As descobertas mais engenhosas da ciência podem mudar radicalmente a vida humana. A vacina inventada pode salvar milhões de pessoas, a criação de armas, pelo contrário, tira essas vidas. Mais recentemente (na escala da evolução humana) aprendemos a "domar" a eletricidade - e agora não podemos imaginar a vida sem todos esses dispositivos convenientes que usam eletricidade. Mas também há descobertas às quais poucas pessoas dão importância, embora também influenciem muito nossas vidas.

Uma dessas descobertas “imperceptíveis” são os fractais. Você provavelmente já ouviu essa palavra cativante, mas você sabe o que significa e quantas coisas interessantes estão escondidas nesse termo?

Cada pessoa tem uma curiosidade natural, um desejo de aprender sobre o mundo ao seu redor. E nesta aspiração, uma pessoa tenta aderir à lógica nos julgamentos. Analisando os processos que ocorrem ao seu redor, ele tenta encontrar a lógica do que está acontecendo e deduzir alguma regularidade. As maiores mentes do planeta estão ocupadas com essa tarefa. Grosso modo, os cientistas estão procurando um padrão onde não deveria estar. No entanto, mesmo no caos, pode-se encontrar uma conexão entre os eventos. E essa conexão é um fractal.

Nossa filhinha, de quatro anos e meio, está agora naquela idade maravilhosa em que o número de perguntas “Por quê?” muitas vezes maior do que o número de respostas que os adultos têm tempo para dar. Não muito tempo atrás, olhando para um galho levantado do chão, minha filha de repente percebeu que esse galho, com nós e galhos, parecia uma árvore. E, claro, veio a pergunta usual “Por quê?”, para a qual os pais tinham que procurar uma explicação simples que a criança pudesse entender.

A semelhança de um único galho com uma árvore inteira descoberta por uma criança é uma observação muito precisa, que mais uma vez atesta o princípio da auto-semelhança recursiva na natureza. Muitas formas orgânicas e inorgânicas na natureza são formadas de forma semelhante. Nuvens, conchas do mar, a "casa" de um caracol, a casca e a copa das árvores, o sistema circulatório e assim por diante - as formas aleatórias de todos esses objetos podem ser descritas por um algoritmo fractal.

⇡ Benoit Mandelbrot: o pai da geometria fractal

A própria palavra "fractal" surgiu graças ao brilhante cientista Benoît B. Mandelbrot.

Ele mesmo cunhou o termo na década de 1970, emprestando a palavra fractus do latim, onde significa literalmente "quebrado" ou "esmagado". O que é isso? Hoje, a palavra "fractal" é mais frequentemente usada para significar uma representação gráfica de uma estrutura que é semelhante a si mesma em uma escala maior.

A base matemática para o surgimento da teoria dos fractais foi lançada muitos anos antes do nascimento de Benoit Mandelbrot, mas só pôde se desenvolver com o advento dos dispositivos de computação. No início de sua carreira científica, Benoit trabalhou no centro de pesquisa da IBM. Naquela época, os funcionários do centro trabalhavam na transmissão de dados à distância. No decorrer da pesquisa, os cientistas se depararam com o problema de grandes perdas decorrentes da interferência de ruído. Benoit enfrentou uma tarefa difícil e muito importante - entender como prever a ocorrência de interferência de ruído em circuitos eletrônicos quando o método estatístico é ineficaz.

Examinando os resultados das medições de ruído, Mandelbrot chamou a atenção para um padrão estranho - os gráficos de ruído em diferentes escalas pareciam os mesmos. Um padrão idêntico foi observado independentemente de ser um gráfico de ruído por um dia, uma semana ou uma hora. Valeu a pena mudar a escala do gráfico, e a imagem foi repetida todas as vezes.

Durante sua vida, Benoit Mandelbrot disse repetidamente que não lidava com fórmulas, mas simplesmente brincava com imagens. Este homem pensava muito figurativamente e traduzia qualquer problema algébrico para o campo da geometria, onde, segundo ele, a resposta correta é sempre óbvia.

Não é de surpreender que tenha sido um homem com uma imaginação espacial tão rica que se tornou o pai da geometria fractal. Afinal, a percepção da essência dos fractais vem precisamente quando você começa a estudar desenhos e a pensar no significado de estranhos padrões de redemoinhos.

Um padrão fractal não possui elementos idênticos, mas possui similaridade em qualquer escala. Construir uma imagem com um alto grau de detalhes manualmente era simplesmente impossível antes, exigia uma enorme quantidade de cálculos. Por exemplo, o matemático francês Pierre Joseph Louis Fatou descreveu esse conjunto mais de setenta anos antes da descoberta de Benoit Mandelbrot. Se falamos sobre os princípios da auto-semelhança, eles foram mencionados nas obras de Leibniz e Georg Cantor.

Um dos primeiros desenhos de um fractal foi uma interpretação gráfica do conjunto de Mandelbrot, que nasceu da pesquisa de Gaston Maurice Julia.

Gaston Julia (sempre mascarado - lesão na Primeira Guerra Mundial)

Este matemático francês imaginou como seria um conjunto se fosse construído a partir de uma fórmula simples iterada por um ciclo de feedback. Se explicado “nos dedos”, isso significa que para um número específico encontramos um novo valor usando a fórmula, após o que o substituímos novamente na fórmula e obtemos outro valor. O resultado é uma grande sequência de números.

Para obter uma imagem completa desse conjunto, você precisa fazer uma enorme quantidade de cálculos - centenas, milhares, milhões. Era simplesmente impossível fazê-lo manualmente. Mas quando poderosos dispositivos de computação apareceram à disposição dos matemáticos, eles puderam dar uma nova olhada em fórmulas e expressões que há muito eram de interesse. Mandelbrot foi o primeiro a usar um computador para calcular o fractal clássico. Tendo processado uma sequência composta por um grande número de valores, Benoit transferiu os resultados para um gráfico. Aqui está o que ele conseguiu.

Posteriormente, essa imagem foi colorida (por exemplo, uma das formas de colorir é pelo número de iterações) e se tornou uma das imagens mais populares já criadas pelo homem.

Como diz o antigo ditado atribuído a Heráclito de Éfeso: "Não se pode entrar duas vezes no mesmo rio". É o mais adequado para interpretar a geometria de fractais. Não importa o quão detalhado examinemos uma imagem fractal, sempre veremos um padrão semelhante.

Aqueles que desejam ver como uma imagem do espaço Mandelbrot ficaria quando ampliada muitas vezes pode fazê-lo enviando um GIF animado.

⇡ Lauren Carpenter: arte criada pela natureza

A teoria dos fractais logo encontrou aplicação prática. Por estar intimamente relacionado à visualização de imagens autossimilares, não é de surpreender que os primeiros a adotar algoritmos e princípios para a construção de formas inusitadas tenham sido artistas.

O futuro cofundador do lendário estúdio Pixar, Loren C. Carpenter, começou a trabalhar na Boeing Computer Services em 1967, que era uma das divisões da conhecida corporação envolvida no desenvolvimento de novas aeronaves.

Em 1977, criou apresentações com protótipos de modelos voadores. Lauren foi responsável pelo desenvolvimento de imagens da aeronave que estava sendo projetada. Ele teve que criar fotos de novos modelos, mostrando aeronaves futuras de diferentes ângulos. Em algum momento, o futuro fundador da Pixar Animation Studios teve a ideia criativa de usar uma imagem de montanhas como pano de fundo. Hoje, qualquer aluno pode resolver esse problema, mas no final dos anos setenta do século passado, os computadores não conseguiam lidar com cálculos tão complexos - não havia editores gráficos, sem mencionar aplicativos para gráficos tridimensionais. Em 1978, Lauren acidentalmente viu o livro de Benoit Mandelbrot Fractals: Form, Randomness and Dimension em uma loja. Neste livro, sua atenção foi atraída para o fato de que Benoit deu muitos exemplos de formas fractais na vida real e provou que elas podem ser descritas por uma expressão matemática.

Esta analogia foi escolhida pelo matemático não por acaso. O fato é que, assim que publicou sua pesquisa, teve que enfrentar toda uma enxurrada de críticas. A principal coisa que seus colegas o censuraram foi a inutilidade da teoria desenvolvida. “Sim”, eles disseram, “estas são belas fotos, mas nada mais. A teoria dos fractais não tem valor prático.” Havia também aqueles que geralmente acreditavam que os padrões fractais eram simplesmente um subproduto do trabalho das "máquinas do diabo", que no final dos anos setenta pareciam para muitos algo muito complicado e inexplorado para ser totalmente confiável. Mandelbrot tentou encontrar uma aplicação óbvia da teoria dos fractais, mas, em geral, ele não precisava fazer isso. Os seguidores de Benoit Mandelbrot ao longo dos 25 anos seguintes provaram ser de grande utilidade para tal "curiosidade matemática", e Lauren Carpenter foi uma das primeiras a colocar em prática o método fractal.

Tendo estudado o livro, o futuro animador estudou seriamente os princípios da geometria fractal e começou a procurar uma maneira de implementá-la em computação gráfica. Em apenas três dias de trabalho, Lauren conseguiu visualizar uma imagem realista do sistema montanhoso em seu computador. Em outras palavras, com a ajuda de fórmulas, ele pintou uma paisagem montanhosa completamente reconhecível.

O princípio que Lauren usou para atingir seu objetivo era muito simples. Consistia em dividir uma figura geométrica maior em pequenos elementos, e estes, por sua vez, eram divididos em figuras semelhantes de tamanho menor.

Usando triângulos maiores, Carpenter os dividiu em quatro menores e depois repetiu esse procedimento várias vezes até obter uma paisagem montanhosa realista. Assim, ele conseguiu se tornar o primeiro artista a usar um algoritmo fractal em computação gráfica para construir imagens. Assim que se soube do trabalho realizado, entusiastas de todo o mundo pegaram essa ideia e começaram a usar o algoritmo fractal para simular formas naturais realistas.

Uma das primeiras renderizações 3D usando o algoritmo fractal

Apenas alguns anos depois, Lauren Carpenter conseguiu aplicar suas conquistas em um projeto muito maior. O animador baseou-os em uma demo de dois minutos, Vol Libre, que foi exibida no Siggraph em 1980. Este vídeo chocou a todos que o viram, e Lauren recebeu um convite da Lucasfilm.

A animação foi renderizada em um computador VAX-11/780 da Digital Equipment Corporation a uma velocidade de clock de cinco megahertz, e cada quadro levou cerca de meia hora para ser desenhado.

Trabalhando para a Lucasfilm Limited, o animador criou as mesmas paisagens 3D para o segundo longa da saga Star Trek. Em The Wrath of Khan, Carpenter foi capaz de criar um planeta inteiro usando o mesmo princípio de modelagem de superfície fractal.

Atualmente, todos os aplicativos populares para criar paisagens 3D usam o mesmo princípio de geração de objetos naturais. Terragen, Bryce, Vue e outros editores 3D contam com um algoritmo de modelagem de textura e superfície fractal.

⇡ Antenas fractais: menos é melhor, mas melhor

Ao longo do último meio século, a vida mudou rapidamente. A maioria de nós considera os avanços da tecnologia moderna como garantidos. Tudo o que torna a vida mais confortável, você se acostuma muito rapidamente. Raramente alguém faz as perguntas “De onde veio isso?” e "Como funciona?". Um forno de microondas aquece o café da manhã - bem, ótimo, um smartphone permite que você converse com outra pessoa - ótimo. Esta parece ser uma possibilidade óbvia para nós.

Mas a vida poderia ser completamente diferente se uma pessoa não procurasse uma explicação para os eventos que estão ocorrendo. Tomemos, por exemplo, telefones celulares. Lembra das antenas retráteis dos primeiros modelos? Eles interferiram, aumentaram o tamanho do dispositivo, no final, muitas vezes quebraram. Acreditamos que eles caíram no esquecimento para sempre, e em parte por causa disso... fractais.

Desenhos fractais fascinam com seus padrões. Eles definitivamente se assemelham a imagens de objetos espaciais - nebulosas, aglomerados de galáxias e assim por diante. Portanto, é bastante natural que, quando Mandelbrot expressou sua teoria dos fractais, sua pesquisa tenha despertado maior interesse entre aqueles que estudavam astronomia. Um desses amadores chamado Nathan Cohen, após assistir a uma palestra de Benoit Mandelbrot em Budapeste, inspirou-se na ideia de aplicação prática do conhecimento adquirido. É verdade que ele fez isso intuitivamente, e o acaso desempenhou um papel importante em sua descoberta. Como radioamador, Nathan procurou criar uma antena com a maior sensibilidade possível.

A única maneira de melhorar os parâmetros da antena, que era conhecida na época, era aumentar suas dimensões geométricas. No entanto, o proprietário do apartamento no centro de Boston, que Nathan alugou, foi veementemente contra a instalação de grandes dispositivos no telhado. Então Nathan começou a experimentar várias formas de antenas, tentando obter o máximo resultado com o tamanho mínimo. Entusiasmado com a ideia de formas fractais, Cohen, como se costuma dizer, fez aleatoriamente um dos fractais mais famosos de arame - o "floco de neve de Koch". O matemático sueco Helge von Koch criou essa curva em 1904. Obtém-se dividindo o segmento em três partes e substituindo o segmento do meio por um triângulo equilátero sem lado coincidente com este segmento. A definição é um pouco difícil de entender, mas a figura é clara e simples.

Existem também outras variedades da "curva de Koch", mas a forma aproximada da curva permanece semelhante

Quando Nathan conectou a antena ao receptor de rádio, ele ficou muito surpreso - a sensibilidade aumentou dramaticamente. Após uma série de experimentos, o futuro professor da Universidade de Boston percebeu que uma antena feita de acordo com um padrão fractal tem alta eficiência e cobre uma faixa de frequência muito mais ampla em comparação com as soluções clássicas. Além disso, a forma da antena na forma de uma curva fractal pode reduzir significativamente as dimensões geométricas. Nathan Cohen até desenvolveu um teorema provando que para criar uma antena de banda larga, basta dar-lhe a forma de uma curva fractal auto-semelhante.

O autor patenteou sua descoberta e fundou uma empresa para o desenvolvimento e projeto de antenas fractais Fractal Antenna Systems, acreditando com razão que no futuro, graças à sua descoberta, os telefones celulares poderão se livrar de antenas volumosas e se tornar mais compactos.

Basicamente, foi isso que aconteceu. É verdade que até hoje Nathan está em processo com grandes corporações que usam ilegalmente sua descoberta para produzir dispositivos compactos de comunicação. Alguns fabricantes conhecidos de dispositivos móveis, como a Motorola, já chegaram a um acordo de paz com o inventor da antena fractal.

⇡ Dimensões fractais: a mente não entende

Benoit emprestou essa pergunta do famoso cientista americano Edward Kasner.

Este último, como muitos outros matemáticos famosos, gostava muito de se comunicar com as crianças, fazendo-lhes perguntas e obtendo respostas inesperadas. Às vezes, isso levava a resultados surpreendentes. Assim, por exemplo, o sobrinho de nove anos de Edward Kasner surgiu com a agora conhecida palavra "googol", denotando uma unidade com cem zeros. Mas voltando aos fractais. O matemático americano gostava de perguntar qual é a extensão da costa dos Estados Unidos. Depois de ouvir a opinião do interlocutor, o próprio Edward falou a resposta correta. Se você medir o comprimento no mapa com segmentos quebrados, o resultado será impreciso, porque o litoral possui um grande número de irregularidades. E o que acontece se você medir com a maior precisão possível? Você terá que levar em conta o comprimento de cada desnível - você precisará medir cada capa, cada baía, rocha, o comprimento de uma borda rochosa, uma pedra nela, um grão de areia, um átomo e assim por diante. Como o número de irregularidades tende ao infinito, o comprimento medido da linha de costa aumentará ao infinito a cada nova irregularidade.

Quanto menor a medida ao medir, maior o comprimento medido

Curiosamente, seguindo as instruções de Edward, as crianças eram muito mais rápidas do que os adultos em dizer a resposta correta, enquanto os últimos tinham dificuldade em aceitar uma resposta tão incrível.

Usando este problema como exemplo, Mandelbrot sugeriu o uso de uma nova abordagem para medições. Como a linha de costa está próxima de uma curva fractal, isso significa que um parâmetro de caracterização, a chamada dimensão fractal, pode ser aplicado a ela.

Qual é a dimensão usual é claro para qualquer um. Se a dimensão for igual a um, obtemos uma linha reta, se dois - uma figura plana, três - volume. No entanto, tal compreensão de dimensão em matemática não funciona com curvas fractais, onde este parâmetro tem um valor fracionário. A dimensão fractal em matemática pode ser condicionalmente considerada como "rugosidade". Quanto maior a rugosidade da curva, maior a sua dimensão fractal. Uma curva que, segundo Mandelbrot, tem uma dimensão fractal superior à sua dimensão topológica, tem um comprimento aproximado que não depende do número de dimensões.

Atualmente, os cientistas estão encontrando cada vez mais áreas para a aplicação da teoria fractal. Com a ajuda de fractais, você pode analisar as flutuações nos preços das ações, explorar todos os tipos de processos naturais, como flutuações no número de espécies, ou simular a dinâmica dos fluxos. Os algoritmos fractais podem ser usados ​​para compactação de dados, por exemplo, para compactação de imagens. E, a propósito, para obter um belo fractal na tela do computador, você não precisa ter um doutorado.

⇡ Fractal no navegador

Talvez uma das maneiras mais fáceis de obter um padrão fractal seja usar o editor de vetores online de um jovem e talentoso programador Toby Schachman. O kit de ferramentas deste editor gráfico simples é baseado no mesmo princípio de auto-semelhança.

Existem apenas duas formas simples à sua disposição - um quadrado e um círculo. Você pode adicioná-los à tela, dimensionar (para dimensionar ao longo de um dos eixos, mantenha pressionada a tecla Shift) e gire. Sobrepondo-se ao princípio das operações de adição booleanas, esses elementos mais simples formam formas novas e menos triviais. Além disso, esses novos formulários podem ser adicionados ao projeto, e o programa repetirá a geração dessas imagens indefinidamente. Em qualquer estágio do trabalho em um fractal, você pode retornar a qualquer componente de uma forma complexa e editar sua posição e geometria. É muito divertido, especialmente quando você considera que a única ferramenta que você precisa para ser criativo é um navegador. Se você não entende o princípio de trabalhar com este editor recursivo de vetores, aconselhamos assistir ao vídeo no site oficial do projeto, que mostra em detalhes todo o processo de criação de um fractal.

⇡ XaoS: fractais para todos os gostos

Muitos editores gráficos possuem ferramentas integradas para criar padrões fractais. No entanto, essas ferramentas geralmente são secundárias e não permitem ajustar o padrão fractal gerado. Nos casos em que é necessário construir um fractal matematicamente preciso, o editor de plataforma cruzada XaoS virá em socorro. Este programa permite não apenas construir uma imagem auto-semelhante, mas também realizar várias manipulações com ela. Por exemplo, em tempo real, você pode “andar” por um fractal alterando sua escala. O movimento animado ao longo de um fractal pode ser salvo como um arquivo XAF e reproduzido no próprio programa.

O XaoS pode carregar um conjunto aleatório de parâmetros, bem como usar vários filtros de pós-processamento de imagem - adicionar um efeito de movimento borrado, suavizar transições nítidas entre pontos fractais, simular uma imagem 3D e assim por diante.

⇡ Fractal Zoomer: gerador fractal compacto

Comparado a outros geradores de imagens fractais, tem várias vantagens. Em primeiro lugar, é bastante pequeno em tamanho e não requer instalação. Em segundo lugar, implementa a capacidade de definir a paleta de cores da imagem. Você pode escolher tons nos modelos de cores RGB, CMYK, HVS e HSL.

Também é muito conveniente usar a opção de seleção aleatória de tons de cores e a função de inverter todas as cores da imagem. Para ajustar a cor, existe uma função de seleção cíclica de tons - quando o modo correspondente é ativado, o programa anima a imagem, alterando ciclicamente as cores.

Fractal Zoomer pode visualizar 85 funções fractais diferentes, e as fórmulas são mostradas claramente no menu do programa. Existem filtros para pós-processamento de imagens no programa, embora em pequena quantidade. Cada filtro atribuído pode ser cancelado a qualquer momento.

⇡ Mandelbulb3D: editor de fractais 3D

Quando o termo "fractal" é usado, na maioria das vezes significa uma imagem bidimensional plana. No entanto, a geometria fractal vai além da dimensão 2D. Na natureza, pode-se encontrar tanto exemplos de formas fractais planas, digamos, a geometria do relâmpago, quanto figuras tridimensionais tridimensionais. Superfícies fractais podem ser 3D, e uma ilustração muito gráfica de fractais 3D na vida cotidiana é uma cabeça de repolho. Talvez a melhor maneira de ver fractais seja no Romanesco, um híbrido de couve-flor e brócolis.

E este fractal pode ser comido

O programa Mandelbulb3D pode criar objetos tridimensionais com uma forma semelhante. Para obter uma superfície 3D usando o algoritmo fractal, os autores deste aplicativo, Daniel White e Paul Nylander, converteram o conjunto de Mandelbrot em coordenadas esféricas. O programa Mandelbulb3D que eles criaram é um editor tridimensional real que modela superfícies fractais de várias formas. Como muitas vezes observamos padrões fractais na natureza, um objeto tridimensional fractal criado artificialmente parece incrivelmente realista e até “vivo”.

Pode parecer uma planta, pode parecer um animal estranho, um planeta ou qualquer outra coisa. Esse efeito é aprimorado por um algoritmo de renderização avançado que possibilita obter reflexos realistas, calcular transparências e sombras, simular o efeito de profundidade de campo e assim por diante. Mandelbulb3D tem uma enorme quantidade de configurações e opções de renderização. Você pode controlar os tons das fontes de luz, escolher o fundo e o nível de detalhe do objeto modelado.

O editor de fractais Incendia suporta suavização de imagem dupla, contém uma biblioteca de cinquenta fractais tridimensionais diferentes e possui um módulo separado para editar formas básicas.

O aplicativo usa scripts fractais, com os quais você pode descrever independentemente novos tipos de estruturas fractais. O Incendia possui editores de textura e material e um mecanismo de renderização que permite usar efeitos de névoa volumétrica e vários shaders. O programa tem uma opção para salvar o buffer durante a renderização de longo prazo, a criação de animação é suportada.

Incendia permite exportar um modelo fractal para formatos gráficos 3D populares - OBJ e STL. Incendia inclui um pequeno utilitário Geometrica - uma ferramenta especial para configurar a exportação de uma superfície fractal para um modelo tridimensional. Usando este utilitário, você pode determinar a resolução de uma superfície 3D, especificar o número de iterações fractais. Os modelos exportados podem ser usados ​​em projetos 3D ao trabalhar com editores 3D como Blender, 3ds max e outros.

Recentemente, o trabalho no projeto Incendia diminuiu um pouco. No momento, o autor procura patrocinadores que o ajudem a desenvolver o programa.

Se você não tem imaginação suficiente para desenhar um belo fractal tridimensional neste programa, não importa. Use a biblioteca de parâmetros, localizada na pasta INCENDIA_EX\parameters. Com a ajuda de arquivos PAR, você pode encontrar rapidamente as formas fractais mais incomuns, incluindo as animadas.

⇡ Aural: como os fractais cantam

Normalmente não falamos de projetos que estão apenas sendo trabalhados, mas neste caso temos que abrir uma exceção, esta é uma aplicação muito incomum. Um projeto chamado Aural surgiu com a mesma pessoa que Incendia. É verdade que desta vez o programa não visualiza o conjunto fractal, mas o expressa, transformando-o em música eletrônica. A ideia é muito interessante, especialmente considerando as propriedades incomuns dos fractais. Aural é um editor de áudio que gera melodias usando algoritmos fractais, ou seja, é um sintetizador-seqüenciador de áudio.

A sequência de sons emitida por este programa é inusitada e... linda. Pode ser útil para escrever ritmos modernos e, em nossa opinião, é especialmente adequado para criar trilhas sonoras para introduções de programas de televisão e rádio, bem como "loops" de música de fundo para jogos de computador. Ramiro ainda não disponibilizou uma demonstração de seu programa, mas promete que quando o fizer, para trabalhar com Aural, não precisará aprender a teoria dos fractais - basta brincar com os parâmetros do algoritmo para gerar uma sequência de notas . Ouça como os fractais soam, e.

Fractais: pausa musical

Na verdade, os fractais podem ajudar a escrever música mesmo sem software. Mas isso só pode ser feito por alguém que está verdadeiramente imbuído da ideia de harmonia natural e ao mesmo tempo não se transformou em um infeliz “nerd”. Faz sentido seguir a sugestão de um músico chamado Jonathan Coulton, que, entre outras coisas, escreve composições para a revista Popular Science. E ao contrário de outros artistas, Colton publica todas as suas obras sob uma licença Creative Commons Attribution-Noncommercial, que (quando usada para fins não comerciais) prevê a livre cópia, distribuição, transferência da obra para terceiros, bem como sua modificação (criação de obras derivadas) para adaptá-lo às suas necessidades.

Jonathan Colton, é claro, tem uma música sobre fractais.

⇡ Conclusão

Em tudo que nos cerca, muitas vezes vemos o caos, mas na verdade isso não é um acidente, mas uma forma ideal, que os fractais nos ajudam a discernir. A natureza é o melhor arquiteto, o construtor e engenheiro ideal. Está organizado de forma muito lógica e, se em algum lugar não vemos padrões, isso significa que precisamos procurá-lo em uma escala diferente. As pessoas entendem isso cada vez melhor, tentando imitar as formas naturais de várias maneiras. Os engenheiros projetam sistemas de alto-falantes na forma de uma concha, criam antenas com geometria de floco de neve e assim por diante. Temos certeza de que os fractais ainda guardam muitos segredos, e muitos deles ainda não foram descobertos pelo homem.

O que uma árvore, uma praia, uma nuvem ou vasos sanguíneos em nossa mão têm em comum? À primeira vista, pode parecer que todos esses objetos não têm nada em comum. No entanto, na verdade, há uma propriedade da estrutura que é inerente a todos os objetos listados: eles são auto-similares. Do galho, assim como do tronco de uma árvore, deles partem processos menores - ainda menores, etc., ou seja, um galho é semelhante a toda a árvore. O sistema circulatório é organizado de maneira semelhante: as arteríolas partem das artérias e delas - os menores capilares através dos quais o oxigênio entra em órgãos e tecidos. Vejamos imagens de satélite da costa marítima: veremos baías e penínsulas; vamos dar uma olhada, mas do ponto de vista de um pássaro: veremos baías e cabos; agora imagine que estamos de pé na praia e olhando para os nossos pés: sempre haverá pedrinhas que se projetam mais para dentro da água do que o resto. Ou seja, o litoral permanece semelhante a si mesmo quando ampliado. O matemático americano Benoit Mandelbrot chamou essa propriedade dos objetos de fractalidade, e esses próprios objetos - fractais (do latim fractus - quebrados).

Este conceito não tem uma definição estrita. Portanto, a palavra "fractal" não é um termo matemático. Normalmente, um fractal é uma figura geométrica que satisfaz uma ou mais das seguintes propriedades: Possui uma estrutura complexa em qualquer ampliação (ao contrário, por exemplo, de uma linha reta, qualquer parte da qual é a figura geométrica mais simples - um segmento). É (aproximadamente) auto-semelhante. Tem uma dimensão Hausdorff fracionária (fractal), que é maior que a topológica. Pode ser construído com procedimentos recursivos.

Geometria e Álgebra

O estudo de fractais na virada dos séculos 19 e 20 era mais episódico do que sistemático, porque os matemáticos anteriores estudavam principalmente objetos “bons” que podiam ser estudados usando métodos e teorias gerais. Em 1872, o matemático alemão Karl Weierstrass constrói um exemplo de uma função contínua que não é diferenciável em nenhum lugar. No entanto, sua construção era inteiramente abstrata e de difícil compreensão. Portanto, em 1904, o sueco Helge von Koch apresentou uma curva contínua que não tem tangente em nenhum lugar, e é bastante simples desenhá-la. Descobriu-se que tem as propriedades de um fractal. Uma variação dessa curva é chamada de floco de neve de Koch.

As ideias de autossimilaridade de figuras foram retomadas pelo francês Paul Pierre Levy, futuro mentor de Benoit Mandelbrot. Em 1938, foi publicado seu artigo “Plane and Spatial Curves and Surfaces Consisting of Parts Similar to the Whole”, no qual outro fractal é descrito - a curva C de Lévy. Todos esses fractais listados acima podem ser atribuídos condicionalmente a uma classe de fractais construtivos (geométricos).

Outra classe são os fractais dinâmicos (algébricos), que incluem o conjunto de Mandelbrot. As primeiras pesquisas nesse sentido começaram no início do século XX e estão associadas aos nomes dos matemáticos franceses Gaston Julia e Pierre Fatou. Em 1918, Julia publicou um livro de memórias de quase duzentas páginas, dedicado a iterações de funções racionais complexas, nas quais os conjuntos de Julia são descritos - toda uma família de fractais intimamente relacionados ao conjunto de Mandelbrot. Esta obra foi premiada pela Academia Francesa, mas não continha uma única ilustração, de modo que era impossível apreciar a beleza dos objetos descobertos. Apesar do fato de que este trabalho tornou Julia famosa entre os matemáticos da época, foi rapidamente esquecido. Mais uma vez, a atenção voltou-se apenas meio século depois com o advento dos computadores: foram eles que tornaram visível a riqueza e a beleza do mundo dos fractais.

Dimensões fractais

Como você sabe, a dimensão (número de medidas) de uma figura geométrica é o número de coordenadas necessárias para determinar a posição de um ponto situado nessa figura.
Por exemplo, a posição de um ponto em uma curva é determinada por uma coordenada, em uma superfície (não necessariamente um plano) por duas coordenadas, no espaço tridimensional por três coordenadas.
De um ponto de vista matemático mais geral, a dimensão pode ser definida da seguinte forma: um aumento nas dimensões lineares, digamos, duas vezes, para objetos unidimensionais (do ponto de vista topológico) (segmento) leva a um aumento no tamanho (comprimento ) por um fator de dois, para bidimensional (quadrado) o mesmo aumento nas dimensões lineares leva a um aumento no tamanho (área) em 4 vezes, para tridimensional (cubo) - em 8 vezes. Ou seja, a dimensão “real” (chamada de Hausdorff) pode ser calculada como a razão do logaritmo do aumento do “tamanho” de um objeto para o logaritmo do aumento do seu tamanho linear. Ou seja, para um segmento D=log (2)/log (2)=1, para um plano D=log (4)/log (2)=2, para um volume D=log (8)/log (2 )=3.
Vamos agora calcular a dimensão da curva de Koch, para a construção da qual o segmento unitário é dividido em três partes iguais e o intervalo médio é substituído por um triângulo equilátero sem esse segmento. Com um aumento nas dimensões lineares do segmento mínimo três vezes, o comprimento da curva de Koch aumenta em log (4) / log (3) ~ 1,26. Ou seja, a dimensão da curva de Koch é fracionária!

Ciência e arte

Em 1982, foi publicado o livro de Mandelbrot "A Geometria Fractal da Natureza", no qual o autor coletou e sistematizou quase todas as informações sobre fractais disponíveis na época e as apresentou de forma fácil e acessível. Mandelbrot fez a ênfase principal em sua apresentação não em fórmulas pesadas e construções matemáticas, mas na intuição geométrica dos leitores. Graças a ilustrações geradas por computador e histórias históricas, com as quais o autor habilmente diluiu o componente científico da monografia, o livro tornou-se um best-seller e os fractais tornaram-se conhecidos do grande público. Seu sucesso entre os não matemáticos se deve em grande parte ao fato de que, com a ajuda de construções e fórmulas muito simples, que até um estudante do ensino médio pode entender, são obtidas imagens de incrível complexidade e beleza. Quando os computadores pessoais se tornaram poderosos o suficiente, até mesmo toda uma tendência na arte apareceu - a pintura fractal, e quase qualquer dono de computador poderia fazê-lo. Agora, na Internet, você pode encontrar facilmente muitos sites dedicados a esse tópico.

Esquema para obter a curva de Koch

Guerra e Paz

Como observado acima, um dos objetos naturais que possuem propriedades fractais é o litoral. Uma história interessante está ligada a ele, ou melhor, a uma tentativa de medir seu comprimento, que serviu de base para o artigo científico de Mandelbrot, e também é descrito em seu livro "The Fractal Geometry of Nature". Estamos falando de um experimento que foi montado por Lewis Richardson, um matemático, físico e meteorologista muito talentoso e excêntrico. Uma das direções de sua pesquisa foi a tentativa de encontrar uma descrição matemática das causas e probabilidade de um conflito armado entre dois países. Entre os parâmetros que ele levou em consideração estava a extensão da fronteira comum entre os dois países em guerra. Quando coletou dados para experimentos numéricos, descobriu que em diferentes fontes os dados na fronteira comum da Espanha e Portugal diferem muito. Isso o levou à seguinte descoberta: o comprimento das fronteiras do país depende da régua com que as medimos. Quanto menor a escala, mais longa será a borda. Isso se deve ao fato de que em maiores aumentos é possível levar em conta cada vez mais curvas da costa, que antes eram ignoradas devido à rugosidade das medições. E se, a cada zoom, curvas de linhas anteriormente não contabilizadas forem abertas, verifica-se que o comprimento das bordas é infinito! É verdade que isso não acontece - a precisão de nossas medições tem um limite finito. Esse paradoxo é chamado de efeito Richardson.

Fractals construtivos (geométricos)

O algoritmo para construir um fractal construtivo no caso geral é o seguinte. Em primeiro lugar, precisamos de duas formas geométricas adequadas, vamos chamá-las de base e fragmento. No primeiro estágio, a base do futuro fractal é representada. Em seguida, algumas de suas partes são substituídas por um fragmento em escala adequada - esta é a primeira iteração da construção. Então, na figura resultante, algumas partes mudam novamente para figuras semelhantes a um fragmento, e assim por diante. Se continuarmos esse processo indefinidamente, então no limite obtemos um fractal.

Considere este processo usando o exemplo da curva de Koch (veja a barra lateral na página anterior). Qualquer curva pode ser tomada como base da curva de Koch (para o floco de neve de Koch, este é um triângulo). Mas nos limitamos ao caso mais simples - um segmento. O fragmento é uma linha quebrada mostrada na parte superior da figura. Após a primeira iteração do algoritmo, neste caso, o segmento original coincidirá com o fragmento, então cada um de seus segmentos constituintes será substituído por uma linha quebrada semelhante ao fragmento, e assim por diante. A figura mostra os quatro primeiros etapas deste processo.

A linguagem da matemática: fractais dinâmicos (algébricos)

Fractais desse tipo surgem no estudo de sistemas dinâmicos não lineares (daí o nome). O comportamento de tal sistema pode ser descrito por uma função não linear complexa (polinômio) f (z). Tomemos algum ponto inicial z0 no plano complexo (veja a barra lateral). Agora considere uma sequência tão infinita de números no plano complexo, cada um dos quais é obtido do anterior: z0, z1=f (z0), z2=f (z1), … zn+1=f (zn). Dependendo do ponto inicial z0, tal sequência pode se comportar de forma diferente: tende ao infinito como n -> ∞; convergem para algum ponto final; tomar ciclicamente um número de valores fixos; opções mais complexas são possíveis.

Números complexos

Um número complexo é um número que consiste em duas partes - real e imaginária, ou seja, a soma formal x + iy (x e y aqui são números reais). i é o chamado. unidade imaginária, isto é, um número que satisfaz a equação eu^ 2 = -1. Sobre números complexos, as operações matemáticas básicas são definidas - adição, multiplicação, divisão, subtração (apenas a operação de comparação não é definida). Para exibir números complexos, uma representação geométrica é frequentemente usada - no plano (chamado complexo), a parte real é plotada ao longo do eixo das abcissas e a parte imaginária ao longo do eixo das ordenadas, enquanto o número complexo corresponderá a um ponto com coordenadas cartesianas x e y.

Assim, qualquer ponto z do plano complexo tem seu próprio caráter de comportamento durante as iterações da função f(z), e todo o plano é dividido em partes. Além disso, os pontos situados nos limites dessas partes têm a seguinte propriedade: para um deslocamento arbitrariamente pequeno, a natureza de seu comportamento muda drasticamente (tais pontos são chamados de pontos de bifurcação). Assim, verifica-se que conjuntos de pontos que têm um tipo específico de comportamento, bem como conjuntos de pontos de bifurcação, geralmente têm propriedades fractais. Estes são os conjuntos de Julia para a função f(z).

família dragão

Variando a base e o fragmento, você pode obter uma variedade impressionante de fractais construtivos.
Além disso, operações semelhantes podem ser realizadas no espaço tridimensional. Exemplos de fractais volumétricos são "esponja de Menger", "pirâmide de Sierpinski" e outros.
A família dos dragões também é referida aos fractais construtivos. Eles às vezes são referidos pelo nome dos descobridores como os "dragões de Heiwei-Harter" (eles se assemelham a dragões chineses em sua forma). Existem várias maneiras de construir essa curva. O mais simples e óbvio deles é o seguinte: você precisa pegar uma tira de papel suficientemente longa (quanto mais fino o papel, melhor) e dobrá-lo ao meio. Em seguida, dobre-o novamente ao meio na mesma direção da primeira vez. Após várias repetições (geralmente depois de cinco ou seis dobras, a tira fica muito grossa para ser dobrada com cuidado), você precisa endireitar a tira para trás e tentar formar ângulos de 90° nas dobras. Então a curva do dragão ficará de perfil. Claro, isso será apenas uma aproximação, como todas as nossas tentativas de representar objetos fractais. O computador permite que você descreva muitas outras etapas desse processo, e o resultado é uma figura muito bonita.

O conjunto de Mandelbrot é construído de maneira um pouco diferente. Considere a função fc (z) = z 2 +c, onde c é um número complexo. Vamos construir uma sequência desta função com z0=0, dependendo do parâmetro c, ela pode divergir ao infinito ou permanecer limitada. Além disso, todos os valores de c para os quais essa sequência é limitada formam o conjunto de Mandelbrot. Foi estudado em detalhes pelo próprio Mandelbrot e outros matemáticos, que descobriram muitas propriedades interessantes desse conjunto.

Pode-se ver que as definições dos conjuntos de Julia e Mandelbrot são semelhantes entre si. Na verdade, esses dois conjuntos estão intimamente relacionados. Ou seja, o conjunto de Mandelbrot são todos os valores do parâmetro complexo c para o qual o conjunto de Julia fc (z) está conectado (um conjunto é chamado de conectado se não puder ser dividido em duas partes que não se intersectam, com algumas condições adicionais).

fractais e vida

Atualmente, a teoria dos fractais é amplamente utilizada em diversos campos da atividade humana. Além de um objeto de pesquisa puramente científico e da já mencionada pintura fractal, os fractais são usados ​​na teoria da informação para comprimir dados gráficos (aqui, a propriedade de auto-semelhança dos fractais é usada principalmente - afinal, para lembrar um pequeno fragmento de um desenho e transformações com as quais você pode obter o restante das peças, é preciso muito menos memória do que armazenar o arquivo inteiro). Ao adicionar perturbações aleatórias às fórmulas que definem o fractal, pode-se obter fractais estocásticos que muito plausivelmente transmitem alguns objetos reais - elementos de relevo, a superfície de corpos d'água, algumas plantas, que é usado com sucesso em física, geografia e computação gráfica para alcançar maior semelhança dos objetos simulados com os reais. Em eletrônica de rádio, na última década, começaram a produzir antenas em formato fractal. Ocupando pouco espaço, eles fornecem uma recepção de sinal de alta qualidade. Os economistas usam fractais para descrever as curvas de flutuação da moeda (esta propriedade foi descoberta por Mandelbrot há mais de 30 anos). Isso conclui esta pequena excursão ao mundo dos fractais, surpreendente em sua beleza e diversidade.

MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO SUPERIOR E PROFISSIONAL

ACADEMIA ESTADUAL DE ECONOMIA DE IRKUTSK

DEPARTAMENTO DE SISTEMAS DE INFORMAÇÃO

De acordo com modelos e métodos econômicos e matemáticos

TEORIA DO FRACTAL E SUAS APLICAÇÕES

Preparado por: Líder:

Pogodaeva E.A. Tolstikova T.V.

Chetverikov S.V.

IRKUTSK 1997

Todas as imagens são semelhantes e

Ainda não um no outro

Goy não é assim; seus coros

Vou apontar para a lei secreta

Yut, para o enigma sagrado...

J. W. Goethe.

metamorfose vegetal.

POR QUE ESTAMOS FALANDO DE FRACTALS?

Na segunda metade do nosso século, nas ciências naturais, havia
mudanças fundamentais que deram origem à chamada teoria
auto-organização ou sinergética. Ela nasceu de repente, como se
cruzando várias linhas de pesquisa científica. Um dos decisivos
impulsos iniciais foi traído a ela por cientistas russos na virada do
cinquenta - sessenta. Nos anos 50, o cientista
O químico analítico B.P. Belousov descobriu redox
reação química. Descoberta e estudo de auto-oscilações e ondas automáticas durante
Reações de Belousov

S. E. Shnolem, A. M. Zhabotinsky, V. I. Krinsky, A. N. Zaikin, G. R.
Ivanitsky - talvez a página mais brilhante do fundamental
ciência russa no período pós-guerra. Aprendizado rápido e bem-sucedido
reação Belousov - Zhabotinsky trabalhou na ciência como um gatilho
gancho: eles imediatamente se lembraram de que processos desse tipo eram conhecidos antes
tipo e que muitos fenômenos naturais que vão desde a formação de galáxias
a tornados, ciclones e o jogo de luz em superfícies refletoras (assim
chamados cáusticos), - na verdade, os processos de auto-organização. Eles são
pode ser de natureza muito diferente: química, mecânica,
óptico, elétrico, etc. Além disso, descobriu-se que
há muito tempo está pronta e perfeitamente desenvolvida teoria matemática
auto-organização. Sua base foi lançada pelos trabalhos de A. Poincaré e A. A.
Lyapunov no final do século passado. Dissertação "Sobre a sustentabilidade
movimento" foi escrito por Lyapunov em 1892.

A teoria matemática da auto-organização nos força de uma nova maneira
olhar para o mundo ao nosso redor. Vamos explicar como ela difere de
visão de mundo clássica, uma vez que precisaremos saber disso quando
o estudo de objetos fractais.

"A visão de mundo exclusivamente determinista clássica
pode ser simbolizado por uma superfície plana e lisa na qual
bolas colidem, tendo recebido uma certa quantidade de movimento.
O destino futuro de cada um desses corpos é determinado exclusivamente por sua
"passado" no momento anterior do tempo (momentum, charge) e
interação com outros órgãos. Nenhuma integridade de tal sistema
não possui." (L. Belousov. Mensageiros de uma tempestade viva. \\ Conhecimento é poder. N
2. 1996. - p.32). Assim, a ciência clássica acreditava que o futuro
tal sistema é determinado de forma rígida e inequívoca por seu passado e, sujeito a
conhecimento do passado, ilimitadamente previsível.

A matemática moderna mostrou que, em alguns casos, isso não é
assim: por exemplo, se as bolas atingem uma parede convexa, então o
as diferenças em suas trajetórias crescerão indefinidamente, de modo que
o comportamento do sistema torna-se imprevisível em algum ponto.
Assim, as posições de determinismo inequívoco foram minadas mesmo
em situações relativamente simples.

Uma visão de mundo baseada na teoria da auto-organização,
simbolizada pela imagem de um país montanhoso com vales por onde correm rios,
e cumes de bacias hidrográficas. Este país tem feedback poderoso
- tanto negativo quanto positivo. Se o corpo rola para baixo
ao longo da inclinação, então há um positivo
o feedback, se tentar subir, é negativo.
Feedbacks não lineares (suficientemente fortes) são uma condição indispensável
auto-organização. Não linearidade no sentido ideológico significa
caminhos multivariados de evolução, a presença de uma escolha de caminhos alternativos
e uma certa taxa de evolução, bem como a irreversibilidade da evolução
processos. Por exemplo, considere a interação de dois corpos: A e B. B -
tronco de árvore elástico, A é um riacho de montanha em nosso país. O fluxo se dobra
tronco na direção do movimento da água, mas ao atingir um certo
dobrar o tronco sob a ação de uma força elástica pode endireitar, repelindo
partículas de água de volta. Ou seja, vemos uma interação alternativa
dois corpos A e B. Além disso, essa interação ocorre de tal forma que
que a relação A-B é positiva e a relação B-A é negativa. A condição é atendida
Não-linearidade.

Além disso, na teoria da auto-organização, podemos forçar nossa
país montanhoso para "viver", ou seja, para mudar no tempo. Ao mesmo tempo, é importante
selecionar variáveis ​​de ordem diferente. Essa hierarquia de variáveis
o tempo é uma condição necessária para ordenar a auto-organização.
Quebre, "misture" os tempos - o caos virá (por exemplo, um terremoto,
quando mudanças na ordem geológica ocorrem em questão de minutos, e
deveria - por vários milênios). No entanto, como se vê, viver
sistemas não têm tanto medo do caos: eles vivem em seu limite o tempo todo,
às vezes até caindo nele, mas ainda assim sabem como, quando necessário, a partir dele
sair. Neste caso, os mais importantes são os mais lentos
variáveis ​​de tempo (são chamadas de parâmetros). São os valores dos parâmetros
determinar qual conjunto de soluções sustentáveis ​​o sistema terá e,
assim, quais estruturas podem ser implementadas nele. NO
mesmo tempo mais rápido

variáveis ​​(dinâmicas) são responsáveis ​​pela escolha específica de
estados estáveis ​​entre os possíveis.

Os princípios da não linearidade e alternativas para a escolha do desenvolvimento de qualquer
processo, o desenvolvimento do sistema também é implementado na construção de fractais.

Como ficou claro nas últimas décadas (devido ao desenvolvimento da teoria
auto-organização), a auto-semelhança ocorre em uma variedade de objetos e
fenômenos. Por exemplo, a auto-semelhança pode ser observada em galhos de árvores e
arbustos, ao dividir um zigoto fertilizado, flocos de neve, cristais
gelo, com o desenvolvimento dos sistemas econômicos (ondas Kondratiev), a estrutura
sistemas de montanha, na estrutura de nuvens. Todos os itens acima e outros
semelhantes a eles em sua estrutura são chamados fractais. Ou seja, eles
possuem as propriedades de auto-semelhança, ou invariância de escala. E isto
significa que alguns fragmentos de sua estrutura são estritamente repetidos
certos intervalos espaciais. É claro que esses objetos
pode ser de qualquer natureza, e sua aparência e forma permanecem inalteradas
independentemente da escala.

Assim, podemos dizer que fractais como modelos são usados ​​em
caso em que o objeto real não pode ser representado na forma clássica
modelos. E isso significa que estamos lidando com relações não lineares e
natureza não determinística dos dados. Não linearidade na visão de mundo
sentido significa a multivariação de caminhos de desenvolvimento, a disponibilidade de uma escolha de
caminhos alternativos e um certo ritmo de evolução, bem como a irreversibilidade
processos evolutivos. Não linearidade no sentido matemático significa
um certo tipo de equações matemáticas (diferencial não linear
equações) contendo as quantidades desejadas em potências maiores que um ou
coeficientes dependendo das propriedades do meio. Ou seja, quando usamos
modelos clássicos (por exemplo, tendência, regressão, etc.), nós
dizemos que o futuro do objeto é determinado de maneira única. E nós podemos
predizê-lo, conhecendo o passado do objeto (dados de entrada para
modelagem). E fractais são usados ​​quando um objeto tem
várias opções de desenvolvimento e o estado do sistema é determinado
a posição em que se encontra no momento. Ou seja, nós
tentando simular um desenvolvimento caótico.

O que nos dá o uso de fractais?

Eles permitem que você simplifique bastante processos e objetos complexos, o que é muito
importante para a modelagem. Permite descrever sistemas instáveis ​​e
processos e, mais importante, prever o futuro de tais objetos.

TEORIA DO FRACTAL

ANTECEDENTES DA APARÊNCIA

A teoria dos fractais tem uma idade muito jovem. Ela apareceu em
final dos anos sessenta na interseção da matemática, ciência da computação, linguística
e biologia. Naquela época, os computadores penetravam cada vez mais na vida.
pessoas, os cientistas começaram a aplicá-los em suas pesquisas, o número de
usuários de computador. Para uso em massa
computadores, tornou-se necessário facilitar o processo de comunicação entre uma pessoa e
máquina. Se no início da era do computador alguns
programadores-usuários desinteressadamente inseriram comandos na máquina
códigos e resultados recebidos na forma de fitas de papel sem fim, depois com
modo massivo e carregado de uso de computadores surgiu
a necessidade de inventar uma linguagem de programação que
seria compreensível para a máquina e, ao mesmo tempo, seria fácil de aprender e
inscrição. Ou seja, o usuário só precisaria inserir um
comando, e o computador iria decompô-lo em outros mais simples, e executar
já os teria. Para facilitar a escrita de tradutores, na interseção da ciência da computação
e linguística, surgiu uma teoria dos fractais, que permite definir estritamente
relações entre linguagens algorítmicas. E o matemático dinamarquês e
biólogo A. Lindenmeer veio com uma tal gramática em 1968,
que ele chamou de sistema L, que, como ele acreditava, também modela o crescimento
organismos vivos, especialmente a formação de arbustos e galhos nas plantas.

Aqui está como é o modelo dele. Definir alfabeto - conjunto arbitrário
personagens. Aloque uma, a palavra inicial, chamada de axioma, - você pode
considerar que corresponde ao estado inicial do organismo - o embrião.
E então eles descrevem as regras para substituir cada caractere do alfabeto por um certo
um conjunto de símbolos, ou seja, eles estabelecem a lei do desenvolvimento do embrião. Operar
as regras são as seguintes: lemos cada símbolo do axioma em ordem e substituímos
para a palavra especificada na regra de substituição.

Assim, depois de ler o axioma uma vez, obtemos uma nova linha
caracteres, aos quais aplicamos novamente o mesmo procedimento. Passo a passo
aparece uma string cada vez mais longa - cada uma dessas etapas pode ser
considerado como uma das etapas sucessivas no desenvolvimento do "organismo".
Ao limitar o número de etapas, determine quando o desenvolvimento é considerado completo.

A ORIGEM DA TEORIA DOS FRACTALS

Benoit Mandelbrot pode legitimamente ser considerado o pai dos fractais.
Mandelbrot é o inventor do termo "fractal". Mandelbrot
escreveu: “Eu inventei a palavra “fractal”, baseada no latim
adjetivo "fractus", que significa irregular, recursivo,
fragmentário. A primeira definição de fractais também foi dada por B. Mandelbrot:

Um fractal é uma estrutura auto-semelhante cuja imagem não depende de
escala. Este é um modelo recursivo, cada parte do qual se repete em sua própria
desenvolvimento desenvolvimento de todo o modelo como um todo.

Até o momento, existem muitos modelos matemáticos diferentes
fractais. O diferencial de cada um deles é que
eles são baseados em alguma função recursiva, por exemplo: xi=f(xi-1).
Com o uso de computadores, os pesquisadores têm a oportunidade de obter
imagens gráficas de fractais. Os modelos mais simples não requerem grandes
cálculos e eles podem ser implementados diretamente em uma aula de ciência da computação, enquanto
outros modelos são tão exigentes no poder do computador que eles
A implementação é realizada usando um supercomputador. Aliás, nos EUA
modelos fractais são estudados pelo National Application Center
para Supercomputadores (NCSA). Neste trabalho, queremos apenas mostrar
vários modelos fractais que conseguimos obter.

Modelo Mandelbrot.

Benoit Mandelbrot propôs um modelo fractal, que já se tornou
clássico e é frequentemente usado para mostrar o quão típico
exemplo do próprio fractal, e para demonstrar a beleza dos fractais,
que também atrai pesquisadores, artistas,
pessoas interessadas.

A descrição matemática do modelo é a seguinte: no plano complexo em
algum intervalo para cada ponto com a função recursiva é calculado
Z=Z2+c. Parece, o que há de tão especial sobre esta função? Mas depois N
repetições deste procedimento para calcular as coordenadas de pontos, em
plano complexo, surge uma figura surpreendentemente bela, algo
semelhante a uma pêra.

No modelo de Mandelbrot, o fator de mudança é o ponto de partida
c, e o parâmetro z, é dependente. Portanto, para construir um fractal
Mandelbrot existe uma regra: o valor inicial de z é zero (z=0)!
Esta restrição é introduzida de modo que a primeira derivada da função
z no ponto inicial era igual a zero. E isso significa que no início
ponto, a função tem um mínimo, e daqui em diante levará apenas
grandes valores.

Queremos notar que se a fórmula recursiva fractal tem um diferente
vista, então você deve escolher outro valor do ponto de partida para
parâmetro Z. Por exemplo, se a fórmula se parece com z=z2+z+c, então o valor inicial
ponto será:

2*z+1=0 ???z= -1/2.

Neste trabalho, temos a oportunidade de trazer imagens de fractais,
que foram construídos no NCSA. Recebemos os arquivos de imagem via
Rede Internet.

Fig.1 Fractal de Mandelbrot

Você já conhece o modelo matemático do fractal de Mandelbrot. agora nós
Vamos mostrar como ele é implementado graficamente. Ponto de partida do modelo
igual a zero. Graficamente, corresponde ao centro do corpo da pêra. Através de N
degraus preencherão todo o corpo da pêra e no local onde terminou
a última iteração, a “cabeça” do fractal começa a se formar.
A "cabeça" do fractal será exatamente quatro vezes menor que o corpo, pois
a fórmula matemática de um fractal é um quadrado
polinomial. Então, novamente, após N iterações, o "corpo" começa a se formar
"rim" (à direita e à esquerda do "corpo"). E assim por diante. Quanto mais dado
o número de iterações N, mais detalhada será a imagem do fractal,
quanto mais processos diferentes ela terá. Representação esquemática
Os estágios de crescimento do fractal Mandelbrot são mostrados na Fig. 2:

Fig.2 Esquema da formação do fractal de Mandelbrot

As Figuras 1 e 2 mostram que cada formação subsequente no "corpo"
repete exatamente em sua estrutura o próprio corpo. Este é o distintivo
característica que este modelo é um fractal.

As figuras a seguir mostram como a posição do ponto mudará,
correspondente ao parâmetro z, para diferentes posições iniciais do ponto
c.

A) Ponto de partida no "corpo" B) Ponto de partida
ponto na cabeça

C) Ponto de partida no "rim" D) Ponto de partida no
"rim" do segundo nível

E) Ponto de partida no "rim" do terceiro nível

Das figuras A - E vê-se claramente como a cada passo cada vez mais
a estrutura do fractal torna-se mais complicada e o parâmetro z tem uma complexidade cada vez maior
trajetória.

Limitações do modelo de Mandelbrot: há evidências de que em
o modelo de Mandelbrot |z|

Modelo Julia (conjunto Julia)

O modelo fractal de Julia tem a mesma equação que o modelo
Mandelbrot: Z=Z2+c, somente aqui o parâmetro variável é
não c, mas z.

Assim, toda a estrutura do fractal muda, pois agora
a posição inicial não está sujeita a quaisquer restrições. Entre
modelos de Mandelbrot e Julia, existe essa diferença: se o modelo
Mandelbrot é estático (já que z inicial é sempre
zero), então o modelo de Julia é um modelo fractal dinâmico. No
arroz. 4 mostra uma representação gráfica do fractal de Julia.

Arroz. 4 Modelo Julia

Como pode ser visto no desenho fractal, é simétrico em relação ao centro
forma de pontos, enquanto o fractal de Mandelbrot tem uma forma simétrica
sobre o eixo.

tapete Sierpinski

O tapete de Sierpinski é considerado outro padrão fractal. Está em construção
da seguinte forma: toma-se um quadrado, dividido em nove quadrados,
recorte o quadrado central. Então, com cada um dos oito restantes
quadrados, um procedimento semelhante é realizado. E assim por diante ao infinito. NO
Como resultado, em vez de um quadrado inteiro, obtemos um tapete com uma peculiar
padrão simétrico. Este modelo foi proposto pela primeira vez pelo matemático
Sierpinsky, de quem recebeu o nome. Exemplo de tapete
Sierpinski pode ser visto na Fig. 4d.

Fig.4 Construção do tapete Sierpinski

4. Curva de Koch

No início do século 20, os matemáticos procuravam curvas que não podiam ser encontradas em nenhum outro lugar.
pontos não possuem tangente. Isso significou que a curva mudou abruptamente de
direção e, além disso, a uma velocidade enormemente alta (a derivação
é igual ao infinito). A busca por essas curvas se deu não apenas por
interesse ocioso dos matemáticos. O fato é que no início do século XX, muito
a mecânica quântica desenvolveu-se rapidamente. Pesquisador M. Brown
esboçou a trajetória do movimento de partículas suspensas na água e explicou
fenômeno é o seguinte: átomos de um líquido em movimento aleatório colidem com
partículas suspensas e, assim, colocá-las em movimento. Depois de tal
explicação do movimento browniano, os cientistas foram confrontados com a tarefa de encontrar tais
curva que melhor se aproxima do movimento
Partículas brownianas. Para isso, a curva teve que corresponder ao seguinte
propriedades: não tem tangente em nenhum ponto. Matemático Koch
propôs uma dessas curvas. Não vamos entrar em explicações
regras para a sua construção, mas simplesmente dar a sua imagem, a partir da qual todos
fica claro (Fig. 5).

Fig.5 Etapas da construção da curva de Koch

A curva de Koch é outro exemplo de fractal, pois cada um de seus
parte é uma imagem reduzida de toda a curva.

6. Imagens gráficas de vários fractais

Neste parágrafo, decidimos colocar imagens gráficas de vários
fractais que recebemos da Internet. Infelizmente não somos
conseguiram encontrar uma descrição matemática desses fractais, mas para
para entender sua beleza, apenas desenhos são suficientes.

Arroz. 6 Exemplos de representação gráfica de fractais

II SEÇÃO

APLICAÇÃO DA TEORIA DOS FRACTALS NA ECONOMIA

ANÁLISE TÉCNICA DOS MERCADOS FINANCEIROS

O mercado financeiro nos países desenvolvidos do mundo existe há mais de cem
anos. Durante séculos, as pessoas compraram e venderam títulos.
Esse tipo de operação com títulos trouxe renda aos participantes do mercado
porque os preços das ações e títulos flutuavam o tempo todo,
mudavam constantemente. Durante séculos, as pessoas compraram títulos a preços
mesmo preço e vendidos quando se tornaram mais caros. Mas às vezes
as expectativas do comprador não se concretizaram e os preços dos papéis adquiridos começaram
cair, assim, ele não só não recebeu renda, mas também sofreu
perdas. Por muito tempo, ninguém pensou em por que isso acontece:
o preço sobe e depois cai. As pessoas simplesmente viram o resultado da ação e não
pensado sobre o mecanismo causal que o gera.

Isso aconteceu até que um financista americano, um dos
editores do conhecido jornal "Financial Times", Charles Dow não
publicou uma série de artigos nos quais expôs suas opiniões sobre
funcionamento do mercado financeiro. O Dow notou que os preços das ações
sujeito a flutuações cíclicas: após um longo período de crescimento,
uma longa queda, depois outra subida e descida. Nesse caminho,
Charles Dow percebeu pela primeira vez que é possível prever o futuro
o comportamento do preço das ações, se sua direção é conhecida por alguns
último período.

Fig.1 Comportamento do preço de acordo com Ch.Dow

Posteriormente, com base nas descobertas feitas por Ch. Dow, todo um
teoria da análise técnica do mercado financeiro, que recebeu
chamada Teoria de Dow. Esta teoria remonta aos anos noventa
século XIX, quando C. Dow publicou seus artigos.

A análise técnica dos mercados é um método de prever o futuro
comportamento da tendência de preços, com base no conhecimento do histórico de seu comportamento.
A análise técnica para previsão usa matemática
propriedades das tendências, não o desempenho econômico dos títulos.

Em meados do século XX, quando todo o mundo científico se interessava apenas por
que a emergente teoria dos fractais, outra conhecida
O financista Ralph Elliot propôs sua teoria do comportamento dos preços das ações,
que foi baseado no uso da teoria fractal.

Elliot partiu do fato de que a geometria dos fractais não existe.
apenas na natureza viva, mas também nos processos sociais. ao público
Ele atribuiu os processos à negociação de ações em bolsa.

TEORIA DA ONDA DE ELLIOT

Elliot Wave Theory é uma das mais antigas teorias técnicas.
análise. Desde a sua criação, nenhum dos usuários contribuiu para isso
quaisquer mudanças notáveis. Ao contrário, todos os esforços foram direcionados para
que os princípios formulados por Elliot apareciam cada vez mais e
mais claramente. O resultado é óbvio. Com a ajuda da teoria de Elliot,
as melhores previsões para o movimento do índice americano Dow Jones.

A base da teoria é o chamado diagrama de ondas. A onda é
movimento de preços perceptível. Seguindo as regras de desenvolvimento de massa
comportamento psicológico, todos os movimentos de preços são divididos em cinco ondas em
direção de uma tendência mais forte e três ondas na direção oposta
direção. Por exemplo, no caso de uma tendência dominante, veremos cinco
ondas quando o preço sobe e três - quando se move (corrige) para baixo.

Para indicar uma tendência de cinco ondas, os números são usados ​​e para
as três ondas opostas - letras. Cada um dos cinco movimentos de onda
chamado de impulso, e cada um dos três ganhou - corretivo. É por isso
cada uma das ondas 1,3,5, A e C é impulso, e 2,4, e B -
corretivo.

Arroz. 7 Gráfico de Ondas Elliott

Elliot foi um dos primeiros a definir claramente o funcionamento da Geometria
Fractais na natureza, neste caso - no gráfico de preços. Ele
sugeriu que em cada um dos impulsos e
ondas corretivas também é um gráfico de ondas de Elliot.
Por sua vez, essas ondas também podem ser decompostas em componentes, e assim
Mais longe. Assim Elliot aplicou a teoria dos fractais à decomposição
tendência em partes menores e mais compreensíveis. Conhecimento dessas partes em mais
escala menor do que a maior forma de onda é importante porque
que os traders (participantes do mercado financeiro), sabendo em que parte
gráficos em que estão, podem vender títulos com confiança quando
uma onda corretiva começa e deve comprá-los quando começar
onda de impulso.

Fig.8 Estrutura fractal do diagrama de Elliott

NÚMEROS DE FIBONACCCI E CARACTERÍSTICAS DE ONDAS

Ralph Elliot teve a ideia de usar uma sequência numérica
Fibonacci para fazer previsões no âmbito da análise técnica. A PARTIR DE
usando números e coeficientes de Fibonacci, você pode prever o comprimento
cada onda e o tempo de sua conclusão. Sem tocar na questão do tempo,
Vamos voltar às regras mais usadas para determinar o comprimento
Elliot acena. Por comprimento, neste caso, queremos dizer
subida ou descida dos preços.

ondas de impulso.

A onda 3 geralmente tem um comprimento de 1,618 da onda 1, com menos frequência - igual a
sua.

Duas das ondas de impulso são geralmente iguais em comprimento, geralmente ondas 5
e 1. Isso geralmente acontece se o comprimento de onda 3 for menor que 1,618
comprimento de onda 1.

Muitas vezes há uma razão em que o comprimento de onda 5 é igual a 0,382
ou 0,618 a distância percorrida pelo preço desde o início da onda 1 até o final
ondas 3.

Correções

Os comprimentos das ondas corretivas formam um certo coeficiente
Fibonacci do comprimento da onda de impulso anterior. Conforme
pela regra da alternância, as ondas 2 e 4 devem alternar em porcentagem
Razão. O exemplo mais comum é o seguinte:
a onda 2 foi 61,8% da onda 1, enquanto a onda 4 pode ser
apenas 38,2% ou 50% da onda 3.

CONCLUSÃO

Em nosso trabalho, nem todas as áreas do conhecimento humano são dadas,
onde a teoria dos fractais encontrou sua aplicação. Queremos apenas dizer que
não mais de um terço de século se passou desde o surgimento da teoria, mas para este
fractais do tempo para muitos pesquisadores tornaram-se uma luz brilhante repentina
nas noites que iluminavam fatos e padrões até então desconhecidos
áreas de dados específicas. Usando a teoria dos fractais começou a explicar
a evolução das galáxias e o desenvolvimento da célula, o surgimento das montanhas e a formação
nuvens, o movimento dos preços na bolsa e o desenvolvimento da sociedade e da família. Pode ser
talvez no início essa paixão por fractais fosse até demais
tempestuoso e as tentativas de explicar tudo usando a teoria dos fractais foram
injustificado. Mas, sem dúvida, esta teoria tem o direito de
existência, e lamentamos que ultimamente tenha sido de alguma forma esquecido
e permaneceu o lote dos escolhidos. Ao preparar este trabalho,
É muito interessante encontrar aplicações da TEORIA na PRÁTICA. Porque
muitas vezes há uma sensação de que o conhecimento teórico está em
longe da vida real.

Ao final do nosso trabalho, queremos trazer palavras entusiasmadas
padrinho da teoria fractal, Benoit Mandelbrot: "A geometria da natureza
fractal! Hoje em dia soa tão ousado e absurdo quanto
a famosa exclamação de G. Galileu: “Mas ainda gira!” no XVI
século.

LISTA DE FONTES USADAS

Sheipak ​​I.A. Fractais, enxertos, arbustos… //Química e Vida. 1996 №6

Compreensão do caos //Química e vida. 1992 №8

Erlich A. Análise técnica de commodities e mercados de ações, M: Infra-M, 1996

Materiais da Internet.

A sequência de Fibonacci - uma sequência proposta em 1202
pelo matemático medieval Leonardo Fibonacci. Refere-se à espécie
seqüências de retorno. a1=1, a2=1, ai=ai-1+ai-2.
Coeficientes de Fibonacci - o quociente de dividir dois termos vizinhos
Sequências de Fibonacci: K1=ai/ai-1=1,618,

K2=ai-1/ai=0,618. Esses coeficientes são os chamados
"Seção Dourada".

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gráfico de preço de ações

Muitas vezes, descobertas brilhantes feitas na ciência podem mudar radicalmente nossas vidas. Assim, por exemplo, a invenção de uma vacina pode salvar muitas pessoas, e a criação de uma nova arma leva ao assassinato. Literalmente ontem (na escala da história) uma pessoa "domou" a eletricidade e hoje não consegue mais imaginar sua vida sem ela. No entanto, também existem descobertas que, como dizem, permanecem nas sombras, e apesar de também terem alguma influência em nossas vidas. Uma dessas descobertas foi o fractal. A maioria das pessoas nem ouviu falar de tal conceito e não será capaz de explicar seu significado. Neste artigo, tentaremos lidar com a questão do que é um fractal, considerar o significado desse termo do ponto de vista da ciência e da natureza.

Ordem no caos

Para entender o que é um fractal, deve-se iniciar o debriefing a partir da posição da matemática, porém, antes de nos aprofundarmos nele, filosofamos um pouco. Cada pessoa tem uma curiosidade natural, graças à qual aprende o mundo ao seu redor. Muitas vezes, em seu desejo de conhecimento, ele tenta operar com lógica em seus julgamentos. Assim, analisando os processos que ocorrem ao redor, ele tenta calcular as relações e derivar certos padrões. As maiores mentes do planeta estão ocupadas resolvendo esses problemas. Grosso modo, nossos cientistas estão procurando padrões onde não estão e não deveriam estar. No entanto, mesmo no caos há uma conexão entre certos eventos. Essa conexão é o fractal. Como exemplo, considere um galho quebrado na estrada. Se olharmos de perto, veremos que, com todos os seus ramos e nós, parece uma árvore. Essa semelhança de uma parte separada com um todo único atesta o chamado princípio da auto-semelhança recursiva. Fractals na natureza podem ser encontrados o tempo todo, porque muitas formas inorgânicas e orgânicas são formadas de maneira semelhante. São nuvens, conchas do mar, conchas de caracóis, copas de árvores e até mesmo o sistema circulatório. Esta lista pode ser continuada indefinidamente. Todas essas formas aleatórias são facilmente descritas pelo algoritmo fractal. Aqui passamos a considerar o que é um fractal do ponto de vista das ciências exatas.

Alguns fatos secos

A própria palavra "fractal" é traduzida do latim como "parcial", "dividida", "fragmentada", e quanto ao conteúdo deste termo, a formulação como tal não existe. Geralmente é tratado como um conjunto auto-semelhante, uma parte do todo, que se repete por sua estrutura no nível micro. Este termo foi cunhado na década de 70 do século XX por Benoit Mandelbrot, que é reconhecido como o Pai. Hoje, o conceito de fractal significa uma representação gráfica de uma determinada estrutura, que, quando ampliada, será semelhante a ela mesma. No entanto, a base matemática para a criação dessa teoria foi lançada antes mesmo do nascimento do próprio Mandelbrot, mas não pôde se desenvolver até que os computadores eletrônicos aparecessem.

Referência histórica, ou como tudo começou

Na virada dos séculos 19 e 20, o estudo da natureza dos fractais era episódico. Isso se deve ao fato de os matemáticos preferirem estudar objetos que podem ser investigados com base em teorias e métodos gerais. Em 1872, o matemático alemão K. Weierstrass construiu um exemplo de uma função contínua que não é diferenciável em nenhum lugar. No entanto, essa construção acabou sendo completamente abstrata e difícil de entender. Em seguida veio o sueco Helge von Koch, que em 1904 construiu uma curva contínua que não tem tangente em nenhum lugar. É bastante fácil de desenhar e, como se viu, é caracterizado por propriedades fractais. Uma das variantes desta curva recebeu o nome de seu autor - "floco de neve de Koch". Além disso, a ideia de auto-semelhança de figuras foi desenvolvida pelo futuro mentor de B. Mandelbrot, o francês Paul Levy. Em 1938 ele publicou o artigo "Plane and Spatial Curves and Surfaces Consisting of Parts Like a Whole". Nele, ele descreveu uma nova espécie - a curva C de Levy. Todas as figuras acima referem-se condicionalmente a uma forma como fractais geométricos.

Fractals dinâmicos ou algébricos

O conjunto de Mandelbrot pertence a esta classe. Os matemáticos franceses Pierre Fatou e Gaston Julia se tornaram os primeiros pesquisadores nessa direção. Em 1918 Julia publicou um artigo baseado no estudo de iterações de funções racionais complexas. Aqui ele descreveu uma família de fractais que estão intimamente relacionados ao conjunto de Mandelbrot. Apesar do fato de que este trabalho glorificou o autor entre os matemáticos, foi rapidamente esquecido. E apenas meio século depois, graças aos computadores, o trabalho de Julia ganhou uma segunda vida. Os computadores tornaram possível tornar visível a cada pessoa a beleza e a riqueza do mundo dos fractais que os matemáticos podiam "ver" exibindo-os através de funções. Mandelbrot foi o primeiro a usar um computador para realizar cálculos (manualmente, tal volume é impossível de realizar) que permitiram construir uma imagem dessas figuras.

Homem com imaginação espacial

Mandelbrot começou sua carreira científica no IBM Research Center. Estudando as possibilidades de transmissão de dados a longas distâncias, os cientistas se depararam com o fato de grandes perdas que surgiram devido à interferência de ruídos. Benoit estava procurando maneiras de resolver esse problema. Examinando os resultados das medições, ele chamou a atenção para um padrão estranho, a saber: os gráficos de ruído pareciam os mesmos em diferentes escalas de tempo.

Um quadro semelhante foi observado tanto por um período de um dia quanto por sete dias ou por uma hora. O próprio Benoit Mandelbrot repetia muitas vezes que não trabalha com fórmulas, mas brinca com imagens. Este cientista se distinguiu pelo pensamento imaginativo, ele traduziu qualquer problema algébrico em uma área geométrica, onde a resposta correta é óbvia. Portanto, não é surpreendente, distinguido pelos ricos e se tornou o pai da geometria fractal. Afinal, a consciência dessa figura só pode vir quando você estuda os desenhos e pensa no significado desses estranhos redemoinhos que formam o padrão. Os desenhos fractais não possuem elementos idênticos, mas são semelhantes em qualquer escala.

Julia - Mandelbrot

Um dos primeiros desenhos desta figura foi uma interpretação gráfica do conjunto, que nasceu graças ao trabalho de Gaston Julia e foi finalizado por Mandelbrot. Gaston estava tentando imaginar como um conjunto se parece quando é construído a partir de uma fórmula simples que é iterada por um ciclo de feedback. Vamos tentar explicar o que foi dito em linguagem humana, por assim dizer, nos dedos. Para um valor numérico específico, usando a fórmula, encontramos um novo valor. Substituímos na fórmula e encontramos o seguinte. O resultado é grande.Para representar tal conjunto, você precisa fazer essa operação um grande número de vezes: centenas, milhares, milhões. Foi isso que Benoit fez. Ele processou a sequência e transferiu os resultados para a forma gráfica. Posteriormente, ele coloriu a figura resultante (cada cor corresponde a um certo número de iterações). Esta imagem gráfica é chamada de fractal de Mandelbrot.

L. Carpinteiro: arte criada pela natureza

A teoria dos fractais rapidamente encontrou aplicação prática. Por estar intimamente relacionado à visualização de imagens autossimilares, os primeiros a adotar os princípios e algoritmos para construir essas formas inusitadas foram os artistas. O primeiro deles foi o futuro fundador do estúdio da Pixar, Lauren Carpenter. Enquanto trabalhava na apresentação de protótipos de aeronaves, ele teve a ideia de usar a imagem das montanhas como pano de fundo. Hoje, quase todos os usuários de computador podem lidar com essa tarefa e, nos anos setenta do século passado, os computadores não eram capazes de realizar esses processos, porque naquela época não havia editores gráficos e aplicativos para gráficos tridimensionais. Loren encontrou Fractals de Mandelbrot: forma, aleatoriedade e dimensão. Nela, Benois deu muitos exemplos, mostrando que existem fractais na natureza (fiva), descreveu suas várias formas e provou que são facilmente descritos por expressões matemáticas. O matemático citou essa analogia como um argumento para a utilidade da teoria que estava desenvolvendo em resposta a uma enxurrada de críticas de seus colegas. Eles argumentaram que um fractal é apenas uma bela imagem sem valor, um subproduto de máquinas eletrônicas. Carpenter decidiu tentar esse método na prática. Tendo estudado cuidadosamente o livro, o futuro animador começou a procurar uma maneira de implementar a geometria fractal em computação gráfica. Ele levou apenas três dias para renderizar uma imagem completamente realista da paisagem montanhosa em seu computador. E hoje esse princípio é amplamente utilizado. Como se viu, criar fractais não leva muito tempo e esforço.

A solução do carpinteiro

O princípio usado por Lauren acabou sendo simples. Consiste em dividir os maiores em elementos menores, e aqueles em semelhantes menores, e assim por diante. Carpenter, usando grandes triângulos, esmagou-os em 4 pequenos, e assim por diante, até obter uma paisagem montanhosa realista. Assim, ele se tornou o primeiro artista a aplicar o algoritmo fractal em computação gráfica para construir a imagem necessária. Hoje, esse princípio é usado para simular várias formas naturais realistas.

A primeira visualização 3D baseada no algoritmo fractal

Alguns anos depois, Lauren aplicou seu trabalho em um projeto de grande escala - um vídeo animado Vol Libre, exibido no Siggraph em 1980. Este vídeo chocou muitos, e seu criador foi convidado para trabalhar na Lucasfilm. Aqui o animador foi capaz de se realizar plenamente, ele criou paisagens tridimensionais (todo o planeta) para o longa-metragem "Star Trek". Qualquer programa moderno ("Fractals") ou aplicativo para criar gráficos tridimensionais (Terragen, Vue, Bryce) usa o mesmo algoritmo para modelar texturas e superfícies.

Tom Bedard

Ex-físico a laser e agora artista e artista digital, Beddard criou uma série de formas geométricas altamente intrigantes que chamou de fractais de Fabergé. Externamente, eles se assemelham aos ovos decorativos de um joalheiro russo, eles têm o mesmo padrão intrincado brilhante. Beddard usou um método de modelo para criar suas renderizações digitais dos modelos. Os produtos resultantes são impressionantes em sua beleza. Embora muitos se recusem a comparar um produto artesanal com um programa de computador, deve-se admitir que as formas resultantes são extraordinariamente belas. O destaque é que qualquer um pode construir tal fractal usando a biblioteca de software WebGL. Ele permite explorar várias estruturas fractais em tempo real.

fractais na natureza

Poucas pessoas prestam atenção, mas essas figuras incríveis estão por toda parte. A natureza é feita de figuras auto-semelhantes, nós simplesmente não percebemos. Basta olhar através de uma lupa nossa pele ou uma folha de uma árvore, e veremos fractais. Ou tome, por exemplo, um abacaxi ou até mesmo a cauda de um pavão - eles consistem em figuras semelhantes. E a variedade de brócolis Romanescu geralmente é impressionante em sua aparência, porque pode realmente ser chamada de um milagre da natureza.

Pausa musical

Acontece que os fractais não são apenas formas geométricas, eles também podem ser sons. Assim, o músico Jonathan Colton escreve música usando algoritmos fractais. Ele afirma corresponder à harmonia natural. O compositor publica todas as suas obras sob a licença CreativeCommons Attribution-Noncommercial, que prevê distribuição gratuita, cópia, transferência de obras por outras pessoas.

Indicador fractal

Esta técnica encontrou uma aplicação muito inesperada. Com base nisso, foi criada uma ferramenta de análise do mercado de bolsa de valores e, como resultado, passou a ser utilizada no mercado Forex. Agora, o indicador fractal é encontrado em todas as plataformas de negociação e é usado em uma técnica de negociação chamada de quebra de preço. Bill Williams desenvolveu esta técnica. Como o autor comenta sobre sua invenção, esse algoritmo é uma combinação de várias "velas", em que a central reflete o ponto extremo máximo ou, inversamente, o mínimo.

Finalmente

Então, consideramos o que é um fractal. Acontece que no caos que nos cerca, de fato, existem formas ideais. A natureza é o melhor arquiteto, o construtor e engenheiro ideal. Está organizado de forma muito lógica e, se não conseguirmos encontrar um padrão, isso não significa que ele não exista. Talvez você precise olhar para uma escala diferente. Podemos dizer com confiança que os fractais ainda guardam muitos segredos que ainda temos que descobrir.

Olá pessoal! Meu nome é, Ribenek Valéria, Ulyanovsk e hoje postarei vários dos meus artigos científicos no site do LKI.

Meu primeiro artigo científico neste blog será dedicado a fractais. Direi imediatamente que meus artigos são projetados para quase qualquer público. Aqueles. Espero que sejam de interesse para alunos e alunos.

Recentemente eu aprendi sobre objetos tão interessantes do mundo matemático como fractais. Mas eles existem não apenas na matemática. Eles nos cercam em todos os lugares. Fractais são naturais. Sobre o que são fractais, sobre os tipos de fractais, sobre exemplos desses objetos e sua aplicação, contarei neste artigo. Para começar, vou dizer brevemente o que é um fractal.

Fractal(lat. fractus - esmagado, quebrado, quebrado) é uma figura geométrica complexa que possui a propriedade de auto-semelhança, ou seja, é composta de várias partes, cada uma das quais é semelhante à figura inteira como um todo. Em um sentido mais amplo, os fractais são entendidos como conjuntos de pontos no espaço euclidiano que possuem uma dimensão métrica fracionária (no sentido de Minkowski ou Hausdorff), ou uma dimensão métrica diferente da topológica. Por exemplo, vou inserir uma imagem de quatro fractais diferentes.

Deixe-me contar um pouco sobre a história dos fractais. Os conceitos de fractal e geometria fractal, surgidos no final dos anos 70, tornaram-se firmemente estabelecidos na vida cotidiana de matemáticos e programadores desde meados dos anos 80. A palavra "fractal" foi introduzida por Benoit Mandelbrot em 1975 para se referir às estruturas irregulares, mas auto-semelhantes, que ele estudou. O nascimento da geometria fractal é geralmente associado à publicação em 1977 do livro de Mandelbrot The Fractal Geometry of Nature. Seus trabalhos utilizaram os resultados científicos de outros cientistas que trabalharam no período 1875-1925 no mesmo campo (Poincaré, Fatou, Julia, Kantor, Hausdorff). Mas somente em nosso tempo foi possível combinar seu trabalho em um único sistema.

Existem muitos exemplos de fractais, porque, como eu disse, eles nos cercam em todos os lugares. Na minha opinião, mesmo todo o nosso Universo é um enorme fractal. Afinal, tudo nele, desde a estrutura do átomo até a estrutura do próprio Universo, se repete exatamente. Mas há, é claro, exemplos mais específicos de fractais de diferentes áreas. Os fractais, por exemplo, estão presentes em dinâmicas complexas. Lá eles aparecem naturalmente no estudo de não lineares sistemas dinâmicos. O caso mais estudado é quando o sistema dinâmico é especificado por iterações polinomial ou holomorfo função de um complexo de variáveis na superfície. Alguns dos fractais mais famosos deste tipo são o conjunto de Julia, o conjunto de Mandelbrot e as bacias de Newton. Abaixo, em ordem, as imagens mostram cada um dos fractais acima.

Outro exemplo de fractais são as curvas fractais. É melhor explicar como construir um fractal usando o exemplo de curvas fractais. Uma dessas curvas é o chamado floco de neve de Koch. Existe um procedimento simples para obter curvas fractais em um plano. Definimos uma linha quebrada arbitrária com um número finito de links, chamado gerador. Em seguida, substituímos cada segmento por um gerador (mais precisamente, uma linha quebrada semelhante a um gerador). Na linha quebrada resultante, novamente substituímos cada segmento por um gerador. Continuando ao infinito, no limite obtemos uma curva fractal. Mostrado abaixo é um floco de neve de Koch (ou curva).

Há também muitas curvas fractais. Os mais famosos deles são o já mencionado Koch Snowflake, assim como a curva de Levy, a curva de Minkowski, o dragão quebrado, a curva de piano e a árvore pitagórica. Uma imagem desses fractais e sua história, acho que, se desejar, você pode encontrar facilmente na Wikipedia.

O terceiro exemplo ou tipo de fractais são fractais estocásticos. Tais fractais incluem a trajetória do movimento browniano no plano e no espaço, evoluções de Schramm-Löwner, vários tipos de fractais aleatórios, ou seja, fractais obtidos usando um procedimento recursivo, no qual um parâmetro aleatório é introduzido a cada passo.

Há também fractais puramente matemáticos. São, por exemplo, o conjunto de Cantor, a esponja de Menger, o triângulo de Sierpinski e outros.

Mas talvez os fractais mais interessantes sejam os naturais. Os fractais naturais são objetos na natureza que possuem propriedades fractais. E já existe uma grande lista. Não vou listar tudo, porque, provavelmente, não posso listar todos, mas vou falar de alguns. Por exemplo, na natureza viva, tais fractais incluem nosso sistema circulatório e pulmões. E também as coroas e folhas das árvores. Também aqui você pode incluir estrelas do mar, ouriços-do-mar, corais, conchas do mar, algumas plantas, como repolho ou brócolis. Abaixo, vários desses fractais naturais da vida selvagem são mostrados claramente.

Se considerarmos a natureza inanimada, existem exemplos muito mais interessantes do que na natureza viva. Relâmpagos, flocos de neve, nuvens, conhecidos de todos, padrões nas janelas em dias gelados, cristais, cadeias de montanhas - todos esses são exemplos de fractais naturais da natureza inanimada.

Consideramos exemplos e tipos de fractais. Quanto ao uso dos fractais, eles são utilizados em diversas áreas do conhecimento. Na física, os fractais surgem naturalmente na modelagem de processos não lineares, como fluxo de fluido turbulento, processos complexos de difusão-adsorção, chamas, nuvens, etc. Os fractais são usados ​​na modelagem de materiais porosos, por exemplo, em petroquímica. Em biologia, eles são usados ​​para modelar populações e descrever sistemas de órgãos internos (sistema de vasos sanguíneos). Após a criação da curva de Koch, foi proposta a sua utilização no cálculo do comprimento da linha de costa. Além disso, os fractais são usados ​​ativamente na engenharia de rádio, na ciência da computação e na tecnologia da computação, nas telecomunicações e até na economia. E, claro, a visão fractal é usada ativamente na arte e arquitetura contemporâneas. Aqui está um exemplo de pinturas fractais:

E então, com isso, acho que completarei minha história sobre um fenômeno matemático tão incomum como um fractal. Hoje aprendemos sobre o que é um fractal, como ele apareceu, sobre os tipos e exemplos de fractais. E também falei sobre sua aplicação e demonstrei claramente alguns dos fractais. Espero que você tenha gostado desta pequena excursão ao mundo de objetos fractais incríveis e fascinantes.