Neste artigo, analisaremos de forma abrangente uma das principais formas geométricas - o ângulo. Vamos começar com conceitos e definições auxiliares que nos levarão à definição de ângulo. Depois disso, fornecemos os métodos aceitos para designar ângulos. A seguir, trataremos em detalhes do processo de medição de ângulos. Em conclusão, mostraremos como você pode marcar os cantos no desenho. Fornecemos toda a teoria com os desenhos e ilustrações gráficas necessárias para melhor memorização do material.

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Definição de ângulo.

O ângulo é uma das figuras mais importantes da geometria. A definição de um ângulo é dada através da definição de um raio. Por sua vez, a ideia de um raio não pode ser obtida sem o conhecimento de figuras geométricas como um ponto, uma linha reta e um plano. Portanto, antes de se familiarizar com a definição do ângulo, recomendamos atualizar a teoria das seções e.

Assim, partiremos dos conceitos de um ponto, uma linha reta em um plano e um plano.

Vamos primeiro dar a definição de um raio.

Seja-nos dada alguma linha reta no plano. Vamos denotar com a letra a. Seja O algum ponto da reta a. O ponto O divide a reta a em duas partes. Cada uma dessas partes junto com o ponto O é chamada feixe, e o ponto O é chamado o início do raio. Você também pode ouvir que o feixe é chamado semidireto.

Por brevidade e conveniência, a seguinte notação para raios foi introduzida: um raio é denotado por uma pequena letra latina (por exemplo, raio p ou raio k), ou por duas grandes letras latinas, a primeira das quais corresponde ao início de o raio, e o segundo denota algum ponto deste raio (por exemplo, raio OA ou raio CD). Vamos mostrar a imagem e a designação dos raios no desenho.

Agora podemos dar a primeira definição de um ângulo.

Definição.

Canto- trata-se de uma figura geométrica plana (isto é, que se encontra inteiramente em um determinado plano), que é composta por dois raios desencontrados de origem comum. Cada um dos raios é chamado canto lateral, o início comum dos lados do ângulo é chamado canto superior.

É possível que os lados de um ângulo formem uma linha reta. Este ângulo tem seu próprio nome.

Definição.

Se ambos os lados de um ângulo estão na mesma linha, então o ângulo é chamado implantado.

Chamamos a sua atenção uma ilustração gráfica de um ângulo desenvolvido.

Um símbolo de ângulo é usado para denotar um ângulo. Se os lados do ângulo forem indicados em pequenas letras latinas (por exemplo, um lado do ângulo é k e o outro é h), para designar esse ângulo, após o ícone do ângulo, as letras correspondentes aos lados são escritas em uma linha, e a ordem de gravação não importa (ou seja, ou). Se os lados do ângulo são indicados por duas letras latinas grandes (por exemplo, um lado do ângulo OA e o segundo lado do ângulo OB), o ângulo é indicado da seguinte forma: após o sinal do ângulo, três letras são escritos que participam da designação dos lados do ângulo, e a letra correspondente ao vértice do ângulo, localizado no meio (no nosso caso, o ângulo será indicado como ou ). Se o vértice de um ângulo não for o vértice de algum outro ângulo, então tal ângulo pode ser denotado pela letra correspondente ao vértice do ângulo (por exemplo, ). Às vezes você pode ver que os cantos nos desenhos estão marcados com números (1, 2, etc.), esses cantos são indicados como e assim por diante. Para maior clareza, apresentamos uma figura na qual os cantos são mostrados e indicados.

Qualquer ângulo divide o plano em duas partes. Além disso, se o ângulo não é desenvolvido, então uma parte do plano é chamada área do canto interno, e o outro área de canto externa. A imagem a seguir explica qual parte do plano corresponde à parte interna do canto e qual parte à parte externa.

Qualquer uma das duas partes em que um ângulo achatado divide um plano pode ser considerada uma região interior do ângulo achatado.

A definição do interior de um ângulo nos leva à segunda definição de ângulo.

Definição.

Canto- esta é uma figura geométrica, que é composta por dois raios descasados ​​com origem comum e a região interna correspondente do ângulo.

Deve-se notar que a segunda definição do ângulo é mais estrita que a primeira, pois contém mais condições. No entanto, não se deve descartar a primeira definição do ângulo, nem considerar a primeira e a segunda definições do ângulo separadamente. Vamos explicar este ponto. Quando se trata de um ângulo como figura geométrica, então um ângulo é entendido como uma figura composta por dois raios com origem comum. Se for necessário realizar alguma ação com esse ângulo (por exemplo, medir um ângulo), então um ângulo já deve ser entendido como dois raios com uma origem comum e uma região interna (caso contrário, surgiria uma situação dupla devido a a presença de uma região interna e externa do ângulo ).

Vamos dar mais definições de ângulos adjacentes e verticais.

Definição.

Cantos adjacentes- são dois ângulos em que um lado é comum e os outros dois formam um ângulo reto.

Segue da definição que ângulos adjacentes se complementam até um ângulo reto.

Definição.

Ângulos verticais são dois ângulos em que os lados de um ângulo são extensões dos lados do outro.

A figura mostra ângulos verticais.

Obviamente, duas linhas que se cruzam formam quatro pares de ângulos adjacentes e dois pares de ângulos verticais.

Comparação de ângulos.

Neste parágrafo do artigo, trataremos das definições de ângulos iguais e desiguais, e também no caso de ângulos desiguais, explicaremos qual ângulo é considerado grande e qual é menor.

Lembre-se de que duas figuras geométricas são chamadas iguais se podem ser sobrepostas.

Sejam-nos dados dois ângulos. Vamos dar um raciocínio que nos ajude a responder à pergunta: “Esses dois ângulos são iguais ou não”?

Obviamente, sempre podemos combinar os vértices de dois vértices, assim como um lado do primeiro vértice com qualquer um dos lados do segundo vértice. Vamos combinar o lado do primeiro canto com o lado do segundo canto para que os lados restantes dos cantos fiquem do mesmo lado da linha reta na qual os lados combinados dos cantos estão. Então, se os outros dois lados dos cantos estiverem alinhados, os cantos serão chamados igual.

Se os outros dois lados dos ângulos não coincidem, então os ângulos são chamados desigual, e menor o ângulo é considerado parte de outro ( grandeé o ângulo que contém completamente outro ângulo).

Obviamente, os dois ângulos retos são iguais. Também é óbvio que um ângulo desenvolvido é maior do que qualquer ângulo não desenvolvido.

Medição de ângulo.

A medição do ângulo baseia-se na comparação do ângulo medido com o ângulo tomado como unidade de medida. O processo de medição de ângulos é assim: a partir de um dos lados do ângulo medido, sua área interna é preenchida sequencialmente com ângulos únicos, empilhando-os firmemente um ao outro. Ao mesmo tempo, o número de cantos empilhados é lembrado, o que fornece a medida do ângulo medido.

De fato, qualquer ângulo pode ser tomado como unidade de medida para ângulos. No entanto, existem muitas unidades geralmente aceitas para medir ângulos relacionados a vários campos da ciência e tecnologia, eles receberam nomes especiais.

Uma das unidades para medir ângulos é grau.

Definição.

um graué um ângulo igual a cento e oitenta de um ângulo reto.

Um grau é denotado pelo símbolo "", portanto, um grau é denotado como.

Assim, em um ângulo desenvolvido, podemos encaixar 180 ângulos em um grau. Parecerá metade de uma torta redonda cortada em 180 pedaços iguais. Muito importante: os "pedaços da torta" se encaixam bem (ou seja, os lados dos cantos estão alinhados), com o lado do primeiro canto alinhado com um lado do canto achatado e o lado do último canto da unidade coincidiu com o outro lado do canto achatado.

Ao medir ângulos, descobre-se quantas vezes um grau (ou outra unidade de medida de ângulos) cabe no ângulo medido até que a área interna do ângulo medido seja completamente coberta. Como já vimos, em um ângulo desenvolvido, o grau cabe exatamente 180 vezes. Abaixo estão exemplos de ângulos em que um ângulo de um grau se encaixa exatamente 30 vezes (tal ângulo é um sexto de um ângulo reto) e exatamente 90 vezes (meio ângulo reto).

Para medir ângulos inferiores a um grau (ou outra unidade de medida de ângulos) e nos casos em que o ângulo não pode ser medido por um número inteiro de graus (unidades de medida tomadas), você deve usar partes de um grau (partes de unidades de medida). Certas partes do grau receberam nomes especiais. Os mais comuns são os chamados minutos e segundos.

Definição.

Minutoé um sexagésimo de grau.

Definição.

Segundoé um sexagésimo de minuto.

Em outras palavras, há sessenta segundos em um minuto e sessenta minutos (3600 segundos) em um grau. O símbolo "" é usado para denotar minutos, e o símbolo "" é usado para denotar segundos (não confunda com os sinais da derivada e da segunda derivada). Então, com as definições e notações introduzidas, temos , e o ângulo no qual 17 graus 3 minutos e 59 segundos se encaixam pode ser denotado como .

Definição.

Medida em grau de um ângulo um número positivo é chamado, o que mostra quantas vezes um grau e suas partes se encaixam em um determinado ângulo.

Por exemplo, a medida em graus de um ângulo reto é cento e oitenta, e a medida em graus de um ângulo é .

Para medir ângulos, existem instrumentos de medição especiais, sendo o mais famoso o transferidor.

Se a designação do ângulo (por exemplo,) e sua medida de grau (seja 110) forem conhecidas, use uma notação curta da forma e diga: "O ângulo AOB é cento e dez graus."

Das definições do ângulo e da medida em grau do ângulo, segue-se que na geometria a medida do ângulo em graus é expressa por um número real do intervalo (0, 180] (em trigonometria, ângulos com um grau arbitrário medem são considerados, eles são chamados). Um ângulo de noventa graus tem um nome especial, é chamado ângulo certo. Um ângulo menor que 90 graus é chamado ângulo agudo. Um ângulo maior que noventa graus é chamado ângulo obtuso. Assim, a medida de um ângulo agudo em graus é expressa por um número do intervalo (0, 90), a medida de um ângulo obtuso - por um número do intervalo (90, 180), um ângulo reto é igual a noventa graus. Aqui estão ilustrações de um ângulo agudo, um ângulo obtuso e um ângulo reto.

Do princípio de medir ângulos, segue-se que as medidas em graus de ângulos iguais são as mesmas, a medida em graus de um ângulo maior é maior que a medida em graus de um menor, e a medida em graus de um ângulo que consiste em vários ângulos é igual à soma das medidas em graus dos ângulos componentes. A figura abaixo mostra o ângulo AOB, que é formado pelos ângulos AOC, COD e DOB, enquanto .

Nesse caminho, a soma dos ângulos adjacentes é cento e oitenta graus, pois formam um ângulo reto.

Segue-se desta afirmação que . De fato, se os ângulos AOB e COD são verticais, então os ângulos AOB e BOC são adjacentes e os ângulos COD e BOC também são adjacentes, portanto, as igualdades e são válidas, das quais decorre a igualdade.

Junto com o grau, uma unidade conveniente para medir ângulos é chamada radiano. A medida radiano é amplamente utilizada em trigonometria. Vamos definir um radiano.

Definição.

Um ângulo radiano- isto é canto central, que corresponde ao comprimento do arco, igual ao comprimento do raio do círculo correspondente.

Vamos dar uma ilustração gráfica de um ângulo de um radiano. No desenho, o comprimento do raio OA (assim como o raio OB ) é igual ao comprimento do arco AB , portanto, por definição, o ângulo AOB é igual a um radiano.

A abreviatura "rad" é ​​usada para denotar radianos. Por exemplo, escrever 5 rad significa 5 radianos. No entanto, por escrito, a designação "rad" é ​​frequentemente omitida. Por exemplo, quando se escreve que o ângulo é igual a pi, significa pi rad.

Deve-se notar separadamente que o valor do ângulo, expresso em radianos, não depende do comprimento do raio do círculo. Isso se deve ao fato de que as figuras limitadas por um determinado ângulo e um arco de círculo centrado no vértice de um determinado ângulo são semelhantes entre si.

Medir ângulos em radianos pode ser feito da mesma forma que medir ângulos em graus: descubra quantas vezes um ângulo de um radiano (e suas partes) cabe em um determinado ângulo. E você pode calcular o comprimento do arco do ângulo central correspondente e depois dividi-lo pelo comprimento do raio.

Para as necessidades da prática, é útil saber como as medidas de graus e radianos se relacionam umas com as outras, já que uma boa parte deve ser realizada. Neste artigo, é estabelecida uma relação entre o grau e a medida em radianos de um ângulo, e são dados exemplos de conversão de graus para radianos e vice-versa.

Designação de cantos no desenho.

Nos desenhos, por conveniência e clareza, os cantos podem ser marcados com arcos, que geralmente são desenhados na região interna do canto de um lado do canto ao outro. Ângulos iguais são marcados com o mesmo número de arcos, ângulos desiguais com um número diferente de arcos. Os ângulos retos no desenho são indicados por um símbolo da forma "", que é representado na região interna do ângulo reto de um lado do canto ao outro.

Se o desenho tiver que marcar muitos ângulos diferentes (geralmente mais de três), ao designar os ângulos, além dos arcos comuns, é permitido usar arcos de algum tipo especial. Por exemplo, você pode representar arcos irregulares ou algo semelhante.

Deve-se notar que você não deve se empolgar com a designação de ângulos nos desenhos e não desordenar os desenhos. Recomendamos marcar apenas os ângulos que são necessários no processo de resolução ou prova.

Bibliografia.

• Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Poznyak E.G., Yudina I.I. Geometria. Grades 7 - 9: um livro para instituições de ensino.
• Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Kiseleva L.S., Poznyak E.G. Geometria. Livro didático para 10-11 anos do ensino médio.
• Pogorelov A.V., Geometria. Livro didático para as séries 7-11 de instituições de ensino.

- Vamos relembrar o tema das últimas lições anteriores. (Novas unidades de área)

Que novas unidades de área você aprendeu? (hectare, são)

Foi difícil ou fácil aprender novas unidades de área? Por quê?

Você conseguiu superar as dificuldades?

O que você acha, teremos sucesso no estudo do próximo novo tópico?

Vamos ver?

1. Ditado matemático.

- Diminuir 160 por 90.

- Aumente 490 por 50.

- Reduza 560 por 80 vezes.

- Aumente 70 por 9 vezes.

Quanto mais é 820 do que 290?

Quantas vezes 400 é menor que 3600?

- Encontre o número cuja sexta parte é igual a 102.

- Encontre um quarto de 68.

(70, 540, 7, 630, 530, 9, 612, 17)

Em que grupos essa série de números pode ser dividida? (Pelo número de dígitos, por uma multiplicidade de 2, por uma multiplicidade de 10, pela soma de dígitos, números para escrever números.)

As letras são colocadas no quadro sob os números recebidos.

70, 540, 7, 630, 530, 9, 612, 17

G R F A U N L I

Organize os números resultantes em ordem crescente e leia a palavra resultante. (FNIGURLA)

Isso faz sentido?

Risque 2 letras para formar um termo matemático. (FIGURA)

2. Trabalhar com formas geométricas.

Quais são as formas geométricas que você vê na imagem?

(Na imagem: ponto, linha reta, círculo, segmento, ângulo, raio, quadrilátero, polilinha)

Quais números podem ser continuados indefinidamente? ( Linha reta, feixe, ângulo lateral)

Se você desenhar um segmento de linha conectando o centro do círculo com um ponto nele, o que acontece? ( Raio)

Que coisas interessantes você sabe sobre o raio? (Todos os raios de um círculo são iguais. O raio é metade do diâmetro.)

Qual é a relação entre um polígono e uma polilinha? (Um polígono é uma polilinha fechada.)

Que outras formas geométricas planas você conhece? (triângulo, retângulo, quadrado, oval, etc.)

E as figuras do espaço? (Esfera, cubo, paralelepípedo, cilindro, cone, pirâmide.)

3. Trabalhando com um ângulo.

Quais são os lados de um ângulo? (Raios.)

Se você continuar os lados do ângulo, você obterá o mesmo ângulo ou um diferente? (O mesmo.)

Quais são os tipos de cantos? (Reto, afiado, sem corte.)

Mostre com lápis um modelo de um ângulo agudo, um ângulo obtuso.

Imagine que seus lápis são os ponteiros de um relógio. Coloque-os sobre a mesa de modo que mostrem 1h, 2h, 3h, 4h, 5h. O que acontece com o ângulo entre eles? (Aumenta.)

Então podemos dizer qual ângulo entre os ponteiros do relógio é maior e qual é menor? (Sim.)

4. Trabalho prático. Tarefa individual.

Cada aluno tem um modelo de ângulo agudo (amarelo), um modelo de ângulo obtuso (azul) nas tabelas. Modelo de ângulo agudo por área Muito de excede o modelo de ângulo obtuso.

Compare ângulos com sobreposição.

(Algumas pessoas colocam azul dentro de amarelo, com base na área. Outras com base na extensão dos lados e que os ângulos devem ser comparados com base na curva).

Situação do problema:

Por que, comparando os mesmos ângulos, obteve um resultado diferente?

Onde e por que surgiu a dificuldade?

Que tarefa você fez? (compare os ângulos)

Por que você não justificou suas posições? (Não sabemos comparar ângulos)

O que precisamos fazer - colocar na sua frente meta. (Precisamos construir um algoritmo de comparação de ângulos)

Formular tópico da lição. (Comparação de ângulos)

1. Diálogo líder.

(Os alunos escolhem um curso de ação e, em seguida, derivam um algoritmo com base nele)

De que maneira comparamos algo, por exemplo, dizemos - uma pessoa sabe mais que outra, ou mais número, fração, fração ...

(O menor deve estar contido no maior, fazer parte dele)

Então, como precisamos sobrepor os cantos? (Para que um canto faça parte do outro)

Por que o canto azul não pode ser colocado dentro do amarelo? (Os lados do canto são raios. Se você continuar, verá que o canto azul não está dentro do amarelo)

As crianças recebem um modelo de canto azul comparável em área ao amarelo.

Coloque os cantos azuis um em cima do outro e certifique-se de que sejam iguais.

2. Trabalhe em grupos.

Isso te dá uma ideia de como sobrepor os cantos azul e amarelo para descobrir qual é o maior?

Consultar em grupos.

(As crianças expressam suas versões. Se essas versões não estiverem corretas, então o professor ou uma das crianças as refuta. A maneira correta de impor é falada e o algoritmo é corrigido.)

3. Algoritmo.

1) Posicione os cantos de forma que um de seus lados coincida.

2) Se o outro coincidir, então os ângulos são iguais; se não, então menor é o ângulo cujo lado está dentro do outro.

4. Esquema de suporte.

5. Comparação da saída com o texto do livro didático. Página 1.

- Nossa conclusão correspondeu ao texto do livro didático?

Fale o algoritmo para comparar ângulos.

1. Compararem pares dois ângulos arbitrários, pronunciando o algoritmo.

2. Tarefa número 4 na página 2.

Compare os ângulos usando o esquema de suporte.

O que você pode dizer sobre o feixe OS? (Ele dividiu o canto em dois cantos)

O que você pode dizer sobre esses raios? (O ângulo AOC é menor que o ângulo COB)

1. Tarefa número 8 na página 2 (compare os ângulos dos olhos no livro didático) e desvende o nome do famoso governante do Egito Antigo - Quéops. Eles se lembram do que sabem sobre ele do curso do mundo ao seu redor.

É possível encontrar cantos na pirâmide de Quéops?

O que você aprendeu sobre cantos?

Situação problemática.

Você acha que tudo isso é conhecimento conhecido sobre ângulos ou não?

1. Introdução do conceito de "bissetriz" usando trabalho prático.

Dobre um dos cantos sobre a mesa ao meio. Expanda o canto.

O que você conseguiu? (Uma linha que divide um ângulo em dois ângulos iguais)

Como se chama essa linha em matemática? (Raio) Por quê?

Para um raio desenhado dentro de um ângulo de seu vértice, que bissecta o ângulo, existe um nome especial "bissetriz". (Na mesa)

2. Revisão do desenho no livro didático

Há uma rima engraçada, mas útil para lembrar um novo conceito:

“A bissetriz é tal... que contorna as esquinas e divide o ângulo.... (As crianças terminam a rima)

Como você cortou o canto ao meio? (Curvando-se)

Que novo conceito você aprendeu? (Bissetriz)

Como você explicaria a um colega de classe que faltou à aula o que é uma bissetriz?

1. Exemplos para encontrar uma parte de um número expresso como uma fração No. 10 p. 3.

(Eles decifram o nome do faraó, em cuja homenagem a primeira pirâmide foi construída - Djoser)

2. Resolver problemas compostos para encontrar uma parte de um número, expresso em fração ou porcentagem.

a) sobre o Faraó Tutmés No. 11 na página 3.

b) sobre um camelo, que é adaptado por muito tempo para ficar sem água e comida para se mover pelo deserto No. 12 (a) em st. 3.

Qual é o tema da aula?

Como os ângulos são comparados?

Como descobrir qual ângulo é maior e qual é menor?

Que novo conceito você aprendeu?

Como encontrar a bissetriz de um ângulo? Por quê?

Quem mais precisa de ajuda com o tópico da lição?

Conseguimos entender o novo tópico imediatamente? Por quê?

Que coisas novas você aprendeu ao resolver problemas?

Que conhecimento será útil para você na vida? Onde?

Trabalho de casa: 1) nível básico: repetir o algoritmo de comparação de ângulos, nº 5 - trabalho prático de divisão de um ângulo em partes e comparação de partes por flexão; Nº 12 (b) - um problema para frações;

2) nível avançado: nº 7 - obtenção de bissetrizes dos ângulos de um triângulo e de um retângulo por flexão.

§ 28. Comparação de ângulos por imposição - Livro didático de matemática 5º ano (Zubareva, Mordkovich)

Pequena descrição:

Diferentes formas geométricas podem ser comparadas entre si de várias maneiras. Uma dessas formas é a imposição de uma figura sobre outra. Assim como outras figuras, você pode comparar ângulos entre si quando necessário. Hoje você aprenderá sobre isso neste parágrafo do livro.
Uma maneira de comparar ângulos é a sobreposição. Ângulos que coincidem quando sobrepostos são chamados iguais. Se os ângulos não corresponderem, você poderá determinar facilmente qual dos ângulos será menor e qual será maior que o outro. Para comparar cantos usando sobreposição, você precisa anexar seus vértices uns aos outros. Em seguida, combine um lado de um canto com o lado do outro canto. Se ao mesmo tempo o segundo lado também coincidir, esses ângulos serão iguais. O método de sobreposição é a maneira gráfica mais fácil de determinar a igualdade de ângulos. Para usar este método, papel vegetal ou outros materiais translúcidos são adequados. Ou você pode usar um transferidor, medindo o valor de um canto e transferindo-o para o segundo canto. Escolha uma maneira conveniente para você resolver e representar vários problemas geométricos, pois no futuro esse conhecimento será útil na resolução de problemas com formas. Veja o parágrafo do livro didático sobre este tópico para entender melhor e lembrar do material!

§ 1º Comparação de ângulos

Nesta lição, aprenderemos a comparar e medir ângulos.

Lembre-se de que um ângulo é uma figura geométrica formada por dois raios (os lados do ângulo) saindo de um ponto (que é chamado de vértice do ângulo).

Vamos comparar dois ângulos com uma sobreposição e descobrir se os ângulos são iguais ou não.

Vamos pegar dois cantos.

Pinte um canto de azul e o outro de vermelho e sobreponha o canto vermelho no azul.

A figura mostra que o ângulo azul é maior que o vermelho, mas não sabemos em quanto. Para comparar ângulos, você precisa aprender a medi-los com precisão.

O ângulo é medido da mesma forma que qualquer outro valor.

Para fazer isso, escolha uma unidade de medida (medição) e descubra quantas vezes ela está contida no valor medido.

Vamos imaginar a seguinte situação: Seryozha, Petya e Kolya decidiram medir o ângulo, mas cada um decidiu fazer a medição sozinho.

O que aconteceu?

Descobriu-se que o mesmo ângulo para Seryozha é igual a três de suas medições, para Petya - para quatro medições e para Kolya - para seis medições.

Qual deles está certo?

Qual é realmente esse ângulo?

Em geometria, existe uma medida geralmente aceita e comum a todos - isso é 1/90 de um ângulo reto. Essa medida é chamada de grau e denotada: 1°.

Assim, um ângulo reto é 90° e um ângulo reto é 180°.

Qualquer ângulo agudo será menor que 90° e qualquer ângulo obtuso será maior que 90°.

Ao adicionar ângulos, suas medidas de grau são adicionadas e, ao subtrair, elas são subtraídas, por exemplo:

Também deve ser lembrado que a soma dos ângulos adjacentes é sempre 180°.

§ 2 Transferidor. Medição de ângulo

Vamos tentar resolver o problema usando nosso conhecimento.

Um ângulo OMR é dado - é uma linha reta, ou seja, 90°, duas vigas o dividiram em três ângulos.

Como você pode ver na imagem, um ângulo é de 18 graus e o outro é de 23 graus.

Precisamos calcular qual é o ângulo KMN?

Para encontrar o valor do ângulo KMN, é necessário subtrair as medidas em graus dos ângulos KMR e NMO da medida em graus do ângulo OMR:

∠KMN = ∠OMR - ∠KMR - ∠NMO = 90° - 18° - 23° = 49°

O ângulo KMN é de 49°.

Vamos resolver mais um problema.

Na figura, vemos que ∠KOS está implantado, o que significa que é igual a 180°.

∠KOV = 60° e ∠AOC = 60°.

Vamos encontrar o valor ∠BOA.

∠BOA = ∠KOS - ∠KOV - ∠AOC = 180° - 60° - 60° = 60°

∠BOA = 60°

Para medir um ângulo em graus, você precisa saber quantas vezes ele contém uma medida de 1°. Para medir ângulos em graus, é usada uma ferramenta especial - um transferidor.

O transferidor consiste em uma régua (escala retilínea) e um semicírculo (escala goniométrica), dividido em graus de 0 a 180. Em alguns modelos, por exemplo, um transferidor circular - de 0 a 360. A escala do transferidor está localizada em um semicírculo .

O centro deste semicírculo é marcado no transferidor com um traço, é chamado de centro do transferidor.

Vamos medir ∠MKT.

Para fazer isso, impomos um transferidor para que o centro do transferidor coincida com o ponto K, o início do feixe de TC, e o próprio feixe de TC passe pela origem da escala do transferidor. A medida em graus de um ângulo será mostrada por um traço na escala do transferidor através do qual passa o outro lado do ângulo.

Assim, ∠MKT é igual a 32°.

Com a ajuda de um transferidor, você pode não apenas medir, mas também construir ângulos.

Vamos construir um ângulo igual a 110°, um lado do qual é o raio OA.

Vamos desenhar um raio OA primeiro.

Em seguida, colocamos o transferidor em nosso raio para que o centro do transferidor coincida com o ponto O - o início do raio OA, e o próprio raio OA passa pela origem da escala do transferidor.

Vamos colocar o ponto B contra o traço da escala do transferidor com uma marca de 110° e desenhar um feixe de OB.

Obtemos ∠AOB contendo 110°.

Por conveniência, a leitura dos graus na escala do transferidor se dá em duas direções, e quando medimos ou construímos um ângulo, devemos sempre lembrar que um ângulo agudo é menor que 90°, e um obtuso é maior que 90°.

§ 3 Resumo da lição

Vamos resumir nossa lição:

1. Os ângulos são medidos com um transferidor.

2. Para medir o ângulo com um transferidor, você precisa:

Anexe o centro do transferidor ao topo do canto;

Posicione o transferidor de forma que um lado do ângulo passe pela origem do transferidor divisão da escala 0;

veja por qual divisão desta escala passará o outro lado do canto;

Ao medir, lembre-se de que um ângulo agudo é menor que 90° e um ângulo obtuso é maior que 90°.

3. Para construir um ângulo de um determinado tamanho, você precisa:

segure uma viga

· coloque um transferidor neste feixe para que o centro do transferidor coincida com o início do feixe, e o próprio feixe passe pela origem do transferidor divisão da escala 0;

· coloque um ponto contra o traço da escala do transferidor com uma marca do valor que precisamos e desenhe o segundo raio através deste ponto desde o início do raio original.

4. Um ângulo reto é 90°, um ângulo agudo é menor que 90°, um ângulo obtuso é maior que 90°, um ângulo reto é 180°.

5. Ao adicionar ângulos, suas medidas de grau são adicionadas e, ao subtrair, elas são subtraídas.

6. A soma dos ângulos adjacentes é sempre 180°.

Lista de literatura usada:

1. Peterson L. G. Matemáticas. 4 ª série. Parte 1. / L. G. Peterson. – M.: Yuventa, 2014. – 96 p.: il.
2. Matemáticas. 4 ª série. Recomendações metodológicas para o livro didático de matemática "Aprender a aprender" para o 4º ano. / L. G. Peterson. – M.: Yuventa, 2014. – 280 p.: il.
3. Zak S. M. Todas as tarefas do livro de matemática para a 4ª série L.G. Peterson e um conjunto de obras independentes e de controle. GEF. – M.: UNVES, 2014.

Classe: 3

Sujeito: matemática (programa de desenvolvimento de L.V. Zankov)

Tema: Tipos de ângulos e sua comparação.

Tipo de lição: descoberta de novos conhecimentos

Metas:

Tutoriais: Abra maneiras de comparar ângulos.

Em desenvolvimento:Desenvolva a atenção, o pensamento abstrato, a observação, a capacidade de comparar, analisar independentemente, tirar conclusões.

Educadores:Cultivar nos alunos o interesse pela matemática, habilidades de comunicação cultural, uma personalidade ativa.

Tecnologia utilizada: RKCHP

UUD formado:

Regulatório: a capacidade de estabelecer um objetivo, uma tarefa de aprendizagem; realizar o controle de padrão.

Cognitivo: a capacidade de comparar e medir ângulos pelo método de olho e sobreposição; construir ângulos de um determinado valor usando ferramentas de medição; a capacidade de escolher as formas mais eficazes de resolver problemas; procura e destaca as informações necessárias para completar as tarefas educacionais; ações com meios signo-simbólicos (modelagem); lógico - comparação, identificação, generalização.

Comunicativo: planejamento e implementação da cooperação educacional com o professor e colegas; ser capaz de ouvir os outros, a capacidade de fazer perguntas de treinamento; posse de monólogos e formas dialógicas de fala;

Pessoal: avaliar as próprias atividades de aprendizagem de acordo com critérios definidos em conjunto com o professor.

Equipamento: computador, cartas com ângulos e o jogo "Você acredita que ...", tesoura dos alunos, palitos e massinha de modelar

Durante as aulas

Estágios

Atividade do professor

Atividades estudantis

Saudações

Ligar

Vamos verificar a prontidão. Eu te desejo sucesso.

Quero começar a lição de hoje com as palavras do filósofo francês Jean Jacques Rousseau: “Vocês são crianças talentosas! Algum dia você mesmo ficará agradavelmente surpreso com o quão inteligente você é, o quanto e o quão bem você sabe, se você trabalhar constantemente em si mesmo, estabelecer novos objetivos para alcançá-los ... ".

Desejo que você hoje na aula se convença das palavras de J. J. Rousseau.

Você está pronto para ir?

Então vá.

Aquecimento para a mente.

Se você resolver as expressões corretamente, poderá formular o tópico da lição. Cada resposta correta é seguida por uma letra. Se você organizar as respostas em ordem crescente, poderá ler o tópico da lição.

No slide: 8x6, 9x5, 18:2, 7x4, 30:5, 42:6, 72:9, 4x6, 5x7

e i w c r a n n

500-200 900-2 733+100 580-40 806-6

você v o g l

E agora eu convido você para jogar um jogo comigo "Você acredita nisso..."

1) a ciência que estuda os ângulos é chamada geometria;

2) os ângulos são obtusos, retos e agudos;

3) dois ângulos não podem ser comparados;

4) existem várias maneiras de comparar ângulos;

5) com a ajuda de cantos, figuras de animais podem ser modeladas;

6) não há ferramenta para comparação de ângulos;

7) a partir de três varetas, você pode traçar três ângulos ao mesmo tempo: reto, obtuso e agudo

8) um ​​ângulo agudo é maior que um obtuso

Em quais perguntas você definitivamente não tem dúvidas e acha que respondeu corretamente?

Por que você tem certeza de que as respostas estão corretas?

verifique a prontidão

Calcular verbalmente

Tópico: Comparação de ângulos

Responda às perguntas por conta própria

Pode responder em #1, 2, 6, 8

sabia, leu

Fazendo sentido

Quais perguntas você duvida?

Em seguida, formule, por favor, o propósito da lição.

(O objetivo está escrito no quadro).

Como vamos atingir o objetivo?

Eu ofereço a você a tarefa nº 148 página 80 do livro.

Completamos a tarefa sozinhos.

Verificamos de acordo com a amostra: (no slide)

3, 2, 7, 1, 4, 5, 8, 6,

Foi fácil comparar ângulos? Qual é a dificuldade?

Quem concorda, discorda?

Como eles foram comparados? Como?

Critério:

"5" - 0 erros, "4" - 1-2 erros, "3" - 3-4 erros.

Trabalho prático №1.

Completamos a tarefa 3) deste número, desenhamos em um caderno 2 cantos fáceis de comparar e 2 cantos difíceis de comparar. (1 pessoa - no conselho)

Verificação mútua

Verificamos, avaliamos a capacidade de desenhar ângulos para comparação visual.

E agora, para confirmar ou refutar outras afirmações do jogo "Você acredita que ...", sugiro que você se familiarize com algumas informações nas quais, se você ler com atenção, poderá encontrar respostas para perguntas.

Ao ler, sugiro usar o " Inserir" para a conveniência de capturar informações. (+ sabia, ! - novo, ? não entendia)

Texto para o trabalho:

Então o que você já sabia?

E que informações novas e interessantes sobre o tópico da lição você aprendeu agora?

Na tarefa nº 148, comparamos os ângulos de que maneira?

Que outra maneira de comparar ângulos você aprendeu?

Trabalho prático №2.

Proponho comparar os dois ângulos dessa maneira.

Cada criança recebe uma folha com dois cantos:

Um algoritmo para comparar ângulos com a ajuda de uma sobreposição é compilado preliminarmente junto com as crianças:

Para comparar ângulos, você precisa: Algoritmo:

1) corte de canto nº 1; 2) combine os topos dos cantos e um dos lados dos cantos; 3) no segundo lado do ângulo, determine qual ângulo é maior (menor).

As crianças cortam um dos cantos e colocam no outro de acordo com o algoritmo.

Como os ângulos são comparados agora?

A matemática é uma ciência exata. Qual forma você acha que é mais precisa?

Minuto de Educação Física

E agora vou voltar à questão número 7 do jogo e completar esta tarefa para verificá-la. Vamos modelar os cantos com plasticina e palitos.

Vamos verificar a amostra no slide ou no quadro.

Estimar (a capacidade de modelar cantos).

Recentemente, em uma aula de matemática, eles desenharam ângulos diferentes. Sugiro que você resolva o problema associado a esta tarefa. Deslizar

Uma tarefa. Yulia no desenho resultou em 7 ângulos obtusos, 1 reto e 11 agudos, e Vali 5 ângulos obtusos, 2 retos e 14 agudos. Quem tem mais ângulos e por quantos?

Qual dos métodos conhecidos de escrita concisa é mais conveniente para escrevê-lo? (tabela).

Vamos fazer uma mesa e resolver o problema nós mesmos.

Exame. Avaliação da capacidade de resolver problemas.

Objetivo: -Comparar ângulos, -encontrar maneiras de comparar ângulos

Concluindo tarefas

Verifique em uma amostra

Aproximadamente

Trabalhe com a folha de avaliação

Desenhe ângulos em um notebook para comparação de olhos

Avalie o trabalho de um vizinho

Leia o texto, marque com ícones

Declarações das crianças

Transferidor, 2 maneiras de comparar ângulos, graus, geometria

aproximadamente

sobreposição

Juntamente com o professor, componha um algoritmo de comparação

Cortar, impor, tirar uma conclusão

sobreposições

Cantos de modelo com palitos e plasticina

Apreciar

Leia a tarefa

Desenhe no quadro e em um caderno

Verifique em relação ao padrão

Reflexão

Voltemos ao jogo "Você acredita nisso...".

Para quais perguntas não encontramos respostas durante a aula?

Vamos voltar ao objetivo estabelecido no início da lição.

Você conseguiu? Por quê? O que foi difícil? Todas as perguntas foram respondidas?

Vamos dar uma olhada na folha de avaliação. Quais habilidades você desenvolveu em sala de aula?

Onde eles podem ser úteis na vida?

Trabalho de casa (escolha do aluno):

1) Palavras cruzadas sobre o tema da lição

2) Desenhe o animal nas folhas, usando apenas os cantos.

3) Complete as tarefas do livro didático p.80 nº 149, nº 150 (1)

Palavras cruzadas:

Horizontalmente: 1. Dois feixes que emanam de um ponto formam ... .. 2. Um dispositivo para medir ângulos é chamado ... .. . Verticalmente: 1. O ponto que liga os dois raios do ângulo é chamado .... 2. A maneira mais precisa de comparar ângulos. 3. Um ângulo maior que um reto é chamado de ....

Complete a terceira coluna da tabela.

Não encontrei a resposta para a pergunta número 5

Responda.

Coloque uma nota média para a lição.

Corte, construa, faça artesanato

Formulários

Texto para o trabalho:

A forma dos objetos e suas dimensões são estudadas pela geometria - parte da grande ciência da matemática. O principal conceito de geometria é uma figura. As figuras têm nome próprio: bola, raio, linha, ponto, segmento, ângulo, triângulo....

Dois raios que emanam do mesmo ponto de partida formam um ângulo. Os raios que formam um ângulo são chamados de lados do ângulo, e seu ponto de partida é chamado de vértice do ângulo. Os ângulos são diferentes: obtusos, retos, agudos e desdobrados. O ângulo pode ser comparado e medido. Há muitas maneiras de comparar ângulos. Você pode comparar a olho (aproximadamente), ou sobrepondo cantos uns aos outros. Meça os ângulos com um dispositivo especial - um transferidor. O transferidor mostra o ângulo em graus.

Folha de avaliação

marca

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Resultado:

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