Exemplo 1

Referência: As seguintes formas de notação de uma função são equivalentes: Em algumas tarefas, pode ser conveniente designar a função como “jogador” e em outras como “ef de x”.

Primeiro encontramos a derivada:

Exemplo 2

Calcular a derivada de uma função em um ponto

, , estudo de função completa e etc

Exemplo 3

Calcule a derivada da função no ponto . Vamos encontrar a derivada primeiro:

Bem, isso é uma questão completamente diferente. Calcule o valor da derivada no ponto:

Caso você não entenda como a derivada foi encontrada, retorne às duas primeiras lições do tópico. Se houver dificuldades (mal-entendidos) com o arco tangente e seus significados, necessariamente estudar material metodológico Gráficos e propriedades de funções elementares- o último parágrafo. Porque ainda há arco-tangentes suficientes para a idade do aluno.

Exemplo 4

Calcule a derivada da função no ponto .

A equação da tangente ao gráfico da função

Para consolidar o parágrafo anterior, considere o problema de encontrar a tangente a gráficos de função neste ponto. Cumprimos essa tarefa na escola, e ela também é encontrada no curso de matemática superior.

Considere um exemplo elementar de "demonstração".

Escreva uma equação para a tangente ao gráfico da função no ponto com a abcissa. Darei imediatamente uma solução gráfica pronta para o problema (na prática, isso não é necessário na maioria dos casos):

Uma definição rigorosa de tangente é dada por definições da derivada de uma função, mas por enquanto vamos dominar a parte técnica da questão. Certamente quase todo mundo entende intuitivamente o que é uma tangente. Se você explicar "nos dedos", então a tangente ao gráfico da função é direto, que diz respeito ao gráfico da função em o único ponto. Nesse caso, todos os pontos próximos da linha reta estão localizados o mais próximo possível do gráfico da função.

Como aplicado ao nosso caso: em , a tangente (notação padrão) toca o gráfico da função em um único ponto.

E nossa tarefa é encontrar a equação de uma linha reta.

Derivada de uma função em um ponto

Como encontrar a derivada de uma função em um ponto? Dois pontos óbvios desta tarefa decorrem da redação:

1) É necessário encontrar a derivada.

2) É necessário calcular o valor da derivada em um determinado ponto.

Exemplo 1

Calcular a derivada de uma função em um ponto

Ajuda: As seguintes formas de notação de uma função são equivalentes:


Em algumas tarefas, pode ser conveniente designar a função como “jogador” e em outras como “ef de x”.

Primeiro encontramos a derivada:

Espero que muitos já tenham se adaptado para encontrar tais derivados oralmente.

Na segunda etapa, calculamos o valor da derivada no ponto:

Um pequeno exemplo de aquecimento para uma solução independente:

Exemplo 2

Calcular a derivada de uma função em um ponto

Solução completa e resposta no final da lição.

A necessidade de encontrar a derivada em um ponto surge nas seguintes tarefas: construir uma tangente ao gráfico de uma função (próximo parágrafo), estudo de uma função para um extremo , estudo da função para a inflexão do gráfico , estudo de função completa e etc

Mas a tarefa em consideração é encontrada em documentos de controle e por si só. E, como regra, nesses casos, a função é bastante complexa. A esse respeito, considere mais dois exemplos.

Exemplo 3

Calcular a derivada de uma função no ponto .
Vamos encontrar a derivada primeiro:

A derivada, em princípio, é encontrada, e o valor requerido pode ser substituído. Mas eu realmente não quero fazer nada. A expressão é muito longa e o valor de "x" é fracionário. Portanto, tentamos simplificar nossa derivada o máximo possível. Neste caso, vamos tentar reduzir os três últimos termos a um denominador comum: no ponto .

Este é um exemplo de faça você mesmo.

Como encontrar o valor da derivada da função F(x) no ponto Ho? Como resolvê-lo em geral?

Se a fórmula for dada, encontre a derivada e substitua X-zero em vez de X. contar
Se estamos falando de b-8 USE, gráfico, você precisa encontrar a tangente do ângulo (agudo ou obtuso), que forma uma tangente ao eixo X (usando a construção mental de um triângulo retângulo e determinando a tangente de o ângulo)

Timur adilkhodzhaev

Primeiro, você precisa decidir sobre o sinal. Se o ponto x0 estiver na parte inferior do plano de coordenadas, o sinal na resposta será menos e, se for mais alto, +.
Em segundo lugar, você precisa saber o que é tangente em um retângulo retangular. E esta é a proporção do lado oposto (perna) para o lado adjacente (também perna). Geralmente há algumas manchas pretas na pintura. A partir dessas marcas, você faz um triângulo retângulo e encontra a tangente.

Como encontrar o valor da derivada da função f x no ponto x0?

não há pergunta específica - 3 anos atrás

No caso geral, para encontrar o valor da derivada de uma função em relação a alguma variável em qualquer ponto, é necessário diferenciar a função dada em relação a essa variável. No seu caso, pela variável X. Na expressão resultante, em vez de X, coloque o valor de x no ponto para o qual você precisa encontrar o valor da derivada, ou seja, no seu caso, substitua zero X e calcule a expressão resultante.

Bem, seu desejo de entender esta questão, na minha opinião, sem dúvida merece +, que coloco com a consciência tranquila.

Tal formulação do problema de encontrar a derivada é frequentemente colocada para fixar o material no significado geométrico da derivada. Um gráfico de uma determinada função é proposto, completamente arbitrário e não dado por uma equação, e é necessário encontrar o valor da derivada (não a própria derivada!) no ponto X0 especificado. Para fazer isso, uma tangente à função dada é construída e os pontos de sua interseção com os eixos coordenados são encontrados. Então a equação desta tangente é elaborada na forma y=kx+b.

Nesta equação, o coeficiente ke será o valor da derivada. resta apenas encontrar o valor do coeficiente b. Para fazer isso, encontramos o valor de y em x \u003d o, seja igual a 3 - este é o valor do coeficiente b. Substituímos os valores de X0 e Y0 na equação original e encontramos k - nosso valor da derivada neste ponto.

No problema B9, é fornecido um gráfico de uma função ou derivada, a partir do qual é necessário determinar uma das seguintes quantidades:

1. O valor da derivada em algum ponto x 0,
2. Pontos altos ou baixos (pontos extremos),
3. Intervalos de funções crescentes e decrescentes (intervalos de monotonicidade).

As funções e derivadas apresentadas neste problema são sempre contínuas, o que simplifica muito a solução. Apesar do fato de que a tarefa pertence à seção de análise matemática, está ao alcance mesmo dos alunos mais fracos, já que nenhum conhecimento teórico profundo é necessário aqui.

Para encontrar o valor da derivada, pontos extremos e intervalos de monotonicidade, existem algoritmos simples e universais - todos eles serão discutidos abaixo.

Leia atentamente a condição do problema B9 para não cometer erros estúpidos: às vezes, textos bastante volumosos aparecem, mas existem poucas condições importantes que afetam o curso da solução.

Cálculo do valor da derivada. Método de dois pontos

Se o problema recebe um gráfico da função f(x), tangente a este gráfico em algum ponto x 0 , e é necessário encontrar o valor da derivada neste ponto, o seguinte algoritmo é aplicado:

1. Encontre dois pontos "adequados" no gráfico tangente: suas coordenadas devem ser inteiras. Vamos denotar esses pontos como A (x 1 ; y 1) e B (x 2 ; y 2). Anote as coordenadas corretamente - este é o ponto-chave da solução, e qualquer erro aqui leva à resposta errada.
2. Conhecendo as coordenadas, é fácil calcular o incremento do argumento Δx = x 2 − x 1 e o incremento da função Δy = y 2 − y 1 .
3. Finalmente, encontramos o valor da derivada D = Δy/Δx. Em outras palavras, você precisa dividir o incremento da função pelo incremento do argumento - e esta será a resposta.

Mais uma vez, notamos: os pontos A e B devem ser procurados precisamente na tangente, e não no gráfico da função f(x), como é frequentemente o caso. A tangente necessariamente conterá pelo menos dois desses pontos, caso contrário o problema é formulado incorretamente.

Considere os pontos A (−3; 2) e B (−1; 6) e encontre os incrementos:
Δx \u003d x 2 - x 1 \u003d -1 - (-3) \u003d 2; Δy \u003d y 2 - y 1 \u003d 6 - 2 \u003d 4.

Vamos encontrar o valor da derivada: D = Δy/Δx = 4/2 = 2.

Uma tarefa. A figura mostra o gráfico da função y \u003d f (x) e a tangente a ela no ponto com a abcissa x 0. Encontre o valor da derivada da função f(x) no ponto x 0 .

Considere os pontos A (0; 3) e B (3; 0), encontre incrementos:
Δx \u003d x 2 - x 1 \u003d 3 - 0 \u003d 3; Δy \u003d y 2 - y 1 \u003d 0 - 3 \u003d -3.

Agora encontramos o valor da derivada: D = Δy/Δx = −3/3 = −1.

Uma tarefa. A figura mostra o gráfico da função y \u003d f (x) e a tangente a ela no ponto com a abcissa x 0. Encontre o valor da derivada da função f(x) no ponto x 0 .

Considere os pontos A (0; 2) e B (5; 2) e encontre incrementos:
Δx \u003d x 2 - x 1 \u003d 5 - 0 \u003d 5; Δy = y 2 - y 1 = 2 - 2 = 0.

Resta encontrar o valor da derivada: D = Δy/Δx = 0/5 = 0.

A partir do último exemplo, podemos formular a regra: se a tangente é paralela ao eixo OX, a derivada da função no ponto de tangência é igual a zero. Nesse caso, você nem precisa calcular nada - basta olhar para o gráfico.

Cálculo de pontos altos e baixos

Às vezes, em vez de um gráfico de uma função no problema B9, um gráfico de derivada é fornecido e é necessário encontrar o ponto máximo ou mínimo da função. Nesse cenário, o método de dois pontos é inútil, mas existe outro algoritmo ainda mais simples. Primeiro, vamos definir a terminologia:

1. O ponto x 0 é chamado de ponto máximo da função f(x) se a seguinte desigualdade vale em alguma vizinhança deste ponto: f(x 0) ≥ f(x).
2. O ponto x 0 é chamado de ponto mínimo da função f(x) se a seguinte desigualdade vale em alguma vizinhança deste ponto: f(x 0) ≤ f(x).

Para encontrar os pontos de máximo e mínimo no gráfico da derivada, basta realizar os seguintes passos:

1. Redesenhe o gráfico da derivada, removendo todas as informações desnecessárias. Como mostra a prática, dados extras apenas interferem na decisão. Portanto, marcamos os zeros da derivada no eixo de coordenadas - e é isso.
2. Descubra os sinais da derivada nos intervalos entre zeros. Se para algum ponto x 0 se sabe que f'(x 0) ≠ 0, então apenas duas opções são possíveis: f'(x 0) ≥ 0 ou f'(x 0) ≤ 0. O sinal da derivada é fácil de determinar a partir do desenho original: se o gráfico da derivada estiver acima do eixo OX, então f'(x) ≥ 0. Por outro lado, se o gráfico da derivada estiver abaixo do eixo OX, então f'(x) ≤ 0.
3. Verificamos novamente os zeros e sinais da derivada. Onde o sinal muda de menos para mais, há um ponto mínimo. Por outro lado, se o sinal da derivada mudar de mais para menos, este é o ponto máximo. A contagem é sempre feita da esquerda para a direita.

Este esquema funciona apenas para funções contínuas - não há outros no problema B9.

Uma tarefa. A figura mostra um gráfico da derivada da função f(x) definida no segmento [−5; 5]. Encontre o ponto mínimo da função f(x) nesse segmento.

Vamos nos livrar de informações desnecessárias - vamos deixar apenas as bordas [−5; 5] e os zeros da derivada x = −3 ex = 2,5. Observe também os sinais:

Obviamente, no ponto x = −3, o sinal da derivada muda de menos para mais. Este é o ponto mínimo.

Uma tarefa. A figura mostra um gráfico da derivada da função f(x) definida no segmento [−3; 7]. Encontre o ponto de máximo da função f(x) neste segmento.

Vamos redesenhar o gráfico, deixando apenas os limites [−3; 7] e os zeros da derivada x = −1,7 ex = 5. Observe os sinais da derivada no gráfico resultante. Nós temos:

Obviamente, no ponto x = 5, o sinal da derivada muda de mais para menos - este é o ponto máximo.

Uma tarefa. A figura mostra um gráfico da derivada da função f(x) definida no intervalo [−6; quatro]. Encontre o número de pontos máximos da função f(x) que pertencem ao intervalo [−4; 3].

Segue das condições do problema que é suficiente considerar apenas a parte do grafo limitada pelo segmento [−4; 3]. Portanto, construímos um novo grafo, no qual marcamos apenas os limites [−4; 3] e os zeros da derivada dentro dela. Ou seja, os pontos x = −3,5 e x = 2. Obtemos:

Nesse gráfico, há apenas um ponto de máximo x = 2. É nele que o sinal da derivada muda de mais para menos.

Uma pequena nota sobre pontos com coordenadas não inteiras. Por exemplo, no último problema, o ponto x = −3,5 foi considerado, mas com o mesmo sucesso podemos tomar x = −3,4. Se o problema for formulado corretamente, tais mudanças não devem afetar a resposta, pois os pontos "sem residência fixa" não estão diretamente envolvidos na solução do problema. É claro que, com pontos inteiros, esse truque não funcionará.

Encontrar intervalos de aumento e diminuição de uma função

Em tal problema, como os pontos de máximo e mínimo, propõe-se encontrar áreas nas quais a própria função aumenta ou diminui a partir do gráfico da derivada. Primeiro, vamos definir o que são ascendentes e descendentes:

1. Uma função f(x) é chamada crescente em um segmento se para quaisquer dois pontos x 1 e x 2 deste segmento a afirmação for verdadeira: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≤ f(x 2). Em outras palavras, quanto maior o valor do argumento, maior o valor da função.
2. Uma função f(x) é chamada decrescente em um segmento se para quaisquer dois pontos x 1 e x 2 deste segmento a afirmação for verdadeira: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≥ f(x 2). Aqueles. um valor maior do argumento corresponde a um valor menor da função.

Formulamos condições suficientes para aumentar e diminuir:

1. Para que uma função contínua f(x) cresça no segmento , é suficiente que sua derivada dentro do segmento seja positiva, ou seja. f'(x) ≥ 0.
2. Para uma função contínua f(x) diminuir no segmento , é suficiente que sua derivada dentro do segmento seja negativa, ou seja. f'(x) ≤ 0.

Aceitamos essas afirmações sem provas. Assim, obtemos um esquema para encontrar intervalos de aumento e diminuição, que é em muitos aspectos semelhante ao algoritmo para calcular pontos extremos:

1. Remova todas as informações redundantes. No gráfico original da derivada, estamos principalmente interessados ​​nos zeros da função, então deixamos apenas eles.
2. Marque os sinais da derivada nos intervalos entre zeros. Onde f'(x) ≥ 0, a função aumenta, e onde f'(x) ≤ 0, ela diminui. Se o problema tiver restrições na variável x, também as marcamos no novo gráfico.
3. Agora que conhecemos o comportamento da função e a restrição, resta calcular o valor requerido no problema.

Uma tarefa. A figura mostra um gráfico da derivada da função f(x) definida no segmento [−3; 7.5]. Encontre os intervalos da função decrescente f(x). Em sua resposta, escreva a soma dos inteiros incluídos nesses intervalos.

Como de costume, redesenhamos o gráfico e marcamos os limites [−3; 7.5], bem como os zeros da derivada x = −1,5 ex = 5,3. Em seguida, marcamos os sinais da derivada. Nós temos:

Como a derivada é negativa no intervalo (− 1,5), este é o intervalo da função decrescente. Resta somar todos os inteiros que estão dentro desse intervalo:
−1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 14.

Uma tarefa. A figura mostra um gráfico da derivada da função f(x) definida no segmento [−10; quatro]. Encontre os intervalos da função crescente f(x). Em sua resposta, escreva o comprimento do maior deles.

Vamos nos livrar de informações redundantes. Deixamos apenas os limites [−10; 4] e zeros da derivada, que desta vez resultou em quatro: x = −8, x = −6, x = −3 e x = 2. Observe os sinais da derivada e obtenha a seguinte figura:

Estamos interessados ​​nos intervalos de função crescente, ou seja, onde f'(x) ≥ 0. Existem dois desses intervalos no gráfico: (−8; −6) e (−3; 2). Vamos calcular seus comprimentos:
l 1 = − 6 − (−8) = 2;
l 2 = 2 − (−3) = 5.

Como é necessário encontrar o comprimento do maior dos intervalos, escrevemos o valor l 2 = 5 em resposta.