Lições objetivas:

Os alunos devem saber:

• determinação da probabilidade de um evento aleatório;
• ser capaz de resolver problemas para encontrar a probabilidade de um evento aleatório;
• ser capaz de aplicar os conhecimentos teóricos na prática.

Lições objetivas:

Educacional: criar condições para que os alunos dominem o sistema de conhecimentos, habilidades e habilidades com os conceitos de probabilidade de um evento.

Educacional: formar uma visão de mundo científica nos alunos.

Desenvolver: desenvolver o interesse cognitivo, a criatividade, a vontade, a memória, a fala, a atenção, a imaginação, a percepção dos alunos.

Métodos de organização de atividades educativas e cognitivas:

• visual,
• prático,
• na atividade mental: indutiva,
• de acordo com a assimilação do material: parcialmente exploratória, reprodutiva,
• de acordo com o grau de independência: trabalho independente,
• estimulante: incentivos,
• tipos de controle: verificação de tarefas resolvidas independentemente.

Plano de aula

1. exercícios orais
2. Aprendendo novos materiais
3. Solução de problemas.
4. Trabalho independente.
5. Resumindo a lição.
6. Comentando a lição de casa.

Equipamento: projetor multimídia (apresentação), cartões (trabalho independente)

Durante as aulas

I. Momento organizacional.

A organização da aula ao longo da aula, a prontidão dos alunos para a aula, a ordem e a disciplina.

Definir metas de aprendizado para os alunos, tanto para toda a aula quanto para seus estágios individuais.

Determine o significado do material que está sendo estudado, tanto neste tópico quanto em todo o curso.

II. Repetição

1. O que é uma probabilidade?

Probabilidade - a possibilidade de execução, a viabilidade de algo.

2. Que definição o fundador da moderna teoria das probabilidades A.N. Kolmogorov?

A probabilidade matemática é uma característica numérica do grau de possibilidade da ocorrência de qualquer evento particular em certas condições que pode ser repetido um número ilimitado de vezes.

3. Qual é a definição clássica de probabilidade dada pelos autores dos livros escolares?

A probabilidade P(A) de um evento A em uma tentativa com resultados elementares igualmente prováveis ​​é a razão entre o número de resultados m que favorecem o evento A e o número n de todos os resultados da tentativa.

Conclusão: em matemática, a probabilidade é medida por um número.

Hoje continuaremos a considerar o modelo matemático “dado”.

O objeto de estudo na teoria da probabilidade são eventos que aparecem sob certas condições e podem ser reproduzidos um número ilimitado de vezes. Cada cumprimento dessas condições é chamado de teste.

O teste é jogar um dado.

Evento - seis rolados ou obter um número par de pontos.

Cada lado do dado tem a mesma probabilidade de cair ao rolar o dado várias vezes (o dado é regular).

III. Resolução de problemas orais.

1. Um dado (dado) foi lançado uma vez. Qual é a probabilidade de sair um 4?

Solução. Experiência aleatória - jogando um dado. O evento é o número na borda rolada. Existem apenas seis arestas. Vamos listar todos os eventos: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Então P= 6. Evento A = (4 pontos acumulados) é favorecido por um evento: 4. Portanto t= 1. Os eventos são igualmente prováveis, pois supõe-se que o cubo é justo. Portanto P(A) = s/n= 1/6 = 0,17.

2. Um dado (cubo) foi lançado uma vez. Qual é a probabilidade de não obter mais de 4 pontos?

P= 6. Evento A = (não mais de 4 pontos perdidos) é favorecido por 4 eventos: 1, 2, 3, 4. Portanto t= 4. Portanto P(A) = s/n= 4/6 = 0,67.

3. Um dado (cubo) foi lançado uma vez. Qual é a probabilidade de obter menos de 4 pontos?

Solução. Experiência aleatória - jogando um dado. O evento é o número na borda rolada. Significa P= 6. Evento A = (menos de 4 pontos caiu) é favorecido por 3 eventos: 1, 2, 3. Portanto t= 3. P(A) = s/n= 3/6 = 0,5.

4. Um dado (dado) foi lançado uma vez. Qual é a probabilidade de obter um número ímpar de pontos?

Solução. Experiência aleatória - jogando um dado. O evento é o número na borda rolada. Significa P= 6. Evento A = (um número ímpar de pontos caiu) é favorecido por 3 eventos: 1,3,5. É por isso t= 3. P(A) = s/n= 3/6 = 0,5.

4. Aprendendo novo

Hoje vamos considerar as tarefas quando dois dados são usados ​​em um experimento aleatório ou dois ou três lançamentos são realizados.

1. Em um experimento aleatório, dois dados são lançados. Encontre a probabilidade de que a soma dos pontos rolados seja 6. Arredonde sua resposta para o centésimo mais próximo .

Solução. O resultado neste experimento é um par ordenado de números. O primeiro número cairá no primeiro dado, o segundo no segundo. É conveniente representar o conjunto de resultados em uma tabela.

As linhas correspondem ao número de pontos no primeiro dado, as colunas correspondem ao número de pontos no segundo dado. Total de eventos elementares P= 36.

	1	2	3	4	5	6
1	2	3	4	5	6	7
2	3	4	5	6	7	8
3	4	5	6	7	8	9
4	5	6	7	8	9	10
5	6	7	8	9	10	11
6	7	8	9	10	11	12

Vamos escrever em cada célula a soma dos pontos perdidos e pintar sobre as células onde a soma é igual a 6.

Existem 5 dessas células, o que significa que o evento A = (a soma dos pontos perdidos é 6) é favorecido por 5 resultados. Consequentemente, t\u003d 5. Portanto, P (A) \u003d 5/36 \u003d 0,14.

2. Em um experimento aleatório, dois dados são lançados. Encontre a probabilidade de que o total seja 3. Arredonde o resultado para centésimos .

P= 36.

O evento A = (a soma é 3) é favorecido por 2 resultados. Consequentemente, t= 2.

Portanto, P(A) = 2/36 = 0,06.

3. Em um experimento aleatório, dois dados são lançados. Encontre a probabilidade de obter mais de 10 pontos no total. Arredonde o resultado para centésimos .

Solução. O resultado neste experimento é um par ordenado de números. Total de eventos P= 36.

Evento A = (mais de 10 pontos no total) é favorecido por 3 resultados.

Consequentemente, t

4. Luba rola o dado duas vezes. Ela marcou 9 pontos no total. Encontre a probabilidade de um dos lançamentos rolar um 5. .

Solução O resultado neste experimento é um par ordenado de números. O primeiro número aparecerá no primeiro lance, o segundo no segundo. É conveniente representar o conjunto de resultados em uma tabela.

As linhas correspondem ao resultado do primeiro lançamento, as colunas correspondem ao resultado do segundo lançamento.

Total de eventos em que a soma dos pontos 9 será P= 4. Evento A = (um dos lançamentos marcou 5 pontos) é favorecido por 2 resultados. Consequentemente, t= 2.

Portanto, P(A) = 2/4 = 0,5.

5. Sveta rola o dado duas vezes. Ela marcou 6 pontos no total. Encontre a probabilidade de que uma das jogadas tenha dado 1.

Primeiro lance		Segundo lance		Soma de pontos

Resultados equivalentes - 5.

Probabilidade do evento p = 2/5 = 0,4.

6. Olya rola o dado duas vezes. Ela marcou 5 pontos no total. Encontre a probabilidade de obter 3 na primeira jogada.

Primeiro lance		Segundo lance		Soma de pontos
	+		=
	+		=
	+		=
	+		=

Resultados equivalentes - 4.

Resultados favoráveis ​​- 1.

Probabilidade do evento R= 1/4 = 0,25.

7. Natasha e Vitya estão jogando dados. Eles rolam o dado uma vez.

Quem tiver mais pontos vence. Se os pontos forem iguais, então há um empate. No total, 8 pontos caíram. Encontre a probabilidade de Natasha ganhar.

				Soma de pontos
	+		=
	+		=
	+		=
	+		=
	+		=

Resultados equivalentes - 5.

Resultados favoráveis ​​- 2.

Probabilidade do evento R= 2/5 = 0,4.

8. Tanya e Natasha estão jogando dados. Eles rolam o dado uma vez. Quem tiver mais pontos vence. Se os pontos forem iguais, então há um empate. No total, 6 pontos caíram. Encontre a probabilidade de que Tanya tenha perdido.

Tanya		Natasha		Soma de pontos
	+		=
	+		=
	+		=
	+		=
	+		=

Resultados equivalentes - 5.

Resultados favoráveis ​​- 2.

Probabilidade do evento R= 2/5 = 0,4.

9. Kolya e Lena jogam dados. Eles rolam o dado uma vez. Quem tiver mais pontos vence. Se os pontos forem iguais, então há um empate. Kolya foi o primeiro a lançar, conseguiu 3 pontos. Encontre a probabilidade de Lena não ganhar.

Kolya obteve 3 pontos.

Lena tem 6 resultados igualmente possíveis.

Existem 3 resultados favoráveis ​​para perder (em 1 e em 2 e em 3).

Probabilidade do evento R= 3/6 = 0,5.

10. Masha joga um dado três vezes. Qual é a probabilidade de que os números pares apareçam todas as três vezes?

Masha tem 6 6 6 = 216 resultados igualmente prováveis.

Resultados favoráveis ​​para perder - 3 3 3 = 27.

Probabilidade do evento R= 27/216 = 1/8 = 0,125.

11. Em um experimento aleatório, três dados são lançados. Encontre a probabilidade de que o total seja 16. Arredonde o resultado para o centésimo mais próximo.

Solução.

		Segundo		Terceiro		Soma de pontos
	+		+		=
	+		+		=
	+		+		=
	+		+		=
	+		+		=
	+		+		=

Resultados equivalentes - 6 6 6 = 216.

Resultados favoráveis ​​- 6.

Probabilidade do evento R\u003d 6/216 \u003d 1/36 \u003d 0,277 ... \u003d 0,28. Consequentemente, t\u003d 3. Portanto, P (A) \u003d 3/36 \u003d 0,08.

V. Trabalho independente.

Opção 1.

1. Um dado (dado) é lançado uma vez. Qual é a probabilidade de obter pelo menos 4 pontos? (Resposta: 0,5)
2. Em um experimento aleatório, dois dados são lançados. Encontre a probabilidade de obter 5 pontos no total. Arredonde o resultado para o centésimo mais próximo. (Resposta: 0,11)
3. Anya rola os dados duas vezes. Ela marcou 3 pontos no total. Encontre a probabilidade de obter 1 na primeira jogada. (Resposta: 0,5)
4. Katya e Ira estão jogando dados. Eles rolam o dado uma vez. Quem tiver mais pontos vence. Se os pontos forem iguais, então há um empate. Um total de 9 pontos caiu. Encontre a probabilidade de que Ira tenha perdido. (Resposta: 0,5)
5. Em um experimento aleatório, três dados são lançados. Encontre a probabilidade de obter 15 pontos no total. Arredonde o resultado para o centésimo mais próximo. (Resposta: 0,05)

Opção 2.

1. Um dado (dado) é lançado uma vez. Qual é a probabilidade de obter no máximo 3 pontos? (Resposta: 0,5)
2. Em um experimento aleatório, dois dados são lançados. Encontre a probabilidade de que o total seja 10. Arredonde o resultado para o centésimo mais próximo. (Resposta: 0,08)
3. Zhenya rola os dados duas vezes. Ela marcou 5 pontos no total. Encontre a probabilidade de obter 2 no primeiro lançamento. (Resposta: 0,25)
4. Masha e Dasha estão jogando dados. Eles rolam o dado uma vez. Quem tiver mais pontos vence. Se os pontos forem iguais, então há um empate. No total, 11 pontos caíram. Encontre a probabilidade de que Masha ganhou. (Resposta: 0,5)
5. Em um experimento aleatório, três dados são lançados. Encontre a probabilidade de que o total seja 17. Arredonde o resultado

VI. Trabalho de casa

1. Em um experimento aleatório, três dados são lançados. No total, 12 pontos caíram. Encontre a probabilidade de obter 5 na primeira jogada. Arredonde o resultado para o centésimo mais próximo.
2. Katya joga um dado três vezes. Qual é a probabilidade de que o mesmo número apareça todas as três vezes?

VII. Resumo da lição

O que você precisa saber para encontrar a probabilidade de um evento aleatório?

Para calcular a probabilidade clássica, você precisa conhecer todos os resultados possíveis de um evento e os resultados favoráveis.

A definição clássica de probabilidade é aplicável apenas a eventos com resultados igualmente prováveis, o que limita seu escopo.

Por que estudamos teoria da probabilidade na escola?

Muitos fenômenos do mundo ao nosso redor podem ser descritos apenas com a ajuda da teoria da probabilidade.

Literatura

1. Álgebra e o início da análise matemática 10-11 anos: livro didático. para instituições educacionais: nível básico / [Sh.A. Alimov, Yu.M. Kolyagin, M.V. Tkacheva e outros]. - 16ª ed., revisada. – M.: Iluminismo, 2010. – 464 p.
2. Semenov A. L. USO: 3000 tarefas com respostas em matemática. Todas as tarefas do grupo B / - 3ª ed., Revisada. e adicional - M.: Editora "Exame", 2012. - 543 p.
3. Vysotsky I.R., Yashchenko I.V. USE 2012. Matemática. Tarefa B10. Teoria da probabilidade. Caderno de exercícios / Ed. A.L. Semenova e I.V. Yashchenko. - M.: MTsShMO, 2012. - 48 p.

Explique o princípio de resolução do problema. Um dado é lançado uma vez. Qual é a probabilidade de obter menos de 4 pontos? e obtive a melhor resposta

Resposta de Divergente[guru]
50 por cento
O princípio é extremamente simples. Resultados totais 6: 1,2,3,4,5,6
Destes, três satisfazem a condição: 1,2,3, e três não satisfazem: 4,5,6. Portanto, a probabilidade é 3/6=1/2=0,5=50%

Resposta de Eu sou o Super Homem[guru]
Um total de seis opções podem cair (1,2,3,4,5,6)
E dessas opções 1, 2 e 3 são menos de quatro
Então 3 respostas de 6
Para calcular a probabilidade, dividimos o alinhamento favorável a tudo, ou seja, 3 por 6 \u003d 0,5 ou 50%

Resposta de Yuri Dovbysh[ativo]
50%
divida 100% pelo número de números nos dados,
e depois multiplique o percentual recebido pelo valor que você precisa descobrir, ou seja, por 3)

Resposta de Ivan Panin[guru]
Não sei ao certo, estou me preparando para o GIA, mas o professor me disse uma coisa hoje, apenas sobre a probabilidade de carros, pois entendi que a proporção é mostrada como uma fração, de cima o número é favorável , mas de baixo para cima, na minha opinião, geralmente é geral, bem, tínhamos carros assim: A empresa de táxi atualmente tem 3 carros pretos, 3 amarelos e 14 verdes disponíveis. Um dos carros partiu para o cliente. Encontre a probabilidade de um táxi amarelo chegar. Então, há 3 táxis amarelos e do total de carros há 3 deles, acontece que escrevemos 3 em cima da fração, porque esse é um número favorável de carros, e escrevemos 20 na parte inferior , porque há 20 carros na frota de táxis, então temos a probabilidade de 3 a 20 ou 3/20 frações, bem, foi assim que eu entendi .... Quanto aos ossos, não sei ao certo, mas talvez tenha ajudado de alguma forma...

Resposta de 3 respostas[guru]

Olá! Aqui está uma seleção de tópicos com respostas para sua pergunta: Explique o princípio da solução do problema. Um dado é lançado uma vez. Qual é a probabilidade de obter menos de 4 pontos?

Problema 19 ( OGE - 2015, Yashchenko I.V.)

Olya, Denis, Vitya, Artur e Rita lançam a sorte - quem deve começar o jogo. Encontre a probabilidade de Rita começar o jogo.

Solução

No total, 5 pessoas podem iniciar o jogo.

Resposta: 0,2.

Problema 19 ( OGE - 2015, Yashchenko I.V.)

Misha tinha quatro doces no bolso - Grillage, Mask, Squirrel e Chapeuzinho Vermelho, além das chaves do apartamento. Tirando as chaves, Misha acidentalmente deixou cair um doce. Encontre a probabilidade de que o doce "Máscara" seja perdido.

Solução

São 4 opções no total.

A probabilidade de que Misha tenha deixado cair o doce "Máscara" é

Resposta: 0,25.

Problema 19 ( OGE - 2015, Yashchenko I.V.)

Um dado (dado) é lançado uma vez. Qual é a probabilidade de que o número rolado não seja menor que 3?

Solução

No total, existem 6 opções diferentes para soltar pontos em um dado.

O número de pontos, não inferior a 3, pode ser: 3,4,5,6 - ou seja, 4 opções.

Então a probabilidade é P = 4/6 = 2/3.

Resposta: 2/3.

Problema 19 ( OGE - 2015, Yashchenko I.V.)

A avó decidiu dar ao neto Ilyusha algumas frutas selecionadas aleatoriamente para a estrada. Ela tinha 3 maçãs verdes, 3 peras verdes e 2 bananas amarelas. Encontre a probabilidade de Ilyusha receber uma fruta verde de sua avó.

Solução

3+3+2 = 8 - frutos totais. Destes, verdes - 6 (3 maçãs e 3 peras).

Então a probabilidade de Ilyusha receber uma fruta verde de sua avó é

P=6/8=3/4=0,75.

Resposta: 0,75.

Problema 19 ( OGE - 2015, Yashchenko I.V.)

Um dado é lançado duas vezes. Encontre a probabilidade de que um número maior que 3 seja lançado nas duas vezes.

Solução

6 * 6 = 36 - número total de números caindo durante dois lançamentos de um dado.

Temos opções para:

São 9 opções no total.

Portanto, a probabilidade de obter um número maior que 3 nas duas vezes é

P = 9/36 = 1/4 = 0,25.

Resposta: 0,25.

Problema 19 ( OGE - 2015, Yashchenko I.V.)

Um dado (dado) é lançado 2 vezes. Encontre a probabilidade de que um número maior que 3 seja lançado uma vez e um número menor que 3 seja lançado outra vez.

Solução

Opções totais: 6 * 6 = 36.

Temos os seguintes resultados:

Tarefas para probabilidade de dados não menos popular do que os problemas de lançamento de moedas. A condição de tal problema geralmente soa assim: ao lançar um ou mais dados (2 ou 3), qual é a probabilidade de que a soma dos pontos seja 10, ou o número de pontos seja 4, ou o produto dos número de pontos, ou divisível por 2 o produto do número de pontos e etc.

A aplicação da fórmula clássica de probabilidade é o principal método para resolver problemas deste tipo.

Um dado, probabilidade.

A situação é bastante simples com um dado. é determinado pela fórmula: P=m/n, onde m é o número de resultados favoráveis ​​para o evento, e n é o número de todos os resultados elementares igualmente possíveis do experimento com o lançamento de um dado ou de um dado.

Problema 1. Um dado é lançado uma vez. Qual é a probabilidade de obter um número par de pontos?

Como o dado é um cubo (ou também é chamado de dado regular, o cubo cairá em todas as faces com a mesma probabilidade, pois está balanceado), o dado tem 6 faces (o número de pontos de 1 a 6, que são geralmente indicados por pontos), o que significa que na tarefa o número total de resultados: n=6. O evento é favorecido apenas por resultados em que uma face com pontos pares 2,4 e 6 cai, para um cubo dessas faces: m=3. Agora podemos determinar a probabilidade desejada de um dado: P=3/6=1/2=0,5.

Tarefa 2. Um dado é lançado uma vez. Qual é a probabilidade de obter pelo menos 5 pontos?

Tal problema é resolvido por analogia com o exemplo indicado acima. Ao lançar um dado, o número total de resultados igualmente possíveis é: n = 6, e satisfaça a condição do problema (pelo menos 5 pontos caíram, ou seja, 5 ou 6 pontos caíram) apenas 2 resultados, o que significa m =2. Em seguida, encontramos a probabilidade desejada: P=2/6=1/3=0,333.

Dois dados, probabilidade.

Ao resolver problemas com o lançamento de 2 dados, é muito conveniente usar uma tabela de pontuação especial. Nele, o número de pontos que caíram no primeiro dado é plotado horizontalmente, e o número de pontos que caíram no segundo dado é plotado verticalmente. A peça de trabalho fica assim:

Mas surge a pergunta, o que estará nas células vazias da tabela? Depende da tarefa a ser resolvida. Se a tarefa é sobre a soma de pontos, então a soma é escrita lá, e se é sobre a diferença, então a diferença é escrita e assim por diante.

Problema 3. 2 dados são lançados ao mesmo tempo. Qual é a probabilidade de obter uma soma inferior a 5 pontos?

Primeiro você precisa descobrir qual será o número total de resultados do experimento. Tudo era óbvio ao lançar um dado 6 faces do dado - 6 resultados do experimento. Mas quando já existem dois dados, os resultados possíveis podem ser representados como pares ordenados de números da forma (x, y), onde x mostra quantos pontos caíram no primeiro dado (de 1 a 6) e y - quantos pontos caíram no segundo dado (de 1 a 6). No total, haverá tais pares numéricos: n=6*6=36 (36 células correspondem a eles na tabela de resultados).

Agora você pode preencher a tabela, para isso, o número da soma dos pontos que caiu no primeiro e segundo dados é inserido em cada célula. A tabela completa fica assim:

Graças à tabela, determinaremos o número de resultados que favorecem o evento "quedas no total menos de 5 pontos". Vamos contar o número de células, cujo valor da soma será menor que o número 5 (estes são 2, 3 e 4). Por conveniência, pintamos sobre essas células, elas serão m = 6:

Dados os dados da tabela, probabilidade de dados igual a: P=6/36=1/6.

Problema 4. Dois dados foram lançados. Determine a probabilidade de que o produto do número de pontos seja divisível por 3.

Para resolver o problema, faremos uma tabela dos produtos dos pontos que caíram no primeiro e segundo dados. Nele, selecionamos imediatamente números que são múltiplos de 3:

Anotamos o número total de resultados do experimento n=36 (o raciocínio é o mesmo do problema anterior) e o número de resultados favoráveis ​​(o número de células sombreadas na tabela) m=20. A probabilidade de um evento é: P=20/36=5/9.

Problema 5. Um dado é lançado duas vezes. Qual é a probabilidade de que a diferença entre o número de pontos no primeiro e no segundo dados seja entre 2 e 5?

Para determinar probabilidade de dados Vamos anotar a tabela de diferenças de pontuação e selecionar as células nela, cujo valor da diferença será entre 2 e 5:

O número de resultados favoráveis ​​(o número de células sombreadas na tabela) é igual a m=10, o número total de resultados elementares igualmente possíveis será n=36. Determina a probabilidade de um evento: P=10/36=5/18.

No caso de um evento simples e ao lançar 2 dados, você precisa construir uma tabela, selecionar as células necessárias e dividir seu número por 36, isso será considerado uma probabilidade.