Instrução

Se a equação for apresentada como: dy/dx = q(x)/n(y), consulte a categoria de equações diferenciais com variáveis ​​separáveis. Eles podem ser resolvidos escrevendo a condição em diferenciais como segue: n(y)dy = q(x)dx. Em seguida, integre as duas partes. Em alguns casos, a solução é escrita na forma de integrais retiradas de funções conhecidas. Por exemplo, no caso de dy/dx = x/y, obtemos q(x) = x, n(y) = y. Escreva como ydy = xdx e integre. Você deve obter y^2 = x^2 + c.

para linear equações atribuir as equações "primeiro". Uma função desconhecida com suas derivadas é incluída em tal equação apenas até o primeiro grau. Linear tem a forma dy/dx + f(x) = j(x), onde f(x) eg(x) são funções que dependem de x. A solução é escrita usando integrais retiradas de funções conhecidas.

Lembre-se de que muitas equações diferenciais são equações de segunda ordem (contendo segundas derivadas). Por exemplo, esta é a equação do movimento harmônico simples, escrita como geral: md 2x / dt 2 \u003d -kx. Tais equações têm, em , soluções parciais. A equação do movimento harmônico simples é um exemplo de algo bastante importante: equações diferenciais lineares que possuem um coeficiente constante.

Se houver apenas uma equação linear nas condições do problema, você receberá condições adicionais devido às quais poderá encontrar uma solução. Leia o problema com atenção para encontrar essas condições. Se um variáveis x e y são distância, velocidade, peso - sinta-se à vontade para definir o limite x≥0 e y≥0. É bem possível que x ou y esteja escondendo o número de , maçãs, etc. – então os valores só podem ser . Se x é a idade do filho, é claro que ele não pode ser mais velho que o pai, então indique isso nas condições do problema.

Fontes:

• como resolver uma equação com uma variável

Problemas de cálculo diferencial e integral são elementos importantes para consolidar a teoria da análise matemática, uma seção da matemática superior estudada nas universidades. diferencial a equaçãoé resolvido pelo método de integração.

Instrução

O cálculo diferencial investiga propriedades. Por outro lado, a integração de uma função permite, de acordo com as propriedades dadas, ou seja, derivadas ou diferenciais de uma função para encontrá-la. Esta é a solução da equação diferencial.

Qualquer é uma razão entre uma quantidade desconhecida e dados conhecidos. No caso de uma equação diferencial, o papel da incógnita é desempenhado pela função, e o papel das quantidades conhecidas é desempenhado por suas derivadas. Além disso, a razão pode conter uma variável independente: F(x, y(x), y'(x), y''(x),…, y^n(x)) = 0, onde x é uma incógnita variável, y (x) é a função a ser determinada, a ordem da equação é a ordem máxima da derivada (n).

Tal equação é chamada de equação diferencial ordinária. Se houver várias variáveis ​​independentes na relação e derivadas parciais (diferenciais) de funções em relação a essas variáveis, então a equação é chamada de equação diferencial com derivadas parciais e tem a forma: x∂z/∂y - ∂z/∂ x = 0, onde z(x, y) é a função desejada.

Então, para aprender a resolver equações diferenciais, você precisa encontrar antiderivadas, ou seja, resolver o problema da diferenciação inversa. Por exemplo: Resolva a equação de primeira ordem y' = -y/x.

SoluçãoSubstitua y' por dy/dx: dy/dx = -y/x.

Traga a equação para uma forma conveniente para integração. Para fazer isso, multiplique ambos os lados por dx e divida por y:dy/y = -dx/x.

Integrar: ∫dy/y = - ∫dx/x + Сln |y| = - log |x| +C.

Essa solução é chamada de equação diferencial geral. C é uma constante cujo conjunto de valores determina o conjunto de soluções da equação. Para qualquer valor particular de C, a solução será única. Tal solução é uma solução particular de uma equação diferencial.

Solução da maioria das equações de maior graus não tem uma fórmula clara, como encontrar as raízes de um quadrado equações. No entanto, existem vários métodos de redução que permitem transformar uma equação de grau mais alto em uma forma mais visual.

Instrução

O método mais comum para resolver equações de graus mais elevados é a expansão. Essa abordagem é uma combinação da seleção de raízes inteiras, divisores do termo livre e a subsequente divisão do polinômio geral na forma (x - x0).

Por exemplo, resolva a equação x^4 + x³ + 2 x² - x - 3 = 0. Solução. O membro livre deste polinômio é -3, portanto, seus divisores inteiros podem ser ±1 e ±3. Substitua-os um por um na equação e descubra se você obtém a identidade: 1: 1 + 1 + 2 - 1 - 3 = 0.

Segunda raiz x = -1. Divida pela expressão (x + 1). Escreva a equação resultante (x - 1) (x + 1) (x² + x + 3) = 0. O grau caiu para o segundo, portanto, a equação pode ter mais duas raízes. Para encontrá-los, resolva a equação quadrática: x² + x + 3 = 0D = 1 - 12 = -11

O discriminante é um valor negativo, o que significa que a equação não tem mais raízes reais. Encontre as raízes complexas da equação: x = (-2 + i √11)/2 ex = (-2 – i √11)/2.

Outro método para resolver uma equação de grau mais alto é alterar as variáveis ​​para elevá-la ao quadrado. Essa abordagem é usada quando todas as potências da equação são pares, por exemplo: x^4 - 13 x² + 36 = 0

Agora encontre as raízes da equação original: x1 = √9 = ±3; x2 = √4 = ±2.

Dica 10: Como Determinar Equações Redox

Uma reação química é um processo de transformação de substâncias que ocorre com uma mudança em sua composição. As substâncias que entram na reação são chamadas de iniciais e as que são formadas como resultado desse processo são chamadas de produtos. Acontece que, no decorrer de uma reação química, os elementos que compõem os materiais de partida mudam seu estado de oxidação. Ou seja, eles podem aceitar os elétrons de outras pessoas e dar os seus próprios. Em ambos os casos, sua carga muda. Essas reações são chamadas de reações redox.

1. A equação diferencial de primeira ordem tem a forma

Se esta equação pode ser resolvida em relação a ta, ela pode ser escrita como

Neste caso, dizemos que a equação diferencial é resolvida em relação à derivada. Para tal equação, o seguinte teorema é válido, que é chamado de teorema da existência e unicidade de uma solução para uma equação diferencial. Teorema. Se na equação

função e sua derivada parcial em relação a y são contínuas em algum domínio D em um plano contendo algum ponto , então existe uma solução única para esta equação

satisfazendo a condição em

Este teorema será provado no § 27 Cap. XVI.

O significado geométrico do teorema é que existe e, além disso, uma única função cujo gráfico passa pelo ponto

Segue-se do teorema que acabamos de afirmar que uma equação tem um número infinito de soluções diferentes (por exemplo, uma solução cujo gráfico passa por um ponto, outra solução cujo gráfico passa por um ponto, etc., se apenas esses pontos estiverem na região

A condição de que quando a função y deve ser igual a um determinado número é chamada de condição inicial. Muitas vezes é escrito como

Definição 1. Uma solução geral de uma equação diferencial de primeira ordem é uma função

que depende de uma constante arbitrária C e satisfaz as seguintes condições:

a) satisfaz a equação diferencial para qualquer valor particular da constante C;

b) qualquer que seja a condição inicial para, você pode encontrar um valor tal que a função satisfaça a condição inicial dada. Supõe-se que os valores pertençam à região de variação das variáveis ​​x e y, na qual as condições do teorema de existência e unicidade da solução são satisfeitas.

2. No processo de busca de uma solução geral de uma equação diferencial, muitas vezes chegamos a uma relação da forma

não permitido em relação a Resolvendo esta relação em relação a y, obtemos a solução geral. Entretanto, nem sempre é possível expressar y a partir da relação (2) em funções elementares; em tais casos, a solução geral é deixada implícita. Uma igualdade da forma que especifica implicitamente uma solução geral é chamada de integral geral de uma equação diferencial.

Definição 2. Uma solução particular é qualquer função que é obtida de uma solução geral se um determinado valor for dado na última constante arbitrária C. A razão é chamada neste caso de integral parcial da equação.

Exemplo 1. Para uma equação de primeira ordem

a solução geral será uma família de funções; isso pode ser verificado por uma simples substituição na equação.

Vamos encontrar uma solução particular que satisfaça a seguinte condição inicial: por Substituindo esses valores na fórmula, obtemos ou Portanto, a solução particular requerida será a função

Do ponto de vista geométrico, a integral geral é uma família de curvas no plano coordenado, dependendo de uma constante arbitrária C (ou, como dizem, de um parâmetro C).

Essas curvas são chamadas de curvas integrais da equação diferencial dada. A integral parcial corresponde a uma curva desta família passando por algum ponto dado do plano.

Assim, no último exemplo, a integral geral é representada geometricamente por uma família de hipérboles, e a integral parcial, definida pela condição inicial indicada, é representada por uma dessas hipérboles passando pelo ponto. 251 mostra curvas de família correspondentes a alguns valores de parâmetros: etc.

Para tornar o raciocínio mais claro, chamaremos a solução de uma equação não apenas de função que satisfaz a equação, mas também de curva integral correspondente. A este respeito, falaremos, por exemplo, de uma solução que passa pelo ponto .

Comente. A equação não tem solução passando por um ponto situado no eixo da Fig. 251), já que o lado direito da equação para não é definido e, portanto, não é contínuo.

Resolver ou, como se costuma dizer, integrar uma equação diferencial significa:

a) encontre sua solução geral ou integral geral (se as condições iniciais não forem dadas), ou

b) encontre aquela solução particular da equação que satisfaz as condições iniciais dadas (se houver).

3. Vamos dar uma interpretação geométrica da equação diferencial de primeira ordem.

Seja dada uma equação diferencial que é resolvida em relação à derivada:

e seja a solução geral desta equação. Esta solução geral define uma família de curvas integrais no plano

A equação (D) para cada ponto M com coordenadas xey determina o valor da derivada, ou seja, a inclinação da tangente à curva integral que passa por este ponto. Assim, a equação diferencial (D) dá um conjunto de direções, ou, como se costuma dizer, determina o campo de direções no plano

Portanto, do ponto de vista geométrico, o problema de integrar uma equação diferencial é encontrar curvas cuja direção tangente coincida com a direção do campo nos pontos correspondentes.

Para a equação diferencial (1), o lugar geométrico dos pontos nos quais a relação se mantém é chamado de isoclina da equação diferencial dada.

Para diferentes valores de k, obtemos diferentes isoclinas. A equação da isoclina correspondente ao valor de k será obviamente: Construindo uma família de isoclinas, pode-se construir aproximadamente uma família de curvas integrais. Diz-se que, conhecendo as isoclinas, pode-se determinar qualitativamente a localização das curvas integrais no plano.

Em alguns problemas de física, uma conexão direta entre as grandezas que descrevem o processo não pode ser estabelecida. Mas existe a possibilidade de obter uma igualdade contendo as derivadas das funções em estudo. É assim que surgem as equações diferenciais e a necessidade de resolvê-las para encontrar uma função desconhecida.

Este artigo destina-se àqueles que se deparam com o problema de resolver uma equação diferencial em que a função desconhecida é uma função de uma variável. A teoria é construída de tal forma que, com uma compreensão zero das equações diferenciais, você pode fazer seu trabalho.

Cada tipo de equações diferenciais está associado a um método de solução com explicações detalhadas e soluções de exemplos e problemas típicos. Você só precisa determinar o tipo de equação diferencial do seu problema, encontrar um exemplo semelhante analisado e realizar ações semelhantes.

Para resolver equações diferenciais com sucesso, você também precisará da capacidade de encontrar conjuntos de primitivas (integrais indefinidas) de várias funções. Se necessário, recomendamos que você consulte a seção.

Primeiro, consideramos os tipos de equações diferenciais ordinárias de primeira ordem que podem ser resolvidas em relação à derivada, depois passamos para EDOs de segunda ordem, depois nos detemos em equações de ordem superior e terminamos com sistemas de equações diferenciais.

Lembre-se que se y é uma função do argumento x .

Equações diferenciais de primeira ordem.

As equações diferenciais mais simples de primeira ordem da forma .

Vamos escrever vários exemplos de tal DE .

Equações diferenciais pode ser resolvido em relação à derivada dividindo ambos os lados da igualdade por f(x) . Neste caso, chegamos à equação , que será equivalente à original para f(x) ≠ 0 . Exemplos de tais EDOs são .

Se houver valores do argumento x para os quais as funções f(x) e g(x) desaparecem simultaneamente, aparecem soluções adicionais. Soluções adicionais para a equação dado x são quaisquer funções definidas para esses valores de argumento. Exemplos de tais equações diferenciais são .

Equações diferenciais de segunda ordem.

Equações Diferenciais Homogêneas Lineares de Segunda Ordem com Coeficientes Constantes.

LODE com coeficientes constantes é um tipo muito comum de equações diferenciais. Sua solução não é particularmente difícil. Primeiro, as raízes da equação característica são encontradas . Para diferentes p e q, três casos são possíveis: as raízes da equação característica podem ser reais e diferentes, reais e coincidentes ou conjugado complexo. Dependendo dos valores das raízes da equação característica, a solução geral da equação diferencial é escrita como , ou , ou respectivamente.

Por exemplo, considere uma equação diferencial homogênea linear de segunda ordem com coeficientes constantes. As raízes de sua equação característica são k 1 = -3 e k 2 = 0. As raízes são reais e diferentes, portanto, a solução geral para o LDE com coeficientes constantes é


Equações diferenciais lineares não homogêneas de segunda ordem com coeficientes constantes.

A solução geral do LIDE de segunda ordem com coeficientes constantes y é procurada como a soma da solução geral do LODE correspondente e uma solução particular da equação não homogênea original, ou seja, . O parágrafo anterior é dedicado a encontrar uma solução geral para uma equação diferencial homogênea com coeficientes constantes. E uma solução particular é determinada ou pelo método de coeficientes indefinidos para uma certa forma da função f(x), situada no lado direito da equação original, ou pelo método de variação de constantes arbitrárias.

Como exemplos de LIDEs de segunda ordem com coeficientes constantes, apresentamos


Para entender a teoria e se familiarizar com as soluções detalhadas dos exemplos, oferecemos na página equações diferenciais não homogêneas lineares de segunda ordem com coeficientes constantes.

Equações Diferenciais Homogêneas Lineares (LODEs) e equações diferenciais não homogêneas lineares de segunda ordem (LNDEs).

Um caso especial de equações diferenciais deste tipo são LODE e LODE com coeficientes constantes.

A solução geral do LODE em um determinado intervalo é representada por uma combinação linear de duas soluções particulares linearmente independentes y 1 e y 2 desta equação, ou seja, .

A principal dificuldade está justamente em encontrar soluções parciais linearmente independentes desse tipo de equação diferencial. Normalmente, soluções particulares são escolhidas a partir dos seguintes sistemas de funções linearmente independentes:


No entanto, soluções particulares nem sempre são apresentadas desta forma.

Um exemplo de LODU é .

A solução geral do LIDE é procurada na forma , onde é a solução geral do LODE correspondente, e é uma solução particular da equação diferencial original. Acabamos de falar sobre encontrar, mas isso pode ser determinado usando o método de variação de constantes arbitrárias.

Um exemplo de LNDE é .

Equações diferenciais de ordem superior.

Equações diferenciais admitindo redução de ordem.

Ordem da equação diferencial , que não contém a função desejada e suas derivadas até a ordem k-1, pode ser reduzida para n-k substituindo .

Neste caso , e a equação diferencial original se reduz a . Depois de encontrar sua solução p(x), resta retornar à substituição e determinar a função desconhecida y .

Por exemplo, a equação diferencial após a substituição torna-se uma equação separável , e sua ordem é reduzida da terceira para a primeira.

Uma equação de primeira ordem da forma a 1 (x) y "+ a 0 (x) y \u003d b (x) é chamada de equação diferencial linear. Se b (x) ≡ 0, a equação é chamada de homogênea, caso contrário - heterogêneo. Para uma equação diferencial linear, o teorema de existência e unicidade tem uma forma mais concreta.

Atribuição de serviço. Uma calculadora online pode ser usada para verificar a solução equações diferenciais lineares homogêneas e não homogêneas como y"+y=b(x).

=

Use a substituição de variável y=u*v
Use o método de variação constante arbitrária
Encontre uma solução particular para y( ) = .

Para obter uma solução, a expressão original deve ser reduzida à forma: a 1 (x)y" + a 0 (x)y = b(x) . Por exemplo, para y"-exp(x)=2*y será y"-2 *y=exp(x) .

Teorema. Seja a 1 (x) , a 0 (x) , b(x) contínua no intervalo [α,β], a 1 ≠0 para ∀x∈[α,β]. Então para qualquer ponto (x 0 , y 0), x 0 ∈[α,β], existe uma solução única para a equação que satisfaz a condição y(x 0) = y 0 e é definida em todo o intervalo [α ,β].
Considere uma equação diferencial linear homogênea a 1 (x)y"+a 0 (x)y=0 .
Separando as variáveis, obtemos , ou, integrando ambas as partes, A última relação, levando em conta a notação exp(x) = e x , é escrita na forma

Vamos agora tentar encontrar uma solução para a equação na forma indicada, na qual a função C(x) é substituída em vez da constante C, ou seja, na forma

Substituindo esta solução na solução original, após as transformações necessárias, obtemos Integrando este último, temos

onde C 1 é alguma nova constante. Substituindo a expressão resultante para C(x), finalmente obtemos a solução da equação linear original
.

Exemplo. Resolva a equação y" + 2y = 4x. Considere a equação homogênea correspondente y" + 2y = 0. Resolvendo, obtemos y = Ce -2 x. Estamos agora procurando uma solução para a equação original na forma y = C(x)e -2 x . Substituindo y e y" = C"(x)e -2 x - 2C(x)e -2 x na equação original, temos C"(x) = 4xe 2 x, de onde C(x) = 2xe 2 x - e 2 x + C 1 e y(x) = (2xe 2 x - e 2 x + C 1)e -2 x = 2x - 1 + C 1 e -2 x é a solução geral da equação original. esta solução, y 1 ( x) = 2x-1 - movimento do objeto sob a ação da força b(x) = 4x, y 2 (x) = C 1 e -2 x - movimento próprio do objeto.

Exemplo #2. Encontre a solução geral da equação diferencial de primeira ordem y"+3 y tan(3x)=2 cos(3x)/sen 2 2x.
Esta é uma equação não homogênea. Vamos fazer uma mudança de variáveis: y=u v, y" = u"v + uv".
3u v tg(3x)+u v"+u" v = 2cos(3x)/sin 2 2x ou u(3v tg(3x)+v") + u" v= 2cos(3x)/sin 2 2x
A solução consiste em duas etapas:
1. u(3vtg(3x)+v") = 0
2. u "v \u003d 2cos (3x) / sin 2 2x
1. Equacione u=0, encontre a solução para 3v tg(3x)+v" = 0
Represente na forma: v" = -3v tg(3x)

Integrando, temos:

ln(v) = ln(cos(3x))
v = cos(3x)
2. Conhecendo v, encontre u a partir da condição: u "v \u003d 2cos (3x) / sin 2 2x
u" cos(3x) = 2cos(3x)/sen 2 2x
u" = 2/sen 2 2x
Integrando, temos:
Da condição y = u v, obtemos:
y = u v = (C-cos(2x)/sin(2x)) cos(3x) ou y = C cos(3x)-cos(2x) ctg(3x)

Equações diferenciais de primeira ordem resolvidas em relação à derivada

Como resolver equações diferenciais de primeira ordem

Vamos ter uma equação diferencial de primeira ordem resolvida em relação à derivada:
.
Dividindo esta equação por , em , obtemos uma equação da forma:
,
Onde .

Em seguida, verificamos se essas equações pertencem a um dos tipos listados abaixo. Se não, então reescrevemos a equação na forma de diferenciais. Para fazer isso, escrevemos e multiplicamos a equação por . Obtemos a equação na forma de diferenciais:
.

Se esta equação não é uma equação em diferenciais totais, então assumimos que nesta equação é uma variável independente, e é uma função de . Vamos dividir a equação por:
.
Em seguida, procuramos ver se esta equação pertence a um dos tipos listados abaixo, dado que e foram trocados.

Se um tipo não for encontrado para esta equação, então procuramos ver se é possível simplificar a equação por uma simples substituição. Por exemplo, se a equação for:
,
então notamos isso. Então fazemos uma substituição. Depois disso, a equação terá uma forma mais simples:
.

Se isso não ajudar, tentamos encontrar um fator de integração.

Equações de Variáveis ​​Separáveis

;
.
Dividir por e integrar. Quando nós tivermos:
.

Equações que se reduzem a equações com variáveis ​​separáveis

Equações homogêneas

Resolvemos por substituição:
,
onde é uma função de . Então
;
.
Separe as variáveis ​​e integre.

Equações Reduzidas a Homogêneas

Introduzimos variáveis ​​e:
;
.
As constantes e são escolhidas de modo que os termos livres se anulem:
;
.
Como resultado, obtemos uma equação homogênea em variáveis ​​e .

Equações homogêneas generalizadas

Fazemos uma substituição. Obtemos uma equação homogênea em variáveis ​​e .

Equações diferenciais lineares

Existem três métodos para resolver equações lineares.

2) Método de Bernoulli.
Estamos procurando uma solução na forma de um produto de duas funções e de uma variável:
.
;
.
Podemos escolher uma dessas funções arbitrariamente. Portanto, como escolhemos qualquer solução diferente de zero da equação:
.

3) O método de variação da constante (Lagrange).
Aqui, primeiro resolvemos a equação homogênea:

A solução geral da equação homogênea tem a forma:
,
onde é uma constante. Em seguida, substituímos a constante por uma função dependendo da variável:
.
Substitua na equação original. Como resultado, obtemos uma equação da qual determinamos .

Equações de Bernoulli

Por substituição, a equação de Bernoulli é reduzida a uma equação linear.

Esta equação também pode ser resolvida pelo método de Bernoulli. Ou seja, estamos procurando uma solução na forma de um produto de duas funções dependendo da variável:
.
Substituímos na equação original:
;
.
Como escolhemos qualquer solução diferente de zero da equação:
.
Tendo determinado , obtemos uma equação com variáveis ​​separáveis ​​para .

Equações de Riccati

Não é resolvido de uma forma geral. Substituição

a equação de Riccati é reduzida para a forma:
,
onde é uma constante; ; .
A seguir, substituição:

parece:
,
Onde .

Propriedades da equação de Riccati e alguns casos especiais de sua solução são apresentados na página
Equação diferencial de Riccati >>>

Equações de Jacobi

Resolvido por substituição:
.

Equações em Diferenciais Totais

Em condição
.
Quando esta condição é satisfeita, a expressão do lado esquerdo da igualdade é a diferencial de alguma função:
.
Então
.
A partir daqui, obtemos a integral da equação diferencial:
.

Para encontrar a função , a maneira mais conveniente é o método de seleção sucessiva do diferencial. Para isso, as fórmulas são usadas:
;
;
;
.

Fator de integração

Se a equação diferencial de primeira ordem não for reduzida a nenhum dos tipos listados, você poderá tentar encontrar um fator de integração. Um fator integrante é tal função, quando multiplicado por ele, a equação diferencial torna-se uma equação em diferenciais totais. Uma equação diferencial de primeira ordem tem um número infinito de fatores de integração. No entanto, não existem métodos gerais para encontrar o fator de integração.

Equações não resolvidas para a derivada y"

Equações que admitem uma solução em relação à derivada y"

Primeiro você precisa tentar resolver a equação em relação à derivada. Se possível, a equação pode ser reduzida a um dos tipos listados acima.

Equações que permitem a fatoração

Se você pode fatorar a equação:
,
então o problema é reduzido à solução sequencial de equações mais simples:
;
;

;
. Nós acreditamos . Então
ou .
Em seguida, integramos a equação:
;
.
Como resultado, obtemos a expressão da segunda variável através do parâmetro.

Equações mais gerais:
ou
também são resolvidos de forma paramétrica. Para fazer isso, você precisa escolher uma função para que a partir da equação original você possa expressar ou através do parâmetro .
Para expressar a segunda variável em termos do parâmetro , integramos a equação:
;
.

Equações resolvidas em relação a y

Equações de Clairaut

Esta equação tem uma solução geral

Equações de Lagrange

Estamos procurando uma solução de forma paramétrica. Assumimos , onde é um parâmetro.

Equações que levam à equação de Bernoulli

Essas equações são reduzidas à equação de Bernoulli se procurarmos suas soluções de forma paramétrica introduzindo um parâmetro e fazendo uma substituição.

Referências:
V.V. Stepanov, Curso de Equações Diferenciais, LKI, 2015.
N.M. Gunther, R. O. Kuzmin, Coleção de problemas em matemática superior, Lan, 2003.