De acordo com a pesquisa amostral, os depositantes foram agrupados de acordo com o tamanho do depósito no Sberbank da cidade:
Definir:
1) faixa de variação;
2) valor médio do depósito;
3) desvio linear médio;
4) dispersão;
5) desvio padrão;
6) coeficiente de variação das contribuições.
Solução:
Esta série de distribuição contém intervalos abertos. Nessa série, o valor do intervalo do primeiro grupo é convencionalmente assumido como igual ao valor do intervalo do próximo, e o valor do intervalo do último grupo é igual ao valor do intervalo do anterior. 1.
O valor do intervalo do segundo grupo é 200, portanto, o valor do primeiro grupo também é 200. O valor do intervalo do penúltimo grupo é 200, o que significa que o último intervalo também terá um valor igual a 200.
1) Defina a faixa de variação como a diferença entre o maior e o menor valor do atributo:
A faixa de variação no tamanho da contribuição é de 1000 rublos.
2) O tamanho médio da contribuição é determinado pela fórmula da média aritmética ponderada.
Vamos determinar preliminarmente o valor discreto do atributo em cada intervalo. Para fazer isso, usando a fórmula da média aritmética simples, encontramos os pontos médios dos intervalos.
O valor médio do primeiro intervalo será igual a:
o segundo - 500, etc.
Vamos colocar os resultados dos cálculos na tabela:
| Valor do depósito, esfregue. | Número de colaboradores, f | No meio do intervalo, x | xf |
|---|---|---|---|
| 200-400 | 32 | 300 | 9600 |
| 400-600 | 56 | 500 | 28000 |
| 600-800 | 120 | 700 | 84000 |
| 800-1000 | 104 | 900 | 93600 |
| 1000-1200 | 88 | 1100 | 96800 |
| Total | 400 | - | 312000 |
O depósito médio no Sberbank da cidade será de 780 rublos:
3) O desvio linear médio é a média aritmética dos desvios absolutos dos valores individuais do atributo da média total:
O procedimento para calcular o desvio linear médio na série de distribuição de intervalos é o seguinte:
1. Calcula-se a média aritmética ponderada, conforme indicado no n.º 2).
2. Os desvios absolutos da variante da média são determinados:
3. Os desvios obtidos são multiplicados pelas frequências:
4. A soma dos desvios ponderados é encontrada sem levar em consideração o sinal:
5. A soma dos desvios ponderados é dividida pela soma das frequências:
É conveniente usar a tabela de dados calculados:
| Valor do depósito, esfregue. | Número de colaboradores, f | No meio do intervalo, x | |||
|---|---|---|---|---|---|
| 200-400 | 32 | 300 | -480 | 480 | 15360 |
| 400-600 | 56 | 500 | -280 | 280 | 15680 |
| 600-800 | 120 | 700 | -80 | 80 | 9600 |
| 800-1000 | 104 | 900 | 120 | 120 | 12480 |
| 1000-1200 | 88 | 1100 | 320 | 320 | 28160 |
| Total | 400 | - | - | - | 81280 |
O desvio linear médio do tamanho do depósito dos clientes do Sberbank é de 203,2 rublos.
4) A dispersão é a média aritmética dos desvios quadrados de cada valor de característica da média aritmética.
O cálculo da variância na série de distribuição de intervalos é realizado de acordo com a fórmula:
O procedimento para calcular a variância neste caso é o seguinte:
1. Determinar a média aritmética ponderada, conforme indicado no parágrafo 2).
2. Encontre desvios da média:
3. Quadrando o desvio de cada opção da média:
4. Multiplique os desvios ao quadrado por pesos (frequências):
5. Resuma os trabalhos recebidos:
6. O valor resultante é dividido pela soma dos pesos (frequências):
Vamos colocar os cálculos em uma tabela:
| Valor do depósito, esfregue. | Número de colaboradores, f | No meio do intervalo, x | |||
|---|---|---|---|---|---|
| 200-400 | 32 | 300 | -480 | 230400 | 7372800 |
| 400-600 | 56 | 500 | -280 | 78400 | 4390400 |
| 600-800 | 120 | 700 | -80 | 6400 | 768000 |
| 800-1000 | 104 | 900 | 120 | 14400 | 1497600 |
| 1000-1200 | 88 | 1100 | 320 | 102400 | 9011200 |
| Total | 400 | - | - | - | 23040000 |
Ao processar estatisticamente os resultados de estudos de vários tipos, os valores obtidos geralmente são agrupados em uma sequência de intervalos. Para calcular as características generalizantes de tais sequências, às vezes é necessário calcular meio intervalo- "opção central". Os métodos de seu cálculo são bastante simples, mas possuem algumas particularidades decorrentes tanto da escala utilizada para a medição quanto da natureza do agrupamento (intervalos abertos ou fechados).
Instrução
Se o intervalo for uma seção de uma sequência numérica contínua, para encontrar seu meio, use os métodos matemáticos usuais para calcular a média aritmética. Valor mínimo intervalo(seu início) adicione com o máximo (final) e divida o resultado pela metade - esta é uma maneira de calcular a média aritmética. Por exemplo, esta regra se aplica quando se trata de idade intervalo X. Digamos meia-idade intervalo na faixa de 21 anos a 33 anos haverá uma marca de 27 anos, pois (21 + 33) / 2 = 27.
Às vezes é mais conveniente usar um método diferente para calcular a média aritmética entre os limites superior e inferior. intervalo. Nesta variante, primeiro determine a largura do intervalo - subtraia o valor mínimo do valor máximo. Em seguida, divida o valor resultante pela metade e adicione o resultado ao valor mínimo do intervalo. Por exemplo, se o limite inferior for 47,15 e o limite superior for 79,13, a largura do intervalo será 79,13-47,15=31,98. Então o meio intervalo será 63,14, pois 47,15+(31,98/2) = 47,15+15,99 = 63,14.
Se o intervalo não for uma seção da sequência numérica usual, calcule-o meio de acordo com a ciclicidade e dimensão da escala de medição utilizada. Por exemplo, se estamos falando de um período histórico, então o meio intervalo será uma data específica do calendário. Então para intervalo De 1º de janeiro de 2012 a 31 de janeiro de 2012, o ponto médio será 16 de janeiro de 2012.
Além dos intervalos usuais (fechados), os métodos de pesquisa estatística também podem operar com os “abertos”. Para tais intervalos, um dos limites não é definido. Por exemplo, um intervalo aberto pode ser definido como "50 anos de idade ou mais". O meio neste caso é determinado pelo método de analogia - se todos os outros intervalos da sequência em consideração tiverem a mesma largura, supõe-se que esse intervalo aberto tenha a mesma dimensão. Caso contrário, você precisa determinar a dinâmica da mudança na largura dos intervalos anteriores ao aberto e derivar sua largura condicional com base na tendência de mudança resultante.
Instrução
Se o intervalo for uma seção de uma sequência numérica contínua, para encontrar seu meio, use métodos matemáticos para calcular a média aritmética. Adicione o valor mínimo (seu início) ao máximo () e divida o resultado pela metade - essa é uma maneira de calcular a média aritmética. Por exemplo, isso se aplica quando se trata de idade intervalo X. Digamos meia-idade intervalo na faixa de 21 anos a 33 anos haverá uma marca de 27 anos, pois (21 + 33) / 2 = 27.
Às vezes é mais conveniente usar um método diferente para calcular a média aritmética entre os limites superior e inferior. intervalo. Nesta variante, primeiro determine a largura do intervalo - subtraia o valor mínimo do valor máximo. Em seguida, divida o valor resultante pela metade e adicione o resultado ao valor mínimo do intervalo. Por exemplo, se o valor inferior for 47,15 e o valor superior for 79,13, a largura do intervalo será 79,13-47,15=31,98. Então o meio intervalo será 63,14, pois 47,15+(31,98/2) = 47,15+15,99 = 63,14.
Se o intervalo não for uma seção da sequência numérica usual, calcule-o meio de acordo com a ciclicidade e dimensão da escala de medição utilizada. Por exemplo, se estamos falando de um período histórico, então o meio intervalo será uma data específica do calendário. Então para intervalo De 1º de janeiro de 2012 a 31 de janeiro de 2012, o ponto médio será 16 de janeiro de 2012.
Além dos intervalos usuais (fechados), os métodos de pesquisa estatística também podem operar com os “abertos”. Para tais intervalos, um dos limites não é definido. Por exemplo, um intervalo aberto pode ser definido como "50 anos de idade ou mais". O meio neste caso é determinado pelo método de analogia - se todos os outros intervalos da sequência em consideração tiverem a mesma largura, supõe-se que esse intervalo aberto seja o mesmo. Caso contrário, você precisa determinar a dinâmica da largura dos intervalos anteriores à abertura e sua largura condicional, com base na tendência de mudança resultante.
Fontes:
- o que é intervalo aberto
Ao estudar a variação - diferenças nos valores individuais de uma característica em unidades da população em estudo - são calculados vários indicadores absolutos e relativos. Na prática, o coeficiente de variação encontrou a maior aplicação entre os indicadores relativos.
Instrução
Observe que o coeficiente de variação é usado na prática não apenas para comparar a variação, mas também para caracterizar a homogeneidade da população. Se este indicador não ultrapassar 0,333, ou 33,3%, a variação do traço é considerada fraca, e se for superior a 0,333, é considerada forte. No caso de forte variação, a população estatística em estudo é considerada heterogênea, e o valor médio é considerado atípico, não podendo ser utilizado como indicador generalizante dessa população. O limite inferior do coeficiente de variação é zero; não há limite superior. No entanto, juntamente com um aumento na variação de um recurso, seu valor também aumenta.
Ao calcular o coeficiente de variação, você terá que usar o desvio médio. É definido como a raiz quadrada, que por sua vez você pode encontrar da seguinte forma: D \u003d Σ (X-Xav) ^ 2 / N. Em outras palavras, a variância é o quadrado médio do desvio da média aritmética. determina o quanto os indicadores específicos da série se desviam em média de seu valor médio. É uma medida absoluta da flutuação de uma característica e, portanto, é claramente interpretada.
Muitas vezes em estatística, ao analisar um fenômeno ou processo, é necessário levar em conta não apenas informações sobre os níveis médios dos indicadores estudados, mas também dispersão ou variação nos valores de unidades individuais , que é uma característica importante da população estudada.
Os preços das ações, volumes de oferta e demanda, taxas de juros em diferentes períodos de tempo e em diferentes lugares estão sujeitos à maior variação.
Os principais indicadores que caracterizam a variação , são o intervalo, variância, desvio padrão e coeficiente de variação.
Variação do intervalo é a diferença entre os valores máximo e mínimo do atributo: R = Xmax – Xmin. A desvantagem deste indicador é que ele avalia apenas os limites da variação do traço e não reflete sua flutuação dentro desses limites.
Dispersão desprovido dessa deficiência. É calculado como o quadrado médio dos desvios dos valores dos atributos de seu valor médio:
Maneira simplificada de calcular a variação é realizado usando as seguintes fórmulas (simples e ponderadas):
Exemplos da aplicação dessas fórmulas são apresentados nas tarefas 1 e 2.
Um indicador amplamente utilizado na prática é desvio padrão :
O desvio padrão é definido como a raiz quadrada da variância e tem a mesma dimensão da característica em estudo.
Os indicadores considerados permitem obter o valor absoluto da variação, ou seja, avaliá-lo em unidades de medida da característica em estudo. Ao contrário deles, o coeficiente de variação mede a flutuação em termos relativos - em relação ao nível médio, que em muitos casos é preferível.
Fórmula para cálculo do coeficiente de variação.
Exemplos de resolução de problemas no tópico "Indicadores de variação nas estatísticas"
Tarefa 1 . Ao estudar a influência da publicidade no tamanho do depósito médio mensal nos bancos da região, foram examinados 2 bancos. Os seguintes resultados são obtidos:
Definir:
1) para cada banco: a) depósito médio mensal; b) dispersão da contribuição;
2) o depósito médio mensal para dois bancos juntos;
3) Dispersão do depósito para 2 bancos, consoante publicidade;
4) Dispersão do depósito para 2 bancos, dependendo de todos os fatores exceto publicidade;
5) Variação total usando a regra de adição;
6) Coeficiente de determinação;
7) Relação de correlação.
Solução
1) Vamos fazer uma tabela de cálculo para um banco com publicidade . Para determinar o depósito médio mensal, encontramos os pontos médios dos intervalos. Neste caso, o valor do intervalo aberto (o primeiro) é igualado condicionalmente ao valor do intervalo adjacente a ele (o segundo).
Encontramos o tamanho médio da contribuição usando a fórmula da média aritmética ponderada:
29.000/50 = 580 rublos
A dispersão da contribuição é encontrada pela fórmula:
23 400/50 = 468
Vamos realizar ações semelhantes para um banco sem anúncios :
2) Encontre o depósito médio para dois bancos juntos. Xav \u003d (580 × 50 + 542,8 × 50) / 100 \u003d 561,4 rublos.
3) A variância do depósito, para dois bancos, dependendo da publicidade, encontraremos pela fórmula: σ 2 =pq (fórmula da variância de um atributo alternativo). Aqui p=0,5 é a proporção de fatores que dependem da publicidade; q=1-0,5, então σ2 =0,5*0,5=0,25.
4) Como a participação de outros fatores é de 0,5, a variância do depósito para dois bancos, que depende de todos os fatores, exceto da publicidade, também é de 0,25.
5) Determine a variância total usando a regra de adição.
= (468*50+636,16*50)/100=552,08
= [(580-561,4)250+(542,8-561,4)250] / 100= 34 596/ 100=345,96
σ 2 \u003d σ 2 fato + σ 2 resto \u003d 552,08 + 345,96 \u003d 898,04
6) Coeficiente de determinação η 2 = σ 2 fato / σ 2 = 345,96/898,04 = 0,39 = 39% - o tamanho da contribuição depende da publicidade em 39%.
7) Razão de correlação empírica η = √η 2 = √0,39 = 0,62 - a relação é bastante próxima.
Tarefa 2 . Existe um agrupamento de empresas de acordo com o valor dos produtos comercializáveis:
Determinar: 1) a dispersão do valor dos produtos comercializáveis; 2) desvio padrão; 3) coeficiente de variação.
Solução
1) Por condição, é apresentada uma série de distribuição intervalar. Deve ser expresso discretamente, ou seja, encontrar o meio do intervalo (x "). Nos grupos de intervalos fechados, encontramos o meio por uma média aritmética simples. Nos grupos com limite superior, como a diferença entre esse limite superior e metade do tamanho do intervalo seguinte (200-(400 -200):2=100).
Em grupos com limite inferior - a soma desse limite inferior e metade do tamanho do intervalo anterior (800+(800-600):2=900).
O cálculo do valor médio dos produtos comercializáveis é feito de acordo com a fórmula:
Хср = k×((Σ((x"-a):k)×f):Σf)+a. Aqui a=500 é o tamanho da variante na frequência mais alta, k=600-400=200 é o tamanho do intervalo na maior frequência Vamos colocar o resultado em uma tabela:
Assim, o valor médio da produção comercializável para o período em estudo como um todo é Xav = (-5:37) × 200 + 500 = 472,97 mil rublos.
2) Encontramos a dispersão usando a seguinte fórmula:
σ 2 \u003d (33/37) * 2002-(472,97-500) 2 \u003d 35.675,67-730,62 \u003d 34.945,05
3) desvio padrão: σ = ±√σ 2 = ±√34 945,05 ≈ ±186,94 mil rublos.
4) coeficiente de variação: V \u003d (σ / Xav) * 100 \u003d (186,94 / 472,97) * 100 \u003d 39,52%
Os sinais de unidades de agregados estatísticos são diferentes em seu significado, por exemplo, os salários dos trabalhadores de uma profissão de uma empresa não são os mesmos para o mesmo período de tempo, os preços de mercado para os mesmos produtos são diferentes, os rendimentos das colheitas nas fazendas da região etc Portanto, para determinar o valor de um recurso característico de toda a população de unidades em estudo, são calculados valores médios.
valor médio –
é uma característica generalizante do conjunto de valores individuais de algum traço quantitativo.
A população estudada por um atributo quantitativo consiste em valores individuais; eles são influenciados tanto por causas gerais quanto por condições individuais. No valor médio, os desvios característicos dos valores individuais são cancelados. A média, sendo função de um conjunto de valores individuais, representa todo o conjunto com um valor e reflete o comum inerente a todas as suas unidades.
A média calculada para populações compostas por unidades qualitativamente homogêneas é chamada de média típica. Por exemplo, você pode calcular o salário médio mensal de um funcionário de um ou outro grupo profissional (mineiro, médico, bibliotecário). É claro que os níveis de salários mensais dos mineiros, devido à diferença em suas qualificações, tempo de serviço, horas trabalhadas por mês e muitos outros fatores, diferem entre si e do nível de salários médios. No entanto, o nível médio reflete os principais fatores que afetam o nível de remuneração, e compensam mutuamente as diferenças que surgem devido às características individuais do empregado. O salário médio reflete o nível típico de salários para esse tipo de trabalhador. A obtenção de uma média típica deve ser precedida de uma análise de como essa população é qualitativamente homogênea. Se a população for composta por partes separadas, deve ser dividida em grupos típicos (temperatura média no hospital).
Os valores médios usados como características para populações heterogêneas são chamados médias do sistema. Por exemplo, o valor médio do produto interno bruto (PIB) per capita, o consumo médio de vários grupos de bens por pessoa e outros valores semelhantes que representam as características gerais do estado como um único sistema econômico.
A média deve ser calculada para populações constituídas por um número suficientemente grande de unidades. O cumprimento desta condição é necessário para que a lei dos grandes números entre em vigor, como resultado dos desvios aleatórios de valores individuais da tendência geral se cancelam.
Tipos de médias e métodos para calculá-las
A escolha do tipo de média é determinada pelo conteúdo econômico de um determinado indicador e pelos dados iniciais. No entanto, qualquer valor médio deve ser calculado de modo que, ao substituir cada variante do traço médio, o final, generalizante ou, como é comumente chamado, indicador de definição, que está relacionado com a média. Por exemplo, ao substituir as velocidades reais em trechos separados do caminho, sua velocidade média não deve alterar a distância total percorrida pelo veículo no mesmo tempo; ao substituir os salários reais de funcionários individuais da empresa pelo salário médio, o fundo salarial não deve mudar. Consequentemente, em cada caso específico, dependendo da natureza dos dados disponíveis, existe apenas um valor médio verdadeiro do indicador que seja adequado às propriedades e essência do fenômeno socioeconômico em estudo.
As mais utilizadas são a média aritmética, média harmônica, média geométrica, média quadrada e média cúbica.
As médias listadas pertencem à classe potência média e são combinados pela fórmula geral:
,
onde é o valor médio da característica estudada;
m é o expoente da média;
– valor atual (variante) do recurso de média;
n é o número de recursos.
Dependendo do valor do expoente m, os seguintes tipos de médias de potência são distinguidos:
em m = -1 – média harmônica;
em m = 0 – média geométrica;
em m = 1 – média aritmética;
em m = 2 – raiz quadrada média;
em m = 3 - cúbico médio.
Ao usar os mesmos dados iniciais, quanto maior o expoente m na fórmula acima, maior o valor do valor médio:
.
Esta propriedade da lei de potência significa aumentar com um aumento no expoente da função definidora é chamada a regra da majoração dos meios.
Cada uma das médias marcadas pode assumir duas formas: simples e pesada.
A forma simples do meio aplica-se quando a média é calculada em dados primários (não agrupados). forma ponderada– ao calcular a média para dados secundários (agrupados).
Média aritmética
A média aritmética é usada quando o volume da população é a soma de todos os valores individuais do atributo variável. Deve-se notar que se o tipo de média não for indicado, a média aritmética é assumida. Sua fórmula lógica é: 
média aritmética simples calculado por dados desagrupados
de acordo com a fórmula: 
ou ,
onde estão os valores individuais do atributo;
j é o número de série da unidade de observação, que se caracteriza pelo valor ;
N é o número de unidades de observação (tamanho do conjunto).
Exemplo. Na palestra “Resumo e agrupamento de dados estatísticos”, foram considerados os resultados da observação da experiência de trabalho de uma equipe de 10 pessoas. Calcule a experiência média de trabalho dos trabalhadores da brigada. 5, 3, 5, 4, 3, 4, 5, 4, 2, 4.
De acordo com a fórmula da média aritmética simples, calcula-se também médias cronológicas, se os intervalos de tempo para os quais os valores característicos são apresentados forem iguais.
Exemplo. O volume de produtos vendidos no primeiro trimestre foi de 47 den. unidades, para o segundo 54, para o terceiro 65 e para o quarto 58 den. unidades O faturamento médio trimestral é (47+54+65+58)/4 = 56 den. unidades
Se os indicadores momentâneos forem fornecidos na série cronológica, ao calcular a média, eles serão substituídos por meias somas de valores no início e no final do período.
Se houver mais de dois momentos e os intervalos entre eles forem iguais, a média é calculada usando a fórmula da média cronológica
,
onde n é o número de pontos de tempo
Quando os dados são agrupados por valores de atributo
(ou seja, uma série de distribuição variacional discreta é construída) com média aritmética ponderadaé calculado usando frequências ou frequências de observação de valores específicos do recurso, cujo número (k) é significativamente menor que o número de observações (N).
,
,
onde k é o número de grupos da série de variação,
i é o número do grupo da série de variação.
Como , e , obtemos as fórmulas usadas para cálculos práticos:
e
Exemplo. Vamos calcular o tempo médio de serviço das equipes de trabalho para as séries agrupadas.
a) usando frequências:
b) usando frequências:
Quando os dados são agrupados por intervalos
, ou seja são apresentados na forma de séries de distribuição intervalar; no cálculo da média aritmética, toma-se como valor da característica o meio do intervalo, partindo do pressuposto de uma distribuição uniforme das unidades populacionais neste intervalo. O cálculo é feito de acordo com as fórmulas:
e
onde é o meio do intervalo: ,
onde e são os limites inferior e superior dos intervalos (desde que o limite superior desse intervalo coincida com o limite inferior do próximo intervalo).
Exemplo. Calculemos a média aritmética da série de variação intervalar construída a partir dos resultados de um estudo dos salários anuais de 30 trabalhadores (veja a palestra "Resumo e agrupamento de dados estatísticos").
Tabela 1 - Série de distribuição da variação do intervalo.
Intervalos, UAH |
Frequência, pess. |
frequência, |
O meio do intervalo |
||
600-700 |
3 |
0,10 |
(600+700):2=650 |
1950 |
65 |
UAH ou 
UAH
As médias aritméticas calculadas com base nos dados iniciais e séries de variação de intervalo podem não coincidir devido à distribuição desigual dos valores dos atributos dentro dos intervalos. Nesse caso, para um cálculo mais preciso da média aritmética ponderada, deve-se usar não o meio dos intervalos, mas as médias aritméticas simples calculadas para cada grupo ( médias do grupo). A média calculada a partir das médias do grupo usando uma fórmula de cálculo ponderada é chamada média geral.
A média aritmética tem várias propriedades.
1. A soma dos desvios da variante da média é zero:
.
2. Se todos os valores da opção aumentarem ou diminuirem no valor A, o valor médio aumentará ou diminuirá no mesmo valor A: 
3. Se cada opção for aumentada ou diminuída em B vezes, o valor médio também aumentará ou diminuirá o mesmo número de vezes:
ou 
4. A soma dos produtos da variante pelas frequências é igual ao produto do valor médio pela soma das frequências: 
5. Se todas as frequências forem divididas ou multiplicadas por qualquer número, a média aritmética não mudará: 
6) se em todos os intervalos as frequências são iguais entre si, então a média aritmética ponderada é igual à média aritmética simples: 
,
onde k é o número de grupos na série de variação.
O uso das propriedades da média permite simplificar seu cálculo.
Suponha que todas as opções (x) sejam primeiro reduzidas pelo mesmo número A e depois reduzidas por um fator B. A maior simplificação é alcançada quando o valor do meio do intervalo com a maior frequência é escolhido como A, e o valor do intervalo como B (para linhas com intervalos iguais). A quantidade A é chamada de origem, então esse método de calcular a média é chamado caminho b referência de ohm do zero condicional ou modo de momentos.
Após tal transformação, obtemos uma nova série de distribuição variacional, cujas variantes são iguais a . Sua média aritmética, chamada momento de primeira ordem,é expresso pela fórmula e de acordo com a segunda e terceira propriedades, a média aritmética é igual à média da versão original, reduzida primeiro por A e depois por B vezes, ou seja .
Para obter média real(meio da linha original) você precisa multiplicar o momento da primeira ordem por B e adicionar A: 
O cálculo da média aritmética pelo método dos momentos é ilustrado pelos dados da Tabela. 2.
Tabela 2 - Distribuição dos funcionários da loja da empresa por tempo de serviço
Experiência profissional, anos |
Quantidade de trabalhadores |
Ponto médio do intervalo |
|||
0 – 5 |
12 |
2,5 |
15 |
3 |
36 |
Encontrando o momento da primeira ordem 
. Então, sabendo que A = 17,5 e B = 5, calculamos a experiência média de trabalho dos trabalhadores da loja:
anos
Média harmônica
Como mostrado acima, a média aritmética é usada para calcular o valor médio de uma característica nos casos em que suas variantes x e suas frequências f são conhecidas.
Se a informação estatística não contém frequências f para opções individuais x da população, mas é apresentada como seu produto , a fórmula é aplicada média harmônica ponderada. Para calcular a média, denote , de onde . Substituindo essas expressões na fórmula da média aritmética ponderada, obtemos a fórmula da média harmônica ponderada: 
,
onde é o volume (peso) dos valores dos atributos do indicador no intervalo com o número i (i=1,2, …, k).
Assim, a média harmônica é utilizada nos casos em que não são as próprias opções que estão sujeitas à soma, mas suas recíprocas: 
.
Nos casos em que o peso de cada opção é igual a um, ou seja, valores individuais do recurso inverso ocorrem uma vez, aplique média harmônica simples:
,
onde são variantes individuais do traço inverso que ocorrem uma vez;
N é o número de opções.
Se houver médias harmônicas para duas partes da população com um número de e, a média total para toda a população é calculada pela fórmula: 
e chamou média harmônica ponderada das médias do grupo.
Exemplo. Três negócios foram feitos durante a primeira hora de negociação na casa de câmbio. Os dados sobre a quantidade de vendas de hryvnia e a taxa de câmbio do hryvnia em relação ao dólar americano são fornecidos na Tabela. 3 (colunas 2 e 3). Determine a taxa de câmbio média do hryvnia em relação ao dólar americano na primeira hora de negociação.
Tabela 3 - Dados sobre o andamento das negociações na casa de câmbio
A taxa de câmbio média do dólar é determinada pela relação entre a quantidade de hryvnias vendidas no curso de todas as transações e a quantidade de dólares adquiridos como resultado das mesmas transações. O valor total da venda de hryvnia é conhecido na coluna 2 da tabela, e a quantidade de dólares comprada em cada transação é determinada dividindo-se o valor da venda de hryvnia por sua taxa de câmbio (coluna 4). Um total de US$ 22 milhões foi comprado durante três transações. Isso significa que a taxa de câmbio média do hryvnia para um dólar foi 
.
O valor resultante é real, porque sua substituição das taxas de câmbio reais do hryvnia nas transações não alterará o valor total das vendas do hryvnia, que atua como indicador de definição: milhões UAH
Se a média aritmética foi usada para o cálculo, ou seja, 
hryvnia, então à taxa de câmbio para a compra de 22 milhões de dólares. 110,66 milhões de UAH teriam que ser gastos, o que não é verdade.
Média geométrica
A média geométrica é usada para analisar a dinâmica dos fenômenos e permite determinar a taxa média de crescimento. Ao calcular a média geométrica, os valores individuais do traço são indicadores relativos da dinâmica, construídos na forma de valores em cadeia, como a razão de cada nível para o anterior.
A média geométrica simples é calculada pela fórmula: 
,
onde está o sinal do produto,
N é o número de valores médios.
Exemplo. O número de crimes registrados em 4 anos aumentou 1,57 vezes, incluindo para o 1º - 1,08 vezes, para o 2º - 1,1 vezes, para o 3º - 1,18 e para o 4º - 1,12 vezes. Então a taxa média de crescimento anual do número de crimes é: , ou seja, O número de crimes registrados tem crescido em média 12% ao ano.
1,8
-0,8
0,2
1,0
1,4
1
3
4
1
1
3,24
0,64
0,04
1
1,96
3,24
1,92
0,16
1
1,96
Para calcular o quadrado médio ponderado, determinamos e entramos na tabela e. Então o valor médio dos desvios do comprimento dos produtos de uma dada norma é igual a: 
A média aritmética neste caso seria inadequada, porque como resultado, obteríamos desvio zero.
O uso da raiz quadrada média será discutido mais adiante nos expoentes de variação.
