Exatamente um ano atrás, testamos o monitor NEC MultiSync EA231WMi, o primeiro modelo comercialmente disponível baseado na nova matriz e-IPS. Apesar da impressão geralmente agradável, o EA231WMi acabou sendo um monitor de nicho - relativamente caro e não equipado com um circuito de compensação de resposta e, portanto, bastante lento, era adequado para pessoas interessadas principalmente em reprodução de cores de alta qualidade, mas você pode chamá-lo de universal e casa era apenas com reservas.

Desde então, o tempo passou, o destacamento de monitores em matrizes e-IPS foi reabastecido com novos caças - em grande parte devido à Dell, que lançou vários modelos de uma só vez com características muito atraentes e preços relativamente baixos. Hoje vamos considerá-los.

Metodologia de Teste

Uma descrição da metodologia de teste, dos equipamentos que utilizamos, bem como uma breve explicação do que significam na prática determinados parâmetros de passaporte ou monitor medido, podem ser encontrados no material " Metodologia de teste LCD". Se você acha que não é bem versado nos números e termos que o artigo abunda, leia as seções relevantes da descrição especificada, esperamos que esclareça muitas perguntas.

Se você não encontrou o monitor em que está interessado neste artigo, faz sentido verificar com lista completa de modelos testados.

Design e ergonomia

Para a Dell, tradicionalmente é de grande importância trabalhar para as necessidades do mercado corporativo, principalmente o americano, que é bastante conservador em termos de aparência - cores vivas e superfícies brilhantes são consideradas por muitas pessoas que escolhem equipamentos para trabalhar como “ frívolo”, não correspondendo ao espírito do ambiente de negócios.

O mesmo se aplica a pessoas sensíveis à qualidade da reprodução de cores: para elas, o melhor monitor é aquele que menos distrai a atenção da imagem real, o que significa que consideram os LEDs brilhantes, multicoloridos e super brilhantes tão inaceitável.

Diante disso, é de se admirar que toda a linha de monitores Dell em matrizes IPS, obviamente projetadas principalmente para esses dois grupos de pessoas, seja feita em estojos estritamente foscos em cinza escuro, quase preto? Claro que não: é exatamente assim que um monitor profissional de alta qualidade deve ser, escolhido por suas capacidades, qualidade e confiabilidade, e não por sua aparência. No entanto, veremos como estão as coisas com os recursos e a qualidade, e agora vamos dar uma olhada na aparência e na ergonomia, ou seja, na facilidade de uso.

U2311H



U2711

À primeira vista, todos os cinco monitores diferem externamente apenas em tamanho (nas fotos acima, por exemplo, apenas dois deles, acredite, os outros três são os mesmos): um estojo retangular feito de plástico fosco cinza escuro, uma tela fosca superfície, um suporte retangular estável e uma fileira vertical de botões à direita da tela. A única decoração é uma inscrição metalizada "DELL" no centro sob a tela.

Atrás dos monitores são igualmente austeros, exceto que o suporte prateado adiciona um pouco de variedade ao esquema de cores.

O suporte oferece todas as funcionalidades possíveis: ajuste de altura (além disso, os monitores podem ser abaixados quase até o nível da mesa), gira em torno de um eixo vertical (a base do suporte permanece imóvel), gira para o modo retrato e ajusta a tela inclinar. Move e gira o monitor facilmente, sem nenhum esforço significativo.

Botões no U2211H

Os botões de controle dos dois modelos mais novos - U2211H e U2311H - são mecânicos, estão dispostos em uma fileira vertical na borda direita do monitor e são pressionados com um leve clique. O botão inferior é um desligamento, ele também possui um indicador LED embutido, que brilha levemente em azul (durante a operação) ou amarelo (em "hibernação"). Observe que os botões não possuem etiquetas: o fato é que suas funções não são codificadas, podem ser alteradas a partir do menu do monitor.

Botões no U2410

Os modelos mais antigos são um pouco diferentes: todos os botões, exceto o botão liga/desliga, são sensíveis ao toque e são indicados por cabeças quadradas levemente salientes de LEDs azuis. Quando você levanta o dedo (mesmo antes de tocar a superfície), todos os LEDs acendem, para que você possa pressionar os botões facilmente, mesmo na escuridão total.

Não encontrei diferenças, exceto estéticas, entre os botões de toque e mecânicos: ambos são igualmente confortáveis ​​e funcionam pressionando com a mesma clareza. Procure botões de toque com suas luzes acesas e LEDs apagados, claro, mais vantajosos, mas é aí que terminam suas vantagens.

Uma diferença mais significativa entre os monitores é o número de entradas e saídas.

O U2211H e o U2311H possuem apenas alguns conectores USB no lado esquerdo…

… enquanto nos três modelos mais antigos são complementados por uma ranhura para leitor de cartões SecureDigital. No entanto, a utilidade de ambos não é muito grande: por exemplo, o autor deste artigo, tendo um monitor com conectores USB laterais em casa e no trabalho, não conseguiu se acostumar a usá-los - é sempre inconveniente ou procurar para eles por toque ou gire o monitor lateralmente. Talvez você possa colocar algo permanentemente lá, por exemplo, um receptor de mouse sem fio, mas para unidades flash, players e equipamentos semelhantes, é mais conveniente usar os conectores no gabinete da unidade do sistema.

Se falamos sobre os conectores traseiros, o U2211H e o U2311H estão equipados com entradas DisplayPort, DVI e D-Sub, conectores para conectar uma unidade adquirida separadamente com alto-falantes (não foi vista à venda na Rússia), uma entrada e mais duas Saídas USB, que podem ser convenientes para inserir um mouse ou teclado.

O Dell U2410 já oferece duas opções de entrada DVI, DisplayPort, HDMI, D-Sub, além de entradas de vídeo componente e composto. Na saída de som, se você não tiver alto-falantes suspensos de marca, poderá ligar os fones de ouvido. Ao mesmo tempo, não há entrada de som como tal - o monitor decodifica o som vindo da interface HDMI.

O modelo de 27 polegadas adiciona saídas de som: em vez de um conector estéreo, agora existem três alto-falantes frontais, alto-falantes traseiros, um alto-falante central e um subwoofer. Ainda não há entrada de áudio analógico, então o som no monitor terá que ser transmitido através de uma interface HDMI ou DisplayPort. O monitor pode receber som multicanal apenas no formato PCM, não há decodificador de formato Dolby nele.

Por fim, o modelo mais antigo, U3011H, adiciona um segundo HDMI ao arsenal de entradas - e esse talvez seja o recorde entre os monitores que já vi! É verdade que a entrada de vídeo composto desapareceu, mas é improvável que alguém precise dela em um monitor de 30 polegadas com baixa qualidade de sinal.

Bem, se as diferenças entre os botões de toque e mecânicos eram principalmente decorativas, um posicionamento claro pode ser traçado no conjunto de entradas: quanto mais caro o monitor, mais ele pode fazer. O número de entradas de vídeo varia de três nos modelos mais novos a sete (sic!) nos modelos mais antigos. Ao mesmo tempo, todos os modelos possuem uma entrada DisplayPort, que só recentemente começou a aparecer nas placas de vídeo.

Menu e recursos OSD

O menu de todos os monitores Dell considerados hoje também é feito de acordo com o mesmo modelo, mas com diferenças de funcionalidade - ou seja, na riqueza de configurações. Portanto, a princípio, prestarei um pouco de atenção à sua aparência e, em seguida, direi separadamente como diferentes monitores diferem uns dos outros.

Ao pressionar qualquer um dos botões de controle (são quatro nos modelos mais novos e cinco nos mais antigos), abre-se um menu de acesso rápido, a partir do qual você pode alternar a entrada, alterar o brilho e o contraste, selecionar um dos modos predefinidos , e também entrar no menu de configurações completo. Os itens "Menu" e "Sair" permanecem sempre inalterados, mas as funções dos dois primeiros botões (no U2211H e U2311H) ou três (nos outros modelos) ficam a seu critério.

Modos predefinidos - de 6 a 10 peças, dependendo do modelo do monitor; na realidade, porém, dificilmente alguém usará mais do que dois ou três. A Dell decidiu trazer tudo em uma única lista de modos de uma só vez - tanto os típicos "melhoradores de imagem" ("Multimedia" e "Jogo") quanto a escolha da temperatura de cor e até mesmo a mudança da gama de cores - para modelos mais antigos, uma vez que cobertura é possível no U2211H e U2311H apenas um, sRGB.

Infelizmente, não existem perfis que simplesmente alterem o brilho e o contraste do monitor - portanto, se você não precisar de "melhoradores de imagem", sua utilidade prática não é grande.

O mini-menu de brilho é bastante comum - dois controles deslizantes com intervalo de 0-100.

O menu completo consiste em oito guias, cada uma com muitas configurações - não faz muito sentido considerá-las em detalhes, pois na maioria dos casos seu objetivo é óbvio.

Conforme observado acima, dois ou três botões, referidos no menu como “teclas de atalho”, podem ser reatribuídos pelo usuário - cada um deles pode receber uma das seguintes funções: selecionar um perfil predefinido, ajustar brilho e contraste, - sintonizar um sinal analógico , ativar o modo Picture-in-Picture (nos monitores onde estiver disponível) ou alternar as entradas.

É conveniente comparar as opções de personalização e funcionalidade de diferentes modelos resumindo as informações sobre seu menu em uma tabela:

"Teclas de atalho" - o número de botões do monitor reatribuídos pelo usuário.
"Formato de cor de entrada" - formato de codificação de cores (por que o YPbPr é necessário em monitores sem entrada de vídeo componente não é muito claro).
"Gamma" - ajuste de gama disponível, para todos os modelos é uma escolha entre 2.2 (PC) e 1.8 (Mac).
"Modos predefinidos" - o número de perfis de configurações predefinidas. Os modelos mais antigos se destacam tanto pela aparência de alternar entre os espaços de cores sRGB e AdobeRGB quanto pelo “melhorador de imagem” adicional.
"sRGB" e "AdobeRGB" - a capacidade de alternar o espaço de cores. Os dois modelos mais novos têm uma gama de cores padrão e, portanto, não suportam AdobeRGB.
«Modo amplo» - modos de interpolação de imagem em resolução de monitor não nativa.
"Nitidez" - ajustando a clareza da imagem.
"Redução de ruído" - um modo projetado, de acordo com a Dell, para melhorar a nitidez das bordas das imagens dinâmicas. Disponível apenas nos perfis de jogo, multimídia e filme.
"Contraste Dinâmico" - ative o modo de contraste dinâmico. Disponível apenas nos perfis "Jogo" e "Filme".
"Line Out source" - fontes de áudio para a saída de linha. Os monitores não possuem entradas de áudio analógicas.
"Configurações de áudio" - configurações possíveis de um sistema de alto-falante externo conectado ao monitor. Lembre-se de que o áudio multicanal só pode ser transmitido para o monitor através de uma interface digital (HDMI ou DisplayPort) e apenas no formato PCM.
"Picture-By-Picture" - um modo no qual duas imagens de diferentes entradas estão localizadas lado a lado na tela.
"Picture-In-Picture" - um modo no qual duas imagens de diferentes entradas são colocadas uma em cima da outra.

De acordo com a tabela, é óbvio que os modelos mais antigos também diferem na funcionalidade do firmware: quanto maior (e mais caro) o monitor, mais recursos ele possui, cuja implementação requer apenas modificação do firmware - mais modos de interpolação, mais predefinidos definições ...

Destaca-se apenas o U2410, que é o único de toda a linha que possui o modo Picture-In-Picture - exibindo uma imagem de uma entrada em cima de uma imagem de outra. Os dois modelos mais antigos também podem funcionar com duas entradas, mas neles as fotos ficam localizadas uma ao lado da outra.

Para cada um dos modelos que suportam os modos PIP ou PBP, são possíveis diferentes combinações de entradas ativas simultaneamente: D-Sub, DisplayPort, componente ou composto podem ser combinados com qualquer outra entrada, mas apenas um do conjunto existente de DVI e HDMI pode trabalhar em uma entrada de tempo. Em outras palavras, se você tiver DVI atribuído como fonte de sinal principal, não poderá mais selecionar HDMI como segunda fonte para o modo PBP.

Em geral, o menu do monitor pode ser avaliado como fácil de usar e funcional o suficiente para qualquer tarefa diária. A maior desvantagem, talvez, esteja escondida nos conjuntos de configurações predefinidas: em primeiro lugar, não há como simplesmente alterar rapidamente o brilho do monitor sem afetar sua reprodução de cores (“melhorias” que tradicionalmente acompanham os modos predefinidos não são apreciadas por muitos) , e em segundo lugar, alguns recursos - por exemplo, o contraste dinâmico é conectado a perfis específicos, portanto, se você gosta de contraste dinâmico, mas não gosta do que o modo Filme faz para a reprodução de cores, terá que renunciar ao primeiro ou ao vivo com este último.

Ainda assim, provavelmente, nunca me cansarei de repetir: a implementação mais conveniente de trocar rapidamente de perfil foi inventada pela Samsung há muito tempo. Em seus monitores - infelizmente, nem todos - existem vários perfis que diferem entre si só brilho e contraste e não têm nenhum efeito na reprodução de cores que não seja descrito por esses dois parâmetros, bem como um perfil separado que inclui contraste dinâmico. Todas as configurações de renderização de cores, incluindo todos os tipos de “melhoradores de renderização de cores inteligentes”, nos monitores Samsung foram movidas para um local diferente no menu. Caros fabricantes de monitores, sigam este exemplo.

Matriz e-IPS: prós e contras

Todos os monitores que estamos considerando hoje estão unidos por um recurso - e deve-se notar que é muito importante: eles são construídos em matrizes do tipo e-IPS, que são o desenvolvimento do já existente, comprovado, mas, infelizmente, tecnologia S-IPS muito cara. É com a principal desvantagem do S-IPS - o preço - que o novo desenvolvimento da LG deve lutar, preservando ao máximo as vantagens do S-IPS.

Vantagens do S-IPS:

excelentes ângulos de visão tanto horizontal quanto verticalmente: as cores na tela parecem quase as mesmas quando vistas diretamente e de um ângulo;
bom tempo de resposta: S-IPS emparelhado com um esquema de compensação de resposta não muito agressivo mostra um resultado de 6-10 ms (GtG), o que torna os monitores nessas matrizes rápidos o suficiente para jogos.

Contras do S-IPS:

quando vista de um ângulo, a cor preta adquire uma tonalidade roxa característica;
"efeito de cristal": o revestimento anti-reflexo dos antigos modelos de matriz deu um efeito desagradável, a imagem parecia brilhar ligeiramente; em novos modelos, isso é combatido com bastante eficácia;
baixa eficiência: baixa transparência da matriz requer o uso de uma luz de fundo mais potente;
Preço Alto.

Embora, ao que parece, a lista de desvantagens seja maior do que a lista de vantagens, graças a apenas uma delas, as matrizes S-IPS muitas vezes se tornaram indispensáveis: apenas elas garantiam distorção mínima de cor ao olhar o monitor em ângulo , enquanto tecnologias concorrentes - PVA, S-PVA , C-PVA, TN - a tonalidade da imagem dependia visivelmente de como você a olha, por exemplo, a cor azul, quando vista de lado, pode obter um esverdeado distinto matiz. Em TN, ângulos de visão verticais muito ruins foram adicionados aos pontos negativos, em PVA - o desaparecimento dos detalhes mais escuros da imagem (esse efeito pode ser corrigido pelas configurações do monitor, mas o alto contraste foi perdido, uma das sérias vantagens do PVA) e um longo tempo de resposta... Em geral, as matrizes S-IPS tornaram-se praticamente a única opção para pessoas interessadas em reprodução de cores precisa.

Infelizmente, seu alto custo inevitavelmente levou os monitores correspondentes a um segmento de mercado estreito de modelos profissionais e semiprofissionais, mas, em qualquer caso, extremamente caros.

Uma nova geração de matrizes IPS, e-IPS, foi projetada para resolver esse problema, apresentando uma estrutura de pixels diferente e maior transparência, o que reduz o brilho da luz de fundo necessária e, portanto, o custo e o consumo de energia.

Vantagens do e-IPS:

ângulos de visão comparáveis ​​ao S-IPS tanto horizontal quanto verticalmente: as cores na tela parecem quase as mesmas quando vistas em linha reta e em ângulo;
bom desempenho: ao usar um esquema de compensação de tempo de resposta, os monitores em e-IPS também são adequados para jogos;
ausência quase completa de um "efeito de cristal";
baixo custo, permitindo trazer monitores e-IPS para o segmento de preço médio.

Contras do e-IPS:

as taxas médias de contraste estão no nível das matrizes TN, mas piores que as do PVA;
quando visto de um ângulo, o contraste cai drasticamente - a cor preta fica visivelmente mais brilhante.

Obviamente, essa proporção de prós e contras inequivocamente traz modelos em matrizes e-IPS para a categoria de interesse para um número significativo de usuários - bom desempenho, preço razoável e, o mais importante, o equilíbrio de ambos torna esses monitores atraentes para pessoas que quer comprar algo melhor do que os modelos padrão no TN, mas sem requisitos ou preferências particularmente críticas e, portanto, não está pronto para pagar uma quantia significativa para atender a esses requisitos. Se os monitores em S-IPS basicamente se enquadram na categoria "Vou dar muito pela reprodução de cores", então o e-IPS é mais como "um pouco mais de dinheiro para uma imagem melhor": veja, um segmento de mercado muito mais amplo.

De um modo geral, o e-IPS tem apenas uma desvantagem inerente - isto é, presente em todas essas matrizes - desvantagem: o realce em preto quando visto de um ângulo, um efeito que recebeu seu próprio nome de "brilho" nos fóruns de língua inglesa, embora em geral, é uma queda típica de contraste para todas as matrizes de LCD, mas neste caso ela se manifesta principalmente em preto.

Independentemente do tipo de matriz, quando visto de um ângulo, o contraste do monitor LCD diminui: o branco fica mais escuro e o preto fica mais claro. No entanto, se normalmente ambos os efeitos são aproximadamente iguais em intensidade, então no caso do e-IPS, o realce a preto sobressai visivelmente - mesmo em ângulos de visão relativamente pequenos, transforma-se em cinzento escuro.

No entanto, na prática, esse efeito não afeta seriamente a imagem: aparece apenas em preto, enquanto outros tons no e-IPS, mesmo quando vistos de um ângulo, são transmitidos não apenas sem problemas especiais, mas muito melhor do que no TN ou matrizes PVA, sem distorção tonal perceptível. E, claro, mesmo levando em conta o realce em preto, e-IPS estão duas cabeças à frente do TN em ângulos de visão, em que a mudança de tonalidade quando vista de lado é complementada por um escurecimento ou brilho mais do que perceptível de toda a imagem quando visto de baixo ou de cima.

Há apenas uma razão para se preocupar com a cor preta e-IPS - se você comprar um monitor grande principalmente para assistir filmes no crepúsculo da noite: este é o único caso de uso em que a profundidade e a uniformidade da cor preta serão importantes - em filmes com uma abundância de cenas escuras, os pretos "explosivos" podem ser perceptíveis ao ponto de que, se você se sentar perto do monitor, os cantos da tela parecerão um pouco mais claros que o meio. Em outros casos, a exposição não causa nenhum problema sério.

Então, teoricamente, o e-IPS é uma excelente escolha para pessoas que querem comprar um monitor com melhor reprodução de cores do que as matrizes TN comuns, mas não estão dispostas a pagar muito dinheiro por isso ou sacrificar outros parâmetros.

O que são, em termos de parâmetros técnicos, monitores específicos em matrizes e-IPS fabricadas pela Dell, vamos descobrir agora.

Dell U2211H: resultados do teste

Um modelo com tamanho de tela de 21,5" abre nossos testes - e, como de costume, em seu nome o fabricante arredonda esse número para 22 (quase todos os monitores com telas de 21,5" vendidos atualmente, independente do tipo de matriz e fabricante, possuem número no nome "22"). Resolução da tela do monitor - 1920x1080, ou, como está na moda dizer agora, FullHD.

Por padrão, o brilho e o contraste do monitor são definidos para 75%, um nível de branco de 100 cd / m2 foi alcançado diminuindo o brilho para 53% e o contraste para 70%. Como de costume, não posso deixar de lembrar que tanto o nível de 100 cd/m², quanto a forma como o alcançamos, não é um guia incondicional para configurar seu monitor, mas apenas algum modo que é o mesmo para todos os monitores que testo, nos quais assisto, são suficientes se a faixa de ajuste, se algum artefato aparece com contraste e brilho reduzidos e assim por diante. Não tente repetir essas configurações, pois é improvável que sejam ideais para o seu local de trabalho.

O brilho do monitor é regulado pela modulação SHI da fonte de alimentação da luz de fundo a uma frequência de 180 Hz.

O brilho máximo acabou sendo relativamente baixo - apenas cerca de 200 cd / sq.m. Na prática, porém, isso só pode causar problemas ao usar o monitor para jogos ou assistir filmes em uma sala iluminada pelo sol - e em outros casos, esse brilho é suficiente. Para trabalho, o brilho normal costuma ser de 70 a 120 cd/m², dependendo da luz ambiente.

O contraste não é recorde, mas não é ruim: mais de 700:1, no nível das matrizes TN modernas.

As curvas gama do azul e do verde estão próximas do ideal, mas o vermelho se desvia bastante para cima.

Reduzir o brilho e o contraste na reprodução de cores do monitor quase não tem efeito.

No modo "Jogo", a cor azul também subiu, mas em geral, a reprodução de cores mudou pouco.

Também não há alterações especiais no modo "Multimídia". As alterações na imagem não são perceptíveis quando esses modos são ativados e a olho nu, além disso, eles têm as mesmas configurações de brilho e contraste do modo "Padrão" usual - portanto, verifica-se que, se o modo "Jogo" for prático valor, mesmo porque só nele U2211H pode ativar o contraste dinâmico, o significado da existência de "Multimedia" não é muito claro. O manual do usuário não esclarece esse mistério, escapando com uma frase geral de que cada um dos modos carrega as configurações de cores ideais no monitor.

A gama de cores do monitor corresponde muito bem ao sRGB, embora não haja uma correspondência exata.

O ponto branco em todos os modos disponíveis é deslocado para verde - apenas o suficiente para que o tom esverdeado da imagem seja claramente visível. Você pode corrigir isso mudando seu monitor para o modo "Personalizado (RGB)" e ajustando manualmente as cores.

Caso contrário, o U2211H não tem problemas com a reprodução de cores: todos os tons são reproduzidos conforme o esperado, as listras transversais nos gradientes são quase imperceptíveis, não há grande variação de tom entre os diferentes níveis de cinza.

No preto, a irregularidade média da luz de fundo é de 5,4%, o desvio máximo é de 18,3%; no branco - os mesmos 5,4% em média e 14,7% no máximo. O resultado não é o ideal, mas aceitável; pela imagem construída de acordo com os resultados da medição, pode-se ver que o monitor possui “orelhas” escuras nas laterais da tela, uma pequena iluminação estreita na parte superior e uma mais ampla na parte inferior, mas não há luz de fundo crítica defeitos.

O tempo de resposta do monitor não depende muito de quais semitons ele alterna - podemos dizer que é uniformemente rápido. A média aritmética foi de 8,2 ms (GtG), o que significa que o U2211H é certamente adequado para jogos dinâmicos - apenas jogadores muito hardcore que só podem ser salvos por matrizes TN de 2 milissegundos ficarão insatisfeitos com isso.

A operação do circuito de compensação de resposta não está completa sem artefatos, seu valor médio é de 7,7%, e o máximo é em torno de 35%. Com esses números, os artefatos são praticamente invisíveis, você pode detectá-los apenas se olhar especificamente de perto - e souber onde procurar. Para comparação, para monitores de jogos típicos em matrizes TN, as falhas de circuito de compensação de resposta podem chegar a 60-70%, e a média aritmética em modos que aproximam a matriz TN dos cobiçados 2 ms (GtG) pode chegar até 20% e até mais alto.

Assim, em geral, diante do Dell U2211H, vemos um monitor prático e versátil, adequado tanto para casa quanto para o escritório, e projetado para pessoas que não estão satisfeitas com a qualidade da imagem - em primeiro lugar, os ângulos de visão - em Matrizes TN, mas não estão prontos para pagar por modelos profissionais extremamente caros, cujos recursos eles geralmente não precisam. O custo do U2211H - no momento cerca de 9500 rublos - é significativamente maior que o dos monitores TN, mas não se esqueça não apenas dos excelentes ângulos de visão da matriz e-IPS, mas também do design funcional, entrada DisplayPort, 4- porta hub USB .. .

Em termos de parâmetros e qualidade de ajuste, o U2211H é um modelo típico de classe média - existem várias pequenas falhas, mas são insignificantes ou podem ser corrigidas com um simples ajuste manual do monitor.

Dell U2311H: resultados do teste

O próximo modelo é um parente próximo do U2211H, com a exceção de que a tela adicionou uma polegada e meia à diagonal. De acordo com todos os outros parâmetros do passaporte, esses monitores coincidem quase completamente (o 2311H tem 50 cd/sq.m mais brilho, e isso é tudo) - bem, vamos descobrir agora se eles diferem na realidade.

Se falamos sobre o tamanho da tela, então para filmes e jogos, definitivamente quanto mais - melhor, mas para o trabalho, depende muito do tamanho do pixel. O U2311H tem a mesma resolução de 1920x1080 do U2211H, o que significa que os pixels nele são um pouco maiores - e isso é uma vantagem, já que a imagem no modelo de 21,5 polegadas pode parecer muito pequena para algumas pessoas. O de 23" é mais versátil nesse aspecto, portanto, se você não sabe qual dos dois monitores escolher, nesse caso, deve se inclinar para o maior.

Por padrão, o brilho e o contraste são definidos em 75%; um nível de branco de 100 cd/m2 foi alcançado diminuindo o brilho para 50% e o contraste para 56%. O brilho é controlado modulando as lâmpadas de luz de fundo a uma frequência de 180 Hz.

O brilho máximo acabou sendo quase uma vez e meia maior que o do U2211H - chegou perto de 300 cd/m², o que permite que o monitor seja usado para qualquer tarefa em quase qualquer luz ambiente. Ao mesmo tempo, a faixa de ajuste é suficiente para reduzir o brilho a um nível adequado para trabalhar à noite com luz ambiente mínima.

O contraste caiu um pouco, mas ainda permaneceu em um nível aceitável - cerca de 600:1 nas configurações padrão. Aproximadamente na mesma faixa - 600-700: 1 - o contraste é encontrado em monitores modernos típicos em matrizes TN, enquanto os monitores em PVA superam facilmente o TN e o e-IPS em uma vez e meia a duas vezes, demonstrando excelente cor preta (ao mesmo tempo, no entanto, com vários defeitos congênitos).

Nas configurações padrão, as curvas gama do U2311H e U2211H são praticamente as mesmas: aceitáveis, mas nada mais.

Não os altere e reduza o brilho e o contraste nas configurações do monitor.

Surpreendentemente, no modo Game, as curvas gama ficaram mais precisas, reunindo-se em um grupo apertado; ao mesmo tempo, mudar para "Jogo" abriu o acesso à configuração de contraste dinâmico. De um modo geral, o caso em que a reprodução de cores do monitor é melhor no modo de jogo do que no padrão é bastante surpreendente.

Em "Multimídia", as curvas estão ligeiramente espalhadas novamente, além disso, o objetivo deste modo permanece incerto: a olho, simplesmente não difere de "Padrão", suas configurações de brilho e contraste são completamente comuns, o contraste dinâmico é bloqueado nele ... Tem-se a sensação de que os engenheiros da Dell o introduziram simplesmente como uma espécie de placebo: com certeza, se o manual diz que a imagem está melhorando, então uma porcentagem de usuários pensará assim.

A descoberta mais interessante estava esperando por nós no modo de ajuste manual "Personalizado (RGB)": as curvas gama de repente se nivelaram e se encaixaram!

A gama de cores do monitor geralmente corresponde à gama sRGB padrão, cedendo a ela em vermelho e mudando ligeiramente para o lado em verde.

O ponto branco do U2311H também é deslocado para o verde, não tanto quanto o do U2211H, mas o suficiente para que o esverdeado da imagem seja visível a olho nu. Dada a correção repentina da forma das curvas gama no modo "Personalizado" manual, decidi aproveitar o sucesso e definir os controles deslizantes para os valores R=100, G=94, B=96 - isso me permitiu me livrar do tom esverdeado e trazer a reprodução de cores do monitor, embora não perfeita, mas pelo menos muito boa. Por precaução, lembro que sua instância de monitor pode ter uma configuração diferente (devido ao uso de uma versão de firmware diferente, uma versão diferente da matriz de LCD e fatores semelhantes), portanto, você não deve inserir cegamente os números obtidos acima - sempre se guie pelo que você vê com seus próprios olhos.

A irregularidade média de iluminação em um fundo preto foi de 6,1%, o desvio máximo foi de 19,7%; em fundo branco - 5,1% e 14,5%, respectivamente. As imagens construídas de acordo com os resultados das medições mostram que a metade inferior da tela é iluminada no monitor, assim como os cantos na parte superior. No entanto, o resultado está dentro da faixa normal; na prática, durante a operação normal, esse nível de desnível não interfere.

O tempo médio de resposta foi de 8,2 ms (GtG), enquanto o valor máximo registrado mal ultrapassou 10 ms - assim, o monitor, embora não estabeleça recordes, é rápido o suficiente para jogos dinâmicos. Para comparação, o NEC MultiSync EA231WMi, construído em uma matriz e-IPS semelhante, mas sem um circuito de compensação de resposta, foi duas vezes mais lento.

A falta média do circuito de compensação de resposta foi de 8,6% - os artefatos correspondentes (bordas brancas em uma imagem em movimento) são invisíveis na maioria dos casos, embora se você olhar de perto, poderá vê-los.

Se compararmos o U2311H e o U2211H, realmente não há diferenças fundamentais, exceto pelo tamanho da tela - ambos os monitores demonstram bons parâmetros e configurações (embora não excelentes), e têm as mesmas desvantagens - insignificantes ou facilmente corrigidas. O brilho mais alto do U2311H não fará nenhuma diferença para o usuário na maioria dos casos - a menos que ele goste de jogar ou assistir a filmes em uma sala bem iluminada sem fechar as cortinas. Assim, a escolha entre esses dois monitores é baseada principalmente no tamanho da tela - do nosso ponto de vista, o modelo de 23 polegadas é mais conveniente e versátil, mas você pode ter uma opinião diferente. Não esqueça que o U2311H é significativamente mais caro que seu irmão mais novo - custa cerca de 12 mil rublos.

Resultados do teste Dell U2410

Se os dois primeiros monitores coincidiram na maioria das características, o U2410 é um modelo de uma classe ligeiramente diferente. Em primeiro lugar, além de uma polegada extra de diagonal, este monitor recebeu uma resolução de 1920x1200 com proporção de 16:10, enquanto o U2211H e U2311H têm resolução de 1920x1080 - e a proporção da tela, respectivamente, é 16 :9. Em segundo lugar, o U2410 tem entradas de vídeo analógicas (componente e composto), uma segunda entrada DVI e uma entrada HDMI, com o que pode ser conectado a cinco computadores ao mesmo tempo, além de um DVD player e algo mais. Na lateral do monitor, próximo às portas USB, foi adicionado um leitor de cartões para pendrives SecureDigital, e os botões dos mecânicos comuns passaram a ser sensíveis ao toque.

No entanto, escrevi tudo isso no início do artigo, e agora é hora de falar sobre qualidade de imagem. Nesse quesito, o U2410 também apresenta diferenças significativas em relação aos modelos mais novos: utiliza lâmpadas de retroiluminação com espectro aprimorado, o que deve conferir ao monitor uma gama de cores estendida. No menu do monitor, você pode alternar entre três perfis de cores - AdobeRGB, sRGB e nativo (sem correção de software).

Deve-se notar que o monitor não teve sorte com perfis de cores: na primeira versão de seu firmware (na versão do monitor A00 - o número da versão é indicado na etiqueta do monitor), o perfil sRGB foi implementado muito mal, com uma imagem forte granulação em tons escuros, lembrando uma fotografia tirada digitalmente, câmera com matriz "ruidosa". Posteriormente, o erro foi corrigido, pois era puramente software. Agora é garantido comprar um monitor com firmware corrigido se você usar a versão A01, embora alguns usuários nos fóruns observem que nos últimos lotes do A00, o firmware também foi corrigido. Além disso, é possível atualizar o firmware em casa, porém, para isso será necessário conectar o U2410 via USB a um sistema com outro monitor, caso contrário não será possível controlar o andamento do processo de atualização.

Por padrão, o brilho e o contraste do monitor foram definidos para 50%; um nível de branco de 100 cd/m2 foi alcançado reduzindo o brilho para 30% e o contraste para 34%. O brilho é controlado modulando a fonte de alimentação da luz de fundo a uma frequência de 180 Hz.

O brilho máximo do monitor é muito alto - mais de 370 cd / m², mas a taxa de contraste flutua em torno do nível modesto típico do e-IPS - 600:1.

Nas configurações padrão do U2410, todas as três curvas gama estão acima do ideal, o que significa que a imagem ficará um pouco desbotada, com baixo contraste.

Reduzir o brilho e o contraste nas configurações do monitor não tem nenhum efeito significativo nas curvas de gama.

A situação fica um pouco melhor no modo "Jogo": embora esses modos adicionais ainda sejam tão inúteis na prática quanto nos dois monitores discutidos acima, vamos agradecer à Dell pelo menos pelo fato de que eles realmente melhoram, em vez de piorar, reprodução de cores um pouco.

A imagem no modo "Multimídia" não difere do "Jogo" - parece que eles geralmente diferem apenas porque no segundo você pode ativar o contraste dinâmico, mas no primeiro não. À luz disso, o significado da existência do modo "Multimídia" continua me iludindo.

O modo de emulação de gama de cores sRGB corrige inesperadamente as curvas de gama, tornando-as quase perfeitas.

O mesmo pode ser dito sobre emular a cobertura AdobeRGB.

E, a propósito, sobre a gama de cores: como mostram as medidas, ela realmente difere muito da gama dos modelos U2211H e U2311H. A cor azul permaneceu no lugar, o vermelho ficou visivelmente mais saturado e o verde se deslocou para a esquerda no diagrama, ficando também mais saturado - porém, devido ao mesmo deslocamento, a reprodução dos tons de amarelo piorou, alguns deles ficaram fora o triângulo da gama de cores.

Mudar para o modo de emulação AdobeRGB muda o ponto vermelho e muito - não está na borda do triângulo de cobertura padrão AdobeRGB, mas dentro dele. Ao mesmo tempo, o monitor ainda é fisicamente incapaz de obter as cores amarelo e verde-amarelo exigidas no AdobeRGB, pois estão fora de sua gama de cores.

Na emulação da cobertura sRGB, além do vermelho, o ponto verde também muda - e, infelizmente, a conformidade final sRGB acaba sendo visivelmente pior do que a do U2311H ou U2211H, para os quais essa cobertura era nativa, devido à ponto superior do triângulo fortemente deslocado para a esquerda e parte dos tons de amarelo ultrapassando as capacidades físicas do monitor.

Assim, se você precisar da cobertura sRGB mais precisa do monitor, o Dell U2410 pode não ser a melhor escolha. Se você ainda decidir sobre isso, seria melhor obter um calibrador de hardware e usar o perfil criado por ele em programas de edição de imagem, deixando o monitor no modo de gama de cores "nativo" - isso fornecerá um resultado mais preciso em menos em vermelho do que ao usar a emulação de várias coberturas incorporadas ao monitor.

E, novamente, vemos a mudança para o tom verde que é comum nos monitores Dell... Ao mesmo tempo, embora os modos sRGB e AdobeRGB corrijam essa mudança, a imagem neles acaba sendo excessivamente fria - longe dos 6500 prescritos K. No entanto, em outros modos, se ignorarmos o excesso de verde e observarmos a temperatura da cor, ela não é mais quente - mesmo em "Quente" ela sai de escala acima de 7500 K.

A julgar pelas mensagens dos fóruns, em alguns lotes do U2410 essa falha foi corrigida, e a imagem deles ficou menos verde e fria. O fato de o fabricante ter decidido alterar as configurações é bem-vindo, mas seria ainda mais bem-vindo se ele fizesse isso no primeiro lote de monitores, sem esperar reclamações dos clientes.

Deve-se notar que o U2410 - como outros monitores e-IPS da LG - às vezes tem um defeito de cor diferente: o lado direito da tela tem um leve tom rosado e o lado esquerdo tem um tom esverdeado. Este é um defeito da própria matriz, mas não das configurações do monitor, portanto, também aparece em modelos de outros fabricantes. Um defeito de forma grave é relativamente raro, mas devido à sua visibilidade e inusitado, é amplamente discutido em diversos fóruns. Evitá-lo é fácil: ao comprar, certifique-se de verificar a uniformidade de cores do monitor em toda a tela, exibindo uma simples caixa branca ou cinza. A unidade que testei - assim como os outros monitores apresentados neste artigo - não apresentou esse problema.

Mas o que aconteceu foi a luz de fundo irregular da borda esquerda da tela para a direita - é claramente visível na imagem direita (deixe-me lembrá-lo que esta não é uma fotografia, mas uma imagem criada com base nos resultados da medição do brilho do monitor em diferentes pontos da tela). A irregularidade no preto foi em média de 6,3%, no máximo - 13,7%, no branco acabou sendo 5,6% e 20,6%, respectivamente. Infelizmente, essa diferença de brilho em um campo branco da esquerda para a direita da tela acabou sendo bastante perceptível aos olhos - embora não se possa dizer que interferiu muito no trabalho.

O Dell U2410 é muito rápido com um tempo médio de resposta de 6,6ms (GtG), um quarto mais rápido que o U2211H e o U2311H.

Ao mesmo tempo, a falta média do circuito de compensação de resposta cresceu - até 9,7% - no entanto, mesmo nesse nível, na prática, os artefatos que acompanham as faltas permanecem bastante discretos.

Em geral, o U2410 causa uma impressão ambígua: em termos de recursos, o monitor poderia afirmar ser um trabalho profissional com cores, mas na prática a qualidade de suas configurações não ultrapassa o nível médio. O custo do U2410 é muito maior que o U2311H - você terá que pagar mais de 20 mil rublos por ele.

O U2410 vale tanto dinheiro ou não? Só você pode responder a esta pergunta - se você precisar do conjunto mais rico de entradas e uma resolução de 1920x1200, definitivamente vale a pena. No entanto, o U2410 não tem outras vantagens fundamentais, portanto, se você estiver satisfeito com uma tela de 23" com proporções 16:9 e não precisar conectar mais de dois computadores ao mesmo tempo, poderá adquirir o U2311H com segurança , é claro, perdendo em tamanho e recursos da tela, mas ao mesmo tempo e custando mais de uma vez e meia menos. calibrador.

Dell U2711: resultados do teste

O próximo monitor é um modelo extremamente interessante. Normalmente não gosto de monitores de 27": devido à resolução de 1920x1080 ou 1920x1200, eles têm um tamanho de pixel grande e na verdade são interessantes apenas para jogos ou filmes, mas como modelos funcionais não são melhores que monitores de 24" mais baratos.

No entanto, U2711 não é um deles. Com 27 polegadas, este monitor tem a mesma resolução dos modelos de 30 polegadas - 2560x1440 (proporção 16:9). Obviamente, um tamanho de pixel muito pequeno - 0,233 mm - será inconveniente para muitos, mas, por outro lado, se você estiver envolvido em um negócio que exija a exibição de uma grande quantidade de informações na tela, mas não tenha 40- 50 mil rublos para comprar um monitor de 30 ", então o U2711 com um preço inferior a 30 mil rublos pode ser um verdadeiro achado. Acho que os leitores que costumam trabalhar em sistemas CAD / CAM com desenhos complexos, em programas de layout e outros softwares semelhantes, apreciará meu entusiasmo.

Por padrão, o brilho e o contraste do monitor são definidos para 50%; um nível de branco de 100 cd/m2 foi alcançado reduzindo o brilho para 30% e o contraste para 38%. O brilho é controlado modulando a fonte de alimentação da luz de fundo a uma frequência de 180 Hz.

O monitor ficou muito brilhante: mais de 350 cd/sq.m no máximo. No entanto, o brilho é facilmente reduzido a um nível confortável para o trabalho. O contraste ficou na faixa já familiar de 600-700:1 para outros modelos, exceto para o modo de baixo brilho.

As curvas gama são ligeiramente elevadas em relação ao ideal, mas o desvio é bastante pequeno. Sem sobrecarregar o artigo com gráficos, apenas observamos que a diminuição do contraste nas configurações do monitor, bem como a transição para os perfis “Jogo” e “Multimídia”, não tiveram efeito significativo no formato das curvas: o mesma ligeira superestimação em relação à curva calculada para gama 2.2, na prática, expressa em um contraste de imagem ligeiramente reduzido. Tons claros e escuros foram reproduzidos sem problemas, não houve faixas transversais perceptíveis nos gradientes.

Assim como no U2410, mudar para o modo "sRGB" aproxima as curvas de gama extremamente próximas do ideal.

O mesmo - e no modo "AdobeRGB".

Esses dois monitores também têm perfis de gama de cores semelhantes: combinando com sRGB em azul, superioridade em vermelho e movendo a parte superior do triângulo para a esquerda. Por causa disso, o monitor é fisicamente incapaz de reproduzir a faixa de cores sRGB - alguns amarelos e verdes-amarelos estão fora de sua gama de cores.

O perfil “AdobeRGB” corrige a posição do ponto vermelho, e com mais precisão que o U2410: acaba sendo um pouco além da cobertura AdobeRGB, enquanto no modelo de 24 polegadas esse ponto caiu dentro do triângulo, resultando em reprodução em vermelho, do que deveria estar em AdobeRGB.

No modo "sRGB", a posição do ponto verde também é corrigida, mas como a cobertura do próprio monitor não se sobrepõe inicialmente ao sRGB, não será possível obter uma correspondência exata no modo de emulação - alguns tons de amarelo serão além das capacidades.

Assim, embora os modos de emulação de várias gamas de cores no U2711 sejam ajustados com precisão do que no U2410, você não deve confiar na capacidade deste monitor de exibir totalmente a gama 100% sRGB ou AdobeRGB: isso requer que a gama nativa do monitor seja completamente sobrepõe as gamas emuladas, que neste caso não. Portanto, para aqueles para quem o trabalho mais preciso com cores é importante, mesmo no modo de emulação sRGB ou AdobeRGB, recomendo criar um perfil deste monitor usando um calibrador de hardware e conectá-lo ao programa de edição de imagem que você usa.

Se você estiver satisfeito com apenas uma boa reprodução de cores, os modos “sRGB” e “AdobeRGB” parecerão bastante atraentes sem calibração adicional: curvas de gama precisas e a ausência de falhas graves na emulação de gama de cores tornam a reprodução de cores do monitor mais precisa do que no "Modo padrão.

Infelizmente, a imagem no monitor em todos os modos acaba sendo bastante fria: apenas "Quente" caiu para 6500 K, o que nos permite chamá-lo, se não quente, pelo menos neutro. Para comparação, "sRGB" mostra uma temperatura de cor de cerca de 8.000 K, embora o padrão para sRGB seja exatamente 6.500 K.

Por outro lado, o U2711 resolveu o problema com a mudança de cor para verde: se no modo "Padrão" ainda houver um pequeno desvio da curva cinza neutra (mostrada em preto nos diagramas), outros modos cairão em isso com bastante precisão.

Como o U2410, na cor branca do monitor é perceptível um leve gradiente de brilho da luz de fundo - o lado direito da tela é um pouco mais escuro que o esquerdo, e também há uma faixa horizontal brilhante no centro. Se falamos de números, então no preto a irregularidade média foi de 3,3% com um desvio máximo de 10,1% (um excelente resultado!), 0,3%.

O tempo de resposta é em média de 5,7 ms (GtG), tornando o U2711 um dos monitores IPS mais rápidos.

Infelizmente, isso veio ao custo de um alto nível de artefatos: uma média de 15,7%, com um máximo de até 45%. Isso não é tão ruim quanto para monitores TN de jogos, nos quais as falhas geralmente atingem 70% em transições individuais, mas eu ainda gostaria de ver um nível mais baixo de artefatos ao custo de um tempo de resposta mais longo - aumentando o último para 7-8 ms (GtG) nenhum efeito real que os sentimentos subjetivos do usuário da velocidade do monitor não terão, mas artefatos na forma de sombras de luz em objetos em movimento podem ser uma surpresa desagradável.

Como resultado, podemos dizer que o U2711 se destaca da massa geral e não. Por um lado, um monitor de 27" relativamente barato com uma resolução muito alta (2560x1440 pixels) claramente se destaca: recentemente não havia esses modelos à venda - e ainda assim eles são muito interessantes para pessoas que trabalham com grandes quantidades de informações gráficas, mas não estão prontos para fazer upload de 10 a 20 mil rublos a mais para modelos de 30 ". Por outro lado, o U2711 não se destaca entre outros monitores Dell em matrizes e-IPS que analisamos em termos de qualidade e precisão de configurações: possui uma série de falhas que não podem ser chamadas de críticas, mas podem ser desagradáveis. Particularmente deprimente é a baixa uniformidade da luz de fundo na cor branca e o nível bastante alto de artefatos do circuito de compensação de resposta - nem uma nem as outras deficiências são corrigidas pelas configurações do monitor.

Dell U3011: resultados do teste

O último monitor do artigo de hoje é o U3011 de 30 polegadas com resolução de 2560x1600 (proporção 16:10). É notável não apenas pelo tamanho da tela, mas também pelo excelente equipamento: há apenas alguns anos, quando os processadores dos monitores eram fracos demais para processar completamente um fluxo de vídeo com essa resolução, os monitores de 30 "foram equipados com um único DVI entrada, eles só poderiam funcionar em duas resoluções (2560x1600 e 1280x800) U3011, pelo contrário, tem o conjunto mais rico de entradas e configurações entre todos os monitores Dell testados hoje, e não só não é inferior a outros modelos com resoluções mais baixas neste assunto , mas também supera a grande maioria deles.

Por padrão, o brilho e o contraste do monitor são definidos para 50%, um nível de branco de 100 cd / m2 foi alcançado com um brilho de 35% e um contraste de 36%. O brilho é regulado pela modulação SHI da fonte de alimentação da luz de fundo a uma frequência de 180 Hz.

Parece que o objetivo da Dell é fazer monitores maiores e mais brilhantes - o U3011 atinge o máximo de 400cd/m2. É verdade que por que ele precisa de tal brilho não é muito claro: é improvável que alguém compre um monitor de 30 "para filmes (a TV FullHD custará muito menos e uma resolução de 2560x1600 em filmes ainda não é muito necessária), para trabalho, o brilho está acima de 200 cd / m² simplesmente não é necessário em nenhuma condição. No entanto, felizmente, o brilho do monitor pode ser facilmente reduzido a valores confortáveis, nos quais não iluminará a sala e cegará os olhos.

O contraste do monitor, infelizmente, embora um pouco, mas não chegou a 600:1.

Nas configurações padrão, as curvas gama ficam ótimas, quase se fundindo com a curva calculada para gama 2.2 na maior parte do gráfico. Reduzir o contraste nas configurações do monitor quase não afeta sua forma. O monitor reproduz toda a gama de tons sem problemas, do mais escuro ao mais claro, as faixas transversais nos gradientes não são visíveis.

No modo "AdobeRGB", o formato das curvas é basicamente preservado, apenas um pouco mais de discrepância na área de tons escuros - mas também não é perceptível ali, e a precisão do calibrador nesta parte do o gráfico é baixo.

A imagem no modo "sRGB" corresponde quase pixel a pixel.

A gama de cores nativa do U3011 é a mesma dos dois modelos anteriores: está à frente do sRGB nas cores vermelha e verde, mas devido ao desvio do topo do triângulo para a esquerda, não consegue cobrir toda a gama sRGB, ficando para trás em tons de amarelo. Portanto, você não deve esperar uma emulação precisa da cobertura sRGB padrão do U3011, embora tenha essa opção no menu, juntamente com a emulação AdobeRGB.

No modo "AdobeRGB", o monitor corrige significativamente a posição do ponto vermelho e do ponto ligeiramente verde, pelo que sua gama de cores não ultrapassa a gama padrão do AdobeRGB. É verdade que, ao mesmo tempo, não cobre o AdobeRGB - as cores amarelas e até parcialmente vermelhas no padrão AdobeRGB são mais limpas e ricas do que o U3011 pode mostrar.

A mesma história com o modo "sRGB": a posição dos pontos vermelho e verde são corrigidas para que a cobertura final do monitor não ultrapasse o sRGB, no entanto, o monitor não é fisicamente capaz de cobrir toda a gama de cores sRGB - nenhum programa de correção permitirá que você ignore as limitações estabelecidas no fósforo de luz de fundo.

Como outros monitores Dell testados hoje, a temperatura de cor do U3011 está visivelmente muito alta, a imagem está muito fria, mesmo os modos "sRGB" e "AdobeRGB" em vez dos 6500 K prescritos acabam sendo cerca de 8000 K. não há desvio perceptível em tons de verde ou rosa, e as temperaturas de diferentes níveis de cinza na maioria dos casos ficam próximas umas das outras.

A propósito, uma folha com os resultados da medição das temperaturas de cor desta instância está incluída na caixa com modelos mais antigos de monitores Dell, o que também demonstra claramente uma boa neutralidade de cinza. É verdade que não está claro por que, com uma abordagem individual tão completa, os engenheiros da Dell não forneceram calibração não apenas pela propagação da temperatura de cor, mas também por seu valor absoluto.

Embora a irregularidade do branco seja novamente bastante perceptível, o monitor não possui um gradiente de brilho tão pronunciado da esquerda para a direita, como no U2410 e U2711 - e, portanto, esse defeito é dificilmente perceptível aos olhos durante a operação normal. Se falamos de números, no preto, a irregularidade média da luz de fundo foi de 4,6%, com um máximo de 12,3%, no branco - 6,9% e 20,4%, respectivamente.

Felizmente, no caso do U3011, os desenvolvedores não perseguiram recordes - e o tempo médio de resposta é de 8,4 ms (GtG), o que é suficiente tanto para jogos quanto para filmes.

Ao mesmo tempo, praticamente não há falhas no circuito de compensação de resposta - elas estão apenas em algumas transições, então o valor médio de falta é de apenas 0,6%. Na vida real, sem equipamentos de medição especiais, será simplesmente impossível detectar artefatos correspondentes a essas falhas.

Como resultado, dos três principais monitores Dell - U2410, U2711, U3011 - foi o modelo de 30 polegadas que se mostrou o mais preciso em termos de configurações: reprodução correta de cores (exceto pela tendência a cores frias) , a ausência de luz de fundo da tela assimétrica, bom tempo de resposta praticamente sem artefatos ... No entanto, não há nada de surpreendente nisso: o preço de varejo do U3011 em Moscou excede 50 mil rublos (lembre-se de que o U2711 pode ser encontrado por menos de 30 mil ).

No entanto, se você estiver disposto a gastar tanto em um monitor, o U3011 é uma ótima escolha: aparência limpa, ótima funcionalidade, uma variedade de entradas e opções para todas as ocasiões e uma configuração elegante não o deixará desapontado.

Conclusão

Resumindo, podemos dizer que o milagre não aconteceu: os monitores Dell, posicionados no segmento de preço médio - apenas o caro U3011 se destaca disso - demonstraram as capacidades e qualidade características do segmento de preço médio.

Dois modelos mais novos, 21,5" U2211H e 23" U2311H, deram uma impressão muito favorável em geral: bons monitores com um menu conveniente, uma gama completa de ajustes e uma aparência elegante são perfeitos tanto para lazer quanto para trabalho. Seu preço mais alto em relação aos modelos em matrizes TN é totalmente justificado pelo design funcional e pelo uso da matriz e-IPS, que se destaca por seus ângulos de visão. Esses dois modelos não são decoração de interiores, mas excelentes "cavalos de trabalho" com os quais você não ficará desapontado agora, nem em um ano, nem em três.

Se falamos sobre a escolha entre o U2211H e o U2311H, tudo se resume à escolha entre o preço e uma polegada e meia extra da tela - não há outras diferenças significativas entre esses dois modelos. Acho o U2311H mais conveniente e versátil, mas sua opinião pode ser diferente da minha.

O U2410 de 24 polegadas, pelo contrário, foi um pouco decepcionante: de um modelo que custa mais de uma vez e meia mais que o U2311H, você espera não apenas uma polegada extra de tela e algumas entradas de vídeo, mas, antes de tudo, uma maior qualidade de configurações. Mesmo que você não se lembre que a revisão A00 teve azar com o firmware, então na versão A01 a configuração do monitor, embora livre de erros muito óbvios, ainda deixa muito a desejar: curvas de gama não muito precisas, forte irregularidade da luz de fundo, mudança de tom para a cor verde lateral, emulação não muito precisa das gamas padrão sRGB e AdobeRGB... Talvez, se você não tiver uma necessidade urgente de resolução de 1920x1200 (em vez de 1920x1080), uma polegada extra de tela e entradas de vídeo adicionais, eu aconselho você a economizar dinheiro e adquirir o U2311H, pois não demonstra qualidade pior a um custo muito menor.

Apesar do fato de que o U2711 de 27 polegadas também não conseguiu se distinguir com alta precisão de configurações, este monitor ainda merece atenção especial: a um custo razoável (menos de 30 mil rublos), tem quase a mesma resolução que muito mais caro 30 "modelos - 2560x1440 Este modelo pode ser um verdadeiro salva-vidas para pessoas que trabalham em programas CAD / CAM, programas de layout e software semelhante, para os quais não existe uma tela muito grande.

Por fim, o Dell U3011 de 30" é apenas um bom monitor, desprovido de muitas das deficiências de seus irmãos mais novos, bem configurado e ao mesmo tempo possuindo excelente funcionalidade. Se você estiver pronto para gastar mais de 50 mil rublos, este modelo ser uma excelente escolha.

Se falamos de matrizes e-IPS em geral, essa tecnologia causou uma boa impressão com seus recursos - apesar de deficiências como uma taxa de contraste relativamente baixa e realce de preto quando visto de um ângulo, supera significativamente o TN em ângulos de visão e reprodução de cores qualidade, é capaz de fornecer tempo de resposta suficiente para jogos e filmes e, mais importante, reduz monitores em matrizes IPS do céu à terra, na categoria de preço médio.

No entanto, ao mesmo tempo, o fabricante de painéis LCD deveria ter melhorado um pouco a qualidade: em dois dos cinco monitores, encontrei um fenômeno tão desagradável como uma luz de fundo irregular perceptível da esquerda para a direita da tela, fóruns reclamam regularmente de mudança de tom em diferentes partes da tela para o lado verde e rosa... Esses são defeitos de painéis LCD, não monitores, e são encontrados não apenas na Dell, mas também em outros fabricantes que usam matrizes e-IPS. Obviamente, uma inspeção completa do monitor ao comprar evitará esses problemas, no entanto, em primeiro lugar, nem sempre é possível e, em segundo lugar, em qualquer caso, gostaria de pelo menos poder passar sem ele sem correr o risco de obter um defeito monitor.

No entanto, não posso deixar de repetir que a impressão geral das matrizes e-IPS, apesar de tudo, é positiva. Eles não apenas conseguiram tornar os monitores em matrizes qualitativamente diferentes do TN bastante acessíveis, mas também sacudiram a indústria - e no próximo artigo veremos a resposta ao e-IPS pelo segundo maior fabricante de painéis LCD, Samsung, o monitor SyncMaster SA850 na matriz PLS.

Algumas propriedades das operações em matrizes.
Expressões de matriz

E agora seguirá a continuação do tópico, no qual consideraremos não apenas o novo material, mas também trabalharemos operações de matriz.

Algumas propriedades das operações em matrizes

Existem algumas propriedades relacionadas a operações com matrizes, na mesma Wikipedia você pode admirar as escassas fileiras das regras correspondentes. No entanto, na prática, muitas propriedades estão em certo sentido "mortas", uma vez que apenas algumas delas são usadas no decorrer da resolução de problemas reais. Meu objetivo é observar a aplicação aplicada de propriedades com exemplos específicos e, se você precisar de uma teoria rigorosa, use outra fonte de informação.

Considere alguns exceções à regra necessários para realizar tarefas práticas.

Se uma matriz quadrada tem matriz inversa, então sua multiplicação é comutativa:

matriz de identidadeé chamada de matriz quadrada com diagonal principal unidades estão localizadas e os elementos restantes são iguais a zero. Por exemplo: , etc

Em que a seguinte propriedade é verdadeira: se uma matriz arbitrária for multiplicada esquerda ou direita por uma matriz identidade de tamanhos adequados, então o resultado é a matriz original:

Como você pode ver, a comutatividade da multiplicação de matrizes também ocorre aqui.

Vamos pegar uma matriz, bem, digamos a matriz do problema anterior: .

Os interessados ​​podem verificar e certificar-se de que:

A matriz identidade para matrizes é um análogo da unidade numérica para números, o que é visto com clareza nos exemplos que acabamos de considerar.

Comutatividade de um fator numérico em relação à multiplicação de matrizes

A seguinte propriedade vale para matrizes e números reais:

Ou seja, o fator numérico pode (e deve) ser adiantado para que “não interfira” na multiplicação de matrizes.

Observação : De um modo geral, a redação da propriedade é incompleta - "lambda" pode ser colocado em qualquer lugar entre as matrizes, mesmo no final. A regra permanece válida se três ou mais matrizes forem multiplicadas.

Exemplo 4

Calcular Produto

Solução:

(1) De acordo com a propriedade mover o fator numérico para frente. As próprias matrizes não podem ser rearranjadas!

(2) - (3) Realize a multiplicação de matrizes.

(4) Aqui você pode dividir cada número 10, mas frações decimais aparecerão entre os elementos da matriz, o que não é bom. No entanto, notamos que todos os números da matriz são divisíveis por 5, então multiplicamos cada elemento por .

Responda:

Uma pequena charada para resolver por conta própria:

Exemplo 5

Calcule se

Solução e resposta no final da lição.

Que técnica é importante para resolver tais exemplos? Lidando com números último .

Vamos anexar outro vagão à locomotiva:

Como multiplicar três matrizes?

Em primeiro lugar, QUAL deve ser o resultado da multiplicação de três matrizes? Um gato não dará à luz um rato. Se a multiplicação de matrizes for viável, o resultado também será uma matriz. Bem, meu professor de álgebra não vê como eu explico o fechamento da estrutura algébrica em relação aos seus elementos =)

O produto de três matrizes pode ser calculado de duas maneiras:

1) encontre e depois multiplique pela matriz "ce": ;

2) primeiro encontre , depois faça a multiplicação.

Os resultados vão necessariamente coincidir e, em teoria, esta propriedade é chamada de associatividade da multiplicação de matrizes:

Exemplo 6

Multiplicar matrizes de duas maneiras

Algoritmo soluções duas etapas: encontre o produto de duas matrizes e, em seguida, encontre novamente o produto de duas matrizes.

1) Use a fórmula

Ação um:

Ação dois:

2) Use a fórmula

Ação um:

Ação dois:

Responda:

Mais familiar e padrão, é claro, é a primeira maneira de resolver, há "como se tudo estivesse em ordem". A propósito, sobre o pedido. Na tarefa em consideração, muitas vezes surge a ilusão de que estamos falando de algum tipo de permutação de matrizes. Eles não estão aqui. Volto a lembrar-lhe que no geral NÃO SUBSTITUA MATRIZ. Então, no segundo parágrafo, na segunda etapa, fazemos a multiplicação, mas em nenhum caso. Com números comuns, esse número passaria, mas não com matrizes.

A propriedade de associatividade da multiplicação é válida não apenas para matrizes quadradas, mas também para matrizes arbitrárias - desde que sejam multiplicadas:

Exemplo 7

Encontre o produto de três matrizes

Este é um exemplo de faça você mesmo. Na solução de amostra, os cálculos foram realizados de duas formas, analise qual é a mais rentável e a mais curta.

A propriedade de associatividade da multiplicação de matrizes ocorre para um número maior de fatores.

Agora é hora de retornar aos poderes das matrizes. O quadrado da matriz é considerado logo no início e na pauta está a pergunta:

Como cubo uma matriz e potências superiores?

Essas operações também são definidas apenas para matrizes quadradas. Para elevar uma matriz quadrada a um cubo, você precisa calcular o produto:

Na verdade, este é um caso especial de multiplicação de três matrizes, de acordo com a propriedade de associatividade da multiplicação de matrizes: . E uma matriz multiplicada por ela mesma é o quadrado da matriz:

Assim, obtemos a fórmula de trabalho:

Ou seja, a tarefa é realizada em duas etapas: primeiro, a matriz deve ser elevada ao quadrado e, em seguida, a matriz resultante é multiplicada pela matriz.

Exemplo 8

Eleve a matriz a um cubo.

Este é um pequeno problema para resolver por conta própria.

Elevar uma matriz à quarta potência é realizado de maneira natural:

Usando a associatividade da multiplicação de matrizes, derivamos duas fórmulas de trabalho. Primeiro: é o produto de três matrizes.

1) . Em outras palavras, primeiro encontramos, depois multiplicamos por “ser” - obtemos um cubo e, finalmente, realizamos a multiplicação novamente - haverá um quarto grau.

2) Mas existe uma solução um passo mais curta: . Ou seja, no primeiro passo encontramos o quadrado e, contornando o cubo, realizamos a multiplicação

Tarefa adicional ao Exemplo 8:

Eleve a matriz à quarta potência.

Como acabamos de observar, isso pode ser feito de duas maneiras:

1) Assim que o cubo for conhecido, realizamos a multiplicação.

2) No entanto, se, de acordo com a condição do problema, for necessário construir uma matriz apenas no quarto grau, então é vantajoso encurtar o caminho - encontre o quadrado da matriz e use a fórmula.

Ambas as soluções e a resposta estão no final da lição.

Da mesma forma, a matriz é elevada à quinta potência e superior. Por experiência prática, posso dizer que às vezes há exemplos de elevação ao 4º grau, mas não me lembro de algo já do quinto grau. Mas, por precaução, darei o algoritmo ideal:

1) encontrar;
2) encontrar;
3) eleve a matriz à quinta potência: .

Aqui, talvez, estão todas as principais propriedades das operações matriciais que podem ser úteis em problemas práticos.

Na segunda seção da lição, não se espera uma festa menos colorida.

Expressões de matriz

Vamos repetir as expressões escolares usuais com números. Uma expressão numérica consiste em números, símbolos matemáticos e colchetes, por exemplo: . Nos cálculos, a prioridade algébrica familiar é válida: primeiro, o parênteses, então executado exponenciação / extração de raízes, depois multiplicação / divisão e por fim - adição subtração.

Se uma expressão numérica faz sentido, então o resultado de sua avaliação é um número, por exemplo:

Expressões de matriz quase exatamente o mesmo! Com a diferença de que os atores principais são matrizes. Além de algumas operações matriciais específicas, como transpor e encontrar a inversa de uma matriz.

Considere a expressão matricial , onde estão algumas matrizes. Esta expressão de matriz tem três termos e as operações de adição/subtração são realizadas por último.

No primeiro termo, primeiro você precisa transpor a matriz "ser": , depois realizar a multiplicação e adicionar "dois" à matriz resultante. Observe que a operação de transposição tem maior precedência do que a operação de multiplicação. Os parênteses, como nas expressões numéricas, alteram a ordem das operações: - aqui, primeiro, a multiplicação é realizada, depois a matriz resultante é transposta e multiplicada por 2.

No segundo termo, a multiplicação de matrizes é realizada primeiro, e a matriz inversa já é encontrada a partir do produto. Se os colchetes forem removidos: , primeiro você precisará encontrar a matriz inversa e depois multiplicar as matrizes: . Encontrar a matriz inversa também tem precedência sobre a multiplicação.

Com o terceiro termo, tudo é óbvio: elevamos a matriz a um cubo e adicionamos os “cinco” à matriz resultante.

Se a expressão da matriz faz sentido, então o resultado de sua avaliação é uma matriz.

Todas as tarefas serão de testes reais, e começaremos com o mais simples:

Exemplo 9

Dados da matriz . Achar:

Solução: a ordem das operações é óbvia, a multiplicação é realizada primeiro, depois a adição.

A adição não é possível porque as matrizes são de tamanhos diferentes.

Não se surpreenda, ações obviamente impossíveis são frequentemente oferecidas em tarefas desse tipo.

Vamos tentar calcular a segunda expressão:

Está tudo bem aqui.

Responda: a ação não pode ser executada, .

Então, serviços para resolver matrizes online:

O serviço Matrix permite realizar transformações elementares de matrizes.
Se você tiver uma tarefa para realizar uma transformação mais complexa, esse serviço deverá ser usado como construtor.

Exemplo. Dados da matriz UMA e B, precisa encontrar C = UMA -1 * B + B T,

1. Você deve primeiro encontrar matriz inversaA1 = UMA-1, usando o serviço para encontrar a matriz inversa;
2. Além disso, depois de encontrar a matriz A1 faça isso multiplicação da matrizA2 = A1 * B, usando o serviço de multiplicação de matrizes;
3. Vamos fazer isso transposição de matrizA3 = B T (serviço para encontrar a matriz transposta);
4. E o último - encontre a soma das matrizes A PARTIR DE = A2 + A3(serviço para cálculo da soma de matrizes) - e obtemos uma resposta com a solução mais detalhada!;

Produto de matrizes

Este é um serviço online dois passos:

• Insira a primeira matriz de fatores UMA
• Insira a segunda matriz de fator ou vetor de coluna B

Multiplicação de uma matriz por um vetor

A multiplicação de uma matriz por um vetor pode ser encontrada usando o serviço Multiplicação da matriz
(O primeiro fator será a matriz dada, o segundo fator será a coluna que consiste nos elementos do vetor dado)

Este é um serviço online dois passos:

• Digite a matriz UMA, para o qual você precisa encontrar a matriz inversa
• Obtenha uma resposta com uma solução detalhada para encontrar a matriz inversa

Determinante da matriz

Este é um serviço online um passo:

• Digite a matriz UMA, para o qual você precisa encontrar o determinante da matriz

Transposição de matriz

Aqui você pode seguir o algoritmo de transposição de matrizes e aprender a resolver esses problemas sozinho.
Este é um serviço online um passo:

• Digite a matriz UMA, que precisa ser transposto

Classificação da matriz

Este é um serviço online um passo:

• Digite a matriz UMA, para o qual você precisa encontrar a classificação

Autovalores de matriz e autovetores de matriz

Este é um serviço online um passo:

• Digite a matriz UMA, para o qual você precisa encontrar vetores próprios e valores próprios (valores próprios)

Exponenciação da matriz

Este é um serviço online dois passos:

• Digite a matriz UMA, que será elevado ao poder
• Insira um número inteiro q- grau

Este tópico é um dos mais odiados entre os estudantes. Pior, provavelmente, apenas determinantes.

O truque é que o próprio conceito de elemento inverso (e não estou falando apenas de matrizes agora) nos remete à operação de multiplicação. Mesmo no currículo escolar, a multiplicação é considerada uma operação complexa, e a multiplicação de matrizes geralmente é um tópico separado, ao qual tenho um parágrafo inteiro e uma vídeo-aula dedicados a ele.

Hoje não entraremos nos detalhes dos cálculos matriciais. Apenas lembre-se: como as matrizes são denotadas, como elas são multiplicadas e o que se segue disso.

Revisão: Multiplicação de Matrizes

Em primeiro lugar, vamos concordar com a notação. Uma matriz $A$ de tamanho $\left[ m\times n \right]$ é simplesmente uma tabela de números com exatamente $m$ linhas e $n$ colunas:

\=\underbrace(\left[ \begin(matrix) ((a)_(11)) & ((a)_(12)) & ... & ((a)_(1n)) \\ (( a)_(21)) & ((a)_(22)) & ... & ((a)_(2n)) \\ ... & ... & ... & ... \\ ((a)_(m1)) & ((a)_(m2)) & ... & ((a)_(mn)) \\\end(matrix) \right])_(n)\]

Para não confundir acidentalmente linhas e colunas em lugares (acredite, no exame você pode confundir um com um deuce - o que podemos dizer sobre algumas linhas lá), basta dar uma olhada na foto:

Determinação de índices para células de matriz

O que está acontecendo? Se colocarmos o sistema de coordenadas padrão $OXY$ no canto superior esquerdo e direcionarmos os eixos para que eles cubram toda a matriz, então cada célula desta matriz pode ser associada exclusivamente às coordenadas $\left(x;y \right) $ - este será o número da linha e o número da coluna.

Por que o sistema de coordenadas está localizado exatamente no canto superior esquerdo? Sim, porque é a partir daí que começamos a ler quaisquer textos. É muito fácil de lembrar.

Por que o eixo $x$ está apontando para baixo e não para a direita? Novamente, é simples: pegue o sistema de coordenadas padrão (o eixo $x$ vai para a direita, o eixo $y$ vai para cima) e gire-o para que ele envolva a matriz. Esta é uma rotação de 90 graus no sentido horário - vemos seu resultado na imagem.

Em geral, descobrimos como determinar os índices dos elementos da matriz. Agora vamos lidar com a multiplicação.

Definição. As matrizes $A=\left[ m\times n \right]$ e $B=\left[ n\times k \right]$, quando o número de colunas da primeira corresponde ao número de linhas da segunda, são chamado consistente.

Está nessa ordem. Pode-se ser ambíguo e dizer que as matrizes $A$ e $B$ formam um par ordenado $\left(A;B \right)$: se forem consistentes nesta ordem, então não é necessário que $B $ e $A$, esses. o par $\left(B;A \right)$ também é consistente.

Somente matrizes consistentes podem ser multiplicadas.

Definição. O produto de matrizes consistentes $A=\left[ m\times n \right]$ e $B=\left[ n\times k \right]$ é a nova matriz $C=\left[ m\times k \right ]$ , cujos elementos $((c)_(ij))$ são calculados pela fórmula:

\[((c)_(ij))=\sum\limits_(k=1)^(n)(((a)_(ik)))\cdot ((b)_(kj))\]

Em outras palavras: para obter o elemento $((c)_(ij))$ da matriz $C=A\cdot B$, você precisa pegar a linha $i$ da primeira matriz, o $j$ -th coluna da segunda matriz e, em seguida, multiplique em pares os elementos desta linha e coluna. Some os resultados.

Sim, essa é uma definição dura. Vários fatos decorrem imediatamente disso:

1. A multiplicação de matrizes é, em geral, não comutativa: $A\cdot B\ne B\cdot A$;
2. No entanto, a multiplicação é associativa: $\left(A\cdot B \right)\cdot C=A\cdot \left(B\cdot C \right)$;
3. E até mesmo distributiva: $\left(A+B \right)\cdot C=A\cdot C+B\cdot C$;
4. E distributiva novamente: $A\cdot \left(B+C \right)=A\cdot B+A\cdot C$.

A distributividade da multiplicação teve que ser descrita separadamente para a soma multiplicadora esquerda e direita apenas por causa da não comutatividade da operação de multiplicação.

Se, no entanto, ocorrer que $A\cdot B=B\cdot A$, tais matrizes são chamadas permutáveis.

Entre todas as matrizes que são multiplicadas por algo lá, existem algumas especiais - aquelas que, quando multiplicadas por qualquer matriz $A$, novamente dão $A$:

Definição. Uma matriz $E$ é chamada identidade se $A\cdot E=A$ ou $E\cdot A=A$. No caso de uma matriz quadrada $A$ podemos escrever:

A matriz identidade é uma convidada frequente na resolução de equações matriciais. E em geral, um convidado frequente no mundo das matrizes. :)

E por causa desse $E$, alguém veio com todo o jogo que será escrito a seguir.

O que é uma matriz inversa

Como a multiplicação de matrizes é uma operação muito demorada (você tem que multiplicar um monte de linhas e colunas), o conceito de matriz inversa também não é o mais trivial. E precisa de alguma explicação.

Definição de chave

Bem, é hora de saber a verdade.

Definição. A matriz $B$ é chamada de inversa da matriz $A$ se

A matriz inversa é denotada por $((A)^(-1))$ (não confundir com o grau!), então a definição pode ser reescrita assim:

Parece que tudo é extremamente simples e claro. Mas ao analisar tal definição, surgem imediatamente várias questões:

1. Sempre existe uma matriz inversa? E se nem sempre, então como determinar: quando existe e quando não existe?
2. E quem disse que tal matriz é exatamente uma? E se para alguma matriz original $A$ houver uma multidão de inversas?
3. Como são todos esses "reversos"? E como você realmente os conta?

Quanto aos algoritmos de cálculo - falaremos sobre isso um pouco mais tarde. Mas vamos responder o resto das perguntas agora. Vamos organizá-los na forma de asserções-lemas separadas.

Propriedades básicas

Vamos começar com a aparência da matriz $A$ para que ela tenha $((A)^(-1))$. Agora vamos garantir que ambas as matrizes sejam quadradas e do mesmo tamanho: $\left[ n\times n \right]$.

Lema 1. Dada uma matriz $A$ e sua inversa $((A)^(-1))$. Então essas duas matrizes são quadradas e têm a mesma ordem $n$.

Prova. Tudo é simples. Seja a matriz $A=\left[ m\times n \right]$, $((A)^(-1))=\left[ a\times b \right]$. Como o produto $A\cdot ((A)^(-1))=E$ existe por definição, as matrizes $A$ e $((A)^(-1))$ são consistentes nessa ordem:

\[\begin(align) & \left[ m\times n \right]\cdot \left[ a\times b \right]=\left[ m\times b \right] \\ & n=a \end( alinhar)\]

Esta é uma consequência direta do algoritmo de multiplicação de matrizes: os coeficientes $n$ e $a$ são "trânsito" e devem ser iguais.

Ao mesmo tempo, a multiplicação inversa também é definida: $((A)^(-1))\cdot A=E$, então as matrizes $((A)^(-1))$ e $A$ são também consistente nesta ordem:

\[\begin(align) & \left[ a\times b \right]\cdot \left[ m\times n \right]=\left[ a\times n \right] \\ & b=m \end( alinhar)\]

Assim, sem perda de generalidade, podemos assumir que $A=\left[ m\times n \right]$, $((A)^(-1))=\left[ n\times m \right]$. No entanto, de acordo com a definição de $A\cdot ((A)^(-1))=((A)^(-1))\cdot A$, as dimensões das matrizes são exatamente as mesmas:

\[\begin(align) & \left[ m\times n \right]=\left[ n\times m \right] \\ & m=n \end(align)\]

Então acontece que todas as três matrizes - $A$, $((A)^(-1))$ e $E$ - são quadradas em tamanho $\left[ n\times n \right]$. O lema está provado.

Bem, isso já é bom. Vemos que apenas matrizes quadradas são invertíveis. Agora vamos garantir que a matriz inversa seja sempre a mesma.

Lema 2. Dada uma matriz $A$ e sua inversa $((A)^(-1))$. Então esta matriz inversa é única.

Prova. Vamos começar pelo oposto: deixe a matriz $A$ ter pelo menos duas instâncias de inversas — $B$ e $C$. Então, de acordo com a definição, as seguintes igualdades são verdadeiras:

\[\begin(alinhar) & A\cdot B=B\cdot A=E; \\ & A\cdot C=C\cdot A=E. \\ \end(alinhar)\]

Do Lema 1 concluímos que todas as quatro matrizes $A$, $B$, $C$ e $E$ são quadradas da mesma ordem: $\left[ n\times n \right]$. Portanto, o produto é definido:

Como a multiplicação de matrizes é associativa (mas não comutativa!), podemos escrever:

\[\begin(align) & B\cdot A\cdot C=\left(B\cdot A \right)\cdot C=E\cdot C=C; \\ & B\cdot A\cdot C=B\cdot \left(A\cdot C \right)=B\cdot E=B; \\ & B\cdot A\cdot C=C=B\Rightarrow B=C. \\ \end(alinhar)\]

Temos a única opção possível: duas cópias da matriz inversa são iguais. O lema está provado.

O raciocínio acima repete quase literalmente a prova da unicidade do elemento inverso para todos os números reais $b\ne 0$. A única adição significativa é levar em conta a dimensão das matrizes.

No entanto, ainda não sabemos nada sobre se alguma matriz quadrada é invertível. Aqui o determinante vem em nosso auxílio - esta é uma característica chave para todas as matrizes quadradas.

Lema 3. Dada uma matriz $A$. Se a matriz $((A)^(-1))$ inversa a ela existir, então o determinante da matriz original é diferente de zero:

\[\esquerda| A \direito|\ne 0\]

Prova. Já sabemos que $A$ e $((A)^(-1))$ são matrizes quadradas de tamanho $\left[ n\times n \right]$. Portanto, para cada um deles é possível calcular o determinante: $\left| A \right|$ e $\left| ((A)^(-1)) \direito|$. No entanto, o determinante do produto é igual ao produto dos determinantes:

\[\esquerda| A\cdot B \right|=\left| A \right|\cdot \left| B \right|\Rightarrow \left| A\cdot ((A)^(-1)) \right|=\left| A \right|\cdot \left| ((A)^(-1)) \direito|\]

Mas de acordo com a definição de $A\cdot ((A)^(-1))=E$, e o determinante de $E$ é sempre igual a 1, então

\[\begin(align) & A\cdot ((A)^(-1))=E; \\ & \esquerda| A\cdot ((A)^(-1)) \right|=\left| E\direito|; \\ & \esquerda| A \right|\cdot \left| ((A)^(-1)) \direito|=1. \\ \end(alinhar)\]

O produto de dois números é igual a um somente se cada um desses números for diferente de zero:

\[\esquerda| A \right|\ne 0;\quad \left| ((A)^(-1)) \right|\ne 0.\]

Então acontece que $\left| A \right|\ne 0$. O lema está provado.

Na verdade, esse requisito é bastante lógico. Agora vamos analisar o algoritmo para encontrar a matriz inversa - e ficará completamente claro por que, em princípio, nenhuma matriz inversa pode existir com um determinante zero.

Mas primeiro, vamos formular uma definição "auxiliar":

Definição. Uma matriz degenerada é uma matriz quadrada de tamanho $\left[ n\times n \right]$ cujo determinante é zero.

Assim, podemos afirmar que qualquer matriz invertível é não degenerada.

Como encontrar a matriz inversa

Agora vamos considerar um algoritmo universal para encontrar matrizes inversas. Em geral, existem dois algoritmos geralmente aceitos e também consideraremos o segundo hoje.

A que será considerada agora é muito eficiente para matrizes de tamanho $\left[ 2\times 2 \right]$ e - em parte - de tamanho $\left[ 3\times 3 \right]$. Mas a partir do tamanho $\left[ 4\times 4 \right]$ é melhor não usá-lo. Por que - agora você vai entender tudo.

Adições algébricas

Prepare-se. Agora haverá dor. Não, não se preocupe: uma linda enfermeira de saia, meias com renda não vem até você e não lhe dá uma injeção na nádega. Tudo é muito mais prosaico: adições algébricas e Sua Majestade a "Matriz da União" estão chegando até você.

Vamos começar com o principal. Seja uma matriz quadrada de tamanho $A=\left[ n\times n \right]$ cujos elementos são nomeados $((a)_(ij))$. Então, para cada um desses elementos, pode-se definir um complemento algébrico:

Definição. Complemento algébrico $((A)_(ij))$ ao elemento $((a)_(ij))$ na $i$-th linha e $j$-th coluna da matriz $A=\left [ n \times n \right]$ é uma construção da forma

\[((A)_(ij))=((\left(-1 \right))^(i+j))\cdot M_(ij)^(*)\]

Onde $M_(ij)^(*)$ é o determinante da matriz obtida do $A$ original excluindo a mesma $i$-ésima linha e $j$-ésima coluna.

Novamente. O complemento algébrico para o elemento da matriz com coordenadas $\left(i;j \right)$ é denotado como $((A)_(ij))$ e é calculado de acordo com o esquema:

1. Primeiro, excluímos a $i$-row e a $j$-th coluna da matriz original. Obtemos uma nova matriz quadrada e denotamos seu determinante como $M_(ij)^(*)$.
2. Em seguida, multiplicamos esse determinante por $((\left(-1 \right))^(i+j))$ - a princípio essa expressão pode parecer alucinante, mas na verdade acabamos de descobrir o sinal na frente de $ M_(ij)^(*) $.
3. Contamos - obtemos um número específico. Aqueles. a adição algébrica é apenas um número, não uma nova matriz, e assim por diante.

A própria matriz $M_(ij)^(*)$ é chamada de menor complementar ao elemento $((a)_(ij))$. E nesse sentido, a definição acima de um complemento algébrico é um caso especial de uma definição mais complexa - aquela que consideramos na lição sobre o determinante.

Nota importante. Na verdade, na matemática "adulta", as adições algébricas são definidas da seguinte forma:

1. Tomamos $k$ linhas e $k$ colunas em uma matriz quadrada. Em sua interseção, obtemos uma matriz de tamanho $\left[ k\times k \right]$ — seu determinante é chamado de menor de ordem $k$ e é denotado por $((M)_(k))$.
2. Em seguida, riscamos essas linhas $k$ "selecionadas" e colunas $k$. Novamente, obtemos uma matriz quadrada - seu determinante é chamado de menor complementar e é denotado por $M_(k)^(*)$.
3. Multiplique $M_(k)^(*)$ por $((\left(-1 \right))^(t))$, onde $t$ é (atenção agora!) a soma dos números de todas as linhas selecionadas e colunas. Esta será a adição algébrica.

Dê uma olhada no terceiro passo: na verdade, há uma soma de $ 2k$ termos! Outra coisa é que para $k=1$ temos apenas 2 termos - estes serão os mesmos $i+j$ - as "coordenadas" do elemento $((a)_(ij))$, para o qual estamos procurando um complemento algébrico.

Então, hoje usamos uma definição ligeiramente simplificada. Mas, como veremos mais adiante, será mais do que suficiente. Muito mais importante é o seguinte:

Definição. A matriz união $S$ com a matriz quadrada $A=\left[ n\times n \right]$ é uma nova matriz de tamanho $\left[ n\times n \right]$, que é obtida de $A$ substituindo $(( a)_(ij))$ por complementos algébricos $((A)_(ij))$:

\\Rightarrow S=\left[ \begin(matrix) ((A)_(11)) & ((A)_(12)) & ... & ((A)_(1n)) \\ (( A)_(21)) & ((A)_(22)) & ... & ((A)_(2n)) \\ ... & ... & ... & ... \\ ((A)_(n1)) & ((A)_(n2)) & ... & ((A)_(nn)) \\\ end(matrix) \right]\]

O primeiro pensamento que surge no momento de perceber essa definição é “isso é o quanto você tem que contar no total!” Relaxa: tem que contar, mas nem tanto. :)

Bem, tudo isso é muito bom, mas por que é necessário? Mas por que.

Teorema principal

Vamos voltar um pouco. Lembre-se, o Lema 3 afirmou que uma matriz invertível $A$ é sempre não-singular (ou seja, seu determinante é diferente de zero: $\left| A \right|\ne 0$).

Assim, a recíproca também é verdadeira: se a matriz $A$ não é degenerada, então ela é sempre invertível. E existe até um esquema de busca $((A)^(-1))$. Confira:

Teorema da matriz inversa. Seja uma matriz quadrada $A=\left[ n\times n \right]$ e seu determinante seja diferente de zero: $\left| A \right|\ne 0$. Então a matriz inversa $((A)^(-1))$ existe e é calculada pela fórmula:

\[((A)^(-1))=\frac(1)(\left| A \right|)\cdot ((S)^(T))\]

E agora - tudo a mesma coisa, mas em caligrafia legível. Para encontrar a matriz inversa, você precisa:

1. Calcule o determinante $\left| A \right|$ e certifique-se de que é diferente de zero.
2. Compile a matriz de união $S$, ou seja conte 100500 adições algébricas $((A)_(ij))$ e coloque-as no lugar $((a)_(ij))$.
3. Transponha esta matriz $S$ e então multiplique-a por algum número $q=(1)/(\left| A \right|)\;$.

E é isso! A matriz inversa $((A)^(-1))$ é encontrada. Vejamos exemplos:

\[\left[ \begin(matrix) 3 & 1 \\ 5 & 2 \\\end(matrix) \right]\]

Solução. Vamos verificar a reversibilidade. Vamos calcular o determinante:

\[\esquerda| A \direita|=\esquerda| \begin(matrix) 3 & 1 \\ 5 & 2 \\\end(matrix) \right|=3\cdot 2-1\cdot 5=6-5=1\]

O determinante é diferente de zero. Portanto, a matriz é invertível. Vamos criar uma matriz de união:

Vamos calcular as adições algébricas:

\[\begin(align) & ((A)_(11))=((\left(-1 \right))^(1+1))\cdot \left| 2\direita|=2; \\ & ((A)_(12))=((\left(-1 \right))^(1+2))\cdot \left| 5\direita|=-5; \\ & ((A)_(21))=((\left(-1 \right))^(2+1))\cdot \left| 1 \direito|=-1; \\ & ((A)_(22))=((\left(-1 \right))^(2+2))\cdot \left| 3\direita|=3. \\ \end(alinhar)\]

Preste atenção: determinantes |2|, |5|, |1| e |3| são os determinantes de matrizes de tamanho $\left[ 1\times 1 \right]$, não módulos. Aqueles. se houver números negativos nos determinantes, não é necessário remover o "menos".

No total, nossa matriz de união fica assim:

\[((A)^(-1))=\frac(1)(\left| A \right|)\cdot ((S)^(T))=\frac(1)(1)\cdot ( (\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 2 & -5 \\ -1 & 3 \\\end(array) \right])^(T))=\left[ \begin (array)(*(35)(r)) 2 & -1 \\ -5 & 3 \\\end(array) \right]\]

OK, está tudo acabado Agora. Problema resolvido.

Responda. $\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 2 & -1 \\ -5 & 3 \\\end(array) \right]$

Uma tarefa. Encontre a matriz inversa:

\[\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\\end(array) \right] \]

Solução. Novamente, consideramos o determinante:

\[\begin(alinhar) & \left| \begin(array)(*(35)(r)) 1 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\\end(array) \right|=\begin(matrix ) \left(1\cdot 2\cdot 1+\left(-1 \right)\cdot \left(-1 \right)\cdot 1+2\cdot 0\cdot 0 \right)- \\ -\left (2\cdot 2\cdot 1+\left(-1 \right)\cdot 0\cdot 1+1\cdot \left(-1 \right)\cdot 0 \right) \\\end(matrix)= \ \ & =\left(2+1+0 \right)-\left(4+0+0 \right)=-1\ne 0. \\ \end(align)\]

O determinante é diferente de zero — a matriz é invertível. Mas agora será o mais pequeno: você tem que contar até 9 (nove, caramba!) Adições algébricas. E cada um deles conterá o qualificador $\left[ 2\times 2 \right]$. Voou:

\[\begin(matrix) ((A)_(11))=((\left(-1 \right))^(1+1))\cdot \left| \begin(matriz) 2 & -1 \\ 0 & 1 \\\end(matriz) \right|=2; \\ ((A)_(12))=((\left(-1 \right))^(1+2))\cdot \left| \begin(matriz) 0 & -1 \\ 1 & 1 \\\end(matriz) \right|=-1; \\ ((A)_(13))=((\left(-1 \right))^(1+3))\cdot \left| \begin(matriz) 0 & 2 \\ 1 & 0 \\\end(matriz) \right|=-2; \\ ... \\ ((A)_(33))=((\left(-1 \right))^(3+3))\cdot \left| \begin(matriz) 1 & -1 \\ 0 & 2 \\\end(matriz) \right|=2; \\ \end(matriz)\]

Em resumo, a matriz de união ficará assim:

Portanto, a matriz inversa será:

\[((A)^(-1))=\frac(1)(-1)\cdot \left[ \begin(matrix) 2 & -1 & -2 \\ 1 & -1 & -1 \\ -3 & 1 & 2 \\\end(matrix) \right]=\left[ \begin(array)(*(35)(r))-2 & -1 & 3 \\ 1 & 1 & -1 \ \ 2 & 1 & -2 \\\end(array) \right]\]

Bom, isso é tudo. Aqui está a resposta.

Responda. $\left[ \begin(array)(*(35)(r)) -2 & -1 & 3 \\ 1 & 1 & -1 \\ 2 & 1 & -2 \\\end(array) \right ]$

Como você pode ver, ao final de cada exemplo, realizamos uma verificação. A este respeito, uma nota importante:

Não tenha preguiça de verificar. Multiplique a matriz original pelo inverso encontrado - você deve obter $E$.

É muito mais fácil e rápido realizar essa verificação do que procurar um erro em cálculos posteriores, quando, por exemplo, você resolve uma equação matricial.

Caminho alternativo

Como eu disse, o teorema da matriz inversa funciona bem para os tamanhos $\left[ 2\times 2 \right]$ e $\left[ 3\times 3 \right]$ (no último caso, não é tão "bonito" mais). ”), mas para matrizes grandes, começa a tristeza.

Mas não se preocupe: existe um algoritmo alternativo que pode ser usado para encontrar calmamente a inversa mesmo para a matriz $\left[ 10\times 10 \right]$. Mas, como costuma acontecer, para considerar esse algoritmo, precisamos de um pouco de embasamento teórico.

Transformações elementares

Entre as várias transformações da matriz, existem várias especiais - são chamadas de elementares. Existem exatamente três dessas transformações:

1. Multiplicação. Você pode pegar a linha $i$-th (coluna) e multiplicá-la por qualquer número $k\ne 0$;
2. Adição. Adicione à linha $i$-th (coluna) qualquer outra linha $j$-th (coluna) multiplicada por qualquer número $k\ne 0$ (claro, $k=0$ também é possível, mas qual é o ponto disso? ?Nada vai mudar embora).
3. Permutação. Pegue as linhas $i$-th e $j$-th (colunas) e troque-as.

Por que essas transformações são chamadas de elementares (para matrizes grandes, elas não parecem tão elementares) e por que existem apenas três delas - essas questões estão além do escopo da lição de hoje. Portanto, não entraremos em detalhes.

Outra coisa é importante: temos que realizar todas essas perversões na matriz associada. Sim, sim, você ouviu direito. Agora haverá mais uma definição - a última da lição de hoje.

Matriz Anexada

Certamente na escola você resolveu sistemas de equações usando o método de adição. Bem, subtraia outra de uma linha, multiplique uma linha por um número - isso é tudo.

Então: agora tudo será igual, mas já “de forma adulta”. Preparar?

Definição. Seja a matriz $A=\left[ n\times n \right]$ e a matriz identidade $E$ de mesmo tamanho $n$. Então a matriz associada $\left[ A\left| E\certo. \right]$ é uma nova matriz $\left[ n\times 2n \right]$ que se parece com isso:

\[\esquerda[ A\esquerda| E\certo. \right]=\left[ \begin(array)(rrrr|rrrr)((a)_(11)) & ((a)_(12)) & ... & ((a)_(1n)) & 1 & 0 & ... & 0 \\((a)_(21)) & ((a)_(22)) & ... & ((a)_(2n)) & 0 & 1 & ... & 0 \\... & ... & ... & ... & ... & ... & ... & ... \\((a)_(n1)) & ((a)_(n2)) & ... & ((a)_(nn)) & 0 & 0 & ... & 1 \\\end(array) \right]\]

Resumindo, pegamos a matriz $A$, à direita atribuímos a ela a matriz identidade $E$ do tamanho necessário, separamos com uma barra vertical para beleza - aqui está a anexada. :)

Qual é o problema? E aqui está o que:

Teorema. Seja a matriz $A$ invertível. Considere a matriz adjunta $\left[ A\left| E\certo. \direito]$. Se estiver usando transformações elementares de strings coloque-o no formato $\left[ E\left| Brilhante. \right]$, ou seja multiplicando, subtraindo e reorganizando linhas para obter de $A$ a matriz $E$ à direita, então a matriz $B$ obtida à esquerda é o inverso de $A$:

\[\esquerda[ A\esquerda| E\certo. \right]\to \left[ E\left| Brilhante. \right]\Rightarrow B=((A)^(-1))\]

É simples assim! Resumindo, o algoritmo para encontrar a matriz inversa é assim:

1. Escreva a matriz associada $\left[ A\left| E\certo. \direito]$;
2. Realize conversões elementares de strings até que a direita em vez de $A$ apareça $E$;
3. Claro, algo também aparecerá à esquerda - uma certa matriz $B$. Este será o inverso;
4. LUCROS! :)

Claro, muito mais fácil falar do que fazer. Vejamos alguns exemplos: para os tamanhos $\left[ 3\times 3 \right]$ e $\left[ 4\times 4 \right]$.

Uma tarefa. Encontre a matriz inversa:

\[\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 5 & 1 \\ 3 & 2 & 1 \\ 6 & -2 & 1 \\\end(array) \right]\ ]

Solução. Compomos a matriz em anexo:

\[\left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 6 & -2 & 1 & 0 & 0 & 1 \\\end(array) \right]\]

Como a última coluna da matriz original é preenchida com uns, subtraia a primeira linha do resto:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 6 & - 2 & 1 & 0 & 0 & 1 \\\end(array) \right]\begin(matrix) \downarrow \\ -1 \\ -1 \\\end(matrix)\to \\ & \to \left [ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 5 & -7 & 0 & -1 & 0 & 1 \\\end(array) \right] \\ \end(align)\]

Não há mais unidades, exceto para a primeira linha. Mas não tocamos nele, caso contrário, as unidades recém-removidas começarão a "multiplicar" na terceira coluna.

Mas podemos subtrair a segunda linha duas vezes da última - obtemos uma unidade no canto inferior esquerdo:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 5 & -7 & 0 & -1 & 0 & 1 \\\end(array) \right]\begin(matrix) \ \\ \downarrow \\ -2 \\\end(matrix)\to \\ & \left [ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end(array) \right] \\ \end(align)\]

Agora podemos subtrair a última linha da primeira e duas vezes da segunda - desta forma, “zeraremos” a primeira coluna:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end(array) \right]\begin(matrix) -1 \\ -2 \\ \uparrow \\\end(matrix)\to \\ & \ para \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 0 & -3 & 5 & -2 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end(array) \right] \\ \end(align)\]

Multiplique a segunda linha por -1 e, em seguida, subtraia 6 vezes da primeira e adicione 1 vez à última:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 0 & -3 & 5 & -2 \ \ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end(array) \right]\begin(matrix) \ \\ \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ \ \\\end(matrix)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end(array) \right]\begin(matrix) -6 \\ \updownarrow \\ +1 \\\end (matriz)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 0 & 0 & 1 & -18 & 32 & -13 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ 1 & 0 & 0 & 4 & -7 & 3 \\\end(array) \right] \\ \end(align)\]

Resta apenas trocar as linhas 1 e 3:

\[\left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 0 & 0 & 4 & -7 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & - 18 & 32 & -13 \\\end(array) \right]\]

Preparar! À direita está a matriz inversa necessária.

Responda. $\left[ \begin(array)(*(35)(r))4 & -7 & 3 \\ 3 & -5 & 2 \\ -18 & 32 & -13 \\\end(array) \right ]$

Uma tarefa. Encontre a matriz inversa:

\[\left[ \begin(matrix) 1 & 4 & 2 & 3 \\ 1 & -2 & 1 & -2 \\ 1 & -1 & 1 & 1 \\ 0 & -10 & -2 & -5 \\\end(matriz) \right]\]

Solução. Novamente compomos o anexo:

\[\left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 1 & -2 & 0 & 1 & 0 & 0 \ \ 1 & -1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\end(array) \right]\]

Vamos pegar emprestado um pouco, se preocupar com o quanto temos que contar agora... e começar a contar. Para começar, “zeramos” a primeira coluna subtraindo a linha 1 das linhas 2 e 3:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 1 & -2 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\end(array) \right]\begin(matrix) \downarrow \\ -1 \\ -1 \\ \ \\\end(matrix)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -6 & -1 & -5 & -1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -5 & -1 & -2 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\end(array) \right] \\ \end(align)\]

Observamos muitos "menos" nas linhas 2-4. Multiplique todas as três linhas por -1 e, em seguida, queime a terceira coluna subtraindo a linha 3 do resto:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -6 & -1 & -5 & - 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -5 & -1 & -2 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end(array) \right]\begin(matriz) \ \\ \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ \esquerda| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ \esquerda| \cdot \left(-1 \right) \right. \\\end(matrix)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 1 & 5 & ​​1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 2 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 10 & 2 & 5 & 0 & 0 & 0 & -1 \\ \end (array) \right]\begin(matrix) -2 \\ -1 \\ \updownarrow \\ -2 \\\end(matrix)\to \\ & \to \left[ \begin(array)( rrrr| rrrr) 1 & -6 & 0 & -1 & -1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 2 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end(array) \right] \\ \end(align)\]

Agora é hora de "fritar" a última coluna da matriz original: subtraia a linha 4 do resto:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & -6 & 0 & -1 & -1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 2 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end(array ) \right]\begin(matrix) +1 \\ -3 \\ -2 \\ \uparrow \\\end(matrix)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & -6 & 0 & 0 & -3 & 0 & 4 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 & -1 & -5 & 3 \\ 0 & 5 & 1 & 0 & 5 & 0 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end(array) \right] \\ \end(align)\]

Rolagem final: "queime" a segunda coluna subtraindo a linha 2 da linha 1 e 3:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & -6 & 0 & 0 & -3 & 0 & 4 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 & -1 & -5 & 3 \\ 0 & 5 & 1 & 0 & 5 & 0 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\ end( array) \right]\begin(matrix) 6 \\ \updownarrow \\ -5 \\ \ \\\end(matrix)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 0 & 0 & 0 & 33 & -6 & -26 & -17 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 & -1 & -5 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & -25 & 5 & 20 & -13 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end(array) \right] \\ \end(align)\]

E novamente, a matriz identidade à esquerda, então o inverso à direita. :)

Responda. $\left[ \begin(matrix) 33 & -6 & -26 & 17 \\ 6 & -1 & -5 & 3 \\ -25 & 5 & 20 & -13 \\ -2 & 0 & 2 & - 1 \\\end(matriz) \right]$

Matriz inversa- tal matriz UMA −1 , quando multiplicado por qual, a matriz original UMA dá como resultado matriz de identidade E:

matriz quadradaé invertível se e somente se não for degenerado, isto é, sua determinante não é igual a zero. Para matrizes não quadradas e matrizes degeneradas matrizes inversas não existem. No entanto, é possível generalizar este conceito e introduzir matrizes pseudoinversas, semelhante aos inversos em muitas propriedades.

Solução de equações matriciais

As equações matriciais podem ter a seguinte aparência:

AX = B, XA = B, AXB = C,

onde A, B, C são matrizes dadas, X é a matriz desejada.

As equações matriciais são resolvidas multiplicando a equação por matrizes inversas.

Por exemplo, para encontrar a matriz de uma equação, você precisa multiplicar essa equação à esquerda.

Portanto, para encontrar uma solução para a equação, você precisa encontrar a matriz inversa e multiplicá-la pela matriz do lado direito da equação.

Outras equações são resolvidas de forma semelhante.

Exemplo 2

Resolva a equação AX = B se

Solução: Como o inverso da matriz é igual (veja o exemplo 1)

Espaços lineares

Definição de espaço linear

Deixar V- um conjunto não vazio (chamaremos seus elementos de vetores e denotaremos ...), no qual as regras são estabelecidas:

1) quaisquer dois elementos correspondem ao terceiro elemento chamado soma dos elementos (operação interna);

2) cada um corresponde a um determinado elemento (operação externa).

Vários Vé chamado um espaço real linear (vetorial) se os seguintes axiomas valerem:

EU.

III. (elemento zero, tal que ).

4. (elemento oposto ao elemento ), tal que

v.

VIII. Um espaço linear complexo é definido de forma semelhante (em vez de R considerado C).

Subespaço do espaço linear

O conjunto é chamado de subespaço do espaço linear V, E se:

1)

Sistema vetorial de espaço linear eu formulários base dentro eu se este sistema de vetores for ordenado, linearmente independente, e qualquer vetor de eu é expressa linearmente em termos dos vetores do sistema.

Em outras palavras, um sistema ordenado linearmente independente de vetores e 1 , ..., e n forma a base de eu se algum vetor x a partir de eu pode ser apresentado na forma

x= C1 e 1 + C 2 e 2 + ... + C n · e n .

A base pode ser definida de forma diferente.

Qualquer sistema ordenado linearmente independente e 1 , ..., e n vetores n- espaço linear dimensional eu n constitui a base deste espaço.

Porque o n, dimensão do espaço eu n é o número máximo de vetores espaciais linearmente independentes, então o sistema de vetores x,e 1 , ..., e n linearmente dependente e, portanto, o vetor x expresso linearmente em termos de vetores e 1 , ..., e n :

x = x 1 · e 1 + x 2 e 2 + ...+ x n · e n .

Tal decomposição de um vetor em termos da base só.

Teorema 1. (Sobre o número de vetores em sistemas de vetores linearmente independentes e geradores.) O número de vetores em qualquer sistema de vetores linearmente independente não excede o número de vetores em qualquer sistema gerador de vetores do mesmo vetor espaço.

Prova. Seja um sistema de vetores linearmente independente arbitrário um sistema gerador arbitrário. Vamos supor que.

Porque sistema gerador, então ele representa qualquer vetor do espaço, incluindo o vetor . Vamos adicioná-lo a este sistema. Obtemos um sistema de vetores linearmente dependente e gerador: . Então existe um vetor desse sistema que é expresso linearmente em termos dos vetores anteriores desse sistema e, em virtude do lema, ele pode ser removido do sistema, e o sistema de vetores restante ainda estará gerando.

Renumeramos o sistema de vetores restante: . Porque este sistema está gerando, então ele representa um vetor e, anexando-o a este sistema, obtemos novamente um sistema linearmente dependente e gerador: .

Então tudo se repete. Existe um vetor neste sistema, que se expressa linearmente em função dos anteriores, e este não pode ser um vetor, pois o sistema original é linearmente independente e o vetor não é expresso linearmente em termos do vetor . Portanto, só pode ser um dos vetores. Retirando-o do sistema , obtemos, após renumeração, o sistema , que será o sistema gerador. Continuando este processo, após os passos obtemos um sistema gerador de vetores: , onde , porque de acordo com nosso palpite. Isso significa que esse sistema, como gerador, também representa o vetor , o que contraria a condição de independência linear do sistema .

O teorema 1 está provado.

Teorema 2. (Sobre o número de vetores em uma base.) Em qualquer base de um vetor espaço contém o mesmo número de vetores.

Prova. Sejam e duas bases do espaço vetorial arbitrário. Qualquer base é um sistema de vetores linearmente independente e gerador.

Porque o primeiro sistema é linearmente independente, e o segundo está gerando, então, pelo Teorema 1, .

Da mesma forma, o segundo sistema é linearmente independente, e o primeiro está gerando, então . Segue-se daqui que , p.t.d.

O teorema 2 está provado.

este teorema permite introduzir a seguinte definição.

Definição. A dimensão de um espaço vetorial V sobre um corpo K é o número de vetores em sua base.

Designação: ou .

Coordenadas vetoriais são os coeficientes dos únicos possíveis combinação linear básico vetores no selecionado sistema de coordenadas igual ao vetor dado.