§6. Sistema não homogêneo de equações lineares
Se no sistema de equações lineares (7.1) pelo menos um dos termos livres dentro eué diferente de zero, então tal sistema é chamado heterogêneo.
Seja dado um sistema não homogêneo de equações lineares, que pode ser representado na forma vetorial como
, eu = 1,2,.. .,para, (7.13)
Considere o sistema homogêneo correspondente
eu = 1,2,...
,para.
(7.14)
Deixe o vetor 
é uma solução para o sistema não homogêneo (7.13), e o vetor 
é uma solução do sistema homogêneo (7.14). Então, é fácil ver que o vetor 
também é uma solução para o sistema não homogêneo (7.13). Sério
Agora, usando a fórmula (7.12) da solução geral da equação homogênea, temos
Onde 
qualquer número de R, uma 
são soluções fundamentais de um sistema homogêneo.
Assim, a solução de um sistema não homogêneo é a combinação de sua solução particular e a solução geral do sistema homogêneo correspondente.
A solução (7.15) é chamada uma solução geral de um sistema não homogêneo de equações lineares. Segue de (7.15) que um sistema não homogêneo de equações lineares compatível tem uma solução única se o posto r(UMA) da matriz principal MAS corresponde ao número n sistema desconhecido (sistema de Cramer), se r(UMA) n, então o sistema tem um conjunto infinito de soluções, e esse conjunto de soluções é equivalente ao subespaço de soluções do sistema homogêneo de equações de dimensão correspondente n– r.
Exemplos.
1. Seja dado um sistema de equações não homogêneo no qual o número de equações para= 3, e o número de incógnitas n = 4.
X 1 – X 2 + X 3 –2X 4 = 1,
X 1 – X 2 + 2X 3 – X 4 = 2,
5X 1 – 5X 2 + 8X 3 – 7X 4 = 3.
Determine os postos da matriz principal MAS e estendido MAS * este sistema. Porque o MAS e MAS * matrizes não nulas e k = 3 n, então 1 r (UMA), r * (MAS * ) 3. Considere os menores de segunda ordem de matrizes MAS e MAS * :
Assim, entre os menores de segunda ordem de matrizes MAS e MAS * existe um menor diferente de zero, então 2 r(UMA),r * (UMA * ) 3. Agora considere os menores de terceira ordem
, pois a primeira e a segunda colunas são proporcionais. O mesmo para menor 
.
E assim todos os menores de terceira ordem da matriz principal MAS são iguais a zero, portanto, r(UMA) = 2. Para a matriz aumentada MAS * ainda há menores de terceira ordem
Portanto, entre os menores de terceira ordem da matriz estendida MAS * existe um menor diferente de zero, então r * (UMA * ) = 3. Isso significa que r(UMA) r * (UMA * ) e então, com base no teorema de Kornecker-Capelli, concluímos que esse sistema é inconsistente.
2. Resolva o sistema de equações
3X 1 + 2X 2 + X 3 + X 4 = 1,
3X 1 + 2X 2 – X 3 – 2X 4 = 2.
Para este sistema 
e, portanto, 1 r(UMA),r *
(UMA *
) 2. Considere para matrizes UMA e UMA *
menores de segunda ordem
Nesse caminho, r(UMA)= r * (UMA * ) = 2 e, portanto, o sistema é compatível. Como variáveis básicas, escolhemos duas variáveis quaisquer para as quais a menor de segunda ordem, composta pelos coeficientes dessas variáveis, não seja igual a zero. Essas variáveis podem ser, por exemplo,
X 3 e X 4 porque 
Então nós temos
X 3 + X 4 = 1 – 3X 1 – 2X 2 ,
– X 3 – 2X 4 = 2 – 3X 1 – 2X 2 .
Definimos uma solução particular 
sistema heterogêneo. Para isso definimos X 1
= X 2
= 0.
X 3 + X 4 = 1,
– X 3 – 2X 4 = 2.
Solução para este sistema: X 3
= 4, X 4 = - 3, portanto, 
=
(0,0,4, –3).
Agora definimos a solução geral da equação homogênea correspondente
X 3 + X 4 = – 3X 1 – 2X 2 ,
–X 3 – 2X 4 = – 3X 1 – 2X 2 .
Vamos colocar: X 1 = 1, X 2 = 0
X 3 + X 4 = –3,
–X 3 – 2X 4 = –3.
Solução deste sistema X 3 = –9, X 4 = 6.
Nesse caminho 
Agora vamos colocar X 1 = 0, X 2 = 1
X 3 + X 4 = –2,
–X 3 – 2X 4 = –2.
Solução: X 3
= – 6, X 4 = 4, e então 
Depois que uma solução particular foi determinada 
, equação não homogênea e soluções fundamentais 
e 
da equação homogênea correspondente, escrevemos a solução geral da equação não homogênea.
Onde 
qualquer número de R.
Heterogeneidade interna dos sistemas: distinguibilidade das partes. Se você olhar dentro da "caixa preta", verifica-se que o sistema não é homogêneo, nem monolítico: você pode descobrir que diferentes qualidades diferem em diferentes lugares. A descrição da heterogeneidade interna do sistema se reduz ao isolamento de áreas relativamente homogêneas, traçando fronteiras entre elas. É assim que surge o conceito das partes do sistema. Em um exame mais detalhado, verifica-se que as peças grandes selecionadas também não são homogêneas, o que requer a seleção de peças ainda menores. O resultado é uma lista hierárquica de partes do sistema, que chamaremos de modelo de composição do sistema.
Informações sobre a composição do sistema podem ser usadas para trabalhar com o sistema. Os objetivos de interação com sistemas podem ser diferentes e, portanto, os modelos de composição de um mesmo sistema também podem diferir. Não é fácil criar um modelo útil e viável.
Dificuldades na construção de um modelo de composição
À primeira vista, as partes do sistema não são difíceis de distinguir, são "impressionantes". Alguns sistemas se diferenciam espontaneamente em partes no processo de crescimento e desenvolvimento natural (organismos, sociedades, sistemas planetários, moléculas, depósitos minerais, etc.). Os sistemas artificiais são deliberadamente montados a partir de partes previamente separadas (mecanismos, construções, textos, melodias, etc.). Existem também tipos mistos de sistemas (reservas, sistemas agrícolas, organizações de pesquisa da natureza, transporte de calado).
Por outro lado, pergunte a um reitor, a um estudante, a um contador, a um empresário em que consiste a universidade, e cada um dará seu próprio modelo de composição, diferente dos demais. O piloto, aeromoça, passageiro também determinará a composição da aeronave de diferentes maneiras. Podemos dizer que o corpo consiste nas metades direita e esquerda, ou podemos dizer que consiste nas metades superior e inferior. Então, em que consiste "realmente"?
As dificuldades de construção de um modelo de composição, que todos devem superar, podem ser representadas por três dispositivos.
1. O todo pode ser dividido em partes de diferentes maneiras.
O todo pode ser dividido em partes de diferentes maneiras (como cortar um pão em fatias de diferentes tamanhos e formas). Como exatamente é necessário? Resposta: como você precisa para atingir seu objetivo. Por exemplo, a composição de um carro é apresentada de diferentes maneiras para motoristas iniciantes, futuros motoristas profissionais, mecânicos que se preparam para trabalhar em oficinas de automóveis e vendedores em oficinas de automóveis.
Então é natural voltar à pergunta: as partes “realmente” existem? Observe a redação cuidadosa da propriedade em questão: distinguibilidade de partes em vez de separabilidade em partes. Por outro lado, chegamos ao problema da integridade dos sistemas: você pode distinguir entre as partes do sistema que precisa para o seu propósito e usar as informações disponíveis sobre elas, mas não deve separá-las. Posteriormente aprofundaremos e desenvolveremos esta posição.
2. O número de peças no modelo de composição
O número de partes no modelo de composição também depende do nível em que a fragmentação do sistema é interrompida. As partes nos ramos terminais da árvore hierárquica resultante são chamadas de elementos. Sob diferentes circunstâncias, a decomposição é terminada em diferentes níveis. Por exemplo, ao descrever o próximo trabalho, você deve dar instruções a um trabalhador experiente e a um novato em vários graus de detalhes. Assim, o modelo de composição depende do que é considerado elementar e, como essa palavra é avaliativa, não é um conceito absoluto, mas relativo. No entanto, há casos em que um elemento é de natureza natural, absoluta (uma célula é o elemento mais simples de um organismo vivo; um indivíduo é o último elemento da sociedade, os fonemas são as menores partes da fala oral) ou determinado por nossas capacidades (por exemplo, podemos supor que um elétron também consiste em algo , mas até agora os físicos não foram capazes de detectar partes dele com carga fracionária).
3. Limite externo do sistema
Qualquer sistema é parte de algum sistema maior (e muitas vezes parte de vários sistemas ao mesmo tempo). E esse metassistema também pode ser dividido em subsistemas de diferentes maneiras. Isso significa que a fronteira externa do sistema tem um caráter relativo e condicional. Mesmo o limite "óbvio" do sistema (pele humana, a cerca de uma empresa, etc.) sob certas condições é insuficiente para determinar o limite nessas condições. Por exemplo, durante uma refeição, eu pego uma costeleta com um garfo de um prato, mordo, mastigo, engulo, digiro. Onde fica a passagem de fronteira cuja costeleta passa a ser minha parte? Outro exemplo é com o limite da empresa. O trabalhador caiu da escada e quebrou a perna. Após o tratamento, ao pagar pelo boletim, surge a pergunta: que tipo de lesão foi - doméstica ou industrial (são pagos de forma diferente)? Não há dúvida se era a escadaria do empreendimento. Mas se foram as escadas da casa onde o trabalhador mora, tudo depende de como ele caminhou para casa. Se direto do trabalho e ainda não chegou à porta do apartamento, a lesão é considerada industrial. Mas se ele foi a uma loja ou a um cinema no caminho, é uma lesão doméstica. Como você pode ver, a lei define os limites do empreendimento condicionalmente.
A condicionalidade dos limites do sistema novamente nos traz de volta ao problema da integridade, agora a integridade do mundo inteiro. A definição do limite do sistema é feita levando em consideração os objetivos do sujeito que utilizará os modelos do sistema.
Tarasenko F.P. Análise de Sistemas Aplicada (A Ciência e a Arte da Resolução de Problemas): Livro-texto. - Tomsk; Imprensa da Universidade de Tomsk, 2004. ISBN 5-7511-1838-3
O termo "sistema" é usado em várias ciências. Assim, diferentes definições do sistema são usadas em diferentes situações: do filosófico ao formal. Para os propósitos do curso, a seguinte definição é mais adequada: um sistema é um conjunto de elementos unidos por links e funcionando em conjunto para atingir um objetivo.
Os sistemas são caracterizados por uma série de propriedades, sendo as principais divididas em três grupos: estáticos, dinâmicos e sintéticos.
1.1 Propriedades estáticas dos sistemas
estático propriedades são chamadas de características de algum estado do sistema. Isso é o que o sistema possui em qualquer ponto fixo no tempo.Integridade. Todo sistema age como algo unificado, inteiro, isolado, diferente de tudo o mais. Essa propriedade é chamada de integridade do sistema. Ele permite que você divida o mundo inteiro em duas partes: o sistema e o ambiente.
Abertura. O sistema isolado, distinto de tudo o mais, não está isolado do meio ambiente. Pelo contrário, eles estão conectados e trocam vários tipos de recursos (substância, energia, informação, etc.). Esse recurso é conhecido como "abertura".
As conexões do sistema com o ambiente são direcionais: para um, o ambiente afeta o sistema (entradas do sistema), para outros, o sistema influencia o ambiente, faz algo no ambiente, dá algo ao ambiente (saídas do sistema) . A descrição das entradas e saídas do sistema é chamada de modelo caixa preta. Nesse modelo, não há informações sobre os recursos internos do sistema. Apesar da aparente simplicidade, esse modelo muitas vezes é suficiente para trabalhar com o sistema.
Em muitos casos, ao controlar equipamentos ou pessoas, informações apenas sobre as entradas e saídas do sistema permitem atingir o objetivo com sucesso. No entanto, este modelo deve atender a certos requisitos. Por exemplo, o usuário pode ter dificuldades se não souber que em alguns modelos de TV o botão liga / desliga não precisa ser pressionado, mas puxado. Portanto, para uma gestão bem-sucedida, o modelo deve conter todas as informações necessárias para atingir o objetivo. Ao tentar atender a esse requisito, podem surgir quatro tipos de erros, decorrentes do fato de o modelo conter sempre um número finito de conexões, enquanto o número de conexões em um sistema real é ilimitado.
Um erro do primeiro tipo ocorre quando o sujeito erroneamente considera a relação como significativa e decide incluí-la no modelo. Isso leva ao aparecimento de elementos desnecessários e desnecessários no modelo. Um erro de segunda espécie, ao contrário, é cometido quando se decide excluir do modelo uma conexão supostamente insignificante, sem a qual, de fato, a consecução do objetivo é difícil ou mesmo impossível.
A resposta à pergunta de qual erro é pior depende do contexto em que é perguntado. É claro que o uso de um modelo contendo um erro inevitavelmente leva a perdas. As perdas podem ser pequenas, aceitáveis, intoleráveis e inaceitáveis. O dano causado por um erro do Tipo I deve-se ao fato de que as informações por ele introduzidas são redundantes. Ao trabalhar com esse modelo, você terá que gastar recursos para corrigir e processar informações desnecessárias, por exemplo, gastar memória do computador e tempo de processamento nele. Isso pode não afetar a qualidade da solução, mas certamente afetará o custo e a pontualidade. Perdas por um erro do segundo tipo - danos pelo fato de não haver informações suficientes para atingir totalmente o objetivo, o objetivo não pode ser totalmente alcançado.
Agora está claro que o pior erro é aquele cujas perdas são maiores, e isso depende das circunstâncias específicas. Por exemplo, se o tempo é um fator crítico, então um erro do primeiro tipo se torna muito mais perigoso do que um erro do segundo tipo: uma decisão tomada a tempo, mesmo que não seja a melhor, é preferível a uma ótima, mas tardia .
O erro tipo III é considerado as consequências da ignorância. Para avaliar o significado de alguma conexão, você precisa saber que ela existe. Se isso não for conhecido, a questão de incluir a conexão no modelo não vale a pena. No caso de tal conexão ser insignificante, então, na prática, sua presença na realidade e sua ausência no modelo serão imperceptíveis. Se a relação for significativa, haverá dificuldades semelhantes às do erro Tipo II. A diferença é que o erro Tipo III é mais difícil de corrigir: requer a extração de novos conhecimentos.
Um erro do quarto tipo ocorre quando uma atribuição errônea de uma conexão significativa conhecida ao número de entradas ou saídas do sistema. Por exemplo, está bem estabelecido que na Inglaterra do século 19, a saúde dos homens que usavam cartola excedia em muito a dos homens que usavam bonés. Dificilmente decorre daí que o tipo de arnês possa ser considerado como uma entrada para um sistema de previsão do estado de saúde.
Heterogeneidade interna de sistemas, distinção de partes. Se você olhar dentro da "caixa preta", verifica-se que o sistema é heterogêneo, não monolítico. Pode-se descobrir que diferentes qualidades em diferentes partes do sistema são diferentes. A descrição da heterogeneidade interna do sistema se reduz ao isolamento de áreas relativamente homogêneas, traçando fronteiras entre elas. É assim que surge o conceito das partes do sistema. Em um exame mais detalhado, verifica-se que as peças grandes selecionadas também não são homogêneas, o que requer a seleção de peças ainda menores. O resultado é uma descrição hierárquica das partes do sistema, que é chamada de modelo de composição.
Informações sobre a composição do sistema podem ser usadas para trabalhar com o sistema. Os objetivos de interação com o sistema podem ser diferentes e, portanto, os modelos de composição do mesmo sistema também podem diferir. À primeira vista, não é difícil distinguir as partes do sistema, elas são "impressionantes". Em alguns sistemas, partes surgem arbitrariamente, no processo de crescimento e desenvolvimento natural (organismos, sociedades, etc.). Os sistemas artificiais são deliberadamente montados a partir de peças previamente conhecidas (mecanismos, edifícios, etc.). Existem também tipos mistos de sistemas, como reservas, sistemas agrícolas. Por outro lado, do ponto de vista do reitor, estudante, contador e executivo, a universidade é composta por diferentes partes. O avião consiste em diferentes partes do ponto de vista do piloto, da aeromoça, do passageiro. As dificuldades de criar um modelo de composição podem ser representadas por três disposições.
Primeiro, o todo pode ser dividido em partes de diferentes maneiras. Neste caso, o método de divisão é determinado pelo objetivo. Por exemplo, a composição de um carro é apresentada de diferentes maneiras para motoristas iniciantes, futuros motoristas profissionais, mecânicos que se preparam para trabalhar em um centro de serviços de automóveis e vendedores em concessionárias de automóveis. É natural perguntar se partes do sistema "realmente" existem? A resposta está contida na formulação da propriedade em questão: estamos falando da distinguibilidade, e não da separabilidade das partes. Pode-se distinguir entre as partes do sistema necessárias para atingir o objetivo, mas não se pode separá-las.
Em segundo lugar, o número de partes no modelo de composição também depende do nível em que a fragmentação do sistema é interrompida. As partes nos ramos terminais da árvore hierárquica resultante são chamadas de elementos. Sob diferentes circunstâncias, a decomposição é terminada em diferentes níveis. Por exemplo, ao descrever o próximo trabalho, você deve dar instruções a um trabalhador experiente e a um novato em vários graus de detalhes. Assim, o modelo de composição depende do que é considerado elementar. Há casos em que um elemento tem um caráter natural, absoluto (célula, indivíduo, fonema, elétron).
Em terceiro lugar, qualquer sistema é parte de um sistema maior e, às vezes, vários sistemas ao mesmo tempo. Tal metassistema também pode ser dividido em subsistemas de diferentes maneiras. Isso significa que o limite externo do sistema tem um caráter relativo e condicional. A definição dos limites do sistema é feita levando em consideração os objetivos do sujeito que utilizará o modelo do sistema.
Estruturada. A propriedade da estruturação reside no fato de que as partes do sistema não são isoladas, não são independentes umas das outras; eles estão interligados e interagem uns com os outros. Ao mesmo tempo, as propriedades do sistema dependem essencialmente de como exatamente suas partes interagem. Portanto, as informações sobre as conexões dos elementos do sistema são tão importantes. A lista de ligações essenciais entre os elementos do sistema é chamada de modelo de estrutura do sistema. A dotação de qualquer sistema com uma certa estrutura é chamada de estruturação.
O conceito de estruturação aprofunda ainda mais a ideia da integridade do sistema: as conexões, por assim dizer, mantêm as partes juntas, as mantêm como um todo. A integridade, observada anteriormente como uma propriedade externa, recebe uma explicação reforçadora de dentro do sistema - através da estrutura.
Ao construir um modelo da estrutura, também são encontradas certas dificuldades. A primeira delas está relacionada ao fato de que o modelo de estrutura é determinado após a escolha do modelo de composição, e depende de qual é exatamente a composição do sistema. Mas mesmo com uma composição fixa, o modelo de estrutura é variável. Isso se deve à possibilidade de diferentes formas de determinar o significado das relações. Por exemplo, recomenda-se que um gerente moderno, juntamente com a estrutura formal de sua organização, leve em consideração a existência de relações informais entre os funcionários, que também afetam o funcionamento da organização. A segunda dificuldade decorre do fato de que cada elemento do sistema, por sua vez, é uma "caixinha preta". Assim, todos os quatro tipos de erros são possíveis ao determinar as entradas e saídas de cada elemento incluído no modelo de estrutura.
1.2 PROPRIEDADES DINÂMICAS DOS SISTEMAS
Se considerarmos o estado do sistema em um novo ponto no tempo, novamente podemos encontrar todas as quatro propriedades estáticas. Mas se você sobrepor as “fotografias” do sistema em diferentes pontos no tempo umas sobre as outras, descobrirá que elas diferem em detalhes: durante o tempo entre dois pontos de observação, algumas mudanças ocorreram no sistema e em seus meio Ambiente. Tais mudanças podem ser importantes ao trabalhar com o sistema e, portanto, devem ser refletidas nas descrições do sistema e levadas em consideração ao trabalhar com ele. Características de mudanças ao longo do tempo dentro e fora do sistema são chamadas de propriedades dinâmicas do sistema. Geralmente, são distinguidas quatro propriedades dinâmicas de um sistema.Funcionalidade. Processos S(t) que ocorrem nas saídas do sistema são consideradas como suas funções. As funções do sistema são seu comportamento no ambiente externo, os resultados de suas atividades, os produtos produzidos pelo sistema.
Da multiplicidade de saídas segue a multiplicidade de funções, cada uma das quais pode ser usada por alguém e para alguma coisa. Portanto, o mesmo sistema pode servir a propósitos diferentes. O sujeito que usa o sistema para seus próprios propósitos avaliará naturalmente suas funções e as organizará de acordo com suas necessidades. Assim aparecem os conceitos de função principal, secundária, neutra, indesejável, supérflua etc.
Estimulabilidade. Certos processos também ocorrem nas entradas do sistema. X(t), afetando o sistema e transformando-se após uma série de transformações no sistema em S(t). Impacto X(t) são chamados de incentivos, e a suscetibilidade de qualquer sistema a influências externas e a mudança em seu comportamento sob essas influências são chamadas de estimulabilidade.
Variabilidade do sistema ao longo do tempo. Em qualquer sistema, existem mudanças que devem ser levadas em consideração. Em termos do modelo do sistema, podemos dizer que os valores das variáveis internas (parâmetros) podem mudar Z(t), a composição e estrutura do sistema e qualquer combinação dos mesmos. A natureza dessas mudanças também pode ser diferente. Portanto, outras classificações de mudanças podem ser consideradas.
A classificação mais óbvia é de acordo com a taxa de mudança (lenta, rápida. A taxa de mudança é medida em relação a alguma taxa tomada como padrão. Um grande número de gradações de taxas pode ser introduzido. Também é possível classificar tendências em mudanças no sistema quanto à sua estrutura e composição.
Podemos falar dessas mudanças que não afetam a estrutura do sistema: alguns elementos são substituídos por outros, equivalentes; opções Z(t) pode mudar sem alterar a estrutura. Esse tipo de dinâmica do sistema é chamado de funcionamento. As mudanças podem ser quantitativas: há um aumento na composição do sistema e, embora sua estrutura também mude automaticamente, isso não afeta as propriedades do sistema até certo ponto (por exemplo, a expansão de um depósito de lixo). Tais mudanças são chamadas de crescimento do sistema. Com mudanças qualitativas no sistema, suas propriedades essenciais mudam. Se tais mudanças estão em uma direção positiva, elas são chamadas de desenvolvimento. Com os mesmos recursos, um sistema desenvolvido alcança melhores resultados, novas qualidades positivas (funções) podem aparecer. Isso se deve a um aumento no nível de consistência, organização do sistema.
O crescimento ocorre principalmente pelo consumo de recursos materiais, desenvolvimento - pela assimilação e uso da informação. Crescimento e desenvolvimento podem ocorrer simultaneamente, mas não estão necessariamente ligados. O crescimento é sempre limitado (devido aos recursos materiais limitados), e o desenvolvimento externo não é limitado, pois as informações sobre o ambiente externo são inesgotáveis. O desenvolvimento é o resultado da aprendizagem, mas a aprendizagem não pode ser feita em vez do aluno. Portanto, há uma restrição interna ao desenvolvimento. Se o sistema “não quer” aprender, não pode e não se desenvolverá.
Além dos processos de crescimento e desenvolvimento, processos reversos também podem ocorrer no sistema. O inverso do crescimento é chamado de declínio, contração, diminuição. O desenvolvimento reverso da mudança é chamado de degradação, perda ou enfraquecimento de propriedades úteis.
As mudanças consideradas são monótonas, ou seja, são direcionadas "em uma direção". Obviamente, mudanças monótonas não podem durar para sempre. Na história de qualquer sistema, podem ser distinguidos períodos de declínio e ascensão, estabilidade e instabilidade, cuja sequência forma um ciclo de vida individual do sistema.
Você pode usar outras classificações de processos que ocorrem no sistema: de acordo com a previsibilidade, os processos são divididos em aleatórios e determinísticos; de acordo com o tipo de dependência do tempo, os processos são divididos em monótonos, periódicos, harmônicos, impulsivos, etc.
Existência em um ambiente em mudança. Não só este sistema está mudando, mas também todos os outros. Para o sistema em consideração, isso parece uma mudança contínua no ambiente. Esta circunstância tem muitas consequências para o próprio sistema, que deve se adaptar às novas condições para não perecer. Ao considerar um sistema específico, geralmente é dada atenção às características de uma determinada reação do sistema, por exemplo, a taxa de reação. Se considerarmos sistemas que armazenam informações (livros, mídia magnética), então a velocidade de reação às mudanças no ambiente externo deve ser mínima para garantir a preservação da informação. Por outro lado, a taxa de reação do sistema de controle deve ser muitas vezes maior que a taxa de mudança no ambiente, pois o sistema deve escolher a ação de controle antes mesmo que o estado do ambiente mude irreversivelmente.
1.3 PROPRIEDADES SINTÉTICAS DOS SISTEMAS
As propriedades sintéticas incluem propriedades generalizadas, integrais e coletivas que descrevem a interação do sistema com o ambiente e levam em conta a integridade no sentido mais geral.Emergência. A combinação de elementos em um sistema leva ao surgimento de propriedades qualitativamente novas que não são derivadas das propriedades das partes, inerentes apenas ao próprio sistema e existentes apenas enquanto o sistema for um todo. Tais qualidades do sistema são chamadas de
emergente (do inglês "surgir").
Exemplos de propriedades emergentes podem ser encontrados em vários campos. Por exemplo, nenhuma das partes de um avião pode voar, mas o avião ainda voa. As propriedades da água, muitas das quais não são totalmente compreendidas, não decorrem das propriedades do hidrogênio e do oxigênio.
Sejam duas caixas pretas, cada uma com uma entrada, uma saída e uma operação - adiciona um ao número na entrada. Ao conectar esses elementos de acordo com o esquema mostrado na figura, obtemos um sistema sem entradas, mas com duas saídas. A cada ciclo de trabalho, o sistema fornecerá um número maior, enquanto apenas números pares aparecerão em uma entrada e apenas números ímpares na outra.
 |
|
| uma | b |
| Fig.1.1. Conexão dos elementos do sistema: a) sistema com duas saídas; b) conexão paralela de elementos |
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As propriedades emergentes de um sistema são determinadas por sua estrutura. Isso significa que diferentes combinações de elementos produzirão diferentes propriedades emergentes. Por exemplo, se você conectar os elementos em paralelo, o sistema funcionalmente novo não será diferente de um elemento. A emergência se manifestará no aumento da confiabilidade do sistema devido à conexão paralela de dois elementos idênticos - ou seja, devido à redundância.
Deve-se notar um caso importante quando os elementos do sistema têm todas as suas propriedades. Esta situação é típica para a construção fractal do sistema. Ao mesmo tempo, os princípios de estruturação das partes são os mesmos do sistema como um todo. Um exemplo de sistema fractal é uma organização na qual a gestão é construída de forma idêntica em todos os níveis da hierarquia.
Inseparabilidade em partes. Esta propriedade é, de fato, uma consequência da emergência. Destaca-se principalmente pelo fato de sua importância prática ser grande, sendo muito comum a subestimação.
Quando uma peça é removida do sistema, ocorrem dois eventos importantes. Primeiro, a composição do sistema muda e, portanto, sua estrutura. Será um sistema diferente com propriedades diferentes. Em segundo lugar, o elemento retirado do sistema se comportará de maneira diferente devido ao fato de seu ambiente mudar. Tudo isso sugere que ao considerar um elemento separadamente do restante do sistema, deve-se ter cuidado.
Inerência. O sistema é tanto mais integral (do inglês inerente - “ser parte de algo”) quanto mais coordenado, adaptado ao ambiente, compatível com ele. O grau de inerência é diferente e pode mudar. A conveniência de considerar a inerência como uma das propriedades do sistema está relacionada ao fato de que dela dependem o grau e a qualidade da implementação da função escolhida pelo sistema. Nos sistemas naturais, a inerência é aumentada pela seleção natural. Em sistemas artificiais, a inerência deve ser uma preocupação especial do projetista.
Em vários casos, a inerência é fornecida com a ajuda de sistemas intermediários intermediários. Os exemplos incluem adaptadores para uso de aparelhos elétricos estrangeiros em conjunto com tomadas de estilo soviético; middleware (como o serviço Windows COM) que permite que dois programas de fabricantes diferentes se comuniquem.
Conveniência. Nos sistemas criados pelo homem, a subordinação tanto da estrutura quanto da composição ao alcance do objetivo estabelecido é tão óbvia que pode ser reconhecida como uma propriedade fundamental de qualquer sistema artificial. Essa propriedade é chamada de conveniência. O objetivo para o qual o sistema é criado determina qual propriedade emergente garantirá o alcance do objetivo, e isso, por sua vez, dita a escolha da estrutura e composição do sistema. Para estender o conceito de conveniência aos sistemas naturais, é necessário esclarecer o conceito de propósito. O refinamento é realizado no exemplo de um sistema artificial.
A história de qualquer sistema artificial começa em algum ponto no tempo 0, quando o valor existente do vetor de estado Y 0 se mostra insatisfatório, ou seja, surge uma situação problemática. O sujeito está insatisfeito com esta condição e gostaria de mudá-la. Deixe-o ficar satisfeito com os valores do vetor de estado Y*. Esta é a primeira definição de propósito. Além disso, verifica-se que Y* não existe agora e não pode, por várias razões, ser alcançado em um futuro próximo. O segundo passo na definição de uma meta é reconhecê-la como um estado futuro desejável. Imediatamente fica claro que o futuro não é limitado. O terceiro passo para refinar a noção de meta é estimar o tempo T* em que o estado desejado Y* pode ser alcançado sob determinadas condições. Agora o alvo se torna bidimensional, é um ponto (T*, Y*) no gráfico. A tarefa é mover-se do ponto (0, Y 0) ao ponto (T*, Y*). Mas acontece que esse caminho pode ser percorrido por diferentes trajetórias, e apenas uma delas pode ser realizada. Deixe a escolha cair na trajetória Y*( t). Assim, a meta passa a ser entendida não apenas como o estado final (T*, Y*), mas também como toda a trajetória Y*( t) (“objetivos intermediários”, “plano”). Portanto, o objetivo são os estados futuros desejados Y*( t).
Após o tempo T* o estado Y* torna-se real. Assim, torna-se possível definir a meta como um futuro imóvel. Isso permite dizer que os sistemas naturais também possuem a propriedade da conveniência, o que nos permite abordar a descrição de sistemas de qualquer natureza a partir de um ponto de vista unificado. A principal diferença entre os sistemas naturais e artificiais é que os sistemas naturais, obedecendo às leis da natureza, realizam objetivos objetivos, enquanto os sistemas artificiais são criados para atingir objetivos subjetivos.
2.4.1. Definição. Seja dado um sistema não homogêneo de equações lineares
Considere um sistema homogêneo
para a qual a matriz de coeficientes coincide com a matriz de coeficientes do sistema (2.4.1). Então o sistema (2.4.2) é chamado sistema homogêneo reduzido (2.4.1).
2.4.2. Teorema. A solução geral de um sistema não homogêneo é igual à soma de alguma solução particular do sistema não homogêneo e a solução geral do sistema homogêneo reduzido.
Assim, para encontrar a solução geral do sistema não homogêneo (2.4.1), basta:
1) Examine-o para compatibilidade. Em caso de compatibilidade:
2) Encontre a solução geral do sistema homogêneo reduzido.
3) Encontre qualquer solução particular para a original (não homogênea).
4) Adicionando a solução particular encontrada e a solução geral da solução dada, encontre a solução geral do sistema original.
2.4.3. Um exercício. Investigue a compatibilidade do sistema e, no caso de compatibilidade, encontre sua solução geral na forma da soma do quociente e da geral reduzida.
Solução. a) Para resolver o problema, usamos o esquema acima:
1) Examinamos a compatibilidade do sistema (pelo método dos menores limítrofes): O posto da matriz principal é 3 (veja a solução do exercício 2.2.5, a), e o menor não nulo de ordem máxima é composto por elementos do 1º, 2º , 4ª linha e 1ª, 3ª, 4ª colunas. Para encontrar o posto da matriz estendida, delimitamos com a 3ª linha e a 6ª coluna da matriz estendida: =0. Significa, rg UMA =rg=3, e o sistema é compatível. Em particular, é equivalente ao sistema
2) Encontre uma solução geral X 0 reduzido homogêneo deste sistema
X 0 ={(-2uma - b ; uma ; b ; b ; b ) | uma , b Î R}
(veja a solução do exercício 2.2.5, a)).
3) Encontre alguma solução particular x h do sistema original . Para isso, no sistema (2.4.3), que é equivalente ao original, as incógnitas livres x 2 e x Definimos 5 iguais, por exemplo, a zero (estes são os dados mais convenientes):
e resolva o sistema resultante: x 1 =- , x 3 =- , x 4=-5. Assim, (- ; 0; - ; -5; 0) ¾ é uma solução particular do sistema.
4) Encontramos a solução geral X n do sistema original :
Xn={x h }+X 0 ={(- ; 0; - ; -5; 0)} + {(-2uma - b ; uma ; b ; b ; b )}=
={(- -2uma - b ; uma ; - + b ; -5+b ; b )}.
Comente. Compare sua resposta com a segunda resposta no exemplo 1.2.1 c). Para obter uma resposta na primeira forma para 1.2.1 c), tomamos como incógnitas básicas x 1 , x 3 , x 5 (cujo menor também não é igual a zero), e como livre ¾ x 2 e x 4 .
§3. Algumas aplicações.
3.1. Sobre a questão das equações matriciais. Lembramos que equação matricial sobre o campo F é uma equação na qual alguma matriz sobre o campo atua como uma incógnita F .
As equações matriciais mais simples são equações da forma
MACHADO=B , XA =B (2.5.1)
Onde UMA , B ¾ matrizes dadas (conhecidas) sobre o campo F , uma X ¾ tais matrizes, ao substituir quais equações (2.5.1) se transformam em verdadeiras igualdades matriciais. Em particular, o método matricial de certos sistemas é reduzido a resolver uma equação matricial.
Quando as matrizes UMA nas equações (2.5.1) são não degenerados, eles têm soluções, respectivamente X =A B e X =BA .
No caso em que pelo menos uma das matrizes do lado esquerdo das equações (2.5.1) é degenerada, este método não é mais adequado, pois a matriz inversa correspondente UMA não existe. Neste caso, encontrar soluções para as equações (2.5.1) se reduz a resolver sistemas.
Mas primeiro, vamos introduzir alguns conceitos.
O conjunto de todas as soluções do sistema é chamado solução comum . Uma solução individual de um sistema indefinido, vamos chamá-lo decisão privada .
3.1.1. Exemplo. Resolva a equação matricial sobre o campo R.
a) X = ; b) X = ; dentro) X = .
Solução. a) Desde \u003d 0, então a fórmula X =A B não é adequado para resolver esta equação. Se no trabalho XA =B matriz UMA tem 2 linhas, então a matriz X tem 2 colunas. Número de linhas X deve corresponder ao número de linhas B . É por isso X tem 2 linhas. Nesse caminho, X ¾ é uma matriz quadrada de segunda ordem: X = . Substituto X na equação original:
Multiplicando as matrizes do lado esquerdo de (2.5.2), chegamos à igualdade
Duas matrizes são iguais se e somente se tiverem as mesmas dimensões e seus elementos correspondentes forem iguais. Portanto (2.5.3) é equivalente ao sistema
Este sistema é equivalente ao sistema
Resolvendo, por exemplo, pelo método de Gauss, chegamos a um conjunto de soluções (5-2 b , b , -2d , d ), Onde b , d funcionam independentemente um do outro R. Nesse caminho, X = .
b) Da mesma forma que a) temos X = e.
Este sistema é inconsistente (confira!). Portanto, esta equação matricial não tem soluções.
c) Denote esta equação por MACHADO =B . Porque UMA tem 3 colunas e B tem 2 colunas então X ¾ alguma matriz 3´2: X = . Portanto, temos a seguinte cadeia de equivalências:
Resolvemos o último sistema usando o método de Gauss (omitimos os comentários)
Assim, chegamos ao sistema
cuja solução é (11+8 z , 14+10z , z , -49+8W , -58+10W ,W ) Onde z , W funcionam independentemente um do outro R.
Resposta: a) X = , b , d Î R.
b) Não há soluções.
dentro) X = z , W Î R.
3.2. Sobre a questão da permutabilidade de matrizes. Em geral, o produto de matrizes não é permutável, ou seja, se UMA e B de tal modo que AB e BA definido, então, de modo geral, AB ¹ BA . Mas o exemplo da matriz identidade E mostra que a comutabilidade também é possível EA =EA para qualquer matriz UMA , se apenas EA e EA foram determinados.
Nesta subseção, consideramos problemas de encontrar o conjunto de todas as matrizes que comutam com uma dada matriz. Nesse caminho,
Desconhecido x 1 , y 2 e z 3 pode assumir qualquer valor: x 1 =uma , y 2 =b , z 3 =g . Então
Nesse caminho, X = .
Responda. a) X d ¾ qualquer número.
b) X ¾ conjunto de matrizes da forma , onde uma , b e g ¾ quaisquer números.
