Aula 6

matrizes

6.1. Conceitos Básicos

Definição 1.Uma matriz é uma tabela retangular de números.

Parênteses ou linhas verticais duplas são usados ​​para denotar uma matriz:

Os números que compõem uma matriz são chamados de elementos, elemento matrizes localizado nela -ésima linha e -ésima coluna.

Números e (o número de linhas e colunas de uma matriz) são chamados de suas ordens.

Eles também dizem que - tamanho da matriz
.

Se um
, matriz chamado quadrado.

Para notação curta, a notação também é usada
(ou
) e, em seguida, é indicado em que medida e , por exemplo,
,
,
. (A entrada é assim: matriz com elementos ,mudanças de antes da ,- a partir de antes da .)

Entre as matrizes quadradas, notamos matrizes diagonais, para o qual todos os elementos com índices desiguais (
) são iguais a zero:

.

Diremos que os elementos
localizado na diagonal principal.

Matriz de Vista Diagonal

chamado solteiro matriz.

No que segue, haverá matrizes da forma

e
,

que são chamados triangular matrizes, bem como matrizes que consistem em uma coluna:

e uma linha:

(coluna-matriz e linha-matriz).

Uma matriz na qual todos os elementos são iguais a zero é chamada nulo.

6.2. Determinantes do pedido n

Seja uma matriz quadrada de ordem :

. (6.1)

Vamos criar todos os tipos de coisas elementos da matriz localizados em diferentes linhas e colunas diferentes, ou seja, produtos da forma

. (6.2)

O número de produtos da forma (6.2) é (aceitamos este fato sem provas).

Vamos considerar todos esses produtos como membros do determinante da ordem correspondente à matriz (6.1).

Os segundos índices dos fatores em (6.2) constituem uma permutação do primeiro números naturais
.

Eles dizem os números e em uma permutação são inversão, E se
, e na permutação localizado antes .

Exemplo 1 Em uma permutação de seis números,
, números e ,e ,e ,e ,e constituem inversões.

A permutação é chamada até, se o número de inversões nele for par, e ímpar se o número de inversões nele for ímpar.

Exemplo 2 permutação
- ímpar e permutação
- até ( inversões).

Definição 2.Determinante da ordem ,correspondente à matriz(6.1), é chamado de soma algébrica membros,composto da seguinte forma:os termos do determinante são todos os produtos possíveis elementos da matriz,tirado um de cada linha e cada coluna,onde o termo é tomado com o sinal"+",se o conjunto dos segundos índices é uma permutação par de números
,e com sinal"–",se estranho.

O determinante da matriz (6.1) é indicado como segue:

.

Comente. Definição 2 para
e
leva aos já familiares determinantes de 2ª e 3ª ordem:

,

transposição em torno da diagonal principal da matriz é chamado de transição para a matriz
, para o qual as linhas da matriz são colunas e colunas são linhas:

.

Diremos que o determinante
obtido pela transposição do determinante .

Propriedades do determinante de ordem n:

1.
(o determinante não muda ao transpor em torno da diagonal principal).

2. Se uma das linhas do determinante consiste em zeros, o determinante é igual a zero.

3. Da permutação de duas strings, o determinante muda apenas o sinal.

4. O determinante contendo duas strings idênticas é igual a zero.

5. Se todos os elementos de alguma linha do determinante forem multiplicados por um número , o determinante é multiplicado por .

6. O determinante contendo duas linhas proporcionais é igual a zero.

7. Se todos os elementos -a linha do determinante é apresentada como uma soma
, então o determinante é igual à soma de dois determinantes para os quais todas as linhas, exceto -th, são os mesmos que no determinante original, e -th linha em um determinante consiste em , e no outro - de .

Definição 3.-th linha do determinante é chamada de combinação linear de suas linhas restantes,se tal,que ao multiplicar -ésima linha ligada ,e, em seguida, somando todas as linhas,Além do mais º,Nós temos -ésima linha.

8. Se uma das linhas do determinante for uma combinação linear do resto de suas linhas, o determinante é igual a zero.

9. O determinante não muda se os elementos de uma de suas linhas forem somados aos elementos correspondentes de outra, multiplicados pelo mesmo número.

Comente. Formulamos as propriedades do determinante para strings. Devido à propriedade 1 (
) eles também são válidos para colunas.

Todas as propriedades acima foram comprovadas em aulas práticas para
; para arbitrário aceitá-los sem provas.

Se no determinante ordem selecionar elemento e risque a coluna e a linha na interseção da qual está localizada , as linhas e colunas restantes formam o determinante da ordem
, que é chamado menor determinante correspondente ao elemento .

Exemplo 3 No determinante

elemento menor
é o determinante
.

Definição 4.Adição algébrica elemento determinante chamou seu menor,multiplicado por
,Onde - número da linha, - número da coluna,em que o elemento selecionado está localizado .

Exemplo 4 No determinante

adição algébrica
.

Teorema 1 (sobre expansão de cordas).O determinante é igual à soma dos produtos de todos os elementos de qualquer linha e seus complementos algébricos.

O Teorema 1 permite reduzir o cálculo do determinante de ordem para o cálculo determinantes de ordem
.

Exemplo 5. Calcule o determinante de quarta ordem:

.

Vamos usar o Teorema 1 e expandir o determinante na 4ª linha:

Comente. Pode-se primeiro simplificar o determinante usando a propriedade 9 e depois usar o Teorema 1. Em seguida, o cálculo do determinante da ordem reduz ao cálculo apenas um determinante de ordem
.

Exemplo 6 Calcular

.

Vamos adicionar a primeira coluna à segunda e a primeira coluna multiplicada por (
), para o terceiro, como resultado temos

.

Agora aplicamos o Teorema 1 e expandimos na última linha:

,

o cálculo do determinante de 4ª ordem foi reduzido ao cálculo de apenas um determinante de 3ª ordem.

,

o cálculo do determinante de terceira ordem foi reduzido ao cálculo de apenas um determinante de segunda ordem.

Exemplo 7 Calcular determinante de ordem :

.

Adicionamos a primeira linha à segunda, terceira e assim por diante. -ésima linha. Venha para o determinante

.

Obtém-se um determinante triangular.

Aplicável
vezes o Teorema 1 (expandir na primeira coluna) e obter

.

Comente. O determinante triangular é igual ao produto dos elementos da diagonal principal.

6.3. Operações básicas em matrizes

Definição 5.Duas matrizes
,
,
,e
,
,
,será chamado igual se
.

Breve entrada:
.

Assim, duas matrizes são consideradas iguais se tiverem as mesmas ordens e seus elementos correspondentes forem iguais.

Definição 6.A soma de duas matrizes
,
,
,e
,
,
,tal matriz é chamada
,
,
,o que
.

Em outras palavras, somente matrizes de mesma ordem podem ser somadas, e a adição é feita elemento a elemento.

Exemplo 8 Encontrar a soma das matrizes

e
.

De acordo com a Definição 6, encontramos

.

A regra de adição de matriz se aplica à soma de qualquer número finito de termos.

Definição 7.Produto de matriz
,
,
,para um número real tal matriz é chamada
,
,
,para qual
.

Em outras palavras, para multiplicar uma matriz por um número, você precisa multiplicar todos os seus elementos por esse número e deixar os produtos resultantes em seus lugares originais.

Exemplo 9 Encontrar combinação linear
matrizes

e
.

Usando a Definição 7, obtemos

,
,

.

Propriedades das Operações de Adição de Matrizes

e multiplicação por um número:

1. A adição é comutativa:
.

2. A adição é associativa:.

3. Existe uma matriz zero
, satisfazendo a condição
para todos MAS.

4. Para qualquer matriz MAS existe uma matriz oposta NO, satisfazendo a condição
.

Para qualquer matriz MAS e NO e quaisquer números reais
igualdades ocorrem:

5.
.

6.
.

7.
.

8.
.

Verifique a propriedade 1. Denote
,
. Deixar
,

,
. Nós temos

e como a igualdade é provada para um elemento arbitrário, de acordo com a Definição 5
. A propriedade 1 está provada.

A propriedade 2 é provada de forma análoga.

Como uma matriz pegue a matriz de pedidos
, todos os elementos são iguais a zero.

Tendo dobrado com qualquer matriz de acordo com a regra dada na Definição 6, temos a matriz não mudam e a propriedade 3 é verdadeira.

Vamos verificar a propriedade 4. Seja
. Vamos colocar
. Então
, portanto, a propriedade 4 é verdadeira.

Omitimos a verificação das propriedades 5 - 8.

Definição 8.Produto de matriz
,
,
,para matriz
,
,
,chamada matriz
,
,
,com elementos
.

Breve entrada:
.

Exemplo 10 Encontrar produto de matrizes

e
.

De acordo com a Definição 8, encontramos

Exemplo 11. Multiplicar matrizes

e
.

Observação 1. Número de elementos em uma linha da matriz é igual ao número de elementos na coluna da matriz (número de colunas da matriz é igual ao número de linhas da matriz ).

Observação 2. Na matriz
tantas linhas quantas na matriz , e há tantas colunas quanto em .

Observação 3. De um modo geral,
(a multiplicação de matrizes é não comutativa).

Para justificar a Observação 3, basta dar pelo menos um exemplo.

Exemplo 12. Multiplicar na ordem inversa das matrizes e do exemplo 10.

então em geral
.

Observe que em um caso particular a igualdade
Pode ser.

matrizes e , para a qual a igualdade
, são chamados permutação, ou pendulares.

Exercícios.

1. Encontre todas as matrizes que comutam com a dada:

a)
; b)
.

2. Encontre todas as matrizes de segunda ordem, cujos quadrados são iguais à matriz zero.

3. Prove que
.

Propriedades de multiplicação de matrizes:

A multiplicação é distributiva.

A segunda ordem é um número igual à diferença entre o produto dos números que formam a diagonal principal e o produto dos números da diagonal secundária, você pode encontrar as seguintes designações do determinante: ; ; ; detA(determinante).

.

Exemplo:
.

O determinante de uma matriz de terceira ordem um número ou uma expressão matemática é chamado, calculado de acordo com a seguinte regra

A maneira mais simples de calcular o determinante de terceira ordem é adicionar o determinante das duas primeiras linhas a partir de baixo.

Na tabela de números formada, os elementos na diagonal principal e nas diagonais paralelas à principal são multiplicados, o sinal do resultado do produto não muda. A próxima etapa dos cálculos é uma multiplicação semelhante de elementos na diagonal secundária e naqueles paralelos a ela. Os sinais dos resultados do produto estão invertidos. Em seguida, adicione os seis termos resultantes.

Exemplo:

Decomposição do determinante pelos elementos de alguma linha (coluna).

Menor M ij elemento e ij matriz quadrada MAS chamado de determinante, composto pelos elementos da matriz MAS, permanecendo após a exclusão eu- oh linha e j-ésima coluna.

Por exemplo, um menor para um elemento um 21 matrizes de terceira ordem
haverá um determinante
.

Diremos que o elemento e ij ocupa uma posição par se i+j(a soma dos números de linha e coluna na interseção da qual esse elemento está localizado) - um número par, um lugar ímpar, se i+j- número ímpar.

Adição algébrica E ij elemento e ij matriz quadrada MAS expressão chamada (ou o valor do menor correspondente, tomado com o sinal “+” se o elemento da matriz ocupa uma posição par, e com o sinal “-” se o elemento ocupa uma posição ímpar).

Exemplo:

um 23= 4;

- complemento algébrico de um elemento um 22= 1.

Teorema de Laplace. O determinante é igual à soma dos produtos dos elementos de alguma linha (coluna) e suas adições algébricas correspondentes.

Vamos ilustrar com o exemplo de um determinante de terceira ordem. Você pode calcular o determinante de terceira ordem expandindo na primeira linha da seguinte forma

Da mesma forma, você pode calcular o determinante de terceira ordem expandindo sobre qualquer linha ou coluna. É conveniente expandir o determinante ao longo da linha (ou coluna) que contém mais zeros.

Exemplo:

Assim, o cálculo do determinante de 3ª ordem é reduzido ao cálculo de 3 determinantes de 2ª ordem. No caso geral, pode-se calcular o determinante de uma matriz quadrada n-ª ordem, reduzindo-a ao cálculo n determinantes ( n-1)ª ordem

Comente. Não existem maneiras simples de calcular determinantes de ordem superior, semelhantes aos métodos para calcular determinantes de 2ª e 3ª ordem. Portanto, apenas o método de decomposição pode ser usado para calcular determinantes acima da terceira ordem.

Exemplo. Calcule o determinante de quarta ordem.

Expanda o determinante pelos elementos da terceira linha

Propriedades dos determinantes:

1. O determinante não mudará se suas linhas forem substituídas por colunas e vice-versa.

2. Ao permutar duas linhas adjacentes (colunas), o determinante muda de sinal para o oposto.

3. O determinante com duas linhas idênticas (colunas) é 0.

4. O fator comum de todos os elementos de alguma linha (coluna) do determinante pode ser retirado do sinal do determinante.

5. O determinante não mudará se os elementos correspondentes de qualquer outra coluna (linha) multiplicados por um determinado número forem adicionados aos elementos de uma de suas colunas (linhas).

Determinantes da quarta e ordens superioresé possível calcular de acordo com esquemas simplificados, que consistem em expandir por elementos de linhas ou colunas ou reduzir a uma forma triangular. Ambos os métodos serão discutidos para maior clareza. Matrizes de 4ª ordem.

Método de decomposição de linha ou coluna

Consideraremos o primeiro exemplo com explicações detalhadas de todas as ações intermediárias.

Exemplo 1 Calcule o determinante pelo método da expansão.

Solução. Para simplificar os cálculos, expandimos o determinante de quarta ordem em termos dos elementos da primeira linha (contém um elemento zero). Eles são formados pela multiplicação de elementos por suas adições correspondentes (as exclusões de linhas e colunas são formadas na interseção do elemento para o qual são calculadas - destacadas em vermelho)

Como resultado, os cálculos serão reduzidos a encontrar três determinantes de terceira ordem, que encontramos pela regra dos triângulos

Os valores encontrados são substituídos no determinante de saída

O resultado é fácil de verificar com uma calculadora de matrizes YukhymCALC. Para fazer isso, selecione o item Matrix-Matrix Determinant na calculadora, defina o tamanho da matriz para 4 * 4.

Os resultados são os mesmos, então os cálculos estão corretos.

Exemplo 2 Calcule o determinante de uma matriz de quarta ordem.

Como na tarefa anterior, realizaremos cálculos pelo método de decomposição. Para fazer isso, selecione os elementos da primeira coluna. Simplificado, o determinante pode ser dado pela soma de quatro determinantes de terceira ordem na forma

Os cálculos não são muito complicados, o principal é não confundir com sinais e triângulos. Substituímos os valores encontrados no determinante principal e resumimos

É igual à soma dos produtos dos elementos de alguma linha ou coluna e seus complementos algébricos, ou seja, , onde i 0 é fixo.
A expressão (*) é chamada de decomposição do determinante D em termos dos elementos da linha com o número i 0 .

Atribuição de serviço. Este serviço destina-se a encontrar o determinante da matriz online com o desenho de todo o percurso da solução em formato Word. Além disso, um modelo de solução é criado no Excel.

Instrução. Selecione a dimensão da matriz, clique em Avançar.

Dimensão da matriz 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Existem duas maneiras de calcular o determinante: por definição e decomposição por linha ou coluna. Se você deseja encontrar o determinante criando zeros em uma das linhas ou colunas, pode usar esta calculadora.

Algoritmo para encontrar o determinante

1. Para matrizes de ordem n=2, o determinante é calculado pela fórmula: Δ=a 11 *a 22 -a 12 *a 21
2. Para matrizes de ordem n=3, o determinante é calculado através de adições algébricas ou Método Sarrus.
3. Uma matriz com dimensão maior que três é decomposta em adições algébricas, para as quais são calculados seus determinantes (menores). Por exemplo, Determinante da matriz de 4ª ordemé encontrado através da expansão em linhas ou colunas (veja o exemplo).

Para calcular o determinante contendo funções na matriz, são usados ​​métodos padrão. Por exemplo, calcule o determinante de uma matriz de 3ª ordem:

Vamos usar a primeira expansão de linha.
Δ = sen(x)× + 1× = 2sen(x)cos(x)-2cos(x) = sen(2x)-2cos(x)

Métodos para calcular determinantes

Encontrando o determinante através de adições algébricasé um método comum. Sua versão simplificada é o cálculo do determinante pela regra de Sarrus. No entanto, com uma grande dimensão de matriz, os seguintes métodos são usados:

1. cálculo do determinante por redução de ordem
2. cálculo do determinante pelo método gaussiano (reduzindo a matriz a uma forma triangular).

No Excel, para calcular o determinante, é utilizada a função = MOPRED (intervalo de células).

Uso aplicado de determinantes

Os determinantes são calculados, via de regra, para um sistema específico, dado na forma de uma matriz quadrada. Considere alguns tipos de tarefas em encontrando o determinante da matriz. Às vezes é necessário encontrar um parâmetro desconhecido a para o qual o determinante seria igual a zero. Para fazer isso, é necessário elaborar uma equação para o determinante (por exemplo, de acordo com regra do triângulo) e, igualando-o a 0 , calcule o parâmetro a .
decomposição por colunas (pela primeira coluna):
Menor para (1,1): Exclua a primeira linha e a primeira coluna da matriz.
Vamos encontrar o determinante para este menor. ∆ 1,1 \u003d (2 (-2) -2 1) \u003d -6.

Vamos determinar o menor para (2,1): para fazer isso, excluímos a segunda linha e a primeira coluna da matriz.

Vamos encontrar o determinante para este menor. ∆ 2,1 = (0 (-2)-2 (-2)) = 4 . Menor para (3,1): Exclua a 3ª linha e a 1ª coluna da matriz.
Vamos encontrar o determinante para este menor. ∆ 3,1 = (0 1-2 (-2)) = 4
O principal determinante é: ∆ = (1 (-6)-3 4+1 4) = -14

Vamos encontrar o determinante usando expansão por linhas (pela primeira linha):
Menor para (1,1): Exclua a primeira linha e a primeira coluna da matriz.

Vamos encontrar o determinante para este menor. ∆ 1,1 \u003d (2 (-2) -2 1) \u003d -6. Menor para (1,2): Exclua a 1ª linha e a 2ª coluna da matriz. Vamos calcular o determinante para este menor. ∆ 1,2 \u003d (3 (-2) -1 1) \u003d -7. E para encontrar o menor para (1,3) excluímos a primeira linha e a terceira coluna da matriz. Vamos encontrar o determinante para este menor. ∆ 1,3 = (3 2-1 2) = 4
Encontramos o principal determinante: ∆ \u003d (1 (-6) -0 (-7) + (-2 4)) \u003d -14

O conceito de determinante é um dos principais no curso da álgebra linear. Este conceito é inerente a SOMENTE MATRIZ QUADRADA, e este artigo é dedicado a este conceito. Aqui falaremos sobre determinantes de matrizes cujos elementos são números reais (ou complexos). Neste caso, o determinante é um número real (ou complexo). Todas as apresentações posteriores serão uma resposta às perguntas de como calcular o determinante e quais propriedades ele possui.

Primeiro, damos a definição do determinante de uma matriz quadrada de ordem n por n como a soma dos produtos das permutações dos elementos da matriz. Com base nessa definição, escrevemos fórmulas para calcular os determinantes de matrizes de primeira, segunda e terceira ordens e analisamos detalhadamente as soluções de vários exemplos.

Em seguida, nos voltamos para as propriedades do determinante, que formularemos na forma de teoremas sem demonstração. Aqui, um método de cálculo do determinante será obtido através de sua expansão sobre os elementos de uma linha ou coluna. Este método reduz o cálculo do determinante de uma matriz de ordem n por n ao cálculo dos determinantes de matrizes de ordem 3 por 3 ou menos. Certifique-se de mostrar soluções para vários exemplos.

Em conclusão, detenhamo-nos no cálculo do determinante pelo método de Gauss. Este método é bom para encontrar determinantes de matrizes de ordem maior que 3 por 3 porque requer menos esforço computacional. Analisaremos também a solução de exemplos.

Navegação da página.

Definição de determinante matricial, cálculo de determinante matricial por definição.

Recordamos vários conceitos auxiliares.

Definição.

Permutação da ordem né chamado de conjunto ordenado de números, consistindo de n elementos.

Para um conjunto contendo n elementos, existem n! (n fatorial) de permutações de ordem n. As permutações diferem umas das outras apenas na ordem dos elementos.

Por exemplo, considere um conjunto composto por três números: . Nós anotamos todas as permutações (há seis no total, já que ):

Definição.

Inversão em uma permutação de ordem n qualquer par de índices p e q é chamado, para o qual o p-ésimo elemento da permutação é maior que o q-ésimo.

No exemplo anterior, o inverso da permutação 4 , 9 , 7 é p=2 , q=3 , porque o segundo elemento da permutação é 9 e é maior que o terceiro elemento, que é 7 . O inverso da permutação 9 , 7 , 4 serão três pares: p=1 , q=2 (9>7 ); p=1, q=3 (9>4) ep=2, q=3 (7>4).

Estaremos mais interessados ​​no número de inversões em uma permutação, em vez da inversão em si.

Let Ser uma matriz quadrada de ordem n por n sobre o corpo de números reais (ou complexos). Let Ser o conjunto de todas as permutações de ordem n do conjunto . O conjunto contém n! permutações. Vamos denotar a k-ésima permutação do conjunto como , e o número de inversões na k-ésima permutação como .

Definição.

Determinante da matriz E existe um número igual a .

Vamos descrever esta fórmula em palavras. O determinante de uma matriz quadrada de ordem n por n é a soma contendo n! termos. Cada termo é um produto de n elementos da matriz, e cada produto contém um elemento de cada linha e de cada coluna da matriz A. Um coeficiente (-1) aparece antes do k-ésimo termo se os elementos da matriz A no produto forem ordenados por número de linha e o número de inversões na k-ésima permutação do conjunto de números de coluna for ímpar.

O determinante de uma matriz A é geralmente denotado como , e det(A) também é usado. Você também pode ouvir que o determinante é chamado de determinante.

Então, .

Isso mostra que o determinante da matriz de primeira ordem é o elemento dessa matriz.

Calculando o Determinante de uma Matriz Quadrada de Segunda Ordem - Fórmula e Exemplo.

cerca de 2 por 2 em geral.

Neste caso n=2 , portanto n!=2!=2 .

.

Nós temos

Assim, obtivemos uma fórmula para calcular o determinante de uma matriz de ordem 2 por 2, tem a forma .

Exemplo.

ordem.

Solução.

Em nosso exemplo. Aplicamos a fórmula resultante :

Cálculo do determinante de uma matriz quadrada de terceira ordem - fórmula e exemplo.

Vamos encontrar o determinante de uma matriz quadrada cerca de 3 por 3 em geral.

Neste caso n=3 , portanto n!=3!=6 .

Vamos organizar em forma de tabela os dados necessários para a aplicação da fórmula .

Nós temos

Assim, obtivemos uma fórmula para calcular o determinante de uma matriz de ordem 3 por 3, tem a forma

Da mesma forma, pode-se obter fórmulas para calcular os determinantes de matrizes de ordem 4 por 4, 5 por 5 e superiores. Eles parecerão muito volumosos.

Exemplo.

Calcular Determinante da Matriz Quadrada cerca de 3 por 3.

Solução.

Em nosso exemplo

Aplicamos a fórmula resultante para calcular o determinante de uma matriz de terceira ordem:

As fórmulas para calcular os determinantes de matrizes quadradas de segunda e terceira ordens são muito usadas, por isso recomendamos que você as lembre.

Propriedades de um determinante matricial, cálculo de um determinante matricial usando propriedades.

Com base na definição acima, as seguintes são verdadeiras. propriedades determinantes da matriz.

O determinante da matriz A é igual ao determinante da matriz transposta A T , ou seja, .

Exemplo.

Verifique se o determinante da matriz é igual ao determinante da matriz transposta.

Solução.

Vamos usar a fórmula para calcular o determinante de uma matriz de ordem 3 por 3:



Transpomos a matriz A:


Calcule o determinante da matriz transposta:



De fato, o determinante da matriz transposta é igual ao determinante da matriz original.

Se em uma matriz quadrada todos os elementos de pelo menos uma das linhas (uma das colunas) são zero, o determinante de tal matriz é igual a zero.

Exemplo.

Verifique se o determinante da matriz ordem 3 por 3 é zero.

Solução.




De fato, o determinante de uma matriz com coluna zero é zero.

Se você trocar quaisquer duas linhas (colunas) em uma matriz quadrada, o determinante da matriz resultante será oposto ao original (ou seja, o sinal mudará).

Exemplo.

Dadas duas matrizes quadradas de ordem 3 por 3 e . Mostre que seus determinantes são opostos.

Solução.

Matriz B é obtido da matriz A substituindo a terceira linha pela primeira e a primeira pela terceira. De acordo com a propriedade considerada, os determinantes de tais matrizes devem diferir em sinal. Vamos verificar isso calculando os determinantes usando uma fórmula bem conhecida.



Sério, .

Se pelo menos duas linhas (duas colunas) são iguais em uma matriz quadrada, então seu determinante é igual a zero.

Exemplo.

Mostre que o determinante da matriz igual a zero.

Solução.

Nesta matriz, a segunda e terceira colunas são iguais, portanto, de acordo com a propriedade considerada, seu determinante deve ser igual a zero. Vamos verificar.



De fato, o determinante de uma matriz com duas colunas idênticas é zero.

Se em uma matriz quadrada todos os elementos de qualquer linha (coluna) forem multiplicados por algum número k, então o determinante da matriz resultante será igual ao determinante da matriz original, multiplicado por k. Por exemplo,



Exemplo.

Prove que o determinante da matriz é igual a três vezes o determinante da matriz .

Solução.

Os elementos da primeira coluna da matriz B são obtidos dos elementos correspondentes da primeira coluna da matriz A multiplicando por 3. Então, em virtude da propriedade considerada, a igualdade deve valer. Vamos verificar isso calculando os determinantes das matrizes A e B.



Portanto, , o que deveria ser provado.

NOTA.

Não confunda ou confunda os conceitos de matriz e determinante! A propriedade considerada do determinante de uma matriz e a operação de multiplicar uma matriz por um número estão longe de ser a mesma coisa.
, mas .

Se todos os elementos de qualquer linha (coluna) de uma matriz quadrada são a soma de s termos (s é um número natural maior que um), então o determinante de tal matriz será igual à soma de s determinantes das matrizes obtidas do original, se como elementos da linha (coluna) sair um termo de cada vez. Por exemplo,


Exemplo.

Prove que o determinante de uma matriz é igual à soma dos determinantes das matrizes .

Solução.

Em nosso exemplo , portanto, devido à propriedade considerada do determinante da matriz, a igualdade . Verificamos calculando os determinantes correspondentes de matrizes de ordem 2 por 2 usando a fórmula .


Pelos resultados obtidos, pode-se ver que . Isso completa a prova.

Se adicionarmos os elementos correspondentes de outra linha (coluna) multiplicados por um número arbitrário k aos elementos de uma determinada linha (coluna) da matriz, o determinante da matriz resultante será igual ao determinante da matriz original.

Exemplo.

Certifique-se de que se os elementos da terceira coluna da matriz adicione os elementos correspondentes da segunda coluna desta matriz, multiplicado por (-2), e adicione os elementos correspondentes da primeira coluna da matriz, multiplicado por um número real arbitrário, então o determinante da matriz resultante será igual a o determinante da matriz original.

Solução.

Se partirmos da propriedade considerada do determinante, então o determinante da matriz obtido após todas as transformações indicadas no problema será igual ao determinante da matriz A.

Primeiro, calculamos o determinante da matriz original A:



Agora vamos realizar as transformações necessárias da matriz A.

Vamos adicionar aos elementos da terceira coluna da matriz os elementos correspondentes da segunda coluna da matriz, tendo-os previamente multiplicado por (-2) . Depois disso, a matriz ficará assim:


Aos elementos da terceira coluna da matriz resultante, somamos os elementos correspondentes da primeira coluna, multiplicados por:


Calcule o determinante da matriz resultante e certifique-se de que é igual ao determinante da matriz A, ou seja, -24:



O determinante de uma matriz quadrada é a soma dos produtos dos elementos de qualquer linha (coluna) por sua adições algébricas.



Aqui está o complemento algébrico do elemento da matriz , .

Esta propriedade permite calcular determinantes de matrizes de ordem superior a 3 por 3 reduzindo-os à soma de vários determinantes de matrizes de ordem um inferior. Em outras palavras, esta é uma fórmula recorrente para calcular o determinante de uma matriz quadrada de qualquer ordem. Recomendamos que você se lembre dele devido à sua aplicabilidade bastante frequente.

Vejamos alguns exemplos.

Exemplo.

ordem 4 por 4, expandindo-o

• por elementos da 3ª linha,
• pelos elementos da 2ª coluna.

Solução.

Usamos a fórmula para expandir o determinante pelos elementos da 3ª linha



Nós temos



Assim, o problema de encontrar o determinante de uma matriz de ordem 4 por 4 foi reduzido ao cálculo de três determinantes de matrizes de ordem 3 por 3:



Substituindo os valores obtidos, chegamos ao resultado:


Usamos a fórmula para expandir o determinante pelos elementos da 2ª coluna


e agimos da mesma forma.

Não descreveremos em detalhes o cálculo dos determinantes de matrizes de terceira ordem.



Exemplo.

Determinante da Matriz de Cálculo cerca de 4 por 4.

Solução.

Você pode decompor o determinante da matriz em elementos de qualquer coluna ou linha, mas é mais benéfico escolher a linha ou coluna que contém o maior número de elementos zero, pois isso ajudará a evitar cálculos desnecessários. Vamos expandir o determinante pelos elementos da primeira linha:



Calculamos os determinantes obtidos de matrizes de ordem 3 por 3 de acordo com a fórmula que conhecemos:



Substituímos os resultados e obtemos o valor desejado


Exemplo.

Determinante da Matriz de Cálculo cerca de 5 por 5.

Solução.

A quarta linha da matriz possui o maior número de elementos zero entre todas as linhas e colunas, por isso é aconselhável expandir o determinante da matriz precisamente pelos elementos da quarta linha, pois neste caso precisamos de menos cálculos.



Os determinantes obtidos de matrizes da ordem 4 por 4 foram encontrados nos exemplos anteriores, então usaremos os resultados prontos:



Exemplo.

Determinante da Matriz de Cálculo cerca de 7 por 7.

Solução.

Você não deve se apressar imediatamente para decompor o determinante pelos elementos de qualquer linha ou coluna. Se você observar atentamente a matriz, notará que os elementos da sexta linha da matriz podem ser obtidos multiplicando os elementos correspondentes da segunda linha por dois. Ou seja, se adicionarmos os elementos correspondentes da segunda linha multiplicados por (-2) aos elementos da sexta linha, o determinante não mudará devido à sétima propriedade, e a sexta linha da matriz resultante consistirá em zeros. O determinante de tal matriz é igual a zero pela segunda propriedade.

Responda:

Deve-se notar que a propriedade considerada permite calcular os determinantes de matrizes de qualquer ordem, no entanto, é necessário realizar muitas operações computacionais. Na maioria dos casos, é mais vantajoso encontrar o determinante de matrizes de ordem superior à terceira pelo método de Gauss, que consideraremos a seguir.

A soma dos produtos dos elementos de qualquer linha (coluna) de uma matriz quadrada e os complementos algébricos dos elementos correspondentes de outra linha (coluna) é igual a zero.


Exemplo.

Mostre que a soma dos produtos dos elementos da terceira coluna da matriz em complementos algébricos dos elementos correspondentes da primeira coluna é igual a zero.

Solução.




O determinante do produto de matrizes quadradas de mesma ordem é igual ao produto de seus determinantes, ou seja, , onde m é um número natural maior que um, A k , k=1,2,…,m são matrizes quadradas da mesma ordem.

Exemplo.

Certifique-se de que o determinante do produto de duas matrizes e é igual ao produto de seus determinantes.

Solução.

Vamos primeiro encontrar o produto dos determinantes das matrizes A e B:


Agora vamos realizar a multiplicação de matrizes e calcular o determinante da matriz resultante:



Nesse caminho, , que deveria ser mostrado.

Cálculo do determinante da matriz pelo método de Gauss.

Vamos descrever a essência deste método. Usando transformações elementares, a matriz A é reduzida a tal forma que todos os elementos da primeira coluna, exceto eles, tornam-se zero (isso sempre é possível se o determinante da matriz A for diferente de zero). Descreveremos esse procedimento um pouco mais tarde, mas agora explicaremos por que isso é feito. Os elementos zero são obtidos para obter a expansão mais simples do determinante sobre os elementos da primeira coluna. Após tal transformação da matriz A, levando em consideração a oitava propriedade e , obtemos

Onde - menor (n-1)-ésima ordem, obtido da matriz A excluindo os elementos de sua primeira linha e primeira coluna.

Com a matriz à qual corresponde o menor, é feito o mesmo procedimento para obtenção de elementos nulos na primeira coluna. E assim sucessivamente até o cálculo final do determinante.

Agora resta responder à pergunta: "Como obter elementos nulos na primeira coluna"?

Vamos descrever o algoritmo de ações.

Se , então os elementos da primeira linha da matriz são adicionados aos elementos correspondentes da k-ésima linha, na qual . (Se sem exceção todos os elementos da primeira coluna da matriz A são zero, então seu determinante é zero pela segunda propriedade e nenhum método gaussiano é necessário). Após essa transformação, o elemento "novo" será diferente de zero. O determinante da "nova" matriz será igual ao determinante da matriz original devido à sétima propriedade.

Agora temos uma matriz que tem . Quando aos elementos da segunda linha, somamos os elementos correspondentes da primeira linha, multiplicados por , aos elementos da terceira linha, os elementos correspondentes da primeira linha, multiplicados por . E assim por diante. Em conclusão, aos elementos da n-ésima linha, adicionamos os elementos correspondentes da primeira linha, multiplicados por . Assim, a matriz transformada A será obtida, todos os elementos da primeira coluna da qual, exceto , serão zero. O determinante da matriz resultante será igual ao determinante da matriz original devido à sétima propriedade.

Vamos analisar o método ao resolver um exemplo, para que fique mais claro.

Exemplo.

Calcular o determinante de uma matriz de ordem 5 por 5 .

Solução.

Vamos usar o método de Gauss. Vamos transformar a matriz A de modo que todos os elementos de sua primeira coluna, exceto , se tornem zero.

Como o elemento é inicialmente , adicionamos aos elementos da primeira linha da matriz os elementos correspondentes, por exemplo, a segunda linha, pois:

O sinal "~" significa equivalência.

Agora adicionamos aos elementos da segunda linha os elementos correspondentes da primeira linha, multiplicados por , aos elementos da terceira linha - os elementos correspondentes da primeira linha, multiplicados por , e prossiga da mesma forma até a sexta linha:

Nós temos

com matriz realizamos o mesmo procedimento para obter zero elementos na primeira coluna:

Consequentemente,

Agora realizamos transformações com a matriz :

Comente.

Em algum estágio da transformação da matriz pelo método de Gauss, pode surgir uma situação em que todos os elementos das últimas linhas da matriz se tornem zero. Isso vai falar sobre a igualdade do determinante a zero.

Resumir.

O determinante de uma matriz quadrada cujos elementos são números é um número. Consideramos três maneiras de calcular o determinante:

1. pela soma dos produtos das combinações dos elementos da matriz;
2. pela expansão do determinante pelos elementos da linha ou coluna da matriz;
3. o método de redução da matriz para a triangular superior (pelo método de Gauss).

Foram obtidas fórmulas para cálculo dos determinantes de matrizes de ordem 2 por 2 e 3 por 3 .

Analisamos as propriedades do determinante da matriz. Alguns deles permitem que você entenda rapidamente que o determinante é zero.

Ao calcular os determinantes de matrizes de ordem superior a 3 por 3, é aconselhável usar o método de Gauss: realizar transformações elementares da matriz e trazê-la para a triangular superior. O determinante de tal matriz é igual ao produto de todos os elementos na diagonal principal.