Pode ser especificado de diferentes maneiras (um ponto e um vetor, dois pontos e um vetor, três pontos, etc.). É com isso em mente que a equação do plano pode ter diferentes formas. Além disso, sob certas condições, os planos podem ser paralelos, perpendiculares, que se cruzam, etc. Vamos falar sobre isso neste artigo. Vamos aprender a escrever a equação geral do plano e não só.

Forma normal da equação

Digamos que existe um espaço R 3 que tem um sistema de coordenadas retangulares XYZ. Definimos o vetor α, que será liberado do ponto inicial O. Pela extremidade do vetor α traçamos o plano P, que será perpendicular a ele.

Denote por P um ponto arbitrário Q=(x, y, z). Vamos assinar o vetor raio do ponto Q com a letra p. O comprimento do vetor α é p=IαI e Ʋ=(cosα,cosβ,cosγ).

Este é um vetor unitário que aponta para o lado, assim como o vetor α. α, β e γ são os ângulos que se formam entre o vetor Ʋ e as direções positivas dos eixos espaciais x, y, z, respectivamente. A projeção de algum ponto QϵП no vetor Ʋ é um valor constante igual a р: (р,Ʋ) = р(р≥0).

Esta equação faz sentido quando p=0. A única coisa é que o plano P neste caso interceptará o ponto O (α=0), que é a origem, e o vetor unitário Ʋ liberado do ponto O será perpendicular a P, independentemente de sua direção, o que significa que o vetor Ʋ é determinado com precisão de sinal. A equação anterior é a equação do nosso plano P, expressa em forma vetorial. Mas em coordenadas ficará assim:

P aqui é maior ou igual a 0. Encontramos a equação de um plano no espaço em sua forma normal.

Equação Geral

Se multiplicarmos a equação em coordenadas por qualquer número que não seja igual a zero, obtemos uma equação equivalente à dada, que determina esse mesmo plano. Isso parecerá assim:

Aqui A, B, C são números que são simultaneamente diferentes de zero. Essa equação é chamada de equação geral do plano.

Equações planas. Casos especiais

A equação na forma geral pode ser modificada na presença de condições adicionais. Vamos considerar alguns deles.

Suponha que o coeficiente A seja 0. Isso significa que o plano dado é paralelo ao eixo dado Ox. Neste caso, a forma da equação mudará: Ву+Cz+D=0.

Da mesma forma, a forma da equação mudará sob as seguintes condições:

• Em primeiro lugar, se B = 0, então a equação mudará para Ax + Cz + D = 0, o que indicará paralelismo ao eixo Oy.
• Em segundo lugar, se С=0, então a equação é transformada em Ах+Ву+D=0, o que indicará paralelismo ao eixo dado Oz.
• Em terceiro lugar, se D=0, a equação se parecerá com Ax+By+Cz=0, o que significa que o plano intercepta O (a origem).
• Quarto, se A=B=0, então a equação mudará para Cz+D=0, que será paralela a Oxy.
• Quinto, se B=C=0, então a equação se torna Ax+D=0, o que significa que o plano para Oyz é paralelo.
• Sexto, se A=C=0, então a equação tomará a forma Ву+D=0, ou seja, reportará paralelismo para Oxz.

Tipo de equação em segmentos

No caso em que os números A, B, C, D são diferentes de zero, a forma da equação (0) pode ser a seguinte:

x/a + y/b + z/c = 1,

em que a \u003d -D / A, b \u003d -D / B, c \u003d -D / C.

Obtemos como resultado Vale a pena notar que este plano cruzará o eixo Ox em um ponto com coordenadas (a,0,0), Oy - (0,b,0) e Oz - (0,0,c) .

Levando em conta a equação x/a + y/b + z/c = 1, é fácil representar visualmente a colocação do plano em relação a um determinado sistema de coordenadas.

Coordenadas vetoriais normais

O vetor normal n ao plano P tem coordenadas que são os coeficientes da equação geral do plano dado, ou seja, n (A, B, C).

Para determinar as coordenadas da normal n, basta conhecer a equação geral de um plano dado.

Ao usar a equação em segmentos, que tem a forma x/a + y/b + z/c = 1, bem como ao usar a equação geral, pode-se escrever as coordenadas de qualquer vetor normal de um determinado plano: (1 /a + 1/b + 1/ Com).

Deve-se notar que o vetor normal ajuda a resolver vários problemas. As mais comuns são tarefas que consistem em provar a perpendicularidade ou paralelismo de planos, problemas em encontrar ângulos entre planos ou ângulos entre planos e linhas.

Vista da equação do plano segundo as coordenadas do ponto e do vetor normal

Um vetor diferente de zero n perpendicular a um determinado plano é chamado normal (normal) para um determinado plano.

Suponha que no espaço de coordenadas (sistema de coordenadas retangulares) Oxyz seja dado:

• ponto Mₒ com coordenadas (xₒ,yₒ,zₒ);
• vetor zero n=A*i+B*j+C*k.

É necessário compor uma equação para um plano que passará pelo ponto Mₒ perpendicular à normal n.

No espaço, escolhemos qualquer ponto arbitrário e o denotamos por M (x y, z). Seja o vetor raio de qualquer ponto M (x, y, z) r=x*i+y*j+z*k, e o vetor raio do ponto Mₒ (xₒ,yₒ,zₒ) - rₒ=xₒ* i+yₒ *j+zₒ*k. O ponto M pertencerá ao plano dado se o vetor MₒM for perpendicular ao vetor n. Escrevemos a condição de ortogonalidade usando o produto escalar:

[MₒM, n] = 0.

Como MₒM \u003d r-rₒ, a equação vetorial do plano ficará assim:

Esta equação pode assumir outra forma. Para fazer isso, as propriedades do produto escalar são usadas e o lado esquerdo da equação é transformado. = - . Se denotado como c, a seguinte equação será obtida: - c \u003d 0 ou \u003d c, que expressa a constância das projeções no vetor normal dos vetores de raio dos pontos dados que pertencem ao plano.

Agora você pode obter a forma coordenada de escrever a equação vetorial do nosso plano = 0. Como r-rₒ = (x-xₒ)*i + (y-yₒ)*j + (z-zₒ)*k, e n = A*i+B *j+C*k, temos:

Acontece que temos uma equação para um plano que passa por um ponto perpendicular à normal n:

A*(x-xₒ)+B*(y-yₒ)C*(z-zₒ)=0.

Vista da equação do plano de acordo com as coordenadas de dois pontos e um vetor colinear ao plano

Definimos dois pontos arbitrários M′ (x′,y′,z′) e M″ (x″,y″,z″), bem como o vetor a (a′,a″,a‴).

Agora podemos compor uma equação para um determinado plano, que passará pelos pontos disponíveis M′ e M″, bem como por qualquer ponto M com coordenadas (x, y, z) paralelas ao vetor dado a.

Neste caso, os vetores M′M=(x-x′;y-y′;z-z′) e M″M=(x″-x′;y″-y′;z″-z′) devem ser coplanares com o vetor a=(a′,a″,a‴), o que significa que (M′M, M″M, a)=0.

Então, nossa equação de um plano no espaço ficará assim:

Tipo da equação de um plano que intercepta três pontos

Suponha que temos três pontos: (x′, y′, z′), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴), que não pertencem à mesma reta. É necessário escrever a equação do plano que passa pelos três pontos dados. A teoria da geometria afirma que esse tipo de plano realmente existe, só que é o único e inimitável. Como este plano intercepta o ponto (x′, y′, z′), a forma de sua equação será a seguinte:

Aqui A, B, C são diferentes de zero ao mesmo tempo. Além disso, o plano dado cruza mais dois pontos: (x″,y″,z″) e (x‴,y‴,z‴). Nesse sentido, as seguintes condições devem ser atendidas:

Agora podemos compor um sistema homogêneo com incógnitas u, v, w:

No nosso caso, x, y ou z é um ponto arbitrário que satisfaz a equação (1). Levando em conta a equação (1) e o sistema de equações (2) e (3), o sistema de equações indicado na figura acima satisfaz o vetor N (A, B, C), que não é trivial. É por isso que o determinante desse sistema é igual a zero.

A equação (1), que obtivemos, é a equação do plano. Ele passa exatamente por 3 pontos, e isso é fácil de verificar. Para fazer isso, precisamos expandir nosso determinante sobre os elementos da primeira linha. Segue-se das propriedades existentes do determinante que nosso plano intercepta simultaneamente três pontos inicialmente dados (x′, y′, z′), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴) . Ou seja, resolvemos a tarefa proposta diante de nós.

Ângulo diedro entre planos

Um ângulo diedro é uma figura geométrica espacial formada por dois semiplanos que emanam de uma linha reta. Em outras palavras, esta é a parte do espaço que é limitada por esses semiplanos.

Digamos que temos dois planos com as seguintes equações:

Sabemos que os vetores N=(A,B,C) e N¹=(A¹,B¹,C¹) são perpendiculares aos planos dados. Nesse sentido, o ângulo φ entre os vetores N e N¹ é igual ao ângulo ( diedro), que está entre esses planos. O produto escalar tem a forma:

NN¹=|N||N¹|cos φ,

precisamente porque

cosφ= NN¹/|N||N¹|=(AA¹+BB¹+CC¹)/((√(A²+B²+C²))*(√(A¹)²+(B¹)²+(C¹)²)).

Basta levar em conta que 0≤φ≤π.

De fato, dois planos que se cruzam formam dois ângulos (diédricos): φ 1 e φ 2 . Sua soma é igual a π (φ 1 + φ 2 = π). Quanto aos seus cossenos, seus valores absolutos são iguais, mas diferem em sinais, ou seja, cos φ 1 =-cos φ 2. Se na equação (0) substituirmos A, B e C pelos números -A, -B e -C, respectivamente, então a equação que obtemos determinará o mesmo plano, o único ângulo φ na equação cos φ= NN 1 /|N||N 1 | será substituído por π-φ.

Equação do plano perpendicular

Os planos são chamados perpendiculares se o ângulo entre eles for de 90 graus. Usando o material descrito acima, podemos encontrar a equação de um plano perpendicular a outro. Digamos que temos dois planos: Ax+By+Cz+D=0 e A¹x+B¹y+C¹z+D=0. Podemos afirmar que serão perpendiculares se cosφ=0. Isso significa que NN¹=AA¹+BB¹+CC¹=0.

Equação do plano paralelo

Paralelos são dois planos que não contêm pontos comuns.

A condição (suas equações são as mesmas do parágrafo anterior) é que os vetores N e N¹, que são perpendiculares a eles, sejam colineares. Isso significa que as seguintes condições de proporcionalidade são satisfeitas:

A/A¹=B/B¹=C/C¹.

Se as condições de proporcionalidade forem estendidas - A/A¹=B/B¹=C/C¹=DD¹,

isso indica que esses planos coincidem. Isso significa que as equações Ax+By+Cz+D=0 e A¹x+B¹y+C¹z+D¹=0 descrevem um plano.

Distância ao plano do ponto

Digamos que temos um plano P, que é dado pela equação (0). É necessário encontrar a distância até ele do ponto com coordenadas (xₒ,yₒ,zₒ)=Qₒ. Para fazer isso, você precisa trazer a equação do plano P para a forma normal:

(ρ,v)=p (p≥0).

Neste caso, ρ(x,y,z) é o vetor raio do nosso ponto Q localizado em P, p é o comprimento da perpendicular a P que foi liberada do ponto zero, v é o vetor unitário que está localizado em a direção.

A diferença ρ-ρº do vetor de raio de algum ponto Q \u003d (x, y, z) pertencente a P, bem como o vetor de raio de um determinado ponto Q 0 \u003d (xₒ, yₒ, zₒ) é tal vetor, cujo valor absoluto da projeção em v é igual à distância d, que deve ser encontrada de Q 0 \u003d (xₒ, yₒ, zₒ) a P:

D=|(ρ-ρ 0 ,v)|, mas

(ρ-ρ 0 ,v)= (ρ,v)-(ρ 0 ,v) =р-(ρ 0 ,v).

Então acontece

d=|(ρ 0 ,v)-p|.

Assim, encontraremos o valor absoluto da expressão resultante, ou seja, o d desejado.

Usando a linguagem dos parâmetros, obtemos o óbvio:

d=|Axₒ+Vuₒ+Czₒ|/√(A²+B²+C²).

Se o ponto dado Q 0 está do outro lado do plano P, assim como a origem, então entre o vetor ρ-ρ 0 e v é, portanto:

d=-(ρ-ρ0,v)=(ρ0,v)-p>0.

No caso em que o ponto Q 0, juntamente com a origem, está localizado no mesmo lado de P, então o ângulo criado é agudo, ou seja:

d \u003d (ρ-ρ 0, v) \u003d p - (ρ 0, v)>0.

Como resultado, verifica-se que no primeiro caso (ρ 0 ,v)> р, no segundo (ρ 0 ,v)<р.

Plano tangente e sua equação

O plano tangente à superfície no ponto de contato Mº é o plano que contém todas as tangentes possíveis às curvas traçadas por este ponto na superfície.

Com esta forma da equação de superfície F (x, y, z) \u003d 0, a equação do plano tangente no ponto tangente Mº (xº, yº, zº) ficará assim:

F x (xº, yº, zº)(x- xº)+ F x (xº, yº, zº)(y-yº)+ F x (xº, yº, zº)(z-zº)=0.

Se você especificar a superfície na forma explícita z=f (x, y), então o plano tangente será descrito pela equação:

z-zº = f(xº, yº)(x- xº)+f(xº, yº)(y-yº).

Intersecção de dois planos

No sistema de coordenadas (retangular) Oxyz está localizado, dois planos П′ e П″ são dados, que se cruzam e não coincidem. Como qualquer plano localizado em um sistema de coordenadas retangulares é determinado pela equação geral, assumiremos que P′ e P″ são dados pelas equações A′x+B′y+C′z+D′=0 e A″x +B″y+ С″z+D″=0. Neste caso, temos o n' normal (A', B', C') do plano P' e o n' (A', B', C') normal do plano P'. Como nossos planos não são paralelos e não coincidem, esses vetores não são colineares. Usando a linguagem da matemática, podemos escrever esta condição da seguinte forma: n′≠ n″ ↔ (A′, B′, C′) ≠ (λ*A″,λ*B″,λ*C″), λϵR. Seja a linha que está na intersecção de P′ e P″ denotada pela letra a, neste caso a = P′ ∩ P″.

a é uma linha reta que consiste no conjunto de todos os pontos dos planos (comuns) П′ e П″. Isso significa que as coordenadas de qualquer ponto pertencente à linha a devem satisfazer simultaneamente as equações A′x+B′y+C′z+D′=0 e A″x+B″y+C″z+D″= 0. Isso significa que as coordenadas do ponto serão uma solução particular do seguinte sistema de equações:

Como resultado, verifica-se que a solução (geral) deste sistema de equações determinará as coordenadas de cada um dos pontos da linha reta, que atuará como o ponto de interseção de П′ e П″, e determinará a reta linha a no sistema de coordenadas Oxyz (retangular) no espaço.

1. Encontre a equação de um plano que passa por um determinado ponto paralelo a dois vetores dados (não colineares)

Observação: 1 via . Tome um ponto arbitrário do plano M (x, y, z). Os vetores serão coplanares porque estão em planos paralelos. Portanto, seu produto misto
Escrevendo esta condição em coordenadas, obtemos a equação do plano desejado:

É mais conveniente calcular esse determinante por expansão na primeira linha.

2 maneiras . Vetores
paralelo ao plano desejado. Portanto, um vetor igual ao produto vetorial de vetores
perpendicular a este plano , ou seja
e
. Vetor é o vetor normal do plano . Se um
e
, então o vetor é encontrado pela fórmula:

Equação do plano encontrar por ponto
e vetor normal

2. Encontre a equação de um plano que passa por dois pontos paralelos a um determinado vetor
.(
não colinear).

Observação: 1 caminho. Seja M (x, y, z) um ponto arbitrário do plano. Então os vetores e
estão localizados em planos paralelos, portanto, são coplanares, ou seja, seu produto misto
Escrevendo esta condição em coordenadas, obtemos a equação do plano desejado .

2 maneiras . O vetor normal ao plano desejado será igual ao produto vetorial dos vetores
, ou seja
ou em coordenadas:

Equação do plano desejado encontrado pelo vetor normal e apontar
(ou ponto
) pela fórmula (2.1.1)

(ver exemplo 1 ponto 2.2).

3. Encontre a equação de um plano que passa por um ponto
paralela ao plano 2x – 6y – 3z +5 =0.

Observação: vetor normal encontramos da equação geral do plano dado 2x – 6y – 3z +5 =0 (2.2.1).
Vetor é perpendicular a um determinado plano, portanto, é perpendicular a qualquer plano paralelo a ele. Vetor pode ser tomado como o vetor normal do plano desejado. Componha a equação do plano desejado pelo ponto
e vetor normal
(ver exemplo 1 ponto 2.2).

Responda:

4. Escreva uma equação para um plano que passa por um ponto
perpendicular à linha de interseção dos planos 2x + y - 2z + 1 = 0 e

x + y + z - 5 = 0.

Observação: 1 caminho. Vetores perpendiculares a cada um de seus planos (as coordenadas dos vetores são encontradas a partir das equações gerais dos planos, fórmula (2.2.1)) são perpendiculares à linha de sua interseção e, portanto, são paralelas ao plano desejado. O plano desejado passa pelo ponto
paralelo a dois vetores
(ver tarefa 1 ponto 5).

A equação do plano desejado tem a forma:

Expandindo o determinante de terceira ordem na primeira linha, obtemos a equação desejada.

2 maneiras. Componha a equação do plano pelo ponto
e vetor normal pela fórmula (2.2.1). vetor normal é igual ao produto vetorial dos vetores
,Essa.
Uma vez que os vetores
são perpendiculares à linha de interseção dos planos, então o vetor paralela à linha de intersecção dos planos e perpendicular ao plano desejado.

Vetores (ver fórmula 2.2.1), então

Componha a equação do plano pelo ponto
e vetor normal

(ver exemplo 1 ponto 2.2)

Responda:

5. Encontre a equação do plano que passa pelos pontos
e
perpendicular ao plano 3x – y + 3z +15 = 0.

Observação: 1 caminho. Vamos escrever as coordenadas do vetor normal do dado n planicidade

3x - y + 3z +15 = 0:
Como os planos são perpendiculares, o vetor paralelo ao plano desejado Componha a equação do plano desejado
que é paralelo ao vetor e passa pelos pontos
(veja a solução do problema 2 ponto 5; 1 método).

Calculando o determinante, obtemos a equação do plano desejado

10x + 15a - 5z - 70 =0
2x + 3y – z – 14 =0.

2 maneiras. Componha a equação do plano desejado por ponto
e o vetor normal
Vetor

Compomos a equação do plano desejado .

10(x - 2) +15(y - 3) - 5(z + 1) = 0;

10x + 15y - 5z - 70 = 0 (ver problema 2 ponto 5; 2º método). Divida ambos os lados da equação por 5.

2x + 3y - z - 14 = 0.

Responda: 2x + 3y - z - 14 = 0.

6. Escreva uma equação para um plano que passa por pontos

e

Observação: Vamos compor a equação de um plano que passa por três pontos (ver exemplo 1, cláusula 2.3, fórmula 2.3.1).

Expandindo o determinante, obtemos

Responda:

Comente. Para verificar a exatidão do cálculo do determinante, recomenda-se substituir as coordenadas desses pontos pelos quais o plano passa na equação resultante. Deve haver uma identidade; caso contrário, houve um erro nos cálculos.

7. Escreva uma equação para um plano que passa por um ponto
paralelo ao plano x – 4y + 5z + 1 = 0.

Observação: Da equação geral de um plano dado
x – 4y + 5z + 1 = 0 encontre o vetor normal
(fórmula 2.2.1). Vetor perpendicular ao plano desejado
Componha a equação do plano pelo ponto
e vetor normal
(ver exemplo 1; cláusula 2.2):

x - 4y + 5z + 15 = 0.

Responda: x - 4y + 5z + 15 = 0.

8. Escreva uma equação para um plano que passa por um ponto
paralelo aos vetores

Observação: Veja a solução do problema 1 ponto 5. Resolvemos o problema de uma das formas indicadas.

Responda: x - y - z - 1 = 0.

9. Escreva uma equação para um plano que passa por um ponto
perpendicular à linha de interseção dos planos 3x - 2y - z + 1 = 0 e x - y - z = 0.

Observação: Veja a solução do problema 4 ponto 5. Resolvemos o problema de uma das formas indicadas.

Responda: x + 2y - z - 8 = 0.

10. Encontre a equação do plano que passa pelos pontos

perpendicular ao plano 3x – y – 4z = 0.

Observação: Veja a solução do problema 5 ponto 5.

Responda: 9x - y + 7z - 40 = 0.

11. Encontre a equação do plano que passa pelos pontos

paralela à reta definida pelos pontos A (5; –2; 3) e B (6; 1; 0).

Observação: O plano desejado é paralelo à linha AB, portanto, é paralelo ao vetor
Equação do plano desejado encontramos, como na tarefa 2, parágrafo 5 (uma das formas).

Responda: 3x - 4y - 3z +4 = 0.

12. O ponto P (2; -1; -2) serve como base da perpendicular baixada da origem ao plano. Escreva uma equação para este plano.

Observação: Vetor normal para o plano desejado é o vetor
Encontre suas coordenadas. P (2; -1; -2) e O(0; 0; 0)

Essa.
Componha a equação do plano por ponto e vetor normal
(ver exemplo 1, parágrafo 2.2).

Responda: 2x - y - 2z - 9 = 0.

13. Escreva uma equação para um plano que passa por um ponto
paralela ao plano: a) xoy; b) você; c) xoz.

Observação: Vetor
- o vetor unitário do eixo oz é perpendicular ao plano xoy, portanto, é perpendicular ao plano desejado
Compomos a equação do plano no ponto A (0; -1; 2) e

= (0; 0; 1), porque
(ver solução do problema 3, item 5).
z - 2 = 0.

Resolvemos os problemas b) ec) de maneira semelhante.

b)
Onde
(1; 0; 0).

dentro)
Onde (0; 1; 0).

y + 1 = 0.

Responda: a) z - 2 = 0; b) x = 0; c) y + 1 = 0.

14. Escreva uma equação para um plano que passa por pontos
e

B (2; 1; –1) perpendicular ao plano: a) xoy; b) xoz.

Observação: O vetor normal do plano xoy é o vetor

= (0; 0; 1) é o vetor unitário do eixo oz. Componha a equação de um plano que passa por dois pontos
e B (2; 1; -1) e perpendicular ao plano com o vetor normal
(0; 0; 1), usando um dos métodos para resolver o problema 5 do parágrafo 5.
y - 1 = 0.

Da mesma forma para o problema b):
onde = (0; 1; 0).

Responda: a) y - 1 = 0; b) x + z - 1 = 0.

15. Escreva uma equação para um plano que passa por pontos
e

B (2; 3; –1) paralelo ao eixo oz.

Observação: No eixo oz, você pode pegar o vetor unitário = (0; 0; 1). A solução do problema é semelhante à solução do problema 2 ponto 5 (por qualquer meio).

Responda: x - y + 1 = 0.

16. Escreva uma equação para um plano que passa pelo eixo ox e um ponto

Observação: Avião
passa pelo eixo x e, portanto, também pelo ponto O(0; 0; 0). No eixo dos bois, podemos pegar o vetor unitário = (1; 0; 0). Compomos a equação do plano desejado usando dois pontos A(2; –1; 6) e O(0; 0; 0) e o vetor paralela ao plano. (Veja a solução do problema 2 ponto 5).

Responda: 6y + z = 0.

17. Em que valor de A os planos Ax + 2y - 7z - 1 \u003d 0 e 2x - y + 2z \u003d 0 serão perpendiculares?

Observação: Das equações gerais dos planos

Ax + 2y - 7z - 1 = 0 e
2x – y + 2z = 0 vetores normais

= (A; 2; -7) e
= (2; –1; 2) (2.2.1). A condição de perpendicularidade de dois planos (2.6.1).

Responda: A = 8.

18. Em que valor A do plano 2x + 3y - 6z - 23 = 0 e

4x + Ay - 12z + 7 = 0 será paralelo?

Observação:
2x + 3y - 6z - 23 = 0 e
4x + Ai - 12a + 7 = 0

= (2; 3; -6) e
= (4;A; –12) (2.2.1). Porque
(2.5.1)

Responda: A = 6.

19. Encontre o ângulo entre dois planos 2x + y + z + 7 = 0 e x - 2y + 3z = 0.

Observação:
2x + y + z + 7 = 0 e
x – 2y + 3z = 0

= (2; 1; 1) e
= (1; –2; 3)

(2.4.1)

Responda:

20. Componha as equações canônicas de uma linha reta que passa por um ponto

A (1; 2; -3) paralelo ao vetor =(1; –2; 1).

Observação: Veja a solução do exemplo do parágrafo 3.1.

Responda:

21. Componha equações paramétricas de uma linha reta que passa por um ponto

A (–2; 3; 1) paralelo ao vetor =(3; –1; 2).

Observação: Ver a solução do exemplo do ponto 3.2.

Responda:
.

22. Componha equações canônicas e paramétricas de uma reta que passa pelos pontos A (1; 0; -2) e B (1; 2; -4).

Observação: Veja a solução do exemplo 1 da cláusula 3.3.

Responda: a)
b)

23. Componha equações canônicas e paramétricas de uma linha reta definida como a interseção de dois planos x - 2y + 3z - 4 = 0 e 3x + 2y - 5z - 4 = 0.

Observação: Ver exemplo 1 ponto 3.4. Seja z = 0, então as coordenadas xey do ponto
encontre a partir da solução do sistema

Daí o ponto
, deitado na linha desejada, tem coordenadas

(2; -1; 0). Para encontrar o vetor de direção da linha reta desejada a partir das equações gerais dos planos
x – 2y +3z – 4 = 0 e
3x + 2y - 5z - 4 = 0

encontrar vetores normais =(1; -2; 3) e
=(3; 2; –5).

As equações canônicas da reta são encontradas a partir do ponto
(2; -1; 0) e vetor de direção

(Ver fórmula (3.1.1)).

As equações paramétricas da reta podem ser encontradas pela fórmula (3.2.1) ou pelas equações canônicas:
Nós temos:

Responda:
;
.

24. Através do ponto
(2; -3; -4) desenhe uma linha paralela a uma linha

.

Observação: Equações canônicas da linha necessária encontrar por ponto
e vetor de direção Porque
então para o vetor de direção direto você pode pegar o vetor de direção reta L. Além disso, veja a solução do problema 23, parágrafo 5 ou exemplo 1, parágrafo 3.4.

Responda:

25. Os vértices do triângulo A (–5; 7; 1), B (2; 4; –1) e C (–1; 3; 5) são dados. Encontre a equação para a mediana do triângulo ABC tirada do vértice B.

Observação: Encontramos as coordenadas do ponto M a partir da condição AM = MC (BM é a mediana do triângulo ABC).

A PARTIR DE deixamos as equações canônicas da reta BM em dois pontos B (2; 4; –1) e
(Ver exemplo 1 ponto 3.3).

Responda:

26. Compor equações canônicas e paramétricas de uma linha reta que passa por um ponto
(–1; –2; 2) paralelo ao eixo x.

Observação: Vetor
– o vetor unitário do eixo x é paralelo à linha reta desejada. Portanto, pode ser tomado como o vetor diretor da linha reta
= (1; 0; 0). Compor as equações de uma linha reta por um ponto

(–1; –2: 2) e o vetor = (1; 0; 0) (ver exemplo ponto 3.1 e exemplo 1 ponto 3.2).

Responda:
;

27. Componha equações canônicas de uma linha reta que passa por um ponto
(3; –2; 4) perpendicular ao plano 5x + 3y – 7z + 1 = 0.

Observação: Da equação geral do plano
5x + 3y – 7z + 1 = 0 encontre o vetor normal = (5; 3; -7). De acordo com a condição, a linha desejada
daí o vetor
Essa. vetor é o vetor de direção da linha reta L: = (5; 3; -7). Compomos as equações canônicas de uma linha reta por um ponto
(3; –2; 4) e vetor de direção

= (5; 3; -7). (Ver exemplo ponto 3.1).

Responda:

28. Componha as equações paramétricas da perpendicular baixada da origem ao plano 4x - y + 2z - 3 = 0.

Observação: Vamos compor a equação da perpendicular desejada, ou seja. reta perpendicular ao plano
4x – y + 2z – 3 = 0 e passando pelo ponto O (0; 0; 0). (Veja a solução do problema 27 ponto 5 e exemplo 1 ponto 3.2).

Responda:

29. Encontre o ponto de interseção de uma linha
e avião

x - 2y + z - 15 = 0.

Observação: Para encontrar o ponto M da interseção de uma linha

EU:
e avião

x - 2y + z - 15 = 0, é necessário resolver o sistema de equações:

;

Para resolver o sistema, transformamos as equações canônicas da linha reta em equações paramétricas. (Ver problema 23, ponto 5).

Responda:

30. Encontre a projeção do ponto M (4; -3; 1) no plano x + 2y - z - 3 = 0.

Observação: A projeção do ponto M no plano será o ponto P - ponto p interseção da perpendicular baixada do ponto M ao plano
e aviões Vamos compor as equações paramétricas da perpendicular MP (veja a solução do problema 28, parágrafo 5).

Vamos encontrar o ponto P - o ponto de interseção da linha MP e o plano (Veja a solução do problema 29 ponto 5).

Responda:

31. Encontre a projeção do ponto A (1; 2; 1) em uma linha reta

Observação: Projeção do ponto A na linha L:
é t pontos Na interseção da linha L e o plano
que passa pelo ponto A e é perpendicular à linha L. Das equações canônicas da reta L, escrevemos o vetor de direção =(3; -1; 2). Avião perpendicular à linha L, então
Então o vetor pode ser tomado como o vetor normal do plano
= (3; –1; 2). Componha a equação do plano ponto A(1; 2; 1) e = (3; –1; 2) (ver exemplo 1 ponto 2.2):
3(x - 1) - 1(y - 2) + 2(z - 1) = 0

3x - y + 2z - 3 = 0. Encontre o ponto B na interseção da linha e do plano (veja o problema 29, parágrafo 5):

Responda:

32. Desenhe uma linha através do ponto M (3; -1; 0) paralela a dois planos x - y + z - 3 = 0 e x + y + 2z - 3 = 0.

Observação: aviões
x – y + z – 3 = 0 e
x + y + 2z - 3 = 0 não são paralelos, porque condição (2.5.1) não for satisfeita:
aviões
cruzar. A linha desejada L, paralela aos planos
paralela à linha de interseção desses planos. (Ver a solução dos problemas 24 e 23 ponto 5).

Responda:

33. Escreva uma equação para um plano que passa por duas linhas

Observação:1 caminho. Componha a equação do plano desejado por ponto
deitado em linha reta , e o vetor normal . Vetor será igual ao produto vetorial dos vetores diretores das linhas
, que encontramos a partir das equações canônicas de linhas
(fórmula 3.1.1): = (7; 3; 5) e

= (5; 5; –3)

Coordenadas do ponto
encontrar a partir das equações canônicas da linha reta

Compomos a equação do plano por ponto
e o vetor normal =(–34; 46; 20) (ver exemplo 1 ponto 2.2)
17x - 23y - 10z + 36 = 0.

2 maneiras. Encontrando vetores de direção = (7; 3; 5) e = (5; 5; –3) das equações canônicas de linhas
ponto
(0; 2; –1) encontramos a partir da equação

. Tome um ponto arbitrário no plano

M (x; y; z). Vetores
são coplanares, portanto
Desta condição obtemos a equação do plano:

Responda: 17x - 23y - 10z +36 = 0.

34. Escreva uma equação para um plano que passa por um ponto
(2; 0; 1) e uma linha reta

Observação: Vamos primeiro certificar-nos de que o ponto
nesta linha reta Ezhit:
ponto
e vetor de direção encontramos a partir das equações canônicas da linha reta
:
(1; -1; -1) e

= (1; 2; -1). Vetor normal do plano desejado
Encontramos as coordenadas do vetor normal, conhecendo as coordenadas =(1; 2; -1) e

= (1; 1; 2):

Compomos a equação do plano pelo ponto
(2; 0; 1) e o vetor normal = (–5; 3; 1):

–5(x – 2) + 3(y – 0) + 1(z – 1) = 0.

Responda: 5x - 3y - z - 9 = 0.

Para obter a equação geral do plano, analisamos o plano que passa por um determinado ponto.

Sejam três eixos coordenados já conhecidos por nós no espaço - Boi, Oi e Oz. Segure a folha de papel para que fique plana. O plano será a própria folha e sua continuação em todas as direções.

Deixar P plano arbitrário no espaço. Qualquer vetor perpendicular a ele é chamado vetor normal a este plano. Naturalmente, estamos falando de um vetor diferente de zero.

Se qualquer ponto do plano for conhecido P e algum vetor da normal a ele, então por essas duas condições o plano no espaço é completamente determinado(através de um dado ponto, existe apenas um plano perpendicular a um dado vetor). A equação geral do plano ficará assim:

Portanto, existem condições que definem a equação do plano. Para obtê-lo sozinho equação do plano, que tem a forma acima, tomamos o plano P arbitrário ponto M com coordenadas variáveis x, y, z. Este ponto pertence ao plano somente se vetor perpendicular ao vetor(Figura 1). Para isso, de acordo com a condição de perpendicularidade dos vetores, é necessário e suficiente que o produto escalar desses vetores seja igual a zero, ou seja

O vetor é dado por condição. Encontramos as coordenadas do vetor pela fórmula :

.

Agora, usando a fórmula do produto escalar de vetores , expressamos o produto escalar na forma de coordenadas:

Desde o ponto M(x; y; z)é escolhido arbitrariamente no plano, então a última equação é satisfeita pelas coordenadas de qualquer ponto situado no plano P. Por ponto N, não encontrando-se em um determinado plano, , ou seja. igualdade (1) é violada.

Exemplo 1 Escreva uma equação para um plano que passa por um ponto e é perpendicular a um vetor.

Solução. Usamos a fórmula (1), veja novamente:

Nesta fórmula, os números UMA , B e C coordenadas vetoriais e números x0 , y0 e z0 - coordenadas do ponto.

Os cálculos são muito simples: substituímos esses números na fórmula e obtemos

Multiplicamos tudo o que precisa ser multiplicado e somamos apenas números (que são sem letras). Resultado:

.

A equação necessária do plano neste exemplo acabou por ser expressa pela equação geral do primeiro grau em relação às coordenadas variáveis x, y, z ponto arbitrário do plano.

Então, uma equação da forma

chamado a equação geral do plano .

Exemplo 2 Construa em um sistema de coordenadas cartesianas retangular o plano dado pela equação .

Solução. Para construir um plano, é necessário e suficiente conhecer três de seus pontos que não estão em uma linha reta, por exemplo, os pontos de interseção do plano com os eixos coordenados.

Como encontrar esses pontos? Para encontrar o ponto de intersecção com o eixo Oz, você precisa substituir zeros em vez de x e y na equação dada na declaração do problema: x = y= 0. Portanto, obtemos z= 6. Assim, o plano dado intercepta o eixo Oz no ponto UMA(0; 0; 6) .

Da mesma forma, encontramos o ponto de intersecção do plano com o eixo Oi. No x = z= 0 obtemos y= −3 , ou seja, um ponto B(0; −3; 0) .

E, finalmente, encontramos o ponto de intersecção do nosso plano com o eixo Boi. No y = z= 0 obtemos x= 2 , ou seja, um ponto C(2; 0; 0). De acordo com os três pontos obtidos em nossa solução UMA(0; 0; 6) , B(0; -3; 0) e C(2; 0; 0) construímos o plano dado.

Considere agora casos especiais da equação geral do plano. Estes são casos em que certos coeficientes da equação (2) desaparecem.

1. Quando D= 0 equação define um plano que passa pela origem, pois as coordenadas de um ponto 0 (0; 0; 0) satisfazem esta equação.

2. Quando A= 0 equação define um plano paralelo ao eixo Boi, uma vez que o vetor normal deste plano é perpendicular ao eixo Boi(sua projeção no eixo Boi igual a zero). Da mesma forma, quando B= 0 avião eixo paralelo Oi, e quando C= 0 avião paralelo ao eixo Oz.

3. Quando A=D= 0 equação define um plano que passa pelo eixo Boi porque é paralelo ao eixo Boi (A=D= 0). Da mesma forma, o plano passa pelo eixo Oi, e o plano através do eixo Oz.

4. Quando A=B= 0 equação define um plano paralelo ao plano de coordenadas xOy porque é paralelo aos eixos Boi (UMA= 0) e Oi (B= 0). Da mesma forma, o plano é paralelo ao plano yOz, e o avião - o avião xOz.

5. Quando A=B=D= 0 equação (ou z= 0) define o plano de coordenadas xOy, pois é paralelo ao plano xOy (A=B= 0) e passa pela origem ( D= 0). Da mesma forma, a equação y= 0 no espaço define o plano de coordenadas xOz, e a equação x= 0 - plano de coordenadas yOz.

Exemplo 3 Componha a equação do plano P passando pelo eixo Oi e ponto.

Solução. Então o plano passa pelo eixo Oi. Então na equação dela y= 0 e esta equação tem a forma . Para determinar os coeficientes UMA e C usamos o fato de que o ponto pertence ao plano P .

Portanto, entre suas coordenadas estão aquelas que podem ser substituídas na equação do plano, que já deduzimos (). Vejamos novamente as coordenadas do ponto:

M0 (2; −4; 3) .

Entre eles x = 2 , z= 3. Nós os substituímos na equação geral e obtemos a equação para nosso caso particular:

2UMA + 3C = 0 .

deixamos 2 UMA no lado esquerdo da equação, transferimos 3 C para o lado direito e obter

UMA = −1,5C .

Substituindo o valor encontrado UMA na equação, obtemos

ou .

Esta é a equação exigida na condição de exemplo.

Resolva você mesmo o problema nas equações do plano e, em seguida, olhe para a solução

Exemplo 4 Determine o plano (ou planos se houver mais de um) em relação aos eixos coordenados ou planos coordenados se o(s) plano(s) for(em) dado(s) pela equação .

Soluções para problemas típicos que ocorrem em testes - no manual "Problemas em um plano: paralelismo, perpendicularidade, interseção de três planos em um ponto" .

Equação de um plano que passa por três pontos

Como já mencionado, uma condição necessária e suficiente para construir um plano, além de um ponto e um vetor normal, são também três pontos que não estão em uma linha reta.

Seja dado três pontos diferentes , e , não deitado na mesma linha reta. Como esses três pontos não estão em uma linha reta, os vetores e não são colineares e, portanto, qualquer ponto do plano está no mesmo plano com os pontos , e se e somente se os vetores , e coplanares, ou seja se e apenas se o produto misto desses vetores igual a zero.

Usando a expressão do produto misto em coordenadas, obtemos a equação do plano

(3)

Depois de expandir o determinante, esta equação torna-se uma equação da forma (2), ou seja a equação geral do plano.

Exemplo 5 Escreva uma equação para um plano que passa por três pontos dados que não estão em uma linha reta:

e determinar um caso particular da equação geral da reta, se houver.

Solução. Pela fórmula (3) temos:

Equação normal do plano. Distância do ponto ao plano

A equação normal de um plano é sua equação, escrita na forma

Para que um único plano seja traçado através de quaisquer três pontos no espaço, é necessário que esses pontos não estejam em uma linha reta.

Considere os pontos M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3) em um sistema de coordenadas cartesiano comum.

Para que um ponto arbitrário M(x, y, z) esteja no mesmo plano que os pontos M 1 , M 2 , M 3 , os vetores devem ser coplanares.

(
) = 0

Nesse caminho,

Equação de um plano que passa por três pontos:

Equação de um plano em relação a dois pontos e um vetor colinear ao plano.

Sejam os pontos M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2) e o vetor
.

Vamos compor a equação do plano que passa pelos pontos dados M 1 e M 2 e um ponto arbitrário M (x, y, z) paralelo ao vetor .

Vetores
e vetor
deve ser coplanar, ou seja,

(
) = 0

Equação do plano:

Equação de um plano em relação a um ponto e dois vetores,

plano colinear.

Sejam dois vetores dados
e
, planos colineares. Então, para um ponto arbitrário M(x, y, z) pertencente ao plano, os vetores
deve ser coplanar.

Equação do plano:

Equação do plano por ponto e vetor normal .

Teorema. Se um ponto M é dado no espaço 0 (X 0 , e 0 , z 0 ), então a equação do plano que passa pelo ponto M 0 perpendicular ao vetor normal (UMA, B, C) parece:

UMA(x – x 0 ) + B(y – y 0 ) + C(z – z 0 ) = 0.

Prova. Para um ponto arbitrário M(x, y, z) pertencente ao plano, compomos um vetor . Porque vetor - o vetor normal, então é perpendicular ao plano e, portanto, perpendicular ao vetor
. Então o produto escalar

= 0

Assim, obtemos a equação do plano

O teorema foi provado.

Equação de um plano em segmentos.

Se na equação geral Ax + Wu + Cz + D \u003d 0, divida ambas as partes por (-D)

,

substituindo
, obtemos a equação do plano em segmentos:

Os números a, b, c são os pontos de interseção do plano, respectivamente, com os eixos x, y, z.

Equação plana em forma vetorial.

Onde

- raio-vetor do ponto atual M(x, y, z),

Um vetor unitário que tem a direção da perpendicular baixada ao plano a partir da origem.

,  e  são os ângulos formados por este vetor com os eixos x, y, z.

p é o comprimento desta perpendicular.

Em coordenadas, esta equação tem a forma:

xcos + ycos + zcos - p = 0.

A distância de um ponto a um plano.

A distância de um ponto arbitrário M 0 (x 0, y 0, z 0) ao plano Ax + Vy + Cz + D \u003d 0 é:

Exemplo. Encontre a equação do plano, sabendo que o ponto P (4; -3; 12) é a base da perpendicular baixada da origem até este plano.

Então A = 4/13; B = -3/13; C = 12/13, use a fórmula:

A(x-x 0 ) + B(y – y 0 ) + C(z – z 0 ) = 0.

Exemplo. Encontre a equação de um plano que passa por dois pontos P(2; 0; -1) e

Q(1; -1; 3) é perpendicular ao plano 3x + 2y - z + 5 = 0.

Vetor normal ao plano 3x + 2y - z + 5 = 0
paralelo ao plano desejado.

Nós temos:

Exemplo. Encontre a equação do plano que passa pelos pontos A(2, -1, 4) e

В(3, 2, -1) perpendicular ao plano X + no + 2z – 3 = 0.

A equação do plano desejada tem a forma: A x+ B y+C z+ D = 0, o vetor normal a este plano (A,B,C). Vetor
(1, 3, -5) pertence ao plano. O plano que nos é dado, perpendicular ao desejado, tem um vetor normal (1, 1, 2). Porque os pontos A e B pertencem a ambos os planos, e os planos são mutuamente perpendiculares, então

Então o vetor normal (11, -7, -2). Porque ponto A pertence ao plano desejado, então suas coordenadas devem satisfazer a equação deste plano, ou seja, 112 + 71 - 24 + D= 0; D= -21.

No total, obtemos a equação do plano: 11 x - 7y – 2z – 21 = 0.

Exemplo. Encontre a equação do plano, sabendo que o ponto P(4, -3, 12) é a base da perpendicular baixada da origem a este plano.

Encontrando as coordenadas do vetor normal
= (4, -3, 12). A equação desejada do plano tem a forma: 4 x – 3y + 12z+ D = 0. Para encontrar o coeficiente D, substituímos as coordenadas do ponto Р na equação:

16 + 9 + 144 + D = 0

No total, obtemos a equação desejada: 4 x – 3y + 12z – 169 = 0

Exemplo. Dadas as coordenadas dos vértices da pirâmide A 1 (1; 0; 3), A 2 (2; -1; 3), A 3 (2; 1; 1),

Encontre o comprimento da aresta A 1 A 2 .

Encontre o ângulo entre as arestas A 1 A 2 e A 1 A 4.

Encontre o ângulo entre a aresta A 1 A 4 e a face A 1 A 2 A 3 .

Primeiro, encontre o vetor normal à face A 1 A 2 A 3 como um produto vetorial de vetores
e
.

= (2-1; 1-0; 1-3) = (1; 1; -2);

Encontre o ângulo entre o vetor normal e o vetor
.

-4 – 4 = -8.

O ângulo desejado  entre o vetor e o plano será igual a  = 90 0 - .

Encontre a área da face A 1 A 2 A 3 .

Encontre o volume da pirâmide.

Encontre a equação do plano À 1 À 2 À 3 .

Usamos a fórmula para a equação de um plano que passa por três pontos.

2x + 2y + 2z - 8 = 0

x + y + z - 4 = 0;

Ao usar a versão para PC de “ Curso de matemática superior” você pode executar um programa que resolverá o exemplo acima para quaisquer coordenadas dos vértices da pirâmide.

Clique duas vezes no ícone para iniciar o programa:

Na janela do programa que se abre, insira as coordenadas dos vértices da pirâmide e pressione Enter. Assim, todos os pontos de decisão podem ser obtidos um a um.

Nota: Para executar o programa, você deve ter o Maple ( Waterloo Maple Inc.) instalado em seu computador, qualquer versão a partir do MapleV Release 4.

Equação do plano. Como escrever uma equação para um plano?
Arranjo mútuo de aviões. Tarefas

A geometria espacial não é muito mais complicada do que a geometria "plana", e nossos voos no espaço começam com este artigo. Para entender o assunto, é preciso ter uma boa compreensão do assunto. vetores, além disso, é desejável estar familiarizado com a geometria do plano - haverá muitas semelhanças, muitas analogias, para que as informações sejam digeridas muito melhor. Em uma série de minhas lições, o mundo 2D abre com um artigo Equação de uma linha reta em um plano. Mas agora Batman saiu da TV de tela plana e está lançando do Cosmódromo de Baikonur.

Vamos começar com desenhos e símbolos. Esquematicamente, o plano pode ser desenhado como um paralelogramo, o que dá a impressão de espaço:

O plano é infinito, mas temos a oportunidade de retratar apenas um pedaço dele. Na prática, além do paralelogramo, também é desenhado um oval ou mesmo uma nuvem. Por razões técnicas, é mais conveniente para mim retratar o avião dessa maneira e nessa posição. Os planos reais, que consideraremos em exemplos práticos, podem ser organizados como você quiser - mentalmente pegue o desenho em suas mãos e gire-o no espaço, dando ao plano qualquer inclinação, qualquer ângulo.

Notação: é costume designar os planos em pequenas letras gregas, aparentemente para não confundi-los com direto no avião ou com direto no espaço. Estou acostumado a usar a letra. No desenho, é a letra "sigma", e não um buraco. Embora, um avião furado, é certamente muito engraçado.

Em alguns casos, é conveniente usar as mesmas letras gregas com subscritos para designar planos, por exemplo, .

É óbvio que o plano é determinado unicamente por três pontos diferentes que não estão na mesma linha reta. Portanto, as designações de três letras de aviões são bastante populares - de acordo com os pontos que lhes pertencem, por exemplo, etc. Muitas vezes as letras são colocadas entre parênteses: para não confundir o plano com outra figura geométrica.

Para leitores experientes, darei menu de atalho:

• Como escrever uma equação para um plano usando um ponto e dois vetores?
• Como escrever uma equação para um plano usando um ponto e um vetor normal?

e não vamos definhar em longas esperas:

Equação geral do plano

A equação geral do plano tem a forma , onde os coeficientes são simultaneamente diferentes de zero.

Uma série de cálculos teóricos e problemas práticos são válidos tanto para a base ortonormal usual quanto para a base afim do espaço (se óleo é óleo, volte para a lição (não) dependência linear de vetores. Base vetorial). Por simplicidade, vamos assumir que todos os eventos ocorrem em uma base ortonormal e um sistema de coordenadas retangulares cartesianas.

E agora vamos treinar um pouco de imaginação espacial. Tudo bem se você tiver ruim, agora vamos desenvolvê-lo um pouco. Até jogar com os nervos requer prática.

No caso mais geral, quando os números não são iguais a zero, o plano intercepta todos os três eixos coordenados. Por exemplo, assim:

Repito mais uma vez que o plano continua indefinidamente em todas as direções, e temos a oportunidade de retratar apenas parte dele.

Considere as equações mais simples de planos:

Como entender essa equação? Pense nisso: “Z” SEMPRE, pois qualquer valor de “X” e “Y” é igual a zero. Esta é a equação do plano de coordenadas "nativo". De fato, formalmente a equação pode ser reescrita da seguinte forma: , de onde é claramente visível que não nos importamos, quais valores “x” e “y” assumem, é importante que “z” seja igual a zero.

De forma similar:
é a equação do plano coordenado;
é a equação do plano coordenado.

Vamos complicar um pouco o problema, considere um plano (aqui e mais adiante no parágrafo assumimos que os coeficientes numéricos não são iguais a zero). Vamos reescrever a equação na forma: . Como entendê-lo? "X" é SEMPRE, para qualquer valor de "y" e "z" é igual a um determinado número. Este plano é paralelo ao plano de coordenadas. Por exemplo, um plano é paralelo a um plano e passa por um ponto.

De forma similar:
- a equação do plano, que é paralela ao plano de coordenadas;
- a equação de um plano que é paralelo ao plano de coordenadas.

Adicionar membros: . A equação pode ser reescrita assim: , ou seja, "Z" pode ser qualquer coisa. O que isto significa? "X" e "Y" estão conectados por uma razão que desenha uma certa linha reta no plano (você reconhecerá equação de uma reta em um plano?). Como Z pode ser qualquer coisa, essa linha é "replicada" em qualquer altura. Assim, a equação define um plano paralelo ao eixo de coordenadas

De forma similar:
- a equação do plano, que é paralelo ao eixo de coordenadas;
- a equação do plano, que é paralelo ao eixo de coordenadas.

Se os termos livres forem zero, os planos passarão diretamente pelos eixos correspondentes. Por exemplo, a clássica "proporcionalidade direta":. Desenhe uma linha reta no plano e multiplique-a mentalmente para cima e para baixo (já que “z” é qualquer). Conclusão: o plano dado pela equação passa pelo eixo de coordenadas.

Concluímos a revisão: a equação do plano passa pela origem. Bem, aqui é bastante óbvio que o ponto satisfaz a equação dada.

E, finalmente, o caso mostrado no desenho: - o plano é amigo de todos os eixos coordenados, enquanto sempre “corta” um triângulo que pode ser localizado em qualquer um dos oito octantes.

Desigualdades lineares no espaço

Para entender a informação, é necessário estudar bem desigualdades lineares no plano porque muitas coisas serão semelhantes. O parágrafo será de uma breve visão geral com alguns exemplos, já que o material é bastante raro na prática.

Se a equação define um plano, então as desigualdades
perguntar meios-espaços. Se a desigualdade não for estrita (as duas últimas da lista), a solução da desigualdade, além do meio-espaço, inclui o próprio plano.

Exemplo 5

Encontre o vetor normal unitário do plano .

Solução: Um vetor unitário é um vetor cujo comprimento é um. Vamos denotar este vetor por . É bastante claro que os vetores são colineares:

Primeiro, removemos o vetor normal da equação do plano: .

Como encontrar o vetor unitário? Para encontrar o vetor unitário, você precisa todo coordenada vetorial dividida pelo comprimento vetorial.

Vamos reescrever o vetor normal na forma e encontrar seu comprimento:

De acordo com o acima:

Responda:

Check: , que era necessário para verificar.

Os leitores que estudaram cuidadosamente o último parágrafo da lição, provavelmente notaram que as coordenadas do vetor unitário são exatamente os cossenos de direção do vetor:

Vamos divagar do problema desmontado: quando você recebe um vetor arbitrário diferente de zero, e pela condição é necessário encontrar seus cossenos de direção (veja as últimas tarefas da lição Produto escalar de vetores), então você, de fato, também encontra um vetor unitário colinear ao dado. Na verdade, duas tarefas em uma garrafa.

A necessidade de encontrar um vetor normal unitário surge em alguns problemas de análise matemática.

Descobrimos a pesca do vetor normal, agora vamos responder a pergunta oposta:

Como escrever uma equação para um plano usando um ponto e um vetor normal?

Esta construção rígida de um vetor normal e um ponto é bem conhecida por um alvo de dardos. Por favor, estique a mão para a frente e selecione mentalmente um ponto arbitrário no espaço, por exemplo, um pequeno gato em um aparador. Obviamente, através deste ponto, você pode desenhar um único plano perpendicular à sua mão.

A equação de um plano que passa por um ponto perpendicular ao vetor é expressa pela fórmula: