Primeiro nível

Função derivada. Guia Completo (2019)

Imagine uma estrada reta passando por uma área montanhosa. Ou seja, sobe e desce, mas não vira para a direita ou para a esquerda. Se o eixo for direcionado horizontalmente ao longo da estrada e verticalmente, a linha da estrada será muito semelhante ao gráfico de alguma função contínua:

O eixo é um certo nível de altura zero, na vida usamos o nível do mar como ele.

Avançando por esse caminho, também estamos subindo ou descendo. Também podemos dizer: quando o argumento muda (deslocando-se ao longo do eixo das abcissas), o valor da função muda (deslocando-se ao longo do eixo das ordenadas). Agora vamos pensar em como determinar a "inclinação" da nossa estrada? Qual poderia ser esse valor? Muito simples: quanto mudará a altura ao avançar uma certa distância. De fato, em diferentes seções da estrada, avançando (ao longo da abscissa) um quilômetro, subiremos ou desceremos um número diferente de metros em relação ao nível do mar (ao longo das ordenadas).

Indicamos progresso para frente (leia "delta x").

A letra grega (delta) é comumente usada em matemática como um prefixo que significa "mudança". Isto é - esta é uma mudança de magnitude, - uma mudança; então, o que é? Isso mesmo, uma mudança no tamanho.

Importante: a expressão é uma entidade única, uma variável. Você nunca deve arrancar o "delta" do "x" ou qualquer outra letra! Isto é, por exemplo, .

Então, nós avançamos, horizontalmente, em frente. Se compararmos a linha da estrada com o gráfico de uma função, como denotamos o aumento? É claro, . Ou seja, quando avançamos, subimos mais alto.

É fácil calcular o valor: se no início estávamos em uma altura e depois de nos movermos estávamos em uma altura, então. Se o ponto final for inferior ao ponto inicial, será negativo - isso significa que não estamos subindo, mas descendo.

Voltar para "inclinação": este é um valor que indica o quanto (inclinado) a altura aumenta ao avançar por unidade de distância:

Suponha que em algum trecho do caminho, ao avançar por km, a estrada suba por km. Então a inclinação neste lugar é igual. E se a estrada, ao avançar por m, afundasse por km? Então a inclinação é igual.

Agora considere o topo de uma colina. Se você pegar o início da seção meio quilômetro até o topo e o final - meio quilômetro depois, poderá ver que a altura é quase a mesma.

Ou seja, de acordo com nossa lógica, verifica-se que a inclinação aqui é quase igual a zero, o que claramente não é verdade. Muita coisa pode mudar a apenas alguns quilômetros de distância. Áreas menores precisam ser consideradas para uma estimativa mais adequada e precisa da inclinação. Por exemplo, se você medir a mudança de altura ao mover um metro, o resultado será muito mais preciso. Mas mesmo essa precisão pode não ser suficiente para nós - afinal, se houver um poste no meio da estrada, podemos simplesmente passar por ele. Que distância devemos escolher então? Centímetro? Milímetro? Menos é melhor!

Na vida real, medir a distância ao milímetro mais próximo é mais que suficiente. Mas os matemáticos sempre lutam pela perfeição. Assim, o conceito foi infinitesimal, ou seja, o valor do módulo é menor que qualquer número que possamos nomear. Por exemplo, você diz: um trilionésimo! Quanto menos? E você divide esse número por - e será ainda menor. E assim por diante. Se quisermos escrever que o valor é infinitamente pequeno, escrevemos assim: (lemos “x tende a zero”). É muito importante entender que este número não é igual a zero! Mas muito perto disso. Isso significa que ele pode ser dividido em.

O conceito oposto ao infinitamente pequeno é infinitamente grande (). Você provavelmente já o encontrou quando estava trabalhando com desigualdades: esse número é maior em módulo do que qualquer número que você possa imaginar. Se você chegar ao maior número possível, basta multiplicá-lo por dois e você terá ainda mais. E o infinito é ainda mais do que acontece. De fato, infinitamente grandes e infinitamente pequenos são inversos um do outro, ou seja, at, e vice-versa: at.

Agora de volta à nossa estrada. A inclinação calculada idealmente é a inclinação calculada para um segmento infinitamente pequeno do caminho, ou seja:

Observo que com um deslocamento infinitamente pequeno, a mudança na altura também será infinitamente pequena. Mas deixe-me lembrá-lo que infinitamente pequeno não significa igual a zero. Se você dividir números infinitesimais entre si, poderá obter um número completamente comum, por exemplo. Ou seja, um valor pequeno pode ser exatamente duas vezes maior que outro.

Por que tudo isso? A estrada, a inclinação... Não vamos a um rally, mas estamos aprendendo matemática. E na matemática tudo é exatamente igual, só que chamado de forma diferente.

O conceito de derivação

A derivada de uma função é a razão entre o incremento da função e o incremento do argumento em um incremento infinitesimal do argumento.

Incremento em matemática é chamado de mudança. Quanto o argumento () mudou ao se mover ao longo do eixo é chamado incremento de argumento e denotado por quanto a função (altura) mudou ao avançar ao longo do eixo por uma distância é chamada incremento de função e está marcado.

Então, a derivada de uma função é a relação com quando. Denotamos a derivada com a mesma letra da função, apenas com um traço no canto superior direito: ou simplesmente. Então, vamos escrever a fórmula da derivada usando estas notações:

Como na analogia com a estrada, aqui, quando a função aumenta, a derivada é positiva e, quando diminui, é negativa.

Mas a derivada é igual a zero? É claro. Por exemplo, se estivermos dirigindo em uma estrada horizontal plana, a inclinação é zero. De fato, a altura não muda em nada. Assim com a derivada: a derivada de uma função constante (constante) é igual a zero:

uma vez que o incremento de tal função é zero para qualquer.

Vamos pegar o exemplo do topo da colina. Descobriu-se que era possível organizar as extremidades do segmento em lados opostos do vértice de modo que a altura nas extremidades fosse a mesma, ou seja, o segmento é paralelo ao eixo:

Mas grandes segmentos são um sinal de medição imprecisa. Vamos elevar nosso segmento paralelamente a si mesmo, então seu comprimento diminuirá.

No final, quando estivermos infinitamente perto do topo, o comprimento do segmento se tornará infinitamente pequeno. Mas, ao mesmo tempo, permaneceu paralelo ao eixo, ou seja, a diferença de altura em suas extremidades é igual a zero (não tende, mas é igual a). Então a derivada

Isso pode ser entendido da seguinte forma: quando estamos no topo, um pequeno deslocamento para a esquerda ou para a direita altera nossa altura de forma insignificante.

Há também uma explicação puramente algébrica: à esquerda do topo, a função aumenta e à direita, ela diminui. Como já vimos anteriormente, quando a função aumenta, a derivada é positiva e, quando diminui, é negativa. Mas muda suavemente, sem saltos (porque a estrada não muda sua inclinação acentuadamente em nenhum lugar). Portanto, deve haver entre valores negativos e positivos. Será onde a função não aumenta nem diminui - no ponto do vértice.

O mesmo vale para o vale (a área onde a função diminui à esquerda e aumenta à direita):

Um pouco mais sobre incrementos.

Então, alteramos o argumento para um valor. Mudamos de qual valor? O que ele (argumento) se tornou agora? Podemos escolher qualquer ponto, e agora vamos dançar a partir dele.

Considere um ponto com uma coordenada. O valor da função nele é igual. Então fazemos o mesmo incremento: aumenta a coordenada em. Qual é o argumento agora? Muito fácil: . Qual é o valor da função agora? Onde o argumento vai, a função vai lá: . E o incremento de função? Nada de novo: este ainda é o valor pelo qual a função mudou:

Pratique encontrar incrementos:

1. Encontre o incremento da função em um ponto com um incremento do argumento igual a.
2. O mesmo para uma função em um ponto.

Soluções:

Em pontos diferentes, com o mesmo incremento do argumento, o incremento da função será diferente. Isso significa que a derivada em cada ponto tem a sua própria (discutimos isso no início - a inclinação da estrada em diferentes pontos é diferente). Portanto, quando escrevemos uma derivada, devemos indicar em que ponto:

Função liga-desliga.

Uma função de poder é chamada de função onde o argumento é até certo ponto (lógico, certo?).

E - em qualquer medida: .

O caso mais simples é quando o expoente é:

Vamos encontrar sua derivada em um ponto. Lembre-se da definição de derivada:

Assim, o argumento muda de para. Qual é o incremento da função?

O incremento é. Mas a função em qualquer ponto é igual ao seu argumento. É por isso:

A derivada é:

A derivada de é:

b) Considere agora a função quadrática (): .

Agora vamos lembrar disso. Isso significa que o valor do incremento pode ser desprezado, pois é infinitamente pequeno e, portanto, insignificante no contexto de outro termo:

Então, temos outra regra:

c) Continuamos a série lógica: .

Essa expressão pode ser simplificada de diferentes maneiras: abra o primeiro colchete usando a fórmula da multiplicação abreviada do cubo da soma ou decomponha a expressão inteira em fatores usando a fórmula da diferença dos cubos. Tente fazer você mesmo em qualquer uma das maneiras sugeridas.

Então, obtive o seguinte:

E vamos lembrar disso novamente. Isso significa que podemos desprezar todos os termos contendo:

Nós temos: .

d) Regras semelhantes podem ser obtidas para grandes potências:

e) Acontece que esta regra pode ser generalizada para uma função potência com um expoente arbitrário, nem mesmo um inteiro:

(2)

Você pode formular a regra com as palavras: “o grau é apresentado como um coeficiente e depois diminui”.

Vamos provar esta regra mais tarde (quase no final). Agora vamos ver alguns exemplos. Encontre a derivada das funções:

1. (de duas formas: pela fórmula e usando a definição da derivada - contando o incremento da função);

1. . Acredite ou não, esta é uma função de poder. Se você tiver perguntas como “Como é? E onde está o diploma? ”, Lembre-se do tópico“ ”!
   Sim, sim, a raiz também é um grau, apenas fracionário:.
   Então nossa raiz quadrada é apenas uma potência com um expoente:
   .
   Estamos procurando a derivada usando a fórmula aprendida recentemente:

   Se neste ponto ficou claro novamente, repita o tópico "" !!! (cerca de um grau com um indicador negativo)

2. . Agora o expoente:

   E agora através da definição (você já esqueceu?):
   ;
   .
   Agora, como de costume, negligenciamos o termo que contém:
   .

3. . Combinação de casos anteriores: .

funções trigonométricas.

Aqui usaremos um fato da matemática superior:

Quando expressão.

Você aprenderá a prova no primeiro ano do instituto (e para chegar lá, você precisa passar bem no exame). Agora vou mostrar graficamente:

Vemos que quando a função não existe - o ponto no gráfico é perfurado. Mas quanto mais próximo do valor, mais próxima a função está, isso é o próprio “esforço”.

Além disso, você pode verificar esta regra com uma calculadora. Sim, sim, não seja tímido, leve uma calculadora, ainda não estamos no exame.

Então vamos tentar: ;

Não se esqueça de mudar a calculadora para o modo radianos!

etc. Vemos que quanto menor, mais próximo o valor da razão.

a) Considere uma função. Como de costume, encontramos seu incremento:

Vamos transformar a diferença de senos em um produto. Para fazer isso, usamos a fórmula (lembre-se do tópico ""):.

Agora a derivada:

Vamos fazer uma substituição: . Então, para infinitamente pequeno, também é infinitamente pequeno: . A expressão para toma a forma:

E agora nos lembramos disso com a expressão. E também, e se um valor infinitamente pequeno puder ser desprezado na soma (ou seja, at).

Assim, obtemos a seguinte regra: a derivada do seno é igual ao cosseno:

Estes são derivativos básicos (“tabela”). Aqui estão eles em uma lista:

Mais tarde, adicionaremos mais alguns a eles, mas esses são os mais importantes, pois são usados ​​com mais frequência.

Prática:

1. Encontre a derivada de uma função em um ponto;
2. Encontre a derivada da função.

Soluções:

1. Primeiro, encontramos a derivada em uma forma geral e, em seguida, substituímos seu valor:
   ;
   .
2. Aqui temos algo semelhante a uma função de potência. Vamos tentar trazê-la para
   visão normal:
   .
   Ok, agora você pode usar a fórmula:
   .
   .
3. . Eeeeee….. O que é isso????

Ok, você está certo, ainda não sabemos como encontrar tais derivadas. Aqui temos uma combinação de vários tipos de funções. Para trabalhar com eles, você precisa aprender mais algumas regras:

Expoente e logaritmo natural.

Existe tal função na matemática, cuja derivada para qualquer é igual ao valor da própria função para o mesmo. É chamado de "expoente" e é uma função exponencial

A base desta função - uma constante - é uma fração decimal infinita, ou seja, um número irracional (como). É chamado de "número de Euler", e é por isso que é indicado por uma letra.

Então a regra é:

É muito fácil de lembrar.

Bem, não iremos longe, consideraremos imediatamente a função inversa. Qual é a inversa da função exponencial? Logaritmo:

No nosso caso, a base é um número:

Tal logaritmo (isto é, um logaritmo com base) é chamado de “natural”, e usamos uma notação especial para ele: escrevemos em vez disso.

O que é igual? É claro, .

A derivada do logaritmo natural também é muito simples:

Exemplos:

1. Encontre a derivada da função.
2. Qual é a derivada da função?

Respostas: O expoente e o logaritmo natural são funções singularmente simples em termos da derivada. Funções exponenciais e logarítmicas com qualquer outra base terão uma derivada diferente, que analisaremos mais adiante, depois de passarmos pelas regras de diferenciação.

Regras de diferenciação

Que regras? Mais um novo termo, de novo?!...

Diferenciaçãoé o processo de encontrar a derivada.

Só e tudo. Qual é outra palavra para esse processo? Não proizvodnovanie... O diferencial da matemática é chamado o próprio incremento da função at. Este termo vem do latim differentia - diferença. Aqui.

Ao derivar todas essas regras, usaremos duas funções, por exemplo, e. Também precisaremos de fórmulas para seus incrementos:

São 5 regras no total.

A constante é retirada do sinal da derivada.

Se - algum número constante (constante), então.

Obviamente, essa regra também funciona para a diferença: .

Vamos provar isso. Deixe, ou mais fácil.

Exemplos.

Encontre derivadas de funções:

1. no ponto;
2. no ponto;
3. no ponto;
4. no ponto.

Soluções:

1. (a derivada é a mesma em todos os pontos, pois é uma função linear, lembra?);

Derivado de um produto

Tudo é semelhante aqui: introduzimos uma nova função e encontramos seu incremento:

Derivado:

Exemplos:

1. Encontrar derivadas de funções e;
2. Encontre a derivada de uma função em um ponto.

Soluções:

Derivada da função exponencial

Agora seu conhecimento é suficiente para aprender a encontrar a derivada de qualquer função exponencial, e não apenas o expoente (você já esqueceu o que é?).

Então, onde está algum número.

Já sabemos a derivada da função, então vamos tentar trazer nossa função para uma nova base:

Para fazer isso, usamos uma regra simples: . Então:

Bem, funcionou. Agora tente encontrar a derivada, e não esqueça que esta função é complexa.

Ocorrido?

Aqui, verifique você mesmo:

A fórmula ficou muito parecida com a derivada do expoente: como estava, fica, só apareceu um fator, que é só um número, mas não uma variável.

Exemplos:
Encontre derivadas de funções:

Respostas:

Este é apenas um número que não pode ser calculado sem uma calculadora, ou seja, não pode ser escrito de uma forma mais simples. Portanto, na resposta é deixado nesta forma.

Derivada de uma função logarítmica

Aqui é semelhante: você já conhece a derivada do logaritmo natural:

Portanto, para encontrar um arbitrário do logaritmo com uma base diferente, por exemplo, :

Precisamos trazer esse logaritmo para a base. Como você altera a base de um logaritmo? Espero que você se lembre desta fórmula:

Só que agora em vez de escreveremos:

O denominador acabou sendo apenas uma constante (um número constante, sem uma variável). A derivada é muito simples:

Derivadas das funções exponencial e logarítmica quase nunca são encontradas no exame, mas não será supérfluo conhecê-las.

Derivada de uma função complexa.

O que é uma "função complexa"? Não, isso não é um logaritmo e não um arco tangente. Essas funções podem ser difíceis de entender (embora se o logaritmo lhe pareça difícil, leia o tópico "Logaritmos" e tudo dará certo), mas em termos de matemática, a palavra "complexo" não significa "difícil".

Imagine um pequeno transportador: duas pessoas estão sentadas e realizando algumas ações com alguns objetos. Por exemplo, o primeiro envolve uma barra de chocolate em uma embalagem e o segundo a amarra com uma fita. Acontece que um objeto tão composto: uma barra de chocolate embrulhada e amarrada com uma fita. Para comer uma barra de chocolate, você precisa fazer os passos opostos na ordem inversa.

Vamos criar um pipeline matemático semelhante: primeiro encontraremos o cosseno de um número e, em seguida, elevaremos ao quadrado o número resultante. Então, eles nos dão um número (chocolate), eu encontro seu cosseno (embrulho), e então você ajusta o que eu tenho (amarre com uma fita). O que aconteceu? Função. Este é um exemplo de função complexa: quando, para encontrar seu valor, fazemos a primeira ação diretamente com a variável, e depois outra segunda ação com o que aconteceu como resultado da primeira.

Podemos muito bem fazer as mesmas ações na ordem inversa: primeiro você eleva ao quadrado, e então eu procuro o cosseno do número resultante:. É fácil adivinhar que o resultado quase sempre será diferente. Uma característica importante das funções complexas: quando a ordem das ações muda, a função muda.

Em outras palavras, Uma função complexa é uma função cujo argumento é outra função: .

Para o primeiro exemplo, .

Segundo exemplo: (mesmo). .

A última ação que fazemos será chamada função "externa", e a ação executada primeiro - respectivamente função "interna"(esses são nomes informais, eu os uso apenas para explicar o material em linguagem simples).

Tente determinar por si mesmo qual função é externa e qual é interna:

Respostas: A separação de funções internas e externas é muito semelhante à mudança de variáveis: por exemplo, na função

1. Que ação tomaremos primeiro? Primeiro calculamos o seno e só então o elevamos a um cubo. Portanto, é uma função interna, não externa.
   E a função original é a sua composição: .
2. Interno: ; externo: .
   Exame: .
3. Interno: ; externo: .
   Exame: .
4. Interno: ; externo: .
   Exame: .
5. Interno: ; externo: .
   Exame: .

mudamos as variáveis ​​e obtemos uma função.

Bem, agora vamos extrair nosso chocolate - procure o derivado. O procedimento é sempre inverso: primeiro procuramos a derivada da função externa, depois multiplicamos o resultado pela derivada da função interna. Para o exemplo original, fica assim:

Outro exemplo:

Então, vamos finalmente formular a regra oficial:

Algoritmo para encontrar a derivada de uma função complexa:

Tudo parece ser simples, certo?

Vamos verificar com exemplos:

Soluções:

1) Interno: ;

Externa: ;

2) Interno: ;

(só não tente reduzir agora! Nada é retirado de baixo do cosseno, lembra?)

3) Interno: ;

Externa: ;

Fica imediatamente claro que há uma função complexa de três níveis aqui: afinal, essa já é uma função complexa em si, e ainda extraímos a raiz dela, ou seja, realizamos a terceira ação (colocar chocolate em uma embalagem e com uma fita em uma maleta). Mas não há motivo para ter medo: de qualquer forma, vamos “descompactar” essa função na mesma ordem de sempre: do final.

Ou seja, primeiro diferenciamos a raiz, depois o cosseno e só então a expressão entre parênteses. E então multiplicamos tudo.

Nesses casos, é conveniente numerar as ações. Ou seja, vamos imaginar o que sabemos. Em que ordem executaremos as ações para calcular o valor dessa expressão? Vejamos um exemplo:

Quanto mais tarde a ação for executada, mais "externa" será a função correspondente. A sequência de ações - como antes:

Aqui o aninhamento é geralmente de 4 níveis. Vamos determinar o curso de ação.

1. Expressão radical. .

2. Raiz. .

3. Seio. .

4. Quadrado. .

5. Juntando tudo:

DERIVADO. BREVEMENTE SOBRE O PRINCIPAL

Função derivada- a razão entre o incremento da função e o incremento do argumento com um incremento infinitesimal do argumento:

Derivados básicos:

Regras de diferenciação:

A constante é retirada do sinal da derivada:

Derivada da soma:

Produto derivado:

Derivada do quociente:

Derivada de uma função complexa:

Algoritmo para encontrar a derivada de uma função complexa:

1. Definimos a função "interna", encontramos sua derivada.
2. Definimos a função "externa", encontramos sua derivada.
3. Multiplicamos os resultados do primeiro e segundo pontos.

Cálculo derivativoé uma das operações mais importantes do cálculo diferencial. Abaixo está uma tabela para encontrar derivadas de funções simples. Para regras de diferenciação mais complexas, veja outras lições:

• Tabela de derivadas de funções exponenciais e logarítmicas

Use as fórmulas fornecidas como valores de referência. Eles ajudarão na resolução de equações diferenciais e problemas. Na figura, na tabela de derivadas de funções simples, há uma "folha de dicas" dos principais casos de encontrar a derivada de uma forma que seja compreensível para uso, ao lado estão as explicações para cada caso.

Derivadas de funções simples

1. A derivada de um número é zero
с´ = 0
Exemplo:
5' = 0

Explicação:
A derivada mostra a taxa na qual o valor da função muda quando o argumento muda. Como o número não muda de forma alguma sob nenhuma condição, a taxa de sua mudança é sempre zero.

2. Derivada de uma variável igual a um
x' = 1

Explicação:
Com cada incremento do argumento (x) em um, o valor da função (resultado do cálculo) aumenta na mesma quantidade. Assim, a taxa de variação do valor da função y = x é exatamente igual à taxa de variação do valor do argumento.

3. A derivada de uma variável e um fator é igual a este fator
сx´ = с
Exemplo:
(3x)´ = 3
(2x)´ = 2
Explicação:
Neste caso, cada vez que o argumento da função ( X) seu valor (y) cresce em Com uma vez. Assim, a taxa de variação do valor da função em relação à taxa de variação do argumento é exatamente igual ao valor Com.

De onde se segue que
(cx + b)" = c
ou seja, a diferencial da função linear y=kx+b é igual à inclinação da reta (k).

4. Derivado de módulo de uma variávelé igual ao quociente desta variável ao seu módulo
|x|"= x / |x| desde que x ≠ 0
Explicação:
Como a derivada da variável (ver fórmula 2) é igual a um, a derivada do módulo difere apenas porque o valor da taxa de variação da função muda para o oposto ao cruzar o ponto de origem (tente desenhar um gráfico da função y = |x| e veja você mesmo. Este é exatamente o valor e retorna a expressão x / |x| Quando x< 0 оно равно (-1), а когда x >0 - um. Ou seja, com valores negativos da variável x, a cada aumento na mudança no argumento, o valor da função diminui exatamente no mesmo valor, e com valores positivos, ao contrário, aumenta, mas exatamente o mesmo valor.

5. Derivada de potência de uma variávelé igual ao produto do número desta potência e a variável na potência, reduzida por um
(xc)"=cxc-1, desde que x c ​​e cx c-1 sejam definidos e c ≠ 0
Exemplo:
(x 2)" = 2x
(x 3)" = 3x 2
Para memorizar a fórmula:
Pegue o expoente da variável "down" como um multiplicador e, em seguida, diminua o próprio expoente em um. Por exemplo, para x 2 - dois estava à frente de x, e então a potência reduzida (2-1 = 1) nos deu apenas 2x. A mesma coisa aconteceu para x 3 - abaixamos o triplo, reduzimos em um e, em vez de um cubo, temos um quadrado, ou seja, 3x 2 . Um pouco "não científico", mas muito fácil de lembrar.

6.Derivado de fração 1/x
(1/x)" = - 1 / x 2
Exemplo:
Uma vez que uma fração pode ser representada como elevando a uma potência negativa
(1/x)" = (x -1)" , então você pode aplicar a fórmula da regra 5 da tabela de derivadas
(x -1)" = -1x -2 = - 1 / x 2

7. Derivado de fração com uma variável de grau arbitrário no denominador
(1/xc)" = -c/xc+1
Exemplo:
(1 / x 2)" = - 2 / x 3

8. derivada raiz(derivada da variável sob a raiz quadrada)
(√x)" = 1 / (2√x) ou 1/2 x -1/2
Exemplo:
(√x)" = (x 1/2)" para que você possa aplicar a fórmula da regra 5
(x 1/2)" \u003d 1/2 x -1/2 \u003d 1 / (2√x)

9. Derivada de uma variável sob uma raiz de grau arbitrário
(n √ x)" = 1 / (n n √ x n-1)

Se seguirmos a definição, então a derivada de uma função em um ponto é o limite da razão de incremento da função Δ y para o incremento do argumento Δ x:

Tudo parece estar claro. Mas tente calcular por esta fórmula, digamos, a derivada da função f(x) = x 2 + (2x+ 3) · e x pecado x. Se você fizer tudo por definição, depois de algumas páginas de cálculos, você simplesmente adormecerá. Portanto, existem maneiras mais simples e eficazes.

Para começar, notamos que as chamadas funções elementares podem ser distinguidas de toda a variedade de funções. São expressões relativamente simples, cujas derivadas há muito são calculadas e inseridas na tabela. Essas funções são fáceis de lembrar, juntamente com suas derivadas.

Derivadas de funções elementares

Funções elementares são todas listadas abaixo. As derivadas dessas funções devem ser conhecidas de cor. Além disso, não é difícil memorizá-los - é por isso que são elementares.

Então, as derivadas de funções elementares:

Nome	Função	Derivado
Constante	f(x) = C, C ∈ R	0 (sim, sim, zero!)
Grau com expoente racional	f(x) = x n	n · x n − 1
Seio	f(x) = pecado x	porque x
Cosseno	f(x) = co x	− pecado x(menos seno)
Tangente	f(x) = tg x	1/cos 2 x
Co-tangente	f(x) = ctg x	− 1/sen2 x
Logaritmo natural	f(x) = log x	1/x
Logaritmo arbitrário	f(x) = log uma x	1/(x ln uma)
Função exponencial	f(x) = e x	e x(nada mudou)

Se uma função elementar é multiplicada por uma constante arbitrária, a derivada da nova função também é facilmente calculada:

(C · f)’ = C · f ’.

Em geral, as constantes podem ser retiradas do sinal da derivada. Por exemplo:

(2x 3)' = 2 ( x 3)' = 2 3 x 2 = 6x 2 .

Obviamente, funções elementares podem ser adicionadas umas às outras, multiplicadas, divididas e muito mais. É assim que surgirão novas funções, não mais elementares, mas também diferenciáveis ​​de acordo com certas regras. Essas regras são discutidas abaixo.

Derivada de soma e diferença

Deixe as funções f(x) e g(x), cujos derivados são conhecidos por nós. Por exemplo, você pode pegar as funções elementares discutidas acima. Então você pode encontrar a derivada da soma e diferença dessas funções:

1. (f + g)’ = f ’ + g ’
2. (f − g)’ = f ’ − g ’

Assim, a derivada da soma (diferença) de duas funções é igual à soma (diferença) das derivadas. Pode haver mais termos. Por exemplo, ( f + g + h)’ = f ’ + g ’ + h ’.

Estritamente falando, não há conceito de "subtração" em álgebra. Existe um conceito de "elemento negativo". Portanto, a diferença f − g pode ser reescrito como uma soma f+ (−1) g, e então resta apenas uma fórmula - a derivada da soma.

f(x) = x 2 + senx; g(x) = x 4 + 2x 2 − 3.

Função f(x) é a soma de duas funções elementares, então:

f ’(x) = (x 2+ pecado x)’ = (x 2)' + (pecado x)’ = 2x+ cosx;

Argumentamos de forma semelhante para a função g(x). Só que já existem três termos (do ponto de vista da álgebra):

g ’(x) = (x 4 + 2x 2 − 3)’ = (x 4 + 2x 2 + (−3))’ = (x 4)’ + (2x 2)’ + (−3)’ = 4x 3 + 4x + 0 = 4x · ( x 2 + 1).

Responda:
f ’(x) = 2x+ cosx;
g ’(x) = 4x · ( x 2 + 1).

Derivado de um produto

A matemática é uma ciência lógica, então muitas pessoas acreditam que se a derivada da soma é igual à soma das derivadas, então a derivada do produto ataque"\u003e igual ao produto das derivadas. Mas figos para você! A derivada do produto é calculada usando uma fórmula completamente diferente. A saber:

(f · g) ’ = f ’ · g + f · g ’

A fórmula é simples, mas muitas vezes esquecida. E não só os alunos, mas também os alunos. O resultado são problemas resolvidos incorretamente.

Uma tarefa. Encontre derivadas de funções: f(x) = x 3 cox; g(x) = (x 2 + 7x− 7) · e x .

Função f(x) é um produto de duas funções elementares, então tudo é simples:

f ’(x) = (x 3 cos x)’ = (x 3)' cos x + x 3 (cos x)’ = 3x 2 cos x + x 3 (−pecado x) = x 2 (3cos x − x pecado x)

Função g(x) o primeiro multiplicador é um pouco mais complicado, mas o esquema geral não muda a partir disso. Obviamente, o primeiro multiplicador da função g(x) é um polinômio, e sua derivada é a derivada da soma. Nós temos:

g ’(x) = ((x 2 + 7x− 7) · e x)’ = (x 2 + 7x− 7)' · e x + (x 2 + 7x− 7) ( e x)’ = (2x+ 7) · e x + (x 2 + 7x− 7) · e x = e x(2 x + 7 + x 2 + 7x −7) = (x 2 + 9x) · e x = x(x+ 9) · e x .

Responda:
f ’(x) = x 2 (3cos x − x pecado x);
g ’(x) = x(x+ 9) · e x .

Observe que na última etapa, a derivada é fatorada. Formalmente, isso não é necessário, mas a maioria das derivadas não é calculada por conta própria, mas para explorar a função. Isso significa que mais a derivada será igualada a zero, seus sinais serão descobertos e assim por diante. Nesse caso, é melhor ter uma expressão decomposta em fatores.

Se houver duas funções f(x) e g(x), e g(x) ≠ 0 no conjunto de nosso interesse, podemos definir uma nova função h(x) = f(x)/g(x). Para tal função, você também pode encontrar a derivada:

Não é fraco, certo? De onde veio o menos? Por que g 2? Mas assim! Esta é uma das fórmulas mais complexas - você não pode descobrir sem uma garrafa. Portanto, é melhor estudá-lo com exemplos específicos.

Uma tarefa. Encontre derivadas de funções:

Existem funções elementares no numerador e denominador de cada fração, então tudo o que precisamos é a fórmula para a derivada do quociente:

Por tradição, fatoramos o numerador em fatores - isso simplificará bastante a resposta:

Uma função complexa não é necessariamente uma fórmula com meio quilômetro de comprimento. Por exemplo, basta tomar a função f(x) = pecado x e substitua a variável x, digamos, em x 2+ln x. Acontece que f(x) = pecado ( x 2+ln x) é uma função complexa. Ela também tem uma derivada, mas não funcionará para encontrá-la de acordo com as regras discutidas acima.

Como ser? Nesses casos, a substituição de uma variável e a fórmula para a derivada de uma função complexa ajudam:

f ’(x) = f ’(t) · t', E se xé substituído por t(x).

Via de regra, a situação com a compreensão desta fórmula é ainda mais triste do que com a derivada do quociente. Portanto, também é melhor explicá-lo com exemplos específicos, com uma descrição detalhada de cada etapa.

Uma tarefa. Encontre derivadas de funções: f(x) = e 2x + 3 ; g(x) = pecado ( x 2+ln x)

Observe que se na função f(x) em vez da expressão 2 x+ 3 será fácil x, então obtemos uma função elementar f(x) = e x. Portanto, fazemos uma substituição: seja 2 x + 3 = t, f(x) = f(t) = e t. Estamos procurando a derivada de uma função complexa pela fórmula:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (e t)’ · t ’ = e t · t ’

E agora - atenção! Executando uma substituição reversa: t = 2x+ 3. Obtemos:

f ’(x) = e t · t ’ = e 2x+ 3 (2 x + 3)’ = e 2x+ 3 2 = 2 e 2x + 3

Agora vamos ver a função g(x). Obviamente precisa ser substituído. x 2+ln x = t. Nós temos:

g ’(x) = g ’(t) · t' = (pecado t)’ · t' = co t · t ’

Substituição reversa: t = x 2+ln x. Então:

g ’(x) = cos( x 2+ln x) · ( x 2+ln x)' = cos( x 2+ln x) · (2 x + 1/x).

Isso é tudo! Como pode ser visto na última expressão, todo o problema foi reduzido ao cálculo da derivada da soma.

Responda:
f ’(x) = 2 e 2x + 3 ;
g ’(x) = (2x + 1/x) cos( x 2+ln x).

Muitas vezes nas minhas aulas, em vez do termo “derivado”, uso a palavra “stroke”. Por exemplo, o traço da soma é igual à soma dos traços. Isso é mais claro? Bem, isso é bom.

Assim, o cálculo da derivada se resume a se livrar desses mesmos traços de acordo com as regras discutidas acima. Como exemplo final, voltemos à potência derivada com um expoente racional:

(x n)’ = n · x n − 1

Poucos sabem que no papel n pode ser um número fracionário. Por exemplo, a raiz é x 0,5. Mas e se houver algo complicado sob a raiz? Novamente, uma função complexa resultará - eles gostam de dar essas construções em testes e exames.

Uma tarefa. Encontre a derivada de uma função:

Primeiro, vamos reescrever a raiz como uma potência com um expoente racional:

f(x) = (x 2 + 8x − 7) 0,5 .

Agora fazemos uma substituição: seja x 2 + 8x − 7 = t. Encontramos a derivada pela fórmula:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (t 0,5)' t' = 0,5 t-0,5 t ’.

Fazemos uma substituição inversa: t = x 2 + 8x− 7. Temos:

f ’(x) = 0,5 ( x 2 + 8x− 7) −0,5 ( x 2 + 8x− 7)' = 0,5 (2 x+ 8) ( x 2 + 8x − 7) −0,5 .

Por fim, de volta às raízes:

1- Derivado, significado em diferentes tarefas e propriedades

1.1. O conceito de derivação

Deixe a função no– f(x) definido no intervalo D. Tome algum valor X0 D e considere o incremento ∆ X: x0 +∆x D. Se houver um limite para a razão da mudança (incremento) da função para o incremento correspondente do argumento, quando este tende a para zero, então é chamado função derivada no= f(x) no ponto x = x0:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image003_45.jpg" width="331" height="39 src=">

O processo de encontrar derivadas é chamado diferenciação .

Se um f"(x) é finito para cada x D, então a função no= f(x) chamado diferenciável dentro D. Uma formulação precisa da diferenciabilidade de uma função e um critério para a diferenciabilidade de uma função serão dados na Seção 1.5.

Usando a definição de derivada, obtemos algumas regras de derivação e derivadas das principais funções elementares, que então resumimos em tabelas.

10. A derivada de uma constante é zero:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image006_35.jpg" width="236" height="27">

Sério,

Em particular,

30 . Para função y = x2 derivado y' = 2x.

Para derivar esta fórmula, encontramos o incremento da função:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image011_23.jpg" width="72" height="35">.jpg" width="104 height=33" height="33">Usando o fórmula binomial Newton, pode-se mostrar que para uma função de potência

1.2. O conceito de uma derivada unilateral

Nos fundamentos do cálculo para uma função no=f(x) os conceitos de limites esquerdo e direito em um ponto foram introduzidos uma:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image015_18.jpg" width="358" height="37 src=">

derivada da direita -

Lembre-se que para a existência de um limite finito da função no= f(x) no ponto x = aé necessário e suficiente que os limites esquerdo e direito da função neste ponto sejam finitos e iguais:

(x - 0) = f’(x + 0).

1.3. O conceito de derivadas de ordem superior

Deixe para a função no= f(x) definido no set D, existe uma derivada no"= f"(x) a cada x D, t. e. a derivada é uma função, e para ela pode-se colocar a questão da existência de uma derivada. Derivada da primeira derivada, se existir - segunda derivada desta função ou derivada de segunda ordem

https://pandia.ru/text/78/516/images/image019_12.jpg" width="127" height="46 src=">

derivada de enésima ordem

0, e"" = 0,...y(n) = 0. Para a função y = x2 derivado você'= 2x. Então no"= 2, no""= 0,.., y(n) = 0.

1.4. Interpretações geométricas e mecânicas da derivada

1.4.1. O significado mecânico da derivada. O problema da velocidade e aceleração do movimento não uniforme

Deixe a dependência do caminho percorrido pelo corpo no tempo t, é descrito pela função s = s(t), e a velocidade de movimento e aceleração, respectivamente, pelas funções v = v(t), uma = uma(t). Se o corpo se move uniformemente, então, como é conhecido da física, s = v, ou seja v = s/ t. Se o corpo está se movendo com aceleração uniforme e você= 0, então aceleração uma = v/ t.

Se o movimento não for uniforme e uniformemente acelerado, então o valor médio da velocidade e da aceleração durante um período de tempo Δ t são obviamente iguais, respectivamente.

Deixar v(t)- velocidade de movimento, uma(t)- aceleração no tempo t.

Então, assim,

Desde que existam os últimos limites.

O significado mecânico da derivada: derivada de caminhos = s(t) nãoTempoté a velocidade instantânea do ponto material, ou seja,v(t)= s"(t). A segunda derivada do caminho em relação ao tempo- aceleração, ou sejas""(t)= v"(t)=a(t).

Com a introdução do conceito de derivada de uma função, segundo F. Engels, o movimento chegou à matemática, pois a derivada significa a taxa de variação de qualquer processo, por exemplo: o processo de aquecimento ou resfriamento de um corpo, a taxa de uma reação química ou nuclear, etc.

Exemplo 1.1. A quantidade de eletricidade (em coulombs) que flui através de um condutor é determinada pela lei Q = 2 t2 + 3 t + 4 . Encontre a corrente no final do terceiro segundo.

Solução. Força atual EU = Q" = 4 t+3. No t = 3 EU=15 k/s=15A.

1.4.2.3 Problema tangente. O significado geométrico da derivada

Deixe a função no= f(x) definida e contínua em um ponto X= x0 e em alguma vizinhança deste ponto. Vamos descobrir o significado geométrico da derivada de uma função.

Para resolver este problema, procedemos da seguinte forma. Tome um ponto no gráfico da função (Fig. 1.1) М(х0 + Δх, y0 + Δу) e desenhe uma secante M0M. Vamos fazer um ponto M ao ponto M0, ou seja, Δ x → 0. ponto M()é fixo, então a secante no limite tomará a posição de uma tangente PARA.

Tangente ao gráfico da função y= f(x) epontoM0 é chamada de posição limite da secante M0M, desde que o ponto M tenda ao ponto M0 ao longo da curva Gf- gráficos de funçõesy = f(x).

Então a inclinação da secante M0M

no limite torna-se igual à inclinação da tangente:

{ x0 ) = tga, onde α é o ângulo entre a tangente e a direção positiva do eixo Ox(ver fig. 1.1).

Como é conhecido da geometria analítica, a equação de uma linha reta que passa por um ponto ( x0, y0) e tendo uma inclinação k vai ser

y - y0 =k(x-x0).

Então, levando em conta o significado geométrico da derivada, equação tangente (PARA) para o gráfico da função no= f(x) no ponto (x0, y0) tem a forma

(K) y =f(x0 ) + f"(x0 )(x- x0 ).

Equação Normal (N) - perpendicular à tangente no ponto de contato:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image028_9.jpg" width="500" height="41 src=">

(Oh)- cerca de-pequeno de Δx).

Teorema. Para a função no= f(x) era diferenciável no ponto x D), é necessário e suficiente que neste ponto tenha uma derivada finita y' =f"(x).

Prova . Precisar. Deixe a função y= f(x) diferenciável em x D, ou seja, a relação (1.1) é válida. Então, pela definição da derivada, levando em consideração (1.1)

https://pandia.ru/text/78/516/images/image030_9.jpg" width="130" height="45 src=">

Então, com base no teorema da conexão entre uma função, seu limite e uma quantidade infinitesimal

https://pandia.ru/text/78/516/images/image032_8.jpg" width="221" height="28 src=">

pode ser representado como a soma de dois termos, o primeiro dos quais é proporcional ao incremento do argumento Δх com fator de proporcionalidade f'(X), e o segundo é uma ordem infinitesimal superior a Δх, ou seja, (1.1) é válido e, portanto, a função é diferenciável no ponto x D.

Observe que a razão

https://pandia.ru/text/78/516/images/image034_10.jpg" width="170" height="64 src=">

https://pandia.ru/text/78/516/images/image036_10.jpg" width="232" height="52">(-0 )=-1 , y"(+0)=1, mas a função é contínua para X= 0.

1.6. Regras de diferenciação

1 . Diferenciação da soma algébrica de funções. A soma algébrica de um número finito de funções diferenciáveis ​​é uma função diferenciável, e a derivada da soma algébrica das funções é igual à soma algébrica das derivadas. Por exemplo: para duas funções

https://pandia.ru/text/78/516/images/image039_8.jpg" width="280" height="91 src=">

Considere alterar a função e ±v ao mudar o argumento Δ X:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image041_9.jpg" width="260" height="55 src=">

Como o limite de cada termo existe e é finito pela condição, o limite da soma algébrica é igual à soma algébrica dos limites. ou seja, função (e ±v) diferenciável em um ponto arbitrário X e (você± v)" = você’ ± v’ . A afirmação foi comprovada.

2°. Diferenciação do produto de funções . O produto de duas funções diferenciáveis ​​é uma função diferenciável, enquanto a derivada do produto é igual ao produto da derivada do primeiro fator pelo segundo sem variação, mais o primeiro fator multiplicado pela derivada do segundo:

(ev) = e"v + uv".

A regra acima pode ser facilmente generalizada para o produto de qualquer número finito de funções diferenciáveis, por exemplo.

Prova. Por condição em um ponto arbitrário x D

Ao alterar Δ X mudança de função

representar na forma

https://pandia.ru/text/78/516/images/image046_7.jpg" width="501" height="95">

Uma vez que, devido à diferenciabilidade, e

limite Δ v = 0 devido à continuidade da função, depois pelas propriedades dos limites

Δх→ O

(uv)" = u"v + uv".

Como consequência da regra de diferenciação de um produto de funções, convidamos os leitores a obter a derivada de uma função potência un,n N :

(en)’ = freira-1 e'

3° Corolário de 2°. O fator constante pode ser retirado do sinal

derivado:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image048_6.jpg" width="136" height="58 src=">

Prova. Ao alterar Δ X considerar mudanças em funções diferenciáveis u = u(x),v= v(x) ≠ 0:

Δ u = [u(x+ Δх) - eles)],Δ v = [ v(x+ Δх) - v(x)].

Os valores da função modificada serão: e + Aw, v + Av,

https://pandia.ru/text/78/516/images/image050_7.jpg" width="416" height="67 src=">

Funções e= w(x),v = v(x) ≠ 0 são diferenciáveis ​​por condição e, portanto, também contínuas, ou seja.

De acordo com as propriedades dos limites

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6 . Diferenciação de funções complexas . Deixe a função no= f(e) é diferenciável em relação a X, função e= eles) diferenciável em relação a X. Então a função complexa no= f(você(x)) diferenciável em relação a X, e

y"=f"(você)∙ você"

Prova . Devido à diferenciabilidade de funções f(você), você(x) e propriedades de limite

F(u)-u"(v)"v"(x).

70. Diferenciação de função inversa . Deixe a função y=f(x) diferenciável em relação a X e y "x ≠ 0. Então a função inversa x =g(no) é diferenciável em relação a no e x "y \u003d 1 / y" x

Prova. Sério,

Para facilitar o uso, apresentamos as regras básicas de diferenciação na Tabela 1.

tabela 1

Regras de diferenciação

Número da fórmula
	c =const, c" = 0.
	(você± v)" =você"± v", e= eles),v = v(x).
	(u ∙ v)= c ∙ v" + u ∙ v".
	(c ∙ v)" = c ∙ v",Com = const.
	y = f(u), u = u(x)=>y" = f"(u) ∙ u.
	y= f(x\ x = g(y)=>x"no =
	(uv)"=vuv-1u"+uv ln u ∙ v"

1.7.

Usando a definição da derivada de uma função e as regras de diferenciação, encontramos as derivadas das funções elementares básicas, que são apresentadas na Tabela 2 abaixo.

mesa 2

Derivadas de funções elementares básicas

	Funções simples	Funções complexas

Definição. Seja a função \(y = f(x) \) definida em algum intervalo contendo o ponto \(x_0 \) dentro. Vamos incrementar \(\Delta x \) no argumento para não sair desse intervalo. Encontre o incremento correspondente da função \(\Delta y \) (ao passar do ponto \(x_0 \) para o ponto \(x_0 + \Delta x \)) e componha a relação \(\frac(\Delta y )(\Delta x)\). Se houver um limite desta relação em \(\Delta x \rightarrow 0 \), então o limite indicado é chamado função derivada\(y=f(x) \) no ponto \(x_0 \) e denotam \(f"(x_0) \).

$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x_0) $$

O símbolo y é frequentemente usado para denotar a derivada. Observe que y" = f(x) é uma nova função, mas naturalmente associada à função y = f(x), definida em todos os pontos x nos quais existe o limite acima. Essa função é chamada assim: derivada da função y \u003d f (x).

O significado geométrico da derivada consiste no seguinte. Se uma tangente que não é paralela ao eixo y pode ser desenhada no gráfico da função y \u003d f (x) em um ponto com a abcissa x \u003d a, então f (a) expressa a inclinação da tangente:
\(k = f"(a)\)

Como \(k = tg(a) \), a igualdade \(f"(a) = tg(a) \) é verdadeira.

E agora interpretamos a definição da derivada em termos de igualdades aproximadas. Seja a função \(y = f(x) \) ter uma derivada em um ponto particular \(x \):
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x) $$
Isso significa que perto do ponto x, a igualdade aproximada \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \approx f"(x) \), ou seja, \(\Delta y \approx f"(x) \cdot \Deltax\). O significado significativo da igualdade aproximada obtida é o seguinte: o incremento da função é “quase proporcional” ao incremento do argumento, e o coeficiente de proporcionalidade é o valor da derivada em um dado ponto x. Por exemplo, para a função \(y = x^2 \) a igualdade aproximada \(\Delta y \approx 2x \cdot \Delta x \) é verdadeira. Se analisarmos cuidadosamente a definição da derivada, descobriremos que ela contém um algoritmo para encontrá-la.

Vamos formular.

Como encontrar a derivada da função y \u003d f (x) ?

1. Corrija o valor \(x \), encontre \(f(x) \)
2. Incremente o argumento \(x \) \(\Delta x \), mova para um novo ponto \(x+ \Delta x \), encontre \(f(x+ \Delta x) \)
3. Encontre o incremento da função: \(\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) \)
4. Componha a relação \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \)
5. Calcule $$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) $$
Este limite é a derivada da função em x.

Se a função y = f(x) tem uma derivada no ponto x, então ela é dita diferenciável no ponto x. O procedimento para encontrar a derivada da função y \u003d f (x) é chamado diferenciação funções y = f(x).

Vamos discutir a seguinte questão: como a continuidade e a diferenciabilidade de uma função em um ponto estão relacionadas?

Seja a função y = f(x) diferenciável no ponto x. Então uma tangente pode ser desenhada para o gráfico da função no ponto M (x; f (x)) e, lembre-se, a inclinação da tangente é igual a f "(x). Tal gráfico não pode "quebrar" em o ponto M, ou seja, a função deve ser contínua em x.

Era raciocinar "nos dedos". Vamos apresentar um argumento mais rigoroso. Se a função y = f(x) é diferenciável no ponto x, então a igualdade aproximada \(\Delta y \approx f"(x) \cdot \Delta x \) é válida. zero, então \(\Delta y \ ) também tenderá a zero, e esta é a condição para a continuidade da função em um ponto.

Então, se uma função é diferenciável em um ponto x, então ela também é contínua nesse ponto.

O inverso não é verdadeiro. Por exemplo: função y = |x| é contínua em todos os lugares, em particular no ponto x = 0, mas a tangente ao gráfico da função no “ponto comum” (0; 0) não existe. Se em algum ponto for impossível desenhar uma tangente ao gráfico da função, então não há derivada neste ponto.

Mais um exemplo. A função \(y=\sqrt(x) \) é contínua em toda a reta numérica, inclusive no ponto x = 0. E a tangente ao gráfico da função existe em qualquer ponto, inclusive no ponto x = 0 . Mas neste ponto a tangente coincide com o eixo y, ou seja, é perpendicular ao eixo das abcissas, sua equação tem a forma x \u003d 0. Não há inclinação para essa linha reta, o que significa que \ ( f "(0) \) também não existe

Então, nos familiarizamos com uma nova propriedade de uma função - diferenciabilidade. Como você pode saber se uma função é diferenciável do gráfico de uma função?

A resposta é realmente dada acima. Se em algum ponto uma tangente pode ser desenhada no gráfico de uma função que não é perpendicular ao eixo x, então neste ponto a função é diferenciável. Se em algum ponto a tangente ao gráfico da função não existir ou for perpendicular ao eixo x, então neste ponto a função não é diferenciável.

Regras de diferenciação

A operação de encontrar a derivada é chamada diferenciação. Ao realizar esta operação, muitas vezes você precisa trabalhar com quocientes, somas, produtos de funções, bem como com "funções de funções", ou seja, funções complexas. Com base na definição da derivada, podemos derivar regras de diferenciação que facilitam este trabalho. Se C é um número constante e f=f(x), g=g(x) são algumas funções diferenciáveis, então as seguintes são verdadeiras regras de diferenciação:

$$ C"=0 $$ $$ x"=1 $$ $$ (f+g)"=f"+g" $$ $$ (fg)"=f"g + fg" $$ $$ ( Cf)"=Cf" $$ $$ \left(\frac(f)(g) \right) " = \frac(f"g-fg")(g^2) $$ $$ \left(\frac (C)(g) \right) " = -\frac(Cg")(g^2) $$ Derivada da função composta:
$$ f"_x(g(x)) = f"_g \cdot g"_x $$

Tabela de derivadas de algumas funções

$$ \left(\frac(1)(x) \right) " = -\frac(1)(x^2) $$ $$ (\sqrt(x)) " = \frac(1)(2\ sqrt(x)) $$ $$ \left(x^a \right) " = a x^(a-1) $$ $$ \left(a^x \right) " = a^x \cdot \ln a $$ $$ \left(e^x \right) " = e^x $$ $$ (\ln x)" = \frac(1)(x) $$ $$ (\log_a x)" = \frac (1)(x\ln a) $$ $$ (\sin x)" = \cos x $$ $$ (\cos x)" = -\sin x $$ $$ (\text(tg) x) " = \frac(1)(\cos^2 x) $$ $$ (\text(ctg) x)" = -\frac(1)(\sin^2 x) $$ $$ (\arcsin x) " = \frac(1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\arccos x)" = \frac(-1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(1)(1+x^2) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(-1)(1+x^2) $ $