Transformação direta e inversa do cosseno. Transformada de Fourier Forma integral complexa integral de Fourier Transformada de Fourier cosseno e seno transformada amplitude e espectro de fase propriedades de aplicação

I. Transformadas de Fourier.

Definição 1. Função

chamado transformada de Fourier funções .

A integral aqui é entendida no sentido do valor principal

e acredita-se existir.

Se é uma função absolutamente integrável em ℝ, então, uma vez que para , a transformada de Fourier (1) faz sentido para qualquer função, e a integral (1) converge absoluta e uniformemente em relação à linha inteira ℝ.

Definição 2. Se um é a transformada de Fourier da função
, então a integral associada

Compreendido no sentido do significado principal, chama-se Integral de Fourier da função .

Exemplo 1 Encontre a transformada de Fourier de uma função

A função dada é absolutamente integrável em , de fato,

Definição 3. Entendido no sentido do valor principal das integrais

Nomeado de acordo cosseno- e funções de transformada seno de Fourier .

Assumindo , , , obtemos, em parte, a relação já familiar para nós da série de Fourier

Como pode ser visto nas relações (3), (4),

As fórmulas (5), (6) mostram que as transformadas de Fourier são completamente definidas em toda a linha se forem conhecidas apenas por valores não negativos do argumento.

Exemplo 2 Encontre o cosseno - e seno - transformada de Fourier de uma função

Como mostrado no Exemplo 1, a função dada é absolutamente integrável em .

Vamos encontrar seu cosseno - transformada de Fourier de acordo com a fórmula (3):

Da mesma forma, não é difícil encontrar a transformada seno - Fourier da função f(x) pela fórmula (4):

Usando os Exemplos 1 e 2, é fácil verificar por substituição direta que para f(x) a relação (5) é satisfeita.

Se a função for real, então as fórmulas (5), (6) neste caso implicam

Já que neste caso e são funções reais em R, o que fica evidente a partir de suas definições (3), (4). No entanto, a igualdade (7) sob a condição também é obtido diretamente da definição (1) da transformada de Fourier, se levarmos em conta que o sinal de conjugação pode ser colocado sob o sinal de integral. A última observação nos permite concluir que qualquer função satisfaz a igualdade

Também é útil notar que if é uma função real e par, ou seja, , então

if é uma função real e ímpar, ou seja, , então

E se é uma função puramente imaginária, i.e. . , então

Observe que se é uma função de valor real, então a integral de Fourier também pode ser escrita na forma

Onde

Exemplo 3
(assumindo )

já que sabemos o valor da integral de Dirichlet

A função considerada no exemplo não é absolutamente integrável e sua transformada de Fourier possui descontinuidades. O fato de que a transformada de Fourier de funções absolutamente integráveis não tem descontinuidades é mostrado pela seguinte

Lema 1. Se a função localmente integrável e absolutamente integrável em , então

a) sua transformada de Fourier definido para qualquer valor

Lembre-se que seé uma função de valor real ou complexa definida em um conjunto aberto, então a função chamado localmente integrável em, caso existam ponto tem uma vizinhança na qual a função é integrável. Em particular, se , a condição de integrabilidade local da função é obviamente equivalente ao fato de que para qualquer segmento.

Exemplo 4 Encontre a transformada de Fourier da função :

Diferenciando a última integral em relação ao parâmetro e integrando por partes, encontramos que

Significa, , onde é uma constante, que, usando a integral de Euler-Poisson, encontramos a partir da relação

Então, descobrimos que , e ao mesmo tempo mostramos que , e .

Definição 4. Dizem que a função , definido em uma vizinhança perfurada do ponto , satisfaz as condições de Dini no ponto se

a) ambos os limites laterais existem no ponto

b) ambas as integrais

concordo absolutamente.

Convergência absoluta da integral significa a convergência absoluta da integral pelo menos para algum valor de .

Condições suficientes para a representabilidade de uma função por uma integral de Fourier.

Teorema 1.Se absolutamente integrável em e função contínua localmente por partes satisfaz no ponto condições de Dini, então sua integral de Fourier converge neste ponto, e para o valor

igual a metade da soma dos limites esquerdo e direito dos valores da função neste ponto.

Consequência 1.Se a função contínua, tem em cada ponto derivadas unilaterais finitas e absolutamente integráveis em , então aparece como com sua integral de Fourier

Onde Transformada de Fourier de uma função .

A representação de uma função pela integral de Fourier pode ser reescrita como:

Comente. As condições da função formuladas no Teorema 1 e no Corolário 1 são suficientes, mas não necessárias para a possibilidade de tal representação.

Exemplo 5 Represente a função como uma integral de Fourier se

Esta função é ímpar e contínua em ℝ, exceto para os pontos , , .

Devido à estranheza e realismo da função, temos:

e das igualdades (5) e (10) segue que

Nos pontos de continuidade da função temos:

Mas a função é ímpar, então

já que a integral é calculada no sentido do valor principal.

A função é par, então

E se , . Para , a igualdade

Assumindo , a partir daqui encontramos

Se colocarmos na última expressão para , então

Assumindo aqui, encontramos

Se uma função de valor real é contínua por partes em qualquer segmento da reta real, absolutamente integrável em e tem derivadas unilaterais finitas em cada ponto, então nos pontos de continuidade da função ela é representada como uma integral de Fourier

e nos pontos de descontinuidade da função, o lado esquerdo da igualdade (1) deve ser substituído por

Se uma função contínua e absolutamente integrável em cada ponto tem derivadas unilaterais finitas em cada ponto, então no caso em que esta função é par, a igualdade

e no caso de quando é uma função ímpar, a igualdade

Exemplo 5'. Represente a função como uma integral de Fourier se:

Como é uma função contínua par, então, usando as fórmulas (13.2), (13.2’), temos

Denominamos pelo símbolo a integral entendida no sentido do valor principal

Consequência 2.Para qualquer função satisfazendo as condições do Corolário 1, existem todas as transformações , , , e há igualdades

Com essas relações em mente, a transformação (14) é freqüentemente chamada de transformada inversa de Fourier e, em vez disso, escreva , e as próprias igualdades (15) são chamadas Fórmula de inversão de transformada de Fourier.

Exemplo 6 Deixe e

Observe que se , então para qualquer função

Vamos pegar uma função agora. Então

Se tomarmos uma função que é uma continuação ímpar da função , em todo o eixo numérico, então

Usando o Teorema 1, temos que

Todas as integrais aqui são entendidas no sentido de valor principal,

Separando as partes real e imaginária nas duas últimas integrais, encontramos as integrais de Laplace

Definição . Função

será chamada de transformada de Fourier normalizada.

Definição . Se é a transformada de Fourier normalizada da função , então a integral associada

Chamaremos a integral de Fourier normalizada da função .

Vamos considerar a transformada de Fourier normalizada (16).

Por conveniência, introduzimos a seguinte notação:

(Essa. ).

Em comparação com a notação anterior, esta é apenas uma renormalização: Portanto, em particular, as relações (15) nos permitem concluir que

ou, em notação mais curta,

Definição 5. O operador será chamado de transformada de Fourier normalizada e o operador será chamado de transformada de Fourier normalizada inversa.

No Lema 1, notou-se que a transformada de Fourier de qualquer função absolutamente integrável em uma função tende a zero no infinito. As próximas duas declarações afirmam que, como os coeficientes de Fourier, a transformada de Fourier tende a zero quanto mais rápido, quanto mais suave for a função da qual é tirada (na primeira declaração); um fato mútuo com isso será que quanto mais rápida a função da qual a transformada de Fourier é tirada tende a zero, mais suave sua transformada de Fourier (segunda afirmação).

Declaração 1(sobre a conexão entre a suavidade de uma função e a taxa de diminuição de sua transformada de Fourier). Se um e todos os recursos absolutamente integrável em , então:

a) para qualquer

Declaração 2(sobre a relação entre a taxa de decaimento de uma função e a suavidade de sua transformada de Fourier). Se uma função localmente integrável : é tal que a função absolutamente integrável uma , então:

a) Transformada de Fourier de uma função pertence à classe

b) existe uma desigualdade

Apresentamos as principais propriedades de hardware da transformada de Fourier.

Lema 2. Seja uma transformada de Fourier para as funções e (respectivamente, a transformada inversa de Fourier), então, quaisquer que sejam os números e , existe uma transformada de Fourier (respectivamente, a transformada inversa de Fourier) e para a função , e

(respectivamente).

Essa propriedade é chamada de linearidade da transformada de Fourier (respectivamente, a transformada inversa de Fourier).

Consequência. .

Lema 3. A transformada de Fourier, assim como a transformada inversa, é uma transformação injetora no conjunto de funções contínuas absolutamente integráveis em todo o eixo, tendo derivadas unilaterais em cada ponto.

Isso significa que se e são duas funções do tipo especificado e se (respectivamente, se ), depois em todo o eixo.

Da asserção do Lema 1, podemos obter o seguinte lema.

Lema 4. Se a sequência de funções absolutamente integráveis e uma função absolutamente integrável são tais que

então a sequência uniformemente em todo o eixo converge para a função .

Vamos agora estudar a transformada de Fourier de convoluções de duas funções. Por conveniência, modificamos a definição de convolução adicionando um fator adicional

Teorema 2. Sejam as funções e limitadas, contínuas e absolutamente integráveis no eixo real, então

Essa. a transformada de Fourier da convolução de duas funções é igual ao produto das transformadas de Fourier dessas funções.

Vamos compilar uma tabela resumo nº 1 das propriedades da transformada de Fourier normalizada, útil para resolver os problemas abaixo.

Tabela 1

Função	Transformada de Fourier Normalizada

Usando as propriedades 1-4 e 6, obtemos

Exemplo 7 Encontre a transformada de Fourier normalizada de uma função

O exemplo 4 mostrou que

Até parece

De acordo com a propriedade 3, temos:

Da mesma forma, você pode compilar a tabela nº 2 para a transformada inversa de Fourier normalizada:

Tabela número 2

Função	Transformada de Fourier Inversa Normalizada

Como antes, usando as propriedades 1-4 e 6, obtemos que

Exemplo 8 Encontre a transformada inversa de Fourier normalizada de uma função

Como segue do exemplo 6

Quando temos:

Representando a função na forma

use a propriedade 6 quando

Opções de tarefas para liquidação e trabalho gráfico

1. Encontre o seno - transformada de Fourier de uma função

2. Encontre o seno - transformada de Fourier de uma função

3. Encontre cosseno - transformada de Fourier de uma função

4. Encontre cosseno - transformada de Fourier de uma função

5. Encontre o seno - transformada de Fourier de uma função

6. Encontre cosseno - transformada de Fourier de uma função

7. Encontre a transformada seno - Fourier da função

8. Encontre cosseno - transformada de Fourier de uma função

9. Encontre cosseno - transformada de Fourier de uma função

10. Encontre a transformada seno - Fourier de uma função

11. Encontre o seno - transformada de Fourier de uma função

12. Encontre a transformação seno - função

13. Encontre a transformação seno - função

14. Encontre cosseno - transformação de função

15. Encontre cosseno - transformação de função

16. Encontre a transformada de Fourier de uma função se:

17. Encontre a transformada de Fourier de uma função se:

18. Encontre a transformada de Fourier de uma função se:

19. Encontre a transformada de Fourier de uma função se:

20. Encontre a transformada de Fourier de uma função se:

21. Encontre a transformada de Fourier de uma função se:

22. Encontre a transformada de Fourier inversa normalizada de uma função

usando a fórmula

24. Encontre a transformada de Fourier inversa normalizada de uma função

usando a fórmula

26. Encontre a transformada de Fourier inversa normalizada de uma função

usando a fórmula

28. Encontre a transformada de Fourier inversa normalizada de uma função

usando a fórmula

30. Encontre a transformada de Fourier inversa normalizada de uma função

usando a fórmula

23. Encontre a transformada de Fourier inversa normalizada de uma função

usando a fórmula

25. Encontre a transformada de Fourier inversa normalizada de uma função

usando a fórmula

27. Encontre a transformada de Fourier inversa normalizada de uma função

usando a fórmula

29. Encontre a transformada de Fourier inversa normalizada de uma função

usando a fórmula

31. Encontre a transformada de Fourier inversa normalizada de uma função

usando a fórmula

32. Represente uma função como uma integral de Fourier

33. Represente uma função como uma integral de Fourier

34. Represente uma função como uma integral de Fourier

35. Represente uma função como uma integral de Fourier

36. Represente uma função como uma integral de Fourier

37. Represente uma função como uma integral de Fourier

38. Represente uma função como uma integral de Fourier

39. Represente uma função como uma integral de Fourier

40. Represente uma função como uma integral de Fourier

41. Represente uma função como uma integral de Fourier

42. Represente uma função como uma integral de Fourier

43. Represente a função como uma integral de Fourier, estendendo-a de forma ímpar para o intervalo se:

44. Represente a função como uma integral de Fourier, continuando-a de forma ímpar até o intervalo se.

Uma das ferramentas poderosas para estudar problemas de física matemática é o método de transformações integrais. Seja a função f(x) definida no intervalo (a, 6), finito ou infinito. A transformação integral da função f(x) é a função onde K(x,w) é uma função fixa para uma dada transformação, chamada de kernel de transformação (supõe-se que a integral (*) existe em seu sentido próprio ou impróprio ). §1. Integral de Fourier Qualquer função f(x), que no segmento [-f, I] satisfaça as condições de expansão em uma série de Fourier, pode ser representada neste segmento por uma série trigonométrica. : Transformada de Fourier Integral de Fourier Forma integral complexa Transformada de Fourier Transformadas de cosseno e seno Espectros de amplitude e fase Propriedades de aplicação A série do lado direito da equação (1) pode ser escrita de uma forma diferente. Para isso, introduzimos nele a partir das fórmulas (2) os valores dos coeficientes a» e op, subsumindo as integrais cos ^ x e sen x (o que é possível, pois a variável de integração é m) O) e usando a fórmula do cosseno da diferença. Teremos Se a função /(x) foi originalmente definida no intervalo do eixo numérico maior que o intervalo [-1,1] (por exemplo, em todo o eixo), então a expansão (3) irá reproduzir os valores desta função apenas no intervalo [-1, 1] e continua em todo o eixo real como uma função periódica com um período de 21 (Fig. 1). Portanto, se a função f(x) (geralmente não periódica) é definida em todo o eixo real, na fórmula (3) pode-se tentar passar ao limite como I + oo. Nesse caso, é natural exigir que as seguintes condições sejam satisfeitas: 1. f(x) satisfaz as condições de expansão em uma série de Fourier em qualquer segmento finito do eixo Ox\ 2. a função f(x) é absolutamente integrável em todo o eixo real (3) tende a zero quando I -* + oo. De fato, vamos tentar estabelecer qual será a soma do lado direito de (3) no limite como I + oo. Vamos supor que Então a soma do lado direito de (3) terá a forma Devido à convergência absoluta da integral, essa soma para I grande difere pouco de uma expressão que se assemelha à soma integral para a função do variável £ compilada para o intervalo (0, + oo) de mudança. Portanto, é natural esperar que para , a soma (5) passe para a integral С Por outro lado, para fixo) segue da fórmula (3 ) que também obtemos a igualdade A condição suficiente para a validade da fórmula (7) é expressa pelo seguinte teorema. Teorema 1. Se a função f(x) é absolutamente integrável em todo o eixo real e, juntamente com sua derivada, tem um número finito de pontos de descontinuidade de primeira espécie em qualquer segmento [a, 6], então da ª classe da função /(x), o valor da integral do lado direito de (7) é igual à Fórmula (7) é chamada de fórmula integral de Fourier, e a integral do lado direito é chamada de integral de Fourier. Se usarmos a fórmula para o dia do cosseno da diferença, então a fórmula (7) pode ser escrita como As funções a(t), b(t) são análogas dos coeficientes de Fourier correspondentes an e bn de um 2n-periódico função, mas os últimos são definidos para valores discretos de n, enquanto a(0> HO são definidos para valores contínuos de G(-oo, +oo). A forma complexa da integral de Fourier Assumindo f(x) para ser absolutamente integrável em todo o eixo x, consideramos a integral , obviamente uma função ímpar de Mas então Por outro lado, a integral é uma função par da variável de modo que Portanto, a fórmula integral de Fourier pode ser escrita como segue : Multipliquemos a igualdade pela unidade imaginária i e adicionemos à igualdade (10) Esta é a forma complexa da integral de Fourier.Aqui, a integração externa sobre t é entendida no sentido do valor principal de Cauchy: § 2 Transformada de Fourier Cosseno e seno Transformadas de Fourier Seja a função A linha f(x) é suave por partes em qualquer segmento finito do eixo x e absolutamente integrável em todo o eixo. Definição. A função de onde, em virtude da fórmula de Euler, teremos é chamada de transformada de Fourier da função f(r) (função espectral). Esta é a transformação integral da função / (r) no intervalo (-oo, + oo) com um kernel. Usando a fórmula integral de Fourier, obtemos Esta é a chamada transformada inversa de Fourier, que dá a transição de F (t) a / (x). Algumas vezes a transformada direta de Fourier é dada da seguinte forma: Então a transformada inversa de Fourier é determinada pela fórmula da transformada Amplitude e espectros de fase Propriedades de aplicação Então, por sua vez, Neste caso, a posição do fator ^ é bastante arbitrária: ele pode entrar na fórmula (1") ou na fórmula (2"). Exemplo 1. Encontre a transformada de Fourier da função -4 Temos Esta igualdade admite derivação em relação a £ sob o sinal de integral (a integral obtida após a diferenciação converge uniformemente quando ( pertence a qualquer segmento finito): Integrando por partes, teremos obtemos de onde (C é a constante de integração). Definindo £ = 0 em (4), encontramos С = F(0). Em virtude de (3) temos Sabe-se que Em particular, para) obtemos que Consideremos a função 4. Para os espectros oyu da função F(t), obtemos Daí (Fig. 2). A condição de integrabilidade absoluta da função f(x) em todo o eixo real é muito estrita. Exclui, por exemplo, funções elementares como f(x) = e1, para as quais a transformada de Fourier (na forma clássica considerada aqui) não existe. Apenas essas funções têm uma transformada de Fourier que tende a zero rápido o suficiente para |x| -+ +oo (como nos exemplos 1 e 2). 2.1. Cosseno e seno Transformadas de Fourier Usando a fórmula do cosseno, a diferença, reescrevemos a fórmula integral de Fourier da seguinte forma: Seja f(x) uma função par. Então, de modo que da igualdade (5) temos No caso de f(x) ímpar, obtemos similarmente Se f(x) é dado apenas em (0, -foo), então a fórmula (6) estende f(x) para todo o eixo Ox de forma par, e fórmula (7) - ímpar. (7) Definição. A função é chamada de transformada de Fourier do cosseno da função f(x). De (6) segue que para uma função par f(x) Isto significa que f(x), por sua vez, é uma transformada de cosseno para Fc(t). Em outras palavras, as funções / e Fc são transformadas mútuas de cosseno. Definição. A função é chamada de transformada seno de Fourier da função f(x). De (7) obtemos que para uma função ímpar f(x), ou seja, f e Fs são transformadas senoidais mútuas. Exemplo 3 (pulso em ângulo reto). Seja f(t) uma função par definida como segue: (Fig. 3). Vamos usar o resultado obtido para calcular a integral Em virtude da fórmula (9), temos Fig.3 0 0 No ponto t = 0, a função f(t) é contínua e igual a um. Portanto, de (12") obtemos 2.2. Espectro de amplitude e fase da integral de Fourier Deixe a função f(x) periódica com período 2m ser expandida em uma série de Fourier. Esta igualdade pode ser escrita na forma em que chegamos aos conceitos dos espectros de amplitude e fase de uma função periódica Para uma função não periódica f(x) dada em (-oo, +oo), sob certas condições, é possível representá-la pela integral de Fourier, que se expande esta função sobre todas as frequências (expansão no espectro de frequência contínua Definição A função espectral, ou a densidade espectral da integral de Fourier, é uma expressão (a transformada direta de Fourier da função f é chamada de espectro de amplitude, e a função Ф ") \u003d -argSfc) é o espectro de fase da função / ("). O espectro de amplitude A(t) serve como medida da contribuição da frequência t para a função /(x). Exemplo 4. Encontre os espectros de amplitude e fase da função 4 Encontre a função espectral A partir daqui Os gráficos dessas funções são mostrados na fig. 4. §3. Propriedades da transformada de Fourier 1. Linearidade. Se e G(0 são as transformadas de Fourier das funções f(x) e q(x), respectivamente, então para qualquer constante a e p a transformada de Fourier da função a f(x) + p g(x) será a função a Usando a propriedade de linearidade da integral, temos Assim, a transformada de Fourier é um operador linear. Denotando-a por escreveremos: Se F(t) é a transformada de Fourier de uma função f(x) absolutamente integrável em todo o real eixo, então F(t) é limitado para todos. Seja a função f(x) absolutamente integrável em todo o eixo - a transformada de Fourier da função f (x). Então 3 "flts J. Seja f (x) uma função, cuja tolerância é a transformada de Fourier, L é o número de propriedades. A função fh (x) \u003d f (z-h) é chamada de deslocamento da função f(x). Usando a definição da transformada de Fourier , mostre que o Problema. Seja uma função f(z) ter uma transformada de Fourier F(0> h é um número real. Mostre que 3. Transformada de Fourier e diferenciação oeresis. Seja uma função absolutamente integrável f (x) tenha uma derivada f " (x), que também é absolutamente integrável em todo o eixo Oh, então /(n) tende a zero quando |x| -» +oo. Supondo que f "(x) seja uma função suave, escrevemos Integrando por partes, temos o termo fora da integral se anula (pois, e obtemos Assim, a diferenciação da função / (x) corresponde à multiplicação de seu Fourier imagem ^ P /] pelo fator Se a função f (x) tem derivadas absolutamente intetáveis suaves até a ordem m inclusive, e todas elas, como a própria função f(x) tendem a zero, e então, integrando por partes o número de vezes necessário, obtemos a transformada de Fourier é muito útil justamente porque substitui a operação de diferenciação pela operação de multiplicação por um valor, e assim simplifica o problema de integrar certos tipos de equações diferenciais. função absolutamente integrável f^k\x) é uma função limitada de (propriedade 2), da relação (2) obtemos a seguinte estimativa para : Transformada de Fourier Integral de Fourier Forma integral complexa Transformada de Fourier Transformadas de cosseno e seno Espectros de amplitude e fase Propriedades de aplicação A partir desta avaliação com segue: quanto mais a função f(x) tem derivadas absolutamente integráveis, mais rápido sua transformada de Fourier tende a zero em. Comente. A condição é bastante natural, pois a teoria usual das integrais de Fourier trata de processos que, em um sentido ou outro, têm começo e fim, mas não continuam indefinidamente com aproximadamente a mesma intensidade. 4. Relação entre a taxa de decaimento da função f(x) para |z| -» -f oo e a suavidade de sua transformação Fourm. Suponhamos que não apenas /(x), mas também seu produto xf(x) seja uma função absolutamente integrável em todo o eixo x. Então a transformada de Fourier) será uma função diferenciável. De fato, a diferenciação formal em relação ao parâmetro £ do integrando leva a uma integral que é absoluta e uniformemente convergente em relação ao parâmetro. Se, juntamente com a função f(x), as funções são absolutamente integráveis em todo o eixo Ox, então o processo de diferenciação pode ser continuado. Obtemos que a função tem derivadas até a ordem m inclusive, e Assim, quanto mais rápido a função f(x) diminui, mais suave a função fica Teorema 2 (sobre a broca). Sejam as transformadas de Fourier das funções /,(x), e f2(x), respectivamente. Então a integral dupla no lado direito converge absolutamente. Vamos colocar x. Então teremos ou, mudando a ordem de integração, A função é chamada de convolução de funções e é denotada pelo símbolo A fórmula (1) pode agora ser escrita da seguinte forma: Daqui fica claro que a transformada de Fourier da convolução de as funções f \ o produto das transformadas de Fourier de funções dobráveis, Observação. É fácil estabelecer as seguintes propriedades de convolução: 1) linearidade: 2) comutatividade: §4. Aplicações da transformada de Fourier 1. Seja Р(^) um operador diferencial linear de ordem m com coeficientes constantes. y(x) tem uma transformada de Fourier y (O. e a função f(x) tem uma transformada /(t) Aplicando a transformada de Fourier à equação (1), obtemos em vez de uma equação algébrica diferencial sobre o eixo em relação a onde de modo que formalmente onde o símbolo denota a transformada de Fourier inversa A principal limitação da aplicabilidade deste método está relacionada com o seguinte fato: A solução de uma equação diferencial ordinária com coeficientes constantes contém funções da forma< х < 4-оо, и преобразование Фурье для них не определено, так что, строго говоря, применятьданный метод нельзя. Это ограничение можно обойти, если ввести в рассмотрение так называемые обобщенные функции. Однако в ряде случаев преобразование Фурье все же применимо в своей классической форме. Пример. Найти решение а = а(х, t) уравнения (а = const), при начальных условиях Это - задача о свободных колебаниях бесконечной однородной струны, когда задано начальное отклонение <р(х) точек сгруны, а начальные скорости отсутствуют. 4 Поскольку пространственная переменная х изменяется в пределах от -оо до +оо, подвергнем уравнение и начальные условия преобразованию Фурье по переменной х. Будем предполагать, что 1) функции и(х, t) и

Que já estão bastante fartos. E sinto que chegou o momento em que é hora de extrair novos alimentos enlatados das reservas estratégicas da teoria. É possível expandir a função em uma série de alguma outra maneira? Por exemplo, para expressar um segmento de reta em termos de senos e cossenos? Parece incrível, mas essas funções aparentemente distantes se prestam a
"reunião". Além dos graus familiares em teoria e prática, existem outras abordagens para expandir uma função em uma série.

Nesta lição, nos familiarizaremos com a série trigonométrica de Fourier, abordaremos a questão de sua convergência e soma e, é claro, analisaremos vários exemplos para expandir funções em uma série de Fourier. Eu sinceramente queria chamar o artigo de “Série Fourier para Leigos”, mas isso seria astuto, já que a resolução de problemas exigirá conhecimento de outras seções de análise matemática e alguma experiência prática. Portanto, o preâmbulo vai se assemelhar ao treinamento dos astronautas =)

Primeiro, o estudo dos materiais da página deve ser abordado em excelente forma. Sono, descansado e sóbrio. Sem fortes emoções sobre a pata quebrada de um hamster e pensamentos obsessivos sobre as dificuldades da vida dos peixes de aquário. A série de Fourier não é difícil do ponto de vista da compreensão, no entanto, as tarefas práticas exigem simplesmente uma maior concentração de atenção - idealmente, deve-se abandonar completamente os estímulos externos. A situação é agravada pelo fato de não haver uma maneira fácil de verificar a solução e a resposta. Assim, se sua saúde estiver abaixo da média, é melhor fazer algo mais simples. Verdade.

Em segundo lugar, antes de voar para o espaço, é necessário estudar o painel de instrumentos da espaçonave. Vamos começar pelos valores das funções que devem ser clicadas na máquina:

Para qualquer valor natural:

1) . E, de fato, a senóide "pisca" o eixo x através de cada "pi":
. No caso de valores negativos do argumento, o resultado, claro, será o mesmo: .

2). Mas nem todos sabiam disso. O cosseno "pi en" é o equivalente a uma "luz intermitente":

Um argumento negativo não altera o caso: .

Talvez o suficiente.

E em terceiro lugar, querido corpo de cosmonautas, você precisa ser capaz de ... integrar.
Em particular, com certeza trazer uma função sob um sinal diferencial, integrar por partes e estar em boas relações com Fórmula de Newton-Leibniz. Vamos começar os importantes exercícios pré-voo. Eu fortemente não recomendo ignorá-lo, para que mais tarde você não achate em gravidade zero:

Exemplo 1

Calcular integrais definidas

onde assume valores naturais.

Solução: a integração é realizada sobre a variável "x" e nesta fase a variável discreta "en" é considerada uma constante. Em todas as integrais trazer a função sob o sinal do diferencial:

Uma versão curta da solução, que seria boa para atirar, se parece com isso:

Acostumando:

Os quatro pontos restantes estão por conta própria. Tente tratar a tarefa conscientemente e organizar as integrais de forma curta. Exemplos de soluções no final da lição.

Depois de um exercício de QUALIDADE, vestimos trajes espaciais
e se preparando para começar!

Expansão de uma função em uma série de Fourier no intervalo

Vamos considerar uma função que determinado pelo menos no intervalo (e, possivelmente, em um intervalo maior). Se esta função é integrável no segmento , então ela pode ser expandida em uma função trigonométrica Séries de Fourier:
, onde estão os chamados Coeficientes de Fourier.

Neste caso, o número é chamado período de decomposição, e o número é decomposição de meia-vida.

Obviamente, no caso geral, a série de Fourier consiste em senos e cossenos:

De fato, vamos escrevê-lo em detalhes:

O termo zero da série é geralmente escrito como .

Os coeficientes de Fourier são calculados usando as seguintes fórmulas:

Entendo perfeitamente que novos termos ainda são obscuros para os iniciantes estudarem o tema: período de decomposição, meio ciclo, Coeficientes de Fourier e outros. Não entre em pânico, não é comparável à excitação antes de uma caminhada espacial. Vamos descobrir tudo no exemplo mais próximo, antes de executar o que é lógico fazer perguntas práticas urgentes:

O que você precisa fazer nas seguintes tarefas?

Expanda a função em uma série de Fourier. Além disso, muitas vezes é necessário desenhar um gráfico de uma função, um gráfico da soma de uma série, uma soma parcial e, no caso de fantasias de professores sofisticados, fazer outra coisa.

Como expandir uma função em uma série de Fourier?

Essencialmente, você precisa encontrar Coeficientes de Fourier, ou seja, componha e calcule três integrais definidas.

Por favor, copie a forma geral da série de Fourier e as três fórmulas de trabalho em seu caderno. Estou muito feliz que alguns dos visitantes do site tenham um sonho de infância de se tornar um astronauta se tornando realidade bem na frente dos meus olhos =)

Exemplo 2

Expanda a função em uma série de Fourier no intervalo . Construir um gráfico, um gráfico da soma de uma série e uma soma parcial.

Solução: a primeira parte da tarefa é expandir a função em uma série de Fourier.

O início é padrão, certifique-se de anotar que:

Neste problema, o período de expansão , meio período .

Expandimos a função em uma série de Fourier no intervalo:

Usando as fórmulas apropriadas, encontramos Coeficientes de Fourier. Agora precisamos compor e calcular três integrais definidas. Por conveniência, numerarei os pontos:

1) A primeira integral é a mais simples, porém, já requer um olho e um olho:

2) Usamos a segunda fórmula:

Esta integral é bem conhecida e ele toma aos poucos:

Quando encontrado usado método de trazer uma função sob um sinal diferencial.

Na tarefa em consideração, é mais conveniente usar imediatamente fórmula para integração por partes em uma integral definida :

Algumas notas técnicas. Primeiro, depois de aplicar a fórmula a expressão inteira deve ser colocada entre colchetes grandes, uma vez que existe uma constante na frente da integral original. Não vamos perdê-lo! Os parênteses podem ser abertos em qualquer etapa posterior, eu fiz isso no último turno. Na primeira "peça" mostramos extrema precisão na substituição, como você pode ver, a constante está fora do negócio, e os limites de integração são substituídos no produto. Esta ação está marcada com colchetes. Bem, a integral da segunda "peça" da fórmula é bem conhecida por você da tarefa de treinamento ;-)

E o mais importante - a concentração final de atenção!

3) Estamos procurando o terceiro coeficiente de Fourier:

Uma relativa da integral anterior é obtida, que também é integrado por partes:

Esta instância é um pouco mais complicada, vou comentar os próximos passos passo a passo:

(1) A expressão inteira é colocada entre colchetes grandes.. Eu não queria parecer um chato, eles perdem a constante com muita frequência.

(2) Nesse caso, imediatamente expandi esses colchetes grandes. Atenção especial dedicamos à primeira “peça”: a constante fumega à margem e não participa da substituição dos limites de integração ( e ) no produto . Em vista da desordem do registro, é novamente aconselhável destacar esta ação entre colchetes. Com a segunda "peça" tudo é mais simples: aqui a fração apareceu depois de abrir grandes colchetes e a constante - como resultado da integração da integral familiar ;-)

(3) Entre colchetes, realizamos transformações e, na integral à direita, substituímos os limites de integração.

(4) Retiramos o “piscador” dos colchetes: , após o que abrimos os colchetes internos: .

(5) Cancelamos o 1 e -1 entre parênteses e fazemos as simplificações finais.

Finalmente encontrei todos os três coeficientes de Fourier:

Substitua-os na fórmula :

Não se esqueça de dividir ao meio. Na última etapa, a constante ("menos dois"), que não depende de "en", é retirada da soma.

Assim, obtivemos a expansão da função em uma série de Fourier no intervalo:

Vamos estudar a questão da convergência da série de Fourier. Vou explicar a teoria em particular Teorema de Dirichlet, literalmente "nos dedos", então se você precisar de formulações estritas, consulte um livro-texto sobre cálculo (por exemplo, o 2º volume de Bohan; ou o 3º volume de Fichtenholtz, mas é mais difícil nele).

Na segunda parte da tarefa, é necessário desenhar um gráfico, um gráfico de soma em série e um gráfico de soma parcial.

O gráfico da função é o usual linha reta no avião, que é desenhado com uma linha pontilhada preta:

Nós lidamos com a soma da série. Como você sabe, séries funcionais convergem para funções. No nosso caso, a série de Fourier construída para qualquer valor de "x" converge para a função mostrada em vermelho. Esta função está sujeita a quebras de 1º tipo em pontos, mas também definidos neles (pontos vermelhos no desenho)

Nesse caminho: . É fácil ver que ela difere marcadamente da função original, razão pela qual na notação um til é usado em vez de um sinal de igual.

Vamos estudar um algoritmo pelo qual é conveniente construir a soma de uma série.

No intervalo central, a série de Fourier converge para a própria função (o segmento central vermelho coincide com a linha pontilhada preta da função linear).

Agora vamos falar um pouco sobre a natureza da expansão trigonométrica considerada. Séries de Fourier inclui apenas funções periódicas (constante, senos e cossenos), então a soma da série também é uma função periódica.

O que isso significa em nosso exemplo particular? E isso significa que a soma da série –necessariamente periódica e o segmento vermelho do intervalo deve ser repetido infinitamente à esquerda e à direita.

Acho que agora o significado da frase "período de decomposição" finalmente ficou claro. Simplificando, toda vez que a situação se repete de novo e de novo.

Na prática, geralmente é suficiente representar três períodos de decomposição, como é feito no desenho. Bem, e mais "tocos" de períodos vizinhos - para deixar claro que o gráfico continua.

De particular interesse são pontos de descontinuidade do 1º tipo. Nesses pontos, a série de Fourier converge para valores isolados, que se localizam exatamente no meio do "salto" da descontinuidade (pontos vermelhos no desenho). Como encontrar a ordenada desses pontos? Primeiro, vamos encontrar a ordenada do "piso superior": para isso, calculamos o valor da função no ponto mais à direita do período de expansão central: . Para calcular a ordenada do “piso inferior”, a maneira mais fácil é pegar o valor mais à esquerda do mesmo período: . A ordenada do valor médio é a média aritmética da soma do "superior e inferior": . Agradável é o fato de que, ao construir um desenho, você verá imediatamente se o meio está calculado corretamente ou incorretamente.

Vamos construir uma soma parcial da série e ao mesmo tempo repetir o significado do termo "convergência". O motivo é conhecido da lição sobre a soma da série numérica. Vamos descrever nossa riqueza em detalhes:

Para fazer uma soma parcial, você precisa escrever zero + mais dois termos da série. Aquilo é,

No desenho, o gráfico da função é mostrado em verde e, como você pode ver, envolve a soma total com bastante força. Se considerarmos uma soma parcial de cinco termos da série, o gráfico dessa função aproximará as linhas vermelhas com ainda mais precisão; se houver cem termos, a “serpente verde” se fundirá completamente com os segmentos vermelhos, etc. Assim, a série de Fourier converge para sua soma.

É interessante notar que qualquer soma parcial é função contínua, mas a soma total da série ainda é descontínua.

Na prática, não é incomum construir um gráfico de soma parcial. Como fazer isso? No nosso caso, é necessário considerar a função no segmento, calcular seus valores nas extremidades do segmento e em pontos intermediários (quanto mais pontos você considerar, mais preciso será o gráfico). Em seguida, você deve marcar esses pontos no desenho e desenhar cuidadosamente um gráfico no período e, em seguida, “replicá-lo” em intervalos adjacentes. De que outra forma? Afinal, a aproximação também é uma função periódica... ...seu gráfico de alguma forma me lembra um ritmo cardíaco regular no visor de um dispositivo médico.

Obviamente, não é muito conveniente realizar a construção, pois você deve ser extremamente cuidadoso, mantendo uma precisão não inferior a meio milímetro. No entanto, vou agradar os leitores que estão em desacordo com o desenho - em uma tarefa "real", está longe de ser sempre necessário realizar um desenho, em algum lugar em 50% dos casos é necessário expandir a função em uma série de Fourier e isso é isto.

Depois de concluir o desenho, concluímos a tarefa:

Responda:

Em muitas tarefas, a função sofre ruptura do 1º tipo logo no período de decomposição:

Exemplo 3

Expanda em uma série de Fourier a função dada no intervalo . Desenhe um gráfico da função e a soma total da série.

A função proposta é dada por partes (e, lembre-se, apenas no segmento) e suportar ruptura do 1º tipo no ponto . É possível calcular os coeficientes de Fourier? Sem problemas. As partes esquerda e direita da função são integráveis em seus intervalos, de modo que as integrais em cada uma das três fórmulas devem ser representadas como a soma de duas integrais. Vejamos, por exemplo, como isso é feito para um coeficiente zero:

A segunda integral acabou sendo igual a zero, o que reduziu o trabalho, mas nem sempre é assim.

Dois outros coeficientes de Fourier são escritos de forma semelhante.

Como exibir a soma de uma série? No intervalo esquerdo, desenhamos um segmento de linha reta e no intervalo - um segmento de linha reta (destaque a seção do eixo em negrito). Ou seja, no intervalo de expansão, a soma da série coincide com a função em todos os lugares, exceto por três pontos "ruins". No ponto de descontinuidade da função, a série de Fourier converge para um valor isolado, que está localizado exatamente no meio do “salto” da descontinuidade. Não é difícil vê-lo oralmente: limite esquerdo:, limite direito: e, obviamente, a ordenada do ponto médio é 0,5.

Devido à periodicidade da soma , a imagem deve ser “multiplicada” em períodos vizinhos, em particular, retratar a mesma coisa nos intervalos e . Neste caso, nos pontos, a série de Fourier converge para os valores medianos.

Na verdade, não há nada de novo aqui.

Tente resolver esse problema sozinho. Uma amostra aproximada de bom design e desenho no final da lição.

Expansão de uma função em uma série de Fourier em um período arbitrário

Para um período de expansão arbitrário, onde "el" é qualquer número positivo, as fórmulas para a série de Fourier e coeficientes de Fourier diferem em um argumento de seno e cosseno um pouco mais complicado:

Se , então obtemos as fórmulas para o intervalo com o qual começamos.

O algoritmo e os princípios para resolver o problema são completamente preservados, mas a complexidade técnica dos cálculos aumenta:

Exemplo 4

Expanda a função em uma série de Fourier e plote a soma.

Solução: de fato, um análogo do Exemplo nº 3 com ruptura do 1º tipo no ponto . Neste problema, o período de expansão , meio período . A função é definida apenas no half-interval , mas isso não muda as coisas - é importante que ambas as partes da função sejam integráveis.

Vamos expandir a função em uma série de Fourier:

Como a função é descontínua na origem, cada coeficiente de Fourier deve obviamente ser escrito como a soma de duas integrais:

1) Vou escrever a primeira integral o mais detalhada possível:

2) Observe cuidadosamente a superfície da lua:

Segunda integral levar em partes:

O que você deve prestar atenção depois de abrirmos a continuação da solução com um asterisco?

Primeiro, não perdemos a primeira integral , onde executamos imediatamente trazendo sob o signo do diferencial. Em segundo lugar, não se esqueça da constante malfadada antes dos grandes colchetes e não se confunda com os sinais ao usar a fórmula . Suportes grandes, afinal, é mais conveniente abrir imediatamente na próxima etapa.

O resto é uma questão de técnica, apenas a experiência insuficiente na resolução de integrais pode causar dificuldades.

Sim, não foi em vão que os eminentes colegas do matemático francês Fourier ficaram indignados - como ele se atreveu a decompor funções em séries trigonométricas ?! =) A propósito, provavelmente todos estão interessados no significado prático da tarefa em questão. O próprio Fourier trabalhou em um modelo matemático de condução de calor e, posteriormente, a série que leva seu nome começou a ser usada para estudar muitos processos periódicos, que aparentemente são invisíveis no mundo exterior. Agora, a propósito, me peguei pensando que não foi por acaso que comparei o gráfico do segundo exemplo com um ritmo cardíaco periódico. Os interessados podem conhecer a aplicação prática Transformadas de Fourier de fontes de terceiros. ... Embora seja melhor não - será lembrado como Primeiro Amor =)

3) Dados os elos fracos repetidamente mencionados, lidamos com o terceiro coeficiente:

Integrando por partes:

Substituímos os coeficientes de Fourier encontrados na fórmula , não esquecendo de dividir o coeficiente zero pela metade:

Vamos traçar a soma da série. Vamos repetir brevemente o procedimento: no intervalo construímos uma linha e no intervalo - uma linha. Com um valor zero de "x", colocamos um ponto no meio do "salto" do gap e "replicamos" o gráfico para períodos vizinhos:

Nas "junções" dos períodos, a soma também será igual aos pontos médios do "salto" do gap.

Preparar. Lembro que a função em si é condicionalmente definida apenas no meio-intervalo e, obviamente, coincide com a soma das séries nos intervalos

Responda:

Às vezes, uma função dada por partes também é contínua no período de expansão. O exemplo mais simples: . Solução (Veja Bohan Volume 2)é o mesmo que nos dois exemplos anteriores: apesar continuidade de função no ponto , cada coeficiente de Fourier é expresso como a soma de duas integrais.

No intervalo de separação pontos de descontinuidade do 1º tipo e/ou pontos de "junção" do gráfico podem ser mais (dois, três e, em geral, qualquer final quantia). Se uma função é integrável em todas as partes, ela também é expansível em uma série de Fourier. Mas, por experiência prática, não me lembro de tal lata. No entanto, existem tarefas mais difíceis do que apenas consideradas, e no final do artigo para todos há links para séries de Fourier de maior complexidade.

Enquanto isso, vamos relaxar, recostando-nos em nossas cadeiras e contemplando as infinitas extensões de estrelas:

Exemplo 5

Expanda a função em uma série de Fourier no intervalo e plote a soma da série.

Nesta tarefa, a função contínuo no meio-intervalo de decomposição, o que simplifica a solução. Tudo é muito semelhante ao Exemplo nº 2. Não há como escapar da nave espacial - você tem que decidir =) Uma amostra de projeto aproximada no final da lição, o cronograma está em anexo.

Expansão em série de Fourier de funções pares e ímpares

Com funções pares e ímpares, o processo de resolução do problema é visivelmente simplificado. E é por isso. Vamos retornar à expansão da função em uma série de Fourier em um período de "dois pi" e período arbitrário "duas cervejas" .

Vamos supor que nossa função seja par. O termo geral da série, como você pode ver, contém cossenos pares e senos ímpares. E se decompusermos uma função EVEN, então por que precisamos de senos ímpares?! Vamos redefinir o coeficiente desnecessário: .

Nesse caminho, uma função par se expande em uma série de Fourier apenas em cossenos:

Porque o integrais de funções pares sobre um segmento de integração simétrico em relação a zero pode ser duplicado, então o resto dos coeficientes de Fourier também são simplificados.

Para intervalo:

Para um intervalo arbitrário:

Exemplos de livros didáticos encontrados em quase todos os livros didáticos de cálculo incluem expansões de funções pares . Além disso, eles se encontraram repetidamente em minha prática pessoal:

Exemplo 6

Dada uma função. Requeridos:

1) expanda a função em uma série de Fourier com período , onde é um número positivo arbitrário;

2) escreva a expansão no intervalo , construa uma função e represente graficamente a soma total da série .

Solução: no primeiro parágrafo, propõe-se resolver o problema de maneira geral, e isso é muito conveniente! Haverá uma necessidade - basta substituir o seu valor.

1) Neste problema, o período de expansão , meio período . No decurso de outras ações, em particular durante a integração, "el" é considerado uma constante

A função é par, o que significa que ela se expande em uma série de Fourier apenas em cossenos: .

Os coeficientes de Fourier são procurados pelas fórmulas . Preste atenção às suas vantagens absolutas. Primeiro, a integração é realizada sobre o segmento positivo da expansão, o que significa que nos livramos do módulo com segurança , considerando apenas "x" de duas peças. E, em segundo lugar, a integração é visivelmente simplificada.