Diferença de uma equação com um lado direito especial. Equações diferenciais de segunda ordem não homogêneas

Equações diferenciais de segunda ordem não homogêneas com coeficientes constantes

Estrutura da solução geral

Uma equação linear não homogênea deste tipo tem a forma:

Onde p, q− números constantes (que podem ser reais e complexos). Para cada uma dessas equações, pode-se escrever a correspondente equação homogênea:

Teorema: A solução geral da equação não homogênea é a soma da solução geral y 0 (x) da equação homogênea correspondente e uma solução particular y 1 (x) da equação não homogênea:

Abaixo, consideramos dois métodos para resolver equações diferenciais não homogêneas.

Método de variação constante

Se a solução geral y 0 da equação homogênea associada é conhecido, então a solução geral da equação não homogênea pode ser encontrada usando método de variação constante. Seja a solução geral de uma equação diferencial homogênea de segunda ordem:

Em vez de permanente C 1 e C 2 vamos considerar funções auxiliares C 1 (x) e C 2 (x). Vamos procurar essas funções de tal forma que a solução

satisfaz a equação não homogênea com o lado direito f(x). Recursos desconhecidos C 1 (x) e C 2 (x) são determinados a partir do sistema de duas equações:

Método de coeficientes indeterminados

Parte direita f(x) de uma equação diferencial não homogênea é muitas vezes um polinômio, uma função exponencial ou trigonométrica, ou alguma combinação dessas funções. Nesse caso, é mais conveniente encontrar uma solução usando método de coeficientes incertos. Ressaltamos que este método funciona apenas para uma classe limitada de funções do lado direito, como

Em ambos os casos, a escolha de uma determinada solução deve corresponder à estrutura do lado direito da equação diferencial não homogênea. No caso 1, se o número α na função exponencial coincide com a raiz da equação característica, então a solução particular conterá um fator adicional x s, Onde s- multiplicidade da raiz α na equação característica. No caso 2, se o número α + βi coincide com a raiz da equação característica, então a expressão para a solução particular conterá um fator adicional x. Coeficientes desconhecidos podem ser determinados substituindo a expressão encontrada para uma solução particular na equação diferencial não homogênea original.

Princípio da superposição

Se o lado direito da equação não homogênea é quantia várias funções do formulário

então a solução particular da equação diferencial também será a soma das soluções particulares construídas separadamente para cada termo do lado direito.

Exemplo 1

Resolver equação diferencial s"" + s= sin(2 x).

Solução.

Primeiro resolvemos a equação homogênea correspondente s"" + s= 0. Neste caso, as raízes da equação característica são puramente imaginárias:

Portanto, a solução geral da equação homogênea é dada por

Voltemos novamente à equação não homogênea. Buscaremos sua solução na forma

usando o método de variação de constantes. Funções C 1 (x) e C 2 (x) pode ser encontrado a partir do seguinte sistema de equações:

Expressamos a derivada C 1 " (x) da primeira equação:

Substituindo na segunda equação, encontramos a derivada C 2 " (x):

Daí segue que

Integrando expressões para derivadas C 1 " (x) e C 2 " (x), Nós temos:

Onde UMA 1 , UMA 2 − constantes de integração. Agora substituímos as funções encontradas C 1 (x) e C 2 (x) na fórmula para y 1 (x) e escreva a solução geral da equação não homogênea:

Exemplo 2

Encontre uma solução geral para a equação s"" + s" −6y = 36x.

Solução.

Vamos usar o método dos coeficientes indefinidos. O lado direito da equação dada é uma função linear f(x)= ax + b. Portanto, vamos procurar uma solução particular na forma

As derivadas são:

Substituindo isso na equação diferencial, temos:

A última equação é uma identidade, ou seja, é válida para todas as x, então igualamos os coeficientes dos termos com as mesmas potências x do lado esquerdo e direito:

Do sistema resultante encontramos: UMA = −6, B= -1. Como resultado, a solução particular é escrita na forma

Agora vamos encontrar a solução geral da equação diferencial homogênea. Vamos calcular as raízes da equação característica auxiliar:

Portanto, a solução geral da equação homogênea correspondente tem a forma:

Assim, a solução geral da equação não homogênea original é expressa pela fórmula

Integral geral de DE.

Resolver equação diferencial

Mas o engraçado é que a resposta já é conhecida: mais precisamente, devemos também adicionar uma constante: A integral geral é uma solução da equação diferencial.

Método de variação de constantes arbitrárias. Exemplos de soluções

O método de variação de constantes arbitrárias é usado para resolver equações diferenciais não homogêneas. Esta lição destina-se àqueles alunos que já são mais ou menos versados no tópico. Se você está apenas começando a se familiarizar com o controle remoto, ou seja, Se você é um bule, recomendo começar com a primeira lição: Equações diferenciais de primeira ordem. Exemplos de soluções. E se você já está terminando, por favor, descarte a possível noção preconcebida de que o método é difícil. Porque ele é simples.

Em que casos é usado o método de variação de constantes arbitrárias?

1) O método de variação de uma constante arbitrária pode ser usado para resolver DE linear não homogênea de 1ª ordem. Como a equação é de primeira ordem, então a constante (constante) também é uma.

2) O método de variação de constantes arbitrárias é usado para resolver alguns equações lineares não homogêneas de segunda ordem. Aqui, duas constantes (constantes) variam.

É lógico supor que a lição consistirá em dois parágrafos .... Eu escrevi esta proposta e, por cerca de 10 minutos, fiquei pensando dolorosamente em que outra porcaria inteligente adicionar para uma transição suave para exemplos práticos. Mas por algum motivo, não há pensamentos depois das férias, embora pareça que eu não abusei de nada. Então vamos pular direto para o primeiro parágrafo.

Método de variação constante arbitrária para uma equação linear não homogênea de primeira ordem

Antes de considerar o método de variação de uma constante arbitrária, é desejável estar familiarizado com o artigo Equações diferenciais lineares de primeira ordem. Nessa aula, praticamos primeira forma de resolver DE não homogênea de 1ª ordem. Esta primeira solução, lembro-lhe, chama-se método de substituição ou Método Bernoulli(não confundir com equação de Bernoulli!!!)

Vamos agora considerar segunda maneira de resolver– método de variação de uma constante arbitrária. Vou dar apenas três exemplos, e vou tomá-los da lição acima. Por que tão poucos? Porque, de fato, a solução da segunda maneira será muito semelhante à solução da primeira. Além disso, de acordo com minhas observações, o método de variação de constantes arbitrárias é usado com menos frequência do que o método de substituição.

Exemplo 1

Encontre a solução geral da equação diferencial (Diferente do Exemplo No. 2 da lição DE linear não homogênea de 1ª ordem)

Solução: Esta equação é linear não homogênea e tem uma forma familiar:

No primeiro estágio, é necessário resolver uma equação mais simples: ou seja, redefinimos estupidamente o lado direito - em vez disso, escrevemos zero. A equação que vou chamar equação auxiliar.

Neste exemplo, você precisa resolver a seguinte equação auxiliar:

Antes de nós equação separável, cuja solução (espero) não é mais difícil para você:

Assim: é a solução geral da equação auxiliar .

Na segunda etapa substituir uma constante de alguns ainda função desconhecida que depende de "x":

Daí o nome do método - variamos a constante. Alternativamente, a constante pode ser alguma função que temos que encontrar agora.

NO inicial equação não homogênea, faremos a substituição:

Substitua na equação:

momento de controle - os dois termos do lado esquerdo se cancelam. Se isso não acontecer, você deve procurar o erro acima.

Como resultado da substituição, obtém-se uma equação com variáveis separáveis. Separe as variáveis e integre.

Que bênção, os expoentes também estão encolhendo:

Adicionamos uma constante “normal” à função encontrada:

Na fase final, recordamos a nossa substituição:

Função recém encontrada!

Então a solução geral é:

Responda: decisão comum:

Se você imprimir as duas soluções, notará facilmente que em ambos os casos encontramos as mesmas integrais. A única diferença está no algoritmo de solução.

Agora algo mais complicado, vou comentar também o segundo exemplo:

Exemplo 2

Encontre a solução geral da equação diferencial (Diferente do Exemplo No. 8 da lição DE linear não homogênea de 1ª ordem)

Solução: Vamos trazer a equação para a forma:

Coloque o lado direito em zero e resolva a equação auxiliar:

Separe as variáveis e integre: Solução geral da equação auxiliar:

Na equação não homogênea, faremos a substituição:

De acordo com a regra de diferenciação de produtos:

Substitua e na equação não homogênea original:

Os dois termos do lado esquerdo se cancelam, o que significa que estamos no caminho certo:

Integramos por partes. Uma letra saborosa da fórmula de integração por partes já está envolvida na solução, então usamos, por exemplo, as letras "a" e "be":

Eventualmente:

Agora vamos ver a substituição:

Responda: decisão comum:

Método de Variação de Constantes Arbitrárias para uma equação linear não homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes

Ouvimos muitas vezes a opinião de que o método de variação de constantes arbitrárias para uma equação de segunda ordem não é uma coisa fácil. Mas acho o seguinte: muito provavelmente, o método parece difícil para muitos, já que não é tão comum. Mas, na realidade, não há dificuldades particulares - o curso da decisão é claro, transparente e compreensível. E bonito.

Para dominar o método, é desejável ser capaz de resolver equações não homogêneas de segunda ordem selecionando uma solução particular de acordo com a forma do lado direito. Este método é discutido em detalhes no artigo. DE não homogênea de 2ª ordem. Lembramos que uma equação não homogênea linear de segunda ordem com coeficientes constantes tem a forma:

O método de seleção, que foi considerado na lição acima, funciona apenas em um número limitado de casos, quando polinômios, expoentes, senos e cossenos estão no lado direito. Mas o que fazer quando à direita, por exemplo, uma fração, logaritmo, tangente? Em tal situação, o método de variação de constantes vem em socorro.

Exemplo 4

Encontre a solução geral de uma equação diferencial de segunda ordem

Solução: Há uma fração no lado direito desta equação, então podemos dizer imediatamente que o método de selecionar uma solução particular não funciona. Usamos o método de variação de constantes arbitrárias.

Nada pressagia uma tempestade, o início da solução é bastante comum:

Vamos encontrar decisão comum correspondente homogêneo equações:

Compomos e resolvemos a equação característica: – raízes complexas conjugadas são obtidas, então a solução geral é:

Preste atenção ao registro da solução geral - se houver colchetes, abra-os.

Agora fazemos quase o mesmo truque da equação de primeira ordem: variamos as constantes , substituindo-as por funções desconhecidas . Aquilo é, solução geral do não homogêneo Vamos procurar equações na forma:

Onde - ainda funções desconhecidas.

Parece um depósito de lixo, mas agora vamos resolver tudo.

Derivadas de funções agem como incógnitas. Nosso objetivo é encontrar derivadas, e as derivadas encontradas devem satisfazer tanto a primeira quanto a segunda equações do sistema.

De onde vêm os "jogos"? A cegonha os traz. Observamos a solução geral obtida anteriormente e escrevemos:

Vamos encontrar as derivadas:

Lidou com o lado esquerdo. O que está à direita?

é o lado direito da equação original, neste caso:

Este artigo revela a questão de resolver equações diferenciais não homogêneas lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. A teoria será considerada juntamente com exemplos dos problemas apresentados. Para decifrar termos incompreensíveis, é necessário recorrer ao tópico das definições e conceitos básicos da teoria das equações diferenciais.

Considere uma equação diferencial linear (LDE) de segunda ordem com coeficientes constantes da forma y "" + p y " + q y \u003d f (x) , onde p e q são números arbitrários e a função existente f (x) é contínua no intervalo de integração x .

Passemos à formulação do teorema geral da solução para o LIDE.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Teorema geral da solução para LDNU

Teorema 1

A solução geral, localizada no intervalo x, de uma equação diferencial não homogênea da forma y (n) + f n - 1 (x) · y (n - 1) + . . . + f 0 (x) y = f (x) com coeficientes de integração contínua no intervalo x f 0 (x) , f 1 (x) , . . . , f n - 1 (x) e uma função contínua f (x) é igual à soma da solução geral y 0 , que corresponde ao LODE, e alguma solução particular y ~ , onde a equação não homogênea original é y = y 0 + e ~ .

Isso mostra que a solução de tal equação de segunda ordem tem a forma y = y 0 + y ~ . O algoritmo para encontrar y 0 é considerado no artigo sobre equações diferenciais homogêneas lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. Depois disso, deve-se proceder à definição de y ~ .

A escolha de uma determinada solução para o LIDE depende do tipo de função disponível f(x) localizada no lado direito da equação. Para isso, é necessário considerar separadamente as soluções de equações diferenciais lineares não homogêneas de segunda ordem com coeficientes constantes.

Quando f (x) é considerado um polinômio de enésimo grau f (x) = P n (x) , segue-se que uma solução particular do LIDE é encontrada por uma fórmula da forma y ~ = Q n (x ) x γ , onde Q n ( x) é um polinômio de grau n, r é o número de raízes nulas da equação característica. O valor de y ~ é uma solução particular y ~ "" + p y ~ " + q y ~ = f (x) , então os coeficientes disponíveis, que são definidos pelo polinômio
Q n (x) , encontramos usando o método dos coeficientes indefinidos da igualdade y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) .

Exemplo 1

Calcule usando o teorema de Cauchy y "" - 2 y " = x 2 + 1 , y (0) = 2 , y " (0) = 1 4 .

Solução

Em outras palavras, é necessário passar para uma solução particular de uma equação diferencial linear não homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes y "" - 2 y " = x 2 + 1 , que satisfará as condições dadas y (0) = 2 , y " (0) = 1 4 .

A solução geral de uma equação não homogênea linear é a soma da solução geral que corresponde à equação y 0 ou uma solução particular da equação não homogênea y ~ , ou seja, y = y 0 + y ~ .

Primeiro, vamos encontrar uma solução geral para o LNDE e depois uma particular.

Vamos prosseguir para encontrar y 0 . Escrever a equação característica ajudará a encontrar as raízes. Nós entendemos isso

k 2 - 2 k \u003d 0 k (k - 2) \u003d 0 k 1 \u003d 0, k 2 \u003d 2

Descobrimos que as raízes são diferentes e reais. Por isso, escrevemos

y 0 \u003d C 1 e 0 x + C 2 e 2 x \u003d C 1 + C 2 e 2 x.

Vamos encontrar y ~ . Pode-se ver que o lado direito da equação dada é um polinômio de segundo grau, então uma das raízes é igual a zero. A partir daqui temos que uma solução particular para y ~ será

y ~ = Q 2 (x) x γ \u003d (A x 2 + B x + C) x \u003d A x 3 + B x 2 + C x, onde os valores de A, B, C tomar coeficientes indefinidos.

Vamos encontrá-los a partir de uma igualdade da forma y ~ "" - 2 y ~ " = x 2 + 1 .

Então obtemos isso:

y ~ "" - 2 y ~ " = x 2 + 1 (A x 3 + B x 2 + C x) "" - 2 (A x 3 + B x 2 + C x) " = x 2 + 1 3 A x 2 + 2 B x + C " - 6 A x 2 - 4 B x - 2 C = x 2 + 1 6 A x + 2 B - 6 A x 2 - 4 B x - 2 C = x 2 + 1 - 6 A x 2 + x (6 A - 4 B) + 2 B - 2 C = x 2 + 1

Igualando os coeficientes com os mesmos expoentes x , obtemos um sistema de expressões lineares - 6 A = 1 6 A - 4 B = 0 2 B - 2 C = 1 . Ao resolver de qualquer uma das maneiras, encontramos os coeficientes e escrevemos: A \u003d - 1 6, B \u003d - 1 4, C \u003d - 3 4 e y ~ \u003d A x 3 + B x 2 + C x \u003d - 1 6 x 3 - 1 4 x 2 - 3 4 x .

Essa entrada é chamada de solução geral da equação diferencial de segunda ordem linear não homogênea original com coeficientes constantes.

Para encontrar uma solução particular que satisfaça as condições y (0) = 2 , y " (0) = 1 4 , é necessário determinar os valores C1 e C2, com base em uma igualdade da forma y \u003d C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x.

Obtemos isso:

y (0) = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x x = 0 = C 1 + C 2 y "(0) = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x "x = 0 = = 2 C 2 e 2 x - 1 2 x 2 + 1 2 x + 3 4 x = 0 = 2 C 2 - 3 4

Trabalhamos com o sistema de equações resultante da forma C 1 + C 2 = 2 2 C 2 - 3 4 = 1 4 , onde C 1 = 3 2 , C 2 = 1 2 .

Aplicando o teorema de Cauchy, temos que

y = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x = = 3 2 + 1 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x

Responda: 3 2 + 1 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x .

Quando a função f (x) é representada como um produto de um polinômio com grau n e um expoente f (x) = P n (x) e a x , então obtemos que uma solução particular do LIDE de segunda ordem será uma equação da forma y ~ = e a x Q n ( x) · x γ , onde Q n (x) é um polinômio de grau n e r é o número de raízes da equação característica igual a α .

Os coeficientes pertencentes a Q n (x) são encontrados pela igualdade y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) .

Exemplo 2

Encontre a solução geral de uma equação diferencial da forma y "" - 2 y " = (x 2 + 1) · e x .

Solução

Equação geral y = y 0 + y ~ . A equação indicada corresponde ao LOD y "" - 2 y " = 0. O exemplo anterior mostra que suas raízes são k1 = 0 e k 2 = 2 e y 0 = C 1 + C 2 e 2 x de acordo com a equação característica.

Pode-se ver que o lado direito da equação é x 2 + 1 · e x . A partir daqui, LNDE é encontrado através de y ~ = e a x Q n (x) x γ , onde Q n (x) , que é um polinômio de segundo grau, onde α = 1 e r = 0 , porque a equação característica não tem raiz igual a 1. Daí obtemos que

y ~ = e a x Q n (x) x γ = e x A x 2 + B x + C x 0 = e x A x 2 + B x + C .

A, B, C são coeficientes desconhecidos, que podem ser encontrados pela igualdade y ~ "" - 2 y ~ " = (x 2 + 1) · e x .

Percebido

y ~ "= e x A x 2 + B x + C" = e x A x 2 + B x + C + e x 2 A x + B == e x A x 2 + x 2 A + B + B + C y ~ " " = e x A x 2 + x 2 A + B + B + C " = = e x A x 2 + x 2 A + B + B + C + e x 2 A x + 2 A + B = = e x A x 2 + x 4 A + B + 2 A + 2 B + C

y ~ "" - 2 y ~ " = (x 2 + 1) e x ⇔ e x A x 2 + x 4 A + B + 2 A + 2 B + C - - 2 e x A x 2 + x 2 A + B + B + C = x 2 + 1 e x ⇔ e x - A x 2 - B x + 2 A - C = (x 2 + 1) e x ⇔ - A x 2 - B x + 2 A - C = x 2 + 1 ⇔ - A x 2 - B x + 2 A - C = 1 x 2 + 0 x + 1

Igualamos os indicadores para os mesmos coeficientes e obtemos um sistema de equações lineares. A partir daqui encontramos A, B, C:

A = 1 - B = 0 2 A - C = 1 ⇔ A = - 1 B = 0 C = - 3

Responda: pode-se ver que y ~ = e x (A x 2 + B x + C) = e x - x 2 + 0 x - 3 = - e x x 2 + 3 é uma solução particular de LIDE, e y = y 0 + y = C 1 e 2 x - e x · x 2 + 3

Quando a função é escrita como f (x) = A 1 cos (β x) + B 1 sen β x , e A 1 e EM 1 são números, então uma equação da forma y ~ = A cos β x + B sen β x x γ , onde A e B são considerados coeficientes indefinidos, e r o número de raízes conjugadas complexas relacionadas à equação característica, igual a ± iβ. Neste caso, a busca dos coeficientes é realizada pela igualdade y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) .

Exemplo 3

Encontre a solução geral de uma equação diferencial da forma y "" + 4 y = cos (2 x) + 3 sen (2 x) .

Solução

Antes de escrever a equação característica, encontramos y 0 . Então

k 2 + 4 \u003d 0 k 2 \u003d - 4 k 1 \u003d 2 i, k 2 \u003d - 2 i

Temos um par de raízes conjugadas complexas. Vamos transformar e obter:

y 0 \u003d e 0 (C 1 cos (2 x) + C 2 sen (2 x)) \u003d C 1 cos 2 x + C 2 sen (2 x)

As raízes da equação característica são consideradas um par conjugado ± 2 i , então f (x) = cos (2 x) + 3 sen (2 x) . Isso mostra que a busca por y ~ será feita a partir de y ~ = (A cos (β x) + B sen (β x) x γ = (A cos (2 x) + B sen (2 x)) x. Desconhecidas os coeficientes A e B serão buscados a partir de uma igualdade da forma y ~ "" + 4 y ~ = cos (2 x) + 3 sen (2 x) .

Vamos transformar:

y ~ " = ((A cos (2 x) + B sen (2 x) x) " = = (- 2 A sen (2 x) + 2 B cos (2 x)) x + A cos (2 x) + B sen (2 x) y ~ "" = ((- 2 A sen (2 x) + 2 B cos (2 x)) x + A cos (2 x) + B sen (2 x)) " = = (- 4 A cos (2 x) - 4 B sen (2 x)) x - 2 A sen (2 x) + 2 B cos (2 x) - - 2 A sen (2 x) + 2 B cos (2) x) = = (- 4 A cos (2 x) - 4 B sen (2 x)) x - 4 A sen (2 x) + 4 B cos (2 x)

Então vê-se que

y ~ "" + 4 y ~ = cos (2 x) + 3 sen (2 x) ⇔ (- 4 A cos (2 x) - 4 B sen (2 x)) x - 4 A sen (2 x) + 4 B cos (2 x) + + 4 (A cos (2 x) + B sen (2 x)) x = cos (2 x) + 3 sen (2 x) ⇔ - 4 A sen (2 x) + 4B cos(2x) = cos(2x) + 3 sen(2x)

É necessário igualar os coeficientes de senos e cossenos. Obtemos um sistema da forma:

4 A = 3 4 B = 1 ⇔ A = - 3 4 B = 1 4

Segue-se que y ~ = (A cos (2 x) + B sen (2 x) x = - 3 4 cos (2 x) + 1 4 sen (2 x) x .

Responda: a solução geral do LIDE original de segunda ordem com coeficientes constantes é considerada

y = y 0 + y ~ = = C 1 cos (2 x) + C 2 sen (2 x) + - 3 4 cos (2 x) + 1 4 sen (2 x) x

Quando f (x) = e a x P n (x) sen (β x) + Q k (x) cos (β x) , então y ~ = e a x (L m (x) sen (β x) + N m (x) ) cos (β x) x γ Temos que r é o número de pares complexos conjugados de raízes relacionadas à equação característica, igual a α ± i β , onde P n (x) , Q k (x) , L m ( x e Nm (x) são polinômios de grau n, k, m, onde m = m a x (n, k). Encontrando coeficientes L m (x) e Nm (x)é produzido com base na igualdade y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) .

Exemplo 4

Encontre a solução geral y "" + 3 y " + 2 y = - e 3 x ((38 x + 45) sin (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x)) .

Solução

Fica claro a partir da condição que

α = 3 , β = 5 , P n (x) = - 38 x - 45 , Q k (x) = - 8 x + 5 , n = 1 , k = 1

Então m = m a x (n , k) = 1 . Encontramos y 0 escrevendo primeiro a equação característica da forma:

k 2 - 3 k + 2 = 0 D = 3 2 - 4 1 2 = 1 k 1 = 3 - 1 2 = 1, k 2 = 3 + 1 2 = 2

Descobrimos que as raízes são reais e distintas. Portanto y 0 = C 1 e x + C 2 e 2 x . Em seguida, é necessário procurar uma solução geral baseada em uma equação não homogênea y ~ da forma

y ~ = e α x (L m (x) sen (β x) + N m (x) cos (β x) x γ = = e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sen (5 x)) x 0 = = e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sen (5 x))

Sabe-se que A, B, C são coeficientes, r = 0, pois não há par de raízes conjugadas relacionadas à equação característica com α ± i β = 3 ± 5 · i . Esses coeficientes são encontrados a partir da igualdade resultante:

y ~ "" - 3 y ~ " + 2 y ~ = - e 3 x ((38 x + 45) sin (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x)) ⇔ (e 3 x (( A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x))) "" - - 3 (e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x))) = - e 3 x ((38 x + 45) sin (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x))

Encontrar a derivada e termos semelhantes dá

E 3 x ((15 A + 23 C) x sen (5 x) + + (10 A + 15 B - 3 C + 23 D) sen (5 x) + + (23 A - 15 C) x cos (5 x) + (- 3 A + 23 B - 10 C - 15 D) cos (5 x)) = = - e 3 x (38 x sen (5 x) + 45 sen (5 x) + + 8 x cos ( 5x) - 5 cos (5x))

Depois de igualar os coeficientes, obtemos um sistema da forma

15 A + 23 C = 38 10 A + 15 B - 3 C + 23 D = 45 23 A - 15 C = 8 - 3 A + 23 B - 10 C - 15 D = - 5 ⇔ A = 1 B = 1 C = 1 D = 1

De tudo segue que

y ~= e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x)) == e 3 x ((x + 1) cos (5 x) + (x +1)pecado(5x))

Responda: agora a solução geral da equação linear dada foi obtida:

y = y 0 + y ~ = = C 1 e x + C 2 e 2 x + e 3 x ((x + 1) cos (5 x) + (x + 1) sin (5 x))

Algoritmo para resolver LDNU

Definição 1

Qualquer outro tipo de função f(x) para a solução fornece para o algoritmo de solução:

encontrar a solução geral da equação homogênea linear correspondente, onde y 0 = C 1 ⋅ y 1 + C 2 ⋅ y 2 , onde 1 e ano 2 são soluções particulares linearmente independentes de LODE, A partir de 1 e De 2 são consideradas constantes arbitrárias;
aceitação como solução geral do LIDE y = C 1 (x) ⋅ y 1 + C 2 (x) ⋅ y 2 ;
definição de derivadas de uma função através de um sistema da forma C 1 "(x) + y 1 (x) + C 2 "(x) y 2 (x) = 0 C 1 "(x) + y 1" (x) ) + C 2 " (x) y 2 "(x) = f (x) , e encontrar funções C1(x) e C 2 (x) por integração.

Exemplo 5

Encontre a solução geral para y "" + 36 y = 24 sen (6 x) - 12 cos (6 x) + 36 e 6 x .

Solução

Continuamos escrevendo a equação característica, tendo escrito previamente y 0 , y "" + 36 y = 0 . Vamos escrever e resolver:

k 2 + 36 = 0 k 1 = 6 i , k 2 = - 6 i ⇒ y 0 = C 1 cos (6 x) + C 2 sen (6 x) ⇒ y 1 (x) = cos (6 x) , y 2 (x) = sen (6 x)

Temos que o registro da solução geral da equação dada tomará a forma y = C 1 (x) cos (6 x) + C 2 (x) sin (6 x) . É necessário passar para a definição de funções derivadas C1(x) e C2(x) de acordo com o sistema com equações:

C 1 "(x) cos (6 x) + C 2" (x) sin (6 x) = 0 C 1 "(x) (cos (6 x))" + C 2 "(x) (sin (6) x)) " = 0 ⇔ C 1 " (x) cos (6 x) + C 2 " (x) sen (6 x) = 0 C 1 " (x) (- 6 sen (6 x) + C 2 " (x) (6 cos (6 x)) \u003d \u003d 24 sen (6 x) - 12 cos (6 x) + 36 e 6 x

É preciso tomar uma decisão sobre C 1 "(x) e C2" (x) usando qualquer método. Então escrevemos:

C 1 "(x) \u003d - 4 sen 2 (6 x) + 2 sen (6 x) cos (6 x) - 6 e 6 x sen (6 x) C 2 "(x) \u003d 4 sen (6) x) cos (6 x) - 2 cos 2 (6 x) + 6 e 6 x cos (6 x)

Cada uma das equações deve ser integrada. Em seguida, escrevemos as equações resultantes:

C 1 (x) = 1 3 sen (6 x) cos (6 x) - 2 x - 1 6 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) - 1 2 e 6 x sin ( 6 x) + C 3 C 2 (x) = - 1 6 sin (6 x) cos (6 x) - x - 1 3 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) + 1 2 e 6 x sen (6 x) + C 4

Segue que a solução geral terá a forma:

y = 1 3 sin (6 x) cos (6 x) - 2 x - 1 6 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) - 1 2 e 6 x sin (6 x) + C 3 cos (6 x) + + - 1 6 sin (6 x) cos (6 x) - x - 1 3 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) + 1 2 e 6 x sen (6 x) + C 4 sen (6 x) = = - 2 x cos (6 x) - x sen (6 x) - 1 6 cos (6 x) + + 1 2 e 6 x + C 3 cos (6 x) + C 4 sen (6 x)

Responda: y = y 0 + y ~ = - 2 x cos (6 x) - x sen (6 x) - 1 6 cos (6 x) + + 1 2 e 6 x + C 3 cos (6 x) + C 4 sen (6x)

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Fundamentos da resolução de equações diferenciais lineares não homogêneas de segunda ordem (LNDE-2) com coeficientes constantes (PC)

Um CLDE de segunda ordem com coeficientes constantes $p$ e $q$ tem a forma $y""+p\cdot y"+q\cdot y=f\left(x\right)$, onde $f\left( x \right)$ é uma função contínua.

As duas afirmações a seguir são verdadeiras em relação ao 2º LNDE com PC.

Suponha que alguma função $U$ seja uma solução particular arbitrária de uma equação diferencial não homogênea. Vamos supor também que alguma função $Y$ é uma solução geral (OR) da equação diferencial homogênea linear correspondente (LODE) $y""+p\cdot y"+q\cdot y=0$. Então o OR de LHDE-2 é igual à soma das soluções particulares e gerais indicadas, ou seja, $y=U+Y$.

Se o lado direito do LIDE de 2ª ordem é a soma das funções, ou seja, $f\left(x\right)=f_(1) \left(x\right)+f_(2) \left(x\right) )+. ..+f_(r) \left(x\right)$, então primeiro você pode encontrar o PD $U_(1) ,U_(2) ,...,U_(r) $ que corresponde a cada das funções $f_( 1) \left(x\right),f_(2) \left(x\right),...,f_(r) \left(x\right)$, e depois disso escreva o LNDE-2 PD como $U=U_(1) +U_(2) +...+U_(r) $.

Solução de LNDE de 2ª ordem com PC

Obviamente, a forma de um ou outro PD $U$ de um dado LNDE-2 depende da forma específica de seu lado direito $f\left(x\right)$. Os casos mais simples de busca do PD do LNDE-2 são formulados como as quatro regras a seguir.

Regra número 1.

O lado direito do LNDE-2 tem a forma $f\left(x\right)=P_(n) \left(x\right)$, onde $P_(n) \left(x\right)=a_(0 ) \cdot x^(n) +a_(1) \cdot x^(n-1) +...+a_(n-1) \cdot x+a_(n) $, ou seja, é chamado de polinômio de grau $n$. Então seu PR $U$ é procurado na forma $U=Q_(n) \left(x\right)\cdot x^(r) $, onde $Q_(n) \left(x\right)$ é outro polinômio do mesmo grau que $P_(n) \left(x\right)$, e $r$ é o número de raízes nulas da equação característica do LODE-2 correspondente. Os coeficientes do polinômio $Q_(n) \left(x\right)$ são encontrados pelo método dos coeficientes indefinidos (NC).

Regra número 2.

O lado direito do LNDE-2 tem a forma $f\left(x\right)=e^(\alpha \cdot x) \cdot P_(n) \left(x\right)$, onde $P_(n) \left( x\right)$ é um polinômio de grau $n$. Então seu PD $U$ é procurado na forma $U=Q_(n) \left(x\right)\cdot x^(r) \cdot e^(\alpha \cdot x) $, onde $Q_(n ) \left(x\right)$ é outro polinômio do mesmo grau que $P_(n) \left(x\right)$, e $r$ é o número de raízes da equação característica do LODE-2 correspondente igual a $\alpha $. Os coeficientes do polinômio $Q_(n) \left(x\right)$ são encontrados pelo método NK.

Regra número 3.

A parte direita do LNDE-2 tem a forma $f\left(x\right)=a\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+b\cdot \sin \left(\beta \cdot x \right) $, onde $a$, $b$ e $\beta $ são números conhecidos. Então seu PD $U$ é procurado na forma $U=\left(A\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+B\cdot \sin \left(\beta \cdot x\right) )\right )\cdot x^(r) $, onde $A$ e $B$ são coeficientes desconhecidos, e $r$ é o número de raízes da equação característica do LODE-2 correspondente igual a $i\cdot \beta $. Os coeficientes $A$ e $B$ são encontrados pelo método END.

Regra número 4.

O lado direito do LNDE-2 tem a forma $f\left(x\right)=e^(\alpha \cdot x) \cdot \left$, onde $P_(n) \left(x\right)$ é um polinômio de grau $ n$, e $P_(m) \left(x\right)$ é um polinômio de grau $m$. Então seu PD $U$ é procurado na forma $U=e^(\alpha \cdot x) \cdot \left\cdot x^(r) $, onde $Q_(s) \left(x\right) $ e $ R_(s) \left(x\right)$ são polinômios de grau $s$, o número $s$ é o máximo de dois números $n$ e $m$, e $r$ é o número de raízes da equação característica do LODE-2 correspondente, igual a $\alpha +i\cdot \beta $. Os coeficientes dos polinômios $Q_(s) \left(x\right)$ e $R_(s) \left(x\right)$ são encontrados pelo método NK.

O método NK consiste em aplicar a seguinte regra. Para encontrar os coeficientes desconhecidos do polinômio, que fazem parte da solução particular da equação diferencial não homogênea LNDE-2, é necessário:

substituir o PD $U$, escrito de forma geral, na parte esquerda do LNDE-2;
no lado esquerdo do LNDE-2, faça simplificações e agrupe termos com as mesmas potências $x$;
na identidade resultante, igualar os coeficientes dos termos com as mesmas potências $x$ dos lados esquerdo e direito;
resolver o sistema resultante de equações lineares para coeficientes desconhecidos.

Exemplo 1

Tarefa: encontre o OR LNDE-2 $y""-3\cdot y"-18\cdot y=\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $. Encontre também o PR , satisfazendo as condições iniciais $y=6$ para $x=0$ e $y"=1$ para $x=0$.

Escreva o LODA-2 correspondente: $y""-3\cdot y"-18\cdot y=0$.

Equação característica: $k^(2) -3\cdot k-18=0$. As raízes da equação característica: $k_(1) =-3$, $k_(2) =6$. Essas raízes são reais e distintas. Assim, o OR do LODE-2 correspondente tem a forma: $Y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) $.

A parte direita deste LNDE-2 tem a forma $\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $. É necessário considerar o coeficiente do expoente do expoente $\alpha =3$. Este coeficiente não coincide com nenhuma das raízes da equação característica. Portanto, o PR deste LNDE-2 tem a forma $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^(3\cdot x) $.

Vamos procurar os coeficientes $A$, $B$ usando o método NK.

Encontramos a primeira derivada do CR:

$U"=\left(A\cdot x+B\right)^((") ) \cdot e^(3\cdot x) +\left(A\cdot x+B\right)\cdot \left( e^(3\cdot x) \right)^((") ) =$

$=A\cdot e^(3\cdot x) +\left(A\cdot x+B\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\left(A+3\cdot A\ cdot x+3\cdot B\right)\cdot e^(3\cdot x) .$

Encontramos a segunda derivada do CR:

$U""=\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)^((") ) \cdot e^(3\cdot x) +\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)\cdot \left(e^(3\cdot x) \right)^((") ) =$

$=3\cdot A\cdot e^(3\cdot x) +\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\left(6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B\right)\cdot e^(3\cdot x) .$

Substituímos as funções $U""$, $U"$ e $U$ em vez de $y""$, $y"$ e $y$ no dado LNDE-2 $y""-3\cdot y" -18\cdot y=\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x).$ Ao mesmo tempo, já que o expoente $e^(3\cdot x) $ está incluído como um fator em todos os componentes, então pode ser omitido.

$6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B-3\cdot \left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)-18\cdot \left(A\ cdot x+B\right)=36\cdot x+12.$

Realizamos ações no lado esquerdo da igualdade resultante:

$-18\cdot A\cdot x+3\cdot A-18\cdot B=36\cdot x+12.$

Usamos o método NC. Obtemos um sistema de equações lineares com duas incógnitas:

$-18\cdot A=36;$

$3\cdot A-18\cdot B=12.$

A solução para este sistema é: $A=-2$, $B=-1$.

O CR $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^(3\cdot x) $ para o nosso problema é assim: $U=\left(-2\cdot x-1\right ) \cdot e^(3\cdot x) $.

O OR $y=Y+U$ para o nosso problema é assim: $y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) + \ left(-2\cdot x-1\right)\cdot e^(3\cdot x) $.

Para procurar um PD que satisfaça as condições iniciais dadas, encontramos a derivada $y"$ OR:

$y"=-3\cdot C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +6\cdot C_(2) \cdot e^(6\cdot x) -2\cdot e^(3\ cdot x) +\left(-2\cdot x-1\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) .$

Substituímos em $y$ e $y"$ as condições iniciais $y=6$ por $x=0$ e $y"=1$ por $x=0$:

$6=C_(1) +C_(2) -1; $

$1=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -2-3=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -5.$

Temos um sistema de equações:

$C_(1) +C_(2) =7;$

$-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) =6.$

Nós resolvemos. Encontramos $C_(1) $ usando a fórmula de Cramer e $C_(2) $ é determinado a partir da primeira equação:

$C_(1) =\frac(\left|\begin(array)(cc) (7) & (1) \\ (6) & (6) \end(array)\right|)(\left|\ begin(array)(cc) (1) & (1) \\ (-3) & (6) \end(array)\right|) =\frac(7\cdot 6-6\cdot 1)(1\ cdot 6-\left(-3\right)\cdot 1) =\frac(36)(9) =4; C_(2) =7-C_(1) =7-4=3,$

Assim, o PD desta equação diferencial é: $y=4\cdot e^(-3\cdot x) +3\cdot e^(6\cdot x) +\left(-2\cdot x-1\right )\cdot e^(3\cdot x) $.

A palestra trata de LNDE - equações diferenciais não homogêneas lineares. A estrutura da solução geral, a solução de LNDE pelo método de variação de constantes arbitrárias, a solução de LNDE com coeficientes constantes e um lado direito de uma forma especial são consideradas. As questões em consideração são usadas no estudo de oscilações forçadas em física, engenharia elétrica e eletrônica e na teoria do controle automático.

1. A estrutura da solução geral de uma equação diferencial linear não homogênea de 2ª ordem.

Considere primeiro uma equação linear não homogênea de ordem arbitrária:

Dada a notação, podemos escrever:

Neste caso, assumiremos que os coeficientes e o lado direito desta equação são contínuos em um determinado intervalo.

Teorema. A solução geral de uma equação diferencial linear não homogênea em algum domínio é a soma de qualquer uma de suas soluções e a solução geral da equação diferencial homogênea linear correspondente.

Prova. Seja Y alguma solução de uma equação não homogênea.

Então, substituindo esta solução na equação original, obtemos a identidade:

Deixar
- sistema fundamental de soluções de uma equação linear homogênea
. Então a solução geral da equação homogênea pode ser escrita como:

Em particular, para uma equação diferencial linear não homogênea de 2ª ordem, a estrutura da solução geral tem a forma:

Onde
é o sistema fundamental de soluções da equação homogênea correspondente, e
- qualquer solução particular da equação não homogênea.

Assim, para resolver uma equação diferencial não homogênea linear, é necessário encontrar uma solução geral da equação homogênea correspondente e de alguma forma encontrar uma solução particular da equação não homogênea. Geralmente é encontrado por seleção. Os métodos de seleção de uma solução particular serão considerados nas questões a seguir.

2. Método de variação

Na prática, é conveniente aplicar o método de variação de constantes arbitrárias.

Para fazer isso, primeiro encontre a solução geral da equação homogênea correspondente na forma:

Em seguida, definindo os coeficientes C eu funções de X, a solução da equação não homogênea é procurada:

Pode-se mostrar que para encontrar as funções C eu (x) você precisa resolver o sistema de equações:

Exemplo. resolva a equação

Resolvemos uma equação linear homogênea

A solução da equação não homogênea será:

Construímos um sistema de equações:

Vamos resolver este sistema:

Da relação encontramos a função Oh).

Agora encontramos B(x).

Substituímos os valores obtidos na fórmula para a solução geral da equação não homogênea:

Resposta final:

De um modo geral, o método de variação de constantes arbitrárias é adequado para encontrar soluções para qualquer equação linear não homogênea. Mas desde encontrar o sistema fundamental de soluções da equação homogênea correspondente pode ser uma tarefa bastante difícil, este método é usado principalmente para equações não homogêneas com coeficientes constantes.

3. Equações com o lado direito de uma forma especial

Parece possível representar a forma de uma solução particular dependendo da forma do lado direito da equação não homogênea.

Existem os seguintes casos:

I. O lado direito da equação diferencial não homogênea linear tem a forma:

onde é um polinômio de grau m.

Em seguida, uma solução particular é procurada na forma:

Aqui Q(x) é um polinômio de mesmo grau que P(x) , mas com coeficientes indefinidos, e r- um número que mostra quantas vezes o número  é a raiz da equação característica para a equação diferencial homogênea linear correspondente.

Exemplo. resolva a equação
.

Resolvemos a equação homogênea correspondente:

Agora vamos encontrar uma solução particular da equação não homogênea original.

Vamos comparar o lado direito da equação com a forma do lado direito discutido acima.

Estamos procurando uma solução particular na forma:
, Onde

Aqueles.

Agora definimos os coeficientes desconhecidos MAS e NO.

Vamos substituir uma solução particular na forma geral na equação diferencial não homogênea original.

Então, uma solução privada:

Então a solução geral da equação diferencial não homogênea linear:

II. O lado direito da equação diferencial não homogênea linear tem a forma:

Aqui R 1 (X) e R 2 (X) são polinômios de grau m 1 e m 2 respectivamente.

Então a solução particular da equação não homogênea terá a forma:

onde número r mostra quantas vezes um número
é a raiz da equação característica para a equação homogênea correspondente, e Q 1 (x) e Q 2 (x) – polinômios de grau no máximo m, Onde m- o maior dos graus m 1 e m 2 .

Tabela resumida de tipos de soluções específicas

para diferentes tipos de peças certas

O lado direito da equação diferencial	equação característica	Tipos de privado
	1. O número não é a raiz da equação característica
	2. Número é a raiz da equação de multiplicidade característica
	1. Número não é uma raiz da equação característica
	2. Número é a raiz da equação característica da multiplicidade
	1. Números
	2. Números são as raízes da equação característica da multiplicidade
	1. Números não são raízes da equação de multiplicidade característica
	2. Números são as raízes da equação característica da multiplicidade

Observe que se o lado direito da equação é uma combinação de expressões da forma considerada acima, então a solução é encontrada como uma combinação de soluções de equações auxiliares, cada uma das quais tem um lado direito correspondente à expressão incluída na combinação.

Aqueles. se a equação se parece com:
, então uma solução particular desta equação será
Onde no 1 e no 2 são soluções particulares de equações auxiliares