Equações com parâmetros: método de solução gráfica
8-9 graus
O artigo aborda um método gráfico para resolver algumas equações com parâmetros, que é muito eficaz quando você precisa estabelecer quantas raízes a equação possui dependendo do parâmetro uma.
Problema 1. Quantas raízes a equação tem | | x | – 2 | = uma dependendo do parâmetro uma?
Solução. No sistema de coordenadas (x; y), traçamos os gráficos das funções y = | | x | – 2 | e y= uma. Gráfico da função y = | | x | – 2 | mostrado na figura.
O gráfico da função y = a é uma linha reta paralela ao eixo Ox ou coincidindo com ele (por uma = 0).
Pode-se ver no desenho que:
Se um uma= 0, então a linha y = uma coincide com o eixo Ox e tem com o gráfico da função y = | | x | – 2 | dois pontos comuns; isso significa que a equação original tem duas raízes (neste caso, as raízes podem ser encontradas: x 1,2 \u003d q 2).
Se 0< uma < 2, то прямая y = a имеет с графиком функции y = | | x | – 2 | четыре общие точки и, следовательно, исходное уравнение имеет четыре корня.
Se um uma= 2, então a reta y = 2 tem três pontos em comum com o gráfico da função. Então a equação original tem três raízes.
Se um uma> 2, então a linha y = uma terá dois pontos com o gráfico da função original, ou seja, essa equação terá duas raízes.
E se uma < 0, то корней нет;
E se uma = 0, uma> 2, então duas raízes;
E se uma= 2, então três raízes;
se 0< uma < 2, то четыре корня.
Problema 2. Quantas raízes a equação tem | x 2 – 2| x | – 3 | = uma dependendo do parâmetro uma?
Solução. No sistema de coordenadas (x; y), traçamos os gráficos das funções y = | x 2 – 2| x | – 3 | e y= uma.
Gráfico da função y = | x 2 – 2| x | – 3 | mostrado na figura. O gráfico da função y = a é uma reta paralela a Ox ou coincidente com ela (quando uma = 0).
A partir do desenho você pode ver:
Se um uma= 0, então a linha y = uma coincide com o eixo Ox e tem com o gráfico da função y = | x2-2| x | – 3 | dois pontos comuns, bem como uma linha y = uma terá com a função gráfico y = | x 2 – 2| x | – 3 | dois pontos comuns uma> 4. Assim, para uma= 0 e uma> 4 a equação original tem duas raízes.
Se 0< uma < 3, то прямая y = uma tem com a função gráfico y = | x 2 – 2| x | – 3 | quatro pontos comuns, bem como uma linha y = uma terá quatro pontos comuns com o gráfico da função construída em uma= 4. Portanto, em 0< uma < 3, uma= 4 a equação original tem quatro raízes.
Se um uma= 3, então a linha y = uma intercepta o gráfico da função em cinco pontos; portanto, a equação tem cinco raízes.
Se 3< uma < 4, прямая y = a пересекает график построенной функции в шести точках; значит, при этих значениях параметра исходное уравнение имеет шесть корней.
Se um uma < 0, уравнение корней не имеет, так как прямая y = a не пересекает график функции y = | x 2 – 2| x | – 3 |.
E se uma < 0, то корней нет;
E se uma = 0, uma> 4, então duas raízes;
se 0< uma < 3, uma= 4, então quatro raízes;
E se uma= 3, então cinco raízes;
se 3< uma < 4, то шесть корней.
Problema 3. Quantas raízes a equação tem
dependendo do parâmetro uma?
Solução. Construímos no sistema de coordenadas (x; y) o gráfico da função 
mas primeiro vamos colocá-lo no formulário:
As linhas x = 1, y = 1 são as assíntotas do gráfico da função. Gráfico da função y = | x | + uma obtido a partir do gráfico da função y = | x | compensado por unidades ao longo do eixo Oy.
Gráficos de função 
se cruzam em um ponto em uma> – 1; portanto, a equação (1) para esses valores do parâmetro tem uma solução.
No uma = – 1, uma= – 2 gráficos se cruzam em dois pontos; portanto, para esses valores do parâmetro, a equação (1) tem duas raízes.
Em - 2< uma < – 1, uma < – 2 графики пересекаются в трех точках; значит, уравнение (1) при этих значениях параметра имеет три решения.
E se uma> – 1, então uma solução;
E se uma = – 1, uma= – 2, então duas soluções;
se - 2< uma < – 1, uma < – 1, то три решения.
Comente. Ao resolver a equação (1) do problema 3, atenção especial deve ser dada ao caso em que uma= - 2, pois o ponto (- 1; - 1) não pertence ao gráfico da função 
mas pertence ao gráfico da função y = | x | + uma.
Vamos para a resolução de outro problema.
Problema 4. Quantas raízes a equação tem
x + 2 = uma| x – 1 | (2)
dependendo do parâmetro uma?
Solução. Observe que x = 1 não é uma raiz desta equação, pois a igualdade 3 = uma 0 não pode ser verdadeiro para nenhum valor de parâmetro uma. Dividimos ambos os lados da equação por | x – 1 |(| x – 1 | No. 0), então a equação (2) terá a forma 
No sistema de coordenadas xOy, traçamos a função 
O gráfico desta função é mostrado na figura. Gráfico da função y = umaé uma linha reta paralela ao eixo Ox ou coincidindo com ele (por uma = 0).
E se uma J - 1, então não há raízes;
se - 1< umaЈ 1, então uma raiz;
E se uma> 1, então existem duas raízes.
Considere a equação mais complexa.
Tarefa 5. Para quais valores do parâmetro uma a equação
uma x 2 + | x – 1 | = 0 (3)
tem três soluções?
Solução. 1. O valor de controle do parâmetro para esta equação será o número uma= 0, na qual a equação (3) assume a forma 0 + | x – 1 | = 0, onde x = 1. Portanto, para uma= 0 a equação (3) tem uma raiz, que não satisfaz a condição do problema.
2. Considere o caso em que uma № 0.
Vamos reescrever a equação (3) da seguinte forma: uma x 2 = - | x – 1 |. Observe que a equação só terá soluções para uma < 0.
No sistema de coordenadas xOy, traçamos os gráficos das funções y = | x – 1 | e y= uma x2. Gráfico da função y = | x – 1 | mostrado na figura. Gráfico da função y = uma x 2 é uma parábola cujos ramos são direcionados para baixo, pois uma < 0. Вершина параболы - точка (0; 0).
A equação (3) terá três soluções somente quando a reta y = – x + 1 for tangente ao gráfico da função y= uma x2.
Seja x 0 a abcissa do ponto de contato com a reta y = - x + 1 com a parábola y = uma x2. A equação tangente tem a forma
y \u003d y (x 0) + y "(x 0) (x - x 0).
Vamos anotar as condições de toque:
Essa equação pode ser resolvida sem usar o conceito de derivada.
Vamos considerar outra maneira. Usamos o fato de que se a reta y = kx + b tem um único ponto comum com a parábola y = uma x 2 + px + q, então a equação uma x 2 + px + q = kx + b deve ter uma solução única, ou seja, seu discriminante é zero. No nosso caso, temos a equação uma x 2 \u003d - x + 1 ( uma Nº 0). Equação discriminante
Tarefas para solução independente
6. Quantas raízes a equação tem dependendo do parâmetro uma?
1)| | x | – 3 | = uma;
2)| x + 1 | + | x + 2 | = uma;
3)| x 2 – 4| x | + 3 | = uma;
4)| x 2 – 6| x | + 5 | = uma.
1) se uma<0, то корней нет; если uma=0, uma>3, então duas raízes; E se uma=3, então três raízes; se 0<uma<3, то четыре корня;
2) se uma<1, то корней нет; если uma=1, então um conjunto infinito de soluções do segmento [– 2; - 1]; E se uma> 1, então duas soluções;
3) se uma<0, то корней нет; если uma=0, uma<3, то четыре корня; если 0<uma<1, то восемь корней; если uma=1, então seis raízes; E se uma=3, então três soluções; E se uma>3, então duas soluções;
4) se uma<0, то корней нет; если uma=0, 4<uma<5, то четыре корня; если 0<uma< 4, то восемь корней; если uma=4, então seis raízes; E se uma=5, então três raízes; E se uma>5, então duas raízes.
7. Quantas raízes tem a equação | x + 1 | = uma(x – 1) dependendo do parâmetro uma?
Instrução. Como x = 1 não é uma raiz da equação, esta equação pode ser reduzida à forma 
.
Resposta: se uma J-1, uma > 1, uma=0, então uma raiz; se - 1<uma<0, то два корня; если 0<umaЈ 1, então não há raízes.
8. Quantas raízes a equação x + 1 = uma| x – 1 | dependendo do parâmetro uma?
Construa um gráfico (veja a figura).
Resposta: se umaЈ –1, então não há raízes; se - 1<umaЈ 1, então uma raiz; E se uma>1, então existem duas raízes.
9. Quantas raízes tem a equação
2| x | – 1 = a(x – 1)
dependendo do parâmetro uma?
Instrução. Traga a equação para a forma 
Resposta: se uma J-2, uma>2, uma=1, então uma raiz; se -2<uma<1, то два корня; если 1<umaЈ 2, então não há raízes.
10. Quantas raízes tem a equação
dependendo do parâmetro uma?
Resposta: se umaЈ 0, uma i 2, então uma raiz; se 0<uma<2, то два корня.
11. Em quais valores do parâmetro uma a equação
x 2 + uma| x – 2 | = 0
tem três soluções?
Instrução. Traga a equação para a forma x 2 = - uma| x - 2 |.
Resposta: quando umaÉ -8.
12. Em quais valores do parâmetro uma a equação
uma x 2 + | x + 1 | = 0
tem três soluções?
Instrução. Use o problema 5. Esta equação tem três soluções somente se a equação uma x 2 + x + 1 = 0 tem uma solução, e o caso uma= 0 não satisfaz a condição do problema, ou seja, o caso permanece quando 
13. Quantas raízes tem a equação
x | x – 2 | = 1 - uma
dependendo do parâmetro uma?
Instrução. Traga a equação para a forma –x |x – 2| + 1 = uma
dependendo do parâmetro uma?
Instrução. Construa gráficos das partes esquerda e direita desta equação.
Resposta: se uma<0, uma>2, então duas raízes; se 0é umaÈ 2, então uma raiz.
16. Quantas raízes tem a equação
dependendo do parâmetro uma?
Instrução. Construa gráficos das partes esquerda e direita desta equação. Para plotar uma função 
encontre intervalos de constância das expressões x + 2 e x:
Resposta: se uma>– 1, então uma solução; E se uma= – 1, então duas soluções; se - 3<uma<–1, то четыре решения; если umaЈ –3, então três soluções.
Para tarefas com parâmetro incluem, por exemplo, a busca de uma solução para equações lineares e quadráticas de forma geral, o estudo da equação para o número de raízes disponíveis, dependendo do valor do parâmetro.
Sem dar definições detalhadas, considere as seguintes equações como exemplos:
y = kx, onde x, y são variáveis, k é um parâmetro;
y = kx + b, onde x, y são variáveis, k e b são parâmetros;
ax 2 + bx + c = 0, onde x são variáveis, a, b e c são parâmetros.
Resolver uma equação (desigualdade, sistema) com um parâmetro significa, via de regra, resolver um conjunto infinito de equações (desigualdades, sistemas).
As tarefas com um parâmetro podem ser divididas condicionalmente em dois tipos:
a) a condição diz: resolva a equação (desigualdade, sistema) - isso significa que, para todos os valores do parâmetro, encontre todas as soluções. Se pelo menos um caso permanece inexplorado, tal solução não pode ser considerada satisfatória.
b)é necessário indicar os possíveis valores do parâmetro para o qual a equação (desigualdade, sistema) possui certas propriedades. Por exemplo, tem uma solução, não tem soluções, tem soluções que pertencem ao intervalo, etc. Em tais tarefas, é necessário indicar claramente em qual valor do parâmetro a condição requerida é satisfeita.
O parâmetro, sendo um número fixo desconhecido, tem, por assim dizer, uma dualidade especial. Em primeiro lugar, deve-se levar em conta que a suposta fama sugere que o parâmetro deve ser percebido como um número. Em segundo lugar, a liberdade de manipular um parâmetro é limitada pelo seu desconhecido. Assim, por exemplo, as operações de dividir por uma expressão na qual há um parâmetro ou extrair uma raiz de grau par de uma expressão semelhante requerem pesquisas preliminares. Portanto, deve-se ter cuidado no manuseio do parâmetro.
Por exemplo, para comparar dois números -6a e 3a, três casos precisam ser considerados:
1) -6a será maior que 3a se a for um número negativo;
2) -6a = 3a no caso de a = 0;
3) -6a será menor que 3a se a for um número positivo 0.
A decisão será a resposta.
Seja dada a equação kx = b. Esta equação é um atalho para um conjunto infinito de equações em uma variável.
Ao resolver tais equações, pode haver casos:
1. Seja k qualquer número real diferente de zero eb qualquer número de R, então x = b/k.
2. Seja k = 0 eb ≠ 0, a equação original terá a forma 0 · x = b. Obviamente, esta equação não tem soluções.
3. Sejam keb números iguais a zero, então temos a igualdade 0 · x = 0. Sua solução é qualquer número real.
O algoritmo para resolver este tipo de equações:
1. Determine os valores de "controle" do parâmetro.
2. Resolva a equação original para x com os valores do parâmetro que foram determinados no primeiro parágrafo.
3. Resolva a equação original para x com valores de parâmetros diferentes daqueles selecionados no primeiro parágrafo.
4. Você pode escrever a resposta da seguinte forma:
1) quando ... (valor do parâmetro), a equação tem raízes ...;
2) quando ... (valor do parâmetro), não há raízes na equação.
Exemplo 1
Resolva a equação com o parâmetro |6 – x| = a.
Solução.
É fácil ver que aqui a ≥ 0.
Pela regra do módulo 6 – x = ±a, expressamos x:
Resposta: x = 6 ± a, onde a ≥ 0.
Exemplo 2
Resolva a equação a(x - 1) + 2(x - 1) = 0 em relação à variável x.
Solução.
Vamos abrir os colchetes: ax - a + 2x - 2 \u003d 0
Vamos escrever a equação na forma padrão: x(a + 2) = a + 2.
Se a expressão a + 2 não for zero, ou seja, se a ≠ -2, temos a solução x = (a + 2) / (a + 2), ou seja. x = 1.
Se a + 2 for igual a zero, ou seja, a \u003d -2, então temos a igualdade correta 0 x \u003d 0, portanto x é qualquer número real.
Resposta: x \u003d 1 para um ≠ -2 e x € R para um \u003d -2.
Exemplo 3
Resolva a equação x/a + 1 = a + x em relação à variável x.
Solução.
Se a \u003d 0, transformamos a equação na forma a + x \u003d a 2 + ax ou (a - 1) x \u003d -a (a - 1). A última equação para a = 1 tem a forma 0 · x = 0, portanto, x é qualquer número.
Se a ≠ 1, então a última equação terá a forma x = -a.
Esta solução pode ser ilustrada na linha de coordenadas (Figura 1)
Resposta: não há soluções para a = 0; x - qualquer número em a = 1; x \u003d -a com um ≠ 0 e um ≠ 1.
Método gráfico
Considere outra maneira de resolver equações com um parâmetro - gráfico. Este método é usado com bastante frequência.
Exemplo 4
Quantas raízes, dependendo do parâmetro a, a equação ||x| – 2| = um?
Solução.
Para resolver por um método gráfico, construímos gráficos de funções y = ||x| – 2| e y = a (Figura 2).
O desenho mostra claramente os possíveis casos de localização da linha y = a e o número de raízes em cada um deles.
Resposta: a equação não terá raízes se um< 0; два корня будет в случае, если a >2 e a = 0; a equação terá três raízes no caso a = 2; quatro raízes - em 0< a < 2.
Exemplo 5
Para a qual a equação 2|x| + |x – 1| = a tem uma única raiz?
Solução.
Vamos desenhar gráficos de funções y = 2|x| + |x – 1| e y = a. Para y = 2|x| + |x - 1|, expandindo os módulos pelo método gap, temos:
(-3x + 1, em x< 0,
y = (x + 1, para 0 ≤ x ≤ 1,
(3x – 1, para x > 1.
No Figura 3 vê-se claramente que a equação terá uma única raiz somente quando a = 1.
Resposta: a = 1.
Exemplo 6
Determine o número de soluções da equação |x + 1| + |x + 2| = a dependendo do parâmetro a?
Solução.
Gráfico da função y = |x + 1| + |x + 2| será uma linha quebrada. Seus vértices estarão localizados nos pontos (-2; 1) e (-1; 1) (imagem 4).
Resposta: se o parâmetro a for menor que um, a equação não terá raízes; se a = 1, então a solução da equação é um conjunto infinito de números do intervalo [-2; -1]; se os valores do parâmetro a forem maiores que um, a equação terá duas raízes.
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Equações com parâmetros são legitimamente consideradas uma das tarefas mais difíceis no curso da matemática escolar. São essas tarefas que caem de ano para ano na lista de tarefas do tipo B e C no exame estadual unificado do Exame Estadual Unificado. No entanto, dentre o grande número de equações com parâmetros, existem aquelas que podem ser facilmente resolvidas graficamente. Vamos considerar este método no exemplo de resolver vários problemas.
Encontre a soma dos valores inteiros de a para os quais a equação |x 2 – 2x – 3| = a tem quatro raízes.
Solução.
Para responder à questão do problema, construímos gráficos de funções em um plano coordenado
y = |x 2 – 2x – 3| e y = a.
Gráfico da primeira função y = |x 2 – 2x – 3| será obtido a partir do gráfico da parábola y = x 2 - 2x - 3 exibindo simetricamente em torno do eixo das abcissas da parte do gráfico que está abaixo do eixo Ox. A parte do gráfico acima do eixo x permanecerá inalterada.
Vamos fazer passo a passo. O gráfico da função y \u003d x 2 - 2x - 3 é uma parábola, cujos ramos são direcionados para cima. Para construir seu gráfico, encontramos as coordenadas do vértice. Isso pode ser feito usando a fórmula x 0 = -b / 2a. Assim, x 0 \u003d 2/2 \u003d 1. Para encontrar a coordenada do topo da parábola ao longo do eixo y, substituímos o valor obtido por x 0 na equação da função em consideração. Obtemos que y 0 \u003d 1 - 2 - 3 \u003d -4. Assim, o vértice da parábola tem coordenadas (1; -4).
Em seguida, você precisa encontrar os pontos de interseção dos ramos da parábola com os eixos coordenados. Nos pontos de intersecção dos ramos da parábola com o eixo das abcissas, o valor da função é zero. Portanto, resolvemos a equação quadrática x 2 - 2x - 3 \u003d 0. Suas raízes serão os pontos desejados. Pelo teorema de Vieta, temos x 1 = -1, x 2 = 3.
Nos pontos de intersecção dos ramos da parábola com o eixo y, o valor do argumento é zero. Assim, o ponto y = -3 é o ponto de intersecção dos ramos da parábola com o eixo y. O gráfico resultante é mostrado na Figura 1.
Para obter o gráfico da função y = |x 2 - 2x - 3|, exibiremos a parte do gráfico, que está abaixo do eixo x, simetricamente em relação ao eixo x. O gráfico resultante é mostrado na Figura 2.
O gráfico da função y = a é uma linha reta paralela ao eixo x. É mostrado na Figura 3. Usando a figura e descobrimos que os gráficos têm quatro pontos comuns (e a equação tem quatro raízes) se a pertencer ao intervalo (0; 4).
Valores inteiros do número a do intervalo recebido: 1; 2; 3. Para responder à pergunta do problema, vamos encontrar a soma desses números: 1 + 2 + 3 = 6.
Resposta: 6.
Encontre a média aritmética dos valores inteiros do número a, para o qual a equação |x 2 – 4|x| – 1| = a tem seis raízes.
Vamos começar traçando a função y = |x 2 – 4|x| – 1|. Para fazer isso, usamos a igualdade a 2 = |a| 2 e selecione o quadrado completo na expressão do submódulo escrita no lado direito da função:
x 2 – 4|x| – 1 = |x| 2 – 4|x| - 1 = (|x| 2 - 4|x| + 4) - 1 - 4 = (|x | - 2) 2 - 5.
Então a função original será semelhante a y = |(|x| – 2) 2 – 5|.
Para construir um gráfico desta função, construímos sucessivamente gráficos de funções:
1) y \u003d (x - 2) 2 - 5 - uma parábola com um vértice em um ponto com coordenadas (2; -5); (Figura 1).
2) y = (|x| - 2) 2 - 5 - a parte da parábola construída no parágrafo 1, localizada à direita do eixo das ordenadas, é exibida simetricamente à esquerda do eixo Oy; (Figura 2).
3) y = |(|x| – 2) 2 – 5| - a parte do gráfico construída no parágrafo 2, que está abaixo do eixo x, é exibida simetricamente em relação ao eixo de abcissas para cima. (Fig. 3).
Considere os desenhos resultantes:
O gráfico da função y = a é uma linha reta paralela ao eixo x.
Usando a figura, concluímos que os gráficos das funções têm seis pontos comuns (a equação tem seis raízes) se a pertencer ao intervalo (1; 5).
Isso pode ser visto na figura a seguir:
Encontre a média aritmética dos valores inteiros do parâmetro a:
(2 + 3 + 4)/3 = 3.
Resposta: 3.
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2. Determinação de parâmetros de distribuição desconhecidos.
Com a ajuda de um histograma, podemos construir aproximadamente um gráfico da densidade de distribuição de uma variável aleatória. A aparência desse gráfico geralmente permite fazer uma suposição sobre a densidade de distribuição de probabilidade de uma variável aleatória. A expressão para esta densidade de distribuição geralmente inclui alguns parâmetros que precisam ser determinados a partir de dados experimentais.
Detenhamo-nos no caso particular em que a densidade de distribuição depende de dois parâmetros.
Então deixe x 1 , x 2 , ..., x n são os valores observados de uma variável aleatória contínua, e deixe sua densidade de distribuição de probabilidade depender de dois parâmetros desconhecidos UMA e B, ou seja parece . Um dos métodos para encontrar parâmetros desconhecidos UMA e Bé que eles são escolhidos de tal forma que a expectativa matemática e a variância da distribuição teórica coincidem com a média e a variância da amostra:
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Das duas equações obtidas () encontre parâmetros desconhecidos UMA e B. Assim, por exemplo, se uma variável aleatória obedece à lei de distribuição de probabilidade normal, então sua densidade de distribuição de probabilidade
depende de dois parâmetros uma e . Esses parâmetros, como sabemos, são, respectivamente, a expectativa matemática e o desvio padrão da variável aleatória; so equals() será escrito assim:
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Portanto, a densidade de distribuição de probabilidade tem a forma
Observação 1. Já resolvemos esse problema em . O resultado da medição é uma variável aleatória obedecendo à lei de distribuição normal com parâmetros uma e . Para uma aproximação uma escolhemos o valor e para o valor aproximado - o valor.
Observação 2. Com um grande número de experimentos, encontrar os valores e usar as fórmulas () está associado a cálculos complicados. Portanto, eles agem da seguinte forma: cada um dos valores observados da quantidade, que caiu em eu-º intervalo ] Xi-1, Xi[ série estatística, é considerado aproximadamente igual ao meio c eu este intervalo, ou seja c i \u003d (X i-1 + X i) / 2. Considere o primeiro intervalo ] X 0 , X 1 [. Ele foi atingido m 1 valores observados da variável aleatória, cada um dos quais substituímos por um número a partir de 1. Portanto, a soma desses valores é aproximadamente igual a m 1 s 1. Da mesma forma, a soma dos valores que caíram no segundo intervalo é aproximadamente igual a m 2 s 2 etc. É por isso
De maneira semelhante, obtemos a igualdade aproximada
Então vamos mostrar que
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