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ângulo de corte negativo- - Tópicos indústria de petróleo e gás PT ângulo de corte negativo ângulo de corte negativo ângulo de corte negativo ... Guia do Tradutor Técnico

ângulo de chanfro negativo da superfície superior da escova- [GOST 21888 82 (IEC 276 68, IEC 560 77)] Tópicos de máquinas rotativas elétricas em geral... Guia do Tradutor Técnico

ângulo da asa Enciclopédia "Aviação"

ângulo da asa- Ângulo de instalação da asa. ângulo de instalação da asa ângulo φ0 entre a corda central da asa e o eixo base da aeronave (ver figura). Dependendo da configuração aerodinâmica da aeronave, este ângulo pode ser positivo ou negativo. Geralmente … Enciclopédia "Aviação"

Ângulo da asa- ângulo (φ)0 entre a corda central da asa e o eixo base da aeronave. Dependendo da configuração aerodinâmica da aeronave, este ângulo pode ser positivo ou negativo. Geralmente está na faixa de -2(°) a +3(°). Ângulo (φ)0… … Enciclopédia de tecnologia

ÂNGULO DE ENGANO- (Ângulo deprimido) o ângulo formado pela linha de elevação (cm) com o horizonte quando a primeira passa abaixo do horizonte, ou seja, um ângulo de elevação negativo. Dicionário marinho de Samoilov K.I. M.L.: Editora Naval Estadual da União NKVMF... ... Dicionário Marinho

ÂNGULO DOS EIXOS ÓPTICOS- ângulo agudo entre opt. eixos em eixos biaxiais. U. o. Ó. chamado de positivo quando a bissetriz aguda é Ng e negativo quando a bissetriz aguda é Np (ver Cristal opticamente biaxial). Verdadeiro U. o. Ó. é designado... ... Enciclopédia geológica

Rodízio (ângulo)- Este termo possui outros significados, veja Castor. θ rodízio, a linha vermelha é o eixo de direção da roda. Na figura, o rodízio é positivo (o ângulo é medido no sentido horário, a frente do carro fica à esquerda) ... Wikipedia

Rodízio (ângulo de rotação)- θ rodízio, a linha vermelha é o eixo de direção da roda. Na figura, o rodízio é positivo (o ângulo é medido no sentido horário, a frente do carro fica à esquerda) Castor (rodízio inglês) é o ângulo de inclinação longitudinal do eixo de giro da roda do carro. Castor... ...Wikipédia

ângulo de inclinação- 3.2.9 ângulo de inclinação: O ângulo entre a superfície de inclinação e o plano base (ver Figura 5). 1 ângulo de inclinação negativo; 2 ângulo de inclinação positivo Figura 5 Ângulos de inclinação

Alpha significa número real. O sinal de igual nas expressões acima indica que se você adicionar um número ou infinito ao infinito, nada mudará, o resultado será o mesmo infinito. Se tomarmos como exemplo o conjunto infinito de números naturais, então os exemplos considerados podem ser representados desta forma:

Para provar claramente que estavam certos, os matemáticos criaram muitos métodos diferentes. Pessoalmente, considero todos esses métodos como xamãs dançando com pandeiros. Essencialmente, todos se resumem ao facto de alguns dos quartos estarem desocupados e novos hóspedes estarem a entrar, ou de alguns dos visitantes serem atirados para o corredor para dar lugar aos hóspedes (muito humanamente). Apresentei minha opinião sobre tais decisões na forma de uma história de fantasia sobre a Loira. Em que se baseia o meu raciocínio? A realocação de um número infinito de visitantes leva um tempo infinito. Depois de desocuparmos o primeiro quarto de um hóspede, um dos visitantes percorrerá sempre o corredor do seu quarto para o seguinte até ao fim dos tempos. É claro que o factor tempo pode ser estupidamente ignorado, mas isto estará na categoria de “nenhuma lei foi escrita para tolos”. Tudo depende do que estamos fazendo: ajustando a realidade às teorias matemáticas ou vice-versa.

O que é um “hotel sem fim”? Um hotel infinito é um hotel que tem sempre qualquer número de camas vazias, independentemente de quantos quartos estejam ocupados. Se todos os quartos do interminável corredor de “visitantes” estiverem ocupados, surge outro corredor interminável com quartos de “convidados”. Haverá um número infinito de tais corredores. Além disso, o “hotel infinito” tem um número infinito de andares num número infinito de edifícios num número infinito de planetas num número infinito de universos criados por um número infinito de Deuses. Os matemáticos não conseguem se distanciar dos problemas banais do cotidiano: sempre existe um só Deus-Alá-Buda, só existe um hotel, só existe um corredor. Assim, os matemáticos estão a tentar fazer malabarismos com os números de série dos quartos de hotel, convencendo-nos de que é possível “empurrar o impossível”.

Vou demonstrar a lógica do meu raciocínio usando o exemplo de um conjunto infinito de números naturais. Primeiro você precisa responder a uma pergunta muito simples: quantos conjuntos de números naturais existem - um ou muitos? Não há uma resposta correta para esta pergunta, uma vez que nós mesmos inventamos os números; os números não existem na Natureza. Sim, a Natureza é ótima em contar, mas para isso utiliza outras ferramentas matemáticas que não nos são familiares. Direi o que a Natureza pensa em outra ocasião. Como inventamos os números, nós mesmos decidiremos quantos conjuntos de números naturais existem. Vamos considerar ambas as opções, como convém aos verdadeiros cientistas.

Opção um. “Deixe-nos receber” um único conjunto de números naturais, que fica serenamente na prateleira. Tiramos este conjunto da prateleira. É isso, não há outros números naturais na prateleira e nenhum lugar para levá-los. Não podemos adicionar um a este conjunto, pois já o temos. E se você realmente quiser? Sem problemas. Podemos pegar um do conjunto que já pegamos e devolvê-lo à prateleira. Depois disso, podemos tirar um da prateleira e adicionar ao que sobrou. Como resultado, obteremos novamente um conjunto infinito de números naturais. Você pode anotar todas as nossas manipulações assim:

Anotei as ações em notação algébrica e em notação de teoria dos conjuntos, com uma listagem detalhada dos elementos do conjunto. O subscrito indica que temos um único conjunto de números naturais. Acontece que o conjunto dos números naturais permanecerá inalterado somente se um for subtraído dele e a mesma unidade for adicionada.

Opção dois. Temos muitos conjuntos infinitos diferentes de números naturais em nossa estante. Enfatizo - DIFERENTES, apesar de serem praticamente indistinguíveis. Vamos pegar um desses conjuntos. Depois pegamos um de outro conjunto de números naturais e adicionamos ao conjunto que já pegamos. Podemos até adicionar dois conjuntos de números naturais. Isto é o que obtemos:

Os subscritos “um” e “dois” indicam que esses elementos pertenciam a conjuntos diferentes. Sim, se você adicionar um a um conjunto infinito, o resultado também será um conjunto infinito, mas não será igual ao conjunto original. Se você adicionar outro conjunto infinito a um conjunto infinito, o resultado será um novo conjunto infinito composto pelos elementos dos dois primeiros conjuntos.

O conjunto dos números naturais é usado para contar da mesma forma que uma régua é para medir. Agora imagine que você adicionou um centímetro à régua. Esta será uma linha diferente, não igual à original.

Você pode aceitar ou não meu raciocínio - é problema seu. Mas se você alguma vez encontrar problemas matemáticos, pense se você está seguindo o caminho do falso raciocínio trilhado por gerações de matemáticos. Afinal, estudar matemática, antes de tudo, forma em nós um estereótipo estável de pensamento, e só então aumenta nossas habilidades mentais (ou, inversamente, nos priva do pensamento livre).

Domingo, 4 de agosto de 2019

Eu estava terminando um pós-escrito para um artigo sobre e vi este texto maravilhoso na Wikipedia:

Lemos: “... a rica base teórica da matemática da Babilônia não tinha um caráter holístico e foi reduzida a um conjunto de técnicas díspares, desprovidas de um sistema comum e de uma base de evidências”.

Uau! Quão inteligentes somos e quão bem podemos ver as deficiências dos outros. É difícil para nós olharmos para a matemática moderna no mesmo contexto? Parafraseando ligeiramente o texto acima, pessoalmente obtive o seguinte:

A rica base teórica da matemática moderna não é holística e é reduzida a um conjunto de seções díspares, desprovidas de um sistema comum e de uma base de evidências.

Não irei muito longe para confirmar as minhas palavras - tem uma linguagem e convenções que são diferentes da linguagem e das convenções de muitos outros ramos da matemática. Os mesmos nomes em diferentes ramos da matemática podem ter significados diferentes. Quero dedicar toda uma série de publicações aos erros mais óbvios da matemática moderna. Vejo você em breve.

Sábado, 3 de agosto de 2019

Como dividir um conjunto em subconjuntos? Para isso, é necessário inserir uma nova unidade de medida que esteja presente em alguns dos elementos do conjunto selecionado. Vejamos um exemplo.

Que tenhamos bastante A composto por quatro pessoas. Este conjunto é formado com base em “pessoas”. Vamos denotar os elementos deste conjunto pela letra. A, o subscrito com um número indicará o número de série de cada pessoa deste conjunto. Vamos apresentar uma nova unidade de medida "gênero" e denotá-la pela letra b. Como as características sexuais são inerentes a todas as pessoas, multiplicamos cada elemento do conjunto A com base no gênero b. Observe que o nosso conjunto de “pessoas” tornou-se agora um conjunto de “pessoas com características de género”. Depois disso podemos dividir as características sexuais em masculinas bm e mulheres cara características sexuais. Agora podemos aplicar um filtro matemático: selecionamos uma dessas características sexuais, não importa qual seja - masculina ou feminina. Se uma pessoa tem, então multiplicamos por um, se não houver tal sinal, multiplicamos por zero. E então usamos a matemática escolar regular. Veja o que aconteceu.

Após multiplicação, redução e rearranjo, ficamos com dois subconjuntos: o subconjunto dos homens Bm e um subconjunto de mulheres Bw. Os matemáticos raciocinam aproximadamente da mesma maneira quando aplicam a teoria dos conjuntos na prática. Mas eles não nos contam os detalhes, mas nos dão o resultado final - “muitas pessoas consistem em um subconjunto de homens e um subconjunto de mulheres”. Naturalmente, você pode ter uma pergunta: até que ponto a matemática foi aplicada corretamente nas transformações descritas acima? Atrevo-me a garantir que essencialmente tudo foi feito corretamente, basta conhecer as bases matemáticas da aritmética, da álgebra booleana e de outros ramos da matemática. O que é isso? Em outra ocasião contarei a você sobre isso.

Quanto aos superconjuntos, você pode combinar dois conjuntos em um superconjunto selecionando a unidade de medida presente nos elementos desses dois conjuntos.

Como você pode ver, as unidades de medida e a matemática comum fazem da teoria dos conjuntos uma relíquia do passado. Um sinal de que nem tudo está bem com a teoria dos conjuntos é que os matemáticos criaram sua própria linguagem e notação para a teoria dos conjuntos. Os matemáticos agiram como antes os xamãs. Somente os xamãs sabem como aplicar “corretamente” seu “conhecimento”. Eles nos ensinam esse “conhecimento”.

Concluindo, quero mostrar como os matemáticos manipulam.

Segunda-feira, 7 de janeiro de 2019

No século V a.C., o antigo filósofo grego Zenão de Eleia formulou as suas famosas aporias, a mais famosa das quais é a aporia “Aquiles e a Tartaruga”. Aqui está o que parece:

Digamos que Aquiles corra dez vezes mais rápido que a tartaruga e esteja mil passos atrás dela. Durante o tempo que Aquiles leva para percorrer essa distância, a tartaruga rastejará cem passos na mesma direção. Quando Aquiles dá cem passos, a tartaruga rasteja mais dez passos e assim por diante. O processo continuará ad infinitum, Aquiles nunca alcançará a tartaruga.

Esse raciocínio tornou-se um choque lógico para todas as gerações subsequentes. Aristóteles, Diógenes, Kant, Hegel, Hilbert... Todos consideraram a aporia de Zenão de uma forma ou de outra. O choque foi tão forte que " ... as discussões continuam até hoje; a comunidade científica ainda não conseguiu chegar a uma opinião comum sobre a essência dos paradoxos ... análise matemática, teoria dos conjuntos, novas abordagens físicas e filosóficas estiveram envolvidas no estudo da questão; ; nenhum deles se tornou uma solução geralmente aceita para o problema..."[Wikipedia, "Aporia de Zenão". Todos entendem que estão sendo enganados, mas ninguém entende em que consiste o engano.

Do ponto de vista matemático, Zenão, em sua aporia, demonstrou claramente a transição da quantidade para. Esta transição implica aplicação em vez de permanente. Pelo que entendi, o aparato matemático para usar unidades de medida variáveis ​​ou ainda não foi desenvolvido ou não foi aplicado à aporia de Zenão. Aplicar nossa lógica usual nos leva a uma armadilha. Nós, devido à inércia do pensamento, aplicamos unidades constantes de tempo ao valor recíproco. Do ponto de vista físico, parece que o tempo está desacelerando até parar completamente no momento em que Aquiles alcança a tartaruga. Se o tempo parar, Aquiles não poderá mais fugir da tartaruga.

Se invertermos a nossa lógica habitual, tudo se encaixará. Aquiles corre com velocidade constante. Cada segmento subsequente de seu caminho é dez vezes mais curto que o anterior. Assim, o tempo gasto para superá-lo é dez vezes menor que o anterior. Se aplicarmos o conceito de “infinito” nesta situação, então seria correto dizer “Aquiles alcançará a tartaruga infinitamente rápido”.

Como evitar esta armadilha lógica? Permaneça em unidades de tempo constantes e não mude para unidades recíprocas. Na linguagem de Zenão é assim:

No tempo que Aquiles leva para correr mil passos, a tartaruga rastejará cem passos na mesma direção. Durante o próximo intervalo de tempo igual ao primeiro, Aquiles dará mais mil passos e a tartaruga rastejará cem passos. Agora Aquiles está oitocentos passos à frente da tartaruga.

Esta abordagem descreve adequadamente a realidade sem quaisquer paradoxos lógicos. Mas esta não é uma solução completa para o problema. A afirmação de Einstein sobre a irresistibilidade da velocidade da luz é muito semelhante à aporia de Zenão “Aquiles e a Tartaruga”. Ainda temos que estudar, repensar e resolver esse problema. E a solução não deve ser procurada em números infinitamente grandes, mas em unidades de medida.

Outra aporia interessante de Zenão fala de uma flecha voadora:

Uma flecha voadora está imóvel, pois em cada momento está em repouso, e como está em repouso em todos os momentos, está sempre em repouso.

Nesta aporia, o paradoxo lógico é superado de forma muito simples - basta esclarecer que a cada momento uma flecha voadora está em repouso em diferentes pontos do espaço, o que, na verdade, é movimento. Outro ponto precisa ser observado aqui. A partir de uma fotografia de um carro na estrada, é impossível determinar o fato de seu movimento ou a distância até ele. Para determinar se um carro está se movendo, você precisa de duas fotografias tiradas do mesmo ponto em momentos diferentes, mas não pode determinar a distância delas. Para determinar a distância até um carro, você precisa de duas fotografias tiradas de diferentes pontos do espaço em um momento, mas a partir delas você não pode determinar o fato do movimento (é claro, você ainda precisa de dados adicionais para cálculos, a trigonometria irá ajudá-lo ). O que quero chamar especial atenção é que dois pontos no tempo e dois pontos no espaço são coisas diferentes que não devem ser confundidas, porque proporcionam oportunidades diferentes de investigação.

Quarta-feira, 4 de julho de 2018

Já lhe disse isso com a ajuda do qual os xamãs tentam ordenar a ““realidade”. Como eles fazem isso? Como realmente ocorre a formação de um conjunto?

Vejamos mais de perto a definição de conjunto: “uma coleção de diferentes elementos, concebidos como um todo único”. Agora sinta a diferença entre duas frases: “concebível como um todo” e “concebível como um todo”. A primeira frase é o resultado final, o conjunto. A segunda frase é uma preparação preliminar para a formação de uma multidão. Nesta fase, a realidade é dividida em elementos individuais (o “todo”), a partir dos quais se formará uma multidão (o “todo único”). Ao mesmo tempo, o fator que permite combinar o “todo” em um “todo único” é monitorado cuidadosamente, caso contrário os xamãs não terão sucesso. Afinal, os xamãs sabem de antemão que tipo de conjunto querem nos demonstrar.

Vou mostrar o processo com um exemplo. Selecionamos o “sólido vermelho em uma espinha” - este é o nosso “todo”. Ao mesmo tempo, vemos que essas coisas estão com arco e outras sem arco. Depois disso, selecionamos parte do “todo” e formamos um conjunto “com laço”. É assim que os xamãs obtêm seu alimento, vinculando sua teoria dos conjuntos à realidade.

Agora vamos fazer um pequeno truque. Vamos pegar “sólido com espinha e laço” e combinar esses “todos” de acordo com a cor, selecionando os elementos vermelhos. Temos muito "vermelho". Agora a questão final: os conjuntos resultantes “com laço” e “vermelho” são o mesmo conjunto ou dois conjuntos diferentes? Somente os xamãs sabem a resposta. Mais precisamente, eles próprios não sabem de nada, mas como dizem, assim será.

Este exemplo simples mostra que a teoria dos conjuntos é completamente inútil quando se trata da realidade. Qual é o segredo? Formamos um conjunto de “sólido vermelho com uma espinha e um laço”. A formação ocorreu em quatro unidades de medida diferentes: cor (vermelho), resistência (sólida), rugosidade (espinhosa), decoração (com laço). Somente um conjunto de unidades de medida nos permite descrever adequadamente objetos reais na linguagem da matemática. Isto é o que parece.

A letra "a" com índices diferentes denota diferentes unidades de medida. As unidades de medida pelas quais o “todo” é distinguido na fase preliminar são destacadas entre parênteses. A unidade de medida pela qual o conjunto é formado é retirada dos colchetes. A última linha mostra o resultado final - um elemento do conjunto. Como você pode ver, se usarmos unidades de medida para formar um conjunto, o resultado não dependerá da ordem de nossas ações. E isso é matemática, e não a dança dos xamãs com pandeiros. Os xamãs podem “intuitivamente” chegar ao mesmo resultado, argumentando que é “óbvio”, porque as unidades de medida não fazem parte do seu arsenal “científico”.

Usando unidades de medida, é muito fácil dividir um conjunto ou combinar vários conjuntos em um superconjunto. Vamos dar uma olhada mais de perto na álgebra desse processo.

Sábado, 30 de junho de 2018

Se os matemáticos não conseguem reduzir um conceito a outros conceitos, então não entendem nada de matemática. Eu respondo: como os elementos de um conjunto diferem dos elementos de outro conjunto? A resposta é muito simples: números e unidades de medida.

Hoje, tudo o que não pegamos pertence a algum conjunto (como nos asseguram os matemáticos). Aliás, você viu no espelho da sua testa uma lista dos conjuntos aos quais você pertence? E eu não vi essa lista. Direi mais - na realidade, nem uma única coisa tem uma etiqueta com uma lista dos conjuntos aos quais essa coisa pertence. Conjuntos são todos invenções de xamãs. Como eles fazem isso? Vamos nos aprofundar um pouco mais na história e ver como eram os elementos do conjunto antes de os xamãs matemáticos os incluírem em seus conjuntos.

Há muito tempo atrás, quando ninguém nunca tinha ouvido falar de matemática, e apenas as árvores e Saturno tinham anéis, enormes rebanhos de elementos selvagens de conjuntos vagavam pelos campos físicos (afinal, os xamãs ainda não haviam inventado os campos matemáticos). Eles pareciam algo assim.

Sim, não se surpreenda, do ponto de vista da matemática, todos os elementos dos conjuntos são mais semelhantes aos ouriços-do-mar - unidades de medida se projetam de um ponto, como agulhas, em todas as direções. Para quem, lembro que qualquer unidade de medida pode ser representada geometricamente como um segmento de comprimento arbitrário, e um número como um ponto. Geometricamente, qualquer quantidade pode ser representada como um monte de segmentos saindo de um ponto em diferentes direções. Este ponto é o ponto zero. Não vou desenhar esta obra de arte geométrica (sem inspiração), mas você pode facilmente imaginar.

Quais unidades de medida formam um elemento de um conjunto? Todos os tipos de coisas que descrevem um determinado elemento de diferentes pontos de vista. Estas são unidades de medida antigas que nossos ancestrais usaram e das quais todos há muito se esqueceram. Estas são as unidades de medida modernas que usamos agora. Estas são também unidades de medida desconhecidas para nós, que os nossos descendentes inventarão e que usarão para descrever a realidade.

Resolvemos a geometria - o modelo proposto dos elementos do conjunto tem uma representação geométrica clara. E a física? Unidades de medida são a conexão direta entre matemática e física. Se os xamãs não reconhecem as unidades de medida como um elemento completo das teorias matemáticas, o problema é deles. Pessoalmente, não consigo imaginar a verdadeira ciência da matemática sem unidades de medida. É por isso que, logo no início da história sobre a teoria dos conjuntos, falei dela como estando na Idade da Pedra.

Mas vamos ao que há de mais interessante - a álgebra dos elementos dos conjuntos. Algebricamente, qualquer elemento de um conjunto é um produto (resultado da multiplicação) de diferentes quantidades.

Não utilizei deliberadamente as convenções da teoria dos conjuntos, uma vez que estamos a considerar um elemento de um conjunto no seu habitat natural antes do advento da teoria dos conjuntos. Cada par de letras entre colchetes denota uma quantidade separada, consistindo em um número indicado pela letra " n" e a unidade de medida indicada pela letra " a". Os índices próximos às letras indicam que os números e unidades de medida são diferentes. Um elemento do conjunto pode consistir em um número infinito de quantidades (quanto nós e nossos descendentes tivermos imaginação suficiente). Cada colchete é representado geometricamente como um segmento separado No exemplo do ouriço-do-mar, um colchete é uma agulha.

Como os xamãs formam conjuntos de diferentes elementos? Na verdade, por unidades de medida ou por números. Não entendendo nada de matemática, eles pegam diferentes ouriços-do-mar e os examinam cuidadosamente em busca daquela única agulha, ao longo da qual formam um conjunto. Se tal agulha existir, então este elemento pertence ao conjunto; se não existir tal agulha, então este elemento não pertence a este conjunto; Os xamãs nos contam fábulas sobre os processos de pensamento e o todo.

Como você deve ter adivinhado, o mesmo elemento pode pertencer a conjuntos muito diferentes. A seguir mostrarei como são formados conjuntos, subconjuntos e outras bobagens xamânicas. Como você pode ver, “não pode haver dois elementos idênticos em um conjunto”, mas se houver elementos idênticos em um conjunto, tal conjunto é chamado de “multiconjunto”. Seres razoáveis ​​nunca compreenderão uma lógica tão absurda. Este é o nível dos papagaios falantes e dos macacos treinados, que não têm inteligência para a palavra “completamente”. Os matemáticos agem como treinadores comuns, pregando-nos as suas ideias absurdas.

Era uma vez, os engenheiros que construíram a ponte estavam em um barco debaixo da ponte enquanto testavam a ponte. Se a ponte desabasse, o engenheiro medíocre morreria sob os escombros de sua criação. Se a ponte pudesse suportar a carga, o talentoso engenheiro construiu outras pontes.

Não importa o quanto os matemáticos se escondam atrás da frase “lembre-se, estou em casa”, ou melhor, “a matemática estuda conceitos abstratos”, existe um cordão umbilical que os conecta inextricavelmente à realidade. Este cordão umbilical é dinheiro. Apliquemos a teoria matemática dos conjuntos aos próprios matemáticos.

Estudamos muito bem matemática e agora estamos sentados na caixa registradora distribuindo salários. Então, um matemático vem até nós em busca de dinheiro. Contamos para ele o valor total e o colocamos em nossa mesa em pilhas diferentes, nas quais colocamos notas do mesmo valor. Depois pegamos uma nota de cada pilha e damos ao matemático seu “conjunto matemático de salário”. Expliquemos ao matemático que ele só receberá as notas restantes quando provar que um conjunto sem elementos idênticos não é igual a um conjunto com elementos idênticos. Isto é onde a diversão começa.

Em primeiro lugar, funcionará a lógica dos deputados: “Isso pode ser aplicado aos outros, mas não a mim!” Então começarão a nos garantir que notas do mesmo valor têm números de notas diferentes, o que significa que não podem ser consideradas os mesmos elementos. Ok, vamos contar os salários em moedas - não há números nas moedas. Aqui o matemático começará a lembrar-se freneticamente da física: diferentes moedas têm diferentes quantidades de sujeira, a estrutura cristalina e o arranjo dos átomos são únicos para cada moeda...

E agora tenho a pergunta mais interessante: onde está a linha além da qual os elementos de um multiconjunto se transformam em elementos de um conjunto e vice-versa? Essa linha não existe - tudo é decidido pelos xamãs, a ciência não está nem perto de mentir aqui.

Olhe aqui. Selecionamos estádios de futebol com a mesma área de campo. As áreas dos campos são iguais - o que significa que temos um multiset. Mas se olharmos os nomes desses mesmos estádios, temos muitos, porque os nomes são diferentes. Como você pode ver, o mesmo conjunto de elementos é um conjunto e um multiconjunto. Qual é correto? E aqui o matemático-xamã-aficionado tira um ás de trunfo da manga e começa a nos contar sobre um conjunto ou um multiconjunto. De qualquer forma, ele nos convencerá de que tem razão.

Para entender como os xamãs modernos operam com a teoria dos conjuntos, vinculando-a à realidade, basta responder a uma pergunta: como os elementos de um conjunto diferem dos elementos de outro conjunto? Vou mostrar a você sem qualquer "concebível como não um todo" ou "não concebível como um todo".

Vamos chamar a rotação do vetor raio em movimento no sentido anti-horário de positiva e na direção oposta (sentido horário) de negativa. O ângulo descrito pela rotação negativa do vetor raio em movimento será chamado de ângulo negativo.

Regra. O ângulo é medido com um número positivo se for positivo e um número negativo se for negativo.

Exemplo 1. Na Fig. 80 mostra dois ângulos com um lado inicial comum OA e um lado final comum OD: um é igual a +270°, o outro -90°.

A soma de dois ângulos. No plano coordenado Oxy, considere um círculo de raio unitário com centro na origem (Fig. 81).

Seja obtido um ângulo arbitrário a (positivo no desenho) como resultado da rotação de um determinado vetor de raio móvel desde sua posição inicial OA, coincidindo com a direção positiva do eixo do Boi, até sua posição final.

Vamos agora tomar a posição do vetor raio OE como a inicial e separar dele um ângulo arbitrário (positivo no desenho), que obtemos como resultado da rotação de um determinado vetor raio móvel de sua posição inicial OE para sua posição final do sistema operacional. Como resultado dessas ações, obteremos um ângulo, que chamaremos de soma dos ângulos uma e . (Posição inicial do vetor de raio móvel OA, posição final do vetor de raio OS.)

Diferença entre dois ângulos.

Pela diferença de dois ângulos a e , que denotamos entenderemos o terceiro ângulo y, que em soma com o ângulo dá o ângulo a, ou seja, se a diferença de dois ângulos puder ser interpretada como a soma dos ângulos a e . Na verdade, em geral, para quaisquer ângulos a sua soma é medida pela soma algébrica dos números reais que medem esses ângulos.

Exemplo 2. então .

Exemplo 3. Ângulo e ângulo. A soma deles.

Na fórmula (95.1) foi assumido que - qualquer número inteiro não negativo. Se assumirmos que é qualquer número inteiro (positivo, negativo ou zero), então usando a fórmula

onde você pode escrever qualquer ângulo, tanto positivo quanto negativo.

Exemplo 4. Um ângulo igual a -1370° pode ser escrito da seguinte forma:

Observe que todos os ângulos escritos pela fórmula (96.1), com valores diferentes de , mas iguais a, têm lados iniciais (OA) e finais (OE) comuns (Fig. 79). Portanto, a construção de qualquer ângulo é reduzida à construção do ângulo não negativo correspondente menor que 360°. Na Fig. 79 ângulos não diferem entre si; diferem apenas no processo de rotação do vetor raio, que levou à sua formação.

Na última lição, dominamos com sucesso (ou repetimos, dependendo de quem) os conceitos-chave de toda trigonometria. Esse círculo trigonométrico , ângulo em um círculo , seno e cosseno deste ângulo , e também dominou sinais de funções trigonométricas por trimestres . Nós dominamos isso em detalhes. Nos dedos, pode-se dizer.

Mas isso ainda não é suficiente. Para aplicar com sucesso todos esses conceitos simples na prática, precisamos de mais uma habilidade útil. Ou seja, o correto trabalhando com cantos em trigonometria. Sem essa habilidade em trigonometria, não tem como. Mesmo nos exemplos mais primitivos. Por que? Sim, porque o ângulo é a figura operacional chave em toda trigonometria! Não, não são funções trigonométricas, nem seno e cosseno, nem tangente e cotangente, ou seja, o canto em si. Nenhum ângulo significa que não há funções trigonométricas, sim...

Como trabalhar com ângulos de um círculo? Para fazer isso, precisamos compreender firmemente dois pontos.

1) Como Os ângulos são medidos em um círculo?

2) O que eles são contados (medidos)?

A resposta à primeira pergunta é o tema da lição de hoje. Lidaremos com a primeira questão em detalhes aqui e agora. Não darei aqui a resposta à segunda pergunta. Porque é bastante desenvolvido. Assim como a segunda pergunta em si é muito escorregadia, sim.) Não entrarei em detalhes ainda. Este é o tópico da próxima lição separada.

Vamos começar?

Como os ângulos são medidos em um círculo? Ângulos positivos e negativos.

Quem lê o título do parágrafo já pode estar com os cabelos em pé. Como assim?! Ângulos negativos? Isso é possível?

Para negativo números Já nos acostumamos. Podemos representá-los no eixo dos números: à direita de zero estão positivos, à esquerda de zero estão negativos. Sim, e periodicamente olhamos o termômetro pela janela. Principalmente no inverno, no frio.) E o dinheiro do telefone está no valor negativo (ou seja, obrigação) às vezes eles vão embora. Tudo isso é familiar.

E os cantos? Acontece que ângulos negativos em matemática há também! Tudo depende de como medir esse mesmo ângulo... não, não na reta numérica, mas no círculo numérico! Isto é, em um círculo. O círculo - aqui está, um análogo da reta numérica em trigonometria!

Então, Como os ângulos são medidos em um círculo? Não há nada que possamos fazer, teremos que desenhar este mesmo círculo primeiro.

Vou desenhar esta linda imagem:

É muito parecido com as fotos da última lição. Existem eixos, existe um círculo, existe um ângulo. Mas também há novas informações.

Também adicionei números 0°, 90°, 180°, 270° e 360° nos eixos. Agora isso é mais interessante.) Que tipo de números são esses? Certo! Estes são os valores dos ângulos medidos do nosso lado fixo que caem aos eixos coordenados. Lembramos que o lado fixo do ângulo está sempre firmemente ligado ao semieixo positivo OX. E qualquer ângulo em trigonometria é medido precisamente a partir deste semieixo. Este ponto de partida básico para ângulos deve ser mantido firmemente em mente. E os eixos – eles se cruzam em ângulos retos, certo? Então adicionamos 90° em cada quarto.

E mais adicionado flecha Vermelha. Com uma vantagem. O vermelho é proposital para chamar a atenção. E está bem gravado na minha memória. Porque isso deve ser lembrado com segurança.) O que esta seta significa?

Acontece que se virarmos a nossa esquina ao longo da seta com um sinal de mais(sentido anti-horário, de acordo com a numeração dos quartos), depois o ângulo será considerado positivo! A figura mostra um ângulo de +45° como exemplo. A propósito, observe que os ângulos axiais 0°, 90°, 180°, 270° e 360° também são rebobinados para o lado positivo! Siga a seta vermelha.

Agora vamos ver outra foto:

Quase tudo é igual aqui. Apenas os ângulos nos eixos são numerados invertido. Sentido horário. E eles têm um sinal de menos.) Ainda desenhado seta azul. Também com um sinal de menos. Esta seta é a direção dos ângulos negativos no círculo. Ela nos mostra que se adiarmos nosso canto sentido horário, Que o ângulo será considerado negativo. Por exemplo, mostrei um ângulo de -45°.

A propósito, observe que a numeração dos trimestres nunca muda! Não importa se movemos os ângulos para mais ou para menos. Sempre estritamente no sentido anti-horário.)

Lembrar:

1. O ponto de partida para os ângulos é o semieixo positivo OX. Pelo relógio – “menos”, contra o relógio – “mais”.

2. A numeração dos quartos é sempre no sentido anti-horário, independente da direção em que os ângulos são calculados.

A propósito, rotular ângulos nos eixos 0°, 90°, 180°, 270°, 360°, cada vez desenhando um círculo, não é de todo obrigatório. Isso é feito apenas para entender o ponto. Mas esses números devem estar presentes na sua cabeça ao resolver qualquer problema de trigonometria. Por que? Sim, porque esse conhecimento básico fornece respostas para tantas outras questões em toda a trigonometria! A questão mais importante é Em que quadrante se enquadra o ângulo em que estamos interessados? Acredite ou não, responder corretamente a esta pergunta resolve a maior parte de todos os outros problemas de trigonometria. Trataremos desta importante lição (distribuição de ângulos em quartos) na mesma lição, mas um pouco mais tarde.

Os valores dos ângulos situados nos eixos coordenados (0°, 90°, 180°, 270° e 360°) devem ser lembrados! Lembre-se disso com firmeza, até que se torne automático. E um sinal de mais e de menos.

Mas a partir deste momento começam as primeiras surpresas. E junto com elas, perguntas complicadas dirigidas a mim, sim...) O que acontece se houver um ângulo negativo em um círculo coincide com o positivo? Acontece que o mesmo ponto em um círculo pode ser denotado por um ângulo positivo e negativo???

Absolutamente certo! Isso é verdade.) Por exemplo, um ângulo positivo de +270° ocupa um círculo mesma situação , o mesmo que um ângulo negativo de -90°. Ou, por exemplo, um ângulo positivo de +45° num círculo terá mesma situação , o mesmo que o ângulo negativo -315°.

Olhamos o próximo desenho e vemos tudo:

Da mesma forma, um ângulo positivo de +150° cairá no mesmo lugar que um ângulo negativo de -210°, um ângulo positivo de +230° cairá no mesmo lugar que um ângulo negativo de -130°. E assim por diante…

E agora o que posso fazer? Como exatamente contar ângulos, se você pode fazer isso de um jeito ou de outro? Qual é correto?

Responder: em todos os sentidos correto! A matemática não proíbe nenhuma das duas direções para contar ângulos. E a escolha de uma direção específica depende unicamente da tarefa. Se a tarefa não disser nada em texto simples sobre o sinal do ângulo (como "definir o maior negativo canto" etc.), então trabalhamos com os ângulos que nos são mais convenientes.

É claro que, por exemplo, em tópicos interessantes como equações trigonométricas e desigualdades, a direção do cálculo do ângulo pode ter um enorme impacto na resposta. E nos tópicos relevantes consideraremos essas armadilhas.

Lembrar:

Qualquer ponto em um círculo pode ser designado por um ângulo positivo ou negativo. Qualquer um! O que quisermos.

Agora vamos pensar sobre isso. Descobrimos que um ângulo de 45° é exatamente igual a um ângulo de -315°? Como descobri esses mesmos 315° ? Você não consegue adivinhar? Sim! Através de uma rotação completa.) Em 360°. Temos um ângulo de 45°. Quanto tempo leva para completar uma revolução completa? Subtraia 45° de 360° - então obtemos 315° . Mova-se na direção negativa e obteremos um ângulo de -315°. Ainda não está claro? Então olhe para a foto acima novamente.

E isso sempre deve ser feito ao converter ângulos positivos em negativos (e vice-versa) - desenhe um círculo, marque aproximadamente um determinado ângulo, calculamos quantos graus faltam para completar uma revolução completa e movemos a diferença resultante na direção oposta. Isso é tudo.)

O que mais há de interessante nos ângulos que ocupam a mesma posição em um círculo, você acha? E o fato de que nesses cantos exatamente o mesmo seno, cosseno, tangente e cotangente! Sempre!

Por exemplo:

Sen45° = sen(-315°)

Cos120° = cos(-240°)

Tg249° = tg(-111°)

Ctg333° = Ctg(-27°)

Mas isso é extremamente importante! Para que? Sim, tudo pela mesma coisa!) Para simplificar expressões. Porque simplificar expressões é um procedimento fundamental para uma solução bem-sucedida qualquer tarefas de matemática. E na trigonometria também.

Então, descobrimos a regra geral para contar ângulos em um círculo. Bem, se começamos a falar sobre voltas completas, sobre quartos de volta, então é hora de torcer e desenhar esses mesmos cantos. Vamos desenhar?)

Vamos começar com positivo cantos Eles serão mais fáceis de desenhar.

Desenhamos ângulos dentro de uma revolução (entre 0° e 360°).

Vamos desenhar, por exemplo, um ângulo de 60°. Tudo é simples aqui, sem complicações. Desenhamos eixos coordenados e um círculo. Você pode fazer isso diretamente à mão, sem qualquer compasso ou régua. Vamos desenhar esquematicamente: Não estamos desenhando com você. Você não precisa cumprir nenhum GOST, você não será punido.)

Você pode (você mesmo) marcar os valores dos ângulos nos eixos e apontar a seta na direção contra o relógio. Afinal, vamos economizar como um plus?) Você não precisa fazer isso, mas precisa ter tudo em mente.

E agora desenhamos o segundo lado (móvel) do canto. Em que trimestre? Na primeira, claro! Porque 60 graus está estritamente entre 0° e 90°. Então empatamos no primeiro quarto. Em um ângulo aproximadamente 60 graus para o lado fixo. Como contar aproximadamente 60 graus sem transferidor? Facilmente! 60° é dois terços de um ângulo reto! Dividimos mentalmente o primeiro demônio do círculo em três partes, pegando dois terços para nós. E nós desenhamos... Quanto realmente chegamos lá (se você colocar um transferidor e medir) - 55 graus ou 64 - não importa! É importante que ainda esteja em algum lugar cerca de 60°.

Temos a imagem:

Isso é tudo. E nenhuma ferramenta foi necessária. Vamos desenvolver nosso olho! Será útil em problemas de geometria.) Este desenho feio é indispensável quando você precisa rabiscar rapidamente um círculo e um ângulo, sem realmente pensar na beleza. Mas ao mesmo tempo rabisca Certo, sem erros, com todas as informações necessárias. Por exemplo, como auxílio na resolução de equações e inequações trigonométricas.

Vamos agora desenhar um ângulo, por exemplo, 265°. Vamos descobrir onde ele pode estar localizado? Bom, é claro que nem no primeiro quarto e nem no segundo: terminam em 90 e 180 graus. Você pode descobrir que 265° é 180° mais outros 85°. Ou seja, ao semieixo negativo OX (onde 180°) você precisa adicionar aproximadamente 85°. Ou, ainda mais simples, adivinhe que 265° não atinge o semi-eixo negativo OY (onde 270° é) alguns infelizes 5°. Resumindo, no terceiro quarto terá esse ângulo. Muito próximo do semieixo negativo OY, a 270 graus, mas ainda no terceiro!

Vamos desenhar:

Novamente, a precisão absoluta não é necessária aqui. Deixe, na realidade, esse ângulo ser, digamos, 263 graus. Mas para a questão mais importante (que trimestre?) nós respondemos corretamente. Por que esta é a questão mais importante? Sim, porque qualquer trabalho com um ângulo em trigonometria (não importa se desenhamos esse ângulo ou não) começa exatamente com a resposta a esta pergunta! Sempre. Se você ignorar essa pergunta ou tentar respondê-la mentalmente, então os erros serão quase inevitáveis, sim... Você precisa disso?

Lembrar:

Qualquer trabalho com um ângulo (incluindo desenhar esse mesmo ângulo em um círculo) sempre começa com a determinação do quarto em que esse ângulo cai.

Agora, espero que você consiga representar ângulos com precisão, por exemplo, 182°, 88°, 280°. EM correto trimestres. Na terceira, primeira e quarta, se tanto...)

O quarto quarto termina com um ângulo de 360°. Esta é uma revolução completa. É claro que este ângulo ocupa a mesma posição no círculo que 0° (ou seja, a origem). Mas os ângulos não param por aí, sim...

O que fazer com ângulos maiores que 360°?

“Existem realmente essas coisas?”- você pergunta. Eles acontecem! Existe, por exemplo, um ângulo de 444°. E às vezes, digamos, um ângulo de 1000°. Existem todos os tipos de ângulos.) Acontece que visualmente esses ângulos exóticos são percebidos um pouco mais difíceis do que os ângulos a que estamos acostumados dentro de uma revolução. Mas você também precisa desenhar e calcular esses ângulos, sim.

Para desenhar corretamente esses ângulos em um círculo, você precisa fazer a mesma coisa - descubra Em que quadrante se enquadra o ângulo em que estamos interessados? Aqui, a capacidade de determinar com precisão o quarto é muito mais importante do que para ângulos de 0° a 360°! O procedimento para determinar o trimestre em si é complicado em apenas uma etapa. Você verá o que é em breve.

Então, por exemplo, precisamos descobrir em qual quadrante o ângulo de 444° cai. Vamos começar a girar. Onde? Uma vantagem, claro! Eles nos deram um ângulo positivo! +444°. Torcemos, torcemos... Giramos uma volta - chegamos a 360°.

Quanto tempo falta até 444°?Contamos a cauda restante:

444°-360° = 84°.

Portanto, 444° é uma rotação completa (360°) mais outros 84°. Obviamente este é o primeiro trimestre. Então, o ângulo 444° cai no primeiro trimestre. Metade da batalha está concluída.

Agora só falta representar esse ângulo. Como? Muito simples! Damos uma volta completa ao longo da seta vermelha (mais) e adicionamos outros 84°.

Assim:

Aqui não me preocupei em bagunçar o desenho - rotulando os quartos, desenhando ângulos nos eixos. Todas essas coisas boas deveriam estar na minha cabeça há muito tempo.)

Mas usei um “caracol” ou uma espiral para mostrar exatamente como um ângulo de 444° é formado a partir de ângulos de 360° e 84°. A linha vermelha pontilhada representa uma revolução completa. Ao qual são aparafusados ​​adicionalmente 84° (linha contínua). A propósito, observe que se esta revolução completa for descartada, isso não afetará de forma alguma a posição do nosso ângulo!

Mas isso é importante! Posição angular 444° coincide completamente com uma posição angular de 84°. Não existem milagres, é assim que acontece.)

É possível descartar não uma revolução completa, mas duas ou mais?

Por que não? Se o ângulo for forte, então não só é possível, mas até necessário! O ângulo não mudará! Mais precisamente, o próprio ângulo mudará, é claro, de magnitude. Mas a posição dele no círculo - de jeito nenhum!) É por isso que eles completo revoluções, que não importa quantas cópias você adicione, não importa quantas você subtraia, você ainda terminará no mesmo ponto. Legal, não é?

Lembrar:

Se você adicionar (subtrair) qualquer valor a um ângulo todo o número de voltas completas, a posição do ângulo original no círculo NÃO mudará!

Por exemplo:

Em que quarto cai o ângulo de 1000°?

Sem problemas! Contamos quantas revoluções completas ocorrem em mil graus. Uma revolução é 360°, outra já é 720°, a terceira é 1080°... Pare! Demais! Isso significa que ele fica em um ângulo de 1000° dois voltas completas. Nós os descartamos de 1000° e calculamos o restante:

1000° - 2 360° = 280°

Então, a posição do ângulo é 1000° no círculo o mesmo, como em um ângulo de 280°. O que é muito mais agradável de trabalhar.) E onde fica esse canto? Cai no quarto trimestre: 270° (semi-eixo negativo OY) mais outros dez.

Vamos desenhar:

Aqui não desenhei mais duas voltas completas com uma espiral pontilhada: acabou sendo muito longa. Acabei de desenhar a cauda restante de zero, descartando Todos turnos extras. É como se eles nem existissem.)

Outra vez. No bom sentido, os ângulos 444° e 84°, assim como 1000° e 280°, são diferentes. Mas para seno, cosseno, tangente e cotangente esses ângulos são - o mesmo!

Como você pode ver, para trabalhar com ângulos maiores que 360°, você precisa determinar quantas revoluções completas ocorrem em um determinado ângulo grande. Esta é a etapa adicional que deve ser executada primeiro ao trabalhar com esses ângulos. Nada complicado, certo?

Rejeitar revoluções completas é, obviamente, uma experiência agradável.) Mas, na prática, surgem dificuldades ao trabalhar com ângulos absolutamente terríveis.

Por exemplo:

Em que quarto cai o ângulo 31240°?

Então, vamos adicionar 360 graus muitas e muitas vezes? É possível, se não queimar muito. Mas não podemos apenas somar. Também podemos dividir!

Então vamos dividir o nosso enorme ângulo em 360 graus!

Com esta ação descobriremos exatamente quantas revoluções completas estão escondidas em nossos 31240 graus. Você pode dividi-lo em um canto, você pode (sussurrar no seu ouvido:)) em uma calculadora.)

Obtemos 31240:360 = 86,777777….

O fato de o número ser fracionário não é assustador. Somente nós todo Estou interessado nas rotações! Portanto, não há necessidade de dividir completamente.)

Assim, em nosso carvão felpudo ocorrem até 86 revoluções completas. Horror…

Será em graus86·360° = 30960°

Assim. Isso é exatamente quantos graus podem ser eliminados sem dor de um determinado ângulo de 31.240°. Restos:

31240° - 30960° = 280°

Todos! A posição do ângulo 31240° está totalmente identificada! Mesmo lugar que 280°. Aqueles. quarto trimestre.) Acho que já descrevemos esse ângulo antes? Quando foi desenhado o ângulo de 1000°?) Lá também fomos 280 graus. Coincidência.)

Então, a moral desta história é:

Se recebermos um ângulo assustador e robusto, então:

1. Determine quantas revoluções completas ocorrem neste canto. Para fazer isso, divida o ângulo original por 360 e descarte a parte fracionária.

2. Contamos quantos graus existem no número de revoluções resultante. Para fazer isso, multiplique o número de revoluções por 360.

3. Subtraímos essas revoluções do ângulo original e trabalhamos com o ângulo usual variando de 0° a 360°.

Como trabalhar com ângulos negativos?

Sem problemas! Exatamente o mesmo que os positivos, apenas com uma única diferença. Qual deles? Sim! Você precisa virar as esquinas lado reverso, menos! Indo no sentido horário.)

Vamos desenhar, por exemplo, um ângulo de -200°. Primeiro, tudo é normal para ângulos positivos - eixos, círculo. Vamos também desenhar uma seta azul com um sinal de menos e sinalizar os ângulos nos eixos de maneira diferente. Naturalmente, eles também deverão ser contados no sentido negativo. Serão os mesmos ângulos, passando de 90°, mas contados na direção oposta, até menos: 0°, -90°, -180°, -270°, -360°.

A imagem ficará assim:

Ao trabalhar com ângulos negativos, muitas vezes há uma sensação de leve perplexidade. Como assim?! Acontece que o mesmo eixo é, digamos, +90° e -270° ao mesmo tempo? Não, algo está suspeito aqui...

Sim, tudo é limpo e transparente! Já sabemos que qualquer ponto de um círculo pode ser chamado de ângulo positivo ou negativo! Absolutamente qualquer. Incluindo em alguns dos eixos coordenados. No nosso caso precisamos negativo cálculo de ângulo. Então, ajustamos todos os cantos para menos.)

Agora, desenhar o ângulo -200° corretamente não é difícil. Isso é -180° e menos outros 20°. Começamos a oscilar de zero a menos: voamos pelo quarto quarto, também perdemos o terceiro, chegamos a -180°. Onde devo gastar os vinte restantes? Sim, está tudo lá! Por hora.) O ângulo total -200° fica dentro segundo trimestre.

Agora você entende como é importante lembrar com firmeza os ângulos nos eixos coordenados?

Os ângulos nos eixos coordenados (0°, 90°, 180°, 270°, 360°) devem ser lembrados com precisão para determinar com precisão o quarto onde o ângulo cai!

E se o ângulo for grande, com várias voltas completas? Tudo bem! Que diferença faz se estas revoluções completas se tornam positivas ou negativas? Um ponto numa circunferência não mudará de posição!

Por exemplo:

Em que quarto cai o ângulo de -2.000°?

Tudo o mesmo! Primeiro, contamos quantas revoluções completas ocorrem neste canto maligno. Para não bagunçar os sinais, vamos deixar o menos de lado por enquanto e simplesmente dividir 2.000 por 360. Teremos 5 mais. Não nos importamos com a cauda por enquanto, contaremos um pouco mais tarde, quando desenharmos o canto. Nós contamos cinco revoluções completas em graus:

5 360° = 1800°

Uau. É exatamente quantos graus extras podemos jogar fora do nosso canto com segurança, sem prejudicar nossa saúde.

Contamos a cauda restante:

2.000° – 1.800° = 200°

Mas agora podemos lembrar o menos.) Onde enrolaremos a cauda de 200°? Menos, é claro! Recebemos um ângulo negativo.)

2.000° = -1.800° - 200°

Portanto, desenhamos um ângulo de -200°, mas sem quaisquer revoluções extras. Acabei de desenhar, mas que assim seja, vou desenhar mais uma vez. À mão.

É claro que o ângulo dado -2000°, assim como -200°, cai dentro segundo quarto.

Então, vamos enlouquecer... desculpe... na nossa cabeça:

Se for dado um ângulo negativo muito grande, então a primeira parte do trabalho com ele (encontrar o número de revoluções completas e descartá-las) é a mesma de trabalhar com um ângulo positivo. O sinal negativo não desempenha qualquer papel nesta fase da solução. O sinal é levado em consideração apenas no final, ao trabalhar com o ângulo restante após a rotação completa.

Como você pode ver, desenhar ângulos negativos em um círculo não é mais difícil do que desenhar ângulos positivos.

Tudo é igual, só que na outra direção! Por hora!

Agora vem a parte mais interessante! Vimos ângulos positivos, ângulos negativos, ângulos grandes, ângulos pequenos – toda a gama. Também descobrimos que qualquer ponto de um círculo pode ser chamado de ângulo positivo e negativo, descartamos revoluções completas... Alguma ideia? Deve ser adiado...

Sim! Qualquer que seja o ponto do círculo que você escolher, ele corresponderá a número infinito de ângulos! Grandes e não tão grandes, positivos e negativos - de todos os tipos! E a diferença entre esses ângulos será todo número de revoluções completas. Sempre! É assim que funciona o círculo trigonométrico, sim...) É por isso reverter a tarefa é encontrar o ângulo usando o seno/cosseno/tangente/cotangente conhecido - solucionável ambíguo. E muito mais difícil. Em contraste com o problema direto - dado um ângulo, encontre todo o conjunto de suas funções trigonométricas. E em tópicos mais sérios de trigonometria ( arcos, trigonométrico equações E desigualdades ) encontraremos esse truque o tempo todo. Estamos nos acostumando.)

1. Em que quarto cai o ângulo de -345°?

2. Em que quarto cai o ângulo de 666°?

3. Em que quarto cai o ângulo 5555°?

4. Em que quarto cai o ângulo de -3700°?

5. O que o signo fazporque999°?

6. O que o signo fazctg999°?

E funcionou? Maravilhoso! Há um problema? Então você.

Respostas:

1. 1

2. 4

3. 2

4. 3

5. "+"

6. "-"

Desta vez as respostas foram dadas por ordem, rompendo com a tradição. Pois existem apenas quatro quartos e apenas dois sinais. Você não vai fugir muito...)

Na próxima lição falaremos sobre radianos, sobre o misterioso número “pi”, aprenderemos como converter radianos em graus de maneira fácil e simples e vice-versa. E ficaremos surpresos ao descobrir que mesmo esse conhecimento e habilidades simples serão suficientes para resolvermos com sucesso muitos problemas de trigonometria não triviais!

Canto: °πrad =

Converter para: radianos graus 0 - 360° 0 - 2π positivo negativo Calcular

Quando as linhas se cruzam, existem quatro áreas diferentes em relação ao ponto de intersecção.
Essas novas áreas são chamadas cantos.

A imagem mostra 4 ângulos diferentes formados pela intersecção das linhas AB e CD

Os ângulos são geralmente medidos em graus, que são indicados como °. Quando um objeto faz um círculo completo, isto é, movendo-se do ponto D através de B, C, A e depois de volta a D, diz-se que ele girou 360 graus (360°). Portanto, um grau é $\frac(1)(360)$ de um círculo.

Ângulos maiores que 360 ​​graus

Falamos sobre como quando um objeto faz um círculo completo em torno de um ponto, ele percorre 360 ​​graus, porém, quando um objeto faz mais de um círculo, ele faz um ângulo de mais de 360 ​​graus. Esta é uma ocorrência comum na vida cotidiana. A roda dá muitas voltas quando o carro está em movimento, ou seja, forma um ângulo de mais de 360°.

Para saber o número de ciclos (círculos completados) ao girar um objeto, contamos quantas vezes precisamos somar 360 a ele mesmo para obter um número igual ou menor que um determinado ângulo. Da mesma forma, encontramos um número que multiplicamos por 360 para obter um número menor, mas mais próximo do ângulo determinado.

Exemplo 2
1. Encontre o número de círculos descritos por um objeto formando um ângulo
a) 380°
b) 770°
c) 1000°
Solução
a) 380 = (1 × 360) + 20
O objeto descreveu um círculo e 20°
Já que $20^(\circ) = \frac(20)(360) = \frac(1)(18)$ círculo
O objeto descreveu $1\frac(1)(18)$ círculos.

B) 2 × 360 = 720
770 = (2 × 360) + 50
O objeto descreveu dois círculos e 50°
$50^(\circ) = \frac(50)(360) = \frac(5)(36)$ círculo
O objeto descreveu $2\frac(5)(36)$ de um círculo
c)2 × 360 = 720
1000 = (2 × 360) + 280
$280^(\circ) = \frac(260)(360) = \frac(7)(9)$ círculos
O objeto descrito $2\frac(7)(9)$ círculos

Quando um objeto gira no sentido horário, ele forma um ângulo de rotação negativo e, quando gira no sentido anti-horário, forma um ângulo positivo. Até este ponto, consideramos apenas ângulos positivos.

Na forma de diagrama, um ângulo negativo pode ser representado conforme mostrado abaixo.

A figura abaixo mostra o sinal do ângulo, que é medido a partir de uma reta comum, o eixo 0 (eixo x - eixo x)

Isto significa que se houver um ângulo negativo, podemos obter um ângulo positivo correspondente.
Por exemplo, a parte inferior de uma linha vertical é 270°. Quando medido na direção negativa, obtemos -90°. Simplesmente subtraímos 270 de 360. Dado um ângulo negativo, adicionamos 360 para obter o ângulo positivo correspondente.
Quando o ângulo é -360°, significa que o objeto fez mais de um círculo no sentido horário.

Exemplo 3
1. Encontre o ângulo positivo correspondente
a) -35°
b) -60°
c) -180°
d) - 670°

2. Encontre o ângulo negativo correspondente de 80°, 167°, 330° e 1300°.
Solução
1. Para encontrar o ângulo positivo correspondente, adicionamos 360 ao valor do ângulo.
a) -35°= 360 + (-35) = 360 - 35 = 325°
b) -60°= 360 + (-60) = 360 - 60 = 300°
c) -180°= 360 + (-180) = 360 - 180 = 180°
d) -670°= 360 + (-670) = -310
Isso significa um círculo no sentido horário (360)
360 + (-310) = 50°
O ângulo é 360 + 50 = 410°

2. Para obter o ângulo negativo correspondente, subtraímos 360 do valor do ângulo.
80° = 80 - 360 = - 280°
167° = 167 - 360 = -193°
330° = 330 - 360 = -30°
1300° = 1300 - 360 = 940 (uma volta completada)
940 - 360 = 580 (segunda rodada concluída)
580 - 360 = 220 (terceira rodada concluída)
220 - 360 = -140°
O ângulo é -360 - 360 - 360 - 140 = -1220°
Assim 1300° = -1220°

Radiano

Um radiano é o ângulo do centro de um círculo que circunda um arco cujo comprimento é igual ao raio do círculo. Esta é uma unidade de medida para magnitude angular. Este ângulo é de aproximadamente 57,3°.
Na maioria dos casos, isso é denotado como alegre.
Assim, $1 rad \aproximadamente 57,3^(\circ)$

Raio = r = OA = OB = AB
O ângulo BOA é igual a um radiano

Como a circunferência é dada como $2\pi r$, então há $2\pi$ raios no círculo e, portanto, em todo o círculo há $2\pi$ radianos.

Os radianos são geralmente expressos em termos de $\pi$ para evitar decimais nos cálculos. Na maioria dos livros, a abreviatura alegre não ocorre, mas o leitor deve saber que quando se trata de ângulo, ele é especificado em termos de $\pi$, e as unidades de medida tornam-se automaticamente radianos.

$360^(\circ) = 2\pi\rad$
$180^(\circ) = \pi\rad$,
$90^(\circ) = \frac(\pi)(2) rad$,
$30^(\circ) = \frac(30)(180)\pi = \frac(\pi)(6) rad$,
$45^(\circ) = \frac(45)(180)\pi = \frac(\pi)(4) rad$,
$60^(\circ) = \frac(60)(180)\pi = \frac(\pi)(3) rad$
$270^(\circ) = \frac(270)(180)\pi = \frac(27)(18)\pi = 1\frac(1)(2)\pi\ rad$

Exemplo 4
1. Converta 240°, 45°, 270°, 750° e 390° em radianos usando $\pi$.
Solução
Vamos multiplicar os ângulos por $\frac(\pi)(180)$.
$240^(\circ) = 240 \vezes \frac(\pi)(180) = \frac(4)(3)\pi=1\frac(1)(3)\pi$
$120^(\circ) = 120 \vezes \frac(\pi)(180) = \frac(2\pi)(3)$
$270^(\circ) = 270 \vezes \frac(1)(180)\pi = \frac(3)(2)\pi=1\frac(1)(2)\pi$
$750^(\circ) = 750 \vezes \frac(1)(180)\pi = \frac(25)(6)\pi=4\frac(1)(6)\pi$
$390^(\circ) = 390 \vezes \frac(1)(180)\pi = \frac(13)(6)\pi=2\frac(1)(6)\pi$

2. Converta os seguintes ângulos em graus.
a) $\frac(5)(4)\pi$
b)$3,12\pi$
c) 2,4 radianos
Solução
$180^(\circ) = \pi$
a) $\frac(5)(4) \pi = \frac(5)(4) \vezes 180 = 225^(\circ)$
b) $3,12\pi = 3,12 \vezes 180 = 561,6^(\circ)$
c) 1 rad = 57,3°
$2,4 = \frac(2,4 \vezes 57,3)(1) = 137,52$

Ângulos negativos e ângulos maiores que $2\pi$ radianos

Para converter um ângulo negativo em positivo, adicionamos $2\pi$.
Para converter um ângulo positivo em negativo, subtraímos $2\pi$ dele.

Exemplo 5
1. Converta $-\frac(3)(4)\pi$ e $-\frac(5)(7)\pi$ em ângulos positivos em radianos.

Solução
Adicione $2\pi$ ao ângulo
$-\frac(3)(4)\pi = -\frac(3)(4)\pi + 2\pi = \frac(5)(4)\pi = 1\frac(1)(4)\ pi$

$-\frac(5)(7)\pi = -\frac(5)(7)\pi + 2\pi = \frac(9)(7)\pi = 1\frac(2)(7)\ pi$

Quando um objeto gira em um ângulo maior que $2\pi$;, ele forma mais de um círculo.
Para determinar o número de revoluções (círculos ou ciclos) em tal ângulo, encontramos um número, multiplicando-o por $2\pi$, o resultado é igual ou menor, mas o mais próximo possível deste número.

Exemplo 6
1. Encontre o número de círculos percorridos pelo objeto em determinados ângulos
a) $-10\pi$
b) $9\pi$
c) $\frac(7)(2)\pi$

Solução
a) $-10\pi = 5(-2\pi)$;
$-2\pi$ implica um ciclo no sentido horário, isso significa que
o objeto fez 5 ciclos no sentido horário.

b) $9\pi = 4(2\pi) + \pi$, $\pi =$ meio ciclo
o objeto fez quatro ciclos e meio no sentido anti-horário

c) $\frac(7)(2)\pi=3,5\pi=2\pi+1,5\pi$, $1,5\pi$ é igual a três quartos do ciclo $(\frac(1,5\pi)(2 \pi)= \frac(3)(4))$
o objeto passou por um e três quartos de ciclo no sentido anti-horário