Você sabe o que é o ponto médio de uma linha? Claro que você faz. E o centro do círculo? Também.

O que é o ponto médio de um ângulo?

Você pode dizer que isso não acontece. Mas por que, o segmento pode ser dividido ao meio, mas o ângulo não? É bem possível - não apenas um ponto, mas .... linha.

Você se lembra da piada: a bissetriz é um rato que contorna as esquinas e divide a esquina. Então, a definição real da bissetriz é muito semelhante a esta piada:

Bissetriz de um triânguloé um segmento da bissetriz do ângulo de um triângulo, ligando o vértice desse ângulo com um ponto no lado oposto.

Era uma vez, antigos astrônomos e matemáticos descobriram muitas propriedades interessantes da bissetriz. Esse conhecimento simplificou muito a vida das pessoas.

O primeiro conhecimento que vai ajudar nisso é...

A propósito, você se lembra de todos esses termos? Você se lembra como eles diferem um do outro? Não? Não assustador. Agora vamos descobrir.

• Base de um triângulo isósceles- este é o lado que não é igual a nenhum outro. Olhe para a foto, de que lado você acha que é? Isso mesmo - é um lado.
• A mediana é uma linha traçada a partir do vértice de um triângulo e bissecta o lado oposto (isto novamente). Observe que não dizemos: "A mediana de um triângulo isósceles". Você sabe por quê? Porque a mediana desenhada a partir do vértice de um triângulo bissecta o lado oposto em QUALQUER triângulo.
• A altura é uma linha traçada a partir do topo e perpendicular à base. Você percebeu? Estamos falando novamente de qualquer triângulo, não apenas um isósceles. A altura em QUALQUER triângulo é sempre perpendicular à base.

Então, você já percebeu? Quase.

Para entender melhor e lembrar para sempre o que são bissetriz, mediana e altura, eles precisam comparar uns com os outros e entender como eles são semelhantes e como eles diferem um do outro.

Ao mesmo tempo, para lembrar melhor, é melhor descrever tudo em “linguagem humana”.

Então você operará facilmente com a linguagem da matemática, mas no início você não entende essa linguagem e precisa compreender tudo em seu próprio idioma.

Então, como eles são semelhantes?

A bissetriz, a mediana e a altura - todos eles "saem" do vértice do triângulo e encostam na direção oposta e "fazem algo" com o ângulo de onde saem ou com o lado oposto.

Acho simples, não?

E como eles diferem?

• A bissetriz corta o ângulo de onde sai.
• A mediana corta o lado oposto.
• A altura é sempre perpendicular ao lado oposto.

É isso. Para entender é fácil. Depois de entender, você pode se lembrar.

Agora a próxima pergunta.

Por que, então, no caso de um triângulo isósceles, a bissetriz é a mediana e a altura ao mesmo tempo?

Você pode apenas olhar para a figura e certificar-se de que a mediana se divide em dois triângulos absolutamente iguais.

Isso é tudo! Mas os matemáticos não gostam de acreditar em seus olhos. Eles precisam provar tudo.

Palavra assustadora?

Nada como isso - tudo é simples! Olha: e têm lados iguais e, eles têm um lado comum e. (- bissetriz!) E assim, descobriu-se que dois triângulos têm dois lados iguais e um ângulo entre eles.

Recordamos o primeiro sinal da igualdade dos triângulos (não se lembre, veja o tópico) e concluímos que, o que significa = e.

Isso já é bom - significa que acabou sendo a mediana.

Mas o que é isso?

Vamos olhar para a imagem -. E nós conseguimos isso. Assim também! Finalmente, viva! e.

Você achou essa prova difícil? Olhe para a foto - dois triângulos idênticos falam por si.

De qualquer forma, lembre-se:

Agora é mais difícil: vamos contar ângulo entre as bissetrizes de qualquer triângulo! Não tenha medo, não é tão complicado. Olha a foto:

Vamos contar. Lembras-te daquilo a soma dos ângulos de um triângulo é?

Vamos aplicar esse fato incrível.

Por um lado, de:

Aquilo é.

Agora vejamos:

Mas bissetrizes, bissetrizes!

Vamos relembrar sobre:

Agora através das letras

Não é surpreendente?

Aconteceu que o ângulo entre as bissetrizes de dois ângulos depende apenas do terceiro ângulo!

Bem, nós olhamos para duas bissetrizes. E se forem três??!! Todos eles se cruzarão no mesmo ponto?

Ou será?

Como você pensa? Aqui os matemáticos pensaram e pensaram e provaram:

Muito bom?

Você quer saber por que isso acontece?

Vá para o próximo nível - você está pronto para conquistar novos níveis de conhecimento sobre a bissetriz!

BISETOR. NÍVEL MÉDIO

Você lembra o que é uma bissetriz?

A bissetriz é uma linha que corta um ângulo.

Você encontrou a bissetriz do problema? Tente aplicar uma (e às vezes você pode várias) das seguintes propriedades surpreendentes.

1. Bissetriz de um triângulo isósceles.

Você tem medo da palavra "teorema"? Se você está com medo, então - em vão. Os matemáticos estão acostumados a chamar de teorema da matemática qualquer enunciado que possa ser de alguma forma deduzido de outros enunciados mais simples.

Então, atenção, o teorema!

Vamos provar este teorema, ou seja, vamos entender porque isso acontece? Veja os isósceles.

Vamos olhar para eles com cuidado. E então veremos que

1. - em geral.

E isso significa (em vez disso, lembre-se do primeiro sinal da igualdade dos triângulos!), Isso.

E daí? Você gostaria de dizer isso? E o fato de ainda não termos observado os terceiros lados e os ângulos restantes desses triângulos.

E agora vamos ver. Uma vez, então absolutamente exatamente e até além disso,.

Então aconteceu que

1. dividiu o lado ao meio, ou seja, acabou sendo a mediana
2. , o que significa que ambos estão ligados, já que (veja novamente a figura).

Então acabou sendo uma bissetriz e uma altura também!

Viva! Provamos o teorema. Mas adivinhe, isso não é tudo. Fiel e teorema inverso:

Prova? Você está interessado? Leia o próximo nível de teoria!

E se você não estiver interessado, então lembre-se com firmeza:

Por que é difícil lembrar? Como isso pode ajudar? Imagine que você tem uma tarefa:

Dado: .

Achar: .

Você imediatamente pensa, bissetriz e, eis que ela dividiu o lado ao meio! (por condição…). Se você se lembrar firmemente de que isso acontece só em um triângulo isósceles, então você conclui, o que significa, escreva a resposta:. É ótimo, certo? Claro que nem todas as tarefas serão tão fáceis, mas o conhecimento com certeza ajudará!

E agora a próxima propriedade. Preparar?

2. A bissetriz de um ângulo é o lugar geométrico dos pontos equidistantes dos lados do ângulo.

Assustada? Na verdade, não é nada para se preocupar. Matemáticos preguiçosos escondiam quatro em duas linhas. Então, o que significa "Bissetriz - locus de pontos"? E isso significa que eles são executados imediatamente doisdeclarações:

1. Se um ponto pertence a uma bissetriz, então as distâncias dele aos lados do ângulo são iguais.
2. Se em algum ponto as distâncias para os lados do ângulo são iguais, então este ponto necessariamente fica na bissetriz.

Você vê a diferença entre as afirmações 1 e 2? Se não, então lembre-se do Chapeleiro de "Alice no País das Maravilhas": "Então você ainda tem algo de bom a dizer, como se "eu vejo o que eu como" e "eu como o que eu vejo" fossem a mesma coisa!

Então, precisamos provar as afirmações 1 e 2, e então a afirmação: "a bissetriz é o lugar geométrico dos pontos equidistantes dos lados do ângulo" será provado!

Por que 1 está correto?

Pegue qualquer ponto da bissetriz e chame-o de .

Vamos soltar perpendiculares deste ponto para os lados do ângulo.

E agora... prepare-se para lembrar os sinais de igualdade dos triângulos retângulos! Se você os esqueceu, veja a seção.

Então ... dois triângulos retângulos: e. Eles têm:

• hipotenusa comum.
• (porque - a bissetriz!)

Então - por ângulo e hipotenusa. Portanto, os catetos correspondentes desses triângulos são iguais! Aquilo é.

Provamos que o ponto é igualmente (ou igualmente) afastado dos lados do ângulo. O ponto 1 foi tratado. Agora vamos para o ponto 2.

Por que o 2 está correto?

E ligue os pontos.

Então, isto é, encontra-se na bissetriz!

Isso é tudo!

Como tudo isso pode ser aplicado à resolução de problemas? Por exemplo, nas tarefas, muitas vezes há uma frase: "O círculo toca os lados do ângulo ...". Bem, você precisa encontrar algo.

Você rapidamente percebe que

E você pode usar a igualdade.

3. Três bissetrizes em um triângulo se cruzam em um ponto

Da propriedade da bissetriz ser o lugar geométrico dos pontos equidistantes dos lados do ângulo, segue-se a seguinte afirmação:

Como exatamente flui? Mas veja: duas bissetrizes com certeza vão se cruzar, certo?

E a terceira bissetriz poderia ser assim:

Mas, na verdade, tudo é muito melhor!

Vamos considerar o ponto de intersecção de duas bissetrizes. Vamos chamá-la.

O que usamos aqui nas duas vezes? Sim parágrafo 1, é claro! Se um ponto está na bissetriz, então está igualmente distante dos lados do ângulo.

E assim aconteceu.

Mas olhe atentamente para essas duas igualdades! Afinal, decorre deles que e, portanto, .

E agora vai funcionar ponto 2: se as distâncias aos lados do ângulo são iguais, então o ponto está na bissetriz... de que ângulo? Observe a imagem novamente:

e são as distâncias aos lados do ângulo, e são iguais, o que significa que o ponto está na bissetriz do ângulo. A terceira bissetriz passou pelo mesmo ponto! Todas as três bissetrizes se cruzam em um ponto! E, como um presente adicional -

Raios inscrito círculos.

(Para fidelidade, veja outro tópico).

Bem, agora você nunca mais vai esquecer:

O ponto de intersecção das bissetrizes de um triângulo é o centro da circunferência nele inscrita.

Vamos para a próxima propriedade... Nossa, e uma bissetriz tem muitas propriedades, certo? E isso é ótimo, porque quanto mais propriedades, mais ferramentas para resolver problemas sobre a bissetriz.

4. Bissetriz e paralelismo, bissetrizes de ângulos adjacentes

O fato de a bissetriz dividir o ângulo em alguns casos leva a resultados completamente inesperados. Por exemplo,

Caso 1

É ótimo, certo? Vamos entender o porquê.

Por um lado, estamos desenhando uma bissetriz!

Mas, por outro lado, - como cantos cruzados (lembre-se do tópico).

E agora acontece que; jogue fora o meio: ! - isósceles!

Caso 2

Imagine um triângulo (ou olhe para uma foto)

Vamos continuar lado a ponto. Agora há dois cantos:

• - canto interno
• - canto externo - é do lado de fora, certo?

Então, e agora alguém queria desenhar não uma, mas duas bissetrizes ao mesmo tempo: tanto para quanto para. O que vai acontecer?

E vai resultar retangular!

Surpreendentemente, é exatamente isso.

Nós entendemos.

Qual você acha que é a quantidade?

Claro, porque todos juntos formam um ângulo que acaba sendo uma linha reta.

E agora lembramos que e são bissetrizes e veremos que dentro do ângulo é exatamente metade da soma de todos os quatro ângulos: e - - isto é, exatamente. Também pode ser escrito como uma equação:

Então, inacreditável, mas verdadeiro:

O ângulo entre as bissetrizes dos ângulos interno e externo do triângulo é igual.

Caso 3

Veja que tudo é igual aqui para os cantos internos e externos?

Ou pensamos novamente por que isso é assim?

Novamente, quanto aos cantos adjacentes,

(como correspondente com bases paralelas).

E mais uma vez, faça as pazes exatamente metade da soma

Conclusão: Se houver bissetrizes no problema relacionadoângulos ou bissetrizes respectivoângulos de um paralelogramo ou trapézio, então neste problema certamente um triângulo retângulo está envolvido, e talvez até um retângulo inteiro.

5. Bissetriz e lado oposto

Acontece que a bissetriz do ângulo de um triângulo divide o lado oposto não de alguma forma, mas de uma maneira especial e muito interessante:

Aquilo é:

Fato incrível, não é?

Agora vamos provar esse fato, mas prepare-se: será um pouco mais difícil do que antes.

Novamente - uma saída para o "espaço" - um edifício adicional!

Vamos direto.

Pelo que? Agora vamos ver.

Continuamos a bissetriz até a interseção com a linha.

Uma imagem familiar? Sim, sim, sim, exatamente o mesmo que no parágrafo 4, caso 1 - acontece que (- bissetriz)

Como mentir transversalmente

Então, isso também é.

Agora vamos olhar para os triângulos e.

O que pode ser dito sobre eles?

Eles são iguais. Bem, sim, seus ângulos são iguais à vertical. Então, dois cantos.

Agora temos o direito de escrever as relações das partes correspondentes.

E agora em notação curta:

Ai! Me lembra alguma coisa, né? Não era isso que queríamos provar? Sim, sim, é isso!

Você vê como a "caminhada espacial" provou ser grande - a construção de uma linha reta adicional - nada teria acontecido sem ela! E assim, provamos que

Agora você pode usá-lo com segurança! Vamos analisar mais uma propriedade das bissetrizes dos ângulos de um triângulo - não se assuste, agora o mais difícil já passou - será mais fácil.

Nós entendemos isso

Teorema 1:

Teorema 2:

Teorema 3:

Teorema 4:

Teorema 5:

Teorema 6:

Bom, o assunto acabou. Se você está lendo essas linhas, então você é muito legal.

Porque apenas 5% das pessoas são capazes de dominar algo por conta própria. E se você leu até o final, então você está nos 5%!

Agora o mais importante.

Você descobriu a teoria sobre este tópico. E, repito, é... é simplesmente super! Você já é melhor do que a grande maioria de seus pares.

O problema é que isso pode não ser suficiente...

Para que?

Para a aprovação no exame, para a admissão no instituto no orçamento e, MAIS IMPORTANTE, para a vida.

Não vou te convencer de nada, só vou dizer uma coisa...

As pessoas que receberam uma boa educação ganham muito mais do que aquelas que não a receberam. Isso é estatística.

Mas isso não é o principal.

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Nesta lição, consideraremos em detalhes quais propriedades têm os pontos situados na bissetriz do ângulo e os pontos na mediatriz do segmento.

Tema: Círculo

Lição: Propriedades da mediatriz de um ângulo e da mediatriz de um segmento de reta

Considere as propriedades de um ponto situado na bissetriz do ângulo (ver Fig. 1).

Arroz. 1

Dado um ângulo , sua bissetriz AL, o ponto M está na bissetriz.

Teorema:

Se o ponto M está na bissetriz do ângulo, então ele é equidistante dos lados do ângulo, ou seja, as distâncias do ponto M até AC e BC dos lados do ângulo são iguais.

Prova:

Considere triângulos e . Estes são triângulos retângulos, e eles são iguais, porque. têm uma hipotenusa comum AM, e os ângulos e são iguais, pois AL é a bissetriz do ângulo . Assim, os triângulos retângulos são iguais em hipotenusa e ângulo agudo, daí segue que , que precisava ser provado. Assim, um ponto na bissetriz de um ângulo é equidistante dos lados desse ângulo.

O teorema inverso é verdadeiro.

Se um ponto é equidistante dos lados de um ângulo não expandido, então ele está em sua bissetriz.

Arroz. 2

Um ângulo desdobrado é dado, ponto M, tal que a distância dele aos lados do ângulo é a mesma (ver Fig. 2).

Prove que o ponto M está na bissetriz do ângulo.

Prova:

A distância de um ponto a uma linha é o comprimento da perpendicular. Trace do ponto M perpendiculares MK ao lado AB e MP ao lado AC.

Considere triângulos e . Estes são triângulos retângulos, e eles são iguais, porque. têm uma hipotenusa comum AM, as pernas MK e MR são iguais por condição. Assim, os triângulos retângulos são iguais em hipotenusa e cateto. Da igualdade dos triângulos segue a igualdade dos elementos correspondentes, ângulos iguais estão contra pernas iguais, assim, , portanto, o ponto M está na bissetriz do ângulo dado.

Os teoremas direto e inverso podem ser combinados.

Teorema

A bissetriz de um ângulo não expandido é o lugar geométrico dos pontos equidistantes dos lados do ângulo dado.

Teorema

As bissetrizes AA 1 , BB 1 , CC 1 do triângulo se cruzam em um ponto O (ver Fig. 3).

Arroz. 3

Prova:

Considere as duas primeiras bissetrizes BB 1 e СС 1 . Eles se cruzam, o ponto de interseção O existe. Para provar isso, suponha o oposto - deixe as bissetrizes dadas não se cruzarem, caso em que elas são paralelas. Então a reta BC é uma secante, e a soma dos ângulos , isso contradiz o fato de que em todo o triângulo a soma dos ângulos é .

Portanto, existe o ponto O de intersecção de duas bissetrizes. Considere suas propriedades:

O ponto O está na bissetriz do ângulo , o que significa que é equidistante de seus lados BA e BC. Se OK é perpendicular a BC, OL é perpendicular a BA, então os comprimentos dessas perpendiculares são iguais a -. Além disso, o ponto O está na bissetriz do ângulo e é equidistante de seus lados CB e CA, as perpendiculares OM e OK são iguais.

Obtemos as seguintes igualdades:

, ou seja, todas as três perpendiculares lançadas do ponto O para os lados do triângulo são iguais entre si.

Estamos interessados ​​na igualdade das perpendiculares OL e OM. Essa igualdade diz que o ponto O é equidistante dos lados do ângulo, portanto, está em sua bissetriz AA 1.

Assim, provamos que todas as três bissetrizes de um triângulo se interceptam em um ponto.

Vamos passar para a consideração do segmento, sua mediatriz e as propriedades do ponto que está na mediatriz.

O segmento AB é dado, p é a mediatriz. Isso significa que a linha p passa pelo ponto médio do segmento AB e é perpendicular a ele.

Teorema

Arroz. quatro

Qualquer ponto situado na mediatriz é equidistante das extremidades do segmento (ver Fig. 4).

Prove que

Prova:

Considere triângulos e . Eles são retangulares e iguais, porque. temos um cateto comum OM, e os catetos de AO e OB são iguais por condição, assim, temos dois triângulos retângulos iguais em dois catetos. Segue-se que as hipotenusas dos triângulos também são iguais, isto é, o que deveria ser provado.

Observe que o segmento AB é uma corda comum para muitos círculos.

Por exemplo, o primeiro círculo centrado no ponto M e raio MA e MB; segundo círculo centrado no ponto N, raio NA e NB.

Assim, provamos que se um ponto está na mediatriz de um segmento, ele é equidistante das extremidades do segmento (ver Fig. 5).

Arroz. 5

O teorema inverso é verdadeiro.

Teorema

Se algum ponto M é equidistante das extremidades de um segmento, então ele está na mediatriz desse segmento.

O segmento AB é dado, a mediana perpendicular a ele p, o ponto M, equidistante das extremidades do segmento (ver Fig. 6).

Prove que o ponto M está na mediatriz do segmento.

Arroz. 6

Prova:

Vamos considerar um triângulo. É isósceles, como por condição. Considere a mediana do triângulo: o ponto O é o ponto médio da base AB, OM é a mediana. De acordo com a propriedade de um triângulo isósceles, a mediana desenhada em sua base é uma altura e uma bissetriz. Daí segue que . Mas a linha p também é perpendicular a AB. Sabemos que uma única perpendicular ao segmento AB pode ser traçada ao ponto O, o que significa que as retas OM e p coincidem, daí segue-se que o ponto M pertence à reta p, o que precisava ser provado.

Os teoremas direto e inverso podem ser generalizados.

Teorema

A mediatriz de um segmento é o lugar geométrico dos pontos equidistantes de suas extremidades.

Um triângulo, como você sabe, consiste em três segmentos, o que significa que três mediatrizes podem ser desenhadas nele. Acontece que eles se cruzam em um ponto.

As mediatrizes de um triângulo se interceptam em um ponto.

Um triângulo é dado. Perpendicular aos seus lados: P 1 ao lado BC, P 2 ao lado AC, P 3 ao lado AB (ver Fig. 7).

Prove que as perpendiculares Р 1 , Р 2 e Р 3 se interceptam no ponto O.

Hoje vai ser uma lição muito fácil. Consideraremos apenas um objeto - a bissetriz do ângulo - e provaremos sua propriedade mais importante, que será muito útil para nós no futuro.

Só não relaxe: às vezes os alunos que querem obter uma pontuação alta no mesmo OGE ou USE, na primeira aula, não conseguem nem formular a definição exata da bissetriz.

E em vez de fazer tarefas realmente interessantes, gastamos tempo com coisas tão simples. Então leia, assista - e adote. :)

Para começar, uma pergunta um pouco estranha: o que é um ângulo? Isso mesmo: um ângulo são apenas dois raios saindo do mesmo ponto. Por exemplo:

Exemplos de ângulos: agudo, obtuso e reto

Como você pode ver na imagem, os cantos podem ser nítidos, obtusos, retos - não importa agora. Muitas vezes, por conveniência, um ponto adicional é marcado em cada raio e eles dizem, eles dizem, temos um ângulo $AOB$ (escrito como $\angle AOB$).

O capitão parece sugerir que além dos raios $OA$ e $OB$, sempre se pode desenhar um monte de raios do ponto $O$. Mas entre eles haverá um especial - é chamado de bissetriz.

Definição. A bissetriz de um ângulo é um raio que sai do vértice desse ângulo e corta o ângulo.

Para os ângulos acima, as bissetrizes ficarão assim:

Exemplos de bissetrizes para ângulos agudos, obtusos e retos

Como em desenhos reais está longe de ser sempre óbvio que um certo raio (no nosso caso, este é o raio $OM$) divide o ângulo inicial em dois iguais, é costume em geometria marcar ângulos iguais com o mesmo número de arcos (em nosso desenho é 1 arco para um ângulo agudo, dois para sem corte, três para reto).

Ok, descobrimos a definição. Agora você precisa entender quais propriedades a bissetriz tem.

Propriedade básica da bissetriz do ângulo

Na verdade, a bissetriz tem muitas propriedades. E nós definitivamente os consideraremos na próxima lição. Mas há um truque que você precisa entender agora:

Teorema. A bissetriz de um ângulo é o lugar geométrico dos pontos equidistantes dos lados do ângulo dado.

Traduzido da matemática para o russo, isso significa dois fatos ao mesmo tempo:

1. Todo ponto situado na bissetriz de um ângulo está à mesma distância dos lados desse ângulo.
2. E vice-versa: se um ponto estiver à mesma distância dos lados de um determinado ângulo, é garantido que ele esteja na bissetriz desse ângulo.

Antes de provar essas afirmações, vamos esclarecer um ponto: o que, de fato, é chamado de distância de um ponto a um lado de um ângulo? A boa e velha definição da distância de um ponto a uma linha nos ajudará aqui:

Definição. A distância de um ponto a uma linha é o comprimento da perpendicular traçada desse ponto a essa linha.

Por exemplo, considere uma linha $l$ e um ponto $A$ que não está nessa linha. Desenhe uma perpendicular $AH$, onde $H\in l$. Então o comprimento dessa perpendicular será a distância do ponto $A$ até a reta $l$.

Representação gráfica da distância de um ponto a uma linha

Como um ângulo são apenas dois raios, e cada raio é um pedaço de uma linha, é fácil determinar a distância de um ponto aos lados do ângulo. São apenas duas perpendiculares:

Determine a distância de um ponto aos lados de um ângulo

Isso é tudo! Agora sabemos o que é distância e o que é uma bissetriz. Portanto, podemos provar a propriedade principal.

Como prometido, dividimos a prova em duas partes:

1. As distâncias de um ponto na bissetriz aos lados do ângulo são as mesmas

Considere um ângulo arbitrário com vértice $O$ e bissetriz $OM$:

Vamos provar que esse mesmo ponto $M$ está à mesma distância dos lados do ângulo.

Prova. Vamos desenhar perpendiculares do ponto $M$ aos lados do ângulo. Vamos chamá-los de $M((H)_(1))$ e $M((H)_(2))$:

Desenhe perpendiculares aos lados do canto

Temos dois triângulos retângulos: $\vartriangle OM((H)_(1))$ e $\vartriangle OM((H)_(2))$. Eles têm uma hipotenusa comum $OM$ e ângulos iguais:

1. $\angle MO((H)_(1))=\angle MO((H)_(2))$ por suposição (já que $OM$ é uma bissetriz);
2. $\angle M((H)_(1))O=\angle M((H)_(2))O=90()^\circ $ por construção;
3. $\angle OM((H)_(1))=\angle OM((H)_(2))=90()^\circ -\angle MO((H)_(1))$ porque a soma ângulos agudos de um triângulo retângulo é sempre igual a 90 graus.

Portanto, os triângulos são iguais em lado e dois ângulos adjacentes (ver sinais de igualdade de triângulos). Portanto, em particular, $M((H)_(2))=M((H)_(1))$, ou seja, as distâncias do ponto $O$ aos lados do ângulo são realmente iguais. Q.E.D. :)

2. Se as distâncias são iguais, então o ponto está na bissetriz

Agora a situação se inverteu. Seja um ângulo $O$ e um ponto $M$ equidistante dos lados desse ângulo:

Vamos provar que o raio $OM$ é uma bissetriz, ou seja, $\ângulo MO((H)_(1))=\ângulo MO((H)_(2))$.

Prova. Para começar, vamos desenhar esse mesmo raio $OM$, caso contrário não haverá nada para provar:

Passou o feixe $OM$ dentro do canto

Temos dois triângulos retângulos novamente: $\vartriangle OM((H)_(1))$ e $\vartriangle OM((H)_(2))$. Obviamente eles são iguais porque:

1. A hipotenusa $OM$ é comum;
2. As pernas $M((H)_(1))=M((H)_(2))$ por condição (porque o ponto $M$ é equidistante dos lados do canto);
3. As pernas restantes também são iguais, porque pelo teorema de Pitágoras $OH_(1)^(2)=OH_(2)^(2)=O((M)^(2))-MH_(1)^(2)$.

Portanto, os triângulos $\vartriangle OM((H)_(1))$ e $\vartriangle OM((H)_(2))$ em três lados. Em particular, seus ângulos são iguais: $\angle MO((H)_(1))=\angle MO((H)_(2))$. E isso significa apenas que $OM$ é uma bissetriz.

Na conclusão da prova, marcamos os ângulos iguais formados com arcos vermelhos:

A bissetriz divide o ângulo $\angle ((H)_(1))O((H)_(2))$ em dois

Como você pode ver, nada complicado. Provamos que a bissetriz de um ângulo é o lugar geométrico dos pontos equidistantes aos lados desse ângulo. :)

Agora que já decidimos mais ou menos a terminologia, é hora de passar para um novo nível. Na próxima lição, analisaremos propriedades mais complexas da bissetriz e aprenderemos como aplicá-las para resolver problemas reais.

Bissetriz de um triângulo - um segmento da bissetriz do ângulo de um triângulo, incluído entre o vértice do triângulo e o lado oposto dele.

Propriedades da bissetriz

1. A bissetriz de um triângulo bissecta o ângulo.

2. A bissetriz do ângulo de um triângulo divide o lado oposto em uma razão igual à razão de dois lados adjacentes ()

3. As bissetrizes de um ângulo de um triângulo são equidistantes dos lados desse ângulo.

4. As bissetrizes dos ângulos internos de um triângulo se cruzam em um ponto - o centro de um círculo inscrito neste triângulo.

Algumas fórmulas relacionadas com a bissetriz de um triângulo

(prova da fórmula - )
, Onde
- o comprimento da bissetriz desenhada ao lado,
- os lados do triângulo contra os vértices, respectivamente,
- o comprimento dos segmentos em que a bissetriz divide o lado,

te convido a assistir vídeo aula, que demonstra a aplicação de todas as propriedades da bissetriz acima.

Tarefas abordadas no vídeo:
1. No triângulo ABC de lados AB=2 cm, BC=3 cm, AC=3 cm, desenha-se a bissetriz BM. Encontre os comprimentos dos segmentos AM e MC
2. A bissetriz do ângulo interno no vértice A e a bissetriz do ângulo externo no vértice C do triângulo ABC se cruzam no ponto M. Encontre o ângulo BMC, se o ângulo B é 40, o ângulo C é 80 graus
3. Encontre o raio de um círculo inscrito em um triângulo, considerando os lados das células quadradas iguais a 1

Você também pode estar interessado em um pequeno tutorial em vídeo onde uma das propriedades da bissetriz é aplicada

Nesta lição, vamos relembrar o conceito de bissetriz, formular e provar teoremas diretos e inversos sobre as propriedades da bissetriz e generalizá-los. Resolveremos um problema no qual, além dos fatos sobre a bissetriz, aplicamos outros fatos geométricos.

Tema: Círculo

Lição: Propriedades de uma bissetriz de um ângulo. Tarefas

O triângulo é a figura central de toda a geometria, e se diz jocosamente que é inesgotável, como um átomo. Suas propriedades são numerosas, interessantes, divertidas. Consideramos algumas dessas propriedades.

Qualquer triângulo é basicamente três ângulos e três segmentos (veja a Fig. 1).

Arroz. 1

Considere um ângulo com vértice A e lados B e C - ângulo.

Em qualquer ângulo, incluindo o ângulo de um triângulo, você pode desenhar uma bissetriz - ou seja, uma linha reta que divide o ângulo ao meio (veja a Fig. 2).

Arroz. 2

Considere as propriedades de um ponto situado na bissetriz de um ângulo (veja a Fig. 3).

Considere um ponto M sobre a bissetriz de um ângulo.

Lembre-se de que a distância de um ponto a uma linha é o comprimento da perpendicular baixada desse ponto à linha.

Arroz. 3

Obviamente, se tomarmos um ponto que não pertence à bissetriz, as distâncias desse ponto aos lados do ângulo serão diferentes. A distância do ponto M aos lados do canto é a mesma.

Teorema

Cada ponto da bissetriz de um ângulo não expandido é equidistante dos lados do ângulo, ou seja, as distâncias do ponto M ao AC e ao BC dos lados do ângulo são iguais.

Um ângulo é dado, sua bissetriz é AL, o ponto M está na bissetriz (veja a Fig. 4).

Prove isso.

Arroz. quatro

Prova:

Considere triângulos e . Estes são triângulos retângulos, e são iguais, porque têm uma hipotenusa comum AM, e os ângulos e são iguais, pois AL é a bissetriz do ângulo. Assim, os triângulos retângulos são iguais em hipotenusa e ângulo agudo, daí segue que , que precisava ser provado. Assim, um ponto na bissetriz de um ângulo é equidistante dos lados desse ângulo.

O teorema inverso é verdadeiro.

Teorema

Se um ponto é equidistante dos lados de um ângulo não expandido, então ele está em sua bissetriz.

Um ângulo não desenvolvido é dado, ponto M, tal que a distância dele aos lados do ângulo é a mesma.

Prove que o ponto M está na bissetriz do ângulo (ver Fig. 5).

Arroz. 5

Prova:

A distância de um ponto a uma linha é o comprimento da perpendicular. Trace do ponto M perpendiculares MK ao lado AB e MP ao lado AC.

Considere triângulos e . Estes são triângulos retângulos, e eles são iguais, porque eles têm uma hipotenusa comum AM, os catetos de MK e MR são iguais por condição. Assim, os triângulos retângulos são iguais em hipotenusa e cateto. Da igualdade dos triângulos segue a igualdade dos elementos correspondentes, ângulos iguais estão contra pernas iguais, assim, , portanto, o ponto M está na bissetriz do ângulo dado.

Às vezes, os teoremas direto e inverso são combinados da seguinte forma:

Teorema

Um ponto é equidistante dos lados de um ângulo se, e somente se, está na bissetriz desse ângulo.

A equidistância dos pontos da bissetriz dos lados do ângulo é amplamente utilizada em vários problemas.

Problema nº 674 do livro didático de Atanasyan, geometria, 7ª a 9ª séries:

Do ponto M da bissetriz de um ângulo não expandido, as perpendiculares MA e MB são traçadas para os lados desse ângulo (ver Fig. 6). Prove isso.

Dados: ângulo, bissetriz OM, perpendiculares MA e MB aos lados do ângulo.

Arroz. 6

Prove que:

Prova:

De acordo com o teorema direto, o ponto M é equidistante dos lados do ângulo, pois, por condição, está em sua bissetriz. .

Considere os triângulos retângulos e (veja a Fig. 7). Eles têm uma hipotenusa comum OM, as pernas MA e MB são iguais, como provamos anteriormente. Então dois retangulares

Arroz. 7

triângulos são iguais no cateto e na hipotenusa. Da igualdade dos triângulos segue a igualdade dos seus elementos correspondentes, daí a igualdade dos ângulos e igualdade das outras pernas.

Da igualdade dos catetos OA e OB segue-se que o triângulo é isósceles e AB é sua base. A reta OM é a bissetriz de um triângulo. De acordo com a propriedade de um triângulo isósceles, esta bissetriz é também uma altura, o que significa que as linhas OM e AB se cruzam em um ângulo reto, o que deveria ser provado.

Assim, consideramos os teoremas direto e inverso da propriedade de um ponto sobre a bissetriz de um ângulo, generalizamos e resolvemos o problema aplicando vários fatos geométricos, incluindo este teorema.

Bibliografia

1. Aleksandrov A. D. etc. Geometria, 8ª série. - M.: Educação, 2006.
2. Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Prasolov V.V. Geometria, 8º ano. - M.: Educação, 2011.
3. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir S.M. Geometria, 8º ano. - M.: VENTANA-GRAF, 2009.

1. Bymath.net().
2. Oldskola1.narod.ru ().

Trabalho de casa

1. Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B. et ai., Geometry, 7-9, nº 676-678, art. 180.