Em matemática, um dos parâmetros que descreve a posição de uma reta no plano de coordenadas cartesianas é o coeficiente angular dessa reta. Este parâmetro caracteriza a inclinação da reta em relação ao eixo das abcissas. Para entender como encontrar a inclinação, primeiro lembre-se da forma geral da equação de uma linha reta no sistema de coordenadas XY.

Em geral, qualquer reta pode ser representada pela expressão ax+by=c, onde a, b e c são números reais arbitrários, mas a 2 + b 2 ≠ 0.

Usando transformações simples, tal equação pode ser trazida para a forma y=kx+d, em que k e d são números reais. O número k é a inclinação, e a equação de uma reta desse tipo é chamada de equação com inclinação. Acontece que para encontrar a inclinação, basta reduzir a equação original à forma indicada acima. Para uma compreensão mais completa, considere um exemplo específico:

Problema: Encontre a inclinação da reta dada pela equação 36x - 18y = 108

Solução: Vamos transformar a equação original.

Resposta: A inclinação necessária desta linha é 2.

Se durante a transformação da equação recebemos uma expressão como x = const e como resultado não podemos representar y como função de x, então estamos lidando com uma linha reta paralela ao eixo X. O coeficiente angular de tal uma linha reta é igual ao infinito.

Para linhas expressas por uma equação como y = const, a inclinação é zero. Isso é típico para linhas retas paralelas ao eixo das abcissas. Por exemplo:

Problema: Encontre a inclinação da reta dada pela equação 24x + 12y - 4(3y + 7) = 4

Solução: vamos trazer a equação original para sua forma geral

24x + 12 anos - 12 anos + 28 = 4

É impossível expressar y a partir da expressão resultante, portanto o coeficiente angular desta reta é igual ao infinito, e a própria reta será paralela ao eixo Y.

Significado geométrico

Para uma melhor compreensão, vejamos a imagem:

Na figura vemos um gráfico de uma função como y = kx. Para simplificar, tomemos o coeficiente c = 0. No triângulo OAB, a razão entre o lado BA e AO será igual ao coeficiente angular k. Ao mesmo tempo, a razão BA/AO é a tangente do ângulo agudo α no triângulo retângulo OAB. Acontece que o coeficiente angular da reta é igual à tangente do ângulo que essa reta forma com o eixo de abcissas da grade de coordenadas.

Resolvendo o problema de como encontrar o coeficiente angular de uma linha reta, encontramos a tangente do ângulo entre ela e o eixo X da grade de coordenadas. Casos limite, quando a linha em questão é paralela aos eixos coordenados, confirmam o acima. Na verdade, para uma linha reta descrita pela equação y=const, o ângulo entre ela e o eixo das abcissas é zero. A tangente do ângulo zero também é zero e a inclinação também é zero.

Para linhas retas perpendiculares ao eixo x e descritas pela equação x=const, o ângulo entre elas e o eixo X é de 90 graus. A tangente de um ângulo reto é igual ao infinito, e o coeficiente angular de retas semelhantes também é igual ao infinito, o que confirma o que foi escrito acima.

Inclinação tangente

Uma tarefa comum frequentemente encontrada na prática é também encontrar a inclinação de uma tangente ao gráfico de uma função num determinado ponto. Uma tangente é uma linha reta, portanto o conceito de inclinação também se aplica a ela.

Para descobrir como determinar o declive de uma tangente, precisaremos de recordar o conceito de derivada. A derivada de qualquer função em um determinado ponto é uma constante numericamente igual à tangente do ângulo que se forma entre a tangente no ponto especificado ao gráfico desta função e o eixo das abcissas. Acontece que para determinar o coeficiente angular da tangente no ponto x 0, precisamos calcular o valor da derivada da função original neste ponto k = f"(x 0). Vejamos o exemplo:

Problema: Encontre a inclinação da reta tangente à função y = 12x 2 + 2xe x em x = 0,1.

Solução: Encontre a derivada da função original na forma geral

y"(0,1) = 24,0,1 + 2,0,1. e 0,1 + 2, e 0,1

Resposta: A inclinação necessária no ponto x = 0,1 é 4,831

O tópico “O coeficiente angular de uma tangente como tangente do ângulo de inclinação” é aplicado em diversas tarefas no exame de certificação. Dependendo de sua condição, o graduado pode ser solicitado a fornecer uma resposta completa ou curta. Ao se preparar para fazer o Exame Estadual Unificado de matemática, o aluno deve repetir definitivamente as tarefas que exigem o cálculo da inclinação de uma tangente.

O portal educacional Shkolkovo irá ajudá-lo a fazer isso. Nossos especialistas prepararam e apresentaram material teórico e prático da forma mais acessível possível. Familiarizados com ele, graduados com qualquer nível de formação poderão resolver com sucesso problemas relacionados a derivadas em que é necessário encontrar a tangente do ângulo tangente.

Momentos básicos

Para encontrar a solução correta e racional para tais problemas no Exame Estadual Unificado, é necessário lembrar a definição básica: a derivada representa a taxa de variação de uma função; é igual à tangente do ângulo tangente traçado ao gráfico da função em um determinado ponto. É igualmente importante completar o desenho. Isso permitirá que você encontre a solução correta para problemas de USE na derivada, na qual você precisa calcular a tangente do ângulo tangente. Para maior clareza, é melhor traçar o gráfico no plano OXY.

Se você já se familiarizou com o material básico sobre o tema derivadas e está pronto para começar a resolver problemas de cálculo da tangente do ângulo tangente, semelhantes às tarefas do Exame de Estado Unificado, você pode fazer isso online. Para cada tarefa, por exemplo, problemas sobre o tema “Relação de uma derivada com a velocidade e aceleração de um corpo”, anotamos a resposta correta e o algoritmo de solução. Ao mesmo tempo, os alunos podem praticar a execução de tarefas de diversos níveis de complexidade. Se necessário, o exercício pode ser salvo na seção “Favoritos” para que você possa discutir a solução posteriormente com o professor.

Aprenda a derivar funções. A derivada caracteriza a taxa de variação de uma função em um determinado ponto do gráfico desta função. Neste caso, o gráfico pode ser uma linha reta ou curva. Ou seja, a derivada caracteriza a taxa de variação de uma função em um determinado momento. Lembre-se das regras gerais pelas quais as derivadas são calculadas e só então prossiga para a próxima etapa.

• Leia o artigo.
• É descrito como obter as derivadas mais simples, por exemplo, a derivada de uma equação exponencial. Os cálculos apresentados nas etapas seguintes serão baseados nos métodos aí descritos.

Aprenda a distinguir problemas em que a inclinação deve ser calculada através da derivada de uma função. Os problemas nem sempre pedem que você encontre a inclinação ou a derivada de uma função. Por exemplo, pode ser solicitado que você encontre a taxa de variação de uma função no ponto A(x,y). Você também pode ser solicitado a encontrar a inclinação da tangente no ponto A(x,y). Em ambos os casos é necessário derivar a função.

Calcule a derivada da função dada a você. Não há necessidade de construir um gráfico aqui - você só precisa da equação da função. No nosso exemplo, tome a derivada da função f (x) = 2 x 2 + 6 x (\estilo de exibição f(x)=2x^(2)+6x). Calcule a derivada de acordo com os métodos descritos no artigo mencionado acima:

Substitua as coordenadas do ponto fornecido a você na derivada encontrada para calcular a inclinação. A derivada de uma função é igual à inclinação em um determinado ponto. Em outras palavras, f"(x) é a inclinação da função em qualquer ponto (x,f(x)). Em nosso exemplo:

Se possível, verifique sua resposta em um gráfico. Lembre-se de que a inclinação não pode ser calculada em todos os pontos. O cálculo diferencial lida com funções complexas e gráficos complexos onde a inclinação não pode ser calculada em todos os pontos e, em alguns casos, os pontos nem aparecem nos gráficos. Se possível, use uma calculadora gráfica para verificar se a inclinação da função fornecida está correta. Caso contrário, desenhe uma tangente ao gráfico no ponto que lhe foi dado e pense se o valor da inclinação que você encontrou corresponde ao que você vê no gráfico.

• A tangente terá a mesma inclinação do gráfico da função em um determinado ponto. Para desenhar uma tangente em um determinado ponto, mova para a esquerda/direita no eixo X (em nosso exemplo, 22 valores para a direita) e depois para cima um no eixo Y. Marque o ponto e conecte-o ao ponto dado a você. No nosso exemplo, conecte os pontos com as coordenadas (4,2) e (26,3).

Numericamente igual à tangente do ângulo (constituindo a menor rotação do eixo Ox ao eixo Oy) entre o sentido positivo do eixo das abcissas e a reta dada.

A tangente de um ângulo pode ser calculada como a razão entre o lado oposto e o lado adjacente. ké sempre igual a , ou seja, a derivada da equação de uma reta em relação a x.

Para valores positivos da inclinação k e coeficiente de deslocamento zero b a linha reta ficará no primeiro e terceiro quadrantes (nos quais x E sim tanto positivo quanto negativo). Ao mesmo tempo, grandes valores do coeficiente angular k uma linha reta mais íngreme corresponderá, e uma mais plana corresponderá às menores.

Reta e perpendicular se e paralela se.

Notas

Fundação Wikimedia. 2010.

Veja o que é “Coeficiente angular de uma linha reta” em outros dicionários:

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- número (matemático) k na equação de uma reta no plano y = kx+b (ver Geometria analítica), caracterizando a inclinação da reta em relação ao eixo x. No sistema de coordenadas retangulares do Reino Unido k = tan φ, onde φ é o ângulo entre ... ... Grande Enciclopédia Soviética

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Continuação do tópico, a equação de uma reta em um plano é baseada no estudo de uma reta nas aulas de álgebra. Este artigo fornece informações gerais sobre o tema da equação de uma linha reta com inclinação. Vamos considerar as definições, obter a equação em si e identificar a conexão com outros tipos de equações. Tudo será discutido usando exemplos de resolução de problemas.

Antes de escrever tal equação, é necessário definir o ângulo de inclinação da reta em relação ao eixo O x com seu coeficiente angular. Suponhamos que seja dado um sistema de coordenadas cartesianas O x no plano.

Definição 1

O ângulo de inclinação da linha reta em relação ao eixo O x, localizado no sistema de coordenadas cartesianas O x y no plano, este é o ângulo que é medido da direção positiva O x até a linha reta no sentido anti-horário.

Quando a linha é paralela a O x ou coincide com ela, o ângulo de inclinação é 0. Então o ângulo de inclinação da reta dada α é definido no intervalo [ 0 , π) .

Definição 2

Inclinação diretaé a tangente do ângulo de inclinação de uma determinada linha reta.

A designação padrão é k. Pela definição descobrimos que k = t g α . Quando a reta é paralela ao Boi, dizem que a inclinação não existe, pois vai ao infinito.

A inclinação é positiva quando o gráfico da função aumenta e vice-versa. A figura mostra várias variações na localização do ângulo reto em relação ao sistema de coordenadas com o valor do coeficiente.

Para encontrar este ângulo, é necessário aplicar a definição do coeficiente angular e calcular a tangente do ângulo de inclinação do plano.

Solução

Da condição temos que α = 120°. Por definição, a inclinação deve ser calculada. Vamos descobrir pela fórmula k = t g α = 120 = - 3.

Responder: k = - 3 .

Se o coeficiente angular for conhecido e for necessário encontrar o ângulo de inclinação em relação ao eixo das abcissas, então o valor do coeficiente angular deve ser levado em consideração. Se k > 0, então o ângulo reto é agudo e é encontrado pela fórmula α = a r c t g k. Se k< 0 , тогда угол тупой, что дает право определить его по формуле α = π - a r c t g k .

Exemplo 2

Determine o ângulo de inclinação da linha reta dada para O x com um coeficiente angular de 3.

Solução

Da condição temos que o coeficiente angular é positivo, o que significa que o ângulo de inclinação em relação a O x é menor que 90 graus. Os cálculos são feitos usando a fórmula α = a r c t g k = a r c t g 3.

Resposta: α = a r c t g 3 .

Exemplo 3

Encontre o ângulo de inclinação da linha reta em relação ao eixo O x se a inclinação = - 1 3.

Solução

Se tomarmos a letra k como designação do coeficiente angular, então α é o ângulo de inclinação para uma determinada linha reta na direção positiva O x. Portanto k = - 1 3< 0 , тогда необходимо применить формулу α = π - a r c t g k При подстановке получим выражение:

α = π - a r c t g - 1 3 = π - a r c t g 1 3 = π - π 6 = 5 π 6.

Responder: 5 π 6 .

Uma equação da forma y = k x + b, onde k é a inclinação e b é algum número real, é chamada de equação de uma reta com inclinação. A equação é típica para qualquer linha reta que não seja paralela ao eixo O y.

Se considerarmos detalhadamente uma linha reta em um plano em um sistema de coordenadas fixo, que é especificado por uma equação com um coeficiente angular que tem a forma y = k x + b. Neste caso, significa que a equação corresponde às coordenadas de qualquer ponto da reta. Se substituirmos as coordenadas do ponto M, M 1 (x 1, y 1) na equação y = k x + b, então neste caso a reta passará por este ponto, caso contrário o ponto não pertence à reta.

Exemplo 4

Uma linha reta com inclinação y = 1 3 x - 1 é dada. Calcule se os pontos M 1 (3, 0) e M 2 (2, - 2) pertencem à reta dada.

Solução

É necessário substituir as coordenadas do ponto M 1 (3, 0) na equação dada, então obtemos 0 = 1 3 · 3 - 1 ⇔ 0 = 0. A igualdade é verdadeira, o que significa que o ponto pertence à reta.

Se substituirmos as coordenadas do ponto M 2 (2, - 2), obteremos uma igualdade incorreta da forma - 2 = 1 3 · 2 - 1 ⇔ - 2 = - 1 3. Podemos concluir que o ponto M 2 não pertence à reta.

Responder: M 1 pertence à linha, mas M 2 não.

Sabe-se que a reta é definida pela equação y = k · x + b, passando por M 1 (0, b), mediante substituição obtivemos uma igualdade da forma b = k · 0 + b ⇔ b = b. Disto podemos concluir que a equação de uma reta com coeficiente angular y = k x + b no plano define uma reta que passa pelo ponto 0, b. Forma um ângulo α com a direção positiva do eixo O x, onde k = t g α.

Consideremos, como exemplo, uma linha reta definida por meio de um coeficiente angular especificado na forma y = 3 x - 1. Obtemos que a reta passará pelo ponto de coordenada 0, - 1 com inclinação de α = a r c t g 3 = π 3 radianos no sentido positivo do eixo O x. Isso mostra que o coeficiente é 3.

Equação de uma linha reta com inclinação passando por um determinado ponto

É necessário resolver um problema onde é necessário obter a equação de uma reta com determinada inclinação passando pelo ponto M 1 (x 1, y 1).

A igualdade y 1 = k · x + b pode ser considerada válida, pois a reta passa pelo ponto M 1 (x 1, y 1). Para retirar o número b, é necessário subtrair a equação com a inclinação dos lados esquerdo e direito. Segue-se disso que y - y 1 = k · (x - x 1) . Essa igualdade é chamada de equação de uma reta com determinada inclinação k, passando pelas coordenadas do ponto M 1 (x 1, y 1).

Exemplo 5

Escreva uma equação para uma linha reta que passa pelo ponto M 1 com coordenadas (4, - 1), com coeficiente angular igual a - 2.

Solução

Por condição temos que x 1 = 4, y 1 = - 1, k = - 2. A partir daqui a equação da reta será escrita da seguinte forma: y - y 1 = k · (x - x 1) ⇔ y - (- 1) = - 2 · (x - 4) ⇔ y = - 2 x + 7 .

Responder: y = - 2 x + 7 .

Exemplo 6

Escreva a equação de uma reta com coeficiente angular que passa pelo ponto M 1 com coordenadas (3, 5), paralela à reta y = 2 x - 2.

Solução

Por condição, temos que as retas paralelas tenham ângulos de inclinação idênticos, o que significa que os coeficientes angulares são iguais. Para encontrar a inclinação desta equação, você precisa lembrar sua fórmula básica y = 2 x - 2, segue-se que k = 2. Criamos uma equação com o coeficiente de inclinação e obtemos:

y - y 1 = k (x - x 1) ⇔ y - 5 = 2 (x - 3) ⇔ y = 2 x - 1

Responder: y = 2 x - 1 .

Transição de uma equação de linha reta com inclinação para outros tipos de equações de linha reta e vice-versa

Esta equação nem sempre é aplicável para resolver problemas, uma vez que não é escrita de forma muito conveniente. Para fazer isso, você precisa apresentá-lo de uma forma diferente. Por exemplo, uma equação da forma y = k x + b não nos permite escrever as coordenadas do vetor diretor de uma linha reta ou as coordenadas de um vetor normal. Para fazer isso, você precisa aprender a representar equações de um tipo diferente.

Podemos obter a equação canônica de uma reta em um plano usando a equação de uma reta com coeficiente angular. Obtemos x - x 1 a x = y - y 1 a y . É necessário mover o termo b para o lado esquerdo e dividir pela expressão da desigualdade resultante. Então obtemos uma equação da forma y = k · x + b ⇔ y - b = k · x ⇔ k · x k = y - b k ⇔ x 1 = y - b k.

A equação de uma reta com inclinação tornou-se a equação canônica desta reta.

Exemplo 7

Traga a equação de uma linha reta com coeficiente angular y = - 3 x + 12 para a forma canônica.

Solução

Vamos calculá-lo e apresentá-lo na forma de uma equação canônica de uma reta. Obtemos uma equação da forma:

y = - 3 x + 12 ⇔ - 3 x = y - 12 ⇔ - 3 x - 3 = y - 12 - 3 ⇔ x 1 = y - 12 - 3

Resposta: x 1 = y - 12 - 3.

A equação geral de uma reta é mais fácil de obter a partir de y = k · x + b, mas para isso é necessário fazer transformações: y = k · x + b ⇔ k · x - y + b = 0. Uma transição é feita da equação geral da reta para equações de um tipo diferente.

Exemplo 8

Dada uma equação de linha reta da forma y = 1 7 x - 2 . Descubra se o vetor com coordenadas a → = (- 1, 7) é um vetor reta normal?

Solução

Para resolver é necessário passar para outra forma desta equação, para isso escrevemos:

y = 1 7 x - 2 ⇔ 1 7 x - y - 2 = 0

Os coeficientes na frente das variáveis ​​são as coordenadas do vetor normal da reta. Vamos escrever assim: n → = 1 7, - 1, portanto 1 7 x - y - 2 = 0. É claro que o vetor a → = (- 1, 7) é colinear ao vetor n → = 1 7, - 1, pois temos a relação justa a → = - 7 · n →. Segue-se que o vetor original a → = - 1, 7 é um vetor normal da reta 1 7 x - y - 2 = 0, o que significa que é considerado um vetor normal da reta y = 1 7 x - 2.

Responder:É

Vamos resolver o problema inverso deste.

É necessário passar da forma geral da equação A x + B y + C = 0, onde B ≠ 0, para uma equação com coeficiente angular. Para fazer isso, resolvemos a equação para y. Obtemos A x + B y + C = 0 ⇔ - A B · x - C B .

O resultado é uma equação com inclinação igual a - A B .

Exemplo 9

Uma equação de linha reta da forma 2 3 x - 4 y + 1 = 0 é dada. Obtenha a equação de uma determinada reta com um coeficiente angular.

Solução

Com base na condição, é necessário resolver para y, então obtemos uma equação da forma:

2 3 x - 4 y + 1 = 0 ⇔ 4 y = 2 3 x + 1 ⇔ y = 1 4 2 3 x + 1 ⇔ y = 1 6 x + 1 4 .

Resposta: y = 1 6 x + 1 4 .

Uma equação da forma x a + y b = 1 é resolvida de maneira semelhante, que é chamada de equação de uma linha reta em segmentos, ou canônica da forma x - x 1 a x = y - y 1 a y. Precisamos resolvê-lo para y, só então obtemos uma equação com a inclinação:

x a + y b = 1 ⇔ y b = 1 - x a ⇔ y = - b a · x + b.

A equação canônica pode ser reduzida a uma forma com coeficiente angular. Por esta:

x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ a y · (x - x 1) = a x · (y - y 1) ⇔ ⇔ a x · y = a y · x - a y · x 1 + a x · y 1 ⇔ y = a y a x · x - a y a x · x 1 + y 1

Exemplo 10

Existe uma linha reta dada pela equação x 2 + y - 3 = 1. Reduza à forma de uma equação com um coeficiente angular.

Solução.

Com base na condição, é necessário transformar, então obtemos uma equação da forma _fórmula_. Ambos os lados da equação devem ser multiplicados por -3 para obter a equação de inclinação necessária. Transformando, obtemos:

y - 3 = 1 - x 2 ⇔ - 3 · y - 3 = - 3 · 1 - x 2 ⇔ y = 3 2 x - 3 .

Responder: y = 3 2 x - 3 .

Exemplo 11

Reduza a equação da linha reta da forma x - 2 2 = y + 1 5 para uma forma com um coeficiente angular.

Solução

É necessário calcular a expressão x - 2 2 = y + 1 5 como proporção. Obtemos que 5 · (x - 2) = 2 · (y + 1) . Agora você precisa habilitá-lo completamente, para fazer isso:

5 (x - 2) = 2 (y + 1) ⇔ 5 x - 10 = 2 y + 2 ⇔ 2 y = 5 x - 12 ⇔ y = 5 2 x

Resposta: y = 5 2 x - 6 .

Para resolver tais problemas, as equações paramétricas da reta da forma x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ devem ser reduzidas à equação canônica da reta, somente depois disso pode-se proceder à equação com o coeficiente de inclinação.

Exemplo 12

Encontre a inclinação da reta se ela for dada pelas equações paramétricas x = λ y = - 1 + 2 · λ.

Solução

É necessário fazer a transição da visão paramétrica para a inclinação. Para fazer isso, encontramos a equação canônica da paramétrica dada:

x = λ y = - 1 + 2 · λ ⇔ λ = x λ = y + 1 2 ⇔ x 1 = y + 1 2 .

Agora é necessário resolver esta igualdade em relação a y para obter a equação de uma reta com coeficiente angular. Para fazer isso, vamos escrever desta forma:

x 1 = y + 1 2 ⇔ 2 x = 1 (y + 1) ⇔ y = 2 x - 1

Segue-se que a inclinação da linha é 2. Isso é escrito como k = 2.

Responder: k = 2.

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