Para resolver a maioria dos problemas de matemática do ensino médio, é necessário o conhecimento de proporção. Essa habilidade simples o ajudará não apenas a realizar exercícios complexos do livro didático, mas também a mergulhar na própria essência da ciência matemática. Como fazer uma proporção? Agora vamos descobrir.

O exemplo mais simples é um problema onde três parâmetros são conhecidos e o quarto deve ser encontrado. As proporções são, claro, diferentes, mas muitas vezes você precisa encontrar algum número por porcentagem. Por exemplo, o menino tinha dez maçãs no total. Ele deu a quarta parte para sua mãe. Quantas maçãs restaram ao menino? Este é o exemplo mais simples que lhe permitirá fazer uma proporção. O principal é fazê-lo. Havia originalmente dez maçãs. Que seja 100%. Isso marcamos todas as suas maçãs. Ele deu um quarto. 1/4=25/100. Então, ele saiu: 100% (foi originalmente) - 25% (ele deu) = 75%. Esta figura mostra a porcentagem da quantidade de frutas que sobrou sobre a quantidade de frutas que estava disponível primeiro. Agora temos três números pelos quais já podemos resolver a proporção. 10 maçãs - 100%, X maçãs - 75%, onde x é a quantidade desejada de frutas. Como fazer uma proporção? É preciso entender o que é. Matematicamente é assim. O sinal de igual é para sua compreensão.

10 maçãs = 100%;

x maçãs = 75%.

Acontece que 10/x = 100%/75. Esta é a principal propriedade das proporções. Afinal, quanto mais x, mais percentual é esse número do original. Resolvemos essa proporção e obtemos x = 7,5 maçãs. Por que o menino decidiu dar um valor não inteiro, não sabemos. Agora você sabe como fazer uma proporção. O principal é encontrar duas razões, uma das quais contém a incógnita desejada.

Resolver uma proporção geralmente se resume a uma simples multiplicação e depois à divisão. As crianças não são ensinadas nas escolas por que isso é assim. Embora seja importante entender que as relações proporcionais são clássicos matemáticos, a própria essência da ciência. Para resolver proporções, você precisa saber lidar com frações. Por exemplo, muitas vezes é necessário converter porcentagens em frações comuns. Ou seja, um registro de 95% não funcionará. E se você escrever imediatamente 95/100, poderá fazer reduções sólidas sem iniciar a contagem principal. Vale a pena dizer imediatamente que, se sua proporção ficou com duas incógnitas, ela não pode ser resolvida. Nenhum professor pode ajudá-lo aqui. E sua tarefa, provavelmente, possui um algoritmo mais complexo para ações corretas.

Considere outro exemplo em que não há porcentagens. O motorista comprou 5 litros de gasolina por 150 rublos. Pensou em quanto pagaria por 30 litros de combustível. Para resolver este problema, denotamos por x a quantidade necessária de dinheiro. Você pode resolver esse problema sozinho e depois verificar a resposta. Se você ainda não descobriu como fazer uma proporção, então olhe. 5 litros de gasolina são 150 rublos. Como no primeiro exemplo, vamos escrever 5l - 150r. Agora vamos encontrar o terceiro número. Claro, são 30 litros. Concorde que um par de 30 l - x rublos é apropriado nesta situação. Passemos à linguagem matemática.

5 litros - 150 rublos;

30 litros - x rublos;

Resolvemos esta proporção:

x = 900 rublos.

Foi o que decidimos. Em sua tarefa, não se esqueça de verificar a adequação da resposta. Acontece que, com a decisão errada, os carros atingem velocidades irreais de 5.000 quilômetros por hora e assim por diante. Agora você sabe como fazer uma proporção. Também você pode resolvê-lo. Como você pode ver, não há nada complicado nisso.

Tarefa 1. A espessura de 300 folhas de papel para impressora é de 3,3 cm. Qual seria a espessura de uma pilha de 500 folhas do mesmo papel?

Solução. Seja x cm a espessura de uma resma de papel de 500 folhas. De duas maneiras encontramos a espessura de uma folha de papel:

3,3: 300 ou x : 500.

Como as folhas de papel são iguais, essas duas proporções são iguais entre si. Obtemos a proporção lembrete: proporção é a igualdade de duas razões):

x=(3,3 · 500): 300;

x=5,5. Responda: pacote 500 folhas de papel tem uma espessura 5,5 centímetros.

Este é um raciocínio clássico e formulação de uma solução para um problema. Tais problemas são frequentemente incluídos em testes de pós-graduação, que geralmente escrevem a solução desta forma:

ou decidem oralmente, argumentando da seguinte forma: se 300 folhas têm uma espessura de 3,3 cm, então 100 folhas têm uma espessura 3 vezes menor. Dividindo 3,3 por 3, obtemos 1,1 cm. Esta é a espessura de uma folha de papel de 100. Portanto, 500 folhas terão uma espessura 5 vezes maior, portanto, multiplicamos 1,1 cm por 5 e obtemos a resposta: 5,5 cm.

Obviamente, isso se justifica, pois o tempo para testar graduados e candidatos é limitado. No entanto, nesta lição vamos raciocinar e escrever a solução como deve ser feito em 6 classe.

Tarefa 2. Quanta água está contida em 5 kg de melancia se se sabe que a melancia consiste em 98% de água?

Solução.

Toda a massa de melancia (5 kg) é 100%. A água será x kg ou 98%. De duas maneiras, você pode descobrir quantos kg caem em 1% da massa.

5: 100 ou x : 98. Obtemos a proporção:

5: 100 = x : 98.

x=(5 · 98): 100;

x=4,9 Resposta: em 5kg melancia contém 4,9kg de água.

A massa de 21 litros de óleo é 16,8 kg. Qual é a massa de 35 litros de óleo?

Solução.

Seja a massa de 35 litros de óleo x kg. Então, de duas maneiras, você pode encontrar a massa de 1 litro de óleo:

16,8: 21 ou x : 35. Obtemos a proporção:

16,8: 21=x : 35.

Encontre o termo médio da proporção. Para fazer isso, multiplicamos os termos extremos da proporção ( 16,8 e 35 ) e dividir pelo termo médio conhecido ( 21 ). Reduza a fração por 7 .

Multiplique o numerador e o denominador da fração por 10 de modo que o numerador e o denominador contenham apenas números naturais. Reduzimos a fração por 5 (5 e 10) e em 3 (168 e 3).

Responda: 35 litros de óleo têm uma massa 28kg.

Após 82% de todo o campo arado, restavam 9 hectares a serem arados. Qual é a área de todo o campo?

Solução.

Deixe a área de todo o campo ser x ha, que é 100%. Resta arar 9 hectares, que é 100% - 82% = 18% de todo o campo. Vamos expressar 1% da área do campo de duas maneiras. Isto:

X : 100 ou 9 : 18. Fazemos uma proporção:

X : 100 = 9: 18.

Encontramos o termo extremo desconhecido da proporção. Para fazer isso, multiplicamos os termos médios da proporção ( 100 e 9 ) e dividir pelo termo extremo conhecido ( 18 ). Reduzimos a fração.

Responda: área de todo o campo 50ha.

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Na seção sobre a pergunta Lembre-me de como calcular porcentagens usando proporções? dado pelo autor ensilagem a melhor resposta é Em um pedaço de papel, multiplicando os dados conhecidos com uma cruz e dividindo pelo 3º número. Mais ou menos assim:
500=100%
200=??? %
Total 200*100/500= 40%
Algo parecido...))

Resposta de Yergey Orlov[mestre]
É melhor que alunos fracos encontrem tarefas difíceis em matemática com a ajuda de proporções.
Eles podem encontrar porcentagens de um número sem proporções.
Multiplique o próprio número na calculadora pelo número de% dividido por 100.
Para encontrar 13% de 70, você precisa de 70 * 0,13
Existem mais 2 tipos de tarefas para %.
Encontrar a taxa de % faz parte do todo. Embora aqui você possa facilmente fazer sem proporções.
Mas quando % do número é conhecido. Já existem muitas dificuldades.
Se você se deparar com uma tarefa para %, você considera "x" o que precisa encontrar.
Coloque um traço e escreva a que corresponde.
Abaixo você escreve os seguintes dados.
Por exemplo, para o último tipo de tarefa.
É difícil para muitos jogadores de 4 resolvê-lo.
5% de algum número é igual a, digamos, 12.
Encontre o próprio número. Vamos aplicar isso à química. Dada uma solução ácida a 5%. A massa do to-you (in-va puro, concentrado) na solução é 12 g. Encontre a massa de toda a solução.
Escrevemos proporção.
x ------100%
12g ------- 5%
Multiplique transversalmente.
x*5 = 12*100
Resolvemos a equação resultante
x \u003d (12 * 100) 5 \u003d 240 (g.)

Resposta de Agatakristi[guru]
De fato, as porcentagens na quinta série são estudadas e ensinadas a calcular sem a ajuda de proporções. Leciono na universidade, na Faculdade de Economia, e mais de metade dos meus alunos têm dificuldades nas operações com juros, o que sinceramente me surpreende. Afinal, são coisas simples! Que tipo de alunos foram! Se na universidade eles têm que explicar o programa da 5ª série!

Resposta de bengala[guru]
5% de desconto 68
68 - 100%
X - 5%
X \u003d (5 * 68) / 100 \u003d 3,4
ou
68 * 0,05 \u003d 3,4 porque a porcentagem é 1/100 do número

Equação quadrática na Wikipedia
Equação quadrática

Proporção Matemática na Wikipedia
Confira o artigo da Wikipédia sobre Proporção Matemática

No último tutorial em vídeo, consideramos resolver problemas de porcentagem usando proporções. Então, de acordo com a condição do problema, precisávamos encontrar o valor de uma ou outra quantidade.

Desta vez, os valores iniciais e finais já nos são dados. Portanto, nas tarefas, será necessário encontrar porcentagens. Mais precisamente, em que porcentagem este ou aquele valor mudou. Vamos tentar.

Uma tarefa. Os tênis custam 3200 rublos. Após o aumento de preço, eles começaram a custar 4.000 rublos. Em que porcentagem o preço dos tênis aumentou?

Então, resolvemos por proporção. O primeiro passo - o preço original era igual a 3200 rublos. Portanto, 3200 rublos é 100%.

Além disso, recebemos o preço final - 4.000 rublos. Esta é uma porcentagem desconhecida, então vamos denotar como x . Obtemos a seguinte construção:

3200 — 100%
4000 - x%

Bem, a condição do problema está escrita. Fazemos uma proporção:

A fração da esquerda é perfeitamente reduzida em 100: 3200: 100 = 32; 4000: 100 = 40. Além disso, você pode reduzir em 4: 32: 4 = 8; 40: 4 = 10. Obtemos a seguinte proporção:

Vamos usar a propriedade básica da proporção: o produto dos termos extremos é igual ao produto dos médios. Nós temos:

8 x = 100 10;
8x = 1000.

Esta é a equação linear usual. A partir daqui encontramos x:

x=1000:8=125

Então, temos a porcentagem final x = 125. Mas o número 125 é a solução para o problema? De jeito nenhum! Porque a tarefa exige que você descubra em qual porcentagem o preço dos tênis aumentou.

Por quantos por cento - isso significa que precisamos encontrar uma mudança:

∆ = 125 − 100 = 25

Conseguimos 25% - esse foi o aumento do preço original. Esta é a resposta: 25.

Problema B2 para juros nº 2

Vamos para a segunda tarefa.

Uma tarefa. A camisa custou 1800 rublos. Após a redução de preço, começou a custar 1530 rublos. Em que porcentagem o preço da camisa foi reduzido?

Traduzimos a condição em linguagem matemática. O preço inicial de 1800 rublos é de 100%. E o preço final é de 1530 rublos - sabemos disso, mas não se sabe quantos por cento é do valor original. Portanto, denotamos por x. Obtemos a seguinte construção:

1800 — 100%
1530 - x%

Com base no registro resultante, fazemos a proporção:

Para simplificar mais cálculos, vamos dividir ambas as partes desta equação por 100. Em outras palavras, vamos riscar dois zeros no numerador das frações da esquerda e da direita. Nós temos:

Agora vamos usar a propriedade básica da proporção novamente: o produto dos termos extremos é igual ao produto dos termos médios.

18x = 15301;
18x = 1530.

Resta encontrar x:

x = 1530: 18 = (765 2): (9 2) = 765: 9 = (720 + 45): 9 = 720: 9 + 45: 9 = 80 + 5 = 85

Obtemos que x = 85. Mas, como no problema anterior, esse número em si não é a resposta. Voltemos à nossa condição. Agora sabemos que o novo preço após o corte é 85% do preço antigo. E para encontrar as alterações, você precisa do preço antigo, ou seja, 100%, subtraia o novo preço, ou seja, 85%. Nós temos:

∆ = 100 − 85 = 15

Este número será a resposta: Por favor, note: exatamente 15, e em nenhum caso 85. Isso é tudo! Problema resolvido.

Os alunos atentos certamente perguntarão: por que na primeira tarefa, ao encontrar a diferença, subtraímos o número inicial do número final, e na segunda tarefa fizemos exatamente o contrário: dos 100% iniciais subtraímos os 85% finais?

Vamos esclarecer isso. Formalmente, em matemática, a mudança de valor é sempre a diferença entre o valor final e o inicial. Em outras palavras, no segundo problema, deveríamos ter obtido não 15, mas -15.

No entanto, em nenhum caso esse menos deve ser incluído na resposta, porque já foi levado em consideração na condição do problema original. Diz ali mesmo sobre a redução de preço. Uma redução de preço de 15% é o mesmo que um aumento de preço de -15%. É por isso que na solução e resposta do problema basta escrever apenas 15 - sem desvantagens.

Tudo, eu espero, com este momento nós entendemos. Isso conclui nossa lição de hoje. Vejo você em breve!

Do ponto de vista da matemática, uma proporção é a igualdade de duas razões. A interdependência é característica de todas as partes da proporção, assim como seu resultado imutável. Você pode entender como fazer uma proporção familiarizando-se com as propriedades e a fórmula da proporção. Para entender o princípio da resolução de proporções, será suficiente considerar um exemplo. Apenas resolvendo diretamente as proporções, você pode aprender essas habilidades com facilidade e rapidez. E este artigo ajudará o leitor nisso.

Propriedades e fórmula da proporção

1. Inversão de proporção. No caso em que a igualdade dada se parece com 1a: 2b = 3c: 4d, escreva 2b: 1a = 4d: 3c. (Além disso, 1a, 2b, 3c e 4d são números primos diferentes de 0).
2. Multiplicando os membros dados da proporção transversalmente. Em termos literais, isso se parece com isso: 1a: 2b \u003d 3c: 4d, e escrever 1a4d \u003d 2b3c será equivalente a isso. Assim, o produto das partes extremas de qualquer proporção (os números nas bordas da igualdade) é sempre igual ao produto das partes do meio (os números localizados no meio da igualdade).
3. Ao compilar uma proporção, uma propriedade dela como uma permutação dos termos extremos e médios também pode ser útil. A fórmula de igualdade 1a: 2b = 3c: 4d pode ser exibida das seguintes maneiras:
   • 1a: 3c = 2b: 4d (quando os membros do meio da proporção são rearranjados).
   • 4d: 2b = 3c: 1a (quando os membros extremos da proporção são rearranjados).
4. Perfeitamente ajuda a resolver a proporção de sua propriedade de aumento e diminuição. Com 1a: 2b = 3c: 4d, escreva:
   • (1a + 2b): 2b = (3c + 4d): 4d (igualdade por proporção crescente).
   • (1a - 2b): 2b = (3c - 4d): 4d (igualdade por proporção decrescente).
5. Você pode criar proporções adicionando e subtraindo. Quando a proporção é escrita como 1a:2b = 3c:4d então:
   • (1a + 3c): (2b + 4d) = 1a: 2b = 3c: 4d (a proporção é adicionada).
   • (1a - 3c): (2b - 4d) = 1a: 2b = 3c: 4d (a proporção é subtraída).
6. Além disso, ao resolver uma proporção contendo números fracionários ou grandes, você pode dividir ou multiplicar ambos os membros pelo mesmo número. Por exemplo, os componentes da proporção 70:40=320:60 podem ser escritos assim: 10*(7:4=32:6).
7. A variante de resolver a proporção com porcentagens se parece com isso. Por exemplo, anote, 30=100%, 12=x. Agora você deve multiplicar os termos do meio (12 * 100) e dividir pelo extremo conhecido (30). Assim, a resposta é: x=40%. De forma semelhante, se necessário, você pode multiplicar os termos extremos conhecidos e dividi-los por um determinado número médio, obtendo o resultado desejado.

Se você estiver interessado em uma fórmula de proporção específica, na versão mais simples e comum, a proporção é uma igualdade (fórmula): a / b \u003d c / d, em que a, b, c e d são quatro não -zero números.