Tema da lição: "Ângulo diedro".

O objetivo da lição: introdução do conceito de ângulo diedro e seu ângulo linear.

Tarefas:

Educacional: considerar tarefas para a aplicação desses conceitos, formar uma habilidade construtiva de encontrar o ângulo entre os planos;

Em desenvolvimento: desenvolvimento do pensamento criativo dos alunos, autodesenvolvimento pessoal dos alunos, desenvolvimento da fala dos alunos;

Educacional: educação da cultura do trabalho mental, cultura comunicativa, cultura reflexiva.

Tipo de aula: uma lição para aprender novos conhecimentos

Métodos de ensino: explicativo e ilustrativo

Equipamento: computador, quadro interativo.

Literatura:

Geometria. Séries 10-11: livro didático. para 10-11 células. Educação geral instituições: básico e perfil. níveis / [L. S. Atanasyan, V. F. Butuzov, S. B. Kadomtsev e outros] - 18ª ed. - M. : Educação, 2009. - 255 p.

Plano de aula:

Momento organizacional (2 min)

Atualização de conhecimento (5 min)

Aprendendo novo material (12 min)

Consolidação do material estudado (21 min)

Lição de casa (2 min)

Resumindo (3 min)

Durante as aulas:

1. Momento organizacional.

Inclui uma saudação pelo professor da turma, preparação da sala para a aula, verificação de faltas.

2. Atualização de conhecimentos básicos.

Professora: Na última lição, você escreveu um trabalho independente. Em geral, o trabalho foi bem escrito. Agora vamos repetir um pouco. O que é chamado de ângulo em um plano?

Aluna: Um ângulo em um plano é uma figura formada por dois raios que emanam de um ponto.

Professora: Como se chama o ângulo entre as linhas no espaço?

Aluna: O ângulo entre duas linhas que se cruzam no espaço é o menor dos ângulos formados pelos raios dessas linhas com o vértice no ponto de sua interseção.

Aluna: O ângulo entre as linhas de interseção é o ângulo entre as linhas de interseção, respectivamente, paralelas aos dados.

Professora: Como se chama o ângulo entre uma reta e um plano?

Aluna: Ângulo entre a linha e o planoQualquer ângulo entre uma linha reta e sua projeção neste plano é chamado.

3. Estudo de novo material.

Professora: Na estereometria, juntamente com esses ângulos, outro tipo de ângulo é considerado - ângulos diedros. Você provavelmente já adivinhou qual é o tema da aula de hoje, então abra seus cadernos, anote a data de hoje e o tema da aula.

Escrevendo no quadro e nos cadernos:

10.12.14.

Ângulo diedro.

Professora : Para introduzir o conceito de ângulo diedro, deve-se lembrar que qualquer linha reta traçada em um determinado plano divide esse plano em dois semiplanos(Fig. 1a)

Professora : Imagine que dobramos o plano ao longo de uma linha reta, de modo que dois semiplanos com o limite não estão mais no mesmo plano (Fig. 1, b). A figura resultante é o ângulo diedro. Um ângulo diedro é uma figura formada por uma linha reta e dois semiplanos com um limite comum que não pertencem ao mesmo plano. Os semiplanos que formam um ângulo diedro são chamados suas faces. Um ângulo diedro tem duas faces, daí o nome - ângulo diedro. A linha reta - o limite comum dos semiplanos - é chamada de borda do ângulo diedro. Escreva a definição em seu caderno.

Um ângulo diedro é uma figura formada por uma linha reta e dois semiplanos com um limite comum que não pertencem ao mesmo plano.

Professora : Na vida cotidiana, muitas vezes encontramos objetos que têm a forma de um ângulo diedro. Dar exemplos.

Aluna : Pasta meio aberta.

Aluna : A parede da sala junto com o chão.

Aluna : Telhados de duas águas de edifícios.

Professora : Corretamente. E há muitos exemplos assim.

Professora : Como você sabe, os ângulos em um plano são medidos em graus. Você provavelmente tem uma pergunta, mas como os ângulos diedros são medidos? Isso é feito da seguinte maneira.Marcamos algum ponto na borda do ângulo diedro e em cada face desse ponto traçamos um raio perpendicular à borda. O ângulo formado por esses raios é chamado de ângulo linear do ângulo diedro. Faça um desenho em seus cadernos.

Escrita no quadro e em cadernos.

O ∈ a, AO ⊥ a, VO ⊥ uma, SABD- ângulo diedro,∠ AOBé o ângulo linear do ângulo diedro.

Professora : Todos os ângulos lineares de um ângulo diedro são iguais. Faça você mesmo algo assim.

Professora : Vamos provar isso. Considere dois ângulos lineares AOB ePQR. Raios OA eQPestão na mesma face e são perpendicularesOQ, o que significa que eles estão alinhados. Da mesma forma, os raios OB eQRco-dirigido. Significa,∠ AOB= ∠ PQR(como ângulos com lados codirecionais).

Professora : Bem, agora a resposta à nossa pergunta é como o ângulo diedro é medido.A medida em graus de um ângulo diedro é a medida em graus de seu ângulo linear. Redesenhe os desenhos de um ângulo diedro agudo, reto e obtuso do livro na página 48.

4. Consolidação do material estudado.

Professora : Faça desenhos para tarefas.

№ 1 . Dado: Δabc, AC = BC, AB está no planoα, CD ⊥ α, C∉ uma. Construir ângulo linear de ângulo diedroCABD.

Aluna : Solução:CM ⊥ AB, DC ⊥ AB.∠ cmd - desejado.

№ 2. Dado: Δabc, ∠ C= 90°, BC está planoα, AO⊥ α, UMA∈ α.

Construir ângulo linear de ângulo diedroAVSO.

Aluna : Solução:AB ⊥ BC, JSC⊥ Sol significa SO⊥ Sol.∠ ACO - desejado.

№ 3 . Dado: Δabc, ∠ C \u003d 90 °, AB está no planoα, CD⊥ α, C∉ uma. Construirângulo diedro linearDABC.

Aluna : Solução: CK ⊥ AB, DC ⊥ AB,NS ⊥ AB significa∠ DKC - desejado.

№ 4 . Dado:DABC- tetraedro,FAZ⊥ abc.Construir o ângulo linear do ângulo diedroABCD.

Aluna : Solução:Mestre ⊥ Sol,FAZ ⊥ BC significa OM⊥ Sol;∠ OMD - desejado.

5. Resumindo.

Professora: O que de novo você aprendeu na aula de hoje?

Alunos : O que é chamado de ângulo diedro, ângulo linear, como o ângulo diedro é medido.

Professora : O que você repetiu?

Alunos : O que é chamado de ângulo em um plano; ângulo entre as linhas.

6. Lição de casa.

Escrevendo no quadro e nos diários: item 22, nº 167, nº 170.

O conceito de um ângulo diedro

Para introduzir o conceito de ângulo diedro, primeiro lembramos um dos axiomas da estereometria.

Qualquer plano pode ser dividido em dois semiplanos da linha $a$ situada neste plano. Neste caso, os pontos situados no mesmo semiplano estão do mesmo lado da reta $a$, e os pontos situados em diferentes semiplanos estão em lados opostos da reta $a$ (Fig. 1). ).

Imagem 1.

O princípio de construção de um ângulo diedro é baseado neste axioma.

Definição 1

A figura chama-se ângulo diedro se consiste em uma linha e dois semiplanos desta linha que não pertencem ao mesmo plano.

Neste caso, os semiplanos do ângulo diedro são chamados rostos, e a linha reta que separa os semiplanos - borda diédrica(Figura 1).

Figura 2. Ângulo diedro

Medida em grau de um ângulo diedro

Definição 2

Escolhemos um ponto arbitrário $A$ na borda. O ângulo entre duas linhas situadas em semiplanos diferentes, perpendiculares à aresta e que se interceptam no ponto $A$ é chamado de ângulo linear ângulo diedro(Fig. 3).

Figura 3

Obviamente, todo ângulo diedro tem um número infinito de ângulos lineares.

Teorema 1

Todos os ângulos lineares de um ângulo diedro são iguais entre si.

Prova.

Considere dois ângulos lineares $AOB$ e $A_1(OB)_1$ (Fig. 4).

Figura 4

Como os raios $OA$ e $(OA)_1$ estão no mesmo semiplano $\alpha $ e são perpendiculares a uma linha reta, eles são codirecionais. Como os raios $OB$ e $(OB)_1$ estão no mesmo semiplano $\beta $ e são perpendiculares a uma linha reta, eles são codirecionais. Consequentemente

\[\ângulo AOB=\ângulo A_1(OB)_1\]

Devido à arbitrariedade da escolha dos ângulos lineares. Todos os ângulos lineares de um ângulo diedro são iguais entre si.

O teorema foi provado.

Definição 3

A medida em graus de um ângulo diedro é a medida em graus de um ângulo linear de um ângulo diedro.

Exemplos de tarefas

Exemplo 1

Sejam dados dois planos não perpendiculares $\alpha $ e $\beta $ que se interceptam ao longo da reta $m$. O ponto $A$ pertence ao plano $\beta $. $AB$ é a perpendicular à reta $m$. $AC$ é perpendicular ao plano $\alpha $ (o ponto $C$ pertence a $\alpha $). Prove que o ângulo $ABC$ é um ângulo linear do ângulo diedro.

Prova.

Vamos desenhar uma imagem de acordo com a condição do problema (Fig. 5).

Figura 5

Para provar isso, lembramos o seguinte teorema

Teorema 2: Uma linha reta que passa pela base de uma inclinada, perpendicular a ela, é perpendicular à sua projeção.

Como $AC$ é uma perpendicular ao plano $\alpha $, então o ponto $C$ é a projeção do ponto $A$ no plano $\alpha $. Portanto, $BC$ é a projeção da oblíqua $AB$. Pelo Teorema 2, $BC$ é perpendicular a uma aresta de um ângulo diedro.

Então, o ângulo $ABC$ satisfaz todos os requisitos para definir o ângulo linear de um ângulo diedro.

Exemplo 2

O ângulo diedro é $30^\circ$. Em uma das faces encontra-se o ponto $A$, que está a uma distância de $4$ cm da outra face. Encontre a distância do ponto $A$ até a aresta do ângulo diedro.

Solução.

Vejamos a Figura 5.

Por suposição, temos $AC=4\ cm$.

Pela definição da medida em graus de um ângulo diedro, temos que o ângulo $ABC$ é igual a $30^\circ$.

O triângulo $ABC$ é um triângulo retângulo. Por definição do seno de um ângulo agudo

\[\frac(AC)(AB)=sin(30)^0\] \[\frac(5)(AB)=\frac(1)(2)\] \

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Legendas dos slides:

DOUBLE ANGLE Professor de matemática GOU escola secundária №10 Eremenko M.A.

Os principais objetivos da lição: Introduzir o conceito de ângulo diedro e seu ângulo linear Considerar tarefas para a aplicação desses conceitos

Definição: Um ângulo diedro é uma figura formada por dois semiplanos com uma linha de fronteira comum.

O valor de um ângulo diedro é o valor do seu ângulo linear. AF ⊥ CD BF ⊥ CD AFB é o ângulo linear do ângulo diedro ACD B

Vamos provar que todos os ângulos lineares de um ângulo diedro são iguais entre si. Considere dois ângulos lineares AOB e A 1 OB 1 . Os raios OA e OA 1 estão na mesma face e são perpendiculares a OO 1, então eles são codirigidos. Os raios OB e OB 1 também são codirigidos. Portanto, ∠ AOB = ∠ A 1 OB 1 (como ângulos com lados codirecionais).

Exemplos de ângulos diedros:

Definição: O ângulo entre dois planos de interseção é o menor dos ângulos diedros formados por esses planos.

Tarefa 1: No cubo A ... D 1 encontre o ângulo entre os planos ABC e CDD 1 . Resposta: 90º.

Tarefa 2: No cubo A ... D 1 encontre o ângulo entre os planos ABC e CDA 1 . Resposta: 45o.

Tarefa 3: No cubo A ... D 1 encontre o ângulo entre os planos ABC e BDD 1 . Resposta: 90º.

Tarefa 4: No cubo A ... D 1 encontre o ângulo entre os planos ACC 1 e BDD 1 . Resposta: 90º.

Tarefa 5: No cubo A ... D 1 encontre o ângulo entre os planos BC 1 D e BA 1 D . Solução: Seja O o ponto médio de B D. A 1 OC 1 é o ângulo linear do ângulo diedro A 1 B D C 1 .

Problema 6: No tetraedro DABC todas as arestas são iguais, o ponto M é o ponto médio da aresta AC. Prove que ∠ DMB é um ângulo linear de ângulo diedro BACD .

Solução: Os triângulos ABC e ADC são regulares, então BM ⊥ AC e DM ⊥ AC e portanto ∠ DMB é um ângulo linear de diedro DACB .

Tarefa 7: Do vértice B do triângulo ABC, cujo lado AC está no plano α, traça-se a este plano uma perpendicular BB 1. Encontre a distância do ponto B à reta AC e ao plano α se AB=2, ∠BAC=150 0 e o ângulo diedro BACB 1 é 45 0 .

Solução: ABC é um triângulo obtuso com um ângulo obtuso A, então a base da altura BK está na extensão do lado AC. VC é a distância do ponto B ao AC. BB 1 - distância do ponto B ao plano α

2) Como AS ⊥VK, então AS⊥KV 1 (pelo teorema inverso ao teorema das três perpendiculares). Portanto, ∠VKV 1 é o ângulo linear do ângulo diedro BACB 1 e ∠VKV 1 =45 0 . 3) ∆VAK: ∠A=30 0 , VK=VA sen 30 0 , VK =1. ∆VKV 1: VV 1 \u003d VK sin 45 0, VV 1 \u003d

Na geometria, duas características importantes são usadas para estudar figuras: os comprimentos dos lados e os ângulos entre eles. No caso de figuras espaciais, ângulos diedros são adicionados a essas características. Vamos considerar o que é e também descrever o método para determinar esses ângulos usando o exemplo de uma pirâmide.

O conceito de ângulo diedro

Todo mundo sabe que duas linhas que se cruzam formam um ângulo com o vértice no ponto de sua interseção. Esse ângulo pode ser medido com um transferidor ou você pode usar funções trigonométricas para calculá-lo. Um ângulo formado por dois ângulos retos é chamado de ângulo linear.

Agora imagine que no espaço tridimensional existem dois planos que se cruzam em linha reta. Eles são mostrados na imagem.

Um ângulo diedro é o ângulo entre dois planos que se cruzam. Assim como linear, é medido em graus ou radianos. Se a qualquer ponto da linha reta ao longo da qual os planos se cruzam, restaure duas perpendiculares situadas nesses planos, então o ângulo entre elas será o diedro desejado. A maneira mais fácil de determinar esse ângulo é usar as equações gerais dos planos.

A equação dos planos e a fórmula do ângulo entre eles

A equação de qualquer plano no espaço em termos gerais é escrita como segue:

A × x + B × y + C × z + D = 0.

Aqui x, y, z são as coordenadas dos pontos pertencentes ao plano, os coeficientes A, B, C, D são alguns números conhecidos. A conveniência desta igualdade para calcular ângulos diedros é que ela contém explicitamente as coordenadas do vetor de direção do plano. Vamos denotar por n¯. Então:

O vetor n¯ é perpendicular ao plano. O ângulo entre dois planos é igual ao ângulo entre seus n 1 ¯ e n 2 ¯. Sabe-se da matemática que o ângulo formado por dois vetores é determinado exclusivamente a partir de seu produto escalar. Isso permite que você escreva uma fórmula para calcular o ângulo diedro entre dois planos:

φ = arcos (|(n 1 ¯ × n 2 ¯)| / (|n 1 ¯| × |n 2 ¯|)).

Se substituirmos as coordenadas dos vetores, a fórmula será escrita explicitamente:

φ = arccos (|A 1 × A 2 + B 1 × B 2 + C 1 × C 2 | / (√(A 1 2 + B 1 2 + C 1 2) × √(A 2 2 + B 2 2 + C 2 2))).

O sinal do módulo no numerador é usado para definir apenas um ângulo agudo, pois um ângulo diedro é sempre menor ou igual a 90 o .

Pirâmide e seus cantos

Uma pirâmide é uma figura que é formada por um n-gon e n triângulos. Aqui n é um número inteiro igual ao número de lados do polígono que é a base da pirâmide. Essa figura espacial é um poliedro ou poliedro, pois consiste em faces planas (lados).

Os poliedros piramidais podem ser de dois tipos:

• entre a base e o lado (triângulo);
• entre os dois lados.

Se a pirâmide for considerada correta, não é difícil determinar os ângulos nomeados para ela. Para fazer isso, de acordo com as coordenadas de três pontos conhecidos, deve-se traçar uma equação dos planos e, em seguida, usar a fórmula dada no parágrafo acima para o ângulo φ.

Abaixo damos um exemplo no qual mostramos como encontrar ângulos diedros na base de uma pirâmide quadrangular regular.

Quadrangular e o ângulo em sua base

Suponha que nos seja dada uma pirâmide regular com base quadrada. O comprimento do lado do quadrado é a, a altura da figura é h. Encontre o ângulo entre a base da pirâmide e seu lado.

Colocamos a origem do sistema de coordenadas no centro do quadrado. Então as coordenadas dos pontos A, B, C, D mostrados na figura serão iguais a:

A = (a/2; -a/2; 0);

B = (a/2; a/2; 0);

C = (-a/2; a/2; 0);

Considere os planos ACB e ADB. Obviamente, o vetor de direção n 1 ¯ para o plano ACB será igual a:

Para determinar o vetor de direção n 2 ¯ do plano ADB, procedemos da seguinte forma: encontramos dois vetores arbitrários que pertencem a ele, por exemplo, AD¯ e AB¯, então calculamos seu produto vetorial. Seu resultado dará as coordenadas n 2 ¯. Nós temos:

AD¯ = D - A = (0; 0; h) - (a/2; -a/2; 0) = (-a/2; a/2; h);

AB¯ = B - A = (a/2; a/2; 0) - (a/2; -a/2; 0) = (0; a; 0);

n 2 ¯ = = [(-a/2; a/2; h) × (0; a; 0)] = (-a × h; 0; -a 2 /2).

Como a multiplicação e divisão de um vetor por um número não muda sua direção, transformamos o n 2 ¯ resultante, dividindo suas coordenadas por -a, obtemos:

Definimos vetores de direção n 1 ¯ e n 2 ¯ para os planos de base ACB e o lado lateral ADB. Resta usar a fórmula para o ângulo φ:

φ = arcos (|(n 1 ¯ × n 2 ¯)| / (|n 1 ¯| × |n 2 ¯|)) = arcos (a / (2 × √h 2 + a 2 /4)).

Vamos transformar a expressão resultante e reescrevê-la assim:

φ \u003d arccos (a / √ (a 2 + 4 × h 2)).

Obtivemos a fórmula do ângulo diedro na base de uma pirâmide quadrangular regular. Conhecendo a altura da figura e o comprimento de seu lado, você pode calcular o ângulo φ. Por exemplo, para a pirâmide de Quéops, cujo lado da base é de 230,4 metros e a altura inicial era de 146,5 metros, o ângulo φ será igual a 51,8 o.

Você também pode determinar o ângulo diedro para uma pirâmide quadrangular regular usando o método geométrico. Para isso, basta considerar um triângulo retângulo formado pela altura h, metade do comprimento da base a/2 e o apótema de um triângulo isósceles.

EXPLICAÇÃO DO TEXTO DA LIÇÃO:

Na planimetria, os principais objetos são linhas, segmentos, raios e pontos. Os raios que emanam de um ponto formam uma de suas formas geométricas - um ângulo.

Sabemos que um ângulo linear é medido em graus e radianos.

Na estereometria, um plano é adicionado aos objetos. A figura formada pela linha reta a e dois semiplanos com um limite comum a que não pertencem ao mesmo plano em geometria é chamada de ângulo diedro. Meios planos são as faces de um ângulo diedro. A linha reta a é a aresta do ângulo diedro.

Um ângulo diedro, como um ângulo linear, pode ser nomeado, medido, construído. É isso que vamos descobrir nesta lição.

Encontre o ângulo diedro no modelo de tetraedro ABCD.

Um ângulo diedro com uma aresta AB é chamado CABD, onde os pontos C e D pertencem a diferentes faces do ângulo e a aresta AB é chamada no meio

Ao nosso redor há muitos objetos com elementos na forma de um ângulo diedro.

Em muitas cidades, bancos especiais para reconciliação foram instalados nos parques. O banco é feito na forma de dois planos inclinados convergindo para o centro.

Na construção de casas, o chamado telhado de duas águas é frequentemente usado. O telhado desta casa é feito na forma de um ângulo diedro de 90 graus.

O ângulo diedro também é medido em graus ou radianos, mas como medi-lo.

É interessante notar que os telhados das casas ficam nas vigas. E o caixote das vigas forma duas inclinações do telhado em um determinado ângulo.

Vamos transferir a imagem para o desenho. No desenho, para encontrar um ângulo diedro, marca-se em sua aresta o ponto B. A partir deste ponto, traçam-se duas vigas BA e BC perpendiculares à aresta do ângulo. O ângulo ABC formado por esses raios é chamado de ângulo linear do ângulo diedro.

A medida em graus de um ângulo diedro é igual à medida em graus de seu ângulo linear.

Vamos medir o ângulo AOB.

A medida em graus de um determinado ângulo diedro é sessenta graus.

Ângulos lineares para um ângulo diedro podem ser desenhados em um número infinito, é importante saber que eles são todos iguais.

Considere dois ângulos lineares AOB e A1O1B1. Os raios OA e O1A1 estão na mesma face e são perpendiculares à linha reta OO1, então eles são co-direcionados. Os raios OB e O1B1 também são codirigidos. Portanto, o ângulo AOB é igual ao ângulo A1O1B1 como ângulos com lados codirecionais.

Assim, um ângulo diedro é caracterizado por um ângulo linear, e os ângulos lineares são agudos, obtusos e retos. Considere modelos de ângulos diedros.

Um ângulo obtuso é aquele cujo ângulo linear está entre 90 e 180 graus.

Um ângulo reto se seu ângulo linear é de 90 graus.

Um ângulo agudo, se o seu ângulo linear estiver entre 0 e 90 graus.

Vamos provar uma das propriedades importantes de um ângulo linear.

O plano de um ângulo linear é perpendicular à aresta do ângulo diedro.

Seja o ângulo AOB o ângulo linear do ângulo diedro dado. Por construção, os raios AO e OB são perpendiculares à reta a.

O plano AOB passa por duas linhas de interseção AO e OB de acordo com o teorema: Um plano passa por duas linhas de interseção e, além disso, apenas uma.

A linha a é perpendicular a duas linhas que se cruzam neste plano, o que significa que, pelo sinal da perpendicularidade da linha e do plano, a linha a é perpendicular ao plano AOB.

Para resolver problemas, é importante ser capaz de construir um ângulo linear de um determinado ângulo diedro. Construa o ângulo linear do ângulo diedro com a aresta AB para o tetraedro ABCD.

Estamos falando de um ângulo diedro, que é formado, primeiramente, pela aresta AB, uma faceta ABD, a segunda faceta ABC.

Aqui está uma maneira de construir.

Vamos desenhar uma perpendicular do ponto D ao plano ABC, marcar o ponto M como a base da perpendicular. Lembre-se de que em um tetraedro a base da perpendicular coincide com o centro do círculo inscrito na base do tetraedro.

Desenhe uma inclinação do ponto D perpendicular à aresta AB, marque o ponto N como a base da inclinação.

No triângulo DMN, o segmento NM serão as projeções do DN oblíquo no plano ABC. De acordo com o teorema das três perpendiculares, a aresta AB será perpendicular à projeção NM.

Isso significa que os lados do ângulo DNM são perpendiculares à aresta AB, o que significa que o ângulo construído DNM é o ângulo linear necessário.

Considere um exemplo de solução do problema de calcular o ângulo diedro.

O triângulo isósceles ABC e o triângulo regular ADB não estão no mesmo plano. O segmento CD é perpendicular ao plano ADB. Encontre o ângulo diedro DABC se AC=CB=2cm, AB=4cm.

O ângulo diedro DABC é igual ao seu ângulo linear. Vamos construir este canto.

Vamos desenhar um oblíquo SM perpendicular à aresta AB, pois o triângulo ACB é isósceles, então o ponto M coincidirá com o ponto médio da aresta AB.

A linha CD é perpendicular ao plano ADB, o que significa que é perpendicular à linha DM situada neste plano. E o segmento MD é a projeção do SM oblíquo no plano ADB.

A reta AB é perpendicular à oblíqua CM por construção, o que significa que pelo teorema das três perpendiculares ela é perpendicular à projeção MD.

Assim, duas perpendiculares CM e DM são encontradas à aresta AB. Então eles formam um ângulo linear СMD de um ângulo diedro DABC. E resta-nos encontrá-lo a partir do triângulo retângulo СDM.

Como o segmento SM é a mediana e a altura do triângulo isósceles ASV, então, de acordo com o teorema de Pitágoras, o cateto do SM é 4 cm.

De um triângulo retângulo DMB, de acordo com o teorema de Pitágoras, a perna DM é igual a duas raízes de três.

O cosseno de um ângulo de um triângulo retângulo é igual à razão entre o cateto adjacente MD e a hipotenusa CM e é igual a três raízes de três por dois. Portanto, o ângulo CMD é de 30 graus.