Mecânica.

Questão 1

Sistema de referência. Sistemas de referência inerciais. Princípio da relatividade de Galileu-Einstein.

sistema de referência- trata-se de um conjunto de corpos em relação aos quais se descreve o movimento de um determinado corpo e o sistema de coordenadas a ele associado.

Sistema de Referência Inercial (ISO)- um sistema no qual um corpo em movimento livre está em repouso ou em movimento retilíneo uniforme.

Princípio da relatividade de Galileu-Einstein- Todos os fenômenos da natureza em qualquer referencial inercial ocorrem da mesma maneira e têm a mesma forma matemática. Em outras palavras, todos os ISOs são iguais.

Questão 2

A equação do movimento. Tipos de movimento de um corpo rígido. A principal tarefa da cinemática.

Equações de movimento de um ponto material:

- equação cinemática do movimento

Tipos de movimento de um corpo rígido:

1) Movimento de translação - qualquer linha reta traçada no corpo se move paralelamente a si mesma.

2) Movimento rotacional - qualquer ponto do corpo se move em círculo.

φ = φ(t)

A principal tarefa da cinemática- isto é obter as dependências do tempo da velocidade V = V(t) e as coordenadas (ou vetor de raio) r = r(t) de um ponto material a partir da dependência temporal conhecida de sua aceleração a = a(t) e o condições iniciais conhecidas V 0 e r 0 .

Pergunta nº 7

Pulso (Número de movimento) é uma grandeza física vetorial que caracteriza a medida do movimento mecânico do corpo. Na mecânica clássica, a quantidade de movimento de um corpo é igual ao produto da massa m este ponto para a sua velocidade v, a direção do momento coincide com a direção do vetor velocidade:

Na mecânica teórica impulso generalizadoé a derivada parcial da Lagrangiana do sistema em relação à velocidade generalizada

Se a Lagrangiana do sistema não depende de algum coordenada generalizada, então devido Equações de Lagrange .

Para uma partícula livre, a função de Lagrange tem a forma: , portanto:

A independência da Lagrangiana de um sistema fechado de sua posição no espaço decorre da propriedade homogeneidade do espaço: para um sistema bem isolado, seu comportamento não depende de onde no espaço o colocamos. Por Teorema de Noether essa homogeneidade implica a conservação de alguma quantidade física. Essa quantidade é chamada de impulso (comum, não generalizado).

Na mecânica clássica, complete impulso O sistema de pontos materiais é chamado de grandeza vetorial igual à soma dos produtos das massas dos pontos materiais em sua velocidade:

consequentemente, a quantidade é chamada de momento de um ponto material. É uma grandeza vetorial direcionada na mesma direção da velocidade da partícula. A unidade de momento no Sistema Internacional de Unidades (SI) é quilograma metro por segundo(kg m/s)

Se estamos lidando com um corpo de tamanho finito, para determinar seu momento, é necessário quebrar o corpo em pequenas partes, que podem ser consideradas pontos materiais e somar sobre eles, como resultado temos:

O momento de um sistema que não é afetado por nenhuma força externa (ou são compensados), preservado em tempo:

A conservação do momento neste caso decorre da segunda e terceira leis de Newton: tendo escrito a segunda lei de Newton para cada um dos pontos materiais que compõem o sistema e somando-a sobre todos os pontos materiais que compõem o sistema, em virtude da terceira lei de Newton lei obtemos igualdade (*).

Na mecânica relativista, o momento tridimensional de um sistema de pontos materiais que não interagem é a quantidade

,

Onde eu- peso eu-ésimo ponto material.

Para um sistema fechado de pontos materiais não interativos, esse valor é preservado. No entanto, o momento tridimensional não é uma quantidade relativisticamente invariante, pois depende do referencial. Um valor mais significativo será um momento quadridimensional, que para um ponto material é definido como

Na prática, as seguintes relações entre a massa, momento e energia de uma partícula são frequentemente usadas:

Em princípio, para um sistema de pontos materiais não interativos, seus 4 momentos são somados. No entanto, para partículas que interagem na mecânica relativística, deve-se levar em consideração os momentos não apenas das partículas que compõem o sistema, mas também o momento do campo de interação entre elas. Portanto, uma quantidade muito mais significativa na mecânica relativística é o tensor energia-momento, que satisfaz plenamente as leis de conservação.

Pergunta nº 8

Momento de inércia- uma quantidade física escalar, uma medida da inércia de um corpo em movimento de rotação em torno de um eixo, assim como a massa de um corpo é uma medida de sua inércia em movimento de translação. É caracterizada pela distribuição de massas no corpo: o momento de inércia é igual à soma dos produtos das massas elementares e o quadrado de suas distâncias ao conjunto base

Momento de inércia axial

Momentos de inércia axiais de alguns corpos.

O momento de inércia de um sistema mecânico em relação a um eixo fixo ("momento de inércia axial") é chamado de valor J a igual à soma dos produtos das massas de todos os n pontos materiais do sistema nos quadrados de suas distâncias ao eixo:

,

• eu- peso eu-ésimo ponto,
• eu- distância de eu-ésimo ponto para o eixo.

Axial momento de inércia corpo J aé uma medida da inércia de um corpo em movimento de rotação em torno de um eixo, assim como a massa de um corpo é uma medida de sua inércia em movimento de translação.

,

• dm = ρ dV- massa de um elemento de pequeno volume do corpo dV,
• ρ - densidade,
• r- distância do elemento dV ao eixo a.

Se o corpo é homogêneo, isto é, sua densidade é a mesma em todos os lugares, então

Derivação da fórmula

dm e momentos de inércia DJ eu. Então

Cilindro de parede fina (anel, aro)

Derivação da fórmula

O momento de inércia de um corpo é igual à soma dos momentos de inércia de suas partes constituintes. Dividindo um cilindro de paredes finas em elementos de massa dm e momentos de inércia DJ eu. Então

Como todos os elementos de um cilindro de paredes finas estão à mesma distância do eixo de rotação, a fórmula (1) é convertida na forma

Teorema de Steiner

Momento de inércia de um corpo rígido em relação a qualquer eixo depende não apenas da massa, forma e dimensões do corpo, mas também da posição do corpo em relação a esse eixo. De acordo com o teorema de Steiner (teorema de Huygens-Steiner), momento de inércia corpo J em relação a um eixo arbitrário é igual à soma momento de inércia este corpo Jc em relação ao eixo que passa pelo centro de massa do corpo paralelo ao eixo considerado, e o produto da massa do corpo m por distância quadrada d entre eixos:

Se é o momento de inércia do corpo em relação a um eixo que passa pelo centro de massa do corpo, então o momento de inércia em relação a um eixo paralelo localizado a uma distância dele é igual a

,

onde é a massa total do corpo.

Por exemplo, o momento de inércia de uma barra em relação a um eixo que passa por sua extremidade é:

Energia rotacional

Energia cinética do movimento rotacional- a energia do corpo associada à sua rotação.

As principais características cinemáticas do movimento rotacional de um corpo são sua velocidade angular (ω) e aceleração angular. As principais características dinâmicas do movimento rotacional são o momento angular em torno do eixo de rotação z:

Kz = Izω

e energia cinética

onde I z é o momento de inércia do corpo em relação ao eixo de rotação.

Um exemplo semelhante pode ser encontrado quando se considera uma molécula rotativa com eixos principais de inércia eu 1, eu 2 e eu 3. A energia rotacional de tal molécula é dada pela expressão

Onde ω 1, ω 2, e ω 3 são os principais componentes da velocidade angular.

No caso geral, a energia durante a rotação com velocidade angular é encontrada pela fórmula:

, Onde EUé o tensor de inércia.

Pergunta nº 9

momento de impulso (momento angular, momento angular, momento orbital, momento angular) caracteriza a quantidade de movimento rotacional. Uma quantidade que depende de quanta massa está girando, como ela é distribuída em torno do eixo de rotação e quão rápido a rotação ocorre.

Deve-se notar que a rotação aqui é entendida em sentido amplo, não apenas como uma rotação regular em torno de um eixo. Por exemplo, mesmo com um movimento retilíneo de um corpo passando por um ponto imaginário arbitrário que não está na linha do movimento, ele também tem um momento angular. Talvez o maior papel seja desempenhado pelo momento angular na descrição do movimento rotacional real. No entanto, é extremamente importante para uma classe muito mais ampla de problemas (especialmente se o problema tiver simetria central ou axial, mas não apenas nesses casos).

Lei da conservação da quantidade de movimento(lei da conservação do momento angular) - a soma vetorial de todos os momentos angulares em torno de qualquer eixo para um sistema fechado permanece constante no caso de equilíbrio do sistema. De acordo com isso, o momento angular de um sistema fechado em relação a qualquer derivada não temporal do momento angular é o momento da força:

Assim, a exigência de fechamento do sistema pode ser enfraquecida para a exigência de que o momento principal (total) das forças externas seja igual a zero:

onde é o momento de uma das forças aplicadas ao sistema de partículas. (Mas é claro que, se não houver forças externas, esse requisito também será atendido).

Matematicamente, a lei de conservação do momento angular decorre da isotropia do espaço, isto é, da invariância do espaço em relação à rotação através de um ângulo arbitrário. Ao girar através de um ângulo infinitesimal arbitrário, o vetor raio da partícula com o número mudará de , e as velocidades - . A função de Lagrange do sistema não mudará durante tal rotação, devido à isotropia do espaço. É por isso

« Física - 10º ano"

Por que o skatista se alonga ao longo do eixo de rotação para aumentar a velocidade angular de rotação.
Um helicóptero deve girar quando sua hélice gira?

As perguntas feitas sugerem que, se as forças externas não atuam sobre o corpo ou sua ação é compensada e uma parte do corpo começa a girar em uma direção, então a outra parte deve girar na outra direção, assim como quando o combustível é ejetado. um foguete, o próprio foguete se move na direção oposta.

momento de impulso.

Se considerarmos um disco em rotação, torna-se óbvio que o momento total do disco é zero, pois qualquer partícula do corpo corresponde a uma partícula que se move com velocidade igual em valor absoluto, mas na direção oposta (Fig. 6.9).

Mas o disco está se movendo, a velocidade angular de rotação de todas as partículas é a mesma. No entanto, é claro que quanto mais distante a partícula estiver do eixo de rotação, maior será o seu momento. Portanto, para o movimento rotacional é necessário introduzir mais uma característica, semelhante a um impulso, - o momento angular.

O momento angular de uma partícula que se move em círculo é o produto do momento da partícula pela distância dela até o eixo de rotação (Fig. 6.10):

As velocidades linear e angular estão relacionadas por v = ωr, então

Todos os pontos de uma matéria rígida se movem em relação a um eixo fixo de rotação com a mesma velocidade angular. Um corpo rígido pode ser representado como uma coleção de pontos materiais.

O momento angular de um corpo rígido é igual ao produto do momento de inércia pela velocidade angular de rotação:

O momento angular é uma grandeza vetorial, de acordo com a fórmula (6.3), o momento angular é direcionado da mesma forma que a velocidade angular.

A equação básica da dinâmica do movimento rotacional na forma impulsiva.

A aceleração angular de um corpo é igual à mudança na velocidade angular dividida pelo intervalo de tempo durante o qual essa mudança ocorreu: Substitua esta expressão na equação básica para a dinâmica do movimento rotacional daí I(ω 2 - ω 1) = MΔt, ou IΔω = MΔt.

Nesse caminho,

∆L = M∆t. (6.4)

A mudança no momento angular é igual ao produto do momento total das forças que atuam sobre o corpo ou sistema e o tempo de ação dessas forças.

Lei da conservação do momento angular:

Se o momento total das forças que atuam sobre um corpo ou sistema de corpos com eixo de rotação fixo é igual a zero, então a mudança no momento angular também é igual a zero, ou seja, o momento angular do sistema permanece constante.

∆L=0, L=const.

A variação da quantidade de movimento do sistema é igual à quantidade de movimento total das forças que atuam sobre o sistema.

O patinador giratório abre os braços para os lados, aumentando assim o momento de inércia para diminuir a velocidade angular de rotação.

A lei de conservação do momento angular pode ser demonstrada usando o seguinte experimento, chamado de "experimento com o banco de Zhukovsky". Uma pessoa está em pé em um banco com um eixo vertical de rotação passando pelo seu centro. O homem tem halteres nas mãos. Se o banco for feito para girar, uma pessoa pode alterar a velocidade de rotação pressionando os halteres no peito ou abaixando os braços e, em seguida, separando-os. Abrindo os braços, ele aumenta o momento de inércia e a velocidade angular de rotação diminui (Fig. 6.11, a), abaixando as mãos, ele reduz o momento de inércia e a velocidade angular de rotação do banco aumenta (Fig. 6.11, a). 6.11, b).

Uma pessoa também pode fazer um banco girar caminhando ao longo de sua borda. Neste caso, a bancada irá girar no sentido contrário, pois o momento angular total deve permanecer igual a zero.

O princípio de funcionamento dos dispositivos chamados giroscópios é baseado na lei da conservação do momento angular. A principal propriedade de um giroscópio é a preservação da direção do eixo de rotação, se forças externas não atuarem neste eixo. No século 19 giroscópios foram usados ​​por navegadores para navegar no mar.

Energia cinética de um corpo rígido em rotação.

A energia cinética de um corpo sólido em rotação é igual à soma das energias cinéticas de suas partículas individuais. Vamos dividir o corpo em pequenos elementos, cada um dos quais pode ser considerado um ponto material. Então a energia cinética do corpo é igual à soma das energias cinéticas dos pontos materiais que o compõem:

A velocidade angular de rotação de todos os pontos do corpo é a mesma, portanto,

O valor entre parênteses, como já sabemos, é o momento de inércia do corpo rígido. Finalmente, a fórmula para a energia cinética de um corpo rígido com um eixo de rotação fixo tem a forma

No caso geral do movimento de um corpo rígido, quando o eixo de rotação é livre, sua energia cinética é igual à soma das energias dos movimentos de translação e rotação. Assim, a energia cinética de uma roda, cuja massa está concentrada no aro, rolando ao longo da estrada com velocidade constante, é igual a

A tabela compara as fórmulas da mecânica do movimento de translação de um ponto material com fórmulas semelhantes para o movimento de rotação de um corpo rígido.

As principais características dinâmicas do movimento rotacional são o momento angular em torno do eixo de rotação z:

e energia cinética

No caso geral, a energia durante a rotação com velocidade angular é encontrada pela fórmula:

, onde é o tensor de inércia .

Em termodinâmica

Exatamente pelo mesmo raciocínio que no caso do movimento de translação, a equipartição implica que no equilíbrio térmico a energia rotacional média de cada partícula de um gás monoatômico é: (3/2)k B T. Da mesma forma, o teorema da equipartição permite calcular a velocidade angular quadrática média das moléculas.

Veja também

Fundação Wikimedia. 2010.

Veja o que é "Energia do movimento rotacional" em outros dicionários:

Este termo tem outros significados, veja Energia (significados). Energia, Dimensão ... Wikipedia

MOVIMENTOS- MOVIMENTOS. Conteúdo: Geometria D..................452 Cinemática D..................456 Dinâmica D. ...................461 Mecanismos motores ....................465 Métodos de estudo D. de uma pessoa ..........471 Patologia D. de uma pessoa ............. 474 ... ... Grande Enciclopédia Médica

A energia cinética é a energia de um sistema mecânico, que depende da velocidade de movimento de seus pontos. Muitas vezes alocar a energia cinética do movimento de translação e rotação. Mais estritamente, a energia cinética é a diferença entre o total ... ... Wikipedia

Movimento térmico do peptídeo α. O movimento trêmulo complexo dos átomos que compõem o peptídeo é aleatório, e a energia de um átomo individual flutua em uma ampla faixa, mas usando a lei da equipartição é calculada como a energia cinética média de cada ... ... Wikipedia

Movimento térmico do peptídeo α. O movimento trêmulo complexo dos átomos que compõem o peptídeo é aleatório, e a energia de um átomo individual flutua em uma ampla faixa, mas usando a lei da equipartição é calculada como a energia cinética média de cada ... ... Wikipedia

- (marés franceses, Gezeiten alemão, marés inglesas) flutuações periódicas no nível da água devido à atração da Lua e do Sol. Informação geral. P. é mais perceptível ao longo das margens dos oceanos. Imediatamente após a maré baixa da maior maré baixa, o nível do oceano começa a ... ... Dicionário Enciclopédico F.A. Brockhaus e I.A. Efron

Embarcação refrigerada Ivory Tirupati estabilidade inicial é negativa Capacidade de estabilidade ... Wikipedia

Embarcação refrigerada Ivory Tirupati estabilidade inicial é negativa Estabilidade a capacidade de uma instalação flutuante para suportar forças externas que fazem com que ela role ou caia e retorne a um estado de equilíbrio no final da perturbação ... ... Wikipedia

Como um corpo rígido é um caso especial de um sistema de pontos materiais, a energia cinética do corpo durante a rotação em torno de um eixo Z fixo será igual à soma das energias cinéticas de todos os seus pontos materiais, ou seja,

Todos os pontos materiais de um corpo rígido giram neste caso ao longo de círculos com raios e com as mesmas velocidades angulares. A velocidade linear de cada ponto material de um corpo rígido é igual a . A energia cinética de um corpo rígido assume a forma

A soma do lado direito desta expressão, de acordo com (4.4), é o momento de inércia deste corpo em relação ao eixo de rotação dado. Portanto, a fórmula para calcular a energia cinética de um corpo rígido girando em relação a um eixo fixo terá a forma final:

. (4.21)

Leva-se em conta aqui que

O cálculo da energia cinética de um corpo rígido no caso de movimento arbitrário torna-se muito mais complicado. Considere um movimento plano, quando as trajetórias de todos os pontos materiais do corpo estão em planos paralelos. A velocidade de cada ponto material de um corpo rígido, conforme (1.44), pode ser representada como

,

onde como eixo instantâneo de rotação escolhemos o eixo que passa pelo centro de inércia do corpo perpendicular ao plano da trajetória de algum ponto do corpo. Neste caso, na última expressão é a velocidade do centro de inércia do corpo, - os raios dos círculos ao longo dos quais os pontos do corpo giram com uma velocidade angular em torno do eixo que passa pelo centro de sua inércia. Como com tal movimento ^, então o vetor igual a está no plano da trajetória do ponto.

Com base no exposto, a energia cinética do corpo durante seu movimento plano é igual a

.

Elevando a expressão entre parênteses ao quadrado e tirando os valores constantes para todos os pontos do corpo além do sinal de soma, obtemos

Aqui é levado em conta que ^.

Considere cada termo do lado direito da última expressão separadamente. O primeiro termo, devido à óbvia igualdade, é igual a

O segundo termo é igual a zero, pois a soma determina o vetor raio do centro de inércia (3.5), que neste caso está no eixo de rotação. O último termo, levando em conta (4.4), assume a forma . Agora, finalmente, a energia cinética para um movimento arbitrário, mas plano, de um corpo rígido pode ser representada como a soma de dois termos:

, (4.23)

onde o primeiro termo é a energia cinética de um ponto material com massa igual à massa do corpo e movendo-se a uma velocidade que o centro de massa do corpo possui;

o segundo termo é a energia cinética de um corpo girando em torno de um eixo (movendo-se com velocidade) passando pelo seu centro de inércia.

Conclusões: Assim, a energia cinética de um corpo rígido durante sua rotação em torno de um eixo fixo pode ser calculada usando uma das relações (4.21), e no caso de um movimento plano usando (4.23).

Perguntas de teste.

4.4. Em que casos (4.23) vai para (4.21)?

4.5. Como será a fórmula da energia cinética de um corpo durante seu movimento plano se o eixo instantâneo de rotação não passar pelo centro de inércia? Qual é o significado das quantidades incluídas na fórmula?

4.6. Mostre que o trabalho das forças internas durante a rotação de um corpo rígido é zero.

Tarefas

1. Determine quantas vezes a massa efetiva é maior que a massa gravitacional de um trem com massa de 4.000 toneladas, se a massa das rodas for 15% da massa do trem. Considere as rodas como discos com um diâmetro de 1,02 m. Como a resposta mudará se o diâmetro das rodas for metade disso?

2. Determine a aceleração com a qual um par de rodas de massa 1.200 kg desce uma colina com inclinação de 0,08. Considere as rodas como discos. Coeficiente de resistência ao rolamento 0,004. Determine a força de adesão das rodas aos trilhos.

3. Determine a aceleração com a qual um par de rodas com massa de 1.400 kg sobe uma ladeira com inclinação de 0,05. Coeficiente de arrasto 0,002. Qual deve ser o coeficiente de adesão para que as rodas não deslizem. Considere as rodas como discos.

4. Determine a aceleração com que um vagão pesando 40 toneladas desce uma ladeira com inclinação de 0,020 se tiver oito rodas pesando 1200 kg e um diâmetro de 1,02 m. Determine a força de aderência das rodas aos trilhos. Coeficiente de arrasto 0,003.

5. Determine a força de pressão das sapatas de freio sobre os pneus, se um trem pesando 4.000 toneladas desacelera com uma aceleração de 0,3 m/s 2 . O momento de inércia de um rodado é 600 kg m 2 , o número de eixos é 400, o coeficiente de atrito deslizante do bloco é 0,18, o coeficiente de resistência ao rolamento é 0,004.

6. Determine a força de frenagem que age sobre um vagão de quatro eixos com massa de 60 toneladas na pastilha de freio de um pátio de triagem se a velocidade em uma pista de 30 m diminuiu de 2 m/s para 1,5 m/s. O momento de inércia de um rodado é de 500 kg m 2 .

7. O velocímetro da locomotiva mostrou um aumento na velocidade do trem em um minuto de 10 m/s para 60 m/s. Provavelmente, houve um deslizamento do rodado principal. Determine o momento das forças que atuam na armadura do motor elétrico. Momento de inércia do rodado 600 kg m 2 , âncoras 120 kg m 2 . Engrenagem da relação de transmissão 4.2. A força de pressão nos trilhos é de 200 kN, o coeficiente de atrito de deslizamento das rodas ao longo do trilho é de 0,10.

11. ENERGIA CINÉTICA DO ROTADOR

MOVIMENTOS

Derivamos a fórmula para a energia cinética do movimento rotacional. Deixe o corpo girar com velocidade angular ω sobre o eixo fixo. Qualquer pequena partícula do corpo realiza um movimento de translação em um círculo com velocidade , onde r eu- distância ao eixo de rotação, raio da órbita. Energia cinética de uma partícula massas eué igual a . A energia cinética total de um sistema de partículas é igual à soma de suas energias cinéticas. Vamos resumir as fórmulas da energia cinética das partículas do corpo e tirar o sinal da soma da metade do quadrado da velocidade angular, que é a mesma para todas as partículas, . A soma dos produtos das massas das partículas e os quadrados de suas distâncias ao eixo de rotação é o momento de inércia do corpo em relação ao eixo de rotação . Então, a energia cinética de um corpo girando em torno de um eixo fixo é igual à metade do produto do momento de inércia do corpo em torno do eixo e o quadrado da velocidade angular de rotação:

Corpos em rotação podem armazenar energia mecânica. Esses corpos são chamados de volantes. Geralmente são corpos de revolução. O uso de volantes na roda do oleiro é conhecido desde a antiguidade. Nos motores de combustão interna, durante o curso de trabalho, o pistão transmite energia mecânica ao volante, que então realiza trabalho na rotação do eixo do motor pelos próximos três ciclos. Em estamparias e prensas, o volante é acionado por um motor elétrico de potência relativamente baixa, acumula energia mecânica por quase uma volta completa e, em um curto momento de impacto, a entrega ao trabalho de estampagem.

Existem inúmeras tentativas de usar volantes rotativos para conduzir veículos: carros, ônibus. Eles são chamados de mahomobiles, transportadores de giroscópio. Muitas dessas máquinas experimentais foram criadas. Seria promissor usar volantes para armazenamento de energia durante a frenagem de trens elétricos a fim de usar a energia acumulada durante as acelerações subsequentes. O armazenamento de energia do volante é conhecido por ser usado nos trens do metrô da cidade de Nova York.