre uma solução zero (0, 0, …, 0).
  2) Para que um sistema homogêneo tenha uma solução diferente de zero, é necessário e suficiente que r = r(A)< n , que é equivalente a Δ = 0.
  3) Se r< n , então Δ = 0, então existem incógnitas livres c 1 , c 2 , …, c n-r, o sistema tem soluções não triviais, e existem infinitas delas.
  4) Solução geral X no r< n pode ser escrito na forma matricial da seguinte forma:
  X \u003d c 1 X 1 + c 2 X 2 + ... + c n-r X n-r,
  onde estão as soluções X 1 , X 2 , …, X n-r formam um sistema fundamental de soluções.
  5) O sistema fundamental de soluções pode ser obtido a partir da solução geral do sistema homogêneo:
  
  ,
  se assumirmos sequencialmente os valores dos parâmetros como (1, 0, …, 0), (0, 1, …, 0), …, (0, 0, …, 1).
  Decomposição da solução geral em termos do sistema fundamental de soluçõesé um registro da solução geral como uma combinação linear de soluções pertencentes ao sistema fundamental.
  Teorema. Para que um sistema de equações lineares homogêneas tenha uma solução diferente de zero, é necessário e suficiente que Δ ≠ 0.
  Então, se o determinante for Δ ≠ 0, então o sistema tem uma solução única.
  Se Δ ≠ 0, então o sistema de equações lineares homogêneas tem um número infinito de soluções.
  Teorema. Para que um sistema homogêneo tenha uma solução diferente de zero, é necessário e suficiente que r(A)< n .
  Prova:
  1) r não pode ser mais n(a classificação da matriz não excede o número de colunas ou linhas);
  2) r< n , Porque E se r=n, então o principal determinante do sistema Δ ≠ 0, e, de acordo com as fórmulas de Cramer, existe uma única solução trivial x 1 \u003d x 2 \u003d ... \u003d x n \u003d 0, o que contradiz a condição. Significa, r(A)< n .
  Consequência. Para um sistema homogêneo n equações lineares com n desconhecidos tem uma solução diferente de zero, é necessário e suficiente que Δ = 0.

Solução. A= . Encontre r(A). Porque matriz A tem ordem 3x4, então a maior ordem de menores é 3. Neste caso, todos os menores de terceira ordem são iguais a zero (verifique você mesmo). Significa, r(À)< 3. Возьмем главный menor básico = -5-4 = -9 ≠ 0. Portanto, r(A) =2.

Considerar matriz A PARTIR DE = .

Terço menor ordem ≠ 0. Portanto, r(C) = 3.

Uma vez que r(A) ≠ r(C), então o sistema é inconsistente.

Exemplo 2 Determine a compatibilidade do sistema de equações

Resolva este sistema se for consistente.

Solução.

A = , C = . Obviamente, r(А) ≤ 3, r(C) ≤ 4. Como detC = 0, então r(C)< 4. Considerar menor terceiro ordem, localizado no canto superior esquerdo da matriz A e C: = -23 ≠ 0. Portanto, r(A) = r(C) = 3.

Número desconhecido no sistema n=3. Portanto, o sistema tem uma solução única. Nesse caso, a quarta equação é a soma das três primeiras e pode ser ignorada.

Pelas fórmulas de Cramer obtemos x 1 = -98/23, x 2 = -47/23, x 3 = -123/23.

2.4. Método matricial. Método de Gauss

sistema n equações lineares Com n incógnitas podem ser resolvidas método matricial de acordo com a fórmula X \u003d A -1 B (para Δ ≠ 0), que é obtido de (2) multiplicando ambas as partes por A -1 .

Exemplo 1. Resolva um sistema de equações

pelo método matricial (na Seção 2.2 este sistema foi resolvido usando as fórmulas de Cramer)

Solução. Δ=10 ≠ 0 A = - matriz não singular.

= (verifique isso por si mesmo fazendo os cálculos necessários).

A -1 \u003d (1 / Δ) x \u003d .

X \u003d A -1 B \u003d x= .

Responda: .

Do ponto de vista prático método matricial e fórmulas Kramer estão associados a uma grande quantidade de computação, então é dada preferência a Método de Gauss, que consiste na eliminação sucessiva de incógnitas. Para fazer isso, o sistema de equações é reduzido a um sistema equivalente com uma matriz triangular aumentada (todos os elementos abaixo da diagonal principal são iguais a zero). Essas ações são chamadas de movimento direto. A partir do sistema triangular resultante, as variáveis ​​são encontradas por meio de sucessivas substituições (para trás).

Exemplo 2. Resolva o sistema usando o método de Gauss

(Este sistema foi resolvido acima usando a fórmula de Cramer e o método da matriz).

Solução.

Movimento direto. Escrevemos a matriz aumentada e, usando transformações elementares, trazemos para uma forma triangular:

~ ~ ~ ~ .

Pegue sistema

Movimento reverso. Da última equação encontramos X 3 = -6 e substitua este valor na segunda equação:

X 2 = - 11/2 - 1/4X 3 = - 11/2 - 1/4(-6) = - 11/2 + 3/2 = -8/2 = -4.

X 1 = 2 -X 2 + X 3 = 2+4-6 = 0.

Responda: .

2.5. Solução geral de um sistema de equações lineares

Seja dado um sistema de equações lineares = b eu(eu=). Seja r(A) = r(C) = r, ou seja. o sistema é colaborativo. Qualquer menor diferente de zero de ordem r é menor básico. Sem perda de generalidade, assumimos que o menor básico está localizado nas primeiras r (1 ≤ r ≤ min(m,n)) linhas e colunas da matriz A. Descartando as últimas m-r equações do sistema, escrevemos um sistema abreviado :

que é equivalente ao original. Vamos nomear as incógnitas x 1 ,…. x r básico, e x r +1 ,…, x r free e mova os termos contendo as incógnitas livres para o lado direito das equações do sistema truncado. Obtemos o sistema em relação às incógnitas básicas:

que para cada conjunto de valores de incógnitas livres x r +1 \u003d C 1, ..., x n \u003d C n-r tem a única solução x 1 (C 1, ..., C n-r), ..., x r (C 1, ..., C n-r), encontrado pela regra de Cramer.

Solução apropriada encurtado e, portanto, o sistema original tem a forma:

Х(С 1 ,…, С n-r) = - solução geral do sistema.

Se na solução geral as incógnitas livres recebem alguns valores numéricos, então obtemos a solução do sistema linear, chamado privado.

Exemplo. Estabeleça a compatibilidade e encontre a solução geral do sistema

Solução. A = , C = .

Então Como as r(A)= r(C) = 2 (veja você mesmo), então o sistema original é compatível e tem um número infinito de soluções (uma vez que r< 4).