Como encontrar exemplos de progressão aritmética. Como encontrar uma progressão aritmética? Exemplos de progressão aritmética com solução

Ao estudar álgebra em uma escola secundária (9ª série), um dos tópicos importantes é o estudo de sequências numéricas, que incluem progressões - geométricas e aritméticas. Neste artigo, consideraremos uma progressão aritmética e exemplos com soluções.

O que é uma progressão aritmética?

Para entender isso, é necessário dar uma definição da progressão em consideração, bem como dar as fórmulas básicas que serão usadas posteriormente na resolução de problemas.

Aritmética ou é um conjunto de números racionais ordenados, cada membro dos quais difere do anterior por algum valor constante. Esse valor é chamado de diferença. Ou seja, conhecendo qualquer membro de uma série ordenada de números e a diferença, você pode restaurar toda a progressão aritmética.

Vamos dar um exemplo. A próxima sequência de números será uma progressão aritmética: 4, 8, 12, 16, ..., pois a diferença neste caso é 4 (8 - 4 = 12 - 8 = 16 - 12). Mas o conjunto de números 3, 5, 8, 12, 17 não pode mais ser atribuído ao tipo de progressão considerado, pois a diferença para ele não é um valor constante (5 - 3 ≠ 8 - 5 ≠ 12 - 8 ≠ 17 - 12).

Fórmulas importantes

Apresentamos agora as fórmulas básicas que serão necessárias para resolver problemas usando uma progressão aritmética. Seja a n o enésimo membro da sequência, onde n é um inteiro. A diferença é denotada pela letra latina d. Então as seguintes expressões são verdadeiras:

  1. Para determinar o valor do enésimo termo, a fórmula é adequada: a n \u003d (n-1) * d + a 1.
  2. Para determinar a soma dos primeiros n termos: S n = (a n + a 1)*n/2.

Para compreender quaisquer exemplos de progressão aritmética com solução no 9º ano, basta recordar estas duas fórmulas, uma vez que quaisquer problemas do tipo em consideração são construídos na sua utilização. Além disso, não esqueça que a diferença de progressão é determinada pela fórmula: d = a n - a n-1 .

Exemplo nº 1: Encontrando um membro desconhecido

Damos um exemplo simples de progressão aritmética e as fórmulas que devem ser usadas para resolver.

Seja dada a sequência 10, 8, 6, 4, ..., é necessário encontrar cinco termos nela.

Já decorre das condições do problema que os primeiros 4 termos são conhecidos. A quinta pode ser definida de duas maneiras:

  1. Vamos calcular a diferença primeiro. Temos: d = 8 - 10 = -2. Da mesma forma, pode-se tomar quaisquer outros dois termos próximos um do outro. Por exemplo, d = 4 - 6 = -2. Como se sabe que d \u003d a n - a n-1, então d \u003d a 5 - a 4, de onde obtemos: a 5 \u003d a 4 + d. Substituímos os valores conhecidos: a 5 = 4 + (-2) = 2.
  2. O segundo método também requer conhecimento da diferença da progressão em questão, então você precisa primeiro determiná-la, como mostrado acima (d = -2). Sabendo que o primeiro termo a 1 = 10, usamos a fórmula para o número n da sequência. Temos: a n \u003d (n - 1) * d + a 1 \u003d (n - 1) * (-2) + 10 \u003d 12 - 2 * n. Substituindo n = 5 na última expressão, obtemos: a 5 = 12-2 * 5 = 2.

Como você pode ver, ambas as soluções levam ao mesmo resultado. Observe que neste exemplo a diferença d da progressão é negativa. Essas sequências são chamadas decrescentes porque cada termo sucessivo é menor que o anterior.

Exemplo #2: diferença de progressão

Agora vamos complicar um pouco a tarefa, dar um exemplo de como encontrar a diferença de uma progressão aritmética.

Sabe-se que em alguma progressão algébrica o 1º termo é igual a 6, e o 7º termo é igual a 18. É necessário encontrar a diferença e restaurar esta sequência ao 7º termo.

Vamos usar a fórmula para determinar o termo desconhecido: a n = (n - 1) * d + a 1 . Substituímos os dados conhecidos da condição, ou seja, os números a 1 e a 7, temos: 18 \u003d 6 + 6 * d. A partir desta expressão, você pode calcular facilmente a diferença: d = (18 - 6) / 6 = 2. Assim, a primeira parte do problema foi respondida.

Para restaurar a sequência para o 7º membro, você deve usar a definição de progressão algébrica, ou seja, a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d, e assim por diante. Como resultado, restauramos a sequência inteira: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2=8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 , a 6 = 14 + 2 = 16 e 7 = 18.

Exemplo #3: fazendo uma progressão

Vamos complicar ainda mais a condição do problema. Agora você precisa responder à pergunta de como encontrar uma progressão aritmética. Podemos dar o seguinte exemplo: são dados dois números, por exemplo, 4 e 5. É necessário fazer uma progressão algébrica para que mais três termos caibam entre eles.

Antes de começar a resolver este problema, é necessário entender que lugar os números dados ocuparão na progressão futura. Como haverá mais três termos entre eles, então 1 \u003d -4 e 5 \u003d 5. Tendo estabelecido isso, passamos a uma tarefa semelhante à anterior. Novamente, para o enésimo termo, usamos a fórmula, obtemos: a 5 \u003d a 1 + 4 * d. De: d \u003d (a 5 - a 1) / 4 \u003d (5 - (-4)) / 4 \u003d 2,25. Aqui, a diferença não é um valor inteiro, mas é um número racional, então as fórmulas para a progressão algébrica permanecem as mesmas.

Agora vamos adicionar a diferença encontrada a 1 e restaurar os membros ausentes da progressão. Obtemos: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2,25 = - 1,75, a 3 = -1,75 + 2,25 = 0,5, a 4 = 0,5 + 2,25 = 2,75, a 5 \u003d 2,75 + 2,25 \u003d 5, que coincidiu com a condição do problema.

Exemplo #4: O primeiro membro da progressão

Continuamos a dar exemplos de uma progressão aritmética com uma solução. Em todos os problemas anteriores, o primeiro número da progressão algébrica era conhecido. Agora considere um problema de um tipo diferente: sejam dados dois números, onde a 15 = 50 e a 43 = 37. É necessário descobrir de qual número essa sequência começa.

As fórmulas que foram usadas até agora pressupõem o conhecimento de a 1 e d. Nada se sabe sobre esses números na condição do problema. No entanto, vamos escrever as expressões para cada termo sobre o qual temos informações: a 15 = a 1 + 14 * d e a 43 = a 1 + 42 * d. Temos duas equações nas quais existem 2 incógnitas (a 1 e d). Isso significa que o problema é reduzido a resolver um sistema de equações lineares.

O sistema especificado é mais fácil de resolver se você expressar um 1 em cada equação e depois comparar as expressões resultantes. Primeira equação: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; segunda equação: a 1 \u003d a 43 - 42 * d \u003d 37 - 42 * d. Igualando essas expressões, obtemos: 50 - 14 * d \u003d 37 - 42 * d, de onde a diferença d \u003d (37 - 50) / (42 - 14) \u003d - 0,464 (apenas 3 casas decimais são fornecidas).

Conhecendo d, você pode usar qualquer uma das 2 expressões acima para a 1 . Por exemplo, primeiro: a 1 \u003d 50 - 14 * d \u003d 50 - 14 * (- 0,464) \u003d 56,496.

Se houver dúvidas sobre o resultado, você pode verificá-lo, por exemplo, determinar o 43º membro da progressão, especificado na condição. Obtemos: a 43 \u003d a 1 + 42 * d \u003d 56,496 + 42 * (- 0,464) \u003d 37,008. Um pequeno erro se deve ao fato de ter sido utilizado arredondamento para milésimos nos cálculos.

Exemplo #5: Soma

Agora vamos ver alguns exemplos com soluções para a soma de uma progressão aritmética.

Seja uma progressão numérica da seguinte forma: 1, 2, 3, 4, ...,. Como calcular a soma de 100 desses números?

Graças ao desenvolvimento da tecnologia da computação, esse problema pode ser resolvido, ou seja, somar sequencialmente todos os números, o que o computador fará assim que uma pessoa pressionar a tecla Enter. No entanto, o problema pode ser resolvido mentalmente se você prestar atenção que a série de números apresentada é uma progressão algébrica, e sua diferença é 1. Aplicando a fórmula da soma, temos: S n = n * (a 1 + a n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.

É curioso notar que esse problema é chamado de "gaussiano", pois no início do século XVIII o famoso alemão, ainda com apenas 10 anos de idade, conseguiu resolvê-lo em sua mente em poucos segundos. O menino não conhecia a fórmula da soma de uma progressão algébrica, mas notou que se somarmos pares de números localizados nas bordas da sequência, obteremos sempre o mesmo resultado, ou seja, 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ..., e como essas somas serão exatamente 50 (100 / 2), para obter a resposta correta, basta multiplicar 50 por 101.

Exemplo #6: soma dos termos de n a m

Outro exemplo típico da soma de uma progressão aritmética é o seguinte: dada uma série de números: 3, 7, 11, 15, ..., você precisa descobrir qual será a soma de seus termos de 8 a 14.

O problema é resolvido de duas maneiras. O primeiro deles envolve encontrar termos desconhecidos de 8 a 14 e, em seguida, resumi-los sequencialmente. Como existem poucos termos, esse método não é trabalhoso o suficiente. No entanto, propõe-se resolver este problema pelo segundo método, que é mais universal.

A ideia é obter uma fórmula para a soma de uma progressão algébrica entre os termos m e n, onde n > m são inteiros. Para ambos os casos, escrevemos duas expressões para a soma:

  1. S m \u003d m * (a m + a 1) / 2.
  2. S n \u003d n * (a n + a 1) / 2.

Como n > m, é óbvio que a soma 2 inclui o primeiro. A última conclusão significa que, se pegarmos a diferença entre essas somas e adicionarmos o termo a m a ela (no caso de tirar a diferença, ela é subtraída da soma S n), obteremos a resposta necessária para o problema. Temos: S mn \u003d S n - S m + a m \u003d n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m \u003d a 1 * (n - m) / 2 + a n * n / 2 + a m * (1- m / 2). É necessário substituir fórmulas para a n e a m nesta expressão. Então temos: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m / 2) = a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d * (3 * m - m 2 - 2) / 2.

A fórmula resultante é um pouco complicada, no entanto, a soma S mn depende apenas de n, m, a 1 e d. No nosso caso, a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. Substituindo esses números, obtemos: S mn = 301.

Como pode ser visto nas soluções acima, todos os problemas são baseados no conhecimento da expressão para o enésimo termo e a fórmula para a soma do conjunto dos primeiros termos. Antes de começar a resolver qualquer um desses problemas, é recomendável que você leia atentamente a condição, entenda claramente o que deseja encontrar e só então prossiga com a solução.

Outra dica é buscar a simplicidade, ou seja, se você conseguir responder a pergunta sem usar cálculos matemáticos complexos, é preciso fazer exatamente isso, pois nesse caso a probabilidade de errar é menor. Por exemplo, no exemplo de uma progressão aritmética com a solução nº 6, pode-se parar na fórmula S mn = n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m, e divida a tarefa geral em subtarefas separadas (neste caso, encontre primeiro os termos a n e a m).

Se houver dúvidas sobre o resultado obtido, recomenda-se verificar, como foi feito em alguns dos exemplos apresentados. Como encontrar uma progressão aritmética, descobri. Depois de descobrir, não é tão difícil.

Primeiro nível

Progressão aritmética. Teoria detalhada com exemplos (2019)

Sequência numérica

Então vamos sentar e começar a escrever alguns números. Por exemplo:
Você pode escrever qualquer número, e pode haver quantos quiser (no nosso caso, eles). Não importa quantos números escrevamos, sempre podemos dizer qual deles é o primeiro, qual é o segundo, e assim por diante até o último, ou seja, podemos numerá-los. Este é um exemplo de uma sequência numérica:

Sequência numérica
Por exemplo, para nossa sequência:

O número atribuído é específico para apenas um número de sequência. Em outras palavras, não há números de três segundos na sequência. O segundo número (como o número -th) é sempre o mesmo.
O número com o número é chamado de -th membro da sequência.

Geralmente chamamos a sequência inteira de alguma letra (por exemplo,), e cada membro dessa sequência - a mesma letra com um índice igual ao número desse membro: .

No nosso caso:

Digamos que temos uma sequência numérica na qual a diferença entre números adjacentes é a mesma e igual.
Por exemplo:

etc.
Essa sequência numérica é chamada de progressão aritmética.
O termo "progressão" foi introduzido pelo autor romano Boécio já no século VI e foi entendido em um sentido mais amplo como uma sequência numérica sem fim. O nome "aritmética" foi transferido da teoria das proporções contínuas, na qual os antigos gregos estavam envolvidos.

Esta é uma sequência numérica, cada membro do qual é igual ao anterior, somado com o mesmo número. Esse número é chamado de diferença de uma progressão aritmética e é denotado.

Tente determinar quais sequências numéricas são uma progressão aritmética e quais não são:

a)
b)
c)
d)

Entendi? Compare nossas respostas:
É progressão aritmética - b, c.
não é progressão aritmética - a, d.

Vamos retornar à progressão dada () e tentar encontrar o valor de seu º membro. Existe dois maneira de encontrá-lo.

1. Método

Podemos somar ao valor anterior do número da progressão até chegarmos ao º termo da progressão. É bom que não tenhamos muito para resumir - apenas três valores:

Assim, o -ésimo membro da progressão aritmética descrita é igual a.

2 maneiras

E se precisássemos encontrar o valor do décimo termo da progressão? A soma nos levaria mais de uma hora, e não é fato que não teríamos cometido erros ao somar os números.
É claro que os matemáticos inventaram uma maneira pela qual você não precisa adicionar a diferença de uma progressão aritmética ao valor anterior. Olhe atentamente para a imagem desenhada ... Certamente você já notou um certo padrão, a saber:

Por exemplo, vamos ver o que compõe o valor do -th membro desta progressão aritmética:


Em outras palavras:

Tente encontrar independentemente dessa maneira o valor de um membro dessa progressão aritmética.

Calculado? Compare suas entradas com a resposta:

Preste atenção que você obteve exatamente o mesmo número do método anterior, quando somamos sucessivamente os membros de uma progressão aritmética ao valor anterior.
Vamos tentar "despersonalizar" esta fórmula - nós a trazemos para uma forma geral e obtemos:

Equação de progressão aritmética.

As progressões aritméticas são crescentes ou decrescentes.

Aumentando- progressões em que cada valor subsequente dos termos é maior que o anterior.
Por exemplo:

descendente- progressões em que cada valor subsequente dos termos é menor que o anterior.
Por exemplo:

A fórmula derivada é usada no cálculo de termos em termos crescentes e decrescentes de uma progressão aritmética.
Vamos conferir na prática.
Temos uma progressão aritmética composta pelos seguintes números:


Desde então:

Assim, ficamos convencidos de que a fórmula funciona tanto na progressão aritmética decrescente quanto na progressão aritmética crescente.
Tente encontrar os membros -th e -th dessa progressão aritmética por conta própria.

Vamos comparar os resultados:

Propriedade de progressão aritmética

Vamos complicar a tarefa - derivamos a propriedade de uma progressão aritmética.
Suponha que nos seja dada a seguinte condição:
- progressão aritmética, encontre o valor.
É fácil, você diz, e comece a contar de acordo com a fórmula que você já conhece:

Seja, a, então:

Absolutamente certo. Acontece que primeiro encontramos, depois adicionamos ao primeiro número e obtemos o que estamos procurando. Se a progressão é representada por pequenos valores, então não há nada complicado nisso, mas e se recebermos números na condição? Concordo, existe a possibilidade de cometer erros nos cálculos.
Agora pense, é possível resolver esse problema em uma etapa usando qualquer fórmula? Claro que sim, e vamos tentar trazê-lo agora.

Vamos denotar o termo desejado da progressão aritmética como conhecemos a fórmula para encontrá-lo - esta é a mesma fórmula que derivamos no início:
, então:

  • o membro anterior da progressão é:
  • o próximo termo da progressão é:

Vamos somar os membros anteriores e seguintes da progressão:

Acontece que a soma dos membros anteriores e subsequentes da progressão é duas vezes o valor do membro da progressão localizado entre eles. Em outras palavras, para encontrar o valor de um membro de progressão com valores anteriores e sucessivos conhecidos, é necessário somá-los e dividir por.

Isso mesmo, temos o mesmo número. Vamos corrigir o material. Calcule você mesmo o valor da progressão, porque não é nada difícil.

Bem feito! Você sabe quase tudo sobre progressão! Resta descobrir apenas uma fórmula, que, segundo a lenda, um dos maiores matemáticos de todos os tempos, o "rei dos matemáticos" - Karl Gauss, facilmente deduziu por si mesmo ...

Quando Carl Gauss tinha 9 anos, o professor, ocupado verificando o trabalho dos alunos de outras turmas, pediu a seguinte tarefa na aula: "Calcule a soma de todos os números naturais de até (de acordo com outras fontes até) inclusive. " Qual foi a surpresa do professor quando um de seus alunos (foi Karl Gauss) depois de um minuto deu a resposta correta para a tarefa, enquanto a maioria dos colegas do temerário após longos cálculos receberam o resultado errado ...

O jovem Carl Gauss notou um padrão que você pode notar facilmente.
Digamos que temos uma progressão aritmética composta por -ti membros: Precisamos encontrar a soma dos membros dados da progressão aritmética. Claro, podemos somar manualmente todos os valores, mas e se precisarmos encontrar a soma de seus termos na tarefa, como Gauss estava procurando?

Vamos descrever a progressão que nos foi dada. Observe atentamente os números destacados e tente realizar várias operações matemáticas com eles.


Tentou? O que você notou? Corretamente! Suas somas são iguais


Agora responda, quantos desses pares haverá na progressão que nos foi dada? Claro, exatamente metade de todos os números, isso é.
Com base no fato de que a soma de dois termos de uma progressão aritmética é igual, e pares iguais semelhantes, obtemos que a soma total é igual a:
.
Assim, a fórmula para a soma dos primeiros termos de qualquer progressão aritmética será:

Em alguns problemas, não sabemos o º termo, mas sabemos a diferença de progressão. Tente substituir na fórmula da soma, a fórmula do º membro.
O que você conseguiu?

Bem feito! Agora vamos voltar ao problema que foi dado a Carl Gauss: calcule por si mesmo qual é a soma dos números a partir do -th e a soma dos números a partir do -th.

Quanto você conseguiu?
Gauss descobriu que a soma dos termos é igual, e a soma dos termos. Foi assim que você decidiu?

De fato, a fórmula para a soma dos membros de uma progressão aritmética foi comprovada pelo antigo cientista grego Diofanto no século III e, durante todo esse tempo, pessoas espirituosas usaram as propriedades de uma progressão aritmética com força e principal.
Por exemplo, imagine o Egito Antigo e o maior canteiro de obras da época - a construção de uma pirâmide... A figura mostra um lado dela.

Onde está a progressão aqui, você diz? Olhe atentamente e encontre um padrão no número de blocos de areia em cada fileira da parede da pirâmide.


Por que não uma progressão aritmética? Conte quantos blocos são necessários para construir uma parede se blocos de tijolos forem colocados na base. Espero que você não conte movendo o dedo pelo monitor, você se lembra da última fórmula e de tudo o que dissemos sobre progressão aritmética?

Nesse caso, a progressão fica assim:
Diferença de progressão aritmética.
O número de membros de uma progressão aritmética.
Vamos substituir nossos dados nas últimas fórmulas (contamos o número de blocos de 2 maneiras).

Método 1.

Método 2.

E agora você também pode calcular no monitor: compare os valores obtidos​​com o número de blocos que estão em nossa pirâmide. Concordou? Muito bem, você dominou a soma dos º termos de uma progressão aritmética.
Claro, você não pode construir uma pirâmide a partir dos blocos da base, mas a partir de? Tente calcular quantos tijolos de areia são necessários para construir uma parede com essa condição.
Você conseguiu?
A resposta correta é blocos:

Treino

Tarefas:

  1. Masha está ficando em forma para o verão. A cada dia ela aumenta o número de agachamentos. Quantas vezes Masha vai agachar em semanas se ela fez agachamento no primeiro treino.
  2. Qual é a soma de todos os números ímpares contidos em.
  3. Ao armazenar toras, os lenhadores os empilham de tal forma que cada camada superior contém uma tora a menos que a anterior. Quantas toras estão em uma alvenaria, se a base da alvenaria for toras.

Respostas:

  1. Vamos definir os parâmetros da progressão aritmética. Nesse caso
    (semanas = dias).

    Responda: Em duas semanas, Masha deve agachar uma vez por dia.

  2. Primeiro número ímpar, último número.
    Diferença de progressão aritmética.
    O número de números ímpares em - metade, no entanto, verifique esse fato usando a fórmula para encontrar o -ésimo membro de uma progressão aritmética:

    Os números contêm números ímpares.
    Substituímos os dados disponíveis na fórmula:

    Responda: A soma de todos os números ímpares contidos em é igual a.

  3. Lembre-se do problema das pirâmides. Para o nosso caso, a , como cada camada superior é reduzida em um log, há apenas um monte de camadas, ou seja.
    Substitua os dados na fórmula:

    Responda: Há troncos na alvenaria.

Resumindo

  1. - uma sequência numérica em que a diferença entre números adjacentes é a mesma e igual. Está aumentando e diminuindo.
  2. Encontrando a fórmulaº membro de uma progressão aritmética é escrito pela fórmula - , onde é o número de números na progressão.
  3. Propriedade dos membros de uma progressão aritmética- - onde - o número de números na progressão.
  4. A soma dos membros de uma progressão aritmética pode ser encontrado de duas maneiras:

    , onde é o número de valores.

PROGRESSÃO ARITMÉTICA. NÍVEL MÉDIO

Sequência numérica

Vamos sentar e começar a escrever alguns números. Por exemplo:

Você pode escrever qualquer número, e pode haver quantos você quiser. Mas você sempre pode dizer qual deles é o primeiro, qual é o segundo, e assim por diante, ou seja, podemos numerá-los. Este é um exemplo de uma sequência numérica.

Sequência numéricaé um conjunto de números, cada um dos quais pode receber um número único.

Em outras palavras, cada número pode ser associado a um determinado número natural, e apenas um. E não atribuiremos esse número a nenhum outro número deste conjunto.

O número com o número é chamado de -th membro da sequência.

Geralmente chamamos a sequência inteira de alguma letra (por exemplo,), e cada membro dessa sequência - a mesma letra com um índice igual ao número desse membro: .

É muito conveniente que o -ésimo membro da sequência possa ser dado por alguma fórmula. Por exemplo, a fórmula

define a sequência:

E a fórmula é a seguinte sequência:

Por exemplo, uma progressão aritmética é uma sequência (o primeiro termo aqui é igual e a diferença). Ou (, diferença).

fórmula do enésimo termo

Chamamos de recorrente uma fórmula em que, para descobrir o -ésimo termo, você precisa conhecer o anterior ou vários anteriores:

Para encontrar, por exemplo, o º termo da progressão usando tal fórmula, temos que calcular os nove anteriores. Por exemplo, deixe. Então:

Bem, agora está claro qual é a fórmula?

Em cada linha, somamos, multiplicamos por algum número. Para que? Muito simples: este é o número do membro atual menos:

Muito mais confortável agora, certo? Verificamos:

Decida por si mesmo:

Em uma progressão aritmética, encontre a fórmula para o enésimo termo e encontre o centésimo termo.

Solução:

O primeiro termo é igual. e qual é a diferença? E aqui está o que:

(afinal, chama-se diferença porque é igual à diferença dos membros sucessivos da progressão).

Então a fórmula é:

Então o centésimo termo é:

Qual é a soma de todos os números naturais de a?

Segundo a lenda, o grande matemático Carl Gauss, sendo um menino de 9 anos, calculou esse valor em poucos minutos. Ele notou que a soma do primeiro e do último número é igual, a soma do segundo e do penúltimo é a mesma, a soma do terceiro e do 3º a partir do final é a mesma, e assim por diante. Quantos desses pares existem? Isso mesmo, exatamente metade do número de todos os números, isto é. Então,

A fórmula geral para a soma dos primeiros termos de qualquer progressão aritmética será:

Exemplo:
Encontre a soma de todos os múltiplos de dois dígitos.

Solução:

O primeiro número é este. Cada próximo é obtido adicionando um número ao anterior. Assim, os números que nos interessam formam uma progressão aritmética com o primeiro termo e a diferença.

A fórmula para o º termo desta progressão é:

Quantos termos estão na progressão se todos eles devem ter dois dígitos?

Muito fácil: .

O último termo da progressão será igual. Então a soma:

Responda: .

Agora decida você mesmo:

  1. Todos os dias o atleta corre 1m a mais que no dia anterior. Quantos quilômetros ele correrá em semanas se ele correu km m no primeiro dia?
  2. Um ciclista percorre mais quilômetros por dia do que o anterior. No primeiro dia ele viajou km. Quantos dias ele tem que dirigir para percorrer um quilômetro? Quantos quilômetros ele percorrerá no último dia da viagem?
  3. O preço de uma geladeira na loja é reduzido na mesma quantidade todos os anos. Determine quanto o preço de uma geladeira diminuiu a cada ano se, colocado à venda por rublos, seis anos depois foi vendido por rublos.

Respostas:

  1. O mais importante aqui é reconhecer a progressão aritmética e determinar seus parâmetros. Neste caso, (semanas = dias). Você precisa determinar a soma dos primeiros termos desta progressão:
    .
    Responda:
  2. Aqui é dado:, é necessário encontrar.
    Obviamente, você precisa usar a mesma fórmula de soma do problema anterior:
    .
    Substitua os valores:

    A raiz obviamente não se encaixa, então a resposta.
    Vamos calcular a distância percorrida no último dia usando a fórmula do -th membro:
    (km).
    Responda:

  3. Dado: . Achar: .
    Não fica mais fácil:
    (esfregar).
    Responda:

PROGRESSÃO ARITMÉTICA. BREVEMENTE SOBRE O PRINCIPAL

Esta é uma sequência numérica em que a diferença entre os números adjacentes é a mesma e igual.

A progressão aritmética é crescente () e decrescente ().

Por exemplo:

A fórmula para encontrar o n-ésimo membro de uma progressão aritmética

é escrito como uma fórmula, onde é o número de números na progressão.

Propriedade dos membros de uma progressão aritmética

Fica fácil encontrar um membro da progressão se seus membros vizinhos forem conhecidos - onde está o número de números na progressão.

A soma dos membros de uma progressão aritmética

Existem duas maneiras de encontrar a soma:

Onde é o número de valores.

Onde é o número de valores.


Por exemplo, a sequência \(2\); \(5\); \(oito\); \(onze\); \(14\)… é uma progressão aritmética, pois cada elemento seguinte difere do anterior por três (pode ser obtido do anterior somando três):

Nesta progressão, a diferença \(d\) é positiva (igual a \(3\)) e, portanto, cada termo seguinte é maior que o anterior. Essas progressões são chamadas aumentando.

No entanto, \(d\) também pode ser um número negativo. Por exemplo, em progressão aritmética \(16\); \(dez\); \(quatro\); \(-2\); \(-8\)… a diferença de progressão \(d\) é igual a menos seis.

E neste caso, cada próximo elemento será menor que o anterior. Essas progressões são chamadas diminuindo.

Notação de progressão aritmética

A progressão é indicada por uma pequena letra latina.

Os números que formam uma progressão são chamados membros(ou elementos).

Eles são denotados pela mesma letra que a progressão aritmética, mas com um índice numérico igual ao número do elemento em ordem.

Por exemplo, a progressão aritmética \(a_n = \left\( 2; 5; 8; 11; 14…\right\)\) consiste nos elementos \(a_1=2\); \(a_2=5\); \(a_3=8\) e assim por diante.

Em outras palavras, para a progressão \(a_n = \left\(2; 5; 8; 11; 14…\right\)\)

Resolvendo problemas em uma progressão aritmética

Em princípio, as informações acima já são suficientes para resolver praticamente qualquer problema de progressão aritmética (incluindo os oferecidos no OGE).

Exemplo (OGE). A progressão aritmética é dada pelas condições \(b_1=7; d=4\). Encontre \(b_5\).
Solução:

Responda: \(b_5=23\)

Exemplo (OGE). Os três primeiros termos de uma progressão aritmética são dados: \(62; 49; 36…\) Encontre o valor do primeiro termo negativo dessa progressão.
Solução:

Recebemos os primeiros elementos da sequência e sabemos que é uma progressão aritmética. Ou seja, cada elemento difere do vizinho pelo mesmo número. Descubra qual subtraindo o anterior do próximo elemento: \(d=49-62=-13\).

Agora podemos restaurar nossa progressão para o elemento desejado (primeiro negativo).

Preparar. Você pode escrever uma resposta.

Responda: \(-3\)

Exemplo (OGE). Vários elementos sucessivos de uma progressão aritmética são dados: \(...5; x; 10; 12,5...\) Encontre o valor do elemento denotado pela letra \(x\).
Solução:


Para encontrar \(x\), precisamos saber o quanto o próximo elemento difere do anterior, ou seja, a diferença de progressão. Vamos encontrá-lo a partir de dois elementos vizinhos conhecidos: \(d=12.5-10=2.5\).

E agora encontramos o que procuramos sem problemas: \(x=5+2.5=7.5\).


Preparar. Você pode escrever uma resposta.

Responda: \(7,5\).

Exemplo (OGE). A progressão aritmética é dada pelas seguintes condições: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) Encontre a soma dos seis primeiros termos desta progressão.
Solução:

Precisamos encontrar a soma dos seis primeiros termos da progressão. Mas não sabemos seus significados, recebemos apenas o primeiro elemento. Portanto, primeiro calculamos os valores por sua vez, usando o que nos foi dado:

\(n=1\); \(a_(1+1)=a_1+5=-11+5=-6\)
\(n=2\); \(a_(2+1)=a_2+5=-6+5=-1\)
\(n=3\); \(a_(3+1)=a_3+5=-1+5=4\)
E tendo calculado os seis elementos de que precisamos, encontramos sua soma.

\(S_6=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=\)
\(=(-11)+(-6)+(-1)+4+9+14=9\)

O valor solicitado foi encontrado.

Responda: \(S_6=9\).

Exemplo (OGE). Em progressão aritmética \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). Encontre a diferença dessa progressão.
Solução:

Responda: \(d=7\).

Fórmulas importantes de progressão aritmética

Como você pode ver, muitos problemas de progressão aritmética podem ser resolvidos simplesmente entendendo o principal - que uma progressão aritmética é uma cadeia de números, e cada próximo elemento nesta cadeia é obtido adicionando o mesmo número ao anterior (a diferença da progressão).

No entanto, às vezes há situações em que é muito inconveniente resolver "na testa". Por exemplo, imagine que no primeiro exemplo, precisamos encontrar não o quinto elemento \(b_5\), mas o tricentésimo octogésimo sexto \(b_(386)\). O que é isso, nós \ (385 \) vezes para adicionar quatro? Ou imagine que no penúltimo exemplo você precisa encontrar a soma dos primeiros setenta e três elementos. Contar é confuso...

Portanto, nesses casos, eles não resolvem “na testa”, mas usam fórmulas especiais derivadas de progressão aritmética. E as principais são a fórmula do enésimo termo da progressão e a fórmula da soma \(n\) dos primeiros termos.

Fórmula para o \(n\)º membro: \(a_n=a_1+(n-1)d\), onde \(a_1\) é o primeiro membro da progressão;
\(n\) – número do elemento requerido;
\(a_n\) é um membro da progressão com o número \(n\).


Essa fórmula nos permite encontrar rapidamente pelo menos o tricentésimo, até mesmo o milionésimo elemento, conhecendo apenas o primeiro e a diferença de progressão.

Exemplo. A progressão aritmética é dada pelas condições: \(b_1=-159\); \(d=8,2\). Encontre \(b_(246)\).
Solução:

Responda: \(b_(246)=1850\).

A fórmula para a soma dos primeiros n termos é: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), onde



\(a_n\) é o último termo somado;


Exemplo (OGE). A progressão aritmética é dada pelas condições \(a_n=3.4n-0.6\). Encontre a soma dos primeiros \(25\) termos dessa progressão.
Solução:

\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2 )\) \(\cdot 25\)

Para calcular a soma dos primeiros vinte e cinco elementos, precisamos saber o valor do primeiro e do vigésimo quinto termo.
A nossa progressão é dada pela fórmula do enésimo termo em função do seu número (ver detalhes). Vamos calcular o primeiro elemento substituindo \(n\) por um.

\(n=1;\) \(a_1=3,4 1-0,6=2,8\)

Agora vamos encontrar o vigésimo quinto termo substituindo vinte e cinco em vez de \(n\).

\(n=25;\) \(a_(25)=3,4 25-0,6=84,4\)

Bem, agora calculamos a quantidade necessária sem problemas.

\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25=\)
\(=\) \(\frac(2,8+84,4)(2)\) \(\cdot 25 =\)\(1090\)

A resposta está pronta.

Responda: \(S_(25)=1090\).

Para a soma \(n\) dos primeiros termos, você pode obter outra fórmula: você só precisa \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \ (\cdot 25\ ) em vez de \(a_n\) substitua pela fórmula \(a_n=a_1+(n-1)d\). Nós temos:

A fórmula para a soma dos primeiros n termos é: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), onde

\(S_n\) – a soma necessária \(n\) dos primeiros elementos;
\(a_1\) é o primeiro termo a ser somado;
\(d\) – diferença de progressão;
\(n\) - o número de elementos na soma.

Exemplo. Encontre a soma dos primeiros termos \(33\)-ex da progressão aritmética: \(17\); \(15,5\); \(quatorze\)…
Solução:

Responda: \(S_(33)=-231\).

Problemas de progressão aritmética mais complexos

Agora você tem todas as informações necessárias para resolver quase qualquer problema de progressão aritmética. Vamos terminar o tópico considerando problemas nos quais você precisa não apenas aplicar fórmulas, mas também pensar um pouco (em matemática, isso pode ser útil ☺)

Exemplo (OGE). Encontre a soma de todos os termos negativos da progressão: \(-19,3\); \(-19\); \(-18,7\)…
Solução:

\(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\)

A tarefa é muito semelhante à anterior. Começamos a resolver da mesma maneira: primeiro encontramos \(d\).

\(d=a_2-a_1=-19-(-19.3)=0.3\)

Agora substituiríamos \(d\) na fórmula da soma ... e aqui aparece uma pequena nuance - não sabemos \(n\). Em outras palavras, não sabemos quantos termos precisarão ser adicionados. Como descobrir? Vamos pensar. Pararemos de adicionar elementos quando chegarmos ao primeiro elemento positivo. Ou seja, você precisa descobrir o número desse elemento. Como? Vamos escrever a fórmula para calcular qualquer elemento de uma progressão aritmética: \(a_n=a_1+(n-1)d\) para o nosso caso.

\(a_n=a_1+(n-1)d\)

\(a_n=-19,3+(n-1) 0,3\)

Precisamos que \(a_n\) seja maior que zero. Vamos descobrir para que \(n\) isso vai acontecer.

\(-19,3+(n-1) 0,3>0\)

\((n-1) 0,3>19,3\) \(|:0,3\)

Dividimos ambos os lados da desigualdade por \(0,3\).

\(n-1>\)\(\frac(19,3)(0,3)\)

Transferimos menos um, não esquecendo de mudar os sinais

\(n>\)\(\frac(19,3)(0,3)\) \(+1\)

Informática...

\(n>65.333…\)

…e acontece que o primeiro elemento positivo terá o número \(66\). Assim, o último negativo tem \(n=65\). Apenas no caso, vamos dar uma olhada.

\(n=65;\) \(a_(65)=-19,3+(65-1) 0,3=-0,1\)
\(n=66;\) \(a_(66)=-19,3+(66-1) 0,3=0,2\)

Assim, precisamos adicionar os primeiros elementos \(65\).

\(S_(65)=\) \(\frac(2 \cdot (-19,3)+(65-1)0,3)(2)\)\(\cdot 65\)
\(S_(65)=\)\((-38,6+19,2)(2)\)\(\cdot 65=-630,5\)

A resposta está pronta.

Responda: \(S_(65)=-630,5\).

Exemplo (OGE). A progressão aritmética é dada pelas condições: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). Encontre a soma do elemento \(26\)th ao \(42\) inclusive.
Solução:

\(a_1=-33;\) \(a_(n+1)=a_n+4\)

Neste problema, você também precisa encontrar a soma dos elementos, mas começando não do primeiro, mas do \(26\)th. Não temos uma fórmula para isso. Como decidir?
Fácil - para obter a soma de \(26\)th a \(42\)th, você deve primeiro encontrar a soma de \(1\)th a \(42\)th e, em seguida, subtrair dela a soma de o primeiro a \ (25 \) th (veja a imagem).


Para nossa progressão \(a_1=-33\), e a diferença \(d=4\) (afinal, adicionamos quatro ao elemento anterior para encontrar o próximo). Sabendo disso, encontramos a soma dos primeiros \(42\)-uh elementos.

\(S_(42)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(42-1)4)(2)\)\(\cdot 42=\)
\(=\)\(\frac(-66+164)(2)\) \(\cdot 42=2058\)

Agora a soma dos primeiros \(25\)-ésimos elementos.

\(S_(25)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(25-1)4)(2)\)\(\cdot 25=\)
\(=\)\(\frac(-66+96)(2)\) \(\cdot 25=375\)

E, finalmente, calculamos a resposta.

\(S=S_(42)-S_(25)=2058-375=1683\)

Responda: \(S=1683\).

Para uma progressão aritmética, existem várias outras fórmulas que não consideramos neste artigo devido à sua baixa utilidade prática. No entanto, você pode encontrá-los facilmente.


Sim, sim: a progressão aritmética não é um brinquedo para você :)

Bem, amigos, se você está lendo este texto, então a evidência do limite interno me diz que você ainda não sabe o que é uma progressão aritmética, mas você realmente (não, assim: MUUUUITO!) quer saber. Portanto, não vou atormentá-lo com longas apresentações e imediatamente começarei a trabalhar.

Para começar, alguns exemplos. Considere vários conjuntos de números:

  • 1; 2; 3; 4; ...
  • 15; 20; 25; 30; ...
  • $\sqrt(2);\ 2\sqrt(2);\ 3\sqrt(2);...$

O que todos esses conjuntos têm em comum? À primeira vista, nada. Mas na verdade há algo. Nomeadamente: cada próximo elemento difere do anterior pelo mesmo número.

Julgue por si mesmo. O primeiro conjunto são apenas números consecutivos, cada um mais que o anterior. No segundo caso, a diferença entre os números adjacentes já é igual a cinco, mas essa diferença ainda é constante. No terceiro caso, existem raízes em geral. No entanto, $2\sqrt(2)=\sqrt(2)+\sqrt(2)$, enquanto $3\sqrt(2)=2\sqrt(2)+\sqrt(2)$, ou seja, nesse caso, cada próximo elemento simplesmente aumenta em $\sqrt(2)$ (e não se assuste que esse número seja irracional).

Então: todas essas sequências são chamadas apenas de progressões aritméticas. Vamos dar uma definição estrita:

Definição. Uma sequência de números em que cada próximo difere do anterior exatamente na mesma quantidade é chamada de progressão aritmética. A própria quantidade pela qual os números diferem é chamada de diferença de progressão e é mais frequentemente indicada pela letra $d$.

Notação: $\left(((a)_(n)) \right)$ é a própria progressão, $d$ é sua diferença.

E apenas algumas observações importantes. Em primeiro lugar, a progressão é considerada apenas ordenadamente seqüência de números: eles podem ser lidos estritamente na ordem em que são escritos - e nada mais. Você não pode reorganizar ou trocar números.

Em segundo lugar, a própria sequência pode ser finita ou infinita. Por exemplo, o conjunto (1; 2; 3) é obviamente uma progressão aritmética finita. Mas se você escrever algo como (1; 2; 3; 4; ...) - isso já é uma progressão infinita. As reticências após os quatro, por assim dizer, sugerem que muitos números vão mais longe. Infinitamente muitos, por exemplo. :)

Também gostaria de observar que as progressões estão aumentando e diminuindo. Já vimos crescentes - o mesmo conjunto (1; 2; 3; 4; ...). Aqui estão alguns exemplos de progressões decrescentes:

  • 49; 41; 33; 25; 17; ...
  • 17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
  • $\sqrt(5);\ \sqrt(5)-1;\ \sqrt(5)-2;\ \sqrt(5)-3;...$

Ok, ok: o último exemplo pode parecer muito complicado. Mas o resto, eu acho, você entende. Portanto, introduzimos novas definições:

Definição. Uma progressão aritmética é chamada de:

  1. aumentando se cada próximo elemento for maior que o anterior;
  2. decrescente, se, pelo contrário, cada elemento subsequente for menor que o anterior.

Além disso, existem as chamadas sequências "estacionárias" - elas consistem no mesmo número de repetição. Por exemplo, (3; 3; 3; ...).

Resta apenas uma pergunta: como distinguir uma progressão crescente de uma decrescente? Felizmente, tudo aqui depende apenas do sinal do número $d$, ou seja, diferenças de progressão:

  1. Se $d \gt 0$, então a progressão é crescente;
  2. Se $d \lt 0$, então a progressão é obviamente decrescente;
  3. Finalmente, há o caso $d=0$ — neste caso toda a progressão é reduzida a uma sequência estacionária de números idênticos: (1; 1; 1; 1; ...), etc.

Vamos tentar calcular a diferença $d$ para as três progressões decrescentes acima. Para fazer isso, basta pegar dois elementos adjacentes (por exemplo, o primeiro e o segundo) e subtrair do número à direita o número à esquerda. Isso parecerá assim:

  • 41−49=−8;
  • 12−17,5=−5,5;
  • $\sqrt(5)-1-\sqrt(5)=-1$.

Como você pode ver, nos três casos a diferença realmente acabou sendo negativa. E agora que descobrimos mais ou menos as definições, é hora de descobrir como as progressões são descritas e quais propriedades elas têm.

Membros da progressão e da fórmula recorrente

Como os elementos de nossas sequências não podem ser trocados, eles podem ser numerados:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( ((a)_(1)),\ ((a)_(2)),((a)_(3) )),... \certo\)\]

Os elementos individuais deste conjunto são chamados membros da progressão. Eles são indicados dessa maneira com a ajuda de um número: o primeiro membro, o segundo membro e assim por diante.

Além disso, como já sabemos, os membros vizinhos da progressão estão relacionados pela fórmula:

\[((a)_(n))-((a)_(n-1))=d\Rightarrow ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d \]

Resumindo, para encontrar o $n$th termo da progressão, você precisa saber o $n-1$th termo e a diferença $d$. Essa fórmula é chamada de recorrente, porque com sua ajuda você pode encontrar qualquer número, conhecendo apenas o anterior (e, de fato, todos os anteriores). Isso é muito inconveniente, então existe uma fórmula mais complicada que reduz qualquer cálculo ao primeiro termo e à diferença:

\[((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d\]

Você provavelmente já se deparou com essa fórmula antes. Eles gostam de dar em todos os tipos de livros de referência e reshebniks. E em qualquer livro sensato de matemática, é um dos primeiros.

No entanto, sugiro que você pratique um pouco.

Tarefa número 1. Escreva os três primeiros termos da progressão aritmética $\left(((a)_(n)) \right)$ if $((a)_(1))=8,d=-5$.

Solução. Então, conhecemos o primeiro termo $((a)_(1))=8$ e a diferença de progressão $d=-5$. Vamos usar a fórmula dada e substituir $n=1$, $n=2$ e $n=3$:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d; \\ & ((a)_(1))=((a)_(1))+\left(1-1 \right)d=((a)_(1))=8; \\ & ((a)_(2))=((a)_(1))+\left(2-1 \right)d=((a)_(1))+d=8-5= 3; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+\left(3-1 \right)d=((a)_(1))+2d=8-10= -2. \\ \end(alinhar)\]

Resposta: (8; 3; -2)

Isso é tudo! Observe que nossa progressão está diminuindo.

Claro, $n=1$ não poderia ter sido substituído - já conhecemos o primeiro termo. No entanto, substituindo a unidade, garantimos que, mesmo para o primeiro termo, nossa fórmula funciona. Em outros casos, tudo se resumia a uma aritmética banal.

Tarefa número 2. Escreva os três primeiros termos de uma progressão aritmética se seu sétimo termo for -40 e seu décimo sétimo termo for -50.

Solução. Escrevemos a condição do problema nos termos usuais:

\[((a)_(7))=-40;\quad ((a)_(17))=-50.\]

\[\left\( \begin(align) & ((a)_(7))=((a)_(1))+6d \\ & ((a)_(17))=((a) _(1))+16d \\ \end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & ((a)_(1))+6d=-40 \\ & ((a)_(1))+16d=-50 \\ \end(align) \certo.\]

Coloquei o sinal do sistema porque esses requisitos devem ser atendidos simultaneamente. E agora notamos que se subtrairmos a primeira equação da segunda equação (temos o direito de fazer isso, porque temos um sistema), obtemos isso:

\[\begin(align) & ((a)_(1))+16d-\left(((a)_(1))+6d \right)=-50-\left(-40 \right); \\ & ((a)_(1))+16d-((a)_(1))-6d=-50+40; \\ & 10d=-10; \\&d=-1. \\ \end(alinhar)\]

Simples assim, encontramos a diferença de progressão! Resta substituir o número encontrado em qualquer uma das equações do sistema. Por exemplo, no primeiro:

\[\begin(matrix) ((a)_(1))+6d=-40;\quad d=-1 \\ \Downarrow \\ ((a)_(1))-6=-40; \\ ((a)_(1))=-40+6=-34. \\ \end(matriz)\]

Agora, conhecendo o primeiro termo e a diferença, resta encontrar o segundo e o terceiro termos:

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=-34-1=-35; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+2d=-34-2=-36. \\ \end(alinhar)\]

Preparar! Problema resolvido.

Resposta: (-34; -35; -36)

Observe uma propriedade curiosa da progressão que descobrimos: se pegarmos os termos $n$th e $m$th e subtraí-los um do outro, obtemos a diferença da progressão multiplicada pelo número $n-m$:

\[((a)_(n))-((a)_(m))=d\cdot \left(n-m \right)\]

Uma propriedade simples, mas muito útil, que você definitivamente deve conhecer - com sua ajuda, você pode acelerar significativamente a solução de muitos problemas de progressão. Aqui está um excelente exemplo disso:

Tarefa número 3. O quinto termo da progressão aritmética é 8,4, e seu décimo termo é 14,4. Encontre o décimo quinto termo dessa progressão.

Solução. Como $((a)_(5))=8,4$, $((a)_(10))=14,4$, e precisamos encontrar $((a)_(15))$, notamos o seguinte:

\[\begin(align) & ((a)_(15))-((a)_(10))=5d; \\ & ((a)_(10))-((a)_(5))=5d. \\ \end(alinhar)\]

Mas pela condição $((a)_(10))-((a)_(5))=14.4-8.4=6$, então $5d=6$, de onde temos:

\[\begin(alinhar) & ((a)_(15))-14,4=6; \\ & ((a)_(15))=6+14,4=20,4. \\ \end(alinhar)\]

Resposta: 20,4

Isso é tudo! Não precisávamos compor nenhum sistema de equações e calcular o primeiro termo e a diferença - tudo foi decidido em apenas algumas linhas.

Agora vamos considerar outro tipo de problema - a busca por membros negativos e positivos da progressão. Não é segredo que, se a progressão aumentar, enquanto seu primeiro termo for negativo, mais cedo ou mais tarde aparecerão termos positivos. E vice-versa: os termos de uma progressão decrescente mais cedo ou mais tarde se tornarão negativos.

Ao mesmo tempo, nem sempre é possível encontrar esse momento “na testa”, ordenando sequencialmente os elementos. Muitas vezes, os problemas são projetados de tal forma que, sem conhecer as fórmulas, os cálculos levariam várias folhas - simplesmente adormeceríamos até encontrar a resposta. Portanto, tentaremos resolver esses problemas de maneira mais rápida.

Tarefa número 4. Quantos termos negativos em uma progressão aritmética -38,5; -35,8; …?

Solução. Então, $((a)_(1))=-38.5$, $((a)_(2))=-35.8$, a partir do qual encontramos imediatamente a diferença:

Observe que a diferença é positiva, então a progressão é crescente. O primeiro termo é negativo, então, de fato, em algum momento, encontraremos números positivos. A única questão é quando isso vai acontecer.

Vamos tentar descobrir: por quanto tempo (ou seja, até que número natural $n$) a negatividade dos termos é preservada:

\[\begin(align) & ((a)_(n)) \lt 0\Rightarrow ((a)_(1))+\left(n-1 \right)d \lt 0; \\ & -38.5+\left(n-1 \right)\cdot 2.7 \lt 0;\quad \left| \cdot 10 \direito. \\ & -385+27\cdot \left(n-1 \right) \lt 0; \\ & -385+27n-27 \lt 0; \\ & 27n \lt 412; \\ & n \lt 15\frac(7)(27)\Rightarrow ((n)_(\max ))=15. \\ \end(alinhar)\]

A última linha precisa de esclarecimentos. Então sabemos que $n \lt 15\frac(7)(27)$. Por outro lado, apenas valores inteiros do número nos servirão (além disso: $n\in \mathbb(N)$), então o maior número permitido é precisamente $n=15$, e em nenhum caso 16.

Tarefa número 5. Na progressão aritmética $(()_(5))=-150,(()_(6))=-147$. Encontre o número do primeiro termo positivo dessa progressão.

Este seria exatamente o mesmo problema que o anterior, mas não sabemos $((a)_(1))$. Mas os termos vizinhos são conhecidos: $((a)_(5))$ e $((a)_(6))$, então podemos encontrar facilmente a diferença de progressão:

Além disso, vamos tentar expressar o quinto termo em termos do primeiro e a diferença usando a fórmula padrão:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)\cdot d; \\ & ((a)_(5))=((a)_(1))+4d; \\ & -150=((a)_(1))+4\cdot 3; \\ & ((a)_(1))=-150-12=-162. \\ \end(alinhar)\]

Agora vamos proceder por analogia com o problema anterior. Descobrimos em que ponto da nossa sequência os números positivos aparecerão:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=-162+\left(n-1 \right)\cdot 3 \gt 0; \\ & -162+3n-3 \gt 0; \\ & 3n \gt 165; \\ & n \gt 55\Rightarrow ((n)_(\min ))=56. \\ \end(alinhar)\]

A solução inteira mínima desta desigualdade é o número 56.

Por favor, note que na última tarefa tudo foi reduzido a desigualdade estrita, então a opção $n=55$ não nos convém.

Agora que aprendemos a resolver problemas simples, vamos para os mais complexos. Mas primeiro, vamos aprender outra propriedade muito útil das progressões aritméticas, que nos poupará muito tempo e células desiguais no futuro. :)

Média aritmética e recuos iguais

Considere vários termos consecutivos da progressão aritmética crescente $\left(((a)_(n)) \right)$. Vamos tentar marcá-los em uma reta numérica:

Membros da progressão aritmética na reta numérica

Observei especificamente os membros arbitrários $((a)_(n-3)),...,((a)_(n+3))$, e não qualquer $((a)_(1)) , \ ((a)_(2)),\ ((a)_(3))$ etc. Porque a regra, que vou dizer agora, funciona da mesma forma para qualquer "segmento".

E a regra é muito simples. Vamos lembrar a fórmula recursiva e anotá-la para todos os membros marcados:

\[\begin(alinhar) & ((a)_(n-2))=((a)_(n-3))+d; \\ & ((a)_(n-1))=((a)_(n-2))+d; \\ & ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n+1))+d; \\ \end(alinhar)\]

No entanto, essas igualdades podem ser reescritas de maneira diferente:

\[\begin(align) & ((a)_(n-1))=((a)_(n))-d; \\ & ((a)_(n-2))=((a)_(n))-2d; \\ & ((a)_(n-3))=((a)_(n))-3d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(n+3))=((a)_(n))+3d; \\ \end(alinhar)\]

Bem, e daí? Mas o fato de os termos $((a)_(n-1))$ e $((a)_(n+1))$ estarem à mesma distância de $((a)_(n)) $ . E essa distância é igual a $d$. O mesmo pode ser dito sobre os termos $((a)_(n-2))$ e $((a)_(n+2))$ - eles também são removidos de $((a)_(n) )$ pela mesma distância igual a $2d$. Você pode continuar indefinidamente, mas a imagem ilustra bem o significado


Os membros da progressão estão à mesma distância do centro

O que isso significa para nós? Isso significa que você pode encontrar $((a)_(n))$ se os números vizinhos forem conhecidos:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-1))+((a)_(n+1)))(2)\]

Deduzimos uma afirmação magnífica: cada membro de uma progressão aritmética é igual à média aritmética dos membros vizinhos! Além disso, podemos desviar de nosso $((a)_(n))$ para a esquerda e para a direita não por um passo, mas por $k$ passos - e ainda assim a fórmula estará correta:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-k))+((a)_(n+k)))(2)\]

Aqueles. podemos encontrar facilmente $((a)_(150))$ se soubermos $((a)_(100))$ e $((a)_(200))$, porque $(( a)_ (150))=\frac(((a)_(100))+((a)_(200)))(2)$. À primeira vista, pode parecer que esse fato não nos dá nada de útil. No entanto, na prática, muitas tarefas são especialmente "aguçadas" para o uso da média aritmética. Dê uma olhada:

Tarefa número 6. Encontre todos os valores de $x$ de modo que os números $-6((x)^(2))$, $x+1$ e $14+4((x)^(2))$ sejam membros consecutivos de uma progressão aritmética (em ordem especificada).

Solução. Como esses números são membros de uma progressão, a condição de média aritmética é satisfeita para eles: o elemento central $x+1$ pode ser expresso em termos de elementos vizinhos:

\[\begin(align) & x+1=\frac(-6((x)^(2))+14+4((x)^(2)))(2); \\ & x+1=\frac(14-2((x)^(2)))(2); \\ & x+1=7-((x)^(2)); \\ & ((x)^(2))+x-6=0. \\ \end(alinhar)\]

O resultado é uma equação quadrática clássica. Suas raízes: $x=2$ e $x=-3$ são as respostas.

Resposta: -3; 2.

Tarefa número 7. Encontre os valores de $$ de forma que os números $-1;4-3;(()^(2))+1$ formem uma progressão aritmética (nessa ordem).

Solução. Novamente, expressamos o termo médio em termos da média aritmética dos termos vizinhos:

\[\begin(alinhar) & 4x-3=\frac(x-1+((x)^(2))+1)(2); \\ & 4x-3=\frac(((x)^(2))+x)(2);\quad \left| \cdot 2\direito.; \\ & 8x-6=((x)^(2))+x; \\ & ((x)^(2))-7x+6=0. \\ \end(alinhar)\]

Outra equação quadrática. E novamente duas raízes: $x=6$ e $x=1$.

Resposta 1; 6.

Se, no processo de resolução de um problema, você obtiver alguns números brutais ou não tiver certeza absoluta da exatidão das respostas encontradas, há um truque maravilhoso que permite verificar: resolvemos o problema corretamente?

Digamos que no problema 6 obtivemos as respostas -3 e 2. Como podemos verificar se essas respostas estão corretas? Vamos apenas ligá-los na condição original e ver o que acontece. Deixe-me lembrá-lo de que temos três números ($-6(()^(2))$, $+1$ e $14+4(()^(2))$), que devem formar uma progressão aritmética. Substitua $x=-3$:

\[\begin(align) & x=-3\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-54; \\ &x+1=-2; \\ & 14+4((x)^(2))=50. \end(alinhar)\]

Temos os números -54; −2; 50 que diferem por 52 é, sem dúvida, uma progressão aritmética. A mesma coisa acontece para $x=2$:

\[\begin(align) & x=2\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-24; \\ &x+1=3; \\ & 14+4((x)^(2))=30. \end(alinhar)\]

Novamente uma progressão, mas com uma diferença de 27. Assim, o problema é resolvido corretamente. Quem quiser pode conferir a segunda tarefa por conta própria, mas logo digo: está tudo certo lá também.

Em geral, ao resolver os últimos problemas, nos deparamos com outro fato interessante que também precisa ser lembrado:

Se três números são tais que o segundo é a média do primeiro e do último, então esses números formam uma progressão aritmética.

No futuro, entender essa afirmação nos permitirá literalmente “construir” as progressões necessárias com base na condição do problema. Mas antes de nos engajarmos em tal “construção”, devemos atentar para mais um fato, que decorre diretamente do que já foi considerado.

Agrupamento e soma de elementos

Vamos voltar para a reta numérica novamente. Notamos lá vários membros da progressão, entre os quais, talvez. vale muitos outros membros:

6 elementos marcados na reta numérica

Vamos tentar expressar a "cauda esquerda" em termos de $((a)_(n))$ e $d$, e a "cauda direita" em termos de $((a)_(k))$ e $ d$. É muito simples:

\[\begin(alinhar) & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(k-1))=((a)_(k))-d; \\ & ((a)_(k-2))=((a)_(k))-2d. \\ \end(alinhar)\]

Agora observe que as seguintes somas são iguais:

\[\begin(alinhar) & ((a)_(n))+((a)_(k))=S; \\ & ((a)_(n+1))+((a)_(k-1))=((a)_(n))+d+((a)_(k))-d= S; \\ & ((a)_(n+2))+((a)_(k-2))=((a)_(n))+2d+((a)_(k))-2d= S. \end(alinhar)\]

Simplificando, se considerarmos como início dois elementos da progressão, que no total são iguais a algum número $S$, e então começarmos a caminhar desses elementos em direções opostas (um em direção ao outro ou vice-versa para nos afastarmos), então as somas dos elementos em que tropeçaremos também serão iguais$S$. Isso pode ser melhor representado graficamente:


Os mesmos recuos dão somas iguais

Compreender este fato nos permitirá resolver problemas de um nível de complexidade fundamentalmente maior do que aqueles que consideramos acima. Por exemplo, estes:

Tarefa número 8. Determine a diferença de uma progressão aritmética em que o primeiro termo é 66, e o produto do segundo e décimo segundo termos é o menor possível.

Solução. Vamos anotar tudo o que sabemos:

\[\begin(alinhar) & ((a)_(1))=66; \\&d=? \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\min . \end(alinhar)\]

Então, não sabemos a diferença da progressão $d$. Na verdade, toda a solução será construída em torno da diferença, já que o produto $((a)_(2))\cdot ((a)_(12))$ pode ser reescrito da seguinte forma:

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=66+d; \\ & ((a)_(12))=((a)_(1))+11d=66+11d; \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\left(66+d \right)\cdot \left(66+11d \right)= \\ & =11 \cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right). \end(alinhar)\]

Para aqueles no tanque: tirei o fator comum 11 do segundo suporte. Assim, o produto desejado é uma função quadrática em relação à variável $d$. Portanto, considere a função $f\left(d \right)=11\left(d+66 \right)\left(d+6 \right)$ - seu gráfico será uma parábola com ramificações para cima, porque se abrirmos os colchetes, teremos:

\[\begin(align) & f\left(d \right)=11\left(((d)^(2))+66d+6d+66\cdot 6 \right)= \\ & =11(( d)^(2))+11\cdot 72d+11\cdot 66\cdot 6 \end(align)\]

Como você pode ver, o coeficiente com o termo mais alto é 11 - este é um número positivo, então estamos realmente lidando com uma parábola com ramificações para cima:


gráfico de uma função quadrática - parábola

Atenção: esta parábola toma seu valor mínimo em seu vértice com a abcissa $((d)_(0))$. Claro, podemos calcular essa abcissa de acordo com o esquema padrão (existe uma fórmula $((d)_(0))=(-b)/(2a)\;$), mas seria muito mais razoável note que o vértice desejado está na simetria do eixo da parábola, então o ponto $((d)_(0))$ é equidistante das raízes da equação $f\left(d \right)=0$:

\[\begin(alinhar) & f\left(d\right)=0; \\ & 11\cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right)=0; \\ & ((d)_(1))=-66;\quad ((d)_(2))=-6. \\ \end(alinhar)\]

Por isso não tive pressa de abrir os colchetes: na forma original, as raízes eram muito, muito fáceis de encontrar. Portanto, a abcissa é igual à média aritmética dos números −66 e −6:

\[((d)_(0))=\frac(-66-6)(2)=-36\]

O que nos dá o número descoberto? Com ele, o produto necessário assume o menor valor (a propósito, não calculamos $((y)_(\min ))$ - isso não é exigido de nós). Ao mesmo tempo, esse número é a diferença da progressão inicial, ou seja, encontramos a resposta. :)

Resposta: -36

Tarefa número 9. Insira três números entre os números $-\frac(1)(2)$ e $-\frac(1)(6)$ para que, juntamente com os números fornecidos, eles formem uma progressão aritmética.

Solução. Na verdade, precisamos fazer uma sequência de cinco números, com o primeiro e o último número já conhecidos. Denote os números ausentes pelas variáveis ​​$x$, $y$ e $z$:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( -\frac(1)(2);x;y;z;-\frac(1)(6) \right\ )\]

Observe que o número $y$ é o "meio" da nossa sequência - é equidistante dos números $x$ e $z$, e dos números $-\frac(1)(2)$ e $-\frac (1)(6)$. E se dos números $x$ e $z$ estivermos este momento não podemos obter $y$, então a situação é diferente com as extremidades da progressão. Lembre-se da média aritmética:

Agora, conhecendo $y$, encontraremos os números restantes. Observe que $x$ está entre $-\frac(1)(2)$ e $y=-\frac(1)(3)$ recém encontrado. É por isso

Argumentando de forma semelhante, encontramos o número restante:

Preparar! Encontramos os três números. Vamos escrevê-los na resposta na ordem em que devem ser inseridos entre os números originais.

Resposta: $-\frac(5)(12);\ -\frac(1)(3);\ -\frac(1)(4)$

Tarefa número 10. Entre os números 2 e 42, insira vários números que, juntamente com os números dados, formam uma progressão aritmética, se for conhecido que a soma do primeiro, segundo e último dos números inseridos é 56.

Solução. Uma tarefa ainda mais difícil, que, no entanto, é resolvida da mesma maneira que as anteriores - através da média aritmética. O problema é que não sabemos exatamente quantos números inserir. Portanto, por definição, assumimos que após a inserção haverá exatamente $n$ números, e o primeiro deles é 2 e o último é 42. Nesse caso, a progressão aritmética desejada pode ser representada como:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( 2;((a)_(2));((a)_(3));...;(( a)_(n-1));42 \direito\)\]

\[((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56\]

Observe, no entanto, que os números $((a)_(2))$ e $((a)_(n-1))$ são obtidos dos números 2 e 42 posicionados nas bordas um passo um em direção ao outro , ou seja . para o centro da sequência. E isso significa que

\[((a)_(2))+((a)_(n-1))=2+42=44\]

Mas então a expressão acima pode ser reescrita assim:

\[\begin(align) & ((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56; \\ & \left(((a)_(2))+((a)_(n-1)) \right)+((a)_(3))=56; \\ & 44+((a)_(3))=56; \\ & ((a)_(3))=56-44=12. \\ \end(alinhar)\]

Conhecendo $((a)_(3))$ e $((a)_(1))$, podemos facilmente encontrar a diferença de progressão:

\[\begin(align) & ((a)_(3))-((a)_(1))=12-2=10; \\ & ((a)_(3))-((a)_(1))=\left(3-1 \right)\cdot d=2d; \\ & 2d=10\Seta para a direita d=5. \\ \end(alinhar)\]

Resta apenas encontrar os membros restantes:

\[\begin(alinhar) & ((a)_(1))=2; \\ & ((a)_(2))=2+5=7; \\ & ((a)_(3))=12; \\ & ((a)_(4))=2+3\cdot 5=17; \\ & ((a)_(5))=2+4\cdot 5=22; \\ & ((a)_(6))=2+5\cdot 5=27; \\ & ((a)_(7))=2+6\cdot 5=32; \\ & ((a)_(8))=2+7\cdot 5=37; \\ & ((a)_(9))=2+8\cdot 5=42; \\ \end(alinhar)\]

Assim, já no 9º passo chegaremos ao extremo esquerdo da sequência - o número 42. No total, apenas 7 números tiveram de ser inseridos: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.

Resposta: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37

Tarefas de texto com progressões

Para concluir, gostaria de considerar alguns problemas relativamente simples. Bem, tão simples: para a maioria dos alunos que estudam matemática na escola e não leram o que está escrito acima, essas tarefas podem parecer um gesto. No entanto, são precisamente essas tarefas que aparecem no OGE e no USE em matemática, por isso recomendo que você se familiarize com elas.

Tarefa número 11. A equipe produziu 62 peças em janeiro e, em cada mês subsequente, produziu 14 peças a mais do que no anterior. Quantas peças a brigada produziu em novembro?

Solução. Obviamente, o número de peças, pintadas por mês, será uma progressão aritmética crescente. E:

\[\begin(alinhar) & ((a)_(1))=62;\quad d=14; \\ & ((a)_(n))=62+\left(n-1 \right)\cdot 14. \\ \end(align)\]

Novembro é o 11º mês do ano, então precisamos encontrar $((a)_(11))$:

\[((a)_(11))=62+10\cdot 14=202\]

Portanto, 202 peças serão fabricadas em novembro.

Tarefa número 12. A oficina de encadernação encadernou 216 livros em janeiro, e a cada mês encadernou 4 livros a mais do que no mês anterior. Quantos livros a oficina encadernou em dezembro?

Solução. Tudo o mesmo:

$\begin(alinhar) & ((a)_(1))=216;\quad d=4; \\ & ((a)_(n))=216+\left(n-1 \right)\cdot 4. \\ \end(align)$

Dezembro é o último 12º mês do ano, então estamos procurando por $((a)_(12))$:

\[((a)_(12))=216+11\cdot 4=260\]

Esta é a resposta - 260 livros serão encadernados em dezembro.

Bem, se você leu até aqui, apresso-me a parabenizá-lo: você concluiu com sucesso o “curso jovem lutador” em progressões aritméticas. Podemos passar com segurança para a próxima lição, onde estudaremos a fórmula da soma da progressão, bem como as consequências importantes e muito úteis dela.

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